Elaboración e análise de modelos económicos baseados no marco input-output

UNIVERSIDADE DE SANTIAGO FACULTADE DE ADMINISTRACIÓN E DIRECCIÓN DE EMPRESAS ELABORACIÓN E ANÁLISE DE MODELOS ECONÓMICOS BASEADOS NO MARCO INPUT-OUTPUT. Xesús Pereira López Lugo, 2006 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO Índice Xeral Índice Xeral 1 Introducion 5 1 As táboas input-output como ferramenta da análise económica 8 1.1 Introdución ....................................... 8 1.2 Astáboasinput-outputnoSEC-79.......................... 14 1.3 O novo marco input-output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Atáboadeorixe................................ 19 1.3.2 Atáboadedestino............................... 21 1.3.3 Atáboasimétrica ............................... 24 1.4 Problemas adicionais na estimación de táboas rexionais . . . . . . . . . . . . . . 27 Apéndice 1.A Criterios de valoración SEC-79 vs. SEC-95................ 31 Apéndice 1.B Resumo dos cambios metodolóxicos SEC-79/SEC-95 . . . . . . . . . . 35 2 A análise input-output no seo do SEC-95 39 2.1 Introdución ....................................... 39 2.2 Relaciónscontábeisbásicas .............................. 44 2.3 Os "novos"coeficientes directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Relacións directas entre ramas e produtos a partir da táboa de orixe . . . 50 2.3.2 Relacións directas entre ramas e produtos a partir da táboa de destino . . 61 1 2.4 ModelosobtidosdirectamentedasTOD ....................... 65 2.4.1 Modelosclásicosoudedemanda ....................... 68 2.4.2 ModelosdeofertaoudeGhosh........................ 74 Apéndice 2.A Desagregación dos fluxosnatáboadedestinopororixe......... 81 2.A.1 Coeficientestécnicosinteriores ........................ 81 2.A.2 Coeficientestécnicosimportados ....................... 82 2.A.3 Coeficientesdedistribucióninteriores .................... 84 2.A.4 Coeficientesdedistribuciónimportados ................... 85 Apéndice 2.B Relacións entre as matrices de coeficientesdirectos ........... 87 2.B.1 Interrelación entre CeD........................... 87 2.B.2 Interrelación entre BdeHd.......................... 88 3 Extensións da análise input-output no novo marco contábel 89 3.1 Introdución ....................................... 89 3.2 O emprego de inversas xeralizadas no marco input-output . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.1 As inversas xeralizadas das matrices CeD´................. 91 3.2.2 Expresiónsalternativasdosmodelosdedemanda.............. 93 3.2.3 Expresiónsalternativasdosmodelosdeoferta................106 3.3 Resolución de modelos "simples" input-output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.4 Construción de táboas simétricas a partir das táboas de orixe e destino . . . . . . 115 3.4.1 Introdución...................................115 3.4.2 Construción dunha táboa simétrica por produtos cunha matriz de consumosintermedioscadrada ..........................116 3.5 Relaciónsentreosmodelosdedemandaeoferta(OD) ...............117 3.6 Modelodeprezos....................................129 4 Os problemas de estabilidade do sistema económico na análise input-output 132 4.1 Introdución .......................................132 4.2 Condicións suficientes para obter inversas de Leontief positivas . . . . . . . . . . 135 2 4.2.1 A inversa de Leontief como unha serie de potencias de matrices . . . . . . 135 4.2.2 Teoremas: as inversas de Leontief no modelo de demanda . . . . . . . . . 140 4.2.3 Teoremasalternativos .............................149 4.3 Algunhas consideracións acerca das matrices de Leontief e as súas inversas . . . . 152 4.4 Recuperacióndaestabilidadeatravésdosprezos ..................152 5 Novos procedementos para a actualización de matrices 159 5.1 Introdución .......................................159 5.2 Ométodotradicional:RAS.............................. 160 5.3 AdaptacióndoRASaosmodelosorixe-destino.................... 162 5.4 Actualización de matrices con información limitada: un novo método biproporcional169 5.4.1 Axustesenmodelosdedemanda .......................170 5.4.2 ActualizacióndamatrizdeLeontief .....................171 5.4.3 ActualizacióndainversadeLeontief .....................174 5.4.4 Extensiónsdométodo .............................177 5.5 Aplicación do RAS á Inversa de Leontief; comparación co novo método proposto 187 5.5.1 DesenvolvementodométodoRAS ......................187 5.5.2 Diferenzaseconsideracións ..........................191 5.5.3 Oproblemadainformaciónlimitada..................... 193 5.6 Conclusiónseposíbeisliñasdeactuación.......................197 Conclusions 199 Bibliografía 205 Apéndice Matemático 212 AlxebrasdeBanach .....................................212 Matrices de diagonal dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 MatricesdeLeontief .....................................215 3 ModeloabertodeLeontief..................................216 InversaxeralizadadeMoore-Penrose............................216 Anexos 220 TABOAS SIMETRICAS A PARTIR DAS TABOAS DE ORIXE E DESTINO DA ECONOMIAANDALUZA .............................. 220 CALCULO DA INVERSA DE LEONTIEF DUNHA FORMA ALTERNATIVA A TRADICIONALSERIEDEPOTENCIAS ..................... 226 ESTABILIDADE ECONOMICA CON VALORES NEGATIVOS NO VECTOR DE INPUTSPRIMARIOS.................................227 MODOFICACION DO VECTOR DE PREZOS PARA LOGRAR UN VECTOR DE INPUTSPRIMARIOSPOSITIVOS ......................... 228 A EFICACIA DO METODO BIPROPORCIONAL CON INFORMACION LIMITADA229 ACTUALIZACION DA INVERSA DE LEONTIEF DE ACORDO AO METODO BIPROPORCIONALCONINFORMACIONLIMITADA ............. 233 4 Introdución A pesar que somos conscientes da notábel explotación da metodoloxía input-output na análise económica, tanto a nivel teórico como a nivel aplicado, presentamos este documento de investigación co ánimo e a firmeza de que esta metodoloxía aínda resulte de maior utilidade dentro deste campo. O modelo input-output e as aportacións de Leontief caracterízanse pola persistencia en compaxinar, sempre e de forma absoluta, o refinamento dos conceptos abstractos co uso do material empírico, ou sexa, de facer a confrontación permanente das ideas e modelos teóricos cos feitos —a realidade fáctica entendida como material bruto que no fondo debe ser o auténtico obxecto de atención do teórico, máis aló da súa pasión pola beleza formal dos modelos abstractos. Como profesor de matemáticas para a economía estou totalmente de acordo con Leontief ao criticar e denunciar a todos aqueles economistas matemáticos que seguen facendo da economía un campo cada vez máis reducido a puro formalismo abstraído dos problemas reais que lle importan á humanidade1.Estaideaestásemprepresenteaolongodetodaainvestigación,quedefeitofoia orixe da mesma tras a nosa incorporación nun grupo de investigación de carácter interdisciplinar: GrupodeAnáliseeModelizaciónenEconomía(GAME). Neste sentido, dentro das equipas de investigación das que formamos parte, nomeadamente Os complexos produtivos clave da economía galega e a súa evolución no período 1980-1998. Análise a partir das Táboas Input-Output2eUn modelo multisectorial da economía galega3; estudamos, entre outros aspectos, a economía galega a través das táboas input-output e as 1A crítica de Leontief á Economía académica e estéril chegou tan lonxe como para escribir: "¿Cando deixarán os investigadores (...) de preocuparse polo estado dos equilibriosestábeiseestacionarioseoespléndidoaillamento no que se atopa agora a economía académica? Esta situación manterase probabelmente mentras os membros permanentes dos departamentos importantes de Economía continúen exercendo un estreito control da formación, a promoción e as actividades de investigación dos seus compañeiros máis xóvenes (...). Os métodos empregados para manter a disciplina intelectual nos departamentos de Economía máis influíntes de este país poden lembrar en ocasións aos que empregan para manter a disciplina na illa de Parris". (Carta á revista Science, xullo de 1982). 2Proxecto financiado pola Fundación Caixa Galicia - Claudio San Martín. 3Programa de Promoción Xeral da Investigación do Plan Galego de IDT (PGIDT 03PXIA20102PR). 5 ferramentas asociadas ás mesmas. E así na medida en que íamos analizando a información dispoñíbel nas táboas fóronse formulando distintas preguntas, ás que lles debíamos dar respostas adecuadas. Dentro do marco input-output, decidimos fuxir daquelas situacións máis convencionais e quixemos centrarnos noutras onde xurdisen distintos atrancos; e a partir de aí esforzámonos en atopar posíbeis saídas. Dende un primeiro momento, debemos explicitar que aquí tan só procuramos dotarnos dun maior instrumental matemático para aplicar logo en futuras investigacións, dito doutro xeito, o noso obxectivo primordial xira na búsqueda de solucións teóricas para atallar posíbeis problemas dentro da análise a partir de modelos. Optamos por estruturar este traballo en seis capítulos. No Capítulo 1 faremos un breve repaso dos aspectos máis esenciais do anterior marco input-output e do actual; SEC-95. No mesmo lembraremos as cuestións máis básicas relacionadas coas táboas de orixe e destino e coa táboa simétrica. Tamén destacaremos os principais problemas na estimación de táboas rexionais. No Capítulo 2 recordaremos as identidades contábeis básicas e as definicións dos distintos coeficientes obtidos a partir destas táboas, así como certos aspectos colaterais; despois introduciremos aqueles modelos xa tradicionais obtidos directamente das táboas de orixe e destino. No Capítulo 3 abordaremos un obstáculo significativo que nos encontramos en determinados casos á hora de explicar a produción (por produtos ou por ramas produtivas), ese obstáculo correspóndese coa necesidade de calcular "inversas" de matrices rectangulares para poder explicar vectores de produción por produtos ou por ramas de actividade. Así, unha vía empregada a miúdo consiste en recurrir a agregacións para obter matrices cadradas, aínda que esa saída conleve unha pérdida da información que nos aportan este tipo de táboas. Nós optaremos por escoller outra alternativa con vistas a obter as "inversas" de matrices rectangulares, en concreto, apoiarémonos na inversa xeralizada de Moore-Penrose. De acordo ao emprego desta ferramenta, veremos como é posíbel construír outro tipo de modelos que mostran unha maior simpleza, onde non será necesario multiplicar matrices de coeficientes. Tamén nos esforzaremos na búsqueda das interpretacións económicas desas matrices que nos irán xurdindo nos distintos modelos de análise. No Capítulo 4 abordaremos unha das limitacións que veñen a darse no marco input-output, en concreto analizaremos a posíbel estabilidade dunha determinada economía con ramas produtivas en desequilibrio. Un dos nosos propósitos consistirá en xustificar a hipotética existencia de compoñentes negativas no vector de inputs primarios sen que ese feito supoña ningún erro de confección das táboas, nin implique o "retoque" das mesmas. Sendo máis explícitos, se acudimos 6 a un escenario onde traballemos con táboas en termos de valor onde esas compoñentes sexan negativas (o que implicaría que as ramas de actividade vinculadas aos mesmos consumisen unha maior cantidade de inputs intermedios que os seus propios niveis de produción), observaríamos comoacondicónsuficiente que se utiliza frecuentemente para detectar matrices produtivas xa non nos sería válida. Así, sen necesidade de acudir á condición necesaria e suficiente de HawkinsSimon, fixarémonos en que circunstancias somos capaces de atopar solucións positivas, ou sexa, veremos ata que punto eses desequilibrios sectoriais non desestabilizan o sistema obxecto de estudo. Nesa liña, introduciremos algunhas condicións suficientes con vistas a lograr inversas de Leontief positivas, que con toda probabilidade se axustarían a posíbeis casos reais onde xurdan eses valores negativos. Tamén procuraremos sinalar as interpretacións económicas relativas aos elementos de certas matrices que empregaremos como instrumentos de apoio. No Capítulo 5, enfrontarémonos a outro problema, o que nos ven dado habitualmente no entorno da táboa simétrica á hora de realizar distintas estimacións de variábeis para eses períodos nos que non foron publicadas as TIO. O noso obxectivo fundamental será logo o de introducir unha técnica de axuste biproporcional que sexa manexábel. Desa forma, veremos como ese método pode actuar ben sobre a matriz de Leontief dun ano base ou ben sobre a súa inversa para estimar esas matrices descoñecidas, aínda que "próximas" ás reais; para despois cuantificar esas magnitudes vectoriais relativas a eses períodos que non coincidan coa publicación de táboas e para os que poseemos certa información. Observaremos como ese procedemento alternativo nos evitará a aplicación doutro tipo de métodos máis sofisticados e para os que precisaríamos unha maior información, sendo ademais moi probábel encontrarnos con casos onde non se dispoña de dita información e como consecuencia non se poderían usar as técnicas xa coñecidas. Tamén indicaremos como é posíbel aplicar este método aos modelos obtidos a partir das táboas de orixe e destino, incluso cando xurden matrices rectangulares. Na búsqueda de semellanzas co método RAS, expoñeremos unha variante desta técnica que actúa de forma directa sobre a matriz de coeficientes técnicos cunha información mínima; onde se descoñeza unha das marxes, en concreto, a suma por columnas dos consumos intermedios. E xa por último, con vistas a xustificar este documento de investigación retomaremos aquelas conclusións máis importantes ás que iremos chegando ao longo do mesmo e que dalgunha maneira entendemos que supoñen un avance dentro do marco input-output. 7 Capítulo 1 As táboas input-output como ferramenta da análise económica 1.1 Introdución As Táboas Input-Output (TIO) vendéronse como instrumento complexo e casi perfecto da análise do presente e proxección do futuro dunha economía. O seu principal atributo —a capacidade para integrar nun esquema contábel, relativamente simple, o conxunto de relacións que definen a estrutura produtiva— permitiulles aos economistas do mundo enteiro ao longo de varias xeracións facer fronte con máis rigor ás tarefas de planeamento, avaliación e reordenamento territorial. Pero tamén houbo algúns momentos nos que chegaron a padecer un certo desprezo, dende logo tan inmerecido como as honras anteriores. Actualmente as mesmas considéranse como un instrumento teórico-práctico onde a súa validez e utilidade dependen fundamentalmente da calidade das informacións coas que se elaboran e do acerto das hipóteses que inevitabelmente encerran. Independentemente das súas orixes históricas1e dos seus antecedentes máis inmediatos, a análise input-output iníciase hai máis de 65 anos coas primeiras achegas de Leontief (1936 e 1941)2sobre a economía americana de 1919 e 1929. En realidade, as TIO son herdeiras 1Como se comentou reiteradamente na literatura, en realidade a achega de Leontief é debedora dunha corrente da teoría económica que arranca da idea do Tableau économique de Quesnay, retomada despois por Marx e, baixo unha perspectiva diferente, por Walras e Pareto. 2Avances dos seus traballos foron publicados en 1936 e 1937, culminando a súa investigación en 1941 coa publicación da súa obra máis coñecida: The Structure of American Industry. 8 poucas as TIO elaboradas de acordo ao novo marco13. Na metodoloxía SEC-79 presentábase a TIO como un conxunto de tres matrices (matriz de demanda intermedia, de demanda final e inputs primarios) que representaban todo o fluxo económico acontecido nunha economía nun período de referencia. A característica básica da matriz intermedia era a súa forma cadrada (é dicir, dispoñía do mesmo número de filas que de columnas), sendo o requisito de cadrada necesario para poder invertir a matriz de Leontief e aplicar así o correspondente modelo. No Cadro 1 aparece un esquema dunha TIO elaborada seguindo as directrices do SEC-79. A matriz de consumos intermedios (MCI) rexistra os fluxos de bens e servizos entre as ramas de actividade (RA) nas que se desagrega a economía. As RA son, en principio, agrupacións das unidades de actividade económica (UAE) que producen bens e servizos cercanos14. Nas táboas da economía española, as ramas obtéñense a partir da información estatística de establecementos que poden realizar unha actividade principal e varias secundarias. Por esta razón e porque as ramas das táboas se definen, en ocasións, para agregados de grupos de 3 díxitos, as RA poden realizar producións principais e secundarias15. A MCI é unha matriz cadrada que nos indica os fluxos interiores e importados entre as ramas. Os fluxos intermedios de orixe interior están valorados a prezos de saída de fábrica e non inclúen, polo tanto, nin as marxes atribuíbeis ás ramas de distribución (comercio e transporte), nin tampouco o correspondente IVA deducíbel. De modo análogo, os fluxos intermedios de orixe importada están valorados a prezos saída de aduana e non inclúen neste caso ningún imposto que grava os produtos16. 13Por exemplo, das tres TIO dispoñíbeis para a economía galega (1980, 1990 e 1998) só a última (TIOGA-98) se elaborou seguindo en parte as directrices do SEC-95. 14No SEC-79, as UAE son desgloses de Unidades Institucionais que producen bens e servizos incluídos no mesmo grupode3díxitosdaclasificación de actividades NACE-CLIO, cuxa adaptación a España se denomina CNAE. O SEC-95 impón dous requisitos para que se poida falar de UAE: que sexa capaz de subministrar un mínimo de información e que se poida indentificarasúaactividadeprincipalcoasubdivisiónacatrodíxitosdaCNAE-93. 15A elección do nivel de agregación é un asunto máis importante do que puidera parecer a primeira vista. Loxicamente, canto maior sexa a desagregación das ramas,máispróximosseránosbenseservizosproducidospor algunhas ramas e, polo tanto, maior grao de substituibilidade entre eles, unha circunstancia que encaixa mal coa hipótese de non substituibilidade característica da tecnoloxía input-output. Polo contrario, cando o número de ramas é pequeno, os bens e servizos producidos serán moi distintos, pero cada rama producirá unha amalgama de bens e servizos moi ampla, polo que a estrutura de fluxos verase afectada por cambios na composición das ramas, incluso se a tecnoloxía input-output fose axeitada para describir a tecnoloxía das subramas incluídas en cada rama. 16A valoración dos consumos intermedios a prezos de saída de fábrica é unha tarefa que presenta notábeis dificultades, xa que os consumos intermedios se obteñen a prezos de adquisición e, polo tanto, é preciso eliminar o IVA e as marxes de distribución. Por outra parte convén destacar que, se ben os consumos intermedios están valorados a prezos de saída de fábrica ou a saída de aduana, o valor total dos consumos intermedios de cada rama estávaloradoaprezosdeadquisición,excluídooIVAcorrespondente,dadoqueasentradasdasfilas relativas ás ramas de distribución (comercio e transporte), aumentan o valor dos consumos intermedios da rama na cuantía correspondente ás marxes mencionadas. 15 CADRO 1: ESTRUTURA TIO SEC-79 Matriz de Consumos Intermedios -Matriz Cadrada -Valorada a p rezos de saída de fábrica Matriz de Factores Primarios Matriz de Demanda Final A matriz de factores primarios (MFP) é unha matriz rectangular con tantas columnas como ramas e un número de filas variábel. En primeiro lugar, a MFP proporciona o valor engadido de cada rama ou diferencia entre o valor da produción a prezos de saída de fábrica —que inclúe os impostos sobre os produtos (excepto o IVA) e outros impostos ligados á produción— e o valor das compras intermedias da rama a prezos de adquisición —excluído o IVA deducíbel—. En segundo lugar, o valor engadido desglósase en remuneración de asalariados (RAS)17, impostos ligados á produción (TP), subvencións de explotación (SB) e desgravacións á exportación (DX) e un saldo ou excedente bruto de explotación (EBE). Ao sumarlle ao valor total das compras intermedias valoradas a prezos de adquisición o valor engadido bruto a prezos de mercado —que inclúe os impostos netos que gravan os produtos—, obtense o valor da produción efectiva (PE) da rama a prezos de saída de fábrica, dado que esta produción non inclúe as marxes de distribución correspondentes á produción da rama. Adicionalmente, a MFP contén algunhas filas que rexistran as transferencias de produtos (PS) existentes entre ramas. A orixe destas transferencias é a presenza de producións de bens e servizos distintas á produción principal da rama. A terminoloxía input-output refírese a elas como "producións secundarias, próximas e fatais" e contabilízanse con signo negativo nas ramas que as xeneran e con signo positivo nas ramas onde a produción principal coincide cos produtos en cuestión. O valor de cada elemento é o valor neto, ou sexa, a diferencia entre o valor da produción doutras ramas do ben obxecto da actividade principal da rama menos o valor das producións secundarias realizadas polas ramas. Tamén hai nas táboas unha fila denominada "Vendas Residuais das Administracións Públicas" (VR AAPP) onde as entradas positivas 17A RAS subdivídese a súa vez en soldos e salarios brutos (SSB) e cotizacións sociais a cargo dos empregadores (CS). 