Fractales: la interacción entre distancia y medida
Abstract
[ES] Los fractales son un tipo de conjuntos conocidos por ser “irregulares” a todas las escalas y, usualmente, ser “autosimilares”. Además, tienen una sorprendente variedad de aplicaciones desde modelización de superficies de la naturaleza hasta el estudio de sistemas dinámicos pasando por aplicaciones en economía, física o astronomía. En este trabajo nos centraremos en comprender con cierto detalle las matemáticas detrás de la geometría fractal. Así, definiremos y estudiaremos las principales herramientas matemáticas usadas para describir y estudiar fractales. En particular, definiremos un concepto de dimensión que permitirá a los fractales tener como dimensión un número real positivo cualquiera. Además, daremos un significado preciso y estudiaremos la irregularidad y la autosimilitud comentadas. Finalmente, comentaremos brevemente algunas de sus aplicaciones en distintas disciplinas matemáticas.
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Trabajo Fin de Grado Fractales: la interacción entre distancia y medida Andrés Mato Cutrín 20192020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRADO EN MATEMÁTICAS Trabajo Fin de Grado Fractales: la interacción entre distancia y medida Andrés Mato Cutrín Julio, 2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
II Trabajo propuesto Área de Conocimiento: Análisis Matemático Título: Fractales: la interacción entre distancia y medida Director: Fernando Adrián Fernández Tojo Breve descripción del contenido Los fractales son figuras geométricas que desafían la intuición por sus propiedades especiales, en particular el hecho de que su dimensión puede no ser un número natural. En este trabajo estudiaremos las propiedades básicas de los fractales, su construcción y su relación con otros elementos de las matemáticas, en especial su relación con la teoría de la medida.
Índice general Notación V Resumen VI 1. Introducción y ejemplos clásicos. 1 2. Dimensión fractal 7 2.1. Dimensión topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Dimensión de conteo de cajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3. Teoría de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4. Medida y dimensión de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5. Comparación de dimensiones. Definición de fractal de Mandelbrot . . . . . . . 29 3. Propiedades locales de s-conjuntos 31 3.1. Densidad y regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Estructura de conjuntos de dimensión entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3. Estructura de conjuntos de dimensión no entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4. Sistema iterativo de funciones 41 4.1. Autosimilitud. Dimensión de conjuntos autosimilares . . . . . . . . . . . . . . . 45 5. Aplicaciones 53 5.1. Teorema del collage. Aplicación a la compresión de imágenes . . . . . . . . . . 53 5.2. Sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2.1. El modelo logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2.2. El conjunto de Mandelbrot. Conjuntos de Julia . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3. Otras aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 A. Código utilizado 63 B. Demostraciones auxiliares 69
Notación Lista de los símbolos más usados a lo largo del trabajo. NConjunto de los números naturales, esto es, {1,2,...}. QConjunto de los número racionales. RConjunto de los números reales. CConjunto de los números complejos. |A|Diámetro de A. Nδ(F)El menor número de conjuntos que forman un δ-recubrimiento de F. dimBFDimensión de conteo de cajas superior de F. dimBFDimensión de conteo de cajas inferior de F. dimBFDimensión de conteo de cajas de F. dimHFDimensión de Hausdorff de F. dim FDimensión topológica de F. FClausura topológica de F. LnMedida de Lebesgue n-dimensional. HsMedida de Hausdorff s-dimensional. Ds(E,x)Densidad de Een x. GδConjunto de los conjuntos que se pueden escribir como intersecciones numerables de abiertos. FσConjunto de los conjuntos que se pueden escribir como uniones numerables de cerrados. volnVolumen n-dimensional. Aδδ-vecindad de A. L(C)Longitud de la curva C. dH(A,B)Distancia de Hausdorff entre AyB.
