Ejemplos notables en Teoría de la Medida e Integración de Lebesgue

Traballo Fin de Grao Ejemplos notables en Teoría de la Medida e Integración de Lebesgue María Alonso Macías 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Ejemplos notables en Teoría de la Medida e Integración de Lebesgue María Alonso Macías Septiembre 2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Análisis Matemático Título: Ejemplos notables en Teoría de la Medida e Integracíon de Lebesgue Breve descrición do contido Se trata de ampliar la colección de ejemplos notables relacionados con la Teoría de la Medida e Integración de Lebesgue que se vieron en la materia de Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue. Recomendacións Tener buenos conocimientos de la teoría de la medida y de la integración de Lebesgue Outras observacións iii Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Construcción de la medida y σ-álgebra de Lebesgue en Rn1 1.1. Construcción de los espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Elementos de la medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Celdas e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. La medida exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Conjuntos medibles y no Borelianos. El conjunto de Lusin 17 2.1. Construcción del conjunto de Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. El conjunto de Lusin es medible y no de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3. Conjuntos no medibles. El conjunto de Vitali en Rn.21 3.1. Construcción del conjunto de Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. El conjunto de Vitali es no medible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.1. Caso particular n= 1 .......................... 22 3.2.2. Caso general n∈N............................ 23 4. Conjunto y función de Cantor 27 4.1. ConjuntodeCantor ............................... 27 4.2. FuncióndeCantor ................................ 30 Bibliografía 35 v Resumen En el presente trabajo, inicialmente, trataremos aspectos generales de la teoría de la medida para luego particularizar al caso de la construcción de la medida de Lebesgue. Será entonces, dentro del marco de la medida de Lebesgue, que analizaremos ejemplos interesantes de conjuntos medibles y no medibles. El primero que veremos, será el conjunto de Lusin, un conjunto que es Lebesgue medible, pero que no es de Borel. A continuación, mostraremos la construcción del conjunto de Vitali, que es el primer ejemplo de conjunto no medible que se conoce. Finalmente, veremos el conjunto medible de Cantor y, asociado a este, la función de Cantor, la cual emplearemos para la construcción de contraejemplos dentro de esta teoría de la medida. Abstract In the present work, initially, we will introduce the general aspects of the theory of the measure and then particularize the case of the construction of the Lebesgue measure. It will be inside this case that we will analyze interesting examples of measurable and nonmeasurable sets. The first one we will see will be Lusin’s, a set that is measurable Lebesgue, but is not Borel’s. Then, we will shown Vitali’s, which is the first known example of a nonmeasurable set. Finally, we will see Cantor’s measurable set and, associated with it, the Cantor function, which will be used to construct a counterexample within this measure theory. vii 4CAPÍTULO 1. CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIDA Y σ-ÁLGEBRA DE LEBESGUE EN RN 3. Si {En}n∈N⊂Σes tal que Ei∩Ej=∅,si i6=j, entonces: µ(∪n∈NEn) = ∞ X n=1 µ(En).