16 indican a produción realizada polas administracións coincidente coa actividade principal das ramas onde figuran; a suma destas entradas positivas é igual á suma das entradas negativas que aparecen nas ramas correspondentes ás AAPP. Aínda que tanto no caso das PS coma das VR AAPP a suma das filas é cero, a súa inclusión permite calcular o valor da produción homoxénea realizada por cada rama ou produción distribuída (PD) a prezos de saída de fábrica. Por último, na MFP aparecen filas onde figuran as importacións de bens e servizos equivalentes aos producidos por cada rama e os correspondentes impostos ligados ás importacións. A matriz de demanda final (MDF) indícanos o uso final ao que se destina a produción. Normalmente nesta matriz incorpórase desagregadamente o gasto do consumo das familias e as institucións privadas sin fin de lucro ou consumo privado; o gasto das compras netas de produtos realizadas polas AAPP, denominado consumo público ou colectivo; a parte da produción de cada rama que se destina á formación bruta de capital (xeralmente distínguese entre formación bruta de capital fixo e variación de existencias); os bens e servizos adquiridos por unidades non residentes ou exportacións ás dúas áreas de comercio e por último, inclúense as columnas co total de demanda final e o total de empregos das ramas. 1.3 O novo marco input-output A introdución do SEC-95 supuxo cambios moi importantes na elaboración das TIO. A diferenza máis interesante estriba, sen dúbida, na visión máis desagregada do proceso produtivo que vén proporcionada tanto polo lado da oferta coma da demanda. Este maior detalle ten a súa concreción visíbel no feito de que a familiar TIO foi rebautizada como marco input-output para subraiar a pluralidade de matrices necesarias para describir axeitadamente a mecánica do sistema económico. Quizais a novidade máis chamativa do SEC-95 sexa, polo tanto, a substitución da TIO convencional por un conxunto de táboas interrelacionadas que, atendendo á literalidade do novo sistema contábel, se agruparían en tres bloques: a) táboas de orixe e destino. b) táboas que relacionan as táboas de orixe e destino coas contas dos sectores. c) táboas input-output simétricas. Comezamos a nosa análise polas táboas do apartado b). A información das táboas de orixe e destino debe relacionarse coa das contas dos sectores, para asegurarse de que son coherentes entre si. Por iso se introduce unha táboa na que se cruzan as variábeis clasificadasporramasde actividade e por sectores. Esta táboa permite combinar as dúas visións alternativas, produtiva 17 e institucional, ao mostrar nas filas para cada sector institucional as compoñentes da Conta de Produción e Explotación, así como a Formación Bruta de Capital Fixo, mentres que por columnas aparecen as distintas ramas produtivas. A súa construción supón un importante esforzo sobre todo para aquelas economías (como as rexións) que non contan con información completa para o total das contas dos sectores institucionais. De feito, na maior parte dos casos estas táboas non son incluídas nos Marcos Input-Output rexionais18. Centrándonos agora nas táboas dos apartados a) e c). A táboa de orixe indícanos a procedencia dos distintos produtos e a táboa de destino o uso intermedio ou final ao que se adican os mesmos19. As táboas de orixe e destino, principal novidade formal no marco inputoutput, rompen coa tradicional visión da TIO como un documento único e, ao ser matrices por ramas de actividade e produtos —que de acordo ao espíritu do SEC-95, os produtos superan as ramas—; tamén rompen coa idea dun núcleo central formado por unha matriz cadrada de consumos intermedios, primordial para a elaboración de modelos de análise económica. A oferta (produción e importacións) e demanda (empregos intermedios e finais) de produtos quedan agora separadas nas táboas de orixe e destino, de forma respectiva. Loxicamente, os totais de ambas táboas por filas (produtos) terán que coincidir reflectindo así o equilibrio contábel entre recursos e empregos. A táboa simétrica constrúese a partir das táboas de orixe e destino, empregando certas hipóteses, e intenta cuantificar os fluxos produtivos entre unhas ramas hipotéticas que producen bens e servizos homoxéneos ou Ramas de Actividade Homoxéneas; estas poden, polo tanto, interpretarse como agregacións das tamén hipotéticas Unidades de Produción Homoxénea (UPH)20. En puridade, o que está propoñendo o novo sistema contábel é a elaboración dun dobre marco input-output: 1) O que relaciona produtos e ramas de actividade, construidas estas por agregación dos datos de tódalas unidades de produción cuxa actividade principal é a que dá nome á rama de referencia. Xa que, con frecuencia, ditas unidades realizan tamén actividades secundarias, as 18Aíndaqueestastáboassonmoiimportantes,asmesmasnon son prioritarias nas estimacións rexionais xa que requiren un esforzo considerábel ao ser necesario diferenciar por ramas a produción realizada polos fogares, ou sexa, a realizada polos traballadores autónomos, especialmente concentrados no sector primario e na construción da produción realizada polas ISFLSH e as empresas financeiras e non financeiras. No propio SEC-95 (13.03) recoñécense estas dificultades conceptuais que explican a razón pola que as contas rexionais se limitan ao rexistro das actividades de produción por ramas de actividade e ás contas dalgúns sectores institucionais, como o correspondente aos fogares. 19Ademais existen as táboas de distribución (marxes comerciais e de transporte) e impostos que permiten relacionar a valoración a prezos básicos e a prezos de adquisición. Estas táboas, imprescindíbeis para obter as valoracións a prezos básicos, non foron publicadas. 20En contraste, o SEC-79 efectuaba esa homoxenización calculando, cunha información, presumibelmente semellante á que se detalla na táboa de orixe, os vectores TR e VR que, como indicamos, permiten pasar de produción efectiva dunha rama (heteroxénea) á produción distribuída pola rama (homoxénea). 18 ramas resultan ser non homoxéneas, no sentido de que producen máis dunha clase de ben ou servizo. Este primeiro sistema correspóndese coas táboas de orixe e destino do SEC-95. 2) O que relaciona produtos e ramas de actividade homoxéneas, definidas estas como agrupacións de unidades de produción que unicamente producen unha clase de ben ou servizo. Trátase de unidades teóricas ou conceptuais o e mesmo acontece coa orde superior de agregación. Este segundo sistema correspóndese coas táboas simétricas do SEC-95. O primeiro é o resultado das operacións estatísticas propiamente ditas, mentres que o segundo é consecuencia da transformación dos dados orixinais. Pero, en ambos casos, o sistema de táboas interrelacionadas sería o mesmo; orixe (oferta de produtos), destino (empregos de produtos) e táboas auxiliares, que permiten relacionar os distintos criterios de valoración previstos no SEC-95. Estas últimas, por moito que se veñan denominando auxiliares, adquiren unha importancia crucial no Marco Input-Output. 1.3.1 A táboa de orixe O marco input-output do SEC-95 inclúe unha primeira táboa denominada de orixe (TO) que nos indica a orixe local ou importada dos bens e servizos dispoñíbeis na economía para satisfascer a demanda. O núcleo da táboa é unha matriz rectangular (de orde m×n)naque figuran os rexistros correspondentes á produción interior dos mbens e servizos21 realizada polas nramas22 nas que se divide a economía total. Naturalmente, algunhas das entradas da matriz son nulas, indicando que a rama non produce o ben ou servizo correspondente. Ademais da oferta interior, nunha TO tamén se engaden as importacións de bens e servizos equivalentes, que inclúen bens e servizos adquiridos por unidades residentes a unidades non residentes do resto dos países da Unión Europea e do resto do mundo23 para chegar ao total de recursos dispoñíbeis no sistema económico. Estas importacións valóranse a prezos CIF, un concepto asimilábel ao prezo básico, xa que non recolle os impostos ligados ás importacións. A suma da produción interior a prezos básicos e as importacións CIF proporciona a oferta total a prezos básicos. Polo xeral, na táboa de orixe aparecen unhas columnas adicionais onde se rexistran as marxes comerciais, marxes de transporte e impostos netos sobre os produtos24.Aosumarporfilas as 21Os bens e servizos que aparecen na fila son grupos de produtos para un nivel de desagregación da CNPA-96. 22A clasificación por ramas obtense agregando os fluxos de tódalas UAE para un nivel de desagregación da CNAE-93eaclasificación por produtos elixindo un nivel de agregación da CNPA-96. 23O SEC-95 recomenda separar as importacións de bens e servizos e distinguir as que teñen a súa orixe noutros países da U.E. das procedentes doutros países. 24Os impostos sobre os produtos inclúen os seguintes conceptos: impostos sobre o valor engadido, impostos e dereitos sobre as importacións e o resto de impostos sobre os produtos. 19 entradas de tódalas columnas (oferta total a prezos básicos, marxes de distribución e impostos netos sobre os produtos) obtemos a oferta total de bens e servizos a prezos de adquisición. A táboa engloba tamén dúas filas denominadas axuste CIF/FOB e consumo de residentes fóra do territorio económico. A primeira introdúcese co dobre propósito de, por unha parte, satisfacer o criterio SEC de valorar CIF as importacións por produtos e valorar FOB o total de importacións e, por outra, para ter en conta que no prezo CIF das importacións se inclúen marxes de transporte que figuran na columna das marxes de transporte, e orixinan unha dobre contabilización da produción de servizos de transporte. Por outra parte, a inserción do consumo de residentes de fóra do territorio económico sirve para engadir estes recursos exteriores á oferta dispoñíbel para abastecer a demanda dos residentes. Deixando a un lado as diferenzas de valoración cuxa análise se realiza no Apéndice A deste capítulo, a información da táboa de orixe pode servir para estimar as transferencias netas dunha rama, un concepto empregado nas táboas elaboradas seguindo o SEC-79. Para iso, abondaría con deducir das producións realizadas por outras ramas do ben ou servizo obxecto da actividade principal dunha rama o valor das producións secundarias efectuadas polo rama25. A continuación presentamos unha táboa de orixe simplificada; OFERTA RAMAS DE ACTIVIDADE RESTO DO MUNDO TOTAL PRODUTOS Produción por produto e por rama de actividade Importacións por produto Oferta total por produto TOTAL Produción total por rama de actividade Importacións totais Oferta total T.1 Táboa de orixe simplificada E por último, indicamos as notacións que empregaremos posteriormente cando nos remitamos á matriz e aos vectores que engloba dita táboa; 25En realidade trátanse de dous vectores: transferencias netas de produtos fatais, veciños ou producións secundarias e vendas residuais das administracións públicas. As entradas negativas (positivas) nestas filas indican o valor de tódalas producións desa rama (outras ramas) distintas (semellantes) á produción característica da súa actividade. Loxicamente, ao sumarlle á produciónefectivadecadaramaasentradasdesasdúasfilas óbtense o valor da produción total do ben ou servizo obxecto da actividade principal de cada rama, denominado produción distribuída. 20 OFERTA RAMAS DE ACTIVIDADE RESTO DO MUNDO TOTAL PRODUTOS Z m r TOTAL g´ 1.3.2 A táboa de destino Na táboa de Destino (TD) recóllense os diferentes empregos dos recursos dispoñíbeis dunha determinada economía ata esgotar o total de cada produto en cada fila. Ao mesmo tempo, a táboa mostra o valor engadido bruto e as súas compoñentes, os denominados inputs primarios, para cada rama de actividade, de forma que as columnas correspondentes conteñan a súa estrutura de custos ou función de produción. De feito, hai dous tipos de táboas de destino segundo que o criterio de valoración sexa a prezos de adquisición ou a prezos básicos. A relación entre ambos tipos de táboa é complexa e está mediatizada pola utilización dunhas táboas auxiliares ou matrices que permiten pasar da primeira á segunda. Os nomes destas táboas auxiliares indican os elementos diferenciadores dos dousconceptosdeprezoeson: matrizdeIVAque grava os produtos, matriz de impostos netos, matriz doutros impostos sobre os produtos, matriz doutras subvencións sobre os produtos, matriz de marxes de comercio e matriz de marxes de transporte26. A táboa de destino presenta unha notábel similitude formal coas táboas elaboradas seguindo os criterios SEC-79, xa que tamén están presentes aquí as tres matrices clásicas: demanda intermedia, demanda final e factores primarios, pero tras esa similitude escóndense diferenzas conceptuais moi importantes entre ambas (ver Cadro 2). 26Desafortunadamente estas táboas non habitúan a estar dispoñíbeis. 21 CADRO 2: TÁBOA DESTINO Matriz de Consumos Intermedios -Matriz Rectangular -Valorada a prezos básicos e no agregado a prezos de adquisición Matriz de Factores Primarios -Non inclúe transferencias -Non inclúe importacións Matriz de Demanda Final Matriz de Axuste (Rectangular) En primeiro lugar, hai que indicar que a matriz de consumos intermedios da TD é unha matriz rectangular de orde m×n, e o seu elemento xenérico, xij, indícanos ovaloraprezosde produtor das compras do produto irealizadas pola rama j. En segundo lugar, tamén variou o concepto de intraconsumo27. Unha terceira diferenza radica nos cambios que experimentaron algunhas convencións contábeis en relación coa delimitación dos fluxos intermedios e finais. O SEC-95 amplía a definición da noción de formación bruta de capital fixo, que agora inclúe tanto adquisición de certos activos inmateriais (software informático, prospeccións mineiras e petroleiras e orixinais das obras recreativas e artísticas) como os obxectos valiosos (xoias, obras de arte, etc.). En casi tódolos supostos, trátase dun desprazamento da fronteira entre a demanda intermedia e a demanda final, é dicir, que a mesma operación antes se anotaba como consumo intermedio da unidade de produción compradora agora pasa a rexistrarse como parte da súa formación bruta de capital. O caso contrario é o gasto en I+D, anteriormente clasificado como formación bruta de capital e hoxe como consumo intermedio. Finalmente, a TD inclúe ademais das tres matrices mencionadas, unha "matriz de axuste", situada entre a MCI e MFP, que non ten precedente nas anteriores táboas. Trátase dunha matriz rectangular con catro filas e tantas columnas como ramas e operacións de demanda final. As denominacións das filas desta matriz son: - Impostos netos sobre os produtos. -AxusteCIF/FOB. 27Lembremos que no SEC-79 os intraconsumos de orixe interior se eliminaban a partir dunha desagregación de3díxitosdaCNAE.Encontraste,oSEC-95eliminaosreempregosdentrodunhaUAElocal,agoradefinida en relación á clasificación a 4 díxitos da CNAE-93, pero esixe que se contabilicen os intercambios entre distintas UAE, aínda cando ambas sexan parte da mesma empresa. 22 - Consumo de non residentes no territorio. - Consumos de residentes fóra do territorio. Afinalidade principal da matriz de axuste é permitir pasar da valoración de empregos totais a prezos básicos á valoración a prezos de adquisición. Obsérvese, por exemplo, que ao sumarlle ao total de consumos intermedios a prezos básicos os impostos netos sobre os produtos que gravan as compras intermedias de cada rama, obtemos o total de consumos intermedios a prezos de produtor. E ao sumarlles estes impostos ás compoñentes da demanda final obtemos os conceptos de demanda final valorados a prezos de adquisición. O dobre axuste realizado co consumo dos non residentes no territorio económico ten como finalidade eliminar o consumo dos non residentes do gasto de consumo final dos fogares e calcular as exportacións totais de bens e servizos. De acordo ao SEC-95, a noción de importacións e exportacións deixa de basearse nos movementos físicos a través das fronteiras. Neste contexto unha operación de comercio exterior defínese polo cambio de propiedade de bens e servizos entre residentes e non residentes. Tal definición implica que as exportacións teñen que incluír o gasto interior en consumo final dos residentes no resto do mundo28. A adecuación do valor das importacións e exportacións ás definiciónsdoSEC-95vénpracticándose mediante unha partida global de axuste na táboa de Orixe, engadindo o consumo dos non residentes no exterior ás columnas de importacións, e outra na de destino, sumando o consumo interior dos non residentes á correspondente columna de exportacións. Se ademais, como é frecuente, o consumo das familias está estimado na táboa de destino baixo criterios interiores, haberá que restarlle a partida de axuste engadida ás exportacións e agregarlle tamén o aumento rexistrado nas importacións, para manter o equilibrio entre recursos e empregos. Tal e como recomenda de forma explícita o SEC-95, o total da columna do consumo das familias será entón consumo nacional, o consumo das familias residentes sexa cal sexa o territorio onde teñan lugar as operacións de consumo, e non interior. Deseguido preséntase un exemplo simplificado da táboa de destino; 28En ambos casos, o gasto turístico entendido en sentido amplo é a partida máis importante, pero non a única. 23 EMPREGOS RAMAS DE ACTIVIDADE DEMANDA FINAL TOTAL PRODUTOS Consumos intermedios por produto e por rama de actividade Exportacións + Gasto en consumo final + Formación bruta de capital Empregos totais por produto COMPOÑENTES DO VALOR ENGADIDO Valor engadido por compoñente e por rama de actividade TOTAL Inputs totais por rama de actividade T.2 Táboa de destino simplificada Por último, ao igual que procedemos en relación á táboa de orixe, destacamos as notacións a utilizar de aquí en diante á hora de simbolizar a matriz (consumos intermedios) e os vectores29 desta táboa; EMPREGOS RAMAS DE ACTIVIDADE DEMANDA FINAL TOTAL PRODUTOS X y e COMPOÑENTES DO VALOR ENGADIDO v´ TOTAL g´ 1.3.3 A táboa simétrica A táboa simétrica (TIOS) obtense a partir das táboas de orixe e destino e o seu obxectivo é dispoñer dunha táboa input-output definida sobre ramas de actividade homoxéneas ou, o que é o mesmo, ramas que producen exclusivamente o produto que dá o nome á rama. A idea da TIOS é logo un segundo sistema orixe-destino adaptado ao concepto de ramas de actividade homoxéneas, ou sexa, as que producen de forma única e exclusiva unha clase de bens ou servizos. Porén, as UAE locais, ben sexa por razóns técnicas ou ben sexa por circunstancias económicas 29Por comodidade, nesta investigación optamos por traballar coa demanda final e as compoñentes do valor engadido agregadas de acordo a vectores, pero naqueles casos onde interese poden presentarse como matrices. 24 1.A Criterios de valoración SEC-79 vs. SEC-95 Deixouse premeditadamente para o final deste capítulo os criterios de valoración, coa intención de que a novidade formal do novo esquema de táboas interrelacionadas non eclipsara o que posibelmente sexa a súa maior innovación e o seu máis claro punto de ruptura coa tradición dos sistemas contábeis precedentes. Tanto o SEC-79 como SEC-95 combinan diversos criterios de valoración para unha mesma variábel ou operación co obxectivo de reflectir o mundo real, ou sexa, a diferente percepción do prezo que ten cada un dos axentes económicos que interveñen na clase de transaccións que se trate. A presenza de marxes de comercialización e transporte, así como os impostos que gravan os produtos e o imposto sobre o valor engadido (IVA), crían unha brecha entre os prezos pagados polo adquirinte e os prezos percibidos polo vendedor. O SEC-79 distingue entre prezo de produción, prezo de saída de fábrica e prezo de adquisición. O prezo de produción expresa o prezo percibido polo produtor dun ben ou servizo e exclúe os impostos netos de subvencións que gravan os produtos. Ao incluír estes impostos netos obtense o prezo de saída de fábrica; cando estes impostos netos son positivos (negativos), o prezo de saída de fábrica é maior (menor) có prezo de produción. O prezo pagado polo adquirinte recolle, adicionalmente, as marxes de comercialización e transporte. A Figura 1 mostra de modo gráfico os elementos do custe incluídos en cada caso. Figura 1: Tipos de prezos no SEC-79 Custo de bens e servizos intermedios Remuneración de asalariados Excedente Bruto de Explotación Impostos netos que gravan os produtos Marxes de distribución (comercialización e transporte) Prezo de produción Prezo de adquisición Prezo de saída de fábrica O SEC-95 dintingue tamén tres tipos de prezos: prezos básicos, prezos de produtor e prezos de adquisición. Os dous primeiros son conceptos adaptados ao punto de vista da unidade de produción, mentres que o terceiro correspóndese co prezo pagado polo comprador. A valoración 31 da produción a prezos básicos inclúe o custo de factores intermedios, o custo dos factores primarios (remuneración aos asalariados mais excedente bruto de explotación) e os impostos netos de subvencións que gravan a actividade produtiva con independencia da escala. A estas dúas últimas figuras o SEC denomínaas "Outros impostos sobre a produción" e "Outras subvencións". A produción valorada a prezos de produtor inclúe, en adición, os impostos sobre os produtos netos das subvencións aos produtos e correspóndese co prezo de saída de fábrica empregado polo SEC-79. Por último, para valorar a produción a prezos de adquisición hai que incluír as marxes das ramas de distribución (comercio e transporte) e o IVA que grava os produtos (Figura 2). Figura 2: Tipos de prezos no SEC-95 Custo de bens e servizos intermedios Remuneración de asalariados Excedente Bruto de Explotación Otros impostos netos sobre a produción Impostos netos sobre a produción Marxes de distribución (comercialización e transporte) IVA Prezo básico Prezo adquisición Prezo produtor O prezo básico, observábel directamente pola unidade de produción ao derivarse da súa propia estrutura de custos, é o criterio recomendado polo SEC-95 para valorar os recursos35.En termos simplistas, corresponderíase co ingreso que o produtor percibe por cada unidade de ben ou servizo producido e, por tanto, inclúe as subvencións aos produtos. O antigo SEC-79 optaba pola valoración dos recursos a prezo do produtor (saída de fábrica). A diferenza co prezo básico estriba na súa inclusión (exclusión) dos impostos (subvencións) sobre os produtos. Por regra xeral, coincidirá co importe que o produtor recibe do comprador e, en consecuencia, o prezo de produtor tamén será observábel pola unidade de produción. Para o total de empregos dos bens e servizos (demanda intermedia e demanda final), o SEC-95 adopta a valoración a prezos de adquisición que, polo demais, acostuma ser o dato dispoñíbel na realidade económica. O prezo de adquisición unicamente é observábel polo comprador 35O prezo básico é o criterio óptimo de valoración dos recursos dende o punto de vista teórico, xa que mostra dunha maneira máis exacta o custo dos elementos que interveñen no proceso produtivo e é en gran medida independente da fiscalidade. 