Iniciación á investigación etnomatemática: a comunidade chinesa de Lugo

Traballo Fin de Grao Grao en Mestre/a de Educación Primaria Oportunidade: xullo 2015 Título en galego: Iniciación á investigación etnomatemática: a comunidade chinesa de Lugo Título en castelán: Iniciación a la investigación etnomatemática: la comunidad china de Lugo Título en inglés: Initiation to ethnomathematic research: the Chinese community in Lugo Autor: Fraga Guerra, Adrián 1 Resumo Ningunha forma de coñecemento se desenvolve á marxe do seu contexto natural, social e cultural. Estes contextos [etno], no noso mundo, son moitos e moi diversos, como tamén as formas de entendelo e convivir con el [matema] a través de técnicas e medios diversos [ticas]. Esta premisa converte a toda matemática en etnomatemática e invalida o paradigma absolutista que defende a existencia dunha única matemática, a occidental, que se expandiu por todo o mundo, excluíndo e substituíndo en moitos casos as matemáticas autóctonas. Hoxe en día, a diversidade cultural presente nun mesmo contexto obriga a poñer en valor as distintas formas de entender o mundo e de convivir con el. A comunidade chinesa de Lugo é un exemplo de colectivo que contribúe á riqueza cultural na nosa cidade. As escolas non son alleas a esta realidade multicultural e deben atendela e aproveitala. Neste traballo preténdese identificar as (etno)matemáticas dos chineses, mostrar que posúen unha dimensión sociocultural e propoñer pautas para a súa convivencia con outras matemáticas na mesma aula. 2 ÍNDICE Introdución.......................................................................................................... 3 1. Estado da cuestión ......................................................................................... 3 1.1 A orixe da etnomatemática ....................................................................... 4 1.2 Concepto de etnomatemática ................................................................... 6 1.3 Traballos en etnomatemática .................................................................... 7 1.4 A (etno)matemática nunha aula multicultural ............................................ 9 2. Obxectivos .................................................................................................... 15 3. Metodoloxía .................................................................................................. 15 4. Resultados ................................................................................................... 20 4.1 Investigación ........................................................................................... 20 4.1.1 As matemáticas en China ................................................................ 21 4.1.2 Diferenzas entre a educación matemática en China e en España ... 26 4.1.3 Cálculo mental na comunidade chinesa de Lugo ............................. 28 4.1.3.1 Casos ........................................................................................ 28 4.1.3.2 Conclusións ............................................................................... 37 4.2 Liñas de actuación .................................................................................. 40 5. Conclusións .................................................................................................. 44 Referencias bibliográficas ................................................................................ 46 Anexos ............................................................................................................. 51 3 Introdución A etnomatemática, como recente campo de estudo e investigación con apenas trinta anos de existencia, está a producir unha inquedanza e un interese cada día maiores nos membros da comunidade científica matemática e doutras ciencias sociais relacionadas (etnoloxía, antropoloxía…). Cada vez son máis os investigadores que se apuntan a esta nova corrente para coñecer as particularidades matemáticas de grupos sociais culturalmente identificables que, ata o momento, non foran atendidas. A experiencia etnomatemática do propio autor deste traballo cun neno brasileiro e a súa incorrecta abordaxe por carecer dos coñecementos axeitados, xunto ao parecido da metodoloxía de investigación que se ía empregar coa dun traballo realizado o curso anterior na materia Ensino e Aprendizaxe da Medida, Probabilidade e Estatística sobre medidas tradicionais, foron as dúas razóns fundamentais que motivaron a elección deste tema. Así, o presente traballo pretende ser unha iniciación á investigación etnomatemática co cálculo mental da comunidade chinesa de Lugo como principal obxecto de estudo, complementada cunha revisión bibliográfica inicial que achegará ao lector ao concepto e orixe da etnomatemática, e cunhas pautas de actuación xerais para tratar o enfoque etnomatemático nunha clase de educación primaria, elaboradas a partir dos resultados da investigación e da revisión bibliográfica. Un dos obxectivos principais é dar a coñecer este campo de estudo e introducilo no ámbito da educación primaria. No contexto escolar, hoxe multicultural, a atención individualizada a todas as culturas, a comprensión das súas formas de coñecer e a toma de conciencia de que existen outras matemáticas diferentes ás que nós coñecemos, fanse inescusables para acadar a mellor ensinanza -multiculturalposible. 1. Estado da cuestión Aínda que o concepto é moi recente, as etnomatemáticas como tal levan existindo desde que os primeiros homes desenvolveron as súas propias técnicas e instrumentos para relacionarse co medio. 4 Antes de presentar a investigación, cómpre contextualizar historica e etimoloxicamente o concepto de etnomatemática, presentar brevemente algunhas liñas de traballo que se enmarcan dentro deste campo de investigación e facer referencia á súa situación actual no escenario escolar multicultural. 1.1 A orixe da etnomatemática Ao longo da historia, individuos e pobos de todo o planeta crearon e desenvolveron as súas propias matemáticas, a través de instrumentos e técnicas propias que lles permitían explicar e comprender o seu entorno. Porén, cando falamos de matemática estamos a referirnos ao coñecemento que tivo a súa orixe fundamentalmente nas culturas mediterráneas. Aínda que outras civilizacións, como a india e a islámica, tiveron a súa influencia nesa forma de coñecemento, foi a civilización grega –personificada en Tales, Pitágoras e Euclides, entre outrosa que asentou as bases da súa estrutura actual, acadada nos séculos XVI e XVII. Hoxe, explica Ubiratan D´Ambrosio (2007) –educador e matemático brasileiro ao que se lle atribúe o concepto de etnomatemática-, esa matemática adquire un “carácter de universalidade” debido, principalmente, á hexemonía da ciencia e tecnoloxía modernas desenvolvidas en Europa a partir do século XVII da man de personalidades tales como Galileo, Newton, Leibniz, Einstein o Hawkings. Esa universalidade e globalización xa comeza coas grandes navegacións, a conquista do continente americano e o colonialismo; estes fenómenos contribuíron á difusión do coñecemento de orixe occidental por todo o planeta. D´Ambrosio (2007, 2008) fai referencia á imposición do cristianismo como exemplo máis coñecido e ilustrativo deste proceso globalizador. Porén, aínda que as matemáticas occidentais tamén sufriron un proceso de expansión similar ao relixioso, D´Ambrosio (2007) sinala que o cristianismo foi capaz de adaptarse e absorber elementos da cultura subordinada como resultado dunha dinámica cultural, mentres que os coñecementos científicos (entre eles, a matemática) non souberon –ou non quixeronfacelo. Así, impúxose unha forma concreta de entender o mundo –de orixe occidentalen case todos os recantos do planeta, relegando moitas veces a un 5 segundo plano os saberes, valores e actitudes autóctonos, ignorados e, ás veces, ata reprimidos e eliminados (D´Ambrosio, 2008). Con todo, moitas formas de coñecemento sobreviviron a este proceso –máis que de globalización, de sometementoamparados na súa cultura, nos seus costumes e, sobre todo, nas súas necesidades. Hoxe en día estamos a vivir a era da globalización. As novas tecnoloxías, os sistemas de produción e a economía multinacional están destruíndo as barreiras culturais que a propia evolución dos pobos levantou ao longo da historia. Este fenómeno abre portas en materia de comercio e mobilidade, pero tamén as pecha, sobre todo, ás culturas minoritarias e á igualdade –de oportunidades, de riqueza, de opinión-. En