(1.6) Es importante señalar que como µ(E)≥0,la serie del lado derecho de la condición (1.6) es o bien absolutamente convergente, o bien diverge a +∞. Definición 1.8. Dada una σ-álgebra Σen Xy una medida µen Σ,diremos que la terna (X, Σ, µ)es un espacio de medida. Proposición 1.9. Dado un espacio de medida (X, Σ, µ),se tienen las siguientes propiedades: Si E, F ∈Σson tales que E⊂F, entonces µ(E)≤µ(F). Si µ(E)<+∞,entonces µ(F\E) = µ(F)−µ(E). Si {En}n∈N⊂Σcon Ek⊂Ek+1,∀k∈N,entonces: µ(∪n∈NEn) = l´ım n→∞ µ(En).(1.7) Si {Fn}n∈N⊂Σcon Fk+1 ⊂Fk,∀k∈N,yµ(F1)<+∞,entonces: µ(∩n∈NFn) = l´ım n→∞ µ(Fn).(1.8) Demostración. Demostraremos cada una de las afirmaciones por separado. Por un lado, F=E∪(F\E)y por otro, E∩(F\E) = ∅.Por tanto, µ(F) = µ(E) + µ(F\E),de donde deducimos que µ(E)≤µ(F),por ser µ(F\E)≥0. Como µ(E)<∞,tiene sentido plantear la resta µ(F)−µ(E) = µ(E) + µ(F\E)− µ(E) = µ(F\E). Supongamos que µ(Ek)<∞,∀k∈N.Ya que en caso contrario, se da la igualdad trivialmente gracias a la monotonía de la medida que hemos probado anteriormente. Definamos los siguientes conjuntos que, visualmente, se podrían asemejar a coronas encajadas: A1=E1, Ak=Ek\Ek−1,∀k≥2.(1.9) Claramente, {An}n∈N⊂Σy, además, se tienen las siguientes propiedades: Ai∩Aj=∅,∀i6=j, En=∪n k=1Ak,∀n∈N, ∪n∈NEn=∪n∈NAn. (1.10) 1.2. ELEMENTOS DE LA MEDIDA DE LEBESGUE 5 Por tanto: µ(∪n∈NEn) = µ(∪n∈NAn) =X n∈N µ(An) = l´ım n→∞ µ(A1) + n X k=2 µ(Ak) = l´ım n→∞ µ(E1) + n X k=2 µ(Ek\Ek−1) = l´ım n→∞ µ(A1) + n X k=2 µ(Ek)−µ(Ek−1) = l´ım n→∞ µ(En). (1.11) Trataremos este punto como un caso particular del anterior. En efecto, definimos los siguientes conjuntos: Ek=F1\Fk, k ∈N.(1.12) De modo que {En}n∈N⊂Σ,además, µ(En)<∞,∀n∈N,yEk⊂Ek+1, k ∈N. Entonces nos encontramos bajo las condiciones del punto anterior, que garantiza: µ(∪n∈NEn) = l´ım n→∞ µ(En) = l´ım n→∞ µ(F1)−µ(Fn) = µ(F1)−l´ım n→∞ µ(Fn). (1.13) Teniendo en cuenta que: ∪n∈NEn=∩n∈NF1\Fn=F1\ ∩n∈NFn,(1.14) se sigue que: µ(∪n∈NEn) = µ(F1)−µ(∩n∈NFn),(1.15) con lo cual: µ(∩n∈NFn) = l´ım n→∞ µ(Fn).(1.16) 1.2. Elementos de la medida de Lebesgue Tras ver los conceptos y propiedades básicos de los espacios de medida, en este epígrafe nos centraremos en la construcción y estudio del caso particular del espacio de medida de Lebesgue. 6CAPÍTULO 1. CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIDA Y σ-ÁLGEBRA DE LEBESGUE EN RN 1.2.1. Celdas e intervalos Primeramente, describimos cómo son las celdas e intervalos que se emplean en este espacio y cómo se determina su volumen. Definición 1.10. Una celda en Rde extremos a≤bes un conjunto que tiene una de las siguientes formas: 1. (a, b) = {x∈R:a<x<b}(celda abierta), 2. [a, b] = {x∈R:a≤x≤b}(celda cerrada), 3. (a, b] = {x∈R:a<x≤b}(celda semi-abierta o semi-cerrada), 4. [a, b) = {x∈R:a≤x<b}(celda semi-abierta o semi-cerrada). Definición 1.11. Dada una celda Ide extremos a≤b, se define su longitud como: l(I) := b−a. (1.17) Debemos observar que las celdas de la Definición 1.10. tienen todas la misma longitud. Observación 1.12.Aunque a las celdas también se las puede denotar como intervalos, no ocurre lo mismo con los conjuntos siguientes, que son intervalos, pero no celdas: 1. (−∞, a) = {x∈R:x<a}, 2. (−∞, a] = {x∈R:x≤a}, 3. (b, −∞) = {x∈R:b < x}, 4. [b, −∞) = {x∈R:b≤x}, 5. (−∞,+∞) = {x∈R:−∞ <x<+∞}. En estos casos, se tiene que l(I) = ∞. Definición 1.13. Una celda Ien Rn,con n > 1,es el producto cartesiano de nceldas I1, ..., Inen R: I=I1×... ×In.(1.18) Definición 1.14. Si I=I1×... ×Ines una celda de Rn,definimos su volumen, l(I), como el producto de las longitudes de todas las celdas I1, ..., In.Es decir, si denotamos por aj≤bja los extremos de la celda Ij,con j= 1, ..., n, el volumen de Iviene dado por: l(I)=(b1−a1)·... ·(bn−an).(1.19) Definición 1.15. Si A⊂Rnyx∈Rn,definimos la traslación de Apor xde la siguiente forma: x⊕A:= {x+a:a∈A}.