32 final, xa que se identifica co custo efectivamente soportado. Do prezo de produtor chégase ao prezo de adquisición engadindo as marxes incorporadas pola distribución e, eventualmente (cando o comprador non pode deducirllo, como acontece coas familias), o IVA. Nótese que este imposto pode recaer tanto sobre o valor do ben a prezo de produtor como sobre a súa marxe de distribución. O paso dos prezos básicos a prezos de adquisición ou viceversa implica a reasignación das marxes comerciais e de transporte, tendo en conta que o total destas marxes por produto debe ser igual á totalidade das marxes obtidas polas ramas de comercio e de transporte, máis os ocasionalmente obtidos como producións secundarias doutras ramas36. A plasmación práctica dos criterios de valoración do SEC-95 no marco input-output da Contabilidade Nacional fai xurdir os fluxos de produtos valorados a prezos básicos, se ben se inclúen en cada caso as oportunas partidas de axuste para que o total da oferta por produtos e de cada variábel da demanda (intermedia ou final) siga o criterio do SEC-95 e apareza tamén a prezos de adquisición. Non obstante, hai algúns casos específicos que se apartan desta regra. Ademais da produción de mercado, á que se aplica a norma xeral, o SEC-95 contempla a produción non de mercado e distingue entre "Produción para o uso final propio" e "Outra produción non de mercado"37. Enténdese por produción de mercado a que se vende ou cede no mercado ou se destina a ese fin. A súa compoñente fundamental será o conxunto de bens e servizos ofrecidos polos produtores privados. Agora ben, cabe a posibilidade de que os produtores públicos e as institucións sen fin de lucro ao servizo dos fogares (ISFLSH) de carácter privado vendan os seus bens e servizos no mercado. Para este último suposto, o SEC-95 introducecomocriteriosubsidiarioodosprezos economicamente significativos. Se o prezo dos seus produtos cubre ao menos o cincuenta por cen dos custos de produción, estaremos ante unha produción de mercado. Respecto á produción de non mercado quedará formada prioritariamente polos bens e servizos producidos polas administracións públicas e ISFLSH e que se subministran gratuitamente ouaunprezoquenonéeconomicamentesignificativo38. Nestes casos, o prezo ou non existe, 36Aidentificacióndasmarxesdedistribucióndunprodutorequireinvestigaroprezodeadquisicióndecadaun dos empregos (intermedios e finais) e, unha vez illado o efecto do IVA, proceder por diferenza co prezo básico ou o prezo de produtor do ben. O asunto das marxes comerciais e de transporte é tratado, entre outros, por Muñoz Cidad (2000, p. 196). 37A distinción entre produción de mercado e non de mercado articúlase en torno ao carácter público ou privado da unidade institucional que realiza a produción que, á súa vez, se fundamenta na idea de control efectivo da unidade institucional por parte das administracións públicas. 38A produción das AAPP e as ISFLSH de mercado (cando os ingresos cubren máis do cincuenta por cen dos custos) considérase produción de mercado e acumúlase coa produción das sociedades. 33 ou non reflicte axeitadamente o custo de produción sumándolles aos custos incorridos por compras intermedias e remuneración dos asalariados, unha estimación do consumo de capital fixo. Estes produtos poden ser por tanto de consumo individual (educación, sanidade, etc.) como de carácter colectivo (administración xeral, defensa, etc.) e aparecen no SEC-95 baixo a rúbrica "Outra produción non de mercado". E é que o SEC-95 especifica previamente un segundo tipo de produción de non mercado, a produción para uso final propio, que é utilizada polo produtor como emprego final. Englóbanse nesta categoría o autoconsumo dos fogares (produtos agrícolas, servizo doméstico remunerado, produción imputada de servizos de aluguer de vivenda propia e vivendas construídas polos fogares para o seu uso) e a formación bruta de capital fixo que outros produtores realizan para si mesmos. O SEC-95 aconsella valorar a produción para uso final propio a prezos básicos, empregando prezos de produtos semellantes intercambiados no mercado, excepto no caso da construción que recomenda que se valore polo custo incorrido na produción, sen ter presente o excedente de explotación ou renda mixta. No tocante á valoración das exportacións e importacións, o SEC-95 combina distintos tipos de prezos co fin de compatibilizar as metodoloxías da Contabilidade Nacional e a Balanza de Pagos. En síntese, as importacións valóranse CIF —prezo dun ben entregado na fronteira do país importador, antes do pago de impostos e dereitos de importación—, dado que é un criterio asimilábel ao prezo básico da produción. E as exportacións rexístranse FOB —valor dos bens a prezos básicos, mais o seu custo de distribución ata a fronteira do país exportador e mais os impostos netos de subvencións sobre os bens exportados—, por ser coherente co criterio do prezo de adquisición utilizando nos totais de empregos intermedios e finais, aínda que no nivel individual de cada produto o valor FOB deberá depurarse das marxes de distribución dentro do territorio rexional e dos eventuais impostos ou subvencións incluídos no prezo FOB, xa que doutra maneira non se alcanzaría o equilibrio cos recursos a prezos básicos. Como as importacións se valoran CIF por produtos e FOB para a economía total, é necesaria a presenza dunha fila axuste CIF/FOB na táboa de orixe. 34 1.B Resumo dos cambios metodolóxicos SEC-79/SEC-95 O SEC-95 está baseado fundamentalmente no SCN-93, pero hai algunhas diferenzas entre eles. Ademais de variacións na presentación, hai que destacar que os conceptos do SEC-95 son máis específicos e precisos cós do SCN-93. As principais diferenzas que se observan entre o SEC-95 e o SEC-79 apóianse principalmente, aínda que non de forma exclusiva, nas diferenzas existentes entre o SCN-93 e o SCN-68 e resúmense nos seguintes apuntes: a) A produción total divídese en produción de mercado, produción non de mercado para uso final propio e outra produción non de mercado. É dicir, procédese a unha descomposición da produción non de mercado en produción para uso final propio (produtos agrícolas, servizo doméstico remunerado e alugueres imputados producidos e autoconsumidos polos fogares; bens, servizos e construcións utilizadas como formación de capital polas propias unidades que os producen, etc.), e outra produción non de mercado. b) Realízase un tratamento moito máis detallado das marxes comerciais e de transporte. c) A introdución das táboas de orixe e destino, que aínda que figuraban no SCN-68, non se incluíron no SEC-79. d) Valoración da produción e o valor engadido a prezos básicos (prezos de adquisición menos marxes comerciais e de transporte, e menos impostos netos sobre os produtos) no lugar de prezos a saída de fábrica. e) Calcúlase o consumo que os non residentes realizan no territorio económico e o consumo que os residentes realizan fóra do territorio económico. Estes cálculos permiten o paso de magnitudes interiores a nacionais. Tanto un como o outro se integrarán no seu momento segundo corresponda a importacións ou a exportacións. f) Introdución dos conceptos de poboación economicamente activa e desemprego, ademais da utilización de variábeis postos de traballo, postos de traballo equivalentes a tempo completo e número total de horas traballadas como medidas de emprego. g) Rexistro do consumo de capital de tódalas infraestruturas públicas (estradas, presas, etc.), o que modifica o cálculo da outra produción non de mercado das administracións públicas. h) Incorpórase unha nova definición do consumo final usando dous conceptos: o gasto en consumo final e consumo final efectivo. O primeiro asóciase máis ao concepto de consumo público que existía no SEC-79, mentres que o segundo divídese no SEC-95 entre o consumo individual e o colectivo. O individual é facilmente asignábel aos individuos e necesita o acordo 35 da persoa que o recibe facendo referencia aos gastos sanitarios, de educación e protección social fundamentalmente; mentres que o colectivo responde ás prestacións que de forma simultánea se realizan a tódolos membros da comunidade, recibíndose pasivamente (seguridade, defensa, servizos públicos xerais, planificación económica, etc.). Outro concepto ligado á diferenza entre o gasto en consumo final e o consumo final efectivo sobre as "transferencias sociais en especie" que comprenden os bens e servizos individuais proporcionados aos fogares como transferencias en especies por unidades das AAPP, e as ISFLSH tanto se se adquiriron no mercado como se proceden da produción non de mercado das unidades mencionadas. En concreto, diferéncianse primordialmente as medicinas, próteses e vehículos para minusválidos, transporte escolar, ensino, sanidade e servizos sociais. i) Diferenzas na valoración das operacións de comercio exterior. j) Novas definicións da produción do servizo de seguro non vida e do arrendamento financeiro, ademais de considerar como produción o traballo literario e artístico, os pagos recibidos polo seu uso como polas licenzas para o uso de activos inmateriais non producidos (patentes, marcas, franquicias, etc.). k) Desaparición da fila de IVA que grava os produtos. l) Ampliación do concepto de formación bruta de capital fixo coa inclusión do gasto en software informático, o gasto en prospección mineira (xa non se consideran consumos intermedios) e a compra de orixinais de obras recreativas, literarias ou artísticas. m) Introdución do concepto de renda mixta definida como saldo contábel da conta de explotación das empresas non societarias pertencentes ao sector fogares, substituindo ao excedente de explotación destas mesmas unidades. n) Considérase que diversos tipos de bens producidos polos fogares, tales como a confección textil ou a fabricación de móbeis, non son significativos e non deben rexistrarse. o) Desaparece a fila de transferencias. Nas táboas realizadas en base ao SEC-79 aparecía na matriz de inputs primarios o que se denominaba "fila de transferencias" coa que se diferenciaba a produción principal da rama da produción secundaria que era típica doutra rama. Isto daba lugar a dous conceptos de produción: produción efectiva, que engloba a principal e a secundaria, e a produción distribuída que só inclúe a principal. 36 TÁBOA A1 RESUMO: PRINCIPAIS EFECTOS LIGADOS Á APLICACIÓN DO SEC-95 A) CONTA DE PRODUCIÓN Operacións Tipo de modificación Efecto previsíbel sobre o valor da operación * Produción − Cambio de valoración: de prezos saída de fábrica a prezos básicos. − Tratamento da produción do seguro. − Reclasificación de certos gastos militares. − Inclusión de todos os activos das AA.PP (estradas, pontes, etc.) no cálculo do Consumo de capital fixo. − Valoración da produción para uso final propio. − Reclasificación mercado/non mercado. − Orixinais de obras literarias, artísticas e recreativas. − Servizos ligados á utilización de orixinais de obras literarias, artísticas e recreativas. − Remuneración en especie. − Reempregos UAEL. (1) (+)(2) (3) (+) (+) (+) (+) (+) (+)(4) (5) * Consumos intermedios − Software como FBCF. − Reclasificación de certos gastos militares. − Exploración minera. − Servizos ligados á utilización de orixinais de obras literarias, artísticas e recreativas. − Reclasificación Impostos / transferencias − Licencias para uso de activos inmateriais. − Reempregos UAEL. (-) (-) (-) (+) (+) (+) (5) * VAB − Cambios na produción menos cambios en consumos intermedios. (6) (1) Como cada axente percibe os prezos de forma distinta, combínanse distintas valoracións: o total dos empregos rexistrarase a prezos de adquisición e a produción a prezos básicos. A matriz de transaccións intermedias estará valorada no seu conxunto a prezos b ásicos. Efecto (+) ou (-) nas distintas ramas de actividade segundo o peso de impostos e subvencións sobre os produtos da rama. (2) Esta modificación xa estaba incorporada na anterior base contábel da CRE-86. (3) Os efectos sobre a produción son de dúas clases: unha minoración da outra produción non de mercado, debido á reclasificación de consumos intermedios, a formación bruta de capital fixo de aqueles produtos militares susceptíbeis de ser usados civilmente: e un aumento de dita produción, debido ao incremento do pertinente consumo de capital fixo deses mesmos produtos. (4) Co SEC-95 considéranse soldos e salarios todo aquilo que non é estritamente necesario para o proceso de produción e que é proporcionado polos empregadores gratuitamente ou a un prezo moi baixo. (5) O tipo de efecto descoñécese pola imposibilidade de comparar o antigo e o novo tratamento dos reempregos dentro das Unidades de Actividade Económica Local (UAEL). (6) O VAB recolle tódolos cambios correspondentes á produción e os consumos intermedios, dado que é un saldo entre ambas operacións. É importante reseñar que como resultado de ditos cambios (e especialmente dos introducidos nos criterios de valoración) orixínase unha distribución distinta, entre a CRE-86 e a CRE-95, do peso do VAB das diferentes ramas de actividade no total. Amplíase o ámbito dos asalariados: inclúense os propietarios de sociedades ou cuasisociedades que traballan nas empresas. Deste modo incrementarase a importancia relativa da remuneración de asalariados e decaerá a do excedente bruto de explotación. FONTE: INE, CONTABILIDADE REXIONAL DE ESPAÑA E ELABORACIÓN PROPIA. 37 TÁBOA A2 RESUMO: PRINCIPAIS EFECTOS LIGADOS Á APLICACIÓN DO SEC-95 B) COMPOÑENTES DA DEMANDA E IMPORTACIÓNS Operacións Tipo de modificación Efecto previsíbel sobre o valor da operación * Gasto en consumo final (1) − Tratamento da produción do seguro. − Reclasificación de certos gastos militares. − Inclusión de todos os activos fixos das AA.PP (estradas, pontes, etc.) no cálculo do Consumo de capital fixo. − Valoración da produción para uso final propio. − Reclasificación mercado/non mercado. − Remuneración en especie. (+)(2) (-)(3) (+)(4) (+) (+) (+) * FBCF − Software como FBCF. − Reclasificación de certos gastos militares. − Exploración minera. − Valoración da produción para uso final propio. − Orixinais de obras literarias, artísticas e recreativas. (+) (+) (+) (+) (+) * Exportación fob − Servizos ligados á utilización de orixinais de obras literarias, artísticas e recreativas. − Licencias para uso de activos inmateriais. − Cambio de valoración cif/fob. (+) (+) (-) * Importación fob − Servizos ligados á utilización de orixinais de obras literarias, artísticas e recreativas. − Licencias para uso de activos inmateriais. − Cambio de valoración cif/fob. (+) (+) (-) (1) Comprende: Gasto en Consumo Final dos Fogares, das ISFLSH e das Administracións Públicas. (2) Esta modificación xa estaba incorporada na anterior base contábel da CRE-86 (3) Co SEC-95 faise una distinción: os gastos de capital referentes a instalacións ou bens de uso militar susceptíbeis de uso civil (hospitais, aeroportos, etc.) considéranse FBKF. De aí que o valor dos consumos intermedios diminuirá proporcionalmente. (4) A produción non de mercado valórase polos custos totais de produción. Ao aumentar o valor do consumo de capital fixo increméntase a produción das AA.PP. nesta mesma cuantía e en consecuencia o consumo colectivo. FONTE: INE, CONTABILIDADE REXIONAL DE ESPAÑA E ELABORACIÓN PROPIA. 38 Capítulo 2 A análise input-output no seo do SEC-95 2.1 Introdución O obxectivo deste capítulo é mostrar a tremenda capacidade de análise económico do novo marco input-output gracias a inclusión das táboas de orixe e destino no seu formato. En primeiro lugar, dentro deste apartado introdutorio, destacaremos algunhas consideracións preliminares —que se recollen no propio SEC-951— acerca da táboas de orixe e destino e da táboa simétrica. Despois presentemos as relacións contábeis básicas que se desprenden do mesmo, para logo enfatizar as posibilidades de análise estrutural a partir das táboas de orixe e destino. A maior parte da información estatística que pode obterse das unidades de produción indica o tipo de produtos que produciron e, xeralmente con un menor grao de detalle, o tipo de produtos que consumiron. O diseño das táboas de orixe e destino adáptase a este tipo de información estatística, ou sexa, rama de actividade por produto. Polo contrario, non acostuma a estar dispoñíbel a información produto por produto ou rama de actividade por rama de actividade necesaria para as táboas input-output simétricas. Así, as enquisas por ramas de actividade proporcionan habitualmente información sobre o tipo de produtos empregados ou producidos; porén, para cada tipo de ben ou servizo producido non pode recollerse, polo xeral, a información correspondente aos seus inputs en termos de produtos e compoñentes do valor engadido. Na práctica, a información disposta en forma de táboas de orixe e destino representa un 1Ver capítulo 9 do SEC-95; ”El marco Input-Output del SEC-95”. 39 punto de partida para elaborar a información máis analítica das táboas input-output simétricas. A información rama de actividade por produto das táboas de orixe e destino pode transformarse en estatísticas produto por produto ou rama de actividade por rama de actividade, engadindo información estatística suplementaria sobre as estruturas dos inputs, ou adoptando a hipótese de que as estruturas dos inputs por produto ou por rama de actividade son constantes. O SEC-95 indica como as táboas de orixe e destino teñen unha dobre función, sirven tanto para fins estatísticos como para fins analíticos. E entre os fins estatísticos máis importantes, resaltamos aquí algúns deles; - A detección de lagoas e incoherencias nas fontes de datos básicos. - A ponderación e cálculo dos índices e as medicións de prezo e volume. - A obtención de estimacións de maneira residual, estimando unha variábel a partir da estimación previa de tódalas demais variábeis da identidade. A modo de exemplo, temos estimacións por esta vía da produción ou do consumo final de produtos específicos. - A comprobación e mellora da coherencia, plausibilidade e exhaustividade das cifras das táboas de orixe e destino e das cifras derivadas delas. Nese sentido, o SEC indica como ao tratar de elaborar as táboas input-output simétricas directamente das táboas de orixe e destino poden detectarse incoherencias e puntos débiles nestas últimas. De aí que exista un fluxo de interrelacións entre as táboas input-output simétricas e as táboas de orixe e destino. As táboas de orixe e destino, ao igual que a táboa input-output simétrica, proporcionan unha visión detallada da composición da orixe e o destino dos bens e servizos, así como do factor traballo e as rendas primarias correspondentes. Tales táboas e as ratios que se poden obter a partir delas, como as cifras de produtividade, constitúen un elemento importante da análise económica. Ao marxe da finalidade estatística das táboas de orixe e destino, estas táboas e as táboas simétricas empréganse tamén como ferramentas da análise económica; aínda que cada un dos dous tipos de táboas presenta vantaxes diferentes. Así, para calcular os efectos directos e indirectos, é preciso completar as táboas de orixe e destino con hipóteses específicas o con información estatística suplementaria. Estos requisitos de hipóteses específicas e datos suplementarios son especialmente importantes para o cálculo dos efectos acumulativos. De feito, os requisitos para o cálculo destos efectos equivale a elaborar unha táboa input-output simétrica. Polo tanto, para obter ditos efectos acumulativos, é preferíbel recorrer á táboa input-output simétrica. Non obstante, para cuantificar os efectos de primera orde prefírense as táboas de orixe e destino xa que o cálculo depende menos de supostos, as mesmas son máis detalladas que a táboa input40 Atendendo á hipótese relativa ao equilibrio da conta de bens e servizos por produtos, é dicir, ao cumprimento da igualdade de oferta e demanda; obtemos o seguinte: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ q1 q2 . . . qm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ m1 m2 . . . mm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x11 x12 ··· x1n x21 x22 ··· x2n . . .. . .. . . xm1xm2··· xmn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 . . . 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ y1 y2 . . . ym ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , ou na súa forma abreviada; q+m=Xi+y, sendo Xi unha matriz columna, que podemos simbolizar por u, onde os seus elementos son os totais por filas da matriz de consumos intermedios, X. Analiticamente pódense expresar como ui= n X j=1 xij, i=1,2,...,m. Alternativamente, despexando a produción por produtos temos q=Xi+y−m.