Ecuaciones diferenciales de orden fraccionario

Ecuaciones diferenciales de orden fraccionario Departamento de An´alisis Matem´atico Universidade de Santiago de Compostela Autor: ´ Oscar A. Otero Zarraqui˜nos Trabajo Fin de M´aster Curso 2011-2012 Santiago de Compostela - 27 de junio de 2012 Ecuaciones diferenciales de orden fraccionario Departamento de An´alisis Matem´atico Universidade de Santiago de Compostela Autor: ´ Oscar A. Otero Zarraqui˜nos Profesor: Juan Jos´e Nieto Roig Santiago de Compostela - 27 de junio de 2012 ´ Indice general 1. Breve perfil hist´orico del c´alculo fraccionario 2 2. Preliminares 7 2.1. Integrales y derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville . . . . . . . 7 2.2. Derivadas fraccionarias de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Algunas ecuaciones diferenciales de orden fraccionario 12 3.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2. DerivadadeCaputo............................ 13 3.3. Derivada de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. An´alisis del movimiento de un proyectil en t´erminos del c´alculo fraccional 16 4.1. Introducci´on................................ 16 4.2. Definiciones y preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2.1. Derivada fraccionaria de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2.2. Derivada fraccionaria de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . 17 4.2.3. Funci´on Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3. Formulaci´on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4. Caracter´ısticas del movimiento de un proyectil en el c´alculo fraccional 20 4.4.1. Trayectoria ............................ 20 4.4.2. Rango ............................... 22 4.4.3. Tiempodevuelo ......................... 25 4.4.4. Alturam´axima .......................... 25 4.5. Relaci´on entre los rangos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.6. Relaci´on entre las alturas m´aximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.7. M´aximo rango de proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 Cap´ıtulo 1 Breve perfil hist´orico del c´alculo fraccionario El concepto de derivada de una funci´on es b´asico en el estudio del c´alculo. Las derivadas o integrales sucesivas de una funci´on fn)=Dnf,Infaparecen de forma natural, por tanto, para valores n enteros. La idea de generalizar la noci´on de derivada para valores no enteros, surgi´o con el nacimiento del propio c´alculo diferencial. As´ı, se plante´o la cuesti´on del sentido que tendr´ıa una derivada de orden fraccionario; por ello se le asign´o originalmente el nombre de c´alculo fraccional. M´as tarde se ampli´o el alcance de la pregunta anterior: “¿Puede ser nun n´umero cualquiera, racional, irracional o incluso complejo?”. Sabiendo que la respuesta es afirmativa, el actual t´ermino de “c´alculo fraccional” resulta impropio y deber´ıamos sustituirlo por el de integraci´on y diferenciaci´on de orden arbitrario. Fue el propio Leibnitz al inventar la notaci´on dn dxnf(x), y posiblemente un simple deseo de jugar con los s´ımbolos, lo que empuj´o en 1695 al Marqu´es de L´Hˆopital a preguntarle “¿Qu´e suceder´ıa en el caso de ser sustitu´ıda npor 1 2?”. Leibnitz respondi´o de modo intuitivo que “esta aparente paradoja permitir´a en el futuro extraer interesantes consecuencias”. Tambi´en en su correspondencia con Bernoulli, Leibnitz mencion´o derivadas de “orden gen´erico”. En 1697, en referencia al producto infinito de Wallis por π 2, Leibnitz utiliz´o la notaci´on de d1 2, y afirm´o que era posible razonar con el c´alculo diferencial fraccional para alcanzar el mismo resultado. La primera referencia en un texto a una derivada de orden arbitrario aparece en un libro del matem´atico franc´es Lacroix de 1819 [1], en el que dedic´o a este tema dos p´aginas de las 700 que lo constituyen. Lacroix desarroll´o un ejercicio meramente matem´atico generalizando el caso de orden entero, a la manera t´ıpica de los formalistas de aquel per´ıodo. Partiendo de y=xn, procedi´o a determinar la derivada m-´esima: dm dxmy=n! (n−m)! xn−m(1.1) con