Resumen Los fractales son un tipo de conjuntos conocidos por ser “irregulares” a todas las escalas y, usualmente, ser “autosimilares”. Además, tienen una sorprendente variedad de aplicaciones desde modelización de superficies de la naturaleza hasta el estudio de sistemas dinámicos pasando por aplicaciones en economía, física o astronomía. En este trabajo nos centraremos en comprender con cierto detalle las matemáticas detrás de la geometría fractal. Así, definiremos y estudiaremos las principales herramientas matemáticas usadas para describir y estudiar fractales. En particular, definiremos un concepto de dimensión que permitirá a los fractales tener como dimensión un número real positivo cualquiera. Además, daremos un significado preciso y estudiaremos la irregularidad y la autosimilitud comentadas. Finalmente, comentaremos brevemente algunas de sus aplicaciones en distintas disciplinas matemáticas. Abstract Fractal sets are known for being “irregular” and, usually, “self-similar”. Moreover, they have a surprising variety of applications including modelation of natural surfaces, study of dynamical systems and applications in economy, physics or astronomy. In this work we will try to understand the mathematics behind fractal geometry. We will define and study the main mathematical tools needed to describe and study fractal sets. In particular, we will define a concept of dimension that will allow fractal sets to have any positive real number as their dimension. Furthermore, we will give a precise meaning to the mentioned irregularity and self-similarity. Finally, we will briefly comment some of the applications in different branches of mathematics.
2. Dimensión fractal La noción de dimensión es un aspecto muy relevante en el estudio de los fractales. Una de las características especiales de las dimensiones fractales es que no tienen por qué ser números enteros. Como veremos, esto es debido a que intentan generalizar la idea familiar de que una curva regular tiene dimensión uno o una superficie regular dimensión dos. En general, el concepto de dimensión es algo complicado. Como punto de partida en este capítulo, definiremos la dimensión topológica que es el concepto de dimensión más intuitivo. No obstante, nuestro interés está en las dimensiones fractales. Así, nos centraremos rápidamente en la dimensión de conteo de cajas, una dimensión fractal cuya definición no requiere de ningún conocimiento previo, es la más intuitiva y es relativamente fácil de estimar en todo tipo de conjuntos. Veremos también que esta dimensión tiene algunas características que podemos considerar como poco interesantes a nivel teórico y que necesitaremos de conocimientos de teoría de la medida para poder definir una alternativa mejor en este aspecto. Cabe destacar que hay una gran variedad de “dimensiones fractales” con diversas relaciones entre ellas. En este trabajo sólo se exponen algunas de las más importantes. El lector interesado puede encontrar una exhaustiva recopilación de dimensiones fractales en [8, Chapter 1]. 2.1. Dimensión topológica En general, el concepto de dimensión en matemáticas no es sencillo. En este trabajo nos centraremos en estudiar las dimensiones fractales. No obstante, empezamos definiendo la dimensión topológica por un doble motivo. En primer lugar, porque es el concepto de dimensión más antiguo y más intuitivo de los estudiados en este trabajo. Además, como hemos visto, tiene un papel protagonista en la definición de fractal de Mandelbrot. Definición 2.1. Sean Uun recubrimiento por abiertos de un espacio topológico Xyx∈X. Diremos que el número de elementos del recubrimiento Uque contienen a xes la multiplicidad de Uen x y lo denotaremos M(U,x). Diremos que M(U) = supx∈X{M(U,x)}es la multiplicidad de U. Definición 2.2. Sean UyVdos recubrimientos por abiertos de X. Diremos que Ves un refinamiento de Usi para todo V∈V existe un U∈U tal que V⊂U. Utilizaremos el concepto de refinamiento para definir la dimensión topológica de un espacio topológico. Para ellos consideraremos la cantidad M(X) = sup U{´ ınf{M(V):Ves un refinamiento de U}}, que es la multiplicidad de un refinamiento óptimo en ese sentido. Tomamos el supremo sobre todos los recubrimientos para descartar casos triviales como el recubrimiento U={X}que nos da el valor M(U) = 1.