(1) Agora ben, se desagregamos os elementos da matriz de consumos intermedios, os xij,de acordo a súa orixe, interior ou importada, temos xij =xd ij +xm ij ,i=1,2,...,m j =1,2, ...., n. AmatrizXresultadasumadamatrizXd(matriz de consumos intermedios interiores) e da matriz Xm(matriz de consumos intermedios importados) X=Xd+Xm= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ xd 11 xd 12 ··· xd 1n xd 21 xd 22 ··· xd 2n . . .. . .. . . xd m1xd m2··· xd mn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ xm 11 xm 12 ··· xm 1n xm 21 xm 22 ··· xm 2n . . .. . .. . . xm m1xm m2··· xm mn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . Ao mesmo tempo, se descompoñemos a demanda final dos distintos produtos en función da 47 súa orixe, ben sexa interior ou importada; yi=yd i+ym i,i=1,2,...,m, ou, se quere en notación matricial y=yd+ym. Para logo realizar as substitucións pertinentes na relación (1). Obtendo así; q=(Xdi+Xmi)+(yd+ym)−m. De aquí en adiante, nalgunhas ocasións simbolizaremos a demanda intermedia de orixe doméstica por ude a demanda intermedia importada por um. Polo tanto, en base a estas notacións escollidas a anterior igualdade tamén se pode expresar de forma máis abreviada por; q=(ud+um)+(yd+ym)−m. Pero como o vector das importacións dos distintos produtos, expresado en matriz columna se corresponde coa suma das importacións destinadas á demanda intermedia, Xmieasimportacións destinadas á demanda final ym; m=Xmi+ym(2) Unha vez feita a simplificación xúrdenos a seguinte relación; q=Xdi+yd,(3) na que se expresa o total de produtos a partir dos datos domésticos. Se acudimos á táboa de orixe (produto por rama de actividade non homoxénea), podemos definir dúas relacións contábeis na matriz de produción, Z; por unha banda obtemos os totais por filas, produción por produtos; q=Zi. (4) 48 é dicir, os elementos da matriz columna qson da seguinte maneira; qi= n X j=1 zij,i=1,2,...,m Por outro lado, podemos obter os totais por columnas da matriz de produción, que se expresarían de acordo a; g0=i0Z, ou de modo alternativo g=Z0i, (5) sendo a matriz fila g0a produción por ramas de actividade. Analiticamente; gj= m X i=1 zij ,j=1,2,...,n. Da táboa de destino derívase a relación sobre as contas de produción das ramas de actividade, sendo as mesmas a suma de inputs intermedios e de inputs primarios; g0=i0X+v0 ou, atendendo á trasposición g=X0i+v. (6) Unha vez máis, se coñecemos a desagregación da matriz de consumos intermedios por fluxos, interiores ou importados, a relación que agora se indica podémola escribir como sigue; g=(Xd)0i+(Xm)0i+v. Nalgunhas ocasións denotaremos abreviadamente (Xd)0ide acordo a tde(Xm)0ide acordo atm. E como é de esperar, o vector de inputs intermedios X0isimbolizarémolo por t.Deaíque esta última igualdade nos xurdirá a veces da seguinte forma; g=td+tm+v. 49 2.3 Os "novos"coeficientes directos As contas nacionais mostran a orixe e o uso dos produtos polos diferentes sectores da economía a partir das táboas de orixe e destino. Aínda que o seu obxectivo é o anteriormente mencionado, tamén permiten realizar análises sobre o comportamento das ramas de actividade e a oferta de produtos. A metodoloxía do SEC-95 permítenos obter distintos coeficientes analíticos cando acudimos directamente ás táboas de orixe e destino. Deseguido imos introducir as definicións dalgúns coeficientes cos que máis adiante traballaremos á hora de construir os modelos de análise. Ao mesmo tempo tamén aproveitaremos a ocasión para resaltar aspectos colaterais que requeriremos segundo avancemos nesta investigación5. 2.3.1 Relacións directas entre ramas e produtos a partir da táboa de orixe Lembremos que a táboa de orixe ofrece información sobre a oferta por tipos de produtos e por tipo de produtor. Ou sexa, mostra os recursos a disposición da economía, tanto de procedencia interior como importada. Polo tanto, aparecen reflectidas dúas variábeis fundamentais; a produción e as importacións. A produción recóllese clasificada en función de dous parámetros. Por filas, aparece por tipos de produto (de acordo á Clasificación Nacional de Produtos por Actividades, CNPA-96), e por columnas por ramas oferentes (de acordo á Clasificación Nacional de Actividades Económicas, CNAE-93). Efectivamente, aínda que o obxectivo desta táboa é presentar a orixe dos produtos, tamén permite realizar análises sobre o comportamento das ramas de actividade, dado que aparece a produción elaborada por cada actividade por tipos de produtos, permitíndonos estudar en que medida cada rama está especializada na produción duns ou outros outputs. De feito, a partir desta táboas pódense derivar dous tipos de coeficientes (Cañada, 2001), dependendo da consideración da información que se mostra nas filas ou nas columnas. Coeficientes de mercado En cada fila da táboa de orixe móstrase para cada produto a contía que se produce en cada rama de actividade. Así, plantexando unha relación entre os elementos da matriz de produción 5Sinalamos que nos apoiarnos nos modelos en termos de valor, cuestión que teremos en mente á hora de buscar osignificado económico das distintas matrices que imos a considerar. 50 (produto por rama de actividade non homoxénea) e os totais por filas da matriz (produción por produtos) obteñense os coeficientes de mercado. Vexamos logo dij =zij qi ,i=1,2,...,m ej=1,2,...,n. Interpretamos o elemento xenérico, dij,como a proporción da rama de actividade non homoxénea jna produción dunha unidade monetaria do produto i. É dicir, representaría a participación da rama jna produción do produto i. Se as ramas de actividade fosen homoxéneas, é dicir, q=g,osdii =1,∀ie os restantes elementos serían nulos. Amatrizdecoeficientes de mercado ven dada polo seguinte produto matricial; D=∧ q −1Z, (7) ∧ q −1é a inversa da matriz diagonal que ten como elementos da diagonal principal as producións dos distintos produtos. Se lle aplicamos a trasposición á anterior igualdade matricial obtemos; D0=Z0∧ q −1.(8) Agora se despexamos a matriz trasposta de Z, ou sexa, multiplicando os membros da anterior igualdade pola dereita por ∧ q, Z0=D0∧ q. (9) Acudindo a unha das relacións contábeis (5), na que indicabamos que g=Z0ie substituíndo a anterior igualdade, vemos como a produción das distintas ramas de actividade non homoxéneas resulta do produto da matriz trasposta de Dpolo vector de produción de produtos; g=D0q. (10) Ou sexa, estamos ante un sistema de necuacións; 51 g1=d11q1+d21q2+···+dm1qm . . .. . . gn=d1nq1+d2nq2+···+dmnqm. En xeral, a produción da rama de actividade non homoxénea jven dada pola ecuación; gj= m X i=1 dijqi,j=1,2,...,n. De acordo á definición dos coeficientes de mercado, indicamos que a suma por filas dos elementos de Dé igual a un; n X j=1 dij =1,i=1,2,...,m. Coeficientes de especialización Agora ben, se consideramos a información das columnas, onde se mostran para cada rama de actividade os produtos que elabora, podemos derivar os denominados coeficientes de especialización. Calcúlanse como a relación establecida entre os elementos da matriz de produción e a produción por ramas de actividade non homoxéneas (suma das columnas). En definitiva, podemos construir unha matriz Cde orde m×n,definindo os seus elementos da seguinte maneira; cij =zij gj ,i=1,2,...,m ej=1,2,...,n. Interpretamos o elemento característico, cij,como a proporción do produto isobre a produción dunha unidade monetaria da rama de actividade non homoxénea j.Cada elemento ven a representar a medida de especialización das distintas ramas de actividade, ou sexa, permítenos analizar en que medida as ramas se especializan na produción de determinados produtos. Se as ramas de actividade fosen homoxéneas, é dicir, q=g,oscii =1,∀ie os restantes elementos serían nulos, ou sexa, a matriz Ccorresponderíase coa matriz identidade. 52 En función da definición dada, vemos como é a matriz de coeficientes de especialización; C=Z∧ g −1,(11) polo tanto podemos despexar a matriz de produción; Z=C∧ g. (12) Sabemos por (4) que a produción por produtos se corresponde coa suma por filas de Z, q=Zi, polo tanto substituíndo a anterior igualdade obtemos; q=Cg. (13) É dicir, xurde un sistema de mecuacións q1=c11g1+c12g2+···+c1ngn . . .. . . qm=cm1g1+cm2g2+···+cmngn En xeral, a produción do produto ipodémola expresar de acordo a; qi= n X j=1 cijgj,i=1,2,...,m. Apartirdadefinición destes coeficientes e tendo presente o formato da táboa de orixe, é inmediato comprobar que a suma por columnas dos elementos de Cé igual a un; m X i=1 cij =1,j=1,2,...,n. (14) 53 Relacións entre os coeficientesdeespecializaciónedemercado Aínda que habitualmente os estudos acerca das táboas input-output xiran en torno á obtención de matrices de consumos intermedios cadradas a partir das TOD6, nos queremos apuntar aquí como se poden elaborar matrices de produción cadradas que sexan compatíbeis coas sinaladas en primeiro lugar e que no fondo veñen a estar asociadas a elas. De aí que, a partir das definicións dos coeficientes de especialización e mercado, podemos manipular a táboa de orixe para obter unha matriz de coeficientes produto por produto ou rama por rama, táboas que ofrecen información relevante a respecto das relacións directas que se establecen entre produtos ou ramas. Nese sentido, en primeiro lugar sinalamos como se procede para construir unha matriz cadrada produto por produto a partir da matriz de produción da táboa de orixe. Atendendo ás definicións dos coeficientes de especialización e os coeficientes de mercado, é dicir, tendo en conta os sistemas de ecuacións q=Cg eg=D0q, é inmediato chegar ao sistema, que a continuación expresamos matricialmente e de forma abreviada; q=CD0q. (15) AmatrizCD0é unha matriz cadrada de orde m. Primeiramente centrámonos na interpretación dos seus elementos, que por comodidade os imos a simbolizar por γik. (γik)=(CD0)m×m= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ c11 c12 ... c1n c21 c22 ... c2n . . .. . .. . . cm1cm2... cmn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠m×n . ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ d11 d21 ... dm1 d12 d22 ... dm2 . . .. . .. . . d1nd2n... dmn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠n×m Polo tanto, vemos como o elemento xenérico desta matriz, γik,ósituadonafila iena columna k, equivale ao seguinte sumatorio de nprodutos; ∀i, k ∈{1,2,...,m},γik = n X j=1 cijd0 jk = n X j=1 cijdkj =ci1dk1+ci2dk2+... +cindkn.(16) A interpretación económica dos γik correspóndese coa proporción do produto i na produción 6Esta cuestión tamén será tratada por nos no seguinte capítulo. 54 dunha unidade monetaria da produción do produto k de acordo ás n ramas de actividade (non homoxéneas) que nos atopamos nun determinado sistema económico. Por exemplo, o sumando ci1dk1éa proporción do produto i na produción dunha unidade monetaria da produción do produto k de acordo á rama de actividade non homoxénea 1,xaqueresultadoprodutodeci1 (proporción da produción do produto i dentro dunha unidade de produción da rama de actividade non homoxénea 1) por dk1(proporción da produción da rama de actividade non homoxénea 1 dentro da produción dunha unidade monetaria da produción do produto k). De aí, que o significado da suma desas proporcións se axuste ao indicado ao principio deste parágrafo. Procede lembrar que parte desta proporción vai destinada á demanda intermedia e o resto vai destinada á demanda final. Matización que pode resultar evidente se temos presente que a produción interior, qé a suma da demanda intermedia de procedencia interior e demanda final de orixe interior. Se nos centramos nos elementos da matriz de produción, os zij, poderíanse desagregar en función dos seus empregos, vía demanda intermedia ou vía demanda final, aínda que esa desagregación non é coñecida por nos En base ao anterior, no sucesivo imos expresar a matriz abreviadamente de forma abreviada; (γik)= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ γ11 γ12 ··· γ1m γ21 γ22 ··· γ2m . . .. . ..... . . γm1γm2··· γmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠m×m Entendemos importante indicar o seguinte; en xeral, cúmprese que a suma por columnas dos elementos desta matriz é igual a 1, non acontece o mesmo por filas. Analiticamente podemos expresar a suma dos elementos da columna kdo seguinte xeito; ∀k∈{1,2,...,m},γ 1k+γ2k+... +γmk = m X i=1 γik. Nos sabemos que a suma por columnas dos coeficientes de especialización é igual a 1 e que a suma por filas dos coeficientes de mercado tamén é igual a 1. Polo tanto, demóstrase facilmente queseverifica a propiedade anteriormente mencionada: 55 m X i=1 γik = m X i=1 ( n Xcij j=1 dkj)= (17) = m X i=1 (ci1dk1+ci2dk2+... +cindkn)= =(c11dk1+c12dk2+... +c1ndkn)+..... +(cm1dk1+cm2dk2+... +cmndkn)= =( m X i=1 ci1)dk1+( m X i=1 ci2)dk2+... + m (X i=1 cin)dkn = =1dk1+1dk2+... +1dkn = =dk1+dk2+... +dkn = n X j=1 dkj =1. deste modo, a interpretación desta propiedade é que a suma das proporcións das producións dos mprodutos necesarios para a produción dunha unidade monetaria do produto ké igual a 1. Cada un dos elementos da columna k,γik,(i=1,2, , ..., m)son tantos por un. Unha vez aclarado de que forma son os elementos desta matriz produto voltamos ao sistema q=CD0qe vemos como depende cada produción de produtos qidas mproducións de produtos q1,q2,...,qm; q1=γ11q1+γ12q2+... +γ1mqm q2=γ21q1+γ22q2+... +γ2mqm ................................ qm=γm1q1+γm2q2+... +γmmqm Polo tanto, en xeral, podemos expresar a produción do produto i,qi,de acordo á ecuación; ∀i∈{1,2,...,m},q i= m X K=1 γikqk= m X K=1 ( n Xcij j=1 dkj)qk.(18) Se temos en conta que toda produción de produtos se pode expresar como 56 gj= m X i=1 xij +vj,j=1,2,...,n. Así que ten que verificarse; 1= m X i=1 bij +vj gj ,j=1,2,...,n. Os coeficientes técnicos totais non homoxéneos, ao igual que o coeficiente relativo aos inputs primarios, son tantos por un da produción total por rama de actividade non homoxénea, analizados a través da columna correspondente. Podemos supoñer que os valores engadidos por ramas de actividade son positivos9,vj>0, polo que é inmediato comprobar que a suma por columnas da matriz de coeficientes técnicos non homoxéneos é estritamente menor que un10. No Capítulo 4, aínda que en relación á táboa simétrica deterémonos en casos onde algunha(s) compoñente(s) do vector vjsexa(n) negativa(s). m X i=1 bij <1,j=1,2,...,n. (26) Anteriormente sinalamos en (25) como se podía expresar a matriz relativa aos coeficientes obxecto de estudo; a partir desa igualdade vemos como a matriz de consumos intermedios resulta do produto da matriz Bpola matriz diagonal, onde os seus elementos son as producións totais por ramas de actividade (non homoxéneas); X=B∧ g. (27) Tamén sinalamos que os totais por filas da matriz X, ou sexa, a demanda intermedia resulta do produto da matriz Bpola matriz columna g; Xi =Bg.(28) 9Aínda que o excedente bruto de explotación (EBE) pode ser negativo e superior en valor absoluto á remuneración de asalariados (RAS). Neste caso consideramos as distintas compoñentes agregadas nun único vector. 10Propiedade que nos será de utilidade á hora de estudar a inversibilidade de certas matrices que nos xurdirán nalgúns modelos de análise. 63 Coeficientes de distribución Quizais sexan os coeficientes menos relevantes que se poden obter dentro do novo marco input-output xa que só mostran a distribución dos produtos por ramas (consumo intermedio). Obtéñense dividindo cada elemento da matriz de consumos intermedios polo total do produto dispoñíbel na economía. Expresamos logo os coeficientes de distribución (totais non homoxéneos) como sigue; hij =xij ei =xij qi+mi =xij n P j=1 zij +mi ,i=1,2,...,m ej=1,2,...,n. Observemos que unha das hipóteses de traballo é o cumprimento da igualdade de oferta e demanda, alternativamente recursos igual a empregos; ri=qi+mi=ei A interpretación do elemento característico, hij,éa proporción de recursos do produto i que é utilizada como input na produción dunha unidade monetaria da rama de actividade non homoxénea j. De acordo á definición destes coeficientes, vemos como se cumpre a seguinte igualdade matricial; H=∧ e −1X.(29) En función da mencionada hipótese, sabemos que se verifica; n X j=1 xij +yi=ei=qi+mi,i=1,2,...,m ou sexa, ten que cumprirse n X j=1 hij +yi ei =1,i=1,2,...,m Asumimos que a demanda final dos distintos produtos é positiva, yi>0,polo tanto obtemos que a suma por filas dos elementos da matriz Hé estritamente menor que un; 64 n X j=1 hij <1,i=1,2,...,m. (30) A partir da igualdade matricial (29) deducimos que a matriz de consumos intermedios é igual ao produto da matriz diagonal ∧ epola matriz H; X=∧ eH.(31) Aplicándolle a trasposición a esta matriz obtemos X0=H0∧ e. (32) Por último, en relación a estes coeficientes sinalamos que a suma por columnas da matriz de consumos intermedios coincide co produto da trasposta da matriz Hpolo vector de empregos de produtos; t=X0i=H0e.(33) 2.4 Modelos obtidos directamente das TOD Como se verá a continuación, é posíbel plantexar os modelos de multiplicadores directamente a partir das TOD, ou sexa, sen estimar previa e explicitamente unha táboa simétrica. Estos modelos constrúense a partir de hipóteses simplificadoras que permiten transformar funcións de produción conxunta (implícitas nas TOD) en funcións de produción simples, como as establecidas nos modelos de Leontief; ou sexa, o que se fai é construír de forma tácita unhas relacións input-output equivalentes ás que se darían nunha táboa simétrica. Dado que o marco input-output recomenda a elaboración de táboas simétricas cada cinco anos (de feito, en España actualmente só se dispón da correspondente a 1995 mentres contamos con TOD dende 1995 ata 2000), estos modelos poden construírse en axeitadas aproximacións para a análise económica mentres non se dispoñen das estimacións oficiais das matrices simétricas11. Debemos ter en conta que os modelos fundamentados nas estimacións oficiais son teori11O investigador tamén pode optar por supoñer que os coeficientes técnicos da táboa simétrica son constantes no tempo e ofrecer resultados baseados na TIOS oficial. Porén, traballos recentes (Svensson e Widell, 2004) 65 camente superiores, xa que como se recoñece na nota metodolóxica da TIOS emprégase para a súa elaboración "información complementaria combinada con opinións cualitativas de expertos e a aplicación dalgunha das hipóteses de traballo (tecnoloxía do produto vs. tecnoloxía da industria)", o que permite unha mellor asignación de consumo intermedios e valor engadido ás producións secundarias12. Unha vez que xa se definiron os coeficientes de mercado e especialización, estamos en condicións de recordar que nas distintas hipóteses de traballo o que se fai é establecer dous tipos de relacións entre os produtos e as producións por ramas de actividade; apoiándose nun caso nas estruturas por filas e no outro nas estruturas por columnas. Polo tanto, pódese afirmar que dun xeito traballamos coa hipótese relativa á tecnoloxía da industria (da rama de actividade) e do outro traballamos coa hipótese relativa á tecnoloxía do produto. Dese modo, observamos como na elaboración dos distintos modelos de análise a partir das TOD, en función da hipótese admitida, nos vemos na obriga de recorrer aos sistemas (10) e (13) para realizar as substitucións correspondentes. Recordemos que os mesmos se escriben na súa forma compacta g=D´qeq=Cg. Así, concluímos sinalando que dispoñemos de dous tipos de modelos; 1.- Modelos en base a un suposto de tecnoloxía do produto, cada produto é producido cunha tecnoloxía característica, independentemente da relativa ao sector económico que o elabore. Estase a considerar a estabilidade da matriz de coeficientes de especialización, ou sexa, mantéñense estábeis as estruturas das columnas da matriz de produción. 2.- Modelos en base a un suposto de tecnoloxía da rama de actividade,cadaprodutoé elaborado segundo a tecnoloxía do sector, enténdese que a elaboración dos produtos secundarios non difire da correspondente aos produtos primordiais producidos polas distintas ramas de actividade. Considérase a estabilidade dos coeficientes de mercado, é dicir, mantéñense estábeis as estruturas das filas da matriz de produción. A introdución das hipóteses mencionadas, conxuntamente coas correspondentes á estabilidade de coeficientes técnicos non homoxéneos e de coeficientes de distribución (totais, interiores mostran que o suposto de coeficientes constantes é inapropiado. 12Por suposto, o único procedemento óptimo para realizar tales transferencias de inputs sería obviamente que as unidades informantes proporcionaran o valor real dos mesmos. Pero, na práctica as empresas non acostuman dispoñer de tal información. 