Forma de Jordan real. Clasificación de transformaciones ortogonales

FORMA DE JORDAN REAL. CLASIFICACIÓN DE TRANSFORMACIONES ORTOGONALES PAULA FERNÁNDEZ OTERO Y MARÍA JESÚS VALE GONSALVES 1. Introducción Karl Weierstrass (1815-1897) en 1858 determina las clases de semejanza de todas las matrices complejas. Dos años mas tarde, Camille Jordan (1838-1922) en su obra “Traité des substitutions” introduce las formas canónicas que hoy en día llevan su nombre para matrices sobre un cuerpo finito y presenta un proceso para reducir matrices a su forma canónica, muy parecido al actual. En este trabajo se prueba que si Kes un cuerpo y A∈Mn(K)es una matriz cuyo polinomio característico tiene sus nraíces en K, entonces Aes semejante a una matriz de Jordan. Como caso particular se obtiene el teorema de diagonalización de matrices que afirma que una matriz cuadrada n×nes diagonalizable si, y solo si, su polinomio característico tiene sus nraíces en Ky la multiplicidad de cada raíz coincide con la dimensión del subespacio propio asociado a ese autovalor. Si A∈Mn(R)es una matriz cuyo polinomio característico no tiene todas sus raíces reales, se prueba que Aes semejante a una matriz denominada forma de Jordan real de A que coincide con la forma de Jordan de Asi todos los autovalores de Ason reales. Para probar este resultado se introduce el concepto de complejificación de un espacio vectorial real Vy de un endomorfismo de Vy se estudian las propiedades de los autovalores y autovectores del endomorfismo complejificado. Se demuestra además, que el complejificado de un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial hermítico y que la complejificada de una transformación ortogonal es una transformación unitaria. Teniendo en cuenta que toda transformación unitaria es diagonalizable y que se puede encontrar una base ortonormal del espacio formada por vectores propios de la transformación, se calcula la forma de Jordan real de una transformación ortogonal y se obtiene el teorema de clasificación de transformaciones ortogonales. Como consecuencia, se describen las transformaciones ortogonales en espacios vectoriales euclídeos de dimensiones 2,3y4. 2. Forma de Jordan Sea Kun cuerpo y Vun espacio vectorial sobre Kde dimensión n≥1. Sea Mn(K)el conjunto de matrices n×nsobre K. Definición 2.1. Sea Vun espacio vectorial sobre K. Una combinación lineal de los elementos v1, . . . , vr∈V es una suma r X i=1 λivi, λi∈K, i = 1, . . . , r. Si Ses un subconjunto finito de V, se llama subespacio generado por S, y se denota por hSi, al conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementos de S. Un subconjunto ordenado B={v1, . . . , vn}de Ves una base de Vsi el conjunto {v1, . . . , vn}genera V; en particular, los vectores v1, . . . , vnson linealmente independientes. Si Ses un subconjunto de V, entonces hSies el menor subespacio de Vque contiene a S. Definición 2.2. Sean B={v1, . . . , vn}yB0={v0 1, . . . , v0 n}bases de un espacio vectorial Vy sea v0 i= n X j=1 aji vj, aji ∈K, i = 1, . . . , n. 1 La matriz idB0B=   a11 . . . a1n . . ..... . . an1. . . ann   = (aij)∈Mn(K) se llama matriz de cambio de base de B0aB. Definición 2.3. Un endomorfismo fde Ves una aplicación lineal f:V→V. Denotaremos por EndK(V)el conjunto de endomorfismos de V. Definición 2.4. Sea Vun espacio vectorial sobre K,B={v1, . . . , vn}una base de V. Si fes un endomorfismo de Vy f(vi) = n X j=1 aji vj, aji ∈K, i = 1, . . . , n, la matriz fB=   a11 . . . a1n . . ..... . . an1. . . ann   = (aij)∈Mn(K) se llama matriz asociada a frespecto a la base B. Definición 2.5. Se dice que las matrices A, B ∈Mn(K)son semejantes si existe una matriz regular P∈Mn(K) tal que P−1AP =B. La relación “ser semejantes” en el conjunto de matrices n×nsobre Kes una relación de equivalencia. Ejemplo 2.6. Si f:V→Ves una aplicación lineal y ByB0son bases de V, entonces las matrices fByfB0 son semejantes. En efecto, fB0=idBB0fBidB0B. Definición 2.7. Sea fun endomorfismo de V. Se dice que un escalar λ∈Kes un autovalor ovalor propio de fsi existe un vector v∈V,v6= 0, tal que f(v) = λ v. Un vector v∈V,v6= 0, tal que f(v) = λ v se llama autovector ovector propio de fasociado a λ. Definición 2.8. Se llama polinomio característico de Aal polinomio PA(X) = det(A−XI). Proposición 2.9. Matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. Demostración. Si A, B ∈Mn(K)son semejantes, entonces existe una matriz regular P∈Mn(K)tal que P−1AP =B. Se tiene PB(X) = det(B−XI) = det(P−1AP −XI) = det(P−1AP −XP−1IP) = det(P−1AP −P−1(XI)P) = det(P−1(A−XI)P) = det(P−1) det(A−XI) det(P) = det(A−XI) = PA(X). Definición 2.10. Si fes un endomorfismo de V, se llama polinomio característico de fal polinomio Pf(X) = PfB(X),siendo fBla matriz asociada a frespecto a una base Bde V. Observación 2.11.El polinomio característico de fno depende de la base de Vconsiderada. En efecto, si ByB0 son bases de V, entonces las matrices fByfB0son semejantes. Por la proposición 2.9, PfB(X) = PfB0(X). Proposición 2.12. Si fes un endomorfismo de V, entonces λes un autovalor de fsi, y solo si, λes una raiz del polinomio característico de f. 2 Demostración. Si λes un autovalor de fexiste v∈V,v6= 0, tal que f(v) = λv, es decir (f−λid)(v)=0. Sea B={v1, . . . , vn}una base de Vyv=x1v1+. . . +xnvn. Se tiene λautovalor de f⇐⇒ (fB−λI)   x1 . . . xn   =   0 . . . 