definitiva, dous foron os procesos de expansión que afectaron e afectan, aínda que de xeito diferente, a formas de coñecemento, valores e actitudes culturais de moitos lugares do planeta. O primeiro, con continuidade no tempo, comezou coas navegacións transoceánicas; a segunda expansión, aínda moi actual, maniféstase a través da economía moderna, a emigración e os novos espazos virtuais. En ambos casos, a cultura occidental imponse ás minorías que loitan por sobrevivir. Un exemplo moi ilustrativo é o que presenta no prólogo de Palhares (2008) Bill Barton, cando fai referencia ás linguas hexemónicas, en especial o inglés, como linguas que non son universais, mais sonnos impostas. Ten sentido, polo tanto, que tamén falemos dunha matemática dominante (D´Ambrosio, 2007) ou hexemónica, desenvolvida nos países occidentais e moitas veces empregada como instrumento de dominación. Igual que é complicado desligarse da lingua materna e pensar utilizando outra lingua, tamén resulta moi difícil desligarse da propia experiencia matemática. Na atención pola diversidade matemática e a súa comprensión, na busca da supervivencia destas particularidades culturais que dan identidade a un grupo étnico e na pretensión do dereito á diferenza (Moreira, 2008), é onde nace a etnomatemática. 6 1.2 Concepto de etnomatemática Se analizamos etimoloxicamente o concepto etnomatemática acuñado por D´Ambrosio, poderíase definir como o coñecemento que foi desenvolvido “a través de maneiras, modos e técnicas [tica] de explicar, de coñecer, de entender, de convivir [matema] coa realidade natural, social e cultural [etno] na cal o home está inserido” (D´Ambrosio, 2007, p. 94). D´Ambrosio presentou o termo por vez primeira no Quinto Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME5), celebrado en Australia en 1984. Definiu a etnomatemática como a “matemática de grupos culturais identificables, podendo estes grupos basearse na etnia, na ocupación profesional, na franxa de idade, podendo considerarse outros aínda” (D´Ambrosio, 2002, citado en Palhares, 2008, p.14). Desde entón, moitos autores completaron a definición ou déronlle outra perspectiva, pero ningún cuestionou a idea do brasileiro; en xeral, tense definida como a conexión entre matemáticas e antropoloxía. Bishop, nunha entrevista que concedeu a Blanco e Parra (2009, p.72), definiu o termo como “o estudo da relación entre matemáticas e cultura”, mentres que Gerdes (1996, p. 909) refírese a ela como “a antropoloxía cultural da matemática e da educación matemática”. Tomando en consideración estas definicións, a etnomatemática non se limita só ás formas de comprender o entorno dunha minoría étnica, véxase as tribos indíxenas ou un reducido gremio de artesáns especializados; as etnomatemáticas representan ao conxunto de todas as matemáticas existentes, inclusive a occidental, ao considerar esta ciencia coma un conxunto de prácticas específicas, realizadas por diversos tipos de persoas e comunidades, para o desempeño de cometidos diferentes que satisfacen os seus intereses propios como grupo (Oliveras, 1996). Exemplos de etnomatemática son: o uso do cero polos Maias, a resolución de sistemas de ecuacións na China de fai dous mil anos, a invención do triángulo de Pascal polos chineses e as distintas referencias e usos do Teorema de Pitágoras, séculos antes de que este matemático nacese (Joseph, 1991; Nelson, Joseph e Williams, 1993; citados en Moreira, 2008). 7 Dentro deste campo de investigación en etnomatemática, que se veu afianzando nos últimos anos (Oliveras, 1996), Bishop (2000) distingue tres correntes:  En primeiro lugar, a que estuda formas de coñecemento matemático desenvolvido en sociedades tradicionais, isto é, en aquelas pouco afectadas polos progresos tecnolóxicos.  A segunda corrente de investigación en etnomatemáticas céntrase na documentación e interpretación doutras historias das matemáticas noutras zonas do planeta.  A terceira e última corrente atende ás actividades matemáticas que o alumnado leva a cabo nas súas casas e nos seus respectivos grupos, isto é, fóra do entorno escolar. As tres poden ter unha gran relevancia para o profesorado español que traballa con alumnos emigrados de países con escaso desenvolvemento tecnolóxico ou con fortes raíces culturais (árabes, chinos…). O presente traballo insírese fundamentalmente na segunda das correntes propostas por Bishop. 1.3 Traballos en etnomatemática Aínda que o concepto de etnomatemática como tal non se presentou ata 1985, xa se fixera moito traballo neste campo. Na primeira metade do século XX, marcada polo predominio da idea de que as matemáticas eran universais, aparecen os precursores da etnomatemática que, segundo Gerdes (1996), foron Wilder, White, Fettweis, Luquet e Raum. A mediados dos sesenta, Oliveras (1996) sitúa outros estudos de autores illados como Ascher, ColeBruner, Harrison, Cline ou Lancy. Foi no ICME5, celebrado en 1986, onde xurdiu a idea da etnomatemática como campo de investigación específico que servise para atender ás necesidades da Educación Matemática desde unha perspectiva multicultural (Gavarrete, 2013). Con ese fin constituíuse o ISGEm (International Study Group on Ethnomathematics). A partir de entón, esta liña de investigación veuse afianzando grazas á contribución de numerosos autores, á creación doutras institucións que 8 difunden os seus traballos en revistas especializadas e á realización de congresos e reunións anuais para investigar e discutir sobre este tema. Gavarrete (2013) fai especial fincapé, polo seu carácter pioneiro, nas teses de Knijnik, de Isler P. Leite, de López Bello e de Oliveras; así como na creación de dous colectivos moi activos na difusión das investigacións etnomatemáticas: o NASGEm (congregación norteamericana do ISGEm) e a Rede Latinoamericana de Etnomatemática. Logo de case tres décadas de investigación, a diversidade dos traballos e as vías de exploración dentro do campo da etnomatemática aumentaron formidablemente. Por exemplo, moitos investigadores traballan no marco da tradición antropolóxica en sociedades tradicionais, como os que cita Bishop (2000, p. 39): “Papúa Nova Guinea (Lean, 1992), Mozambique (Gerdes, 1995) e América do Norte, cos Navajos (Pinxten e outros, 1983)”. Tamén son moi comúns as investigacións en etnomatemática con grupos sociais marxinais. Angulo e Castañeda (2012), por exemplo, realizaron unha indagación cun grupo de mulleres en risco de prostitución, adscritas ao programa de resocialización da comunidade relixiosa Adoratrices da cidade de Pereira, en Colombia, para coñecer as súas prácticas matemáticas en actividades de corte, confección e elaboración de prendas. Na mesma liña, Pires (2008) e Cadeia, Palhares e Sarmento (2008) traballaron coa comunidade xitana a resolución de problemas e o cálculo mental, respectivamente. A investigación dos últimos foi unha das principais fontes de inspiración á hora de realizar este traballo, ao estar tamén orientado ao cálculo mental. Os traballos de Oliveras (1996) e Sousa, Palhares e Sarmento (2008) son exemplos de investigacións realizadas con diferentes grupos dentro da mesma sociedade, pero diferenciados do resto pola súa especificidade profesional. Así, a primeira autora indagou sobre a etnomatemática en traballos de artesanía andaluza, e os segundos, sobre a práctica matemática dos calafates na Baía de Câmara de Lobos (Madeira, Portugal). Outros realizaron traballos en investigación etnomatemática con suxeitos con algún tipo algún tipo de diversidade funcional. É o caso de Suárez, Acevedo e Huertas (2009), que levaron a cabo unha indagación da matemática que emprega unha poboación con discapacidade visual na súa vida cotiá. 15 2. Obxectivos Unha vez analizado o estado da cuestión, vémonos coa capacidade de concretar os obxectos que se pretenden acadar con este traballo: A. Tomar conciencia da existencia, da utilidade e do valor das matemáticas diferentes á matemática occidental dominante. B. Introducir a etnomatemática como campo de estudo, de investigación e de aplicación na educación primaria. C. Deseñar unhas liñas de actuación a partir dos datos obtidos na investigación. Estes poden concretarse e desenvolverse por medio dos seguintes obxectivos específicos: a) Explorar as diferenzas entre as matemáticas occidentais e as de outra comunidade. b) Comprobar o distinto grao de adquisición de determinadas habilidades matemáticas en dúas comunidades distintas. c) Estudar as posibilidades didácticas da matemática propia doutra comunidade aplicadas ao noso entorno. d) Seleccionar elementos desta etnomatemática para concretar unhas liñas de actuación para unha clase de educación primaria. e) Poñer en valor as diferenzas culturais como un elemento enriquecedor na formación do alumnado. 