66 ou importados), implícanos certo alonxamento da realidade económica que se pretende explicar ao longo dun período de tempo máis ou menos curto; estaríamos logo diante dun dos inconvenientes que presentan este tipo de modelos. Pero por outro lado, debemos ter presente que o feito de traballar directamente coas táboas de orixe e destino supón unha vantaxe significativa xa que nos permite unha maior explotación de toda esa información que nos aportan os distintos centros de estatística encargados de artellar TIO. Nese sentido, comentaremos como se pode recorrer a modelos de demanda relativos á hipótese do produto sen necesidade de agregar produtos, a diferencia do que se ven facendo habitualmente. Outra vantaxe que supón o emprego destes modelos fronte aos construídos sobre as táboas input-output simétricas, é que as táboas de orixe e destino presentan unha maior desagregación, ou sexa, traballan cun maior número de produtos que as táboas simétricas. Asunto de vital importancia sobre todo para estudos sectoriais, nese sentido imaxinémonos, por exemplo, que desexamos estudar o sector agrogandeiro español de acordo a técnica input-output. Podemos comprobar como nas TIO españolas aparece na táboa simétrica un único sector; Agricultura, gandeiría e caza; pero nas TOD por produtos xa hai unha maior desagregación, así se destacamos os máis significativos da rama (non homoxénea) correspondente xa temos; P1 Produtos agrícolas, P2 Produtos da gandeiría eP3Servizos agrícolas gandeiros. Cando menos, o emprego destes modelos será aconsellábel como ferramenta complementaria dado que axuda a profundizar na búsqueda de distintos impactos —tan característicos dentro da análise económica— e outro tipo de conclusións. Entón, son varias as vantaxes que nos ofrecen as táboas de orixe e destino xa que, en principio, as mesmas son máis doadas de confeccionar e nalgúns casos son publicadas cada anualidade, como é o caso das táboas españolas nos últimos anos. Polo tanto, se dispoñemos para un determinado ano das táboas de orixe e destino e non da táboa simétrica, o feito de traballar cos modelos que imos introducir sálvanos certos atrancos. Un dos atrancos máis habituais cando se traballa cos modelos tradicionais —os obtidos a partir da táboa simétrica— é o descoñecemento da matriz de coeficientes técnicos acompañado da falla desa información necesaria para actualizar dita matriz a partir da correspondente a última TIO publicada. Como non, a propia estabilidade asignada aos coeficientes técnicos (homoxéneos) tamén implica un certo alonxamento da realidade a explicar. En función das identidades contábeis e das relacións expostas anteriormente pódese derivar todo o conxunto de modelos baseados no novo marco input-output. Tendo en conta que polo xeral, tanto a táboa de orixe como a de destino aparecen avaliadas a prezos básicos, é necesario realizar certos axustes previos xa que os consumos intermedios sempre están avaliados a prezos 67 de adquisición. Logo a primeira tarefa antes da elaboración dos modelos debe ser sempre a compatibilidade da valoración de tódolos elementos de ambas táboas. Estos axustes non son sinxelos de realizar dado que normalmente a táboa de orixe só se presenta valorada a prezos básicos, o que xenera dificultades no axuste (a demanda final está a prezos de adquisición e é preciso pasala a prezos básicos e non se habitúa dispoñer da información necesaria). Se poseemos a información relativa á matriz de inputs intermedios interiores podemos traballar cos coeficientes técnicos interiores, aínda que haxa que advertir que estes últimos presentan unha maior debilidade que os totais xa que as ramas sempre poden recorrer a substitucións de consumos intermedios interiores por importados, ou sexa, estes son menos estábeis. Máis adiante (no apartado adicado a modelos e oferta e ao igual que no Capítulo 3), introduciremos modelos relativos a fluxos interiores pensando basicamente en aplicacións relacionadas con economías rexionais13. Hai distintos traballos onde se resaltan a construción dalgúns dos modelos que xurdirán a continuación. Entre outros, podemos destacar a Mesnard (2004, p. 130 e seguintes), a United Nations (1999, p. 90 e seguintes) e a Cañada (2001). Polo tanto, unha vez que temos claro que para poder traballar cos modelos obtidos directamente das táboas de orixe e destino, as mesmas deben estar valoradas do mesmo xeito, ben sexa a prezos de adquisición ou a prezos básicos14; xa estamos en condicións de introducir os mesmos. 2.4.1 Modelos clásicos ou de demanda En base ao exposto anteriormente, hai dous tipos de relacións entre o output das industrias e o dos produtos, segundo se considere que son os produtos proporcionais á produción de distintas ramas de actividade ou que a produción de cada rama é proporcional á produción de diferentes produtos. En cada un dos casos se lle dá prioriedade a un tipo de hipótese que se admite que ten unha estabilidade no tempo e por tanto permite aplicar os correspondentes modelos. 13A pesar do carácter que presentan os coeficientes técnicos interiores, en moitos estudos de carácter rexional son moi empregados, eso sí, en relación á táboa simétrica. Así, neste sentido, poden verse os comentarios de índole metodolóxica de distintos institutos de estatística, como en IEA ou IVE. 14Naqueles casos onde non sexa así e tampouco se dispoña das táboas auxiliares que o permitan, dende logo que non é aconsellábel aplicar estes modelos. De recorrer aos mesmos, dende logo que nos atoparíamos cuns resultados distantes da realidade económica a explicar. 68 Modelos en base á tecnoloxía da rama de actividade En primeiro lugar, imos introducir o modelo de Leontief relativo á estabilidade dos coeficientes de mercado, é dicir, en base á hipótese de tecnoloxía da industria. Ou sexa, neste caso asumimos que a matriz estábel temporalmente é a D, o que equivale, por tanto, a considerar que cada produto se elabora de acordo coa tecnoloxía da industria ou rama de actividade produtora. É dicir, a hipótese de tecnoloxía da rama sempre se aplica unida á hipótese de cuotas de mercado do produto constantes para as distintas ramas. A combinación destas dúas hipóteses supón que o uso do produto ina produción do produto jé unha medida ponderada do uso do produto ipolas diferentes ramas de actividade, obtendo precisamente as ponderacións de acordo ás participacións das distintas ramas na oferta total do produto j. Ademais, no que respecta a estes modelos (de demanda), enténdese que tamén se admite a estabilidade dos coeficientes técnicos totais (non homoxéneos). Polo tanto, tomamos a relación contábel; q=Xi+y−m, e substituíndo (28), ou sexa, consideramos a estabilidade de B, quédanos; q=Bg +y−m. (34) Agora, de acordo a outra hipótese apuntada previamente, é dicir, substituíndo (10), g=D´q, na anterior igualdade obtemos; q=BD´q+y−m. AmatrizBD´,que a podemos simbolizar abreviadamente por Atr, é unha matriz que describe os produtos necesarios para producir outros produtos. Por último, con vistas a despexar a produción por produtos; q−BD´q=y−m; apartirdeaquí 69 (I−BD´)q=y−m; e así construímos o modelo de demanda relativo á produción de produtos: q=(I−BD´)−1(y−m).(35) A matriz produto por produto, BD´, que a podemos denominar matriz de coeficientes baixo tecnoloxía da industria ou rama, Atr,móstranos os produtos necesarios para producir outros produtos baixo a hipótese da rama de actividade. Como vimos, obtense ao multiplicar a estrutura de inputs das diferentes ramas que producen o produto polas súas cuotas de mercado para ese produto. Esto implica que cada rama ten unha estrutura de consumos intermedios independentemente do produto que teña que elaborar. A estrutura de consumos intermedios, segue á rama de actividade e non ao produto. Agora detémonos na interpretación económica dos elementos desta matriz (BD´).Así,vemos como esta se corresponde cunha matriz cadrada de orde m, BD´= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ b11 b12 ··· b1n b21 b22 ··· b2n . . .. . ..... . . bm1bm2··· bmn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ d11 d21 ··· dm1 d12 d22 ··· dm2 . . .. . ..... . . d1nd2n··· dmn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , optamos por simbolizar o seu elemento xenérico de acordo a πik, sendo o mesmo do seguinte modo; πik = n X j=1 bijdkj = n X j=1 xij gj zkj qk ,i,k=1,2,...,m A interpretación destes coeficientes correspóndese coa proporción do input i (total, xij =xd ij +xm ij )na produción dunha unidade monetaria do produto k, sinalar que consideramos ramas de actividade non homoxéneas. Neste aspecto tamén se deteñen ten Raa e RuedaCantuche (2003, p. 445). Co fin de aclarar esta interpretación, imos expresar o elemento xenérico da seguinte maneira; πik =bi1dk1+bi2dk2+... +bindkn, 70 vemos como cada sumando se corresponde coa proporción do input ina produción do produto katravésdaramadeactividadej. Desta forma, entendemos que o coeficiente πik indica a relevancia do input ina produción do produto kno conxunto do sistema económico, que está composto polas nramas de actividade . Cando traballamos con ramas de actividade homoxéneas (g=q, polo tanto mé igual a n) como xa se ten apuntado anteriormente a matriz de coeficientes de mercado correspóndese coa matriz identidade, ou sexa, que dkk =1e os restantes elementos da columna kda matriz D´, dk1,dk2,..., d k(k−1),d k(k+1),...,d kn son nulos (o mesmo acontece cos elementos da fila kde D). Entón, vemos claramente como se simplifica a expresión correspondente a πik; πik =bi10+bi20+... +bik1+... +bin0=bik Nese hipotético caso, o coeficiente bik correspóndese co coeficiente técnico total do modelo de Leontief elaborado a partir da táboa simétrica. Vemos logo como se pon de manifesto como este tipo de modelos é máis xeral que o relativo a táboas simétricas, pois o feito de que as ramas de actividade sexan homoxéneas non deixa de ser un caso moi específico. Tamén podemos reformular o modelo introducido (35), de tal modo que obteñamos a produción por ramas, en vez de lograr o nivel de produtos15. Polo tanto, substituíndo a anterior igualdade en (10) obtemos ese outro modelo de demanda, digamos que está asociado ao anterior16; g=D´( I−BD´) −1(y−m).(36) Modelos en base á tecnoloxía do produto Neste segundo caso apoiámonos no sistema (13), dado que o que se postula é a estabilidade de C; ou sexa, que cada produto elaborase no sistema coa tecnoloxía específica, á marxe da industria que o elabore. É dicir, a estrutura de consumos intermedios é a do produto. Polo tanto, cando as matrices de consumos intermedios e produción sexan cadradas e de rango completo, ou aínda que non o sexan pero se recurra a agregacións co fín de transformalas en matrices cadradas tamén se poden obter estes modelos alternativos, artificio empregado en 15En xeral, considerase máis útil o modelo produto por produto. De feito no SCN-93 descríbese só esta aproximación. 16No seguinte capítulo veremos como é posíbel presentar doutro xeito o modelo baseado nestas hipóteses. 71 moitas ocasións, pero este asunto será tratado posteriormente. Neses hipotéticos casos pode calcularse a inversa de C; ou sexa, a produción por ramas de actividade viría dada por; g=C−1q, (37) Polo tanto, en base á hipótese de tecnoloxía do produto, substituímos a anterior igualdade en (34) e operando obtemos outro modelo de Leontief por produción de produtos; q=(I−BC−1)−1(y−m)(38) e o modelo asociado17 (produción de ramas de actividade) será; g=C−1(I−BC−1)−1(y−m).(39) Alternativamente podemos artellar modelos de demanda en relación aos fluxos interiores, pero optamos por introducilos no Capítulo 3 cando tratemos as extensións dos modelos orixedestino. Os consumos intermedios que require unha rama de actividade é a suma dos inputs necesarios para producir tódolos seus produtos. Se os produtos, independentemente da rama, necesitan uns consumos idénticos poderíamos representalos por unha matriz Atp (matriz cadrada de orde m). Cando multipliquemos esta matriz polo output de cada produto obtido polas diferentes ramas de actividade, obteríamos os requerimentos de inputs da rama de actividade, B.Édicir, B=AtpC. Polo tanto, agora a matriz que mostra os produtos necesarios para producir outros produtos baixo a hipótese de tecnoloxía de produto obtense como Atp =BC−1.Esto implica que haxa que invertir a matriz que mostra a estrutura da produción para obter a matriz de coeficientes input-output. De aí que se precise que as matrices sexan cadradas e de rango completo, pero habitualmente as mesmas non son cadradas salvo que se recurra a agregacións para conseguir que sexan desa índole18. Noutras verbas, temos que decidir se a tecnoloxía é a do produto ou a da rama de actividade, xa que moitos produtos son elaborados por varias ramas de actividade e moitas ramas producen máis dun produto. Ademais do mencionado anteriormente, existen enormes dificultades teóricas 17Máis adiante veremos como este modelo tamén se pode presentar doutro xeito. 18Este atranco pode salvarse mediante o uso do concepto da inversa xeralizada, asunto que se abordará no seguinte capítulo. 72 xd ij +xm ij qi+mi =xm ij mi =⇒(xd ij +xm ij )mi=(qi+mi)xm ij =⇒ =⇒xd ijmi=xm ij qi. Ou, alternativamente, os coeficientes de distribución interioresteríanqueseriguaisaos coeficientes de distribución importados, pero, en xeral, non acontece o indicado, ou sexa, xd ij qi 6=xm ij mi . Nestes modelos, aparécenos tamén unha matriz produto H´C, sendo a mesma unha matriz cadrada de orde n. Imos denotar o seu elemento xenérico por ϑjk,sendo o mesmo; ϑjk = m X i=1 hijcik = m X i=1 xij qi+mi zik gk ,j,k=1,2,...,n, aínda que con fin de interpretalo economicamente é aconsellábel optar pola expresión alternativa; ϑjk = m X i=1 cikhij =c1kh1j+c2kh2j+···+cmkhmj,j,k=1,2,...,n. De modo que, ϑjk representa a relevancia (aproximada) da produción da rama k sobre o total dos recursos que son empregados como inputs na produción dunha unidade monetaria na produción da rama de actividade j.Podemos ver como o primeiro sumando c1kh1jse corresponde co produto da proporción da produción da rama k na produción do produto 1 pola proporción de recursos do produto 1 empregada como input na produción da rama j. Por outra parte, tamén apuntamos neste apartado que se dispoñemos das matrices XdeXm podemos traballar cos seguintes modelos; g=(I−Hd0C)−1(tm+v)(52) e q=C(I−Hd0C)−1(tm+v).(53) Agora, a interpretación dos elementos de Hd0Cé máis manexábel cá dos elementos de H0C. 79 Como vimos, o feito de non saber que parte dos consumos intermedios era relativa á produción interior implicaba non saber con exactitude que proporción da produción dunha rama de actividade era empregada por outra rama de actividade, por ese motivo falabamos de aproximacións. Esa ambigüedade xa non se presenta neste tipo de modelos. Usaremos a notación ϑjk para designar o elemento xenérico de Hd0C, sendo da seguinte maneira; ϑjk = m X i=1 cikhd ij =c1khd 1j+c2khd 2j+···+cmkhd mj,j,k=1,2,...,n. A súa interpretación económica correspóndese coa proporción da produción da rama de actividade k que emprega a rama j para producir unha unidade monetaria. 80 2.A Desagregación dos fluxos na táboa de destino por orixe Dado que na táboa de destino se distinguen os fluxos interiores dos fluxos importados podemos desagregar tanto os coeficientes técnicos como os coeficientes de distribución na súa parte interior e importada. 2.A.1 Coeficientes técnicos interiores Tendo en conta que xij =xd ij +xm ij ,sendo xd ij o input i de orixe interior demandado pola rama de actividade non homoxénea j e xm ij o input i de procedencia importada demandado pola rama de actividade non homoxénea j; definimos os coeficientes interiores técnicos interiores non homoxéneos da seguinte forma; bd ij =xd ij gj =xd ij m P i=1 zij ,i=1,2,...,m ej=1,2,...,n. E a interpretación económica do elemento xenérico da matriz Bdéa proporción do input i de orixe interior por unidade monetaria de produción da rama de actividade non homoxénea j. De forma análoga aos coeficientes ténicos totais non homoxéneos, podemos resaltar certas igualdades matriciais e propiedades que se cumpren no entorno da matriz Bd.Fixémonos que introducimos un cambio no numerador cando definimos estes coeficientes, en vez de considerar os inputs totais, consideramos parte dos mesmos. De acordo á definición anterior vemos como se verifica; Bd=Xd∧ g −1,(56) onde Xd=(xd ij)é a matriz de consumos intermedios de procedencia interior e podémola expresar Xd=Bd∧ g. (57) Tamén entendemos acertado indicar que a demanda intermedia de orixe interior se corresponde co produto entre a matriz Bde o vector g, Xdi=Bdg.(58) 81 Atendendo á relación contábel (6), g=X0i+v, sabemos que cada elemento de g,ousexa, a produción das distintas ramas de actividade non homoxéneas resulta; gj= m X i=1 xd ij + m X i=1 xm ij +vj,j=1,2,...,n. Polo tanto, cúmprese a igualdade que se indica a continuación; 1= m X i=1 bd ij + m P i=1 xm ij gj +vj gj ,j=1,2,...,n.(59) Como se apuntaba anteriormente pode ser admisíbel supoñer que vj>0,deaíqueante esa hipótese nos aseguramos que a suma por columnas dos coeficientes técnicos interiores é estritamente menor que 1; m X i=1 bd ij <1,j=1,2,...,n. (60) 2.A.2 Coeficientes técnicos importados Agora, plantexando unha relación entre os inputs intermedios importados e e a produción das distintas ramas de actividade non homoxéneas, definimos os coeficientes técnicos importados non homoxéneos bm ij =xm ij gj =xm ij m P i=1 zij ,i=1,2,...,m ej=1,2,...,n. Así, o elemento bm ij representa a proporción do input i de orixe importada por unidade monetaria de produción da rama de actividade non homoxénea j. A matriz relativa a estes coeficientes que estamos a introducir será Bm=Xm∧ g −1,(61) sendo Xm=(xm ij )a matriz de consumos intermedios de orixe importada e podémola expresar da seguinte maneira; 82 Xm=Bm∧ g. (62) Na construción dos modelos obtidos directamente das táboas de orixe e destino interésaranos ver como a demanda intermedia de orixe interior se corresponde co produto da matriz Bmpolo vector g, Xmi=Bmg.(63) Se retomamos a igualdade (59), que apareceu cando estabamos a introducir os bd ij; 1= m X i=1 bd ij + m P i=1 xm ij gj +vj gj ,j=1,2,...,n, vemos como a suma por columnas dos coeficientes técnicos importados non homoxéneos tamén éestritamentemenorque1. m X i=1 bm ij <1,j=1,2,...,n.(64) A conclusión que acabamos de obter semella evidente dado que os coeficientes técnicos totais obtéñense mediante a suma dos coeficientes técnicos interiores e importados. Vémolo doadamente; bij =xij gj =xd ij +xm ij gj =xd ij gj +xm ij gj =bd ij +bm ij . E por outro lado, se con anterioriedade, en (26) indicabamos que; m X i=1 bij <1,j=1,2,...,n. Polo tanto, con máis razón; m X i=1 bd ij <1e m X i=1 bm ij <1,j=1,2,...,n. 83 2.A.3 Coeficientes de distribución interiores Tamén podemos establecer unha relación entre os inputs intermedios interiores e os totais por produción por produtos, definindo así os coeficientes de distribución interiores non homoxéneos; hd ij =xd ij qi =xd ij n P j=1 zij ,i=1,2,...,m ej=1,2,...,n. A interpretación económica do elemento xenérico hd ij correspóndese coa proporción do produto i destinada a input para a produción dunha unidade monetaria de produción da rama de actividade non homoxénea j. De acordo á definición que acabamos de dar obtemos a seguinte expresión matricial; Hd=∧ q −1Xd.(65) Agora, en base a unha das relacións contábeis implícitas nas táboas de orixe e destino, en concreto en base a (3) sabemos que; qi= n X j=1 xd ij +yd i=ud i+yd i,i=1,2,...,m. Entón, ten que cumprirse; n X j=1 hd ij +yd i qi =1,i=1,2,...,m. Admitindo que a demanda final de produtos interiores é positiva, yd i>0,(i=1,2,...,m); a suma por filas dos elementos de Hdéestritamentemenorque1. n X j=1 hd ij <1,i=1,2,...,m.(66) Aínda que é posíbel que a demanda final dalgún produto de orixe interior sexa nula, logo en xeral temos que yd i≥0,(i=1,2,...,m); e polo tanto a suma das filas correspondentes sería menor ou igual a 1, 84 n X j=1 hd ij ≤1,i=1,2,...,m. A partir da igualdade (65) deducimos a seguinte; Xd=∧ qHd.(67) Deste xeito, é inmediato ver como a matriz trasposta da relativa aos consumos intermedios interiores é; (Xd)0=(Hd)0∧ q. (68) Por último, indicamos que a suma por columnas da matriz de coeficientes interiores, Xd,(que para maior comodidade xa optaramos por simbolizala abreviadamente por td),se corresponde co seguinte produto matricial; td=(Xd)0i=(Hd)0q. (69) 2.A.4 Coeficientes de distribución importados Se establecemos unha relación entre os inputs intermedios importados e as importacións por produtos, acabamos definindo os denominados coeficientes de distribución importados; hm ij =xm ij mi ,i=1,2,...,m ej=1,2,...,n. En definitiva, podemos construir unha matriz da mesma orde que Hd,que imos a denotar por Hm, onde o seu elemento característico, hm ij ,se interpreta como a proporción das importación do produto i destinada a input para a produción dunha unidade monetaria de produción da rama de actividade non homoxénea j. Esta matriz ven dada polo seguinte produto matricial; Hm=∧ m −1Xm.(70) As importacións dos distintos produtos van destinadas á demanda final ou son utilizadas 85 como inputs por parte das distintas ramas, así que verifícase; mi= n X j=1 xm ij +ym i=um i+ym i,i=1,2,...,m. Entón, ten que cumprirse n X j=1 hm ij +ym i mi =1,i=1,2,...,m. Imos supoñer que as demandas finais dos distintos produtos importados son positivas, ym i>0,(i=1,2,...,m); dese modo cúmprense as seguintes desigualdades, onde se pon de manifesto que as sumas por filas dos elementos de Hmson estritamente menores que un; n X j=1 hm ij <1,i=1,2,...,m. A partir de (70), multiplicando ambos membros pola esquerda pola matriz diagonal de me simplificando obtemos; Xm=∧ mHm.(71) Así, a trasposta desta matriz resulta da seguinte maneira; (Xm)0=(Hm)0∧ m. (72) E xa por último, indicar que se multiplicamos pola dereita pola matriz unitaria de orde (n×1), obtemos a matriz columna dos consumos intermedios importados; tm=(Xm)0i=(Hm)0∧ mi =(Hm)0m.(73) 86 2.B Relacións entre as matrices de coeficientes directos Resaltamos aquí as dependencias existentes entre as matrices de coeficientes obtidos directamente das táboas de orixe e destino23, veremos como as mesmas nos resultarán fundamentais á hora de estudar a relación entre os modelos de oferta e demanda24. 2.B.1 Interrelación entre CeD As matrices de coeficientes de especialización e de coeficientes de mercado, CeDrespectivamente, xurden da táboa de orixe. O feito de que nun caso se proceda por columnas e no outro por filas lévanos a ver facilmente como se pode expresar unha matriz en función da outra; xa vimos, en (11) e (7), a raíz da definición dos coeficientes de especialización e de mercado como C=Z∧ g −1eD=∧ q −1Z. Polo tanto, a matriz de produción pode expresarse alternativamente de acordo aos seguintes produtos matriciais; Z=C∧ g,ou Z=∧ qD. A partir de aquí, obtemos; C∧ g=∧ qD e agora vemos de inmediato como se pode escribir unha matriz en función da outra; D=∧ q −1C∧ g,(74) C=∧ qD∧ g −1.(75) 23Os resultados que se mostran a continuación están inspirados nas relacións existentes, dentro do entorno da táboa simétrica, entre as matrices de coeficientes técnicos e de distribución; e entre as súas correspondentes inversas. Ditas relacións podémolas ver, por exemplo, en Pulido e Fontela (1993, p. 81 e 83), ou Sánchez-Chóliz e Duarte (2003, p. 487). 24A relación entre os modelos de oferta e demanda (OD) abordarase máis adiante. 87 2.B.2 Interrelación entre BdeHd Tamén sabemos que as matrices de coeficientes de técnicos interiores e de coeficientes de distribución interiores xurden a partir da táboa de destino. En (56) e (65) vimos como se poden expresar as matrices BdeHden función de Xd; Bd=Xd∧ g −1eHd=∧ q −1Xd. Polo tanto, a matriz de consumos intermedios interiores pode mostrarse alternativamente de acordo a; Xd=Bd∧ g, ou Xd=∧ qHd. A partir de aquí, obtemos Bd∧ g=∧ qHd. Estando xa en condicións de indicar como se pode expresar unha matriz en función da outra de acordo a ; Bd=∧ qHd∧ g −1,(76) ou Hd=∧ q −1Bd∧ g.