mynenteros positivos y n≥m. Utilizando la funci´on Gamma para generalizar los factoriales, sustituyendo m por 1 2,npor un n´umero areal positivo cualquiera y suponiendo x > 0, obtuvo la 2 siguiente f´ormula: d1 2 dx1 2 y=Γ(a+ 1) Γ(a+1 2)xa−1 2(1.2) que representa la derivada de orden 1 2de la funci´on xa. Para y=x (es decir a=1), obtuvo: d1 2 dx1 2 x=2√x √π(1.3) al ser Γ(3 2) = 1 2√π. Es interesante destacar que este resultado coincide con el que se obtendr´ıa mediante la actual definici´on de derivada fraccionaria de Riemann-Liouville. El paso siguiente lo dio Fourier en 1822, al sugerir la utilizaci´on de la igualdad: dp dxpf(x) = 1 2πZ+∞ −∞ λpdλ Z+∞ −∞ f(t) cos(λx −tλ +pπ 2)dt (1.4) para definir la derivada de orden parbitrario de una funci´on que se comportase “suficientemente bien”, sin ser necesariamente una funci´on potencia. Pero, al igual que Euler, tampoco Fourier proporcion´o ejemplos o aplicaciones. El m´erito de presentar la primera aplicaci´on fue de Abel en 1823 [2, 3] utilizando la derivada de orden 1 2para resolver la ecuaci´on integral: Zx 0 (x−t)−1/2f(t)dt =k, (1.5) resultante de la formulaci´on del problema de la tautocron´ıa [4], es decir, el problema de determinar la forma de una curva de modo tal que el tiempo de descenso de una masa puntual que se desliza por ella sin fricci´on y bajo el efecto de la gravedad sea independiente del punto de partida. La ecuaci´on integral (1.5), llamada de Abel, corresponde a un tiempo de deslizamiento constante y conocido; la integral que en ella aparece, a parte por el factor multiplicativo 1 Γ( 1 2), es la integral fraccionaria de orden 1 2de Riemann-Liouville de la funci´on f. En realidad Abel estudi´o ecuaciones integrales m´as generales con n´ucleos tipo (x−t)α. La soluci´on de Abel fue tan elegante que atraj´o la atenci´on de Liouville, quien en 1832 [5, 6] hizo el primer gran intento de definir la derivada fraccionaria. El punto de partida de Liouville fue el conocido resultado para las derivadas de orden entero mde la exponencial: Dmeax =ameax,(1.6) donde aes una constante real, que extendi´o de modo natural a las derivadas de orden parbitrario: Dpeax =apeax.(1.7) Entonces asumi´o que la derivada de orden arbitrario de una funci´on f(x), que puede ser desarrollada en una serie del tipo: f(x) = ∞ X n=0 cneanx,(1.8) 3 tiene la forma: Dpf(x) = ∞ X n=0 cnap neanx.(1.9) Esta f´ormula es conocida como la primera definici´on de Liouville, con la obvia desventaja de ser ´unicamente aplicable para aquellos valores de ppara los cuales la serie (1.9) converge. Liouville adopt´o un segundo m´etodo para tratar funciones del tipo x−a, para valores reales de a > 0 y donde x > 0. Para ello consider´o la integral: I=Z∞ 0 ua−1e−xudu, (1.10) que mediante el cambio de variable xu =tproporciona el siguiente resultado: x−a=1 Γ(a)I. (1.11) Entonces, operando con Dpen ambos miembros de (1.11), obtuvo: Dpx−a=(−1)p Γ(a)Z∞ 0 ua+p−1e−xudu, (1.12) y lleg´o a su segunda definici´on de derivada fraccionaria: Dpx−a=(−1)pΓ(a+p) Γ(a)x−a−p, a > 0.(1.13) Pero ninguna de estas dos definiciones estaba destinada a consagrarse, al ser v´alidas para un conjunto restringido de funciones. La atenci´on se desplaz´o entonces hacia la integral fraccionaria, pensando que quiz´as de ´esta se deducir´ıa la definici´on de derivada como la de su operador inverso izquierdo, en analog´ıa al caso entero. En esos mismos escritos de 1832, Liouville obtuvo la siguiente f´ormula: (D−pf)(x) = 1 (−1)pΓ(p)Z∞ 0 tp−1f(x+t)dt, Re(p)>0,(1.14) que hoy en d´ıa, eliminando el factor (−1)p, es conocida por la definici´on de Liouville por la derecha de la integral fraccionaria de orden α. Siguiendo esto, cabe mencionar un escrito de Riemann fechado en 1847, y de publicaci´on p´ostuma en 1876 [7], en el que aparece la f´ormula: (D−pf)(x) = 1 Γ(p)Zx a (x−t)p−1f(t)dt +φ(x) (1.15) para la integral de orden fraccionario. Debido a la indefinici´on del extremo inferior de integraci´on a, Riemann consider´o oportuno a˜nadir una funci´on complementaria φ(x) de naturaleza indeterminada. El primer trabajo que finalmente condujo a la actual definici´on de la integral fraccionaria de Riemann-Liouville fue debido a N. Ya. Sonine en 1870 [8]; pero fue Laurent el que en 1884 [9] lleg´o a formularla de manera definitiva. 