3. Metodoloxía Tras un período de reflexión e de exploración das posibilidades que ofrecía este campo, concretáronse os obxectivos pretendidos nunha investigación etnomatemática na comunidade chinesa de Lugo, centrada na habilidade do cálculo mental. A indagación realizada pódese considerar unha pequena investigación etnográfica porque comprende características da matemática dunha comunidade concreta, a chinesa de Lugo, e os seus costumes, e porque emprega métodos propios da etnografía, como a observación directa dos 16 actores en situación, as conversacións ou a análise dos resultados (Coulon, 1988). As técnicas empregadas para recadar información foron fundamentalmente catro: entrevistas, observación directa, conversacións informais e notas de campo. Tentouse gravar as entrevistas co fin de transcribilas literalmente, pero ningún entrevistado accedeu a deixarse gravar, nin en vídeo nin a súa voz. Para a comunicación empregouse, nun único caso, unha intérprete e un tradutor de Internet. As entrevistas foron semiestruturadas. Aínda que se tiña un guión de preguntas, as respostas dos entrevistados abriron novas vías de exploración. As finalidades que se perseguían eran dúas: extraer información relevante sobre as particularidades matemáticas da comunidade chinesa co fin de orientar o traballo e, a partir de problemas contextualizados, relacionados coa súa vida laboral, coñecer as estratexias matemáticas dos entrevistados no referido ao cálculo mental. As notas de campo recollen os feitos máis relevantes observados e relatados polos entrevistados. Nalgún momento, foron eles mesmos os que empregaron papel e bolígrafo para explicar algunha cuestión en concreto, sobre todo no relacionado coa representación de números segundo a simboloxía chinesa. Os escenarios onde se levou a cabo a aplicación das técnicas para recadar información, atópanse todos en Lugo. A primeira entrevista, que tivo un carácter máis informal, realizouse nunha cafetería; a partir de entón, a investigación foise desenvolvendo entre restaurantes e bazares chineses e, finalmente, nun colexio concertado. Neste proceso de investigación poden distinguirse seis fases: 1ª. Fase de busca: Na elección do tema deste traballo tivo especial influencia a experiencia persoal do autor deste traballo coas etnomatemáticas. Fai dous anos, estivo axudando coas matemáticas a un neno brasileiro recentemente chegado a Lugo, de once anos, con problemas académicos. Empezaron polo máis sinxelo, as sumas e as restas. Escribiu unha destas operacións nun papel, o neno fíxoa e obtivo o resultado correcto. Non obstante, o proceso non estaba “ben”, así 17 que lle explicou como tiña que facer e repetiuno ata que o interiorizou. Hoxe o autor sabe que cometeu un erro co neno –a súa forma de resolvelo era distinta, pero tamén era correctae ese é un dos motivos polo que se escolleu este tema. A el e á súa nai acudiuse cando se decidiu facer este traballo coa esperanza de poder indagar. Porén, o neno xa estaba completamente adaptado á cultura escolar de aquí, e a nai non recordaba como aprendera de pequena a calcular, pois deixou os estudos moi nova. Polo tanto, a única opción que había era buscar outra fonte de información, e apareceu: foi Jingzu, un rapaz chinés de 20 anos de idade que coincidiu co autor do traballo no mesmo instituto. 2ª. Fase de exploración: A entrevista a Jingzu demostrou que si existen diferenzas entre a matemática de aquí e a matemática de China, como xa se esperaba, pois tíñase constancia diso por medio de fontes académicas. Porén, a información que deu este rapaz foi moi limitada. Por iso, e vendo que se podía conseguir máis información relevante sobre as matemáticas dos chineses, entrevistouse ao seu cuñado, Subo (26 anos), e despois a Xuquian (23 anos), un primo deste. Púidose contactar con ambos grazas aos lazos familiares que os unían. A información que proporcionaron os tres foi de gran relevancia porque permitiu orientar o traballo, coñecer particularidades das matemáticas do seu país e saber en que aspecto das ciencias exactas debía centrarse este traballo. Os tres coincidían ao afirmar que os chineses calculaban mentalmente máis rápido e mellor que os españois; a partir de aí, enfocouse a indagación cara o cálculo mental. 3ª. Fase de indagación: Despois de entrevistar a estes tres rapaces, deseñouse unha lista de problemas que serviu coma modelo para continuar entrevistando a outros membros da comunidade chinesa. A estes, como aos anteriores, tamén se lles preguntou pola metodoloxía empregada nas aulas de matemáticas en China. Tendo en conta que responden mellor se o contexto lles é coñecido e familiar (Rosich e López, 2007), relacionáronse estes problemas co comercio –a 18 maioría dedícanse a este labore adaptáronse cando foi necesario, en función da súa capacidade observable, da súa disposición e das súas experiencias. Como introdución propuxéronselles situacións moi sinxelas para ir gañando a súa confianza (Palhares, 2008) e para que eles se visen capaces de responder. Se comezáramos facendo preguntas complexas, probablemente desistirían antes de comezar o cálculo. A medida que gañaban confianza, fóiselles aumentando pouco a pouco a complexidade dos problemas. No caso dunha dependenta dun restaurante chinés, modificouse o guión sobre a marcha para adaptalo á súa situación laboral; colleuse o menú do local e cambiáronse os problemas (tanto as cifras como os elementos). Coas outras seis persoas que foron entrevistadas seguiuse o guión inicial. Non se propuxeron todos por dúas razóns: en primeiro lugar, polo tempo, pois sempre atenderon ao entrevistador no seu posto de traballo; e en segundo lugar, porque nalgún caso a información era repetida ou pouco relevante. Cando se tivo a oportunidade, aproveitáronse situacións concretas que sucederon no momento da entrevista, e que implicaban o cálculo mental dos entrevistados, para incluír na análise. Por exemplo, cando o investigador pagou a súa consumición no restaurante ou cando un cliente comprou unha ferramenta no comercio chinés. Finalmente, contactouse cun rapaz chinés, Weijie, en idade escolar -12 anosque chegara recentemente a España. Non coñecía o idioma, así que na primeira das dúas reunións que se mantiveron con el -o centro no que estaba escolarizado non permitiu máisfixo de intérprete a filla da encargada do restaurante chinés, tamén escolarizada no mesmo colexio. Non obstante, na segunda reunión tívose que empregar un tradutor de internet que limitou moito a comunicación. Ao non poder explicar en profundidade as estratexias que empregaba para resolver problemas mentalmente, seleccionáronse varias formas de algoritmos para as catro operacións básicas (suma, resta, multiplicación e división) para amosarlle coa intención de que seleccionara a que máis se semellaba á estratexia que el empregara. Funcionou, aínda que con limitacións. O tempo que se estivo con este rapaz –dúas horasnon foi suficiente para acadar os propósitos da entrevista, moi restrinxida pola falta de entendemento. 19 Durante o transcurso desta indagación, consultáronse libros, artigos de revista e unha película que serviron de moita utilidade. Ademais, envióuselle un correo electrónico a unha das investigadoras de etnomatemáticas máis recoñecidas de España, Nuria Planas, para solicitarlle información, ao que respondeu con moita amabilidade facilitando o que se buscaba. Tentouse empregar tamén un instrumento manipulable, o Sorobán ou ábaco xaponés, para descubrir se algún o empregara para traballar o cálculo mental en China. Aínda que é lixeiramente diferente na forma ao ábaco chino, o Suan Pan, funciona do mesmo xeito. Mostróuselle aos entrevistados e todos o recoñeceron, pero ningún lembraba como utilizalo porque levaban moito tempo sen facelo. A única persoa o recordaba, unha muller maior, a nai de Jingzu, alegrouse ao velo e comezou a mover as fichas como se levara utilizándoo toda a vida; porén, non accedeu a ser entrevistada porque consideraba que non tiña “nada que aportar en comparación cos homes”. 