(77) No hipotético caso de apoiarse na matriz de inputs intermedios de fluxos totais tamén é posíbel buscar a relación entre matrices dos coeficientes relativos a mesma25. 25Xa non nos detemos nas correspondentes dependencias matriciais porque despois optaremos por centrarnos basicamente nos modelos (de demanda ou oferta) relativos aos fluxos interiores. 88 Matematicamente é posíbel construír outros modelos máis complexos, ben co propósito de explicar a produción por produtos ou ben co propósito de explicar a produción por sectores; simplemente teríamos que acudir a certas substitucións en relación ás estruturas estábeis por filas ou por columnas da matriz de produción. Falamos de complexidade xa que xurden matrices de coeficientes froito de produtos matriciais que se asociarían a matrices simétricas vinculadas aos distintos modelos, na que a súa interpretación pode resultar excesivamente complicada — sobretodoseaparaceninversas. Así, en relación ao anterior, o modelo de demanda relativo á produción por produtos asociado resulta inmediato, enténdese que nos seguimos apoiando na mesma hipótese de tecnoloxía; q=C(C−Bd)xyd.(87) Unha vez introducida a construción do modelo de demanda a partir das táboas de orixe e destino de acordo aos fluxos interiores no que se explica a variábel gen base á demanda final interior, lembrémonos de que era o seguinte; g=(C−Bd)xyd, imos centrarnos na interpretación económica dos elementos da matriz (C−Bd)x5. Atendendo logo á construción das táboas, vemos como (C−Bd)é unha matriz de orde m×n (produto por sector). Volvemos a recordar que m>n,polo tanto, a matriz (C−Bd)x,que imos a denominar inversa xeralizada interior de Leontief (OD) édeorden×m, sector por produto. Por comodidade, imos simbolizar os seus elementos mediante βd ij.Con vistas a unha maior nitidez ampliamos o modelo que expresamos de entrada na súa forma compacta, vexamos logo; ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ g1 g2 . . . gn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ βd 11 βd 12 ··· βd 1m βd 21 βd 22 ··· βd 2m . . .. . .. . . βd n1βd n2··· βd nm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ yd 1 yd 2 . . . yd m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . Así,aproduciónrelativaacadaramadeactividadenonhomoxénearesultadoseguinte 5Tamén poderíamos introducir o modelo relativo aos fluxos totais, aínda que a efectos de buscar a mencionada interpretacón económica sérvenos perfectamente este. 95 modo; gi= m X j=1 βd ijyd j=βd i1yd 1+βd i2yd 2+... +βd imyd m,∀i∈{1,2,...,n}. Interpretamos o elemento xenérico da inversa xeralizada interior de Leontief, βd ij,como a cantidade adicional producida polo sector ise a demanda final interior do produto jse incrementa nunha unidade. A diferenza do que acontece cando traballamos coa táboa simétrica, onde os elementos da inversa de Leontief mostran certas características, como poden ser o feito de que sexan positivos, ou que aqueles pertencentes á diagonal principal sexan maiores que un. Vemos como neste contexto xa non dispoñemos de diagonal principal ao traballar con matrices rectangulares. Outro aspecto a comentar é a posibilidade de que xurdan valores negativos nesta matriz. Non debemos de esquecer que un mesmo produto pode ser producido por distintas ramas de actividade e que estamos a fixarnos en alteracións na produción de sectores motivadas por modificacións na demanda final de produtos, polo que poden entrar en xogo certas substitucións á hora de elaborar dito produto, ou sexa, que poden tirar máis da produción doutra rama en vez da considerada, por esa razón probabelmente apareza ese hipotético valor negativo. Xa no que atinxe aos multiplicadores asociados a este tipo de modelos, vemos logo como se sumamos os elementos da columna j; βd ·j= n X i=1 βd ij, estamos ante o efecto final sobre a produción de tódolos sectores do sistema motivado polo incremento dunha unidade de demanda final interior do produto j. Se sumamos os elementos da fila ida matriz en cuestión; βd i·= m X j=1 βd ij, obtemos oefectofinal sobre a produción da rama de actividade non homoxénea i ante o incremento dunha unidade na demanda final interior de tódolos produtos. 96 Outros modelos de Leontief No capítulo anterior introducimos os modelos de demanda relativos a fluxos totais en base ás dúas hipóteses de tecnoloxía, agora continuamos co enfoque relativo a fluxos interiores con vistas a destacar algunhas das extensións destes modelos de análise. Se traballamos coa hipótese de tecnoloxía da industria (10), g=D´q, podemos substituír alternativamente gna identidade contábel (82), q=Bdg+yd,quedándonos logo; q=BdD´q+yd,(88) polo que o modelo sería o seguinte; q=(I−BdD´) −1yd.(89) Se se pretende explicar a produción por ramas de actividade; g=D´( I−BdD´)−1yd.(90) Aínda que as matrices de orixe e destino sexan rectangulares, cando se opta por traballar cos modelos apoiados neste suposto non nos atopamos con problemas ante a inversibilidade das matrices, xa que as matrices produto BdD´son cadradas, recordar que Bd∈Mm×ne D´∈Mn×m=⇒BdD´∈Mm.Cando se barallan as vantaxes e os inconvenientes á hora de escoller uns modelos ou outros, en base aos dous supostos, sempre se resalta como unha das fundamentais a comentada agora (Uniteds Nations, 1999. p. 99). É máis, de acordo ás propiedades que verifican os coeficientes técnicos interiores e os coeficientes de mercado sempre existe a inversa de (I−BdD´) e súa inversa é positiva, ou sexa, (I−BdD´) −1≥0.Este é un aspecto moi importante en economía, pois cando é así os elementos das matrices teñen significado económico. Neste senso, a continuación demostramos o anterior. Para iso consideramos a matriz BdD´, sendo a mesma matriz positiva xa que se corresponde co produto de matrices positivas, e vemos dequeformaéasúatrasposta; (BdD´)´ = D(Bd)´. 97 Ao mesmo tempo, traballando coa seguinte norma: kAk=sup iX j |αij| (ver Apéndice Matemático, proposicións 1 e 3), sabemos que ° ° °(BdD´)´° ° °=° ° °D(Bd)´ ° ° °≤kDk° ° °(Bd)´° ° °. Basándonos na propiedade que verifican as sumas por filas dos coeficientes de mercado, sendo as mesmas iguais a 1, é dicir, analiticamente; n X j=1 dij =1,i=1,2,...,m, e na propiedade que cumpren as sumas por columnas dos elementos da matriz de coeficientes técnicos interiores, Bd, sendo estritamente menores que 1, m X i=1 bd ij <1,j=1,2,...,n. Polo tanto, as sumas por filas da matriz trasposta de Bdtamén serán menores que 1. Temos que kDk=1e° °(Bd)0° °<1,entón kDk° ° °(Bd)´° ° °<1. De aí que, se λé autovalor de BdD´,λ≤° °BdD´ ° °,ecomoBdD´é positiva e de norma estrictamente menor que 1, o autovalor máximo λmé estritamente menor que 1 (ver Apéndice Matemático, Modelo Aberto de Leontief). E logo, ∀λ>λ m,(λI −BdD´) é inversíbel e (λI −BdD´)−1≥0.Para enlazar coa matriz que nos parece no modelo basta con considerar λ=1e así temos que (I−BdD´) é inversíbel e (I−BdD´)−1≥0. Por último, retomando o modelo de demanda de fluxos interiores aquí introducido; 98 q=(I−BdD´) −1yd,(89) para interpretar economicamente os elementos da matriz de coeficientes BdD´. Imos denotar o elemento xenérico desta matriz por πd ik, sendo da seguinte maneira; πd ik = n X j=1 bd ijdkj,i, k =1,2,...,m. Por suposto que a súa interpretación é semellante á dos coeficientes técnicos que xurdiron con anterioriedade en (35), iso si, neste caso estamos diante de coeficientes técnicos interiores. Entón temos que πd ik representa a proporción do input ide orixe interior na produción dunha unidade monetaria do produto k. Outro modelo alternativo de Leontief en base á hipótese de tecnoloxía da industria En distintas publicacións constrúen o modelo de demanda de acordo á tecnoloxía da rama como se presentou anteriormente (89), pero apoiándonos no desenvolvemento xurdido en relación á elaboración de táboas cadradas de produción imos introducir outro modelo alternativo. Tamén o compararemos co modelo "simple" de Leontief (OD). Nós sabemos, por (3), que a produción por produtos se expresa; q=Xdi+yd, por outra banda, de acordo a (15), q=CD0q, así que substituíndo en (3) obtemos; CD0q=Xdi+yd,(91) atendendo a (58), Xdi=Bdg, entón temos de forma alternativa; CD0q=Bdg+yd. EnbaseáhipótesedeestabilidadedeD, ou sexa, considerando (10), g=D0q, quédanos; CD0q=BdD0q+yd 99 Agora con vistas a despexar q, imos realizando certas transformacións; CD0q−BdD0q=yd; (CD0−BdD0)q=yd, ou alternativamente ((C−Bd)D0)q=yd.(92) Antes de obter o modelo imos centrarnos na matriz diferenza, (C−Bd),trátase dunha matriz de orde (m×n), que tamén xurdiu no artellamento do modelo "simple" de demanda. Observamos como son os seus elementos; (C−Bd)m×n=(cij −bd ij)m×n=( zij gj −xd ij gj )=( yd ij gj ). Temos que lembrarnos que parte da produción por produtos satisfai a demanda intermedia e o resto vai destinada á demanda final, qi n =X j=1 zij = n X j=1 xd ij + n X j=1 yd ij,i=1,2,...,m. Observamos que a suma das producións do produto iofertadas polas nramas de actividade destinadas á demanda final correspóndense coa demanda final de orixe interior do produto i, analiticamente; n X j=1 yd ij =yd i. Por comodidade, imos simbolizar a matriz (C−Bd)por Fd Fd=( yd ij gj )=(fd ij)= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ fd 11 fd 12 ··· fd 1n fd 21 fd 22 ··· fd 2n . . .. . .. . . fd m1fd m2··· fd mn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . 100 O elemento xenérico desta matriz, denotado por fd ij,poderíase interpretar como aparte da proporción da produción do produto iproducido pola rama de actividade non homoxénea j destinada á demanda final. Aínda que temos que matizar esta interpretación, xa que moitos dos elementos desta matriz serían negativos, ou sexa, o produto elaborado pola rama (no caso de que exista) non abonda para satisfacer a demanda intermedia desa rama de actividade. Pensemos que acontece cando o produto é secundario dentro da rama en cuestión, digamos logo que os elementos de Fdveñen a indicar a dispoñibilidade por parte da rama de actividade jdo produto icon vistas a satisfacer a demanda final deste produto. Pero ao noso entender, o que nos interesa en realidade é o efecto global que nos ven dado pola suma por filas, anteriormente mencionado. A continuación imos comprobar como a suma por columnas dos elementos de Fdéestritamente menor que 1. Así, vemos como a produción de calquera rama de actividade non homoxénea pode expresarse; ∀j∈{1,2,...,n},g j= m X i=1 zij = m X i=1 xd ij + m X i=1 yd ij, polo tanto, ten que cumprirse o seguinte; 1= m X i=1 xd ij gj + m X i=1 yd ij gj = m X i=1 bd ij + m X i=1 fd ij. Pero cando estudamos os coeficientes técnicos interiores admitimos que; m X i=1 bd ij <1, entón; m X i=1 fd ij <1. A igualdade (92) expresaríase logo de forma abreviada: FdD0q=yd,(93) ou alternativamente 101 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ fd 11 fd 12 ··· fd 1n fd 21 fd 22 ··· fd 2n . . .. . .. . . fd m1fd m2··· fd mn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ d11 d21 ··· dm1 d12 d22 ··· dm2 . . .. . .. . . d1nd2n··· dmn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ q1 q2 . . . qm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ yd 1 yd 2 . . . yd m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . Fixámonos agora nos elementos da matriz FdD0,esta é unha matriz cadrada de orde m. Imos denotar o seu elemento característico por θik,sendo o mesmo do seguinte modo; θik = n X j=1 fd ijdkj = n X j=1 yd ij gj zkj qk ,i,k=1,2,...,m. Para axudarnos na interpretación destes elementos, podemos expresalo detalladamente; θik =fd i1dk1+fd i2dk2+... +fd indkn =yd i1 g1 zk1 qk +yd i2 g2 zk2 qk +...+yd in gn zkn qk ,i,k=1,2,...,m, e por iso entendemos que θik representa a parte da proporción da produción do produto i para producir unha unidade monetaria do produto k destinada á demanda final. Aclaramos, a modo de exemplo, que o primeiro sumando fd i1dk1correspóndese coa proporción destinada á demanda final da proporción da produción do produto i por unidade monetaria de produción do produto k a través da rama de actividade 1,xa que fd i1éa parte da proporción da produción do produto i producido pola rama de actividade non homoxénea 1 destinada á demanda final edk1eproporción da produción da rama de actividade non homoxénea 1 na produción do produto k. Unha vez interpretados estes coeficientes, indicar que as demandas finais interiores dos distintos produtos veñen recolleitas polo sistema; yd 1=θ11q1+θ12q2+...+θ1mqm . . .. . . yd m=θm1q1+θm2q2+...+θmmqm Polotanto,omodelodedemandaenbaseáhipótesedetecnoloxíadaramapodepresentarse alternativamente como sigue; 102 q=³FdD0´−1yd,(94) e se queremos explicar a produción das ramas de actividade traballaríamos co modelo asociado g=D0³FdD0´−1yd.(95) Podemos comprobar de acordo a unha aplicación como ¡FdD0¢−1=(I−BdD´)−1,aínda que o procedemento de elaboración do modelo é distinto as inversas resultantes son iguais. Quizais sexa esta unha mostra clara para poñer de manifesto unha das moitas posibilidades das que dispoñemos á hora de artellar distintos modelos de comportamento, que incluso nalgúns casos son idénticos aínda que cunha presentación distinta. Ao mesmo tempo, temos que sinalar que a medida que se introducen hipóteses así nos xurden nos pasos intermedios distintas matrices que con dificultade podemos interpretar os seus elementos. Este feito invítanos a pensar que o máis acertado é traballar cos modelos máis simples. Aclaramos esta afirmación indicando que dende a perspectiva da demanda trátase de considerarestábeisasestruturasdascolumnas, tanto na táboa de orixe como na táboa de destino. Modelos alternativos de demanda de acordo á inversa xeralizada de C Dentro das diversas posibilidades que ofrece o emprego da inversa xeralizada de MoorePenrose neste contexto, indicamos a continuación como podemos evitar as agregacións que se veñen realizando frecuentemente cando se traballa co modelo de Leontief baseado na hipótese de tecnoloxía do produto, sendo conscientes en todo momento que ditas agregacións mermarían notabelmente as conclusións a obter. Nesta liña tamén traballa Zhao (2002), iso si, salvando unha pequena diferenza, xa que este autor introduciu esta ferramenta en relación aos fluxos totais. Se substituímos en (82), q=Bdg+yd, a igualdade (79), g=Cxq, obtemos; q=BdCxq+yd,(96) de forma que o modelo de demanda por produtos ven a ser; q=(I−BdCx)−1yd.(97) 103 Outra posibilidade consiste en substituír (13), q=Cg, en (96) con vistas a explicar g Cg =Bdg+yd, multiplicando a continuación pola esquerda ambos membros por Cxobtemos; CxCg =CxBdg+Cxyd, temos que lembrarnos que se m>n,entón CxC=In,de aí que; g=CxBdg+Cxyd. Polo tanto, o modelo de demanda correspondenteáproduciónporramasdeactividadeno tocante ao suposto de tecnoloxía do produto é; g=(I−CxBd)−1Cxyd.(98) Aínda que aparentemente semelle distinto, este modelo correspóndese con (86) denominado por nós como o modelo simple de demanda, g=(C−Bd)xyd,ou sexa, (I−CxBd)−1Cxcorrespóndese coa inversa xeralizada de Leontief. Se substituímos (81), q=D´ xg, en (82) obtemos; D´ xg=Bdg+yd,(99) e agora coa meta de despexar g, multiplicamos ambos membros da anterior igualdade por D´; D´D´ xg=D´( Bdg+yd). Tamén temos que indicar que D´D´ xnon ten porque corresponderse con In.Pero substituíndo q=D´ xgen g=D´qxa obtemos g=D´D´ xg. (100) De aí, que o sistema (99) se poida expresar alternativamente de acordo a; 104 sabemos que ° ° °³Hd0C´ ´° ° °=° ° °C´Hd° ° °≤kC´k° ° °Hd° ° °. Pero anteriormente vimos como as sumas por columnas dos coeficientes de especialización son iguais a 1, ou sexa, analiticamente; m X i=1 cij =1,j=1,2,...,n. De aí que a suma por filas dos elementos da trasposta de Csexan iguais a 1. Ao mesmo tempo, as sumas por filas dos elementos da matriz de coeficientes distribución interiores, Hd, son estritamente menores que 1; n X j=1 hd ij <1,i=1,2,...,m. Temos que kC´k=1e° °Hd° °<1,polo tanto kC´k° ° °Hd° ° °<1. Entón, se λé autovalor de Hd0C,λ≤° °Hd0C° °,ecomoHd0Cé positiva e de norma estritamentemenorque1,oautovalormáximoλmé estritamente menor que 18. Polo tanto, ∀λ>λ m,(λI −Hd0C)é inversíbel e (λI −Hd0C)−1≥0.Para enlazar coa matriz que nos aparece no modelo abonda con considerar λ=1easítemosque; (I−Hd0C)éinversíbele(I−Hd0C)−1≥0. Modelos alternativos de Ghosh de acordo ás inversas xeralizadas de CeD´ Ao igual que se procedeu nos modelos de demanda,serecurrimosaocáculodainversaxeralizada de Moore-Penrose, podemos artellar outros modelos de oferta para explicar ben a produción de produtos ou ben a produción por ramas de actividade. 8Unha vez máis, véxase Apéndice Matemático, Modelo Aberto de Leontief. 111 Consideramos o sistema de ecuacións (103), g=Hd0q+tm+v, e de acordo á hipótese da estabilidade das estruturas das columnas de Zpodemos substituír (79), g=Cxq, en (103) e obtemos así; Cxq=Hd0q+tm+v. A partir de aquí, multiplicamos pola esquerda ambos membros desta igualdade por C; CCxq=CHd0q+C(tm+v).(110) AmatrizCCxé unha matriz simétrica pero non ten porque corresponderse coa matriz identidade, para o que sería preciso supoñer que m>n. Pero vemos como se substituímos g=Cxqen q=Cg quédanos; q=CCxq, (111) así que, a partir de (110) con fin de despexar a produción por produtos, q=CHd0q+C(tm+v) xa obtemos de inmediato o modelo de oferta relativo á produción por produtos en base á estabilidade das estruturas das columnas da matriz de orixe; q=(I−CHd0)−1C(tm+v).(112) Outraopciónparaelaborarunmodelodeofertaenrelaciónaqde acordo á estabilidade das estruturas das filas de Zconsistirá en considerar (104); D´q=Hd0q+tm+v, e multiplicando pola esquerda ambos membros do sistema pola inversa xeralizada de D´,D´ x, obtemos9; 9Neste contexto ten que esixirse que m<n. 112 D´ xD´q=D´ xHd0q+D´ x(tm+v). Polo tanto, o modelo de oferta sería o seguinte; q=(I−D´ xHd0)−1D´ x(tm+v). (113) E xa por último, indicamos que se pode elaborar un modelo relativo a gxogando con D´ x. Trátase de substituír (81), q=D´ xg, en (103) obtendo así; g=Hd0D´ xg+tm+v. En definitiva, o modelo de oferta alternativo sería o seguinte; g=(I−Hd0D´ x)−1(tm+v). (114) Sempre se pode considerar m=n, e a inversa xeralizada de D´correspóndese coa súa inversa. Tamén comentamos que estes últimos modelos de oferta, (113) e (114) (enténdese coa particulariedade de m=n), non son introducidos por Mesnard (2004). Pero nós considerámolos de interese, pois máis adiante centrarémonos nas relacións entre modelos de oferta e demanda e observaremos a súa utilidade. 3.3 Resolución de modelos "simples" input-output Nos modelos "simples" obtidos das táboas de orixe e destino aparécennos matrices rectangulares, ou sexa, dispoñemos dun maior número de ecuacións que de incógnitas; polo tanto, na discusión destes sistemas de ecuacións cábenos a posibilidade de encontrarnos con sistemas compatíbeis ou incompatíbeis. En relación aos modelos construídos a partir da táboa simétrica non se daba esa circunstancia, xa que ao traballar con matrices cadradas os sistemas son sempre compatíbeis e a solución é única, admitindo que traballamos con economías indescompoñíbeis. Imos escoller o modelo "simple" de demanda, (85), para expoñer como se pode proceder para resolvelo g=(C−Bd)xyd. 113 Atendendo á proposición 10 (A. Matemático), se o sistema é compatíbel existe unha solución única g∗, si e soamente si, (C−Bd)x(C−Bd)=In,pero como xa vimos no desenrolo da elaboración do modelo, o anterior produto matricial si se correspondía coa matriz identidade (m>n). Entón, nese hipotético caso xa falaríamos da existencia dunha solución única. Pero é moi fácil atoparse con sistemas incompatíbeis e de ser así, en base á proposición 11 (A. Matemático), estamos ante unha solución aproximada (mínimo cuadrática de norma mínima) dada por; g∗=(C−Bd)xyd. Queremos introducir unha matización en relación aos sistemas compatíbeis para evitar o emprego da inversa xeralizada. Así, ao ser maior o número de filas que de columnas podemos eliminar m−nfilas, de tal maneira que consigamos unha matriz cadrada e probabelmente de Leontief; é importante que a mesma sexa desta índole polo que implicaría a existencia dunha inversa positiva (ver Apéndice Matemático: definicións 1 e 2; proposicións 5 e 6). Deste modo, expoñemos o criterio a seguir para a eliminación desas filas, aínda que debemos matizar que en determinados casos pode resultar excesivamente laborioso —sobre todo se hai moita diferenza entre filas e columnas. En primeiro lugar, apoiándonos na idea de que para unha rama de actividade non homoxénea podémonos encontrar con varios produtos primordiais, trátase de ir detectando na matriz de orixe as filas asociadas a eses produtos principais pero que ao mesmo tempo sexan menos representativos para a rama produtiva, e en función dese criterio ir eliminándoas ata conseguir esa matriz cadrada desexada, denotémola por ∨ Fd,quecasecon toda probabilidade vai ser de Leonfief. Unha vez feita esa transformación, xa dispoñemos dun sistema compatíbel co mesmo número de ecuacións que de incógnitas, sendo estas as distintas producións por ramas. Polo tanto g∗=( ∨ Fd)−1 ∨ yd. En realidade, cando confeccionamos a partir da táboa simétrica o modelo de Leontief de acordo aos fluxos interiores procedemos dunha forma semellante, dado que en vez de traballar cunha matriz rectangular de orde (2n×n). ÃXd Xm!2n×n 114 pasamos a traballar cunha matriz cadrada de orde neliminando as filas correspondentes aos fluxos importados, -entendendo que estes son menos representativos á hora de explicar a produción-, ou sexa, quedámonos coa submatriz Xde actuaría como variábel independente o vector yd. Esta alternativa aquí exposta para resolver estes sistemas pode ser de utilidade para outro tipo de análises, por exemplo, para aquelas vinculadas a táboas input-output sectoriais10 (de carácter rectangular) que se quedan soamente en aspectos descritivos sen entrar en profundidade na cuantificación dos distintos impactos. 