0   ⇐⇒ PfB(λ) = det(fB−λI)=0. Definición 2.13. Se dice que la matriz A∈Mn(K)es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, es decir si existe una matriz regular P∈Mn(K)tal que P−1A P =     λ10. . . 0 0λ2. . . 0 . . .. . ..... . . 0 0 . . . λn      . Se dice que un endomorfismo fde un espacio vectorial Ves diagonalizable si existe una base Bde Vtal que la matriz fBasociada a frespecto a Bes una matriz diagonal, equivalentemente, si existe una base de Vformada por vectores propios de f. Definición 2.14. Se llama bloque elemental de Jordan de orden rasociado al escalar λ∈Ka la siguiente matriz triangular superior: Jr λ=       λ1 0 . . . 0 0λ1. . . 0 0 0 λ . . . 0 . . .. . .. . ..... . . 0 0 0 . . . λ        . Ejemplo 2.15. J1 λ= ( λ), J2 λ=λ1 0λ, J3 λ=  λ1 0 0λ1 0 0 λ . Definición 2.16. Una matriz de Jordan Jes una matriz triangular superior de la forma:      Jr1 λ10. . . 0 0Jr2 λ2. . . 0 . . .. . ..... . . 0 0 . . . Jrs λs      , donde las matrices Jri λison bloques elementales de Jordan de orden ri, para i= 1, . . . , s. Si fes un endomorfismo de VyBes una base de Vrespecto a la cual la matriz asociada a fes una matriz de Jordan J, se dice que B es una base de Jordan para fy que Jes una forma de Jordan para f. Lema 2.17. Sea fun endomorfismo de V. La aplicación Φf:K[X]→EndK(V)dada por Φf(amXm+. . . +a0) = amfm+. . . +a01V, es un homomorfismo de K-álgebras, es decir, es una aplicación lineal y verifica que Φf(q(X)h(X)) = Φf(q(X))◦ Φf((h(X)), para cualesquiera q(X), h(X)∈K[X]. Denotaremos Φf(q(X)) por q(f). Demostración. La demostración es inmediata. Obsérvese que de la conmutatividad del producto de polinomios de K[X]se deduce que dos endomorfismos de la imagen de Φfsiempre conmutan, es decir q(f)◦h(f) = h(f)◦q(f). 3 Lema 2.18. Sea fun endomorfismo de Vyλun autovalor de f. (1) Se tiene la siguiente cadena creciente de subespacios de V: {0} ⊂ Nuc(f−λidV)⊂Nuc(f−λ idV)2⊂. . . ⊂Nuc(f−λidV)j⊂. . . (2) Existe q∈Ntal que Nuc(f−λidV)q= Nuc(f−λidV)m, para todo m>q. Demostración. (2) Dado que Vtiene dimensión finita, existe q∈Ntal que Nuc(f−λidV)q= Nuc(f−λ idV)q+1. Veamos que Nuc(f−λidV)q= Nuc(f−λ idV)m, para todo m>q. Pongamos m=q+r,r≥1. Razonemos por inducción sobre r. Para r= 1 el resultado es cierto. Supongamos el resultado cierto para r−1≥1y veamos que es cierto para r. Si v∈Nuc(f−λidV)q+r, entonces (f−λidV)q+r(v)=0, de donde se sigue que (f−λidV)q+r−1(f−λidV)(v) = 0, es decir (f−λidV)(v)∈Nuc(f−λidV)q+r−1. Por hipótesis de inducción, Nuc(f−λidV)q+r−1= Nuc(f−λidV)q. Así, v∈Nuc(f−λidV)q+1 = Nuc(f−λidV)q. Lema 2.19. Sea fun endomorfismo de Vyλun autovalor de f. Sea qel menor entero positivo tal que Nuc(f−λidV)q= Nuc(f−λidV)m, para todo m>q. Consideremos la cadena creciente de subespacios de V {0}(Nuc(f−λidV)(Nuc(f−λidV)2(. . . (Nuc(f−λidV)q. Sea Fi,2≤i≤q, un subespacio suplementario de Nuc(f−λidV)i−1en Nuc(f−λidV)i, Nuc(f−λidV)i=Fi⊕Nuc(f−λidV)i−1 y sea Bi={v1, . . . , vr}, una base de Fi. Se tiene (1) El conjunto (f−λidV)(Bi) = {(f−λidV)(v1),...,(f−λidV)(vr)} ⊂ Nuc(f−λidV)i−1 es linealmente independiente. (2) h(f−λidV)(Bi)i ∩Nuc(f−λidV)i−2={0}, para 3≤i≤q. Demostración. (1) Supongamos que r X j=1 aj(f−λidV)(vj)=0, aj∈K, j = 1, . . . , r, equivalentemente, (f−λidV) ( r X j=1 ajvj) = 0. Entonces, para i≥2 r X j=1 ajvj∈Nuc(f−λidV)∩Fi⊂Nuc(f−λidV)i−1∩Fi={0}, y por lo tanto aj= 0 para j= 1, . . . , r. (2) Sea v= r X j=1 aj(f−λidV)(vj)∈Nuc(f−λidV)i−2. Se tiene (f−λidV)i−2( r X j=1 aj(f−λidV)(vj)) = 0. 4 Así, r X j=1 ajvj∈Nuc(f−λidV)i−1∩Fi={0}, de donde se sigue que aj= 0, para j= 1, . . . , r, y por tanto v= 0. Definición 2.20. Sean U1, . . . , Ussubespacios de V. Se dice que la suma U1+. . . +Uses directa y se denota por U1⊕. . . ⊕Ussi verifica Ui∩(X j6=i Uj) = {0}, i = 1, .. . , s. Lema 2.21. Sean U1, . . . , Ussubespacios de Vtales que U1+. . . +Us=U1⊕. . . ⊕Us. Si Bies una base de Ui,i= 1, . . . , s, entonces Ss i=1 Bies una base de U1+. . . +Us. Demostración. Pongamos Bi={vi1, . . . , viri},i= 1, . . . , s. El conjunto Ss i=1 Bies un conjunto de generadores de U1+. . . +Us. Veamos que es linealmente independiente. Pongamos, r1 X j=1 a1jv1j+. . . + rs X j=1 asjvsj = 0. luego ri X j=1 aijvij =Ui∩(X j6=i Uj), i = 1, . . . , s. Puesto que la suma es directa ri X j=1 aijvij = 0, i = 1, . . . , s, y por ser Bi,i= 1, . . . , s, linealmente independiente, aij = 0, j = 1, . . . , ri. Así, aij = 0, para todo j= 1, . . . , ri,i= 1, . . . , s. Lema 2.22. Sea fun endomorfismo de Vyλun autovalor de f. Se tiene f(Nuc(f−λidV)r)⊂Nuc(f−λidV)r, r ≥1. Demostración. (1) Si v∈Nuc(f−λidV)r, entonces (f−λidV)rf(v) = f(f−λidV)r(v) = 0. Sea qel menor entero positivo tal que Nuc(f−λidV)q= Nuc(f−λidV)m, para todo m>q. Denotaremos por fλel endomorfismo restricción de faNuc(f−λidV)q fλ: Nuc(f−λidV)q−→ Nuc(f−λidV)q v7−→ f(v) Teorema 2.23. Sea fun endomorfismo de Vyλun autovalor de f. Sea qel menor entero positivo tal que Nuc(f−λidV)q= Nuc(f−λidV)m, para todo m>q. Existe una base Bλde Nuc(f−λidV)qtal que la matriz asociada a fλrespecto a Bλes una matriz de Jordan. Demostración. Consideremos la cadena de subespacios de V {0}(Nuc(f−λidV)(Nuc(f−λidV)2(. . . (Nuc(f−λidV)q. Sea Fqun subespacio suplementario de Nuc(f−λidV)q−1en Nuc(f−λidV)qy sea Bq={vq1, . . . , vq mq}una base de Fq. Pongamos g=f−λidV. Por el lema 2.19, el conjunto g(Bq)es un subconjunto de Nuc(f−λidV)q−1 5 linealmente independiente y hg(Bq)i ∩ Nuc(f−λidV)q−2= 0. Completamos g(Bq)a una base Bq−1de un subespacio Fq−1suplementario de Nuc(f−λidV)q−2en Nuc(f−λidV)q−1. Se tiene Bq−1={vq−1 1, . . . , vq−1mq−1}, g(vq i) = vq−1i, i = 1, . . . , mq. Siguiendo así, sucesivamente se obtiene una base B2={v2 1, . . . , v2m2}de un subespacio F2, suplementario de Nuc(f−λidV)en Nuc(f−λidV)2, y completando g(B2)obtenemos una base B1de Nuc(f−λidV)tal que B1={v1 1, . . . , v1m1}, g(v2i) = v1i, i = 1, . . . , m2. Se tiene: Nuc(f−λidV)q= Nuc(f−λidV)q−1⊕Fq= Nuc(f−λidV)q−2⊕Fq−1⊕Fq =. . . = Nuc(f−λidV)⊕F2⊕. . . ⊕Fq. Por el lema 2.21, los m1+. . . +mqvectores así construidos forman una base de Nuc(f−λidV)q. El cuadro 1.1 esquematiza la construcción de esta base de Nuc(f−λidV)q. Bpvp1. . . vp mp Bp−1g(vp1). . . g(vp mp)vp−1mp+1 . . . vp−1mp−1 . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . B2gp−2(vp1). . . gp−2(vp mp)gp−3(vp−1mp+1). . . gp−3(vp−1mp−1). . . v2m3+1 . . . v2m2 B1gp−1(vp1). . . gp−1(vp mp)gp−2(vp−1mp+1). . . gp−2(vp−1mp−1). . . g(v2m3+1). . . g(v2m2)v1m2+1 . . . v1m1 Cuadro 1: Base de Nuc(f−λ1V)p Escribiendo estos vectores por columnas y empezando por la última fila del cuadro 1.1 obtenemos la siguiente base de Nuc(f−λidV)q: Bλ={gq−1(vq1), . . . , g(vq1), vq1}[mq . . . [{gq−1(vq mq), . . . , g(vq mq), vq mq} [{gq−2(vq−1mq+1), . . . , vq−1mq+1}[. . . [{gq−2(vq−1mq−1), . . . , vq−1mq−1}[. . . [{v1m2+1, . . . , v1m1}. Denotemos por Jλla matriz asociada a fλrespecto a Bλ. Las mqprimeras columnas del cuadro 1.1 dan cada una un bloque elemental de Jordan de orden q. En efecto, para j= 1, . . . , mq, se tiene f(gq−1(vqj)) = (f−λidV)(gq−1(vqj )) + λgq−1(vqj) = λgq−1(vqj ), f(gq−2(vqj)) = (f−λidV)(gq−2(vqj )) + λgq−2(vqj) = gq−1(vqj ) + λgq−2(vqj), . . . f(vqj)=(f−λidV)(vqj ) + λvqj =g(vqj ) + λvqj. Escribiendo estos vectores por columnas y empezando por la última fila del cuadro 1.1 obtenemos la siguiente base de Nuc(f−λidV)q: Bλ={gq−1(vq1), . . . , g(vq1), vq1}[mq . . . [{gq−1(vq mq), . . . , g(vq mq), vq mq} [{gq−2(vq−1mq+1), . . . , vq−1mq+1}[. . . [{gq−2(vq−1mq−1), . . . , vq−1mq−1}[. . . [{v1m2+1, . . . , v1m1}. 6 Denotemos por Jλla matriz asociada a fλrespecto a Bλ. Las mqprimeras columnas del cuadro 1.1 dan cada una un bloque elemental de Jordan de orden q. En efecto, para j= 1, . . . , mq, se tiene f(gq−1(vqj)) = (f−λidV)(gq−1(vqj )) + λgq−1(vqj) = λgq−1(vqj ), f(gq−2(vqj)) = (f−λidV)(gq−2(vqj )) + λgq−2(vqj) = gq−1(vqj ) + λgq−2(vqj), . . . f(vqj)=(f−λidV)(vqj ) + λvqj =g(vqj ) + λvqj. Por tanto hay mqbloques elementales de Jordan de orden qasociados a λcolocados en la diagonal de Jλ. Análogamente, dado que cada una de las siguientes mq−1−mqcolumnas define un bloque elemental de Jordan de orden q−1, tenemos mq−1−mqbloques elementales de Jordan de orden q−1en la diagonal de Jλ. Siguiendo este proceso llegamos a las m1−m2últimas columnas del cuadro 1.1 que proporcionan m1−m2 bloques elementales de Jordan de orden 1en la diagonal de Jλ. La matriz Jλes una matriz de Jordan y dim Nuc(f−λidV) = m1es el número total de bloques elementales de Jordan que hay en Jλ. Definición 2.24. Sea fun endomorfismo de Vyλun autovalor de f. Se dice que λes un autovalor de multiplicidad rsi λes una raíz de Pf(X)de multiplicidad r. Proposición 2.25. Sea fun endomorfismo de Vyλun autovalor de fde multiplicidad r. Si qes el menor entero positivo tal que Nuc(f−λidV)q= Nuc(f−λidV)m, para todo m>q, entonces dim Nuc(f−λidV)q=r. Demostración. Se tiene Pf(X)=(−1)nc(X) (X−λ)r, c(λ)6= 0. Supongamos que dim Nuc(f−λidV)q=s. Queremos probar que s=r. Si B0={v1, . . . , vs}es una base de Nuc(f−λidV)qyB={v1, . . . , vn}es una base de V, entonces fB=           a11 . . . a1sa1s+1 . . . a1n . . ..... . .. . .. . . as1. . . ass ass+1 . . . asn 0. . . 0as+1s+1 . . . as+1n . . .. . .. . ..... . . 0. . . 0ans+1 . . . ann           ,(fλ)B0=   a11 . . . a1s . . ..... . . as1. . . ass   . Pongamos B00 ={vs+1, . . . , vn},L=hB00iy consideremos el endomorfismo h:L→Lcuya matriz asociada respecto a la base B00 es la matriz hB00 =   as+1s+1 . . . as+1n . . ..... . . ans+1 . . . ann   . Por la demostración del teorema 2.23, Pfλ(X)=(−1)s(X−λ)s. Luego Pf(X) = det(fB−XI) = Pfλ(X)Ph(X)=(−1)s(X−λ)sPh(X). Veamos que Ph(λ)6= 0. Supongamos que Ph(λ)=0, es decir, que λes un autovalor de h. Existe un vector v= n X j=s+1 µjvj∈L, v 6= 0, 7 tal que h(v) = λ v. Se tiene (f−λidV)(v) =f(v)−λ v =f(v)−h(v) = = n X j=s+1 µjf(vj)− n X j=s+1 µjh(vj) = n X j=s+1 µj( n X k=1 akjvk)− n X j=s+1 µj( n X k=s+1 akjvk) = n X k=1 ( n X j=s+1 µjakj)vk− n X k=s+1 ( n X j=s+1 µjakj)vk = s X k=1 ( n X j=s+1 µjakj)vk∈Nuc(f−λidV)q. Así, v∈Nuc(f−λidV)q+1 = Nuc(f−λidV)q. Por tanto v∈Nuc(f−λidV)q∩L={0}, lo cual es una contradicción. Corolario 2.26. Sea fun endomorfismo de Vyλun autovalor de fde multiplicidad r. Se tiene que dim Nuc(f−λidV)r=r. Demostración. Sea qel menor entero positivo tal que Nuc(f−λidV)q= Nuc(f−λidV)m, para todo m>q. Dado que dim Nuc(f−λidV)q=r, se tiene que q≤ry por tanto Nuc(f−λidV)r= Nuc(f−λidV)q. Teorema 2.27. (Teorema de Cayley-Hamilton[2], [5]) Sea A∈Mn(K), y sea PA(X) = (−1)nXn+an−1Xn−1+ . . . +a0su polinomio característico. Se tiene que PA(A)≡(−1)nAn+an−1An−1+. . . +a0I= 0. Corolario 2.28. Sea fun endomorfismo de Vy sea Pf(X)=(−1)nXn+an−1Xn−1+. . . +a0su polinomio característico. Se tiene que Pf(f)=(−1)nfn+an−1fn−1+. . . +a0idV= 0. Demostración. Se sigue del lema 2.17. Lema 2.29. ([4, Lema 6.7.2]) Sea fun endomorfismo de V. Si p1(X), . . . , ps(X)∈K[X]son tales que m.c.d.(pj(X), pk(X)) = 1, para j6=k, entonces Nuc pj(f)∩(X k6=j Nuc pk(f)) = {0}, j = 1, . . . , s. Demostración. Se tiene X k6=j Nuc pk(f)⊂Nuc (Y k6=j pk(f)).