4ª. Fase de análise de datos: En primeiro lugar, analizáronse as entrevistas que se fixeron durante a fase de exploración para extraer a información sobre as particularidades xerais das matemáticas chinas. Os datos obtidos organizáronse en tres bloques: numeración, algoritmos e algunhas unidades (monetaria, masa, tempo e lonxitude). En segundo lugar, centrámonos nos resultados obtidos do cálculo mental da comunidade chinesa. Estes datos organizáronse seguindo como modelo a Cadeia, Palhares e Sarmento (2008); isto é, recolléronse de forma gradual, conforme se ían obtendo, e facendo as debidas anotacións das singularidades que se atoparon. Por mor do límite de páxinas, neste documento só se presentan catro das sete entrevistas realizadas, aínda que para os resultados tamén se tiveron en conta as outras tres entrevistas (anexo I). Finalmente, comparáronse estes resultados cos obtidos polos estudantes do Grao en Mestre/a de Educación Primaria nos problemas de cálculo mental (anexo II). As conclusións desta comparación centráronse nos seguintes catro aspectos: as estratexias empregadas, a velocidade para 20 resolver os problemas, a seguridade ante o cálculo mental e os resultados conseguidos. 5ª. Fase de deseño de liñas de actuación: Con toda a información recollida e analizada, establecéronse unhas pautas de actuación que poidan servir de guía para a actividade docente naquelas aulas de educación primaria que acollan alumnado procedente dunha cultura minoritaria. Para iso, empregamos os datos obtidos da investigación e, a maiores, axudámonos de vídeos, da bibliografía previamente revisada e da experiencia dos entrevistados chineses co ábaco Sorobán. 4. Resultados Consideramos resultados da investigación etnomatemática tanto os datos obtidos nas entrevistas como as liñas de actuación que se estableceron, en función dos datos anteriores, para unha aula de educación primaria. 4.1 Investigación A poboación chinesa obxecto de estudo está composta por cinco rapaces e dúas rapazas con idades comprendidas entre os 21 e os 30, agás a dependenta do restaurante chinés (37) e o neno chegado recentemente de China (12). As dúas cidades de orixe dos entrevistados son Zhejiang e Qingtian, a dúas e cinco horas de Shanghai respectivamente. Excepto un rapaz, que chegou con 19 anos a España, todos accederon ao sistema educativo español, pois aterraron no noso país tendo idades comprendidas entre os 6 e os 15 anos. Todos abandonaron os estudos cando finalizaron a etapa obrigatoria. Durante a fase de exploración, realizáronse entrevistas deseñadas para obter información xeral sobre a matemática da comunidade chinesa. Dita información serviu de gran axuda para completar os dous primeiros apartados da investigación (4.1.1 e 4.1.2). Da fase de investigación obtivéronse os resultados dos problemas de cálculo mental, tanto dos chineses coma dos estudantes de Maxisterio. A partir 21 deles, descubrimos nos entrevistados o grao de adquisición dunha habilidade matemática, o cálculo mental. Con esta información completouse o último apartado da investigación (4.1.3). 4.1.1 As matemáticas en China As particularidades das matemáticas chinesas detectadas durante a fase de exploración foron organizadas en tres bloques: numeración, algoritmos e algunhas unidades de medida. Numeración Para representar as cantidades na escrita, os chineses empregan dous tipos de numeración: ou ben o sistema numérico decimal que coñecemos, ou ben un sistema de numeración multiplicativo de orixe chinesa, ambos en base 10. Na figura 2, extraída dos apuntamentos de Jingzu, móstrase a correspondencia dos símbolos de cada sistema. Ao ser o chinés un sistema de numeración multiplicativo, emprega símbolos que desempeñan dúas funcións: uns representan as potencias da Figura 2a. Números do 1 ao 10 na simboloxía chinesa Figura 2b. Potencias de base 10 22 base (10, 100, 1000…) e outros cumpren unha función multiplicadora. No plano escrito, salvo as unidades, cada cifra está representada por dous símbolos: o primeiro é o multiplicador, e o segundo, a potencia de base, que sempre van en parella. Por exemplo, para representar 325, descompoñen o número en 3x100+2x10+5, sendo o 3, o 2 e o 5 os multiplicadores, e o 100 e o 10 as potencias de base (o 1 omítese). Así, se un neno chinés quere escribir cinco mil setecentos trinta e dous, pódeo facer de dous xeitos: 5732, se emprega o sistema numérico decimal, ou 五千七百三十二, se emprega o sistema chinés. Como curiosidade, descubrimos que os números grandes non os agrupan de mil en mil (dez mil, cen mil…), senón de dez mil en dez mil. Isto é, en lugar de colocar un punto para indicar os millares, colócano para indicar os dez millares: 1.0000, 10.0000… de tal forma que quedan catro cifras por detrás do punto. Sucede o mesmo cando nomean as cantidades. Por exemplo, para nomear o número 100.000 non din “cen mil”, senón “dez dez miles”, e represéntano así: 10.0000. Algoritmos Os algoritmos de cálculo que empregan os chineses para realizar as súas operacións de sumar, restar, multiplicar ou dividir non difiren moito dos que empregamos aquí. Unicamente cambia a expresión escrita da división, aínda que o procedemento é o mesmo. Dividendo e divisor cambian as súas posicións e invértese a “caixa”. O cociente, pola súa banda, sitúase sobre ela, en lugar de estar por debaixo (figura 3). Figura 3a. Algoritmo (escrito) chinés da división 23 En relación co tanto por cento, en cuestións de notación, os chineses dispoñen dun símbolo propio que xa significa “dez por cento”: 折. A este símbolo antepoñen o valor que queren calcular. Isto é, se queren calcular o 10%, colocan un 1 diante do símbolo: 1折; se queren saber o 20%, sitúan 2 diante do mesmo: 2折; e se queren calcular o 25%, poñen 2,5: 2,5折 (figura 4). Segundo Xuqian, o terceiro rapaz entrevistado, esta representación do tanto por cento facilita o cálculo mental no que se refire aos descontos nas rebaixas. Segundo el: “vendo esto xa sabemos o que temos que restar”. Algunhas unidades Cando se lles preguntou polas unidades de medida na fase de exploración, os tres entrevistados -Jingzu, Subo e Xuqianfixeron referencia Figura 3b. Algoritmo (escrito) chinés da división cun cociente con decimais Figura 4. Exemplos de representacións de tantos por cento 24 maioritariamente ás medidas do Sistema Internacional de Unidades (SI). Porén, nomearon algunhas unidades que non coñecemos aquí. Organizámolas en: unidade monetaria (moeda), masa, tempo e lonxitude. Unidade monetaria A moeda de China é o yuan. Cada yuan equivale a 14 céntimos; polo tanto, un euro equivale a 6,97 yuan. Unicamente dispoñen de dúas moedas: unha de 0,5 e outra de 1 yuan. Os billetes que poden empregar son de 5, 10, 20, 50 e 100 yuanes. Segundo un dos entrevistados, o salario medio en China é aproximadamente de 3000 yuan (420 euros) ao mes. Dito isto, Jingzu cre que o manexar tantos yuan foi o que os levou a organizar as cantidades en números máis grandes (dez miles en lugar de miles). Masa (ou peso)2 Aínda que o SI se estableceu en China fai aproximadamente 30 anos, os habitantes seguen empregando o seu antigo sistema local, sobre todo en ambientes rurais e no comercio. Así, a unidade de referencia para medir a masa é o jin, que equivale a medio quilogramo. As unidades inmediatamente inferiores son o liang –décima parte dun jine o qian –centésima parte dun jin-. Estas unidades, aparentemente pequenas, manteñen o seu uso por dúas razóns: a primeira vén da súa tradición comercial, cando os chineses utilizaban o ouro e a prata para as transaccións comerciais, a modo de moeda; como o valor deses metais era elevado, as cantidades que se empregaban eran moi pequenas; e a segunda, porque a menciña chinesa ten unha extraordinaria vinculación co uso de herbas e os pesos das doses destas son moi pequenas. Na actualidade, os comercios adoitan empregar as básculas de 1 jin (medio kg), mentres que nas casas poden dispoñer tanto de básculas de 1 kg 2 Desde o punto de vista físico, masa e peso son magnitudes diferentes. A masa dun corpo é o contido de materia de dito corpo, mentres que o peso é a forza con que un corpo atrae a un obxecto. Porén, a nivel popular, a identificación destas dúas magnitudes é moi grande e os chineses puxérono de manifesto. En educación primaria, pola complexidade que supón que ambas características dos corpos poidan ser distinguidas, non parece axeitado facer distincións entre masa e peso. 31 87+34, fíxoa de esquerda a dereita: sumou as decenas, obtivo 11; despois sumou as unidades e volveu a obter 11. Como 11 unidades son o mesmo que 1 decena e 1 unidade, sumoulle ás 11 decenas obtidas anteriormente outra, quedando 12 decenas e 1 unidade; isto é, 121. Cando xa tiña esta operación – a máis complicadafeita, sumoulle 800 (resultado de 400+400), ou o que é o mesmo, 8 centenas. Polo tanto, como resultado final obtivo 921 (121+800). Para calcular canto valían, dividiu o total de cartolinas entre dous porque identificou claramente 0,50 euros como ½ de euro; así, está aplicando a relación fracción-número decimal e as propiedades do produto de fraccións: multiplicar por ½ é equivalente a dividir entre 2. Qiuhua Muller de 37 anos, natural de Zhejiang e nai de tres fillos nados en España. Chegou ao noso país con 14 anos e actualmente dirixe un restaurante chinés bufett libre en Lugo. Tamén se lle propuxeron varias situacións adaptadas á súa labor de encargada do restaurante. Aínda non se defende co castelán; nalgún momento tivo que preguntarlle á súa filla de 10 anos – que estaba presentecomo se dicían en castelán determinadas cousas. Situación 1 Entrevistador: Pido 3 pratos que custan 5 € cada un. Canto che teño que pagar? Qiuhua: Moi fácil. 