3.4 Construción de táboas simétricas a partir das táboas de orixe e destino 3.4.1 Introdución Xa indicamos como se pode obter matrices de produción cadradas, produto por produto ou rama por rama, pero o máis normal é intentar conseguir matrices de consumos intermedios cadradas. Pero, como é sabido, as táboas de orixe e destino que se veñen publicando son rectangulares, de aí que haxa que acudir a distintas transformacións para obter táboas simétricas. Por outra parte, existen distintas técnicas baseadas na análise tradicional Input-Output que estudan a interrelación entre sectores económicos. Así, a análise da articulación interna dunha economía estuda as relacións existentes entre os distintos sectores co fin de detectar a posíbel dependencia ou independencia entre sectores e identificar as interrelacións sectoriais máis significativas, e incluso se pode medir o grao de interrelación global dunha economía. Dentro do novo marco input-output tamén é posíbel reproducir ese tipo de análises en relación ás táboas simétricas que se elaboran a partir das táboas de orixe e destino. Unha vez introducidos os modelos obtidos directamente destas táboas, imos seleccionar un deles, como pode ser o modelo de Leontief relativo ao suposto de tecnoloxía da industria; q=(I−BdD´) −1yd,(89) para manifestar como se poden usar as ferramentas clásicas para estudar as interrelacións existentes por produtos dentro dunha economía a través das táboas de orixe e destino. Para iso precisamos dispoñer dunha táboa de destino produto por produto e neste caso, para conseguir 10Véxase García Negro, M. C. et al. (2003). 115 ese obxectivo, apoiámonos na estrutura que poseen as distintas filasdamatrizdeprodución da táboa de orixe. A partir de aí, xa teremos a posibilidade de aplicar as técnicas habituais nesteterreocomopodenser;aclasificación Chenery-Watanabe, os coeficientes de Streit ou a clasificación Colin-Clark. 3.4.2 Construción dunha táboa simétrica por produtos cunha matriz de consumos intermedios cadrada O vector de demanda intermedia de produtos interiores, ud,pode obterse de distintos xeitos como estudamos anteriormente, pero en función do modelo escollido obtense de acordo a; ud=Xdi=Bdg=BdD0q. Acto seguido transformamos o mencionado vector como o produto dunha matriz cadrada por unha matriz columna unitaria BdD0q=BdD0∧ qi =Wdi, denotamos de forma abreviada esa matriz cadrada de orde mpor Wd Wd=³wd ik´= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ wd 11 wd 12 ··· wd 1m wd 21 wd 22 ··· wd 2m . . .. . ..... . . wd m1wd m2··· wd mm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , o seu elemento xenérico, wd ik,representa o input ide orixe interior que se emprega na produción do produto k wd ik =πd ikqk= n X j=1 bd ijdkjqki, k =1,2,...,m. Agora acudindo a (88), en concreto ao sistema previo á construción do modelo de demanda que tomamos como referente (89); q=BdD0q+yd=Wdi+yd 116 é cando podemos resaltar a táboa de destino produto por produto asociada ao modelo seleccionado; Produtos×Produtos Prod 1 Prod 2 ··· Prod m D. intermedia D. final Prod total Produto 1 Produto 2 . . . Produto m wd 11 wd 12 ······ wd 1m wd 21 wd 22 ······ wd 2m . . .. . ..... . . wd m1wd m2······ wd mm Pwd 1k Pwd 2k . . . Pwd mk yd 1 yd 2 . . . yd m q1 q2 . . . qm Inputs intermedios int Pwd i1Pwd i2··· Pwd im Inputs intermedios imp tm(q)1tm(q)2··· tm(q)m Inputs primarios v(q)1v(q)2··· v(q)m Produción total q1q2······ qm É obvio que ao estar traballando coa produción interior, a demanda (final e intermedia) é relativa a produtos elaborados no interior da economía obxecto de estudo. Os elementos de tm(q)correspóndense coa suma por columnas dos elementos da matriz Wm tm(q)=(Wm)0i sendo Wma matriz de inputs intermedios importados desta nova táboa de destino. Sinalamos que, de modo alternativo, podemos expresar tm(q)=iWme sería inmediato comprobar que Wm=BmD0∧ q(sendo Bmamatrizdecoeficientes técnicos importados non homoxéneos). O vector de inputs primarios11 por produción corresponderase co seguinte produto matricial; v(q)1×m=³v(q)1v(q)2··· v(q)m´=³v1 g1 v2 g2··· vn gn´1×nD0 n×m ∧ q. 3.5 Relacións entre os modelos de demanda e oferta (OD) Neste apartado imos a destacar as relacións existentes entre os modelos de demanda e oferta. Fixarémonos naqueles relativos aos fluxos interiores, aínda que de forma análoga tamén 11Optamos por considerar unha agregación dos inputs primarios de acordo a un vector, aínda que nas distintas presentacións das táboas de destino aparecen cando menos desagregados por capital e traballo. 117 poderíamos proceder en relación os modelos correspondentes aos fluxos totais. Veremos como somos capaces de estimar matrices cadradas de inputs interiores, produto por produto ou sector por sector, a partir da matriz de consumos interiores, Xd, dende as dúas ópticas posíbeis. E ademais chegamos á mesma estimación, de aí que poderíamos falar da complementariedade entre modelos de demanda e oferta. En todo caso, xa indicaremos en que casos se dá esa circunstancia. Observaremos como para obter matrices de consumos intermedios por produtos temos que multiplicar a matriz de consumos intermedios de fluxos interiores, Xd, pola dereita por C´ou D−1(Dx)(por unha matriz ou por outra en función da hipótese de tecnoloxía asumida); e para obter matrices de consumos intermedios por ramas de actividade temos que multiplicar Xdpola esquerda por D´ou C−1(Cx)(tamén segundo á hipótese considerada). No que atinxe á multiplicación por estas inversas xeralizadas, puntualizamos de novo que só teñen sentido en determinados contextos. Se por algunha razón queremos estimar as matrices de coeficientes técnicos ou de distribución asociadas a estes modelos o cálculo tamén sería inmediato. Hai distintos traballos onde nos indican como se poden obter estas matrices de coeficientes técnicos dende a óptica da demanda; así de entrada podemos mencionar a ten Raa e Rueda-Cantuche (2003, p. 444 e 445), iso si, cando recorren á hipótese de tecnoloxía do produto traballan con matrices cadradas. Comentar que, por motivos xa indicados, cando traballamos coa hipótese de tecnoloxía do produto non podemos construír modelos de demanda e oferta ao mesmo tempo se non coinciden o número de produtos co número de ramas de actividade, de aí que máis adiante particularicemos considerando o mesmo número de filas que de columnas, m=n, de aí que nos xurdan as inversas de CeD. Queremos indicar que para obter unha matriz cadrada produto por produto de consumos intermedios interiores basándonos na hipótese de tecnoloxía da industria, Wd I, temos dúas alternativas; vía demanda ou vía oferta. Sendo os modelos de referencia os seguintes; q=(I−BdD´)−1yd(89) e q=(I−CHd ´) −1C(tm+v), (112) e calquera das opcións lévanos á mesma matriz, ou sexa, compróbase facilmente como se cumpre a seguinte igualdade BdD´ ∧ q=(CHd ´ ∧ q)´. 118 Por un lado, vemos como basándonos en (56) e en (8) temos que; BdD´ ∧ q=Xd∧ g −1Z´ ∧ q −1∧ q, esimplificando obtemos que; Wd I=Xd∧ g −1Z´= XdC´. Por outro lado, atendendo á propiedade relativa á trasposición dun produto de matrices temos (CHd ´ ∧ q)´= ∧ qHdC´ e, ao mesmo tempo, tendo presente (65) e (11) vemos como; ∧ qHdC´= ∧ q∧ q −1Xd(Z∧ g −1)´. Por último, simplificando e operando xa observamos tamén como se pode obter Wd Idende esta óptica Wd I=Xd∧ g −1Z´= XdC´, é dicir, de acordo ao produto da matriz de consumos intermedios interiores pola trasposta da matriz de coeficientes de especialización. No Anexo 1 podemos ver logo como se obten de forma doada a táboa simétrica agora considerada en relación á economía andaluza12 de acordo ao produto matricial sinalado. No que respecta á estimación dunha matriz cadrada de inputs intermedios interiores por ramas de actividade (non homoxéneas) de acordo ao suposto mencionado, d I,acontece algo análogo ao anterior; tamén se pode enfocar dende dúas perspectivas, dende a demanda ou dende a oferta. Os modelos de referencia son os seguintes; 12Acudimos a esta economía rexional e non a outra para ilustrar o considerado neste apartado dado que o IEApresentaastáboasdeorixeedestinosuficientemente agregadas e, o que é máis importante, os fluxos están avaliados do mesmo xeito. No que atinxe ás táboas galegas a táboa de orixe móstrase a prezos básicos e a de destino a prezos de adquisición e non se acompañan os elementosnecesariosparaprocederaocambiodeprezos quesedebeesixir. 119 g=(I−D´Bd)−1D´yd(101) e g=(I−Hd ´C)−1(tm+v)(52) En efecto, tamén veremos como se cumpre a seguinte igualdade relativa a matrices de consumos intermedios interiores; d I=D´Bd∧ g=(Hd ´C∧ g)´. Co fin de comprobar esta, observamos por unha banda de que forma se modificaoprimeiro membro apoiándonos nos coeficientes que vimos a manexar; D´Bd∧ g=Z´ ∧ q −1Xd∧ g −1∧ g=Z´ ∧ q −1Xd, pero como Z´ ∧ q −1se corresponde con D´, xa obtemos pola vía da demanda que; d I=D´Xd. Pola outra banda, temos que; ∧ gC´Hd=∧ g(Z∧ g −1)´ ∧ q −1Xd e operando quedános; ∧ g(Z∧ g −1)´ ∧ q −1Xd=∧ g∧ g −1Z´ ∧ q −1Xd. Agora simplificando; ∧ g∧ g −1Z´ ∧ q −1Xd=Z´ ∧ q −1Xd, ou sexa, que segundo adiantabamos, dende a perspectiva da oferta chegamos á mesma estimación; Z´ ∧ q −1Xd=D´Xd. 120 ou se se prefire, podemos expresar a dependencia existente de acordo a; (D−Hd)= ∧ q −1(C−Bd)∧ g. (116) Atendendo a unha das propiedades da trasposición obtemos (D´−Hd ´) = ( D−Hd)´ e agora substituíndo (D−Hd)´= (∧ q −1(C−Bd)∧ g)´ = ∧ g(C−Bd)´∧ q −1.(117) A continuación, imos tratar a relación existente entre as inversas (C−Bd)−1e(D−Hd)−1. É evidente que estas matrices nos aparecen cando dispoñemos dun mesmo número de filas que de columnas e, ao mesmo tempo, cando os rangos das matrices (C−Bd)e(D−Hd)son completos, ou sexa, rg(C−Bd)=rg(D−Hd)=n. Por un lado, consideramos (C−Bd)−1,e tendo presente unha das igualdades anteriores, en concreto (115), realizamos a substitución correspondente para resaltar a dependencia entre as matrices mencionadas; (C−Bd)−1=∙∧ q(D−Hd)∧ g −1¸−1 . Basándonos na propiedade relativa á inversa dun produto de matrices temos; (C−Bd)−1=∧ g(D−Hd)−1∧ q −1. (118) Por outra banda, podemos expresar (D−Hd)−1da seguinte maneira; (D−Hd)−1=∧ g −1(C−Bd)−1∧ q. (119) Agora vemos como depende (D´−Hd ´)−1de (C−Bd)−1; (D´−Hd ´)−1=h(D−Hd)´i−1=[(D−Hd)−1]´, só nos resta substituír (D−Hd)−1e apoiarnos na propiedade da trasposta dun produto matricial 127 [(D−Hd)−1]´= ∙∧ g −1(C−Bd)−1∧ q¸´= ∧ qh(C−Bd)−1i´ ∧ g −1. En definitiva, temos que; (D´−Hd ´) −1=∧ qh(C−Bd)−1i´ ∧ g −1. (120) De acordo a esta igualdade vemos como as inversas asociadas aos modelos de demanda e oferta construídos dun xeito simple — no caso particular que nos ocupa (m=n)— son dependentes. Cando nas táboas de orixe e destino dispoñemos dun número de produtos maior (ou menor) có número de sectores podemos recorrer de forma respectiva aos modelos onde nos aparecen as pseudo-inversas; (C−Bd)xe(D´−Hd ´)x. Anteriormente xa apuntamos como estes modelos se elaboran en contextos diferentes, entón xa non hai razón para buscar a dependencia entre estas matrices, fixarse que m>neomodelo de simple de demanda sería g=(C−Bd)xydpero indo ao modelo simple de oferta non podemos despexar a produción por produtos, véxase que: (D´−Hd ´)x(D´−Hd ´)q=(D´−Hd ´)x(tm+v). Amatriz (D´−Hd ´)x(D´−Hd ´) é simétrica pero non ten porque corresponderse coa matriz identidade, Im.Dito doutra forma, en xeral o vector (D´−Hd ´) x(D´−Hd ´)q6=q, adistancia existente entre estes vectores xa nos indica que esa hipotética dependencia non vai a darse. É máis, se pretendemos demostrar a súa suposta relación, temos que: (C−Bd)x=[ ∧ q(D−Hd)∧ g −1]x, pero, en xeral, (AB)x6=BxAx. Así que, axustándonos ao noso caso, vemos como: [∧ q(D−Hd)∧ g −1]x6=∧ g(D−Hd)x ∧ q −1. Trátase de comprobar como a matriz ∧ g(D−Hd)x ∧ q −1non é a pseudo-inversa de ∧ q(D−Hd)∧ g −1. De feito, verifícanse tres propiedades relativas á noción en cuestión, pero non se cumpre unha delas, en concreto a segunda (ver Apéndice Matemático, definición 3). 128 3.6 Modelo de prezos Outra alternativa que se nos presenta fronte aos modelos introducidos ata agora é modelo de prezos (de Leontief) en relación ás táboas de orixe e destino. Hai distintos traballos, entre os que podemos destacar a ten Raa e Wolff(1991, p. 583 e seguintes) que abordan os modelos de prezos en base ás hipóteses de tecnoloxía da industria e do produto. O noso propósito é artellar o modelo de prezos apoiándonos no emprego da inversa xeralizada, buscar semellanzas co modelo simple de Leontief e por último ver como se poden obter os modelos que se teñen presentado ata agora de acordo aos supostos mencionados. Queremos deixar claro de entrada que, a pesar de utilizar as mesmas notacións, o significado das matrices de orixe e destino en relación a este apartado é distinto. Ata o momento expresamos os modelos de cantidades de Leontief e Ghosh en termos de unidades monetarias, como así se fai en moitas ocasións, pero neste contexto temos que falar de unidades físicas. O mesmo acontecerá coas matrices de coeficientes que utilicemos. Partimos do seguinte sistema; pt 1×m(Z−X)m×n=vt 1×n, (121) ZeXson as matrices de produción e de consumos intermedios totais expresadas en unidades físicas, ptevtrepresentan de forma respectiva o vector de prezos por produtos trasposto e o vector de inputs primarios trasposto16. Tamén indicamos que, co fin de eliminar unha variábel de prezos en cada ecuación, é habitual dividir cada ecuación polo prezo unitario dos inputs primarios; pasando así a ter un prezo igual á unidade. A efectos de expresar as ecuacións en base un, dividimos logo as mesmas polas correspondentes producións por sectores en unidades físicas, para facilitar o entendemento expresamos este vector de acordo a g. Matricialmente consiste en multiplicar pola dereita ambos membros do sistema anterior pola matriz ∧ g −1. pt(Z−X)∧ g −1=vt∧ g −1, apartirdeaquíobtemos; 16Aínda que a notación que se utilizou ata o momento para simbolizar a trasposición foi´,de aquí en adiante tamén empregaremos o superíndice t. Calquera das notacións é moi empregada 129 pt(Z∧ g −1−X∧ g −1)=vt∧ g −1. Ou de forma simplificada; pt(C−B)=wt, (122) sendo CeBas matrices de coeficientes de especialización e de coeficientes técnicos totais en termos de unidades físicas. Na confección deste modelo consideramos estábeis as matrices Ce B,wjéocoeficiente dos inputs primarios e correspóndese coa proporción dos inputs primarios na produción da rama de actividade j. Neste caso, a diferenza do modelo de cantidades simple de Leontief, temos que admitir que dispoñemos dun menor número de produtos que de sectores, é dicir, m<n.Enténdese perfectamente que ten que ser así, xa que se pretendemos despexar os prezos, temos que postmultiplicar ambos membros da igualdade (121) pola inversa xeralizada de Moore-Penrose de (C−B).Vexamos logo; pt(C−B)(C−B)x=wt(C−B)x e asumindo o suposto sinalado temos que (C−B)(C−B)x=Im.Polo tanto, o modelo de prezos de Leontief simple é o seguinte; pt=wt(C−B)x. (123) Se por algunha razón se quere escribir o vector prezos como matriz columna o modelo sería; p=(Ct−Bt)xw. (124) Como vemos, as hipóteses admitidas supoñen que se manteñen estábeis as estruturas das columnas das matrices de orixe e destino, ao igual que acontecía cos modelos simples de cantidades. Os autores anteriormente mencionados, ten Raa e Wolff, consideran o mesmo número de produtos que de ramas e indican como serían as matrices de coeficientes técnicos asociadas aos supostos de tecnoloxía da industria e do produto. Mantendo a xeralidade, vemos como se poden obter rapidamente eses modelos que mostran unha maior complexidade. Trátanse de 130 desenvolvementos análogos, nun caso postmultiplícanse ambos membros do sistema pt(C−B)= wtpor Cx(tecnoloxía do produto) e no outro por Dt(tecnoloxía da rama). No primeiro caso, volvemos a reconsiderar a estrutura por columnas e así obtemos; pt(C−B)Cx=wtCx, alternativamente; pt(CCx−BCx)=wtCx, sendo o modelo resultante o seguinte; pt=wtCx(Im−BCx)−1. (125) Fixémonos que se m<nentón CCx=Im. E no segundo caso, temos que; pt(C−B)Dt=wtDt, ou se queremos; pt(CDt−BDt)=wtDt. De modo que o modelo de prezos en base á este suposto é o seguinte; pt=wtDt(CDt−BDt)−1, (126) como a matriz (C−B)Dté cadrada de orde npodemospresentaromodelocomosigue; pt=wtDt((C−B)Dt)−1. Poderíamos entrar nunha dinámica semellante á exposta en relación aos modelos de cantidades de Leontief obtidos directamente das táboas de orixe e destino, pero todo apunta a que o modelo máis natural é o construído mediante a estabilidade das columnas das matrices ZeX. 131 Capítulo 4 Os problemas de estabilidade do sistema económico na análise input-output 4.1 Introdución Na presentación das táboas input-output1os elementos da matriz de consumos intermedios son positivos e o máis habitual é que as compoñentes do vector de inputs primarios tamén o sexan. Polo tanto, se estas compoñentes son positivas tódalas ramas produtivas do sistema económico manteranse nunha situación estábel; e como é evidente, de ser así a economía no seu conxunto tamén se mostraría en equilibrio. Neste sentido, na meirande parte dos casos cando se analizan táboas input-output (pensemos que as mesmas se expresan en termos de valor) califícase a unha economía como produtiva cando as sumas por columnas dos elementos da matriz de coeficientes técnicos, A, son estritamente menores que un2; que de forma matricial se expresaría da seguinte maneira; i0A<i 0. 1Para evitar calquera confusión, sinalamos xa de entrada que ao longo deste capítulo imos a centrarnos nas táboas input-output simétricas. 2Cando se aborda a inversión da matriz de Leontief asúmese habitualmente esta condición, véxase por exemplo Waugh (1950, p. 147 e 148) ou Morillas (1982, p. 194). 132 Fixémonos que ao ser o autovalor máximo de Aestritamente menor que 1(Perron-Frobenius), é ben coñecido que (I−A)é inversíbel e (I−A)−1≥0. De modo que se acudimos ao sistema de Leontief; x=(I−A)−1y, asegurámonos unha produción non negativa3,x≥0, para todo vector de demanda final non negativo, y≥0.Indudabelmente que yactúa como variábel esóxena. Esta condición suficiente, i0A<i 0,aplicábel a sistemas de Leontief non deixa de ser excesiva, xa que nos obriga a que tódolos sectores permanezan en equilibrio. O que si se ven observando, como apuntamos xa de entrada, é que as táboas input-output publicadas cumpren case sempre con ese requisito; cuestión que nos leva a pensar que pode vir dado pola propia realidade económica ou pola manipulación á que poden ser sometidas as táboas para que queden eclipsados eses hipotéticos valores negativos4. O noso esforzo consistirá en tratar de xustificar a posíbel existencia de compoñentes negativas no vector de inputs primarios sen que supoña ningun atranco, nin conleve a modificación algunha das táboas por distintas vías, como puidera ser o feito de recorrer a agregacións ou incluso o feito de verse na obriga de realizar certos reaxustes. Se eses valores fosen negativos implicaríanos que as ramas de actividade vinculadas aos mesmos consumisen unha maior cantidade de inputs intermedios que os seus propios niveis de produción. Nese caso, as sumas das correspondentes columnas dos coeficientes técnicos (en termos de valor) serían maiores que un, enténdese perfectamente que a condición suficiente comentada ao inicio xa non sería válida. Aínda así, cando nos atopemos con eses valores negativos temos que estudar en que circunstancias somos capaces de lograr solucións positivas, ou sexa, 3Simbolizamos o vector da produción no entorno da TIO simétrica por x, para marcar a diferenza coa produción nas TOD. Lembremos que denotabamos a produción por produtos de acordo a qeporramasdeactividadede acordo a g. 4Cando se fala en termos de valor necesariamente está subxacente un vector de prezos que fai que o sistema, sector a sector, se manteña en equilibrio ou non. Dentro deste contexto, supoñamos agora que Asexaamatriz tecnolóxica en termos de cantidades, entón para calquera vector de prezos p=(p1,p 2, ..., pn)/∀j∈{1,2, ..., n},(1 −ajj)pj>[ i6=j aij pi daríanos o equilibrio en termos de valor; en consecuencia se ese equilibrio non se dá será debido á inadecuación do vector de prezos. Ao noso entender, pode ser que en determinadas táboas (expresadas en termos de valor) se dea a circunstancia de que o vector de prezos esté mal calculado ou non sexa o real. En definitiva, en termos de valor semella aflorar certa ambigüedade metodolóxica. 