(1.20) 1.2. ELEMENTOS DE LA MEDIDA DE LEBESGUE 7 1.2.2. La medida exterior Será interesante poder extender la noción de volumen de un conjunto de Rna conjuntos que sean más generales que las celdas o los intervalos. Con el propósito de alcanzar dicha generalización, aparece el concepto de medida exterior. Definición 1.16. Dado E⊂Rn,definimos la medida exterior de E, m∗(E),como: m∗(E) = ´ınf (+∞ X k=1 l(Ik) : E⊂ ∞ [ k=1 Ik,con Ikuna celda de Rn,∀k∈N).(1.21) Proposición 1.17. La medida exterior m∗que acabamos de definir cumple las siguientes propiedades: 0≤m∗(E)≤+∞,para todo E⊂Rnym∗(∅)=0. Si E⊂F, entonces m∗(E)≤m∗(F). Si {Ek}k∈N⊂Rn,entonces m∗ +∞ [ k=1 Ek!≤ +∞ X k=1 m∗(Ek)(1.22) y se dice que m∗es numerablemente subaditiva. En particular, m∗(A∪B)≤m∗(A) + m∗(B).(1.23) Demostración. Puede consultarse en [1, Teorema 12.3.]. Respecto a la última propiedad, la subaditividad numerable de la medida exterior; debemos observar que, a pesar de elegir conjuntos disjuntos dos a dos, es posible que no se dé la igualdad (condición necesaria para verificar la definición de medida). Para poder garantizar que se cumple dicha propiedad, será necesario restringirla a una cierta colección de conjuntos, los conjuntos Lebesgue medibles, los cuales definiremos en la próxima subsección. En el teorema que veremos a continuación se muestra que si la distancia entre los conjuntos es estrictamente positiva, entonces sí se tiene la aditividad numerable. Teorema 1.18. Sean A, B ⊂Rntales que A∩B=∅y dist(A, B) = ´ınf {k a−bk:a∈A, b ∈B}>0,(1.24) entonces m∗(A∪B) = m∗(A) + m∗(B).(1.25) 8CAPÍTULO 1. CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIDA Y σ-ÁLGEBRA DE LEBESGUE EN RN Demostración. Como ya hemos visto que siempre se cumple que m∗(A∪B)≤m∗(A) + m∗(B),entonces es suficiente probar la desigualdad opuesta bajo las hipótesis de que m∗(A∪B)<+∞yδ:= dist(A, B)>0. Dado  > 0,consideremos un recubrimiento {Ik}k∈Nde A∪Bde forma que X k∈N l(Ik)≤m∗(A∪B) + , (1.26) y de modo que el diámetro de cada una de las celdas sea menor estricto que δ(en particular una celda no puede intersecar a la vez AyB).Podemos considerar los siguientes conjuntos de índices: J={i∈N:Ii∩A6=∅}, K={i∈N:Ii∩B6=∅}, H={i∈N:Ii∩A=Ii∩B=∅}. (1.27) Entonces m∗(A)≤X i∈J l(Ii) m∗(B)≤X i∈K l(Ii)       ⇒m∗(A) + m∗(B)≤X i∈J l(Ii) + X i∈K l(Ii)(1.28) por tanto: m∗(A) + m∗(B)≤X i∈N l(Ii)≤m∗(A∪B) + . (1.29) Puesto que  > 0era arbitrario, se tiene el resultado. Ahora veremos que el valor de la medida exterior de una celda de Rncoincide con su volumen. Teorema 1.19. Si Ies una celda de Rn,entonces m∗(I) = l(I). Demostración. Para ver el primer contenido, dada una celda I, se tiene que el conjunto {I, ∅,∅, ...}es un recubrimiento de I, entonces: m∗(I)≤l(I)+0+0+..., (1.30) de donde se sigue que m∗(I)≤l(I). Para ver la otra desigualdad, dado  > 0,consideremos un recubrimiento por celdas abiertas {Ik}k∈Nde forma que X k∈N l(Ik)≤m∗(I) + . (1.31) 1.2. ELEMENTOS DE LA MEDIDA DE LEBESGUE 9 Si Ifuese una celda cerrada, tomaríamos J=I, en caso contrario, consideraremos un cerrado J⊂Ide forma que l(I)−<l(J).Por el Teorema de Heine-Borel [2, Teorema 5.10.] existe N∈Ntal que J⊂ ∪N k=1Ik,(1.32) entonces se tiene que l(J)≤ N X k=1 l(Ik).Por tanto: l(I)≤l(J) + ≤ N X k=1 l(Ik) + ≤X k∈N l(Ik) + ≤m∗(I)+2, (1.33) de donde, ya que  > 0es arbitrario, se concluye que l(I)≤m∗(I). A continuación probaremos que la medida exterior de un conjunto de Rnes invariante por traslaciones. Teorema 1.20. Si E⊂Rnyx∈Rn,entonces m∗(x⊕E) = m∗(E).