15. E: E se che dou 50 € para pagar, canto me devolves? Q: 35. E: Pódesme explicar como fixeches? Q: De 15 a 20 van 5, e de 20 a 50, 30. Entón, devólvoche 35. Eu calculo as restas pensando o que falta ata 5 e o que falta ata 10. Explicación: Restou empregando a estratexia do conteo ascendente, de forma global (Gómez, 1988); isto é, restou sumando ao minuendo o complemento 32 aditivo para chegar ao subtraendo. Para isto apóiase nos complementarios a 5 e 10. Situación 2 Entrevistador: se che pedise 5 pratos para levar, a 7,50 € cada un, canto che tería que pagar? Qiuhua: (Pensa un pouco) 37,5€. E: Que fixeches para obter ese resultado? Q: Primeiro fixen 5x0,5 (2,5) e despois sumeille 5x7 (35). E: Moi ben. Pagaría con dous billetes de 20. Canto me terías que devolver? Q: Pois 2,5 €. E: Explícasme? Q: Se foran 38 euros devolveríache 2 euros. Entón teño que devolverche 2,5 €. Explicación: En primeiro lugar, descompuxo 7,50 como 7+0,50 e multiplicou cada un destes sumandos por 5. Da suma dos produtos (5x0,5 + 5x7) obtivo 37,5. A continuación, para restar, redondeou 37,5 a 38; restoullos a 40 e obtivo 2. A este resultado sumoulle, para rematar, 0,5 (a diferenza entre 38 e 37,5), para chegar a 2,5 €, o que me tería que devolver. Situación 3 Entrevistador: Se che comprara 25 pares de palillos a 2,20 € cada par, canto che tería que pagar en total? Qiuhua: Vale, a ver… Se 25x2 son 50 e 25x0,20 (pensa un rato) son 5, teríasme que pagar 55. E: Explícame como fixeches 25x0,20. Q: 0,20x5 é 1. Entón é a quinta parte. E a quinta parte de 25 son 5. Explicación: Descompuxo 2,20 como 2+0,20 e multiplicou 25 por cada un destes sumandos. Para multiplicar 25x0,20 identificou a equivalencia entre 0,20 e a quinta parte dunha unidade; resolveu, polo tanto, esta multiplicación (25x0,20) cunha división, 25:5, aplicando a relación fracción-número decimal. 33 Situación 4 Entrevistador: Acabo de pagarche 2,40 € por dous cafés e deiche un billete de 5 euros. Canto me devolviches? Qiuhua: 2 euros con 60 céntimos. E: E como fixeches ese cálculo? Q: Para empezar, déchesme enteiro, 5 €, entón eu calculei ata outro enteiro, 3 (2,40+0,60), e despois ata 5 € (3+2). Por iso che devolvín 2 euros con 60 céntimos. Explicación: Volveu empregar a estratexia do conteo ascendente. Lei (2)3 Empregado do mesmo bazar chinés que Xu, este rapaz de 23 anos leva tan só 4 en España. Rematou os seus estudos aos 18 en China, un ano antes de emigrar. Tamén procede de Zhejiang. Ao principio mostrouse cauto cando lle expliquei o que necesitaba porque se consideraba “moi malo” en matemáticas, pero despois sorprendeume. Situación 1 Entrevistador: Véndesme 4 pantalóns a 5 euros. Canto che teño que pagar? Lei: (Ríndose) 20. E: Non é tan difícil non? L: Non , así non. E: E se teño 60 euros, cantos pantalóns che podo comprar ao mesmo prezo? L: 12. E: Que rápido. Como o fixeches? L: Primeiro dividín 50:5 (que dá 10), despois 10:2 (obtén 5) e despois sumei. En total, 12. Explicación: Descompuxo 60 como 50+10, dous múltiplos de 5. 3 Entrevisouse anteriormente a outro rapaz co mesmo nome. Distínguense como Lei (1) e Lei (2). 34 Situación 2 Entrevistador: Se quixera mercar 5 reloxos a 7,5 euros cada un, canto tería que pagarche? Lei: Eh… 37,5. E: Explícasme como o calculaches? L: Multipliquei primeiro 7,0x5 e despois 0,5x5. Despois sumei e deume iso. Explicación: Descompuxo 7,5 como 7,0+0,5 para aplicar a propiedade distributiva e obter o resultado como 35+2,5 = 37,5. Situación 3 Entrevistador: No almacén tedes 935 cartolinas e cada unha vale 0,60 euros. Canto custan? Lei: Buf, a ver. E: Tranquilo, tes tempo para pensalo. L: Vale. (Pensa un rato). 561? E: Moi ben, correcto. Como chegaches a iso? L: Primeiro fixen 900x0,60, despois 30x0,60 e despois 5x0,60. E: E despois? L: E despois sumei todo. Explicación: Primeiro descompuxo 935 en 900+30+5 e despois multiplicou cada un deses sumandos polo seu valor, 0,60 euros. Finalmente, sumou os tres produtos das multiplicacións (540+18+3) e obtivo o resultado final, 561 euros. Obsérvese que neste caso a estratexia coincide coa idea de base do noso algoritmo da multiplicación: descompoñer cada un dos factores nos seus valores relativos e aplicar a propiedade distributiva para obter o produto como a suma de todos os produtos parciais. É dicir, trátase dunha versión extendida do noso algoritmo (Gómez, 1988). Weijie Este rapaz de 12 anos é a única persoa de orixe chinesa das entrevistadas que aínda está en idade escolar. Non sabe falar español, pois 35 leva dous meses en España. Contactouse con el a través da encargada do restaurante chinés, cuxa filla fixo de intérprete no primeiro dos dous encontros que se tivo con Weijie. Por falta de tempo e a dificultade nas comunicacións, as preguntas centráronse máis en coñecer o nivel de cálculo mental do neno que en saber a metodoloxía que se empregaba nas clases de matemáticas ás que el acudía en China. O primeiro día presentáronselle os mesmos problemas que ao resto, aproveitando o gran traballo da intérprete. Situación 1 Entrevistador: Quería saber cantos pantalóns de 5€ cada un podería comprar con 60€. Weijie (a través da Intérprete): (Pensa un rato) 12? E: Si, moi ben. A ver se es capaz de explicar como fixeches. W (I): (Con algunhas dificultades, explícase) Primeiro multipliquei 5x10. Despois, quedaron 10, que dividín entre 5 e deume 2. Despois sumei 10+2 e obtiven 12. Explicación: Primeiro estimou cantos pantalóns podía comprar con 50 euros (a resposta é 10). A continuación, calculou cantos euros lle quedaban despois de comprar os 10 pantalóns, é dicir, restou 60–50 e obtivo o que lle sobraba, 10 euros. Por último, a través dunha división, soubo que con eses cartos aínda podía mercar 2 pantalóns máis, e sumou (10+2), obtendo 12. Situación 2 Entrevistador: Queres comprar 5 pelotas a 7 euros e medio cada unha. Canto terías que pagar? Weijie (a través da Intérprete): 37,5. E: Como o fixeches? W (I): Primeiro multipliquei 5x0,5 e despois 7x5. Ao final sumei. 36 Explicación: Descompuxo 7,5 como 7+0,5 para aplicar a propiedade distributiva e obter o resultado como 35+2,5 = 37,5. Situación 3 Entrevistador: Vas a unha tenda mercar 25 bolsas de doces. Cada bolsa vale 2,20€. Canto terías que pagar? Weijie (a través da Intérprete): (Pensa durante un rato largo) 55? E: Moi ben. Explícame como fixeches. W (I): (Volve pensar outro rato) Primeiro multipliquei 2,2 por 20 e despois por 5. Despois sumei e deume 55. E: Vale, está ben. Pero como multiplicaches 2,2 por 20? E por 5? Intenta explicalo. W (I): Primeiro fixen 2x20 e despois 0,2x20. Fixen o mesmo co 5 (2x5; 0,2x5). Explicación: Como fixo antes, descompuxo os números en dúas ocasións (primeiro 25 como 20+5, despois 2,2 como 2+0,2) para aplicar a propiedade distributiva da multiplicación. Como o segundo día non se dispoñía de intérprete, presentáronselle catro operacións: unha suma, unha resta e dúas multiplicacións, independentes. Unha vez resoltas, amosáronselle varias formas de algoritmos para que identificara a que máis se parecía á que empregou el para resolver as operacións (anexo III). Para a suma, indicou que empregara unha das máis sinxelas: representou mentalmente o algoritmo básico de lapis e papel e resolveuno con sumas parciais. Por outro lado, calculou o resultado da resta pedindo prestado (Gómez, 1988), segundo sinalou na folla dos algoritmos. Finalmente, presentáronselle dúas multiplicacións con dous factores cada unha (unha con factores de tres e unha cifra, e a outra con factores de tres e dúas). Ambas as dúas resolveunas descompoñendo os factores (4 como 2+2, e 12 como 10+2) e aplicando a propiedade distributiva, como xa fixo nos problemas. Non deu tempo a profundar na división, operación que a priori o neno podería resolver empregando estratexias menos habituais ao representala cun algoritmo distinto ao común no mundo occidental. 