4 Para ello, tomaron como punto inicial la f´ormula (tambi´en llamada F´ormula de Cauchy para la integral repetida), f´acilmente demostrable por inducci´on, que reduce la integral de orden entero nde una funci´on real a una ´unica integral de convoluci´on: (aD−n xf)(x) = Zx a dx1Zx1 a dx2. . . Zxn−1 a f(t)dt =1 (n−1)! Zx a (x−t)n−1f(t)dt; (1.16) entonces, generalizando el factorial con la funci´on Gamma, obtuvieron: (aD−p xf)(x) = 1 Γ(p)Zx a (x−t)p−1f(t)dt, Re(p)>0.(1.17) Cuando x > a recuperamos de nuevo la definici´on de la integral fraccionaria de Riemann, pero sin aparecer la funci´on complementaria; mientras que para a=−∞ obtenemos la definici´on de la integral fraccionaria de Liouville. La versi´on m´as utilizada de la expresi´on (1.17) es la que se obtiene haciendo a=0, conocida como integral fraccionaria de Riemann-Liouville: (0D−p xf)(x) = 1 Γ(p)Zx 0 (x−t)p−1f(t)dt, Re(p)>0.(1.18) En los mismos a˜nos, Gr¨unwald (1867) [10] y Letnikov (1868) [11] afrontaron el problema de la diferenciaci´on no entera, generalizando la definici´on de derivada de orden entero, basada en el concepto de cociente incremental, utilizando la siguiente f´ormula: (Dαf)(x) = l´ım h→0 (∇hαf)(x) hα,(1.19) donde (∇hαf)(x) = Pn j=0(−1)jα jf(x−jh), con n= [α]. Con la llegada del siglo XX y los desarrollos del an´alisis matem´atico y de la teor´ıa de funciones, aparecieron nuevas formas ´ıntegro-diferenciales fraccionales. En 1917 Weyl [12] defini´o una integral fraccional adecuada a funciones peri´odicas: (xW−p ∞f)(x) = 1 Γ(p)Z∞ x (t−x)p−1f(t)dt, Re(p)>0.(1.20) En 1963 Riesz [13, 14] consider´o la integral fraccionaria de m´ultiples variables como un operador de tipo potencial. Uno de estos potenciales ha sido formalmente definido como la potencia (∆)α 2del Laplaciano. Por otro lado, el acad´emico y matem´atico Maravall [15, 16] con una serie de publicaciones que aparecieron a partir del a˜no 1959, muchas acerca de la ingenier´ıa de las oscilaciones, fue el primero en Espa˜na en mencionar unas particulares oscilaciones fraccionales asociadas a ecuaciones diferenciales no enteras. En 1967 [17] Caputo dio una nueva definici´on de la derivada fraccionaria que permit´ıa interpretar f´ısicamente las condiciones iniciales de los cada vez m´as numerosos problemas aplicados que se estaban estudiando. En el a˜nos 1974, tuvo lugar en Connecticut la primera conferencia internacional sobre el c´alculo fraccional, que sirvi´o de est´ımulo a numerosos reultados y aplicaciones. La segunda conferencia tuvo lugar en 1984 en Escocia, y la tercera en 1989 en Tokyo. 5 Actualmente es dif´ıcil encontrar un ´ambito de la ciencia o de la ingenier´ıa que no considere conceptos del c´alculo fraccional y cada a˜no tienen lugar varios acontecimientos que lo ponen de manifiesto. Desde el punto de vista de la matem´atica, es fascinante ver como el campo de las generalizaciones “fraccionales” es lugar de encuentro de varias disciplinas (v´ease por ejemplo, [18] y [19]): entre otras, la teor´ıa de las probabilidades y los procesos estoc´asticos, las ecuaciones integro-diferenciales, la teor´ıa de las transformadas, las funciones especiales y el an´alisis num´erico. De relevante importancia son las aplicaciones f´ısicas en la teor´ıa de la viscoelasticidad, en el estudio del fen´omeno de la difusi´on an´omala y en la teor´ıa electromagn´etica; pero podemos anticipar que tambi´en se va despertando un inter´es cada vez mayor en otros ´ambitos muy distintos cuales, por ejemplo, el de la teor´ıa de circuitos, de la biolog´ıa o de la f´ısica de la atm´osfera. Asimismo, entre los economistas se va consolidando el empleo de conceptos de c´alculo fraccional. Ya en 1996, en Journal of Econometrics apareci´o un n´umero especial en el que se recog´ıa una serie de art´ıculos sobre el tema “Fractional Differencing and Long Memory Processes”. Entre las variadas cuestiones abiertas sobre el c´alculo fraccional, ocupa un lugar prominente la de