(1.34) Demostración. Por un lado, dado un recubimiento {Ik}k∈Npor celdas de E, es evidente que {x⊕Ik}k∈Nes un recubrimiento de x⊕E. Teniendo esto cuenta y que el volumen de una celda es invariante por traslaciones, se tiene que: m∗(x⊕E)≤´ınf (X k∈N l(x⊕Ik) : E⊂[ k∈N Ik) = ´ınf (X k∈N l(Ik) : E⊂[ k∈N Ik)=m∗(E). (1.35) Por otro lado, como dado un recubrimiento de x⊕E, lo podemos trasladar para obtener un recubrimiento de E, se deduce la otra igualdad. 1.2.3. Conjuntos medibles Como comentamos anteriormente, en esta subsección caracterizaremos los conjuntos que garantizan la igualdad en la propiedad de la subaditividad numerable de m∗. Definición 1.21. Sea m∗la medida exterior definida sobre los subconjuntos de Rn.Diremos que un conjunto E⊂Rnverifica la condición de Carathéodory si: m∗(A) = m∗(A∩E) + m∗(A∩Ec),∀A⊂Rn.(1.36) Denotaremos por Lal conjunto de todos los subconjuntos que cumplen la condición anterior. 10CAPÍTULO 1. CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIDA Y σ-ÁLGEBRA DE LEBESGUE EN RN Lema 1.22. Un conjunto E⊂Rnverifica la condición de Carthéodory si, y solo si, para cada conjunto A⊂Rncon m∗(A)<+∞,se tiene que: m∗(A)≥m∗(A∩E) + m∗(A∩Ec).(1.37) Demostración. Como A= (A∩E)∪(A∩Ec),se tiene, gracias a la subaditividad de la medida exterior, que: m∗(A)≤m∗(A∩E) + m∗(A∩Ec).(1.38) Por tanto, para que se cumpla la condición de Carathéodory (1.36), es suficiente con que se cumpla la desigualdad (1.37). Por último, debemos observar que, en caso de que m∗(A) = ∞,la condición (1.37) se cumple trivialmente. A continuación veremos el resultado que nos permitirá caracterizar los conjuntos Lebesgue medibles a partir de la condición de Carathéodory. Teorema 1.23. (de Carathéodory) Sea m∗la medida exterior definida sobre los subconjuntos de Rn. Entonces el conjunto Lformado por todos los subconjuntos de Rnque verifican la condición de Carathéodory es una σ-álgebra sobre Rn. Además, la restricción de m∗a Les una medida sobre L. Demostración. Dividimos la demostración en dos partes: en la primera, demostraremos que el conjunto formado por los conjuntos que cumplen la condición de Carathéodory es una σ-álgebra y, en la segunda, veremos que la restricción de la medida exterior a la σ-álgebra anterior es una medida. Les una σ-álgebra. Por un lado, es claro que ∅yRnson elementos de L.Por otro, dado E∈ L,es trivial demostrar que Ec∈ L.El punto más complicado es demostrar que la unión numerable de elementos de Lsigue siendo un elemento de L.Para demostrar esta última afirmación, seguiremos los siguientes pasos: 1. Dados E, F ∈ L,se tiene que E∩F∈ L. Por un lado, ya que E∈ L,dado un conjunto A⊂Rn,se tiene que: m∗(A) = m∗(A∩E) + m∗(A∩Ec).(1.39) Por otro lado, de la pertenencia de F∈ L,tomando en la condición de Carathéodory A∩E, se obtiene: m∗(A∩E) = m∗(A∩E∩F) + m∗(A∩E∩Fc).(1.40) 1.2. ELEMENTOS DE LA MEDIDA DE LEBESGUE 11 Juntando las expresiones (1.39) y (1.40) se obtiene: m∗(A) = m∗(A∩E∩F) + m∗(A∩E∩Fc) + m∗(A∩Ec).(1.41) Si ahora tomamos el conjunto A∩(E∩F)cen la condición de Carathéodory asociada a E∈ L : m∗(A∩(E∩F)c) = m∗(A∩(E∩F)c∩E) + m∗(A∩(E∩F)c∩Ec) =m∗(A∩Fc∩E) + m∗(A∩Ec),(1.42) de donde la última igualdad se tiene como consecuencia de las siguientes igualdades entre conjuntos: (A∩(E∩F)c∩E) = ((A∩Ec∩E)∪(A∩Fc∩E)=(A∩Fc∩E), (A∩(E∩F)c∩Ec) = ((A∩Ec∩Ec)∪(A∩Fc∩Ec)) = (A∩Ec).(1.43) Finalmente, sustituyendo la expresión (1.42) en (1.41), se obtiene: m∗(A) = m∗(A∩E∩F) + m∗(A∩(E∩F)c)(1.44) y, ya que el conjunto A⊂Rnera arbitrario, se deduce que (E∩F)∈ L. 2. Dados {Ek}N k=1 ⊂ L,disjuntos dos a dos, se tiene que ∪N k=1Ek∈ L y, dado un conjunto arbitrario A⊂Rn,se tiene que: m∗A∩∪N k=1Ek= N X k=1 m∗(A∩Ek).(1.45) Veámoslo primero para el caso N= 2,sean, entonces, E, F ∈ L tales que E∩F=∅.Por el apartado anterior, E∪F∈ L,esto es, si E, F ∈ L se tiene que Ec, Fc∈ L,por tanto, Ec∩Fc∈ L y, entonces, (Ec∩Fc)c=E∪F∈ L.En particular, dado un conjunto A⊂Rnarbitrario, si consideramos (A∩(E∪F)) en la condición de Carathéodory asociada a E∈ L : m∗(A∩(E∪F)) = m∗(A∩(E∪F)∩E) + m∗(A∩(E∪F)∩Ec) =m∗(A∩E) + m∗(A∩F).