37 Coa intención de saber como se inician no cálculo en China e ante a imposibilidade de que el mesmo se explicara con éxito –con 12 anos non ten gran capacidade de abstracción para facelo-, presentáronselle as táboas de sumar e de multiplicar. Só recoñeceu as segundas que, como aquí, van do 1 ao 9. 4.1.3.2 Conclusións Chegados a este punto, como todos estes datos descontextualizados non aportan máis información que simples estratexias de cálculo mental que aparentemente pode empregar calquera, buscouse comparar os resultados obtidos coas estratexias de cálculo mental empregadas por outro colectivo. Supoñiamos que o nivel de cálculo mental desenvolvido polos chineses era moi superior ao de calquera grupo español da mesma idade e nivel de escolarización. Para que se puidese comprobar con claridade esta hipótese, decidiuse elixir como grupo de referencia a un colectivo de estudantes de cuarto do Grao en Mestre/a de Educación Primaria (Maxisterio). É dicir, cunha formación académica a priori moi superior. Buscamos demostrar que a cultura chinesa inflúe claramente na matemática desta comunidade, xa que produce resultados diferentes aos que obtén outro colectivo do noso país. Así, pasáronselle os mesmos problemas a dez estudantes de Maxisterio e os resultados foron substancialmente distintos. Expóñense a continuación, sintetizados e organizados en catro áreas: estratexias, velocidade, seguridade e resultados. Estratexias Nalgún caso, ao inicio da entrevista aos estudantes do Grao avisouse de que o que interesaba era o proceso de cálculo e non o resultado, coa intención de que perderan o medo a equivocarse. Pero, lonxe de acadar o propósito desexado, a advertencia condicionou as súas respostas, ata o punto de que algún tentou buscar estratexias diferentes e máis “sofisticadas” que as que empregaba habitualmente. Aínda así, as estratexias máis utilizadas polos estudantes de Maxisterio para resolver os problemas de cálculo mental foron, precisamente, estratexias 38 estándar para resolvelos con lapis e papel (por exemplo, as regras de tres ou a representación mental do algoritmo da operación correspondente). Tamén empregaron algunhas estratexias mentais, mais, nalgunha ocasión, axudáronse cos dedos ou “debuxaron” o algoritmo na mesa, tamén cos dedos. Despois de ter revisado os resultados da investigación cos chineses, compróbase que case todos empregan estratexias diferentes e incluso, o mesmo entrevistado, varias; é pouco frecuente que repitan entre eles as estratexias, ao contrario do que sucede cos estudantes. Un dos aspectos que máis chama a atención é a forma de desenvolver o algoritmo para a suma. Mentres que os estudantes realizan esta operación de dereita a esquerda cando a representan mentalmente, igual que a farían nun papel, os poucos chineses que recorren a esta estratexia desenvolven a operación ao revés, de esquerda a dereita. Este feito pode estar relacionado, ademais de por ser máis significativas as cifras da esquerda, coa aprendizaxe do cálculo mental a través do ábaco sorobán, pois con este, as sumas sempre se fan nesa dirección. A maioría recoñeceron telo utilizado cando eran moi pequenos. En xeral, observouse que os chineses dispoñen de máis estratexias de cálculo mental para afrontar cálculos na vida real. Poden incluso facer cálculos complexos, nun tempo breve, sen necesidade de depender de recursos físicos (calculadora, lapis e papel…). Isto pode obedecer non só á súa práctica na escola, senón tamén á influencia da súa cultura, onde é moita a importancia que lle conceden ás matemáticas e o prestixio social do que gozan, algo que os pais lle transmiten aos nenos desde moi pequenos. Velocidade Ao expoñerlle os problemas aos chineses, non se tivo en conta o control do tempo de resposta porque, nun inicio, non se buscaba a comparación con outro grupo de referencia. Porén, si se apreciaron de forma subxectiva notables diferenzas no tempo de execución a favor dos chineses, que contestaban de forma rápida e concisa. Incluso Weijie, o rapaz de 12 anos, calculaba máis rápido que os estudantes de Maxisterio. 39 A mesma rapidez no cálculo aparece reflectida en Zhao e Yimou (2000), onde unha mestra do rural chinés propón aos seus alumnos un problema: cantos días de traballo supoñen 175 horas, se cada día se traballan 8 horas. O alumnado non tarda nin tres segundos en calcular mentalmente o resultado, 21 días; incluso un alumno concreta máis: 21 días e 7 horas. Seguridade Ante o cálculo mental, as dúas comunidades amosaron distintos graos de seguridade. Mentres que a chinesa prefire calcular mentalmente, a comunidade de estudantes insistiu en usar calculadora ou, polo menos, lapis e papel. Recolléronse expresións que representan a inseguridade dos estudantes de Maxisterio ante o cálculo mental: - “Pero ten que ser mental? Non podo coller un papel?”. - “Poderei usar a calculadora non? Non? Entón collo lapis e papel”. - “A min isto resúltame moi complicado sen papel”. - “É que se me van esquecendo os números. Podo ir apuntándoos?”. - (Cando se lle propuxo o seguinte: Dos 50 metros de tela que mercou unha modista, o 75% estaban de rebaixas. Cantos metros de tela NON estaban de rebaixas?) “Uf, eu xa non os compro. Non sei como se fai iso”. - “A min se me dás un papel fágoo, así…”. - “Uf, este é máis difícil”. - “Déixame pensar...” En cambio, os chineses entrevistados en ningún caso demandaron lapis e papel e todos coincidiron en que lles resultaba máis sinxelo calcular mentalmente. Isto pode deberse á formación e educación que traen de China, onde o cálculo é unha das ferramentas máis importantes para desenvolverse persoal e profesionalmente, e ao seu uso cotiá nos establecementos nos que traballan a diario. Resultados Os chineses non só foron máis rápidos, senón máis precisos. Os estudantes fallaron en numerosas ocasións, ben porque se esqueceron dos 40 números ou dalgún paso no proceso de cálculo, ben porque non tiñan claro os conceptos que se traballaban, como no caso do tanto por cento. En cambio, só un chinés fallou nunha ocasión. Recórdese que ao longo desta investigación manifestaron a súa sorpresa por ver como os españois fallamos no cálculo. 4.2 Liñas de actuación Os datos extraídos da investigación e da revisión bibliográfica, despois de evidenciar as diferenzas entre as matemáticas en función do lugar e contexto de orixe, levan a propoñer unhas liñas que guíen a actuación do profesorado cuxas aulas acollan a persoas cunha formación cultural, en relación coas matemáticas, diferente da súa. Recordemos que, actualmente, a sociedade caracterízase por ter unha composición multicultural que require ser atendida. Neste caso, centrarémonos especialmente no alumnado de orixe chinés en aulas de educación primaria. Aínda que os entrevistados chineses non amosaron ter sufrido unha “exclusión matemática” nas aulas españolas, probablemente debido á ampla formación e á importancia que se lle dá ás ciencias exactas en China, si se viron obrigados a modificar aspectos da “súa” matemática (o algoritmo da división, sistema de numeración…) por recibir unha docencia allea aos principios da etnomatemática, que non respectaba e valoraba as diferenzas e uniformaba as experiencias persoais, sociais e culturais dos alumnos nos mesmos contidos. Cando os chineses chegaron ás aulas españolas atopáronse cun nivel substancialmente inferior, en relación coas matemáticas, ao do sistema educativo do que viñan acostumados. Cando menos, esta situación provocou que descenderan as súas expectativas -e con elas a súa motivacióne que a súa formación académica se vira limitada nesta área en canto ao rendemento. Para evitalo cómpre, en primeiro lugar, tomar consciencia da existencia de varias culturas nas nosas aulas e analizar as necesidades, fortalezas e debilidades que supón a súa presenza. Actuar desde o coñecemento e a reflexión facilitará a integración e adaptación das persoas estranxeiras. Unha vez conscientes destas diferenzas culturais, faise necesaria a revisión do currículo e un cambio no seu carácter eurocentrista, que afecta á 47 Bishop, A. (2000). Enseñanza de las matemáticas: ¿cómo beneficiar a todos los alumnos?. En Gorgorió, N., Deulofeu, J., Bishop, A. (coords.). Matemáticas y educación. Retos y cambios desde una perspectiva internacional (pp. 35-56). Barcelona: Editorial GRAÓ. Blanco, H; Parra, A. (2009). Entrevista al profesor Alan Bishop. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 2(1). 69-74. Recuperado de: http://www.etnomatematica.org/v2-n1-febrero2009/blanco-parra.pdf Bolívar, A. (1999). Modelos de diseño curricular de corte crítico y postmoderno: descripción y balance. En Escudero, J.M. (ed.). Diseño, desarrollo e innovación del currículo (pp. 145-162). Madrid: Síntesis. Cadeia, C., Palhares, P., Sarmento, M. (2008). Cálculo mental na comunidade cigana. En Palhares, P (coord.). Etnomatemática: Um Olhar sobre a Diversidade Cultural e a Aprendizagem Matemática (pp. 69-103). V. N. Famalicão: Húmus. Camilleri, C. (1985). Antropología cultural y educación. París: Unesco. CEIP Aguamasa (2015). Ceipagumansa. Canal de YouTube. Recuperado de https://www.youtube.com/user/ceipaguamansa Coulon, A. (1988). La etnometodología. Madrid: Cátedra. D´Ambrosio, U. (2007). La matemática como ciencia de la sociedad. En J. Giménez, J. Diez Palomar, M. Civil (coords.). Educación matemática y exclusión (pp. 83-102). Barcelona: Editorial GRAÓ. D´Ambrosio,U. (2008). Globalização, educação multicultural e o programa etnomatemática. En Palhares, P (coord.). Etnomatemática: Um Olhar sobre a Diversidade Cultural e a Aprendizagem Matemática (pp. 23-46). V. N. Famalicão: Húmus. Durán, F., Oliveras, M.L. (2002). Los profesores de matemáticas y la educación intercultural. Traballo presentado no Congreso Nacional de Educación 48 Intercultural celebrado en Aguadulce (España). Recuperado de: http://www.fundacionfide.org/upload/19/59/matematicas_e_interculturalidad.pdf Fuentes, C. C. (2014). Algunos enfoques de investigación en Etnomatemática. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 7(1), 155-170. Recuperado de: http://www.redalyc.org/pdf/2740/274030901007.pdf Gavarrete, M. E. (2013). La Etnomatemática como campo de investigación y acción didáctica: su evolución y recursos para la formación de profesores desde la equidad. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 6(1), 127-149. Gerdes, P. (1996). Ethnomathematics and Mathematics Education. En Bishop et al. (Eds.). International Handbook of Mathematics Education (pp. 909-943). Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Giménez, J., Díez Palomar, J., Civil, M. (2007). Exclusión y matemáticas. Elementos que explican la investigación actual en el área. En J. Giménez, J. Diez Palomar, M. Civil (coords.). Educación matemática y exclusión (pp. 9-44). Barcelona: Editorial GRAÓ. Gómez Alfonso, B. (1988). Numeración y cálculo. Madrid: Síntesis. Gorgorió, N., Prat, M., Santesteban, M. (2006). El aula de matemáticas multicultural: distancia cultural, normas y negociación. En Goñi, J.M. (coord.). Matemáticas e interculturalidad (pp. 7-24). Barcelona: Editorial GRAÓ. Instituto Nacional de Estadística (2014). Cifras de Población a 1 de enero de 2014. Estadística de Migraciones 2013. Datos Provisionales. Recuperado de: http://www.ine.es/prensa/np854.pdf. Jordán, J. A. (1999). El profesorado ante la educación intercultural. En Essomba, M. A. (coord). Construír la escuela intercultural: reflexiones y propuestas para trabajar la diversidad étnica y cultural (pp. 65-73). Barcelona: Editorial GRAÓ. Moreira, D. (2008). Educação matemática para a sociedade multicultural. En Palhares, P (coord.). Etnomatemática: Um Olhar sobre a Diversidade Cultural e a Aprendizagem Matemática (pp. 49-65). V. N. Famalicão: Húmus. 49 Oliveras, M.L. (1996). Etnomatemáticas. Formación de profesores e innovación curricular. Granada: Editorial COMARES. Oliveras, M.L. (2006). Etnomatemáticas. De la multiculturalidad al mestizaje. En Goñi, J. M. (coord.). Matemáticas e interculturalidad (pp. 117-149). Barcelona: Editorial GRAÓ. Oliveras, M.L., Gavarrete, M.E. (2012). Modelo de aplicación deetnomatemáticas en la formación de profesores para contextos indígenas en Costa Rica. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 15(3), 339-372. Recuperado de: http://www.scielo.org.mx/pdf/relime/v15n3/v15n3a5.pdf Palhares, P. (2008). A Etnomatemática, um desafio para os nossos días. En Palhares, P. (coord.). Etnomatemática: Um Olhar sobre a Diversidade Cultural e a Aprendizagem Matemática (pp. 13-21). V. N. Famalicão: Húmus. Pires, G (2008). Crianças ciganas e resolução de problemas: motivação para aprender matemática. En Palhares, P (coord.). Etnomatemática: Um Olhar sobre a Diversidade Cultural e a Aprendizagem Matemática (pp. 107-130). V. N. Famalicão: Húmus. Planas, N. (2014). Hacia una noción situada de lengua para la educación matemática. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 7(2), 151-169. Recuperado de: http://pagines.uab.cat/nuria_planas/sites/pagines.uab.cat.nuria_planas/files/RL E%202014_Planas.pdf Punzón, C. (21 de xaneiro de 2015). Galicia pierde en un solo año cerca de 27.00 residentes de entre 15 y 34 años. La Voz de Galicia, p. 5. Rosich, N., López, P. (2007). El valor del contexto de los problemas para la inclusión de los alumnos inmigrantes recién llegados a la ESO. En J. Giménez, J. Diez Palomar, M. Civil (coords.). Educación matemática y exclusión (pp. 179189). Barcelona: Editorial GRAÓ. 50 Sousa, F., Palhares, P., Sarmento, M. (2008). Calafates na Baía de Câmara de Lobos. Palhares, P (coord.). Etnomatemática: Um Olhar sobre a Diversidade Cultural e a Aprendizagem Matemática (pp. 159-191). V. N. Famalicão: Húmus. Suárez, I., Acevedo, M.M., Huertas, C. (2009). Etnomatemática, Educación Matemática e Invidencia. Revista latinoamericana de Etnomatemática 2(2), 1851. Yu Zhao (productor) e Zhang Yimou (director) (2000). Ni uno menos [CD]. España: Columbia Tristar Home Vídeo. 51 Anexos Anexo I. Tres entrevistas non incluídas no traballo Chunjing Rapaza de 26 anos que traballa como dependenta nun bazar chinés, propiedade da súa familia. Chegou a España con 6 anos procedente de Qingtian, cidade do leste de China, a 5 horas de Shanghai. Situación 1 Entrevistador: Véndesme 3 pantalóns a 5 euros cada un. Canto che teño que pagar? Chunjing: 15. E: E se che dou un billete de 50 € para pagar, canto me devolves? C: (Rise) 35. E: Vale. E se che dese 60 €, cantos pantalóns podería comprar? C: (Di rapidamente) 12. E: Poderíasme explicar como fixeches ese cálculo? C: Cada pantalón vale 5 €. Entón eu multipliquei 5x10, que son 50, e despois 5x2, que son 10. Así que son 12 pantalóns (10+2). Explicación: Para calcular cantos pantalóns de 5 € pode vender por 60 €, primeiro descompuxo 60 como 50+10 e calculou cantos pantalóns podía vender por 50 € (10) e por 10 € (2). Resolveu este cálculo a través dun tenteo, multiplicando (5x10, en lugar de dividir 50:5; e 5x2, en lugar de dividir 10:5), e sumou os resultados que obtivo (10 + 2). Situación 2 Entrevistador: Se che quero mercar cinco libros a 7 euros e 50 céntimos cada un, canto che tería que pagar? Chunjing: 37,5 €. E: Moi ben. Como fixeches esa operación? C: Primeiro multipliquei 7,5x4 e obtiven 30. Despois sumeille 7,5 máis. 52 Explicación: En primeiro lugar, descompuxo 5 como 4+1; despois, multiplicou 7,5x4 para que lle dese un número enteiro (30) e a continuación sumoulle 7,5x1. Situación 3 Entrevistador: Un dos teus clientes quere mercarche 25 bolígrafos a 2,20 € cada un. Canto che tería que pagar? Chunjing: (Pensa un pouco) 55, non? E: Si, correcto. Como chegaches a ese resultado? Como calculaches? C: Primeiro multipliquei 2,20x10. Así son 22. O dobre son 44. E por último sumei 2,20x5, que son 11, a metade do anterior. En total, 55. Explicación: O primeiro que fixo foi descompoñer 25 como 10+10+5. Así quedáronlle dúas multiplicacións sinxelas: 2,20x10 e 2,20x5. A primeira, cuxo resultado é 22, repítese dúas veces, por iso a multiplicou por dous (como ela di, “o dobre”). A segunda operación realizouna tendo en conta que o resultado sería a metade do acadado na anterior (22:2). Por último, suma o resultado desas operacións (22x2 + 22:2), obtendo 55. Situación 4 Entrevistador: No almacén tedes 471 cartolinas de cor vermella e 464 de cor azul. Cantas cartolinas tedes en total? Chunjing: A ver (pensa). 900… 935. E: Moi ben. Saberíasme explicar como fixeches para sumar esas cantidades? C: Primeiro sumei 450+450, entón teño 900; despois sumei 21+14, que son 35, e sumeille despois 900. Explicación: O primeiro que fixo foi atopar un número “redondo” do que partir (900), e para iso descompuxo as cantidades 471 como 450+21 e 464 como 450+14. Acabou sumándolle a esta cantidade 21+14, isto é, 35. 