determinar si es posible encontrar una interpretaci´on geom´etrica para la derivada fraccionaria. Una posible soluci´on a este problema ha sido propuesta por I. Podlubny en un reciente art´ıculo titulado “Geometric and Physical Interpretation of Fractional Integration and Differentiation” [20] en el que la interpretaci´on f´ısica de estos operadores fraccionarios est´a basada en el empleo de dos tipos de tiempos, un tiempo c´osmico y un tiempo individual, y viene estrechamente relacionada con la teor´ıa de la relatividad. Algunas tendencias recientes pueden verse en [21] y en las referencias all´ı citadas. Por ´ultimo, decir que tambi´en se est´a tratando de buscar una relaci´on entre la derivada fraccionaria y la famosa hip´otesis de Riemann [22] (para m´as informaci´on ver [23]). Para obtener una informaci´on m´as detallada sobre la historia del c´alculo fraccional se puede consultar [24], donde tambi´en podemos encontrar dos p´osters, que contienen a los principales autores y libros relacionados con este tema. 6 Cap´ıtulo 2 Preliminares 2.1. Integrales y derivadas fraccionarias de RiemannLiouville De acuerdo con la aproximaci´on de Riemann-Liouville al c´alculo fraccional, la noci´on de integral fraccionaria de orden α(α > 0) es una consecuencia natural de la f´ormula conocida (que se suele atribuir a Cauchy), que reduce el c´alculo de la primitiva de orden nde una funci´on f(t) a una integral simple de tipo convolutivo. En nuestra notaci´on la f´ormula de Cauchy se lee: Inf(t) := 1 (n−1)! Zt 0 (t−s)n−1f(s)ds, t > 0, n ∈N. Definici´on 2.1.1. La integral fraccionaria de orden α > 0de una funci´on f∈L([a, b]),R) se define como: Iα a+f(t) = Zt a (t−s)α−1 Γ(α)f(s)ds, donde Γ es la funci´on gamma. Cuando a= 0, escribimos Iαf(t) = f(t)∗φα(t), donde φα(t) = tα−1 Γ(α)para t > 0 y φα(t) = 0 para t≤0, y φα→δ(t) si α→0+, donde δes la funci´on delta y Γ es la funci´on gamma Euler definida como: Γ(α) = Z∞ 0 tα−1e−tdt, α > 0. Tambi´en I0=I(operador identidad), i.e, I0f(t) = f(t). Adem´as, por Iαf(0+) representamos el l´ımite (si existe) de Iαf(t) para t→0+(este l´ımite puede ser infinito). De acuerdo con la bibliograf´ıa [25] las siguientes propiedades de la integral fraccionaria de Riemann-Liouville se verifican. Teorema 2.1.1. Sean f(t) y g(t) tales que Iαf(t),Iαg(t),Iα+βg(t)existen. Entonces, las siguientes propiedades b´asicas de la integral de Riemann-Liouville se cumplen: 7 con c0yc1constantes arbitrarias. En este caso xno puede ser continua cuando t→0+, ya que α < 2, salvo cuando c1= 0. En este caso, x(t) = c0tα−1yx(0) = 0, puesto que α > 1. De esto se deduce que la condici´on inicial (3.5) carece de sentido en el caso de la derivada de Riemann-Liouville ya que no podr´a ser verificada salvo si x0= 0. Por otra parte: ˙x(t) = D1x(t) = c0D1(tα−1) = c0 Γ(α) Γ(α−1) tα−2, que nunca ser´a continua en 0 salvo si c0= 0. En consecuencia, las condiciones iniciales cl´asicas (3.5) y (3.6) no son adecuadas en el caso de la derivada de Riemann-Liouville. Las pertinentes son: Dα−2x(0) = x0(3.15) y Dα−1x(0) = x1(3.16) N´otese que para α= 2 se obtienen (3.5) y (3.6) respectivamente. Para una descripci´on f´ısica de estas condiciones puede consultarse [29]. Vamos por tanto a resolver la ecuaci´on homog´enea (3.8) en el sentido de la derivada de Riemann-Liouville junto con las nuevas condiciones iniciales (3.15) y (3.16). La soluci´on general viene dada por (3.14): x(t) = c0tα−1+c1tα−2.(3.17) Ahora: Dα−1x(t) = c0Dα−1(tα−1) + c1Dα−1(tα−2) = c0Γ(α), ya que: Dα−1(tα−1) = Γ(α) por (2.2) y Dα−1(tα−2) = 0 por (2.8). La condici´on inicial (3.16) implica que x1= Γ(α)c0, o lo que es lo mismo c0= x1 Γ(α). An´alogamente: Dα−2x(t) = c0Dα−2(tα−1) + c1Dα−2(tα−2) = c0Γ(α)t+c1Γ(α−1), ya que usando (2.2) se tiene que: Dα−2(tα−1) = Γ(α)t, y Dα−2(tα−2) = Γ(α−1). De esta manera: Dα−2x(0) = c1Γ(α−1). 14 Si queremos que se verifique la condici´on (3.15) entonces: Dα−2x(0) = x0, entonces x0=c1Γ(α−1), esto es, c1=x0 Γ(α−1). Por tanto, la soluci´on de (3.8) con las condiciones iniciales (3.15)-(3.16) ser´a: x(t) = x1 Γ(α)tα−1+x0 Γ(α−1) tα−2.