(1.46) Por inducción se concluye que si E1, . . . , Enpertendecen a Ly son disjuntos dos a dos, entonces E1∪. . . ∪Enpertenece a Ly m∗(A∩(E1∪. . . ∪En)) = m∗(A∩E1) + ... +m∗(A∩En)(1.47) para todo A⊆Rn. 12CAPÍTULO 1. CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIDA Y σ-ÁLGEBRA DE LEBESGUE EN RN 3. Dados {En}n∈N⊂ L,disjuntos dos a dos, se tiene que ∪k∈NEk∈ L (tal y como hemos visto en el Lema 1.5. esta condición es equivalente a la tercera condición en la definición de σ-álgebra). Denotemos por E=[ k∈N Ek, Fn= n [ k=1 Ek, (1.48) se tiene por el punto anterior que {Fn}n∈N⊂ L.Por tanto, dado un conjunto arbitrario A⊂Rn: m∗(A) = m∗(A∩Fn) + m∗(A∩Fc n) =m∗ n [ k=1 A∩Ek!+m∗(A∩Fc n) = n X k=1 m∗(A∩Ek) + m∗(A∩Fc n), (1.49) donde la última igualdad es consecuencia del punto anterior. Ahora, puesto que Fn⊂E, se sigue que A∩Fc n⊃A∩Ec,y gracias a la monotonía de la medida exterior, m∗(A)≥ n X k=1 m∗(A∩Ek) + m∗(A∩Ec),∀n∈N.(1.50) Si tomamos límite cuando n→ ∞ en ambos lados de la desigualdad anterior, obtenemos: m∗(A)≥ ∞ X k=1 m∗(A∩Ek) + m∗(A∩Ec).(1.51) Por otro lado, de la subaditividad numerable de la medida exterior, se tiene: m∗(A∩E) = m∗ ∞ [ k=1 A∩Ek! ≤ ∞ X k=1 m∗(A∩Ek). (1.52) Por tanto, m∗(A)≥m∗(A∩E) + m∗(A∩Ec),(1.53) entonces E∈ L. 1.2. ELEMENTOS DE LA MEDIDA DE LEBESGUE 13 La medida exterior m∗restringida a Les una medida. Para demostrar este punto solo hace falta probar que m∗es σ-aditiva. Consideramos {En}n∈N⊂ L,disjuntos dos a dos, y denotamos por E= ∞ [ k=1 Ek.Tomando A=E en las ecuaciones (1.51) y (1.52) se tiene, respectivamente, que: m∗(E)≥ ∞ X k=1 m∗(Ek), m∗(E)≤ ∞ X k=1 m∗(Ek), (1.54) esto es: m∗ ∞ [ k=1 Ek!= ∞ X k=1 m∗(Ek).(1.55) Definición 1.24. Sea m∗la medida exterior definida sobre los subconjuntos de Rn.A la σ-álgebra Lde conjuntos de Rnque verifica la condición de Carathéodory: Se la llamará σ-álgebra de Lebesgue. A los conjuntos E∈ L se les llamará conjuntos Lebesgue medibles. A la restricción mde m∗aLse la llamará medida de Lebesgue en Rn. A continuación veremos algunas de las propiedades del espacio de medida de Lebesgue. Empezaremos probando que cualquier celda de Lebesgue es medible y así, su volumen concidirá con la medida de Lebesgue. Teorema 1.25. Si I es una celda en Rn,entonces I es Lebesgue medible y, además, m(I) = l(I). Demostración. Lo único que hay que probar es que las celdas cumplen la condición de Carathéodory, ya que por una de las propiedades de la medida exterior, tenemos que el volumen de una celda coincide con su medida exterior. Demostraremos el resultado para celdas abiertas de R,siendo la extensión a otra clase de celdas inmmediata. Para la demostración en Rnremitimos a la referencia [1, Teorema 13.7.]. Sea entonces I⊂Runa celda abierta y tomemos A⊂Run conjunto de medida exterior finita, m∗(A)<∞.Habrá que demostrar que m∗(A)≥m∗(A∩I) + m∗(A∩Ic). Definimos a continuación, para cada n∈N,los siguientes conjuntos: In=x∈I:dist(x, Ic)>1 n,(1.56) 20CAPÍTULO 2. CONJUNTOS MEDIBLES Y NO BORELIANOS. EL CONJUNTO DE LUSIN Capítulo 3 Conjuntos no medibles. El conjunto de Vitali en Rn. En este capítulo expondremos un ejemplo de conjunto de Rnno medible, viendo de este modo, que este tipo de conjuntos son más frecuentes de lo que cabe pensar en un principio. Para ello, será fundamental, en el sentido técnico, el empleo del Axioma de elección. El ejemplo escogido es el del conjunto de Vitali por tener una construcción más sencilla. Tanto para su construcción, como para la demostración de que no es medible, trataremos por separado el caso de Ry el de Rn. Las referencias empleadas en este capítulo son [10, Proposición 1.2.18] y el capítulo 17 de [1].Además, [7, (1.1.)] será necesaria para la construcción del ejemplo y [1, Teorema 15.9.] en la demostración del Teorema 3.6. 