(1) Dado que los polinomios pj(X)yQk6=jpk(X)son primos entre sí, por el teorema de Bezout, existen polinomios a(X), b(X)∈K[X]tales que a(X)pj(X) + b(X)Y k6=j pk(X)=1. Por tanto a(f)pj(f) + b(f)Y k6=j pk(f) = idV. Si v∈Nuc pj(f)∩Nuc (Qk6=jpk(f)), entonces v=a(f)pj(f)(v) + b(f)Y k6=j pk(f)(v) = 0 + 0 = 0. Luego Nuc pj(f)∩Nuc(Qk6=jpk(f)) = {0}y el resultado se sigue de (1). 8 Proposición 2.30. Sea fun endomorfismo de V. Si Pf(X) = p1(X). . . ps(X)ym.c.d.(pi(X), pj(X)) = 1, para i6=j, entonces V= Nuc p1(f)M···MNuc ps(f). Demostración. Si gi(X) = p1(X). . . pi−1(X)pi+1(X). . . ps(X), para i= 1, . . . , s, entonces m.c.d.(g1(X), . . . , gs(X)) = 1, y por el teorema de Bezout existen polinomios hi(X)∈K[X], para i= 1, . . . , s, tales que s X i=1 gi(X)hi(X)=1. Por el lema 2.17 se tiene s X i=1 gi(f)◦hi(f) = idV, equivalentemente, s X i=1 (gi(f)◦hi(f))(v) = v, para todo v∈V. Por el teorema de Cayley-Hamilton se tiene que Pf(f) = pi(f)◦gi(f)=0, para i= 1, . . . , s. Por tanto, pi(f)◦gi(f)◦hi(f) = 0, para i= 1, . . . , s y así, (gi(f)◦hi(f))(v)∈Nuc pi(f), para todo v∈Vy para i= 1, . . . , s. Así, V= Nuc p1(f) + ···+ Nuc ps(f). La suma es directa por el lema 2.29. Proposición 2.31. Sea fun endomorfismo de VyPf(X)=(−1)n(X−λ1)r1. . . (X−λs)rs,λi6=λj, si i6=j. Se tiene V= Nuc(f−λ1idV)r1M···MNuc(f−λsidV)rs. Demostración. El resultado se sigue de la proposición anterior. Teorema 2.32. (Teorema de Jordan) Sea fun endomorfismo de V. Si Pf(X) = (−1)n(X−λ1)r1. . . (X−λs)rs, donde λi6=λj, para todo i6=j, entonces existe una base BJde Vtal que la matriz asociada a frespecto a BJ es una matriz de Jordan. Demostración. Sea qiel menor entero positivo tal que Nuc(f−λiidV)qi= Nuc(f−λiidV)m, para todo m>qi. Por la demostración del corolario 2.26, Nuc(f−λiidV)ri= Nuc(f−λiidV)qi. Sea Bλiuna base de Jordan para el endomorfismo fλi: Nuc(f−λiidV)qi→Nuc(f−λiidV)qiyJλila matriz asociada a fλirespecto a Bλi. Pongamos BJ= s [ i=1 Bλi. Por el lema 2.21 y la proposición 2.31, BJes una base de V. La matriz asociada a frespecto a BJes la matriz fBJ=     Jλ10. . . 0 0Jλ2. . . 0 . . .. . ..... . . 0 0 . . . Jλs      , que es una matriz de Jordan. 9 (4) (d) Veamos que la matriz asociada a la restricción de fCahEies Jµ. En efecto, fC(w1) =fC(w1) = µ w1, fC(wj) =fC(wj) = µ wj+wj−1, j = 2, . . . , s. Obsérvese que por (2) los endomorfismos fyfCtienen el mismo polinomio característico Pf(X) = PfC(X) = det(fB−XI). Las raíces reales de este polinomio son los autovalores de fy las raíces complejas son autovalores de fC. Definición 3.4. Se llama bloque elemental de Jordan real de orden 2rasociado al número complejo µ=α+βi, β6= 0, a la siguiente matriz real J2r µ=                 α−β1 0 β α 0 1 0 α−β1 0 β α 0 1 ... ...1 0 00 1 α−β β α                 , que tiene en su diagonal principal las matrices 2×2de la forma α−β β α , y tiene matrices identidad 2×2encima de la diagonal principal y ceros en el resto. Definición 3.5. Una matriz de Jordan real de orden nes una matriz diagonal por bloques de la forma J=           Jr1 λ10 ... Jrs λsJ2t1 µ1 ... 0J2tm µm           donde las matrices Jri λison bloques elementales de Jordan asociados al número real λi, para i= 1, . . . , s, y las matrices J2tj µjson bloques elementales de Jordan reales asociados al número complejo µj=αj+βji,βj6= 0, para j= 1, . . . , m. Si fes un endomorfismo de VyBes una base de Vrespecto a la cual la matriz asociada a fes una matriz de Jordan real J, se dice que Bes una base de Jordan real para fy que Jes una forma de Jordan real para f. Proposición 3.6. Sea E={u1+iv1, . . . , us+ivs}una de las columnas del cuadro 1.1 para el autovalor α+βi, β6= 0 de fC. Se verifica (1) Los vectores u1, . . . , us, v1, . . . , vs∈Vson vectores R-linealmente independientes. (2) Si S={v1, u1, . . . , vs, us}, la matriz asociada al endomorfismo restricción de fal subespacio hSirespecto a la base Ses un bloque elemental de Jordan real de orden 2sasociado al autovalor α+βi. 16 Demostración. (1) La columna E={u1+iv1, . . . , us+ivs}define un bloque elemental de Jordan de orden s en la matriz de Jordan de fCy por tanto fC(u1+iv1) =(α+βi)(u1+iv1), fC(uj+ivj) =(α+βi)(uj+ivj)+(uj−1+ivj−1), para j= 2, . . . , s. Pongamos E={u1−iv1, . . . , us−ivs}. Por la proposición 3.3 (4), se tiene que α−βi es un autovalor de fC y además fC(u1−iv1) =(α−βi)(u1−iv1), fC(uj−ivj) =(α−βi)(uj−ivj)+(uj−1−ivj−1), para j= 2, . . . , s. Se tiene uj=1 2((uj+ivj)+(uj−ivj)), vj=1 2i((uj+ivj)−(uj−ivj)). (2) Veamos que los vectores u1, . . . , us, v1, . . . , vs∈Vson R-linealmente independientes. Pongamos s X j=1 ajuj+ s X j=1 bjvj= 0, aj, bj∈R. Sustituyendo las expresiones (2) de ujyvj, obtenemos s X j=1 aj 2(uj+ivj)+(uj−ivj)+ s X j=1 bj 2i(uj+ivj)−(uj−ivj) =1 2 s X j=1 aj+bj i(uj+ivj) + aj−bj i(uj−ivj) =1 2 s X j=1 (aj−bji)(uj+ivj)+(aj+bji)(uj−ivj)= 0. Dado que E⊂Nuc(fC−µidVC)syE⊂Nuc(fC−µidVC)sy que por el lema 2.29, Nuc(fC−µidVC)s∩Nuc(fC−µidVC)s={0}, se tiene que E∪Ees un conjunto de vectores C-linealmente independientes. Así, aj−bji= 0 para j= 1, . . . , s, de donde se deduce que aj=bj= 0 para j= 1, . . . , s. (2) Puesto que fC(u1+iv1) = µ(u1+iv1), f(v1) = αv1+βu1, f(u1) = −βv1+αu1, y como fC(uj+ivj) = µ(uj+ivj) + uj−1+ivj−1, para j= 2, . . . , s, entonces f(vj) = αvj+βuj+vj−1, f(uj) = −βvj+αuj+uj−1. Teorema 3.7. (Teorema de Jordan real) Sea Vun espacio vectorial real de dimensión finita y sea fun endomorfismo de V. Existe una base de Jordan real para f. Demostración. ([4, Teorema 6.9.2]) El polinomio característico de fpuede escribirse de la forma Pf(X)=(−1)n m1 Y j=1 (X−λj)rj m2 Y j=1 (X−µj)tj, λj∈R, µj∈C−R, 17 con λj6=λkyµj6=µk, si j6=k. Dado que Pf(X)∈R[X]yµj=αj+βjies una raíz de Pf(X)entonces µj=αj−βjies una raíz de Pf(X). Pongamos qj(X)=(X−µj)(X−µj)∈R[X]. Se tiene Pf(X)=(−1)n m1 Y j=1 (X−λj)rj n1 Y j=1 qj(X)tj.