82.2. Dimensión de conteo de cajas Definición 2.3. Diremos que la dimensión topológica de un espacio topológico Xes la cantidad M(X)−1, es decir, la dimensión es uno menos que la máxima multiplicidad de un refinamiento óptimo. La denotaremos dim X. Como vemos la dimensión topológica no tiene una definición muy sencilla. Sin embargo, se trata del concepto de dimensión más intuitivo. Por ejemplo, en la Figura 2.1 podemos ver un recubrimiento con multiplicidad 2 para un conjunto de dimensión topológica 1. ObserFig. 2.1. Recubrimiento de un conjunto con dimensión topológica 1. Como vemos el máximo número de abiertos a los que pertenece un punto del conjunto es 2 por lo que la multiplicidad del recubrimiento es 2. Imagen obtenida en [7]. vamos que la dimensión topológica de un espacio topológico es siempre un número entero no negativo. Esto supone una diferencia sustancial con las dimensiones fratales que definiremos en el resto del capítulo. El lector interesado puede encontrar un estudio detallado de la dimensión topológica en [7]. 2.2. Dimensión de conteo de cajas Tras una sucinta aparición de la dimensión topológica, nos centramos en las dimensiones fractales. En primer lugar estudiaremos la dimensión de conteo de cajas. Trabajaremos en esta sección sobre el espacio euclídeo n-dimensional Rn. Denotaremos por Ua un subconjunto no vacío de Rny definimos su diámetro como |U|=sup{|x−y|:x,y∈U}∈[0,∞], es decir, la mayor distancia entre dos puntos cualesquiera de U. Definición 2.4. Diremos que una colección numerable de conjuntos {Un}n∈Nes un δ-recubrimiento de Fsi F⊂S∞ n=1Uny 0 <|Un|≤δpara todo n∈N. Dado Fun subconjunto de Rn, la idea detrás de la dimensión de conteo de cajas es tomar, para cada δ > 0, el menor número de conjuntos que formen un δ-recubrimiento de F, que denotaremos por Nδ(F), con la idea de ver cómo se comporta este número cuando δtiende a cero. De esta forma si cuando δtiende a cero Nδ(F)≈cδ−scon cysconstantes positivas, diremos que Ftiene dimensión de conteo de cajas s. La siguiente definición lo expresa formalmente. Definición 2.5. Sea Fun subconjunto de Rnno vacío y acotado y sea Nδ(F)el menor número de conjuntos que forman un δ-recubrimiento de Fde todos los δ-recubrimientos posibles. Definimos la dimensión de conteo de cajas superior e inferior, respectivamente,
2. Dimensión fractal 9 como dimBF=l´ ımsup δ→0+ log Nδ(F) −logδ, dimBF=l´ ıminf δ→0+ log Nδ(F) −logδ. En general dimBF≤dimBFy, si se da la igualdad, nos referiremos a ese valor como la dimensión de conteo de cajas de Fy se denotará por dimBF. En la definición pedimos que Fsea no vacío y acotado para evitar problemas con log 0 o log∞, pues por un lado al ser no vacío todo recubrimiento de Ftiene por lo menos un elemento y al ser acotado es un subconjunto de un compacto así que por lo menos existe un recubrimiento finito. Proposición 2.6 ([12, Equivalent definitions 2.1]). En la Definición 2.5 es equivalente que Nδ(F)se defina de cualquiera de las siguientes maneras: (1) el menor número de conjuntos que formen un δ-recubrimiento de F, (2) el menor número de bolas cerradas que formen un δ-recubrimiento de F, (3) el menor número de cubos de lado δque recubran F, (4) el número de cubos de la forma [m1δ,(m1+1)δ]×···×[mnδ,(mn+1)δ], con m1,..., mn números enteros, que interseca a F, (5) el mayor número de bolas disjuntas de radio δcon centro en F. Demostración. Todas las equivalencias se prueban de manera similar. Para demostrar la equivalencia de dos apartados tomamos un conjunto de uno de los apartados, lo recubrimos con un