3.1. Construcción del conjunto de Vitali Comenzamos viendo cómo es la construcción del conjunto de Vitali en [0,1] ⊂R. En primer lugar, dado que Qes un subgrupo aditivo de R,podemos considerar el conjunto formado por las clases de equivalencia R/Q={x+Q:x∈R}.Ya que cada elemento Cde R/Qes denso en R,este tiene intersección no vacía con [0,1].Seguidamente, aplicando el Axioma de elección [7, (1.1.)], podemos tomar un representante, xc∈[0,1]∩C, para cada C∈R/Q.Finalmente, el conjunto de Vitali será el conjunto formado por todas las clases de equivalencia anteriores: V={xc:C∈R/Q}.(3.1) Ahora, para poder continuar y dar la construcción general del conjunto de Vitali en Rn,será necesario conocer la definición siguiente: 21 22CAPÍTULO 3. CONJUNTOS NO MEDIBLES. EL CONJUNTO DE VITALI EN RN. Definición 3.1. Si x, y ∈Rn,se dice que xes racionalmente equivalente a y, escribimos x∼y;si x−y∈Qn,es decir, si cada componente xi−yi∈Qpara todo i= 1,2, ..., n. Es fácil comprobar que esta relación es una relación de equivalencia en Rn[(1) x∼x; (2) x∼y⇔y∼x;(3) x∼yey∼z⇒x∼z]. Como mediante el cociente de Rnpor la relación de equivalencia racional se obtiene una colección disjunta de clases de equivalencia, entonces, empleando el Axioma de elección, se construye un conjunto Vescogiendo un representante para cada una de esas clases, de modo que si v1, v2∈ V yv1∼v2,se tiene que v1=v2.Este conjunto Vde Rnse conoce como conjunto de Vitali. Además, si q∈Qn,se escribe Vq:= q⊕ V.(3.2) Es sencillo ver que si q, q0∈Qn, q 6=q0,entonces Vq∩ Vq0=∅. 3.2. El conjunto de Vitali es no medible El objetivo principal de este capítulo es dar un ejemplo de conjunto no medible, así que veamos que, efectivamente, V ⊂ Rnes no medible. Para ello, distinguimos dos casos: 3.2.1. Caso particular n= 1 Dividimos la demostración en dos casos para apreciar lo que se simplifica en este. Teorema 3.2. El conjunto de Vitali en [0,1] ⊂Res no medible. Demostración. Realicemos un razonamiento por reducción al absurdo y supongamos que Ves Lebesgue medible. Por un lado, dado y∈[0,1] se tiene que y∈C∈R/Q.En particular, y−xc=q, con q∈Q∩[−1,1],entonces tenemos: [0,1] ⊂[ q∈Q∩[−1,1] (q⊕ V).(3.3) Por otro lado, resulta claro que: [ q∈Q∩[−1,1] (q⊕ V)⊂[−1,2].(3.4) Por tanto, gracias a la monotonía de la medida exterior: m∗([0,1]) ≤m∗ [ q∈Q∩[−1,1] (q⊕ V) ≤m∗([−1,2]).(3.5) 3.2. EL CONJUNTO DE VITALI ES NO MEDIBLE 23 Ahora, dados p, q ∈Q∩[−1,1] distintos, se tiene que (p⊕ V)∩(q⊕ V) = ∅.En efecto, si h∈(p⊕ V)∩(q⊕ V),entonces h=p+xC1+q+xC2,de donde xC1−xC2=p−q∈Q, por tanto, xC1=xC2y, finalmente, p=qque es una contradicción. Al suponer que Ves un conjunto medible, también lo será q⊕V para todo q∈Q∩[−1,1], con lo cual, por las propiedades de la medida exterior sobre conjuntos medibles: m∗ [ q∈Q∩[−1,1] q⊕ V =X q∈Q∩[−1,1] m∗(q⊕ V) = X q∈Q∩[−1,1] m∗(V).(3.6) Finalmente, se llega a que: 1≤X q∈Q∩[−1,1] m∗(V)≤3,(3.7) lo cual es una contradicción ya que si m∗(V) = 0,tendríamos que 1≤0y si m∗(V)>0, tendríamos que ∞ ≤ 3. 3.2.2. Caso general n∈N A continuación veremos cómo demostrar que el conjunto de Vitali es no medible para cualquier n∈N, para ello, necesitaremos una serie de resultados previos. Lema 3.3. Sea q1, q2, ... una enumeración del conjunto numerable Qn.Entonces Rnpuede representarse como la unión disjunta: Rn= +∞ [ i=1 Vqi= +∞ [ i=1 (qi⊕ V).