(3.18) Para resolver la ecuaci´on no homog´enea (3.9), usando nuevamente el lema 2.2.5, tenemos que su soluci´on general es: x(t) = c0tα−1+c1tα−2+Iαf(t).(3.19) Ahora: Dα−1x(t) = c0Γ(α) + Dα−1Iαf(t) = c0Γ(α) + I1f(t). Por tanto: Dα−1x(0) = c0Γ(α), lo que implica que: c0=x1 Γ(α). De la misma forma: Dα−2x(t) = c0Γ(α)t+c1Γ(α−1) + Dα−2Iαf(t) = c0Γ(α)t+c1Γ(α−1) + I2f(t). Dado que: Dα−2x(0) = c1Γ(α−1), se tiene que: c1=x0 Γ(α−1), y la soluci´on ser´a: x(t) = x1 Γ(α)tα−1+x0 Γ(α−1) tα−2+Iαf(t).(3.20) 15 Cap´ıtulo 4 An´alisis del movimiento de un proyectil en t´erminos del c´alculo fraccional 4.1. Introducci´on El movimiento de un proyectil es uno de los problemas m´as simples cuyos an´alogos son omnipresentes en la f´ısica y pr´acticamente no necesitan introducci´on. El objetivo de este cap´ıtulo es presentar una generalizaci´on del problema del proyectil cl´asico basado en los m´etodos del c´alculo fraccional, en lo que se denominar´a de ahora en adelante como el proyectil fraccional. El c´alculo fraccional es una extensi´on del c´alculo ordinario y, como ya se ha visto en la introducci´on, tiene una historia de unos 300 a˜nos, y representa una generalizaci´on de la diferenciaci´on ordinaria y la integraci´on en un orden arbitrario [25, 30, 31]. Durante las ´ultimas d´ecadas, el c´alculo fraccional empez´o a ser usado en varios campos, como por ejemplo: f´ısica, ingenier´ıa, biolog´ıa...y muchos resultados importantes fueron obtenidos; sin embargo, no fue usado para modelar el movimiento proyectil. En problemas aplicados se requiere el uso de definiciones de derivadas fraccionarias, permitiendo la utilizaci´on de condiciones iniciales fisicamente interpretables, como x(0),˙x(0), . . . , etc. La derivada fraccionaria de Caputo y la derivada de Riemann-Liouville satisfacen estas demandas. En este cap´ıtulo, aspiramos a extender la aplicaci´on del c´alculo fraccional al problema del proyectil, de ah´ı, las caracter´ısticas del movimiento proyectil como el tiempo de vuelo, rango, trayectoria y altura m´axima ser´an discutidas desde el punto de vista del c´alculo fraccionario. 4.2. Definiciones y preliminares 4.2.1. Derivada fraccionaria de Caputo La derivada fraccionaria de Caputo de una funci´on f se define como [31]: dαf dtα=1 Γ(n−α)Zt 0 (t−τ)n−α−1f(n)(τ)dτ, (n−1< α < n).(4.1) 16 La transformada de Laplace de una funci´on f(t) definida para todos los n´umeros positivos t≥0, es la funci´on F(s), definida por: F(s) = L{f(t)}=Z∞ 0 e−stf(t)dt, siempre que est´e bien definido. Si le aplicamos la transformada de Laplace a (4.1) nos d´a [31]: Lndα dxαf(x)o=sαF(s)− n−1 X m=0 sα−m−1f(m)(0), n −1< α < n. (4.2) 4.2.2. Derivada fraccionaria de Riemann-Liouville La derivada fraccionaria de Riemann-Liouville de una funci´on f viene dada por: dαf dtα=1 Γ(n−α)d dtnZt 0 (t−τ)−α+n−1f(τ)dτ, (n−1< α < n).(4.3) Si le aplicamos la transformada de Laplace nos d´a: Lndα dxαf(x)o=sαF(s)− n−1 X m=0 smf(α−m−1)(0), n −1< α < n. (4.4) 4.2.3. Funci´on Mittag-Leffler Una funci´on de dos par´ametros del tipo Mittag-Leffler se define por expansi´on de series de la siguiente forma [31]: Eα,β(z) = ∞ X m=0 zm Γ(αm +β),(α > 0, β > 0).(4.5) La transformada de Laplace para la funci´on Mittag-Leffler es muy ´util para resolver ecuaciones diferenciales fraccionarias: Z∞ 0 e−sttαm+β−1E(m) α,β (±atα)dt =m!sα−β (sα±a)m+1 ,(Re(s)> a 1 α).(4.6) Por tanto: L−1hm!sα−β (sα±a)m+1 i=tαm+β−1E(m) α,β (±atα).(4.7) 4.3. Formulaci´on del problema Un problema familiar de f´ısica b´asica consiste en determinar el movimiento de un objeto que se proyecta en un medio espacial y est´a sujeto a un campo gravitacional uniforme. En esta secci´on, consideramos la versi´on introductoria de este problema en la cual el medio no ofrece resistencia al movimiento del proyectil. El proyectil es tratado como una part´ıcula de masa m bajo una fuerza gravitacional uniforme y 17 no se considera la fuerza de rozamiento en esta secci´on. Bajo estas condiciones, las ecuaciones cl´asicas del movimiento de una part´ıcula en el plano x−yvienen dadas por: md2x dt2= 0, md2y dt2=−mg, (4.8) seg´un la cl´asica Ley de Newton, y con las condiciones iniciales: x(0) = 0,˙x(0) = v0cos φ, y(0) = 0,˙y(0) = v0sin φ. (4.9) esto es, el proyectil parte del reposo, con una fuerza inicial de m´odulo v0y un ´angulo φ. Ahora consideremos el problema de arriba en vista del enfoque fraccional. Antes de hacer esto, pensemos en la siguiente cuesti´on: ¿C´omo formular la aceleraci´on de una part´ıcula en el enfoque fraccional? Parece razonable considerar, en vez de la derivada segunda, una de orden fraccionario [32]. En vista de todo esto, podemos escribir las ecuaciones diferenciales fraccionarias para el problema del proyectil de la siguiente forma: dαx dtα= 0,dαy dtα=−g, donde 1< α ≤2.