53 Lei (1) Rapaz de 21 anos chegado a España con tan só 13. Natural de Qingtian. Está empregado no negocio da familia de Chunjing. Aínda que fixo a ESO en España, recoñece que non se preocupou demasiado polos estudos. Adaptouse sen problemas ao sistema español e “esqueceu” a formación que traía de China. Lei non ten –ou non soubo explicaroutras estratexias de cálculo mental que non sexa representar mentalmente o algoritmo e resolvelo do mesmo xeito que o faría por escrito. Porén, recoñeceu que “é máis fácil facelo mentalmente que por escrito”. Cando chegou ao instituto representaban a división dunha forma distinta a como el a facía. Aínda que os profesores non lle pediron que cambiase a súa forma de representala, el si se viu “obrigado” por cuestións de integración; “a xente usaba esa forma, entón eu tamén”, pese a que, segundo recoñece, resultáballe máis fácil e máis rápido facelo coa representación chinesa. Xu Cando se lle explicou o traballo que se estaba a realizar coa comunidade chinesa e se podería responder unhas preguntas, este rapaz de 30 anos respondeu, sorprendentemente, que “si, pero eu son de aquí”, o que amosa que se sinte completamente integrado. Non obstante, chegou a España con 10 anos procedente de Zhejiang. Aquí rematou a Educación Primaria e a ESO e agora traballa como dependente dun bazar chinés. Respondía ríndose cando se lle presentaban os problemas introdutorios, os máis sinxelos. Situación 1 Entrevistador: Quero mercarche 5 libros a 7,5 € cada un. Canto che teño que pagar? Xu: 37,5. E: E como fixeches o cálculo? X: Primeiro multipliquei 5x7 e despois 5x0,5. E: E se che dese un billete de 50 € para pagar, canto me devolverías? X: 12,5. E: Explícasmo? 54 X: Sumo primeiro 2,5 para chegar a 40 (37,5+2,5) e despois 10 para chegar a 50 (40+10). Explicación: Primeiro descompuxo 7,5 como 7+0,5, multiplicou cada un dos sumandos por 5 e sumou os produtos, aplicando a propiedade distributiva da multiplicación. Para calcular o que devolverme, restou sumando ao subtraendo, 37,5, o que lle faltaba para acadar o valor do conxunto, 50. Situación 2 Entrevistador: Un dos teus clientes quere mercar 25 bolígrafos a 2,20 € cada un. Canto che tería que pagar? Xu: (Pensa un pouco) 55? E: Si, perfecto. Como fixeches o cálculo? X: Primeiro multipliquei 25x2 e despois 25x0,20, e así deume 50 e 5, en total, 55. E: Explícame un pouco máis. Como fixeches 25x0,2? X: Pois como 25x2 eran 50, o único que fixen foi “poñer” o punto que hai en 0,2 (é dicir, 5,0). E: E cantos bolígrafos podería mercar se che dera un billete de 20 euros e dúas moedas de 2 euros? X: Eh… 10. E: Como calculaches? X: Dásme 24 euros non? Se cada bolígrafo vale 2,20 € solo podes mercar 10 e sobran dous euros. Porque 2,20x10 son 22 euros. Explicación: En primeiro lugar, descompuxo 2,20 como 2+0,20 e despois, aplicando a propiedade distributiva, multiplicou ambos sumandos por 25 e sumou os resultados. Para facer 25x0,2, tomou como referencia o resultado obtido anteriormente de 25x2 (50) e, como 0,2 é o mesmo que 2:10, dividiu o resultado entre 10 (50:10) desprazando a coma un lugar. O último cálculo fíxoo por tenteo: en lugar de dividir 24:2,20, buscou un número para multiplicar polo que vale cada bolígrafo (2,20) para que o resultado desa multiplicación se aproximara o máximo posible a 24. 55 Situación 3 Entrevistador: No almacén tedes 267 cartolinas de cor vermella e 328 de cor azul. Cantas cartolinas hai en total? Xu: (Pensa un pouco) 595. E: Correcto. Explícasme como fixeches a suma? X: Empecei sumando 2+3, despois 6+2 e por último 7+8. E: Si, pero 7+8 son 15... X: Si, cando cheguei á última cifra, volvín para atrás e engadín 1 a 6+2. E: Vale. E se desas 267 cartolinas vermellas che merco 49, cantas cartolinas che quedarían? X: Eh… 218. E: Que rápido. Como fixeches esa resta? X: Primeiro restei 67–50 porque redondeei 49 a 50, deume 17, sumeille 1 máis e despois engadín os 200. E: Vale. E se cada unha das 595 cartolinas valeran 60 céntimos, canto che tería que pagar? X: (Pensa un momento) Poderíase facer de tres formas distintas. E: Explícate. X: Si, primeiro poderiamos facer 935:2, e iso sería o que valerían se custan 50 céntimos. Pero como valen 60, pois temos que multiplicar despois 935x0,10, que sería o total das cartolinas polos 10 céntimos que nos “deixamos” antes. E despois sumamos. (Pensa durante un rato) Daría 561 euros. E: Moi ben. E a segunda forma? X: Outra forma de facelo sería “redondeando” 935 a 900. Entón sería multiplicar 900x0,6 e despois sumar o que nos falta, 35x0,6. E aínda podería facerse dunha terceira forma: agora redondeariamos 935 a 950, e quedaría 950x0,6 menos 15x0,6. Das tres formas daría o mesmo: 561. E: Perfecto, está moi ben. Como fixeches as multiplicacións por 0,6? X: Pois multipliquei, por exemplo, 950x6 e despois “movín” a coma un lugar. Fixen o mesmo cos outros. 56 Explicación: Na primeira parte do cálculo, representou mentalmente o algoritmo da suma e fíxoo de esquerda a dereita. Para facer a resta, descompuxo o primeiro número como 200+67 e deixou á marxe as 2 centenas, pois non se ían ver afectadas na resta. Despois, redondeou 49 a 50 (que son 49+1), restou 67–50 (máis doado de restar), e sumou a unidade que engadira para redondear (+1), obtendo 18. Por último, só tivo que sumar ao resultado as 2 centenas que deixara ao marxe (200+18). Para achar o valor das cartolinas, foi capaz de advertir tres estratexias diferentes: na primeira, descompuxo os 60 céntimos en 5+10, multiplicou cada un destes sumandos polo número de cartolinas –deuse conta de que 50 céntimos é a metade do euro e dividiu entre dous o número de cartolinase sumou os resultados. Na segunda estratexia, en lugar de dividir os 60 céntimos, descompuxo as cartolinas, 935 en 900+35, porque así é máis doado multiplicalas por 0,6. Na terceira tamén redondeou o número: sumou 935+15 para obter un número máis fácil de multiplicar (950) por 0,6. Despois tivo que restarlle ao produto desa multiplicación 15x0,6 para obter o resultado final. Anexo II. Resultados e estratexias empregadas polos estudantes do Grao en Mestre/a de Educación Primaria nos problemas de cálculo mental Situación 1: Con 60€, cantos pantalóns podería comprar? • Lois (21 anos): multiplicou 5x10 e sumou 5 dúas veces. Resolveuno por aproximación. • Xoel (22 anos): foi multiplicando 5 por algún número ata chegar a 60. Resolveuno por tenteo. • María F. (23 anos): contou de cinco en cinco ata chegar a 60 coa axuda dos dedos. • Lorena (21 anos): sabendo que 3 pantalóns valen 15 euros e ten 60 para gastar (15x4), multiplicou 3x4. • Lucía B. (21 anos): como a táboa do 5 non chega a 60, dividiuno ao medio, obtivo 30, e este dividiuno entre 5. E deulle 6. Despois multiplicou por 2 este resultado e obtivo 12. 63 Finalmente, identificou 0,1 euros –que lle quedabancomo 1/10 de euro, así que dividiu 935:10, e obtivo 93,5. Despois sumou 467,5+93,5 e obtivo 561. • María N.: fixo o mesmo que Lorena e Lucía B. • Marta: igual que Lorena, Lucía B. e María N., representou o algoritmo mentalmente. • Lucía V.: fixo o mesmo que Lorena, Lucía B., María N. e Marta. • Nerea: tamén representou mentalmente o algoritmo. Anexo III. Exemplos de algoritmos que se lle amosaron a Weijie SUMA a) 300 + 60 + 6 + 100 + 20 + 9 ___________________ 400 + 80 + 15 ___________________ 400 + (80 + 10) + 5 ___________________ 400 + 90 + 5 ___________________ 495 b) 3 6 6 + 1 2 9 _______ 1 5 8 0 4 0 0 _______ 4 9 5 c) 366 + 129 ______ 15 8 4 ______ 485 d) 366 + 129 ______ 4 8 15 ______ 495 e) 366 + 129 _______ 4 (8+1)5 64 Resta a) 700 + 30 + 4 - 400 + 90 + 2 ____________ 300 - 60 + 2 = 242 b) 7 3 4 - 4 9 2 _____________ 3 - 6 2 _____________ 2 4 2 c) 7 3 4 73| 4 - 4 9 2 = - 49| 2 _______ ______ 24| 2 e) 734 6 13 4 - 492 = - 4 9 2 ______ __________ 2 4 2 g) 734 734+10 744 - 492 = - 492+10 = - 502 ______ ________ ____ 242 d) 734 734 + 8 742 - 492 = - 492 + 8 = - 500 ______ ________ _____ 242 f) 734 734+100 7 13 4 - 492 = - 492+100 = - 5 9 2 ______ ________ _________ 2 4 2 65 Multiplicación a) 200 + 60 + 8 x 4 ___________________ 200 x 4 + 60 x 4 + 8 x 4 ___________________ 800 + 240 + 32 ___________________ 1072 c) 268 268 x 12 = x 10 + 2 = 268x10 + ____ ___________ 268x2 = 3216. e) 268 12 134 24 67 48 33(1) 96 16(1) 192 8 384 4 768 2 1536 1 3072+48+96=3216 b) 268 268 268 x 4 = x 2 + x 2 = 536 + 536 = 1072 _____ ____ ____ d) 200 + 60 + 8 10 + 2 200x10 60x10 8x10 200x2 60x2 8x2 2400 + 720 + 96 3216 66