(3) Por la proposición 2.30 se tiene V= ( m1 M j=1 Nuc(f−λjidV)rj)M( n1 M j=1 Nuc qj(f)tj).(4) Por el corolario 2.26, dimRNuc(f−λjidV)rj=rj, para j= 1, . . . , m1ydimCNuc(fC−µjidVC)tj=tj; además si Bµj={u1j+iv1j, . . . , utjj+ivtjj}es una base de Jordan del endomorfismo (fC)µjrestricción de fCa Nuc(fC−µj1VC)tj, razonando como en la proposición 3.6, el conjunto Bµj,µj={v1j, u1j, . . . , vtjj, utjj}es un conjunto de vectores de Vlinealmente independiente y Bµj,µjes una base de Jordan real del endomorfismo restricción de fahBµj,µji. Veamos que Bµj,µj⊂Nuc qj(f)tj. En efecto, qj(f)tj(ukj ) =1 2[qj(fC)tj(ukj +ivkj ) + qj(fC)tj(ukj −ivkj )] =1 2[(fC−µjidVC)tj(fC−µjidVC)tj(ukj +ivkj ) + (fC−µjidVC)tj(fC−µjidVC)tj(ukj −ivkj )] = 0, para k= 1, . . . , tj, puesto que ukj +ivkj ∈Nuc(fC−µjidVC)tjyukj −ivkj ∈Nuc(fC−µjidVC)tj. Análogamente se prueba que qj(f)tj(vkj) = 0, para k= 1, . . . , tj. Por tanto 2tj≤dim Nuc qj(f)tj.(5) Veamos que Bµj,µjes una base de Nuc qj(f)tj, para j= 1,...n1. Por (3) y (4), se tiene m1 X j=1 rj+ n1 X j=1 2tj=grad Pf(X) = dim V= m1 X j=1 dim Nuc(f−λjidV)rj+ n1 X j=1 dim Nuc qj(f)tj = m1 X j=1 rj+ n1 X j=1 dim Nuc qj(f)tj. y utilizando (5) deducimos que dim Nuc qj(f)tj= 2tj. Por tanto, Bµj,µjes una base de Nuc qj(f)tj, para j= 1, . . . , n1. Si Bλjuna base de Jordan para fλjpara i= 1, . . . , m1, una base de Jordan real para fes la base Bλ1S···SBλm1SBµ1,µ1S···SBµn1,µn1. Corolario 3.8. Dada una matriz A∈Mn(R)existe una matriz de Jordan real Jy una matriz regular P∈Mn(R)tal que A=P−1JP. Ejemplo 3.9. Consideremos la matriz real M1=  1 0 1 0 5 3 −1−3 0  . Se tiene que PM1(X) = −X3+ 6X2−15X+ 14 = (X−2)(X−(2 + √3i))(X−(2 −√3i)). Sea f:R3→R3la aplicación R-lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es M1yfC:C3→C3 la aplicación C-lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es M1. Se tiene Nuc(f−2idR3) = h(1,−1,1)i,Nuc(fC−(2 + √3i)idC3) = h(1,−√3i, 1 + √3i)i. 18 Si tomamos P1=  1 0 1 −1−√3 0 1√3 1  , J1=  2 0 0 0 2 −√3 0√3 2  , la matriz J1es una forma de Jordan real de M1y se tiene P−1 1M1P1=J1. Ejemplo 3.10. Consideremos la matriz real M2=    0 1 −1 0 0−1 0 1 1 1 0 0 0−2 0 1     . Se tiene que PM2(X) = (X2+ 1)2= (X−i)2(X+i)2. Si f:C4→C4es la aplicación C-lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es M2, entonces Nuc(f−iidC4) = h(i, 0,1,0)i,Nuc(f−iidC4)2=h(i, 0,1,0),(0,1 + i, 1,2i)i. Dado que (0,1 + i, 1,2i)∈Nuc(f−iidR4)2−Nuc(f−iidC4),(f−iidC4)(0,1 + i, 1,2i)=(i, 0,1,0) ∈Nuc(f−iidC4), una base de Jordan para (fC)ies {(i, 0,1,0),(0,1 + i, 1,2i)}. Si tomamos P2=    1000 0011 0101 0020     , J2=    0−1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0     , la matriz J2es una forma de Jordan real de M2y se tiene P−1 2M2P2=J2. Ejemplo 3.11. Consideremos la matriz real M3=      −1−1−104 −2 0 −1 4 −2 4−3−2−4 0 4−401−2 00003       . Se tiene que PM3(X)=(X−3)(X−(−2 + i))(X−(−2−i))(X−(1 + 4i))(X−(1 −4i)). Sea f:R5→R5 la aplicación R-lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es M3y sea fC:C5→C5la aplicación C-lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es M3. Se tiene Nuc(f−3idR5) =h(1,0,0,1,1)i,Nuc(fC−(−2 + i)idC5) = h(−i, −i, −1,0,0)i, Nuc(fC−(1 + 4i)idC5) = h(0,−i, i, 1,0)i. Poniendo P3=      1−1 0 0 0 0−1 0 −1 0 0 0 −1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0       , J3=      3 0 0 0 0 0−2−1 0 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 1 −4 0 0 0 4 1       , la matriz J3es una forma de Jordan real de M3y se tiene P−1 3M3P3=J3. 19 Ejemplo 3.12. Consideremos la matriz real M4=      2 3 0 1 0 0−4 0 −6 6 0 0 3 1 0 0 0 −1 1 0 0−3−1−1 2       . Se tiene PM4(X) = −(X−2)3(X2+ 2X+ 10) = −(X−2)3(X−(−1 + 3i))(X−(−1−3i)). Sea f:R5→R5 la aplicación R-lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es M4y sea fC:C5→C5la aplicación C-lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es M4. Se tiene Nuc(f−2idR5) =h(1,0,0,0,0)i,Nuc(f−2idR5)2=h(1,0,0,0,0),(0,0,−1,1,1)i, Nuc(f−2idR5)3=h(1,0,0,0,0),(0,0,−1,0,0),(0,0,0,1,1)i,Nuc(fC−(−1+3i)idC5) = h(−1,1−i, 0,0,1)i. Dado que (0,0,−1,0,0) ∈Nuc(f−2idR5)3−Nuc(f−2idR5)2, (f−2idR5)(0,0,−1,0,0) =(0,0,−1,1,1) ∈Nuc(f−2idR5)2−Nuc(f−2idR5), (f−2idR5)(0,0,−1,1,1) =(1,0,0,0,0) ∈Nuc(f−2idR5). Poniendo P4=      1 0 0 0 −1 000−1 1 0−1−100 01000 01001       , J4=      2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 000−1−3 0 0 0 3 −1       , la matriz J4es una forma de Jordan real de M4y se tiene P−1 4M4P4=J4. 4. Espacios vectoriales euclídeos. Espacios vectoriales hermíticos Definición 4.1. Sea Vun espacio vectorial real. Un producto escalar en Ves una aplicación σ:V×V→R que verifica (1) σ(λ1v1+λ2v2, w) = λ1σ(v1, w) + λ2σ(v2, w),para todo v1, v2, w ∈Vyλ1, λ2∈R, (2) σ(v, λ1w1+λ2w2) = λ1σ(v, w1) + λ2σ(v, w2),para todo v, w1, w2∈Vyλ1, λ2∈R, (3) σ(v, w) = σ(w, v),para todo v, w ∈V, (4) σ(v, v)≥0,para todo v∈V, (5) σ(v, v)=0 ⇒v= 0. Denotaremos σ(u, v)por u·vyv·vpor v2. Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial real con un producto escalar. Definición 4.2. Sea Vun espacio vectorial complejo. Un producto hermítico en Ves una aplicación σ:V×V→C que verifica (1) σ(λ1v1+λ2v2, w) = λ1σ(v1, w) + λ2σ(v2, w),para todo v1, v2, w ∈Vyλ1, λ2∈C, (2) σ(v, λ1w1+λ2w2) = λ1σ(v, w1) + λ2σ(v, w2),para todo v, w1, w2∈Vyλ1, λ2∈C, (3) σ(v, w) = σ(w, v),para todo v, w ∈V, (4) σ(v, v)≥0,para todo v∈V, 20 (5) σ(v, v) = 0 ⇒v= 0. Denotaremos σ(u, v)por u·vyv·vpor v2. Un espacio vectorial hermítico es un espacio vectorial complejo con un producto hermítico. Si λ∈Cdenotaremos por |λ|el módulo de λ, es decir el número real √λλ. Definición 4.3. Sean VyV0espacios vectoriales euclídeos (resp. hermíticos). Una aplicación f:V→V0se dice que es una isometría de espacios vectoriales euclídeos (resp. hermíticos) si es un isomorfismo de espacios vectoriales reales (resp. complejos) y verifica f(v)·f(w) = v·w, v, w ∈V Si V0=V, entonces se dice que fes una transformación ortogonal (resp. unitaria) de V. Ejemplos 4.4. (1) La aplicación σ:Rn×Rn→R, dada por σ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = x1y1+. . . +xnyn, es un producto escalar en Rnque llamaremos producto escalar usual. Así, Rncon el producto escalar usual es un espacio vectorial euclídeo. (2) La aplicación σ:Cn×Cn→C, dada por σ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = x1y1+. . . +xnyn, es un producto hermítico en Cnque llamaremos producto hermítico usual. Así, Cncon el producto hermítico usual es un espacio vectorial hermítico. Proposición 4.5. Sea Vun espacio vectorial euclídeo y VCsu complejificado. El espacio vectorial complejo VC es un espacio vectorial hermítico con el siguiente producto hermítico: (u+iv)·(u0+iv0) = u·u0+v·v0+ (v·u0−u·v0)i, u +iv, u0+iv0∈VC Demostración. Es fácil probar que se verifican las condiciones (1), (2) y (3) de la definición de producto hermítico. Veamos (4) y(5): (u+iv)·(u+iv) = u2+v2+ (v·u−u·v)i=u2+v2≥0, para todo u+iv ∈VC. Además, u2+v2= 0 , si y sólo si, u2= 0 yv2= 0 , y por ser Vun espacio vectorial euclídeo se tiene u= 0 yv= 0 . Las dos siguientes proposiciones se prueban fácilmente. Proposición 4.6. Todo subespacio de un espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico) es un espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico), con el producto escalar (resp. hermítico) inducido. Proposición 4.7. Si consideramos en Rny en Cnel producto escalar usual y el producto hermítico usual, respectivamente, la aplicación ψ:Rn C→Cn,ψ((α1, . . . , αn) + i(β1, . . . , βn)) = (α1+β1i, . . . , αn+βni)es una isometría de espacios vectoriales hermíticos. Definición 4.8. Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico). Se dice que los vectores uyvson ortogonales si u·v= 0 . Definición 4.9. Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico) y vun vector de V. Se llama norma o longitud del vector v, y se denota por kvkal número real kvk=√v2 Se dice que un vector ves unitario si kvk= 1 . 21 Definición 4.10. Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico). Se dice que la base B={v1, . . . , vn} de Ves ortogonal si vi·vj= 0, para todo i6=j. Se dice que la base B={v1, . . . , vn}es ortonormal, si es ortogonal y los vectores vi, i = 1, . . . , n , son unitarios. Ejemplo 4.11. La base canónica es una base ortonormal de Rn(resp. Cn) con el producto escalar (resp. hermítico) usual. Proposición 4.12. Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico). Si S={v1, . . . , vr}es un conjunto de vectores no nulos de Vortogonales dos a dos, es decir tales que vi·vj= 0 si i6=j, entonces Ses un conjunto de vectores linealmente independientes. Demostración. Se tiene r X i=1 λivi= 0 ⇒( r X i=1 λivi)·vj= 0, j = 1, . . . , r ⇒λj(vj·vj)=0, j = 1, . . . , r ⇒λj= 0, j = 1, . . . , r. El método de ortogonalización de Gram-Schmidt permite construir una base ortogonal de un espacio vectorial euclídeo Va partir de una base cualquiera de V; este proceso se puede aplicar también a los espacios vectoriales hermíticos, tal como se prueba en el siguiente lema. Lema 4.13. (Método de ortogonalización de Gram-Schmidt) Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico). Si u1, . . . , urson vectores linealmente independientes, entonces los vectores que se obtienen de la forma: v1=u1 v2=u2−u2·v1 v1·v1 v1 v3=u3−u3·v1 v1·v1 v1−u3·v2 v2·v2 v2 . . . vr=ur−ur·v1 v1·v1 v1−ur·v2 v2·v2 v2−. . . −ur·vr−1 vr−1·vr−1 vr−1 son linealmente independientes, ortogonales dos a dos y verifican hv1, . . . , vji=hu1, . . . , uji, j = 1, . . . , r. Demostración. Razonaremos por inducción sobre el número rde vectores linealmente independientes. Para r= 1 es trivial. Supongamos r≥2y que el resultado es cierto para r−1. Sean u1, . . . , urvectores linealmente independientes. Por hipótesis de inducción, los vectores vj=uj− j−1 X i=1 uj·vi vi·vi vi, j = 1, . . . , r −1, son linealmente independientes, ortogonales dos a dos y verifican hv1, . . . , vji=hu1, . . . , uji, j = 1, . . . , r −1. Pongamos vr=ur− r−1 X i=1 ur·vi vi·vi vi. Se tiene que vr6= 0 y además vr·vj=ur·vj− r−1 X i=1 ur·vi vi·vi vi·vj=ur·vj−ur·vj vj·vj vj·vj= 0, j = 1, . . . , r −1. Por la proposición 4.12, los vectores v1, . . . , vrson linealmente independientes y v1, . . . , vr∈ hu1, . . . , uri, luego hv1, . . . , vri=hu1, . . . , uri. 22 Teorema 4.14. Todo espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico) (V, σ)de dimensión finita tiene una base ortonormal. Demostración. Si dim V=n, aplicando aplicando el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a una base cualquiera {u1, . . . , un}de V, se obtiene una base ortogonal B={v1, . . . , vn}de V. Poniendo wi=vi kvik, i = 1, . . . , n, se obtiene que la base B0={w1, . . . , wn}es una base ortonornal de V. Definición 4.15. Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico) de dimensión finita y sea Uun subespacio de V. El subespacio U⊥={v∈V|σ(u, v)=0,∀u∈U} se llama complemento ortogonal de U. Definición 4.16. Sea (V, σ)es un espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico). Se dice que el subespacio Ues ortogonal al subespacio Wsi u·w= 0, para todo u∈Uy para todo w∈W. Definición 4.17. Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico) y sean U1, . . . , Ursubespacios de V. Se dice que la suma U1+. . . +Ures una suma ortogonal y se denota por U1⊥. . . ⊥Ur, si verifica (1) U1+. . . +Ur=U1L. . . LUr, (2) Uies ortogonal a Ujpara todo i6=j. Proposición 4.18. Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico) de dimensión finita y sea Uun subespacio de V. Entonces V=U⊥U⊥. Demostración. Veamos que V=ULU⊥. Sea B0={v1, . . . , vr}una base ortonormal de U. Completamos B0hasta obtener una base B00 de Vy le aplicamos a B00 el método de ortogonalización de Gram-Schmidt. Obtenemos la base ortogonal B={v1, . . . , vn}de V. Se tiene que vj∈U⊥, para j=r+ 1, . . . , n. Por tanto, si v∈V, v=x1v1+···+xrvr+xr+1vr+1 +···+xnvn∈U+U⊥. Además, si v∈U∩U⊥, entonces v2= 0 y por tanto v= 0. 5. Transformaciones ortogonales. Transformaciones unitarias Proposición 5.1. Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico) de dimensión finita. Se tiene que f:V→Ves una transformación ortogonal (resp. unitaria) si, y sólo si, fes una aplicación R-lineal (resp. C-lineal) que verifica f(v)·f(w) = v·w, v, w ∈V. Demostración. Veamos que si fes una aplicación lineal que verifica la condición anterior entonces es inyectiva. Sea v∈Vtal que f(v)=0. Se tiene 0 = f(v)·f(v) = v2, y entonces v= 0. Proposición 5.2. Sea Vun espacio vectorial euclídeo y sea VCsu complejificado. Si f:V→Ves una transformación ortogonal, entonces la aplicación fC:VC→VC,fC(u+iv) = f(u)+if(v), es una transformación unitaria. 23 Demostración. La aplicación fCes C-lineal y verifica fC(u+iv)·fC(u0+iv0) =(f(u) + if(v)) ·(f(u0) + if(v0)) =f(u)·f(u0) + f(v)·f(v0) +i(f(v)·f(u0)−f(u)·f(v0)) =(u·u0+v·v0) + i(v·u0−u·v0) =(u+iv)·(u0+iv0) Es inmediato que fCes inyectiva por serlo f. Definición 5.3. Si A= (ajk)∈Mn(R), se dice que Aes una matriz ortogonal si A−1=At. Si A= (ajk)∈ Mn(C), se dice que Aes una matriz unitaria si A−1=At, siendo A= (ajk). Teorema 5.4. (1) Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita. Una aplicación R-lineal f:V→V es una transformación ortogonal si, y sólo si, la matriz asociada a fen una base ortonormal es ortogonal. (2) Sea Vun espacio vectorial hermítico de dimensión finita. Una aplicación C-lineal f:V→Ves una transformación unitaria si, y sólo si, la matriz asociada a fen una base ortonormal es unitaria. Demostración. Veamos (2). Sea B={v1, . . . , vn}una base ortonormal de V. La aplicación fes una transformación unitaria si, y sólo si, f(vi)·f(vj) = vi·vj=δij con i, j ={1, . . . , n}. Sea A= (aij)la matriz asociada a la aplicación frespecto a la base B, es decir f(vi) = n X k=1 akivk, i = 1, . . . , n. Se tiene f(vi)·f(vj) = ( n X k=1 akivk)·( n X l=1 aljvl) = n X k,l=1 akialj vk·vl= n X k=1 aki ·akj . Entonces, f(vi)·f(vj) = vi·vj=δij si, y sólo si, At·A=I, es decir, A−1=At. De forma análoga se prueba (1). Definición 5.5. Sea Vun espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo Ky sea f:V→Vuna aplicación lineal. Se llama determinante de f, y se denota por det(f), al determinante de la matriz asociada a fen una base Bde V, es decir det(f) = det(fB). Obsérvese que por el ejemplo 2.6, det(f)no depende de la base considerada en V. Proposición 5.6. Si fes una transformación ortogonal de V, entonces el determinante de fes 1o−1. Demostración. Sea Buna base ortonormal de V. Por el teorema anterior, fBes una matriz ortogonal. Así, ft BfB=I, y por tanto, (det f)2= (det fB)2= 1. Definición 5.7. Sea funa transformación ortogonal de V. Se dice que fes un giro o una rotación si det f= 1. Se dice que fes una reflexión si det f=−1. Si Ves un espacio euclídeo de dimensión finita denotaremos por O(V)el conjunto de las transformaciones ortogonales de V, por O+(V)el conjunto de los giros de Vy por O−(V)el conjunto de las reflexiones de V. Los conjuntos O(V)yO+(V)son grupos con la operación composición. 24 Proposición 5.8. Sea Vun espacio vectorial euclídeo y sean U1yU2subespacios de Vtales que V=U1⊥U2. Si f1∈ O(U1)yf2∈ O(U2), entonces la aplicación f1⊥f2:V−→ V dada por (f1⊥f2)(u1+u2) = f1(u1)+f2(u2)para todo u1∈U1y todo u2∈U2, es una transformación ortogonal de V. Definición 5.9. Sea Vun espacio vectorial euclídeo y sea Uun subespacio de V. Se llama simetría respecto a Ua la aplicación SU=idU⊥(−idU⊥). Observación 5.10.Obsérvese que V=U⊥U⊥y que el subespacio propio asociado al autovalor 1de SUes U. Además S2 U=idV. Proposición 5.11. Sea Vun espacio vectorial euclídeo y sea Uun subespacio de V. Si la dimensión de U⊥es par, entonces la simetría respecto a Ues un giro; si la dimensión de U⊥es impar, entonces es una reflexión. Demostración. Sea {u1, . . . , ur}una base de Uy{ur+1, . . . , un}una base de U⊥. Dado que V=U⊕U⊥, B={u1, . . . , un}es una base de V. La matriz asociada a SUrespecto a Bes la matriz diagonal (SU)B=      1 r...1−1 n−r...