(4.10) donde para α= 2 tenemos el caso cl´asico (4.8). F´ısicamente, podemos interpretar las derivadas de x y de y respectivamente, como la aceleraci´on arbitraria del proyectil en las direcciones horizontales y verticales, lo cual se reduce a la aceleraci´on de la mec´anica cl´asica si α→2. Veamos ahora cuales son las soluciones seg´un usemos la derivada de Caputo [32] o la derivada de Riemann-Liouville. Para ello seguiremos dos caminos distintos y veremos que obtenemos los mismos resultados. Por un lado utilizaremos sus respectivas transformadas de Laplace (4.2) y (4.4); y por otra parte “integramos directamente” (utilizamos los resultados que obtuvimos en el cap´ıtulo 3). Realicemos primero los c´alculos mediante la segunda de estas v´ıas: La soluci´on general de (4.10) con la derivada de Caputo es: x(t) = c1+c2t, y(t) = −gtα Γ(α+ 1) +d1+d2t. Imponiendo las condiciones iniciales (4.9) se tiene: x(t) = v0cos φ t, y(t) = −gtα Γ(α+ 1) +v0sin φ t. (4.11) Sin embargo, para la derivada de Riemann-Liouville las condiciones iniciales correspondientes ser´an: Dα−2x(0) = 0, Dα−1x(0) = v0cos φ, Dα−2y(0) = 0, Dα−1y(0) = v0sin φ. (4.12) que para α= 2 coincide con las condiciones iniciales (4.9). 18 La soluci´on general de (4.10) para la derivada de Riemann-Liouville es: x(t) = c0tα−2+c1tα−1 y(t) = d0tα−2+d1tα−1−g Γ(α+ 1) tα Ahora bien: Dα−1x(t) = c0Dα−1(tα−2) + c1Dα−1(tα−1). Usando (2.8) se tiene que Dα−1(tα−2) = 0 y por (2.2), Dα−1(tα−1) = Γ(α). Por tanto Dα−1x(t) = c1Γ(α). Usando la condici´on inicial Dα−1x(0) = v0cos φ, se deduce que c1=v0cos φ Γ(α), de manera que: x(t) = c0tα−2+v0cos φ Γ(α)tα−1. Usando la otra condici´on inicial se puede obtener c0: Dα−2x(t) = c0Γ(α−1) + v0cos φ t, ya que Dα−2(tα−2) = Γ(α−1) y Dα−2(tα−1) = Γ(α)t. Por tanto Dα−2x(0) = 0 implica que c0= 0 y se tiene que: x(t) = v0cos φ Γ(α)tα−1.(4.13) De la misma forma: Dα−1y(t) = −g t +d1Γ(α) Dα−2y(t) = −1 2g t2+d0Γ(α−1) + v0sin φ t de donde se obtiene d1=v0sin φ Γ(α),d0= 0, es decir: y(t) = −g Γ(α+ 1) tα+v0sin φ Γ(α)tα−1.(4.14) Usando ahora las respectivas transformadas de Laplace veamos que llegamos a lo mismo: Para la derivada de Caputo se tiene que la soluci´on de (4.10) se puede obtener mediante la transformada de Laplace (4.2) como sigue: sαX(s)−sα−1x(0) −sα−2˙x(0) = 0, sαY(s)−sα−1y(0) −sα−2˙y(0) = −g s.(4.15) Usando las condiciones iniciales (4.9), se llega a que: X(s) = v0cos φ s2, Y (s) = −g sα+1 +v0sin φ s2.(4.16) 19 Por tanto: x(t) = v0cos φ t, y(t) = −gtα Γ(α+ 1) +v0sin φ t. (4.17) Para la derivada de Riemann-Liouville, se tiene que la soluci´on de (4.10) puede ser hallada usando la transformada de Laplace (4.4) de la siguiente manera: sαX(s)−Dα−1x(0) −sDα−2x(0) = 0, sαY(s)−Dα−1y(0) −sDα−2y(0) = −g s.(4.18) Utilizando las condiciones iniciales (4.12), obtenemos: X(s) = v0cos φ sα, Y (s) = −g sα+1 +v0sin φ sα.(4.19) De ah´ı se sigue que: x(t) = v0cos φtα−1 Γ(α), y(t) = −gtα Γ(α+ 1) +v0sin φtα−1 Γ(α).(4.20) 4.4. Caracter´ısticas del movimiento de un proyectil en el c´alculo fraccional Tres cantidades son particularmente relevantes para identificar, distinguir y analizar trayectorias: rango, altura m´axima y tiempo de vuelo. El rango es la distancia horizontal recorrida por el proyectil desde que se lanza hasta que aterriza. La altura m´axima es la altura en el punto m´as alto de la trayectoria. El tiempo de vuelo es la cantidad de tiempo que el proyectil est´a en el aire desde que se lanza hasta que aterriza. Obtengamos cada una de estas cantidades usando la derivada de Caputo [32] y la derivada de Riemann-Liouville. 