133 que eses desequilibrios sectoriais non veñan a desestabilizar o sistema obxecto de estudo. Insistimos logo en que a idea central radica en determinar ata que punto o conxunto da economía pode admitir ese desequilibrio existente nunha rama ou varias ramas produtivas. Puidera resultar extraño que pensemos nun escenario como o sinalado, pero é factíbel que as perdas nun sector sexan considerábeis nun momento puntual e aínda así o conxunto da economía sexa capaz de soportalas. A modo de exemplo, podemos cavilar ben nun sector industrial en crise ou ben nun sector adicado a fins sociais onde os seus consumos intermedios os sobrepasen. Tamén dentro dunha economía de características semellantes á galega poden existir sectores que resulten deficitarios. Supoñamos que a agricultura sexa un deles, así é probábel que a mesma sexa subvencionada. Teoricamente pode selo por distintas finalidades; cohesión territorial, freo do despoboamento do campo, conservación do patrimonio rural ou mantemento do entorno ambiental. Pero como todos eses factores benefician ao conxunto da sociedade parece lóxico que sectores "excedentarios", que por certo en xeral son máis propensos ao deterioro medioambiental, contribúan dalgún modo á conservación do medio, máxime cando se pon en perigo a vitalidade do sistema no seu conxunto. Entón, tratamos de ver como nese contexto o sistema sigue funcionando, no sentido de que a inversa de Leontief relativa á economía exista e sexa positiva. Unha forma doada de abordar o asunto consiste en comprobar se matriz de Leontief, (I−A), cumpre a condición de HawkinsSimon. Así, seguindo aos propios autores, Hawkins e Simon (1949), lembramos dita condición; Existe a inversa de Leontief e a mesma é positiva, si e soamente si, tódolos menores principais de (I−A)son positivos. Unha primeira observación acerca da condición agora mencionada é que ao intentar buscarlle a correspondente interpretación económica dos menores principais, cando normalmente se traballa cunha matriz de certa dimensión, resultaríanos practicamente imposíbel. No momento de ter que recorrer ao concepto de determinante —pensemos no que encerra a definición do mesmo— as dificultades serían considerábeis. Tamén procede sinalar que en diversos traballos cando resaltan esta condición só se centran nun único menor principal, o correspondente co determinante da matriz de Leontief, véxase Bêrni (2000, p. 16). Se tomamos como referente este último menor principal e vemos que o seu valor é moi próximo a cero, aínda que sexa positivo, entendemos que é un atrevemento calificar a unha economía como produtiva, fixémonos que os efectos que provocaría un incremento na demanda final sobre a produción serían esaxerados e practicamente inasumíbeis por calquera economía. Ademais imaxinémonos os valores que tomarían os elementos da inversa, pois a pesar de seren 134 positivos, incrementaríanse de forma excesiva e como é lóxico os correspondentes multiplicadores tamén o farían do mesmo xeito. Nos temos por obxecto introducir unhas condicións suficientes para lograr inversas de Leontief positivas naqueles casos onde xurdan valores negativos no vector de inputs primarios e ao mesmo tempo que se poida manter a desexada estabilidade do sistema. Tamén procuraremos expoñer as interpretacións económicas relativas aos elementos das matrices que empregaremos como ferramentas de apoio nos posteriores desenvolvementos. 4.2 Condicións suficientes para obter inversas de Leontief positivas 4.2.1 A inversa de Leontief como unha serie de potencias de matrices Antes de resaltar certas condicións suficientes para obter inversas de Leontief positivas, queremos expresar o modelo de Leontief de tal xeito que a inversa se corresponda cunha serie de potencias de matrices. Trátase dun resultado tradicional que nos pode servir para explicar facilmente os distintos efectos da demanda final sobre a produción, distinguindo os mesmos entre directos e indirectos. Detémonos neste aspecto, xa que máis adiante centrarémonos en distintas formas de escribir os modelos e podemos empregar esta de referente. Neste sentido, se partimos da identidade contábel entre oferta e demanda5; x=Xi+y, que, admitindo a estabilidade dos coeficientes técnicos, tamén se pode mostrar da seguinte forma; x=y+Ax. Debemos recordar que neste contexto admítese que ningunha fila da matriz de consumos intermedios se pode expresar como combinación lineal das restantes6, baixo ese suposto asumíbel temos que |A| 6=0e entón existe a inversa de A. A continuación, multiplicamos pola esquerda ambos membros da última igualdade pola ma5A este respecto podemos traballar co esquema en termos de valor. 6En moitos casos denomínase a unha economía destas características como indescompoñíbel, véxase Morillas (1982, p. 194). 135 triz de coeficientes técnicos; Ax =A(y+Ax) e sabendo que Ax =x−ytemos que; x−y=Ay +A2x. Entón, o vector de produción pode expresarse de acordo a; x=y+Ay +A2x=(I+A)y+A2x, onde nos aparece unha descomposición da produción dada pola demanda final (efecto directo), polo primeiro efecto indirecto dado por esa demanda final (Ay)7e polos restantes efectos. Agora, se desexamos seguir desglosando estes outros efectos temos que multiplicar de novo esta igualdade pola esquerda por Ae operar. Obtendo así; x=(I+A+A2)y+A3x. Repetindo o proceso de modo sucesivo obtemos en xeral que; x=y+Ay +A2y+... +Any+An+1x=(I+A+A2+... +An)y+An+1x. Segundo se incrementa ne dadas as características de A, a potencia An+1 aproxímase á matriz nula, é dicir, l´ım n→∞An=0. A continuación demóstrase o afirmado8, aclarando en primeiro lugar que sabemos que l´ım n→∞ ¡At¢n=0,xa que as sumas por columna dos elementos de Ason estritamente menores que un, ou sexa, ° °At° °<1; pero neste caso desexamos demostrar que l´ım n→∞An=0. En base á norma coa que traballamos9(Apéndice Matemático, proposición 1) temos que; 7Morillas (1982, p. 195) denomina a este vector de acordo a inputs directos requeridos para facer posíbel a necesidade orixinal de output (demanda final estipulada). 8Ata agora non nos constaba esta demostración. 9Waugh (1950, p. 147) cando estuda a eficacia na inversión da matriz de Leontief de acordo a unha serie de potencias traballa con outra norma. En concreto, a que se corresponde co máximo da suma por columnas dos valores absolutos dos elementos dunha matriz. Pero nos optamos por traballar de momento con esta, aínda que máis adiante nos apoiaremos de modo alternativo na agora mencionada. 136 dicir, non falamos dos efectos indirectos na súa totalidade senón dunha estimación que supera a cantidade que nos ven marcada polos coeficientes técnicos. A suma dos elementos da fila, ou noutras verbas, o efecto global correspóndese coa produción necesaria do sector ipara que cada unha das restantes ramas do sistema poidan producir unha unidade de produto, por suposto que segundo acabamos de explicar en relación ao primeiro sumando admitimos unha infravaloración do efecto mencionado. Supoñemos que os coeficientes de dispoñibilidade das distintas ramas produtivas son menores ou iguais que un e ao mesmo tempo positivos, ou sexa, 0<1−aii ≤1. Nestas condicións temos que aij 1−aii ≥aij,édicir,aramaiestá obrigada a producir unha cantidade maior ou igual de produtos que a cantidade de inputs demandada pola rama j, precisamente a posíbel diferenza viría dada polos posíbeis autoconsumos do propio sector subministrador. Con vistas a indicar outra expresión opcional do modelo de demanda, consideramos o modelo da seguinte forma; (I−A)x=y, multiplicamos pola esquerda ambos membros pola matriz K−1; K−1(I−A)x=K−1y e agora sumámoslles aos mesmos o vector de produción; x+K−1(I−A)x=K−1y+x. A partir de aquí, obtemos de inmediato outra expresión alternativa do sistema; x=K−1y+x−K−1(I−A)x=K−1y+(I−K−1(I−A))x. En realidade, estamos ante unha aplicación φ:Rn→Rndefinida por φ(x)=K−1y+(I−K−1(I−A))xque é unha contracción en Rnque admite un punto fixo único x.E∀xo∈Rn,asucesiónxo,x 1=φ(x0),...,x n=φ(xn−1),.converxe ao vector x,soluciónde (I−A)x=y. Para xustificar o anterior, imos a expresar as distintas ecuacións deste sistema resaltado. Vexamos logo; 143 x1=1 1−a11 y1+a12 1−a11 x2+... +a1n 1−a11 xn x2=1 1−a22 y2+a21 1−a22 x1+... +a2n 1−a22 xn ...................................... xn=1 1−ann yn+an1 1−ann x1+... +an(n−1) 1−ann xn−1 ou sexa, cada ecuación pódese escribir da seguinte maneira; ∀i=1,2,...,n, x i=1 1−aii yi+ n X j=1(j6=i) aij 1−aii xj. En realidade, cada ecuación representa unha descomposición da produción da rama ipor destinos, ben sexa cara a demanda final ou ben cara a demanda intermedia das restantes ramas produtivas do sistema, atendendo sempre aos autoconsumos da rama produtora. En definitiva, a ferramenta que acabamos de introducir sérvenos para abordar casos que se poden dar facilmente nunha economía, iso si, volvemos a recordar que se trata dunha condición suficiente aínda que non necesaria. Tamén podemos cavilar en situacións onde a suma por filas da matriz (I−K−1(I−A)) sexa maior ou igual que 1. Pero aínda que non se verifica este suposto pode existir perfectamente a inversa de Leontief e ser positiva. Para abordar estes casos podemos traballar con outra condición suficiente menos restritiva (en canto á hipótese) que a anterior; e a mesma xa nos serviría para tratar eses sistemas de Leontief. Matizamos o sinalado, pois se recurrimos a simulacións aínda sería posíbel forzar máis o sistema, pero entendemos que esa situación extrema corresponderíase cunha mera fición xa que o peso que representaría a demanda final fronte a demanda intermedia sería insignificante. A condición ven dada polo seguinte TEOREMA [2] Sexa a matriz de Leontief e sexa Ka matriz diagonal formada polos elementos da diagonal principal de (I−A).Se as sumas por filas da matriz (I−K−1(I−A))2son estritamente menores 144 que 1, entón a matriz (I−A)é inversíbel e a súa inversa é positiva14. Co fin de demostrar este teorema, en primeiro lugar indicamos de que forma é a matriz (I−K−1(I−A))2.Así, tendo presente que a matriz (I−K−1(I−A)),tratada anteriormente, vemos como será a mesma; ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a12 1−a11 a21 1−a22 +... +a1n 1−a11 an1 1−ann ··· a12 1−a11 a2n 1−a22 +... +a1(n−1) 1−a11 a(n−1)n 1−a(n−1)(n−1) a23 1−a22 a31 1−a33 +... +a2n 1−a22 an1 1−ann ··· a21 1−a22 a1n 1−a11 +... +a2(n−1) 1−a22 a(n−1)n 1−a(n−1)(n−1) . . .. . . an2 1−ann a21 1−a22 +... +an(n−1) 1−ann a(n−1)1 1−a(n−1)(n−1) ··· an1 1−ann a1n 1−a11 +... +an(n−1) 1−ann a(n−1)n 1−a(n−1)(n−1) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , para evitar calquera tipo de confusión sinalamos que o elemento xenérico desta matriz é da seguinte forma n X k=1 aik 1−aii akj 1−akk ,k6=i, j e∀i, j ∈{1,2,...,n}. Como podemos ver, os elementos da diagonal principal poseen n−1sumandos e os restantes n−2sumandos. Observamos como os elementos desta matriz mostran certa complexidade. Así, a modo de exemplo, se seleccionamos o situado na primeira filaenaprimeiracolumna; a12 1−a11 a21 1−a22 +... +a1n 1−a11 an1 1−ann vemos o mesmo como representa a proporción que aporta a rama 1 ás outras ramas de tal modo que as mesmas poidan satisfacer os consumos intermedios necesarios para producir unha unidade de produción da rama 1, incluidos xa os autoconsumos das distintas ramas da economía que exercen de subministradoras. Digamos que cando se analizan os elementos desta matriz xa se teñen en conta certas interrelacións sectoriais. Indo xa á demostración do teorema15, consideramos a aplicación φ:Mn(R)→Mn(R) definida por; 14Quiñoá (1992b) en relación ao modelo infinito de Leontief, traballa coa matriz (I−K−1(I−A))no,n o∈N∗. Pero neste caso decidimos particularizar e considerar no=2 para evitar excesivas dificultades á hora de atallar ás correspondentes interpretacións económicas. 15Aínda que noutro contexto, Quiñoá (1992b) realiza a demostración deste teorema. Poderíase omotir a mesma, pero decidimos reproducila aquí para un mellor seguemento da ferramenta agora considerada. 145 φ(X)=K−1+(I−K−1(I−A))X, sendo φ2(X)=φ(φ(X)) = φ(K−1+(I−K−1(I−A))X). Entón φ2(X)=K−1+(I−K−1(I−A))K−1+(I−K−1(I−A))2X. Temos que ° °φ2(X)−φ2(X´) ° °=° °(I−K−1(I−A))2(X−X´)° °≤° °(I−K−1(I−A))2° °k(X−X´)k e supoñendo que ° °(I−K−1(I−A))2° °<1=⇒° °φ2(X)−φ2(X´) ° °≤k(X−X´) k,polo tanto φ2(X)é unha contracción en Mn(R)que admite un punto fixo X∗. En base á hipótese, sabemos que φ2(X∗)=X∗, logo φ[φ2(X∗)] = φ[X∗] ecomoφ◦φ2=φ2◦φtamén temos que; φ2[φ(X∗)] = φ(X∗) eφ(X∗)é punto fixo de φ2, sendo este único. Entón temos que φ(X∗)=X∗eX∗é punto fixo de φ. Entón K−1+(I−K−1(I−A))X∗=X∗e obtemos de inmediato (I−A)X∗=I, sendo X∗ a matriz inversa pola dereita de (I−A). Ao ser (I−A)−1punto fixo de φ(X),como vimos na demostración do Teorema [1], partindo dunha matriz X0≥0,temos unha (I−A)−1≥0. Centrámonos agora na interpretación económica da hipótese coa que se traballa neste teorema. Vemos como por esta vía, ao actuar sobre esta matriz, (I−K−1(I−A))2,enos posíbel 146 observar se a suposta inestabilidade dunha rama (ou varias ramas) nos queda, ou non, diluida no conxunto do sistema, ou sexa, se eses desequilibrios sectoriais poden ser, ou non, permitidos pola economía reflectida na táboa simétrica. En base ao suposto desta condición, esíxese que ás sumas dos elementos por filas desta matriz sexan menores que 1. Así, con vistas a atoparlle unha interpretación económica a este suposto e aínda que nos poderíamos centrar en calquera outra fila; optamos por escoller a suma relativa á primeira (para evitar confusións en relación ás notacións aquí empregadas e o seu significado, lembrémonos das matizacións feitas recentemente acerca do elemento xenérico). Vexamos logo; (a12 1−a11 a21 1−a22 +... +a1n 1−a11 an1 1−ann )+... +( a12 1−a11 a2n 1−a22 +... +a1(n−1) 1−a11 a(n−1)n 1−a(n−1)(n−1) ), que de forma alternativa se pode escribir a12 1−a11 (a21 1−a22 +... +a2n 1−a22 )+.. +a1n 1−a11 (an1 1−ann +... +an(n−1) 1−ann ). Agoraben,aoesixirllequeestasumasexamenor que 1, en realidade, estámoslle a obrigar a que a suma das cantidades de inputs que aporta a rama de actividade 1 ás restantes ramas de actividade (unha vez xa considerado o seu nivel de autoconsumos como rama proveedora), para que estas a súa vez poidan realizar as correspondentes aportacións de inputs ás outras ramas do sistema (tamén tendo en conta os seus niveis de autoconsumos como ramas subministradoras) de tal maneira que todas elas poidan producir unha unidade de produción, sexa inferior á unidade. A complexidade ven dada por todas esas interrelacións que se poñen de manifesto dentro dese "primeiro eslabón de requerimentos indirectos". Cando traballamos coa matriz (I−K−1(I−A))2dispoñemos dunha visión global do conxunto da economía, cuestión que non acontece se analizamos a matriz de Leontief directamente, pois nese caso estúdanse os sectores produtivos dunha forma máis aillada. De aí que a efectos prácticos, se nunha determinada economía percibimos como se presenta unha inestabilidade sectorial tamén é posíbel analizar esta matriz instrumental para determinar se ese suposto desequilibrio pode ser asumido ou non polo conxunto do sistema. No Anexo 2 mostramos unha suposta economía onde aparecen compoñentes negativas no vector de inputs primarios e podemos ver como a matriz instrumental cumpre a hipótese que estamos a considerar, de aí que sexa posíbel obter a inversa de Leontief e a mesma sexa positiva. Tamén podemos ver como non se cumpre o suposto do Teorema [1], ou sexa, que nese caso esa 147 ferramenta non nos serviría. Cálculo alternativo da inversa de Leontief Na introdución deste capítulo indicamos como a inversa de Leontief se podía obter conforme a unha serie de potencias de matrices. Seguindo nesta liña imos indicar outra expresión alternativa do modelo de Leontief. Con vistas ao sinalado, consideramos a expresión xa tratada de antemán; x=K−1y+(I−K−1(I−A))x, multiplicamos ambos membros desta identidade pola esquerda pola matriz (I−K−1(I−A))16, desta forma obtemos; (I−K−1(I−A))x=(I−K−1(I−A))[K−1y+(I−K−1(I−A))x]. Apartirdeaquí; x−K−1(I−A)x=(I−K−1(I−A))K−1y+(I−K−1(I−A))2x, pero como (I−A)xse corresponde con ytemos que; x=K−1y+(I−K−1(I−A))K−1y+(I−K−1(I−A))2x. Tamén podemos chegar a anterior expresión doutro xeito, xa que xé punto fixo de φ(x)=K−1y+(I−K−1(I−A))K−1xeφ2(x)=φ(φ(x)) = φ(x)=x. Unha vez máis, se premultiplicamos os membros da igualdade pola matriz (I−K−1(I−A)) temos; (I−K−1(I−A))x=(I−K−1(I−A))[K−1y+ +(I−K−1(I−A))K−1y+(I−K−1(I−A))2x], e operando obtemos 16Aínda que non demostramos a inversibilidade desta matriz, asumimos que se pode obter a súa inversa. 148 x=K−1y+(I−K−1(I−A))K−1y+ +(I−K−1(I−A))2K−1y+(I−K−1(I−A))3x. Repetindo o proceso de forma sucesiva logramos a expresión xeral; x=K−1y+(I−K−1(I−A))K−1y+... + (I−K−1(I−A))nK−1y+(I−K−1(I−A))n+1x. a partir dun ndeterminado sabemos que (I−K−1(I−A))n+1 se corresponde aproximadamente coa matriz nula17,ousexa, l´ım n→∞(I−K−1(I−A))n=0.Entón, temos que; x=[ ∞ X n=0 (I−K−1(I−A))n]K−1y. En definitiva, a inversa de Leontief ven dada polo produto matricial entre a serie de potencias eamatrizK−1,é dicir, (I−A)−1=[ ∞ X n=0 (I−K−1(I−A))n]K−1. En relación ao agora exposto, no Anexo 3 acompañamos un exemplo correspondente ao cálculo da inversa de Leontief dunha economía fiticia por esta vía alternativa, onde se pode comprobar a converxencia de dita serie. 4.2.3 Teoremas alternativos Ata o momento vimos como traballando cunhas matrices instrumentais, (I−K−1(I−A)) e (I−K−1(I−A))2,e procedendo por filas eramos capaces de saber se a matriz de Leontief era inversíbel e a súa inversa era positiva. Agora imos a acudir a unha desas matrices18 e ceñirémonos 17Anteriormente demostrouse que l´ım n→∞ kAnk=0,fixémonos que seguimos traballando coa mesma norma e coa mesma hipótese. 18Como a exposición é moi análoga á xurdida en relación á outra norma, soamente nos centramos na matriz (I−K−1(I−A)). 149 á suma por columnas —pasamos a traballar con outra norma, a que se corresponde co supremo da suma en valor absoluto por columnas dos elementos da matriz, que optamos por simbolizar de acordo a kk ∗19— para ver se logramos o mesmo obxectivo. Previamente introduciremos unha condición necesaria e suficiente acerca da inversibilidade da matriz de Leontief, aínda que despois, pensado xa na práctica, centrarémonos nunha condición suficiente onde se segue a considerar a matriz Kanteriormente empregada. Así que en primeiro lugar introducimos unha condición necesaria e suficiente de acordo ao seguinte TEOREMA [3] Sexa (I−A)∈Mn(R).(I−A)é inversíbel ⇔∃B∈Mn(R),Binversíbel e ° °I−B−1(I−A)° °∗<1. Demostración20: ”⇐” Evidente, abonda con tomar B=(I−A). ”⇒” Supoñamos que existe Binversíbel e ademais ° °I−B−1(I−A)° °∗<1. Consideramos a aplicación φ:Mn(R)→Mn(R)definida por; φ(X)=B−1+(I−B−1(I−A))X, temos que; kφ(X)−φ(X´) k∗=° °(I−B−1(I−A))(X−X´)° °∗≤° °(I−B−1(I−A))° °∗k(X−X´) k∗, e se supoñemos que ° °(I−B−1(I−A))° °∗<1, é dicir, se as sumas por columnas dos elementos da matriz (I−B−1(I−A)) son estritamente menores que 1, entón φé unha contracción en Mn(R)que admite un punto fixo único X∗neste espazo: φ(X∗)=B−1+(I−B−1(I−A))X∗=X∗ 19VéxasenoApéndiceMatemáticoanotaquexurdeaofinaldoapartadoadicadoaÁlxebrasdeBanach. 20Esta demostración está inspirada en Quiñoá (1992b), a única diferencia é que agora se traballa noutro contexto. 150 Simplificando quédanos; B−1(I−A)X∗=B−1, a partir de aquí, multiplicando ambos membros pola esquerda por Besimplificando de novo temos que (I−A)X∗=I, do que deducimos que X∗éainversapoladereitade(I−A),ou sexa, X∗=(I−A)−1. A efectos prácticos, o problema radica en saber cal pode ser a matriz B.Deaíque,en segundo lugar, se introduza a condición suficiente xa mencionada onde volvemos a recorrer a matriz K, que como xa sabemos presenta unhas características determinadas que a convirten en interesante. Vexamos logo o seguinte TEOREMA [4] Sexa a matriz de Leontief e sexa Ka matriz diagonal formada polos elementos da diagonal principal de (I−A).Se as sumas por columnas da matriz (I−K−1(I−A)) son estritamente menores que 1, ou sexa, se ° °I−K−1(I−A)° °∗<1, entón a matriz (I−A)éinversíbeleasúa inversa é positiva. A súa demostración é análoga á relativa á condición suficiente do Teorema [3], trataríase de particularizar B=K, obtendo logo o punto fixo X∗=(I−A)−1.A partir de aquí só nos queda por demostrar que esa inversa é positiva. Como (I−A)−1é un punto fixo único de φ(X)=K−1+(I−K−1(I−A))X, polo tanto partindo dunha matriz X0≥0,xa que K−1>0e(I−K−1(I−A)) ≥0,temos que a sucesión X0,X 1=φ(X0),...,X n=φ(Xn−1),... étalqueXn≥0,∀ne en consecuencia (I−A)−1≥0. O Anexo 3 ilustra perfectamente a utilidade deste último teorema, pois nesa aplicación práctica aínda que tódolas sumas por filas non eran estritamente menores que 1, por columnas si o son; polo tanto xa nos aseguramos o obxectivo marcado sen necesidade de acudir ao teorema [2], onde nos xurdía xa unha matriz que era máis complexa. O feito de poder proceder por filas ou por columnas dentro desta matriz instrumental, (I−K−1(I−A)),vendo se as sumas das mesmas son estritamente menores que 1; acaba convertindo este procedemento nunha técnica moi manexábel para saber se un determinado sistema económico é estábel. 151 4.3 Algunhas consideracións acerca das matrices de Leontief e as súas inversas Queremos deixar claro que ao realizar simulacións na medida en que a demanda final vai perdendo peso fronte á demanda intermedia —feito que implica de modo paralelo que os inputs primarios perdan peso fronte aos consumos intermedios—, observamos como os elementos das inversas de Leontief resultantes van aumentando o seu valor. É máis, en relación ao entorno das matrices de Leontief, indicamos que o dominio da aplicación que transforma matrices nas súas inversas se corresponde cun conxunto aberto, así vemos como segundo nos aproximemos á fronteira deste conxunto os elementos das matrices imaxe tenden a infinito. Pode comprobarse que nese contexto o determinante de (I−A)épositivopero practicamente nulo, e aínda que a matriz cumpra as condicións de Hawkins-Simon e se pode calificar de matriz "produtiva", os efectos da demanda final serían tremendamente esaxerados, ou sexa, digamos que sería un escenario difícil de imaxinar na realidade. Se nos achegamos á fronteria do dominio, pero xa no caso en que nas matrices imaxe xurdan elementos negativos, observaremos como os elementos destas inversas tenderían ao menos infinito. Debemos sinalar que nesas circunstancias o determinante de (I−A)xa sería negativo, polo tanto non se verificarían as condicións de Hawkins-Simon. Neste sentido, indicamos que se partimos dunha matriz de Leontief, (I−A),e por algunha razón desexamos modificar a súa estrutura é indicativo esixirlle á nova matriz, (I−A´) ,que cumpra a seguinte condición suficiente (Bourbaki, 1967, p. 17); k(I−A´) −(I−A)k<1 k(I−A)−1k, para asegurarnos que exista e sexa positiva (I−A´) −1.En definitiva, é aconsellábel non alonxarnos excesivamente da matriz de Leontief inicial e, como resulta evidente, canto maior sexa a norma da inversa menor será a marxe de maniobra, enténdese aplicando esta condición. 4.4 Recuperación da estabilidade a través dos prezos A continuación imos apoiarnos no modelo de prezos de Leontief para ver de que xeito se pode resolver unha situación onde nos xurdan elementos negativos no vector de inputs primarios e pretendamos lograr elementos non negativos. Evidentemente que en todo momento tamén 152