(3.8) Por tanto, todo elemento x∈Rnse puede representar de forma única como x=qi+v para algún qiy algún v∈ V. Demostración. Si x∈Rn,entonces xpertenece a una única clase de equivalencia racional. Si ves el representante de dicha clase, entonces x−v=qipara algún i, de modo que x=qi+v∈ Vqi.Si i6=j, entonces los conjuntos VqiyVqjson disjuntos, como se señaló a continuación de (3.2). Definición 3.4. Si A⊆Rn,entonces el conjunto diferencia se define como AA:= {x−y:x, y ∈A}.(3.9) Aunque es trivial, es útil observar que si A⊆B, entonces AA⊆BB. 24CAPÍTULO 3. CONJUNTOS NO MEDIBLES. EL CONJUNTO DE VITALI EN RN. Lema 3.5. Sea K⊆Rnun conjunto compacto con m(K)>0.Entonces el conjunto diferencia KKcontiene un bola abierta centrada en el origen de Rn. Demostración. Como 0< m(K)<+∞,existe un conjunto abierto G tal que K⊆Gy m(G)<2m(K).Por ser K compacto y Gc=Rn\Gcerrado, se tiene que δ:= dist(K, Gc)>0.(3.10) Esto implica que si kxk=dist(x, 0) < δ, entonces x⊕K⊆G. Se puede asegurar que (x⊕K)∩K6=∅.Ya que, si no, como se tiene que K∪(x⊕K)⊆G, por (x⊕K)∩K=∅y la aditividad de mse llegaría a 2m(K) = m(K) + m(x⊕K) = m(K∪(x⊕K)) ≤m(G)<2m(K),(3.11) que es una contradicción. Por tanto, (x⊕K)∩K6=∅para todo xcon kxk< δ, y así, existen k1, k2∈Ktales que x=k1−k2∈KK. Por lo que, finalmente, se tiene que el conjunto KKcontiene una bola abierta de centro 0 y radio δ. Teorema 3.6. Si E⊆Rnes un conjunto arbitrario Lebesgue medible con m(E)>0, entonces el conjunto diferencia EEcontiene una bola abierta de centro 0. Demostración. Para n∈N,sea En:= {x∈E:kxk< n}.Como m(E) = l´ımnm(En), tenemos m(En)>0para un nsuficientemente grande, entonces decimos para todo n≥n0. Nótese que 0< m(En0)<+∞.Por [1, Teorema 15.9.] existe un compacto K⊆En0⊆E con 0<(1/2)m(En0)≤m(K).Como K⊆E, es claro que KK⊆EE. Por el Lema 3.5. anterior, concluimos que KKcontiene una bola abierta de centro cero; y por ello, EEtambién. Ahora sí, ya nos encontramos en condiciones de probar el resultado principal de este capítulo, que es que el conjunto de Vitali Vde Rnno es medible. Teorema 3.7. El conjunto de Vitali Vno es Lebesgue medible. Demostración. Se razonará por paso al contrarrecíproco. Supongamos lo contrario, que el conjunto Ves medible. De este modo, se tienen dos posibilidades: 1. m(V)>0. Entonces el Teorema 3.6. nos garantiza que el conjunto diferencia V V contiene una bola abierta de centro 0. Así, existe un elemento x, distinto de cero, contenido en dicha bola cuyas coordenadas son números racionales. Como xpertenece a la bola, podemos encontrar elementos v1, v2∈ V tales que x=v1−v2.Pero entonces se tendría que v1∼v2,de lo que se conlcuye que v1=v2yx= 0,que resulta una contradicción. Por tanto, esto no es posible. 3.2. EL CONJUNTO DE VITALI ES NO MEDIBLE 25 2. m(V) = 0. Como la medida de Lebesgue es invariante ante traslaciones, se tiene m(q⊕ V)=0 para todo q∈Qn.De la subaditividad numerable de my (3.8) se sigue que 0≤m(Rn) = +∞ X i=1 m(qi⊕ V)=0.(3.12) Por tanto, se tendría que m(Rn) = 0,lo que implicaría que la medida de todo subconjunto medible de Rnsería igual a 0, que es una contradición. Así, el conjunto de Vitali no es Lebesgue medible. 26CAPÍTULO 3. CONJUNTOS NO MEDIBLES. EL CONJUNTO DE VITALI EN RN. Capítulo 4 Conjunto y función de Cantor En este capítulo mostraremos cómo se construye el conjunto medible de Cantor. Después, veremos distintas formas de definir la función de Cantor y demostraremos algunas de sus propiedades. Finalmente, se hará uso de la misma para encontrar un ejemplo de conjunto medible que no es de Borel. Para elaborar este capítulo se ha hecho uso de las referencias [3], el capítulo 17 de [1], la sección 1.2. de [10] y la sección 4 del capítulo I de [2]. Además, se precisarán [2, Definición 7.2.] y [4, Teorema 1.1.] para la Proposición 4.4.; y [1, Teorema 17.7.] en el Ejemplo 4.5. 