4.4.1. Trayectoria Caputo Eliminando t de (4.17), obtenemos la trayectoria del proyectil fraccional en un αarbitrario: y= tan φ x −g xα Γ(α+ 1)(v0cos φ)α.(4.21) Si α→2, (4.21) nos da la ecuaci´on cl´asica de la trayectoria: y= tan φ x −g 2v2 0 sec2φ x2.(4.22) 20 Riemann-Liouville Eliminando t de (4.20), se obtiene ahora la trayectoria del proyectil fraccional para un αarbitrario: y= tan φ x −g Γ(α+ 1)xΓ(α) v0cos φα α−1.(4.23) Nuevamente si α→2, a partir de (4.23) conseguimos la ecuaci´on cl´asica de la trayectoria: y= tan φ x −g 2v2 0 sec2φ x2.(4.24) 21 4.4.2. Rango El rango proyectil fraccional se define como el valor de x en el punto de impacto. Caputo As´ı, y= 0 en x=RF. De ah´ı, RFviene dado por: RF= (v0)α α−1hΓ(α+ 1) gi1 α−1(sin φ)1 α−1cos φ. (4.25) Tambi´en si α→2, (4.25) nos lleva al rango del proyectil cl´asico: RC=2v2 0 gsin φcos φ. (4.26) Gr´afica del rango para la derivada de Caputo en funci´on del orden de derivaci´on αy del ´angulo φ(v0= 2): 1.6 1.8 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 22 Riemann-Liouville Haciendo nuevamente y= 0 en x=RF, se obtiene que en este caso, RFviene dado por: RF=v0cos φ Γ(α)α v0sin φ gα−1(4.27) Si α→2, a partir de (4.27) obtenemos el rango del proyectil cl´asico: RC=2v2 0 gsin φcos φ. (4.28) Gr´afica del rango para la derivada de Riemann-Liouville en funci´on del orden de derivaci´on αy del ´angulo φ(v0= 2): 1.6 1.8 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.2 0.4 0.6 23 Rango de proyectil m´aximo con la derivada de Caputo (v0= 2): 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 Para α= 2, se obtiene el valor 8 9,8sin(π 4) cos(π 4) = 0,408163 . . . 30 Teorema 4.7.2. El ´angulo de proyecci´on ´optimo φmax y el rango de proyectil m´aximo RF−max vienen dados por: φmax = tan−1(√α−1); π 4≤φmax <π 2, y RF−max =v0 Γ(α)αΓ(α+ 1) gα−11 √αα−1 αα−1 2. Demostraci´on. Primero tenemos que maximizar la funci´on RF, y para ello una condici´on necesaria es hacer dRF dφ = 0, d´onde RFla obtuvimos en la ecuaci´on (4.27). Por tanto, lo que obtenemos es: dRF dφ =v0 Γ(α)αΓ(α+ 1) gα−1h(α−1)(sin φ)α−2(cos φ)2−(sin φ)αi. El siguiente paso, es resolver la ecuaci´on dRF dφ = 0 para φ=φmax, y tras una serie de sencillos c´alculos llegamos a que: φmax = tan−1(√α−1). Por otra parte, 1 < α ≤2 implica que 1 ≤1 √α−1<∞, i.e., π 4≤φmax <π 2. Cuando hacemos tender en la ecuaci´on de arriba α→2, obtenemos φmax =π 4, que es el ´angulo de proyecci´on ´optimo en el caso cl´asico. Nos falta ahora hallar el valor del rango de proyectil m´aximo RF−max, y para eso sustituimos el φmax que acabamos de hallar, en la ecuaci´on (4.27). De nuevo como el teorema anterior el uso de las siguientes funciones trigonom´etricas facilitar´a mucho los c´alculos:    sin φ=tan φ √1+(tan φ)2 cos φ=1 √1+(tan φ)2 La f´ormula para el rango de proyectil m´aximo, ser´a pues la siguiente: RF−max =v0 Γ(α)αΓ(α+ 1) gα−11 √αα−1 αα−1 2. Se puede obtener a partir de ella la expresi´on del rango cl´asico m´aximo RC−max = v2 0 gsi α→2.  31 ´ Angulo de rango m´aximo con la derivada de Riemann-liouville: 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 0.65 0.70 0.75 Nuevamente, para α= 2 se obtiene el ´angulo π 4. 32 Rango m´aximo con la derivada de Riemann-Liouville (v0= 2): 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 33 Comparaci´on de ambos ´angulos: 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 34 Comparaci´on de ambos rangos m´aximos (v0= 2): 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 35 Bibliograf´ıa [1] Lacroix S.F., Trait´e du calcul diff´erentiel et du calcul int´egral. 3 ed., Par´ıs: Courcier, 1820. [2] Abel N.H., Solution de quelques probl`emes `a l´aide d´ıntegrales d´efinies, Gesammelte mathematische Werke, Leipzig: Teubner, 1, 1881, 11-27. (Publicado por primera vez en Mag. Naturvidenkaberne, Aurgang, 1 (2), Christiania, 1823). [3] Abel N.H., Aufl¨osung einer mechanischen Aufgabe, J. f¨ur reine und angew. Math., 1, 1826, 153-157. [4] Simmons G.F., Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas hist´oricas. 