−1       . Por tanto det(SU) = det(SU)B= (−1)n−r= (−1)dim U⊥ Proposición 5.12. Sea funa transformación ortogonal del espacio euclídeo V. Si λ∈Res un autovalor de f, entonces λ=±1. Demostración. Por ser λun autovalor de f, existe v∈V,v6= 0, tal que f(v) = λv. Por ser funa transformación ortogonal se tiene que f(v)·f(v) = v2, o equivalentemente que λv ·λv =λ2v2=v2. Dado que v26= 0, se tiene λ2= 1 y entonces λ=±1. Proposición 5.13. Sea Vun espacio vectorial hermítico y funa transformación unitaria de V. Si λen un autovalor de f, entonces el módulo de λes 1. Demostración. Por ser λun autovalor de f, existe v∈V,v6= 0, tal que f(v) = λv. Por ser funa aplicación unitaria se tiene que f(v)·f(v) = v2, o equivalentemente que λv ·λv =λ λ v2=|λ|v2=v2. Dado que v26= 0, se tiene que |λ|= 1. Lema 5.14. Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico) y sea funa transformación ortogonal (resp. unitaria) de V. Si Ues un subespacio invariante por f, entonces tambien lo es U⊥. Demostración. Por hipótesis, f(U) = U. Veamos que f(U⊥)⊂U⊥. Sean w∈U⊥,u∈U, y u0∈Utal que f(u0) = u. Entonces f(w)·u=f(w)·f(u0) = w·u0= 0, luego f(w)∈U⊥. Lema 5.15. Sea Vun espacio vectorial euclídeo (resp. hermítico) y sea funa transformación ortogonal (resp. unitaria) de V. Si λes un autovalor de f, entonces Nuc(f−λidV)⊥es invariante por f. Demostración. Por el lema 2.22, f(Nuc(f−λidV)) ⊂Nuc(f−λidV). El resultado se sigue del lema 5.14. 25 El conjunto {(1,1,0),(0,0,√2),(1,−1,0)} es una base ortogonal de Jordan real para f1. Una base ortonormal de Jordan real para f1es B1={(√2 2,√2 2,0),(0,0,1),(√2 2,−√2 2,0)} La forma de Jordan real de f1respecto a B1es (f1)B1=  1 0 0 0 0 −1 0 1 0  . Se tiene f1=idh(1,1,0)i⊥G1, donde G1es el giro en el plano h(1,1,0)i⊥cuya matriz asociada respecto a la base B0 1={(0,0,1),(√2 2,−√2 2,0)} es 0−1 1 0 !. Dado que R3se considera orientado por la base canónica, f1es un giro de eje h(1,1,0)iy ángulo π/2o3π/2 dependiendo de la orientación considerada en el eje de giro h(1,1,0)i. Ejemplo 6.12. Consideremos la transformación ortogonal f2de R3cuya matriz asociada respecto a la base canónica es A2=1 9  8 4 −1 4−7 4 −148 . Dado que la matriz A2es ortogonal y que det f2=−1,f2es una reflexión. El polinomio característico de f2es Pf2(X) = −X3+X2+X−1 = −(X−1)2(X+ 1). Se tiene Nuc(f2−idR3) =h(1,0,−1),(2,1,2)i Nuc(f2+idR3) =h(−1,4,−1) i. El conjunto B2={(2 3,1 3,2 2)},(√2 2,0,−√2 2),(√2 6,4√2 6 √2 6)} es una base ortonormal de Jordan para f2. La forma de Jordan de f2respecto a B2es (f2)B2=  1 0 0 0 1 0 0 0 −1 . Se tiene que f2es la simetría respecto al plano vectorial Nuc(f2−idR3) = h(1,0,−1),(2,1,2)i. Ejemplo 6.13. Consideremos la transformación ortogonal f3de R4cuya matriz asociada respecto a la base canónica es A3=    −1 0 0 0 0 0 0 −1 0−1 0 0 0 0 1 0     . 32 La matriz A3es ortogonal y dado que det f3=−1,f3es una reflexión. El polinomio característico de f3es Pf3(X) = (−1−X)(−X3+ 1) = (−1−X)(1 −X)(−X2−X−1), y sus raíces son 1,−1,−1 2+√3 2i, −1 2−√3 2i. Sea (f3)C:C4→C4la aplicación C-lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es A3. Se tiene Nuc(f3−idR4) =h(0,1,−1,−1)i Nuc(f3+idR4) =h(1,0,0,0)i Nuc(f3)C−(−1 2+√3 2i)idC4=h(0 ,1,1 2+√3 2i , 1 2−√3 2i)i El conjunto {(0,1,−1,−1),((1,0,0,0),((0,0,√3 2,−√3 2),(0,1,1 2,1 2)}, es una base ortogonal de Jordan real para f3. Pongamos v1= (0,√3 3,−√3 3,−√3 3), v2= (1,0,0,0), v3= (0,0,√2 2,−√2 2), v4= (0,√6 3,√6 6,√6 6)} El conjunto B3={v1, v2, v3, v4}es una base ortonormal de Jordan real para f3. La forma de Jordan real de f3 respecto a B3es        1 0 0 0 0−1 0 0 0 0 −1 2−√3 2 0 0 √3 2−1 2        . La aplicación f3es la composición de la simetría respecto al hiperplano hv1, v3, v4iy el giro simple idhv1,v2i⊥G3, donde G3es el giro en el plano hv3, v4icuya matriz asociada respecto a la base {v3, v4}es (G3){v3,v4}=    −1 2−√3 2 √3 2−1 2     . Ejemplo 6.14. Consideremos la transformación ortogonal f4de R4cuya matriz asociada en la base canónica es A4=            √2 20−√2 20 0√2 20√2 2 √2 20√2 20 0−√2 20√2 2            . Dado que la matriz A4es ortogonal y que det A4= 1,f4es un giro. El polinomio característico de f4es Pf4(X) = (X2−√2X+ 1)2=X−(√2 2+√2 2i)2X−(√2 2−√2 2i)2. 33 Identificamos (R4)Ccon C4. Sea (f4)C:C4→C4la aplicación C-lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es A4. Se tiene C4= Nuc(f4)C−(√2 2+√2 2iidC4)⊥Nuc(f4)C−(√2 2−√2 2i)idC4, donde Nuc(f4)C−(√2 2+√2 2iidC4) = h(1,0,−i, 0),(0,1,0, i)i, Pongamos v1= (0,0,−1,0), v2= (1,0,0,0), v3= (0,0,0,1), v4= (0,1,0,0). El conjunto B4={v1, v2, v3, v4}es una base ortonormal de Jordan real para f4. La forma de Jordan de f4 respecto a B4es (f4)B4=            √2 2−√2 20 0 √2 2 √2 20 0 0 0 √2 2−√2 2 0 0 √2 2 √2 2            , Se tiene que f4es un giro doble f4=G⊥G0, donde GyG0son los giros en los planos hv1, v2iyhv3, v4i, respectivamente, cuyas matrices asociadas en las bases {v1, v2}y{v3, v4}son G{v1,v2}=    √2 2−√2 2 √2 2 √2 2     , G0 {v3,v4}=    √2 2−√2 2 √2 2 √2 2     . f4es la composición de dos giros simples, el giro G⊥idhv3,v4iy el giro idhv1,v2i⊥G0. Bibliografía [1] Burgos Román, J. de, Álgebra lineal. MacGraw-Hill/Interamericana de España, Madrid, 1993. [2] Birkohff, G. and Mac Lane, S., A survey of modern algebra. Vicens-Vives, Barcelona, 1963. [3] Godement, R., Cours d’algèbre. Herman, Paris, 1966. [4] Hernández Rodríguez, E., Vázquez Gallo, M. J., Zurro Moro, M. A., Álgebra lineal y geometría. Pearson, Madrid, 2012. [5] Vale Gonsalves M. J. 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