número constante de conjuntos del otro apartado y viceversa. Con este procedimiento, al tomar logaritmos podremos demostrar que Nδ(F)en una definición es mayor o igual que en la otra y viceversa. Probaremos con detalle la equivalencia entre el apartado (1) y el (4). Para más detalles se puede consultar la demostración en [12]. (1)⇔(4)Denotamos por Nδ(F)el menor número de conjuntos de diámetro δque recubren F. Sea N0 δ(F)el número de cubos de la forma [m1δ,(m1+1)δ]×···×[mnδ,(mn+ 1)δ], con m1,..., mnnúmeros enteros, que interseca a F. En particular los cubos de N0 δ(F) proporcionan una colección de conjuntos de diámetro δpnque recubren F, por tanto, Nδpn(F)≤N0 δ(F). (2.1) Por otro lado, podemos recubrir cualquier conjunto de diámetro δcon 3ncubos n-dimensionales de lado δ, para ello tomamos un cubo que interseque al conjunto y, entonces, este cubo junto a sus vecinos lo recubrirán. Por tanto N0 δ(F)≤3nNδ(F). (2.2) Combinando las desigualdades (2.1) y (2.2) y dividiendo por por −logδtenemos que log Nδpn(F) −log(δpn) + logpn≤log N0 δ(F) −logδ≤log3n+log Nδ(F) −logδ, (2.3)
10 2.2. Dimensión de conteo de cajas ya que log(pn)−log(δpn) = log(1 δ) = −logδ. Tomando límites superior e inferior en la cadena de desigualdades (2.3) tenemos que l´ ıminf δ→0+ log Nδ(F) −logδ≤l´ ıminf δ→0+ log N0 δ(F) −logδ≤l´ ıminf δ→0+ log3n+log Nδ(F) −logδ, ya que l´ ıminf δ→0+ log Nδpn(F) −log(δpn) + logpn=l´ ıminf δ→0+ log Nδ(F) −logδ, y l´ ıminf δ→0+ log3n+log Nδ(F) −logδ=l´ ıminf δ→0+ log Nδ(F) −logδ, donde los términos constantes logpny log3ndesaparecen debido a que tanto −log(δpn) como −logδtienden a ∞cuando δ→0+. Análogamente obtenemos que l´ ımsup δ→0+ log Nδ(F) −logδ≤l´ ımsup δ→0+ log N0 δ(F) −logδ≤l´ ımsup δ→0+ log Nδ(F) −logδ. De lo que se deduce la igualdad. La formulación (4) de la definición de dimensión de conteo de cajas es de las más usadas para estimar esta dimensión computacionalmente. Por ejemplo, para estimar la dimensión de conteo de cajas de un conjunto Fcontenido en el plano, dibujamos, para unos cuantos valores de δ, un cuadrícula con cuadrados o “cajas” de lado δy contamos el número de cajas que cortan a F. De esta forma la dimensión de conteo de cajas es aproximadamente la pendiente de la gráfica de log Nδcontra −logδ. En la Figura 2.2 se ilustra parte este proceso sobre la frontera de Galicia. Fig. 2.2. Distintas iteraciones para la aproximación de la dimensión de conteo de cajas para la frontera de Galicia. Se marcan en amarillo aquellas “cajas” en las que hay puntos de la frontera. Veremos en el final de este apartado que la dimensión de conteo de cajas tiene unas características poco interesantes a nivel teórico y por tanto trabajaremos para definir una
2. Dimensión fractal 11 dimensión mejor en ese aspecto. No obstante, el gran interés que tiene esta dimensión es precisamente su facilidad de estimarse computacionalmente. En este trabajo hemos comentado un método muy básico utilizando la definición (4), para ver métodos más avanzados puede consultarse [12, Chapter 4]. A modo de ejemplo, trataremos de calcular a nivel teórico la dimensión de conteo de cajas en alguno de los ejemplos del primer capítulo. Ejemplo 2.7. Sea Fel conjunto de Cantor. Veamos que dimBF=log2 log 3 . Sea Ekel k-esimo conjunto obtenido en la construcción del Ejemplo 1.1. Tomando δtal que 3−k< δ ≤3−k+1, los 2kintervalos de longitud 3−kque conforman Ekson un δ-recubrimiento de Fy consecuentemente Nδ(F)≤2k. Por tanto, dimBF=l´ ımsup δ→0+ Nδ(F) −log(δ)≤l´ ımsup k→∞ log(2k) −log(3−k+1)=l´ ımsup k→∞ klog(2) (k−1)log(3)=log(2) log(3). (2.4) Por