2a ed. 423. [5] Liouville J., M´emoire sur quelques questions de g´eom´etrie ete de m´ecanique, et sur un nouveau genre de calcul pour r´esoudre ces questions, J. l´ Ecole Roy. Polyt´echn.,13, Sect. 21, 1832, 1-69. [6] Liouville J., M´emoire sur le calcul desd diff´erentielles `a indices quelconques, Ibid., 1832, 71-162. [7] Riemann B., Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation, Gesammelte Mathematische Werke und Wissenschaftlicher, Leipzig: Teubner, 1876, 331-344. [8] Sonine N.Ya., Report on differentiation with an arbitrary index (Russian), Proc. Second Congress of Russian Naturalists, 2, 1870, 18-21. [9] Laurent H., Sur le calcul des d´eriv´ees a indiques quelconques, Nouv. Ann. Math., 3 (3), 1884, 240-252. [10] Gr¨unwald A.K., ¨ Uber “begrenzte” Derivationen und deren Anwendung, Zeit. angew. Math. Physik, 12, 1867, 441-480. [11] Letnikov A.V., Theory of differentiation with an arbitrary index, Mat. Sb., 3, 1868, 1-66. [12] Weyl H., Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung. Vierteljahresschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Z¨urich, 62 (1-2), 1917, 296-302. 36 [13] Riesz M., Potentiels de divers ordres et leurs fonctions de Green, C.R. Congr´es Intern. Math., Oslo, 2, 1936, 62-63. [14] Riesz M., L´ınt´egrales de Riemann-Liouville et solution invariantive du probl´eme de Cauchy pour l´equation des ondes, Ibid, 1936. 44-45. [15] Maravall D., Ingenier´ıa de las Oscilaciones, Editorial Dossat, 1959. [16] Maravall D., Ecuaciones diferenciales de orden no entero y oscilaciones fraccionarias. Rev. Real Academia de Ciencias Madrid, 65, 1971, 245-258. [17] Caputo M., Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent, Part II., Geophys. J. R. Astr. Soc., 13 (1967), 529-539. [18] V´azquez L., Una Panor´amica del C´alculo Fraccionario y sus Aplicaciones, Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, F´ısicas y Naturales, 98, 2004, 17-25. [19] S.J. ´ Alvarez y J.M. Rey (Eds.), Libro-Homenaje a Jos´e Mar´ıa Fraile Pel´aez, Universidad Complutense de Madrid. ´ Area de Ciencias Exactas y de la Naturaleza, 2008, 192 p., ISBN: 978-84-691-7747-1 [20] Podlubny I., Geometric and Physical Interpretation of Fractional Integration and Differentiation, Fractional Differentiation And its Applications, A. Le Mahaute, J.A. Tenreiro Machado, J.C. Trigeassou and J. Sabatier (Eds), Ubooks Verlag, Neus¨ab, 2006, 3-18. [21] B. Ahmad, J.J. Nieto, A. Alsaedi, M. El-Shahed A study of nonlinear Langevin equation involving two fractional orders in different intervals Original Research Article Nonlinear Analysis: Real World Applications 13 (2012), 599-606. [22] http://www.claymath.org/millennium/ (´ultimo acceso 25 de junio 2012) [23] A. Le M´ehaut´e, A. El Kaabouchi, L. Nivanen, Riemmans´s conjecture and a fractional derivative, Computers and Mathematics with Applications 59(2010) 1610-1613. [24] http://www.math.bas.bg/ fcaa (´ultimo acceso 25 de junio de 2012) [25] A. Kilbas, H.M. Srivastava and J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, 204, Elsevier Science B. V. Amsterdan, 2006. [26] M. Caputo, Elasticit`a e Dissipazione, Zanichelli, Bologna, 1969. [27] M. Caputo and F. Mainardi, Linear models of dissipation in anelastic solids, Riv. Nuovo Cimento (Ser. II.), 1 (1971), 161-198. [28] F. Mainardi, Fractional calculus: Some basic problems in continuum and statistical mechanis, in “ Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics” (A. Carpinteri and F. Mainardi, Eds), pp. 291-348, Springer-Verlag, Wien, 1997. 37 [29] N. Heymans, I. Podlubny, Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives. Rheol. Acta 45 (2006), 765-771 [30] S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and DerivativesTheory and Applications, Gordon and Breach, Linghome, PA, 1993. [31] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, CA, 1999. [32] Abdelhalin Ebaid, Analysis of projectile motion view of fractional calculus, Applied Mathematical Modelling 35 (2011) 1231-1239. [33] Jeffery C. Hayen, Projectile motion in a resistant medium. Part 2: Approximate solution and estimates, Int. J. Non-Linear Mech. 38(2003) 371-380. 38