4.1. Conjunto de Cantor El conjunto ternario de Cantor F,se construye a partir del intervalo [0,1] mediante la eliminación sucesiva de los “tercios centrales”, de modo que se obtiene una sucesión de subconjuntos cerrados tales que C1⊇C2⊇ · · · ⊇ Ck⊇ · · · .Detallamos el proceso a continuación: Comenzamos subdividiendo el intervalo Co= [0,1] en tres intervalos de la misma longitud, que es 1 3,y eliminamos el intervalo abierto central 1 2,2 3,entonces lo que nos queda es C1=0,1 3∪2 3,1.Ahora, para obtener C2,se aplica esto a cada uno de dos los subintervalos cerrados que constituyen C1.Por tanto, C2es el resultado de eliminar de C1los intervalos abiertos 1 9,2 9y7 9,8 9.En general, Ckconsta de 2kintervalos cerrados disjuntos, cada uno de ellos de longitud 1 3ky, a partir de él, se obtiene Ck+1 eliminando los tercios centrales de cada uno de los intervalos por los que está constituido Ck. Entonces, se tiene que el conjunto ternario de Cantor es el conjunto límite de la sucesión de conjuntos {Cn}n∈N: F=\ n∈N Cn,(4.1) 27 28 CAPÍTULO 4. CONJUNTO Y FUNCIÓN DE CANTOR siendo los conjuntos {Cn}: C0= [0,1], C1=0,1 3∪2 3,1, C2=0,1 9∪2 9,1 3∪2 3,7 9∪8 9,1, · · · · · · Cn=0,1 3n∪2 3n,3 3n∪6 3n,7 3n∪8 3n,9 3n∪ · · · · · · ∪ 3n−3 3n,3n−2 3n∪3n−1 3n,1, n ∈N. (4.2) Gráficamente, los cinco primeros conjuntos de esta sucesión tienen el siguiente aspecto: Figura 4.1: Evolución de los Conjuntos de Cantor. Ahora, vamos a dar una forma alternativa de definir el conjunto de Cantor en base a la expansión en forma de serie ternaria (base 3) de un número. Proposición 4.1. Cada punto xdel conjunto ternario de Cantor Fse puede representar de manera única mediante una serie de la forma x= ∞ X n=1 an 3n,siendo an∈ {0,2},∀n, (4.3) y todo número así representado está en F. Demostración. Podemos reescribir el número xde (4.3) con su expresión ternaria 0.a1a2a3. . . . (4.4) 4.1. CONJUNTO DE CANTOR 29 Ahora, veamos que no puede haber más de una representación de este tipo. Si ∞ X n=1 an 3n= ∞ X n=1 bn 3n,(4.5) donde cada bntambién es 0 o 2, debemos probar que an=bnpara todo n. Supongamos que an6=bnpara algún n. Sea pel menor número natural tal que ap6=bp.Entonces |ap−bp|= 2.Puesto que |an−bn| ≤ 2para cada n, tenemos 0 =  ∞ X n=p an−bn 3n ≥1 3p |an−bn| − ∞ X n=p+1 |an−bn| 3n  ≥1 3p 2− ∞ X n=1 2 3n!=1 3p, (4.6) que es absurdo. Por tanto, an=bnpara cada n. Sean Gnk, k = 1,2,...,2n−1los intervalos abiertos eliminados en el proceso de obtención de Cn.Se considera un número con expresión ternaria 0.b1b2b3. . . , donde cada bi∈ {0,1,2}.Es fácil ver que 0.b1b2b3. . . ∈Gnk para algún ksi, y solo si, bm= 0 o2para cada m < n, ybn= 1; para m > n, bnno tiene restricciones salvo que estos b0 ms no pueden ser todos 00s o todos 20s. (Examinando la situación denotando los puntos extremos de los intervalos abiertos Gnk mediante su respectiva representación ternaria.) A continuación, veamos que el conjunto de Cantor es un conjunto cerrado, medible, de medida cero y no numerable. Demostramos cada una de las afirmaciones por separado: Efectivamente, es cerrado por ser intersección numerable de conjuntos cerrados. En efecto, Fes un conjunto medible porque se puede expresar como intersección numerable de conjuntos medibles. Dado n∈N,resulta evidente que F⊂Cn,por tanto, m(F)≤m(Cn).Teniendo en cuenta, como se señaló en la construcción del conjunto ternario, que Cnestá formado por 2nintervalos de longitud 1/3n,se sigue que m(F)≤m(Cn)≤2 3n .(4.7) Ahora, como l´ımn→∞(2/3)n= 0,se concluye que m(F)=0. Observación 4.2.Alternativamente, se podría haber demostrado probando que la medida de los intervalos eliminados durante el proceso de construcción es 1. En