otro lado, sea ahora δtal que 3−k−1≤δ < 3−k. Entonces cualquier intervalo de longitud δinterseca como mucho a uno de los intervalos que forman a Ekpues la distancia entre dos intervalos de Ekes de 3−k> δ. Como en Ekhay 2kintervalos, se necesitan por lo menos 2k intervalos de longitud δpara recubrir F. Por tanto, Nδ(F)≥2ky entonces, dimB=l´ ıminf δ→0+ log Nδ(F) −logδ≥l´ ıminf k→∞ log2k −log3−k−1=l´ ıminf k→∞ klog2 (k+1)log3 =log2 log3. (2.5) De las desigualdades (2.4) y (2.5) deducimos que dimB(F) = log2 log 3 . Ejemplo 2.8. Sea Fel triángulo de Sierpinski. Veamos que dimB=dimB=log3 log 2 . Sea Ekla k-esima etapa de la construcción del Ejemplo 1.3. Ekconsiste en 3ktriángulos equiláteros con lados de longitud 2−k. Tomando δtal que 2−k< δ ≤2−k+1, dado que F⊂Ekpara todo k∈N, tenemos que los 3ktriángulos de Ekforman un δ-recubrimiento de Fy, por tanto, Nδ(F)≤3k. Consecuentemente, dimB(F) = l´ ımsup δ→0+ Nδ(F) −logδ≤l´ ımsup k→∞ log3k −log2−k+1=log3 log2. Por otro lado, tomemos δtal que 2−k−1< δ ≤2−k. Entonces cualquier subconjunto del plano de diámetro δinterseca como mucho a tres triángulos de Ek, puesto que no puede intersecar a dos triángulos a distancia mayor que 2−k. Como hay 3ktriángulos en Eky todos contienen algún punto de F, se necesitan por lo menos 3k 3conjuntos de diámetro menor o igual que δpara recubrir F. Consecuentemente, Nδ(F)≥3k−1. Por tanto, dimB(F) = l´ ıminf δ→0+ Nδ(F) −logδ≥l´ ıminf k→∞ log3k−1 −log2−k−1=log3 log2. Deducimos entonces que dimB(F) = dimB(F) = log3 log 2 . En la siguiente proposición enumeramos algunas de las propiedades básicas de la dimensión de conteo de cajas. Proposición 2.9. La dimensión de conteo de cajas cumple las siguientes propiedades:
12 2.2. Dimensión de conteo de cajas (1) Si E ⊂F, entonces dimBE≤dimBF y dimBE≤dimBF. (2) Si F ⊂Rnno vacío y acotado, entonces 0≤dimBF≤dimBF≤n. (3) dimBes finitamente estable, es decir, dimB(E∪F) = m´ ax{dimBE,dimBF}. (4) Si F ⊂Rnes abierto, entonces dimBF=n. (5) Si F es no vacío y finito, dimBF=0. Demostración. (1) Como E⊂Ftenemos que para todo δ > 0, Nδ(E)≤Nδ(F)de lo que se sigue la desigualdad de dimensiones. (2) Por definición tenemos que 0 ≤dimBF≤dimBF, entonces solo tenemos que ver dimBF≤n. Sean Cun cubo n-dimensional de lado myδ∈(0, m). Es fácil ver que podemos recubrir Ccon cubos n-dimensionales de lado δdispuestos como en el apartado (4) de la Proposición 2.6 utilizando dm δencubos. Entonces, como dm δen≤(m δ+1)n= (m+δ)nδ−n≤ (2m)nδ−n, existe una constante c= (2m)ntal que Nδ(C)≤cδ−npara todo δ∈(0, m). Usando la definición de dimBobtenemos que dimBC≤n. Como cualquier conjunto acotado Festá contenido en un cubo n-dimensional, tenemos, por (1), que dimBF≤dimBC≤n. (3) En la desigualdad Nδ(E∪F)≤Nδ(E)+ Nδ(F)dividimos por −logδ(tomando δ < 1 para que no afecte al signo de la desigualdad) y obtenemos, tomando límite superior, que dimB(E∪F)≤m´ ax{dimBE,dimBF}. Para la desigualdad contraria basta tener en cuenta que E,F⊂E∪F. (4) Como Fcontiene un cubo n-dimensional C tenemos, razonando de manera similar a (2), que Nδ(F)≥Nδ(C)≥cδ−npara alguna constante clo que implica que dimB(F)≥n. Por (2) tenemos que n≤dimBF≤dimBF≤n, por lo que dimBF=n. (5) Como Fes no vacío y finito, Fconsiste en mpuntos distintos. Luego Nδ(F) = mpara todo δ > 0 y, por tanto, dimBF=0. Proposición 2.10 ([12, Proposition 2.6]). Sea E ⊂Ry E su clausura topológica. Entonces dimBE=dimBE, dimBE=dimBE. Demostración. Sea {Bα}k α=1una colección finita de bolas cerradas de radio δ. Entonces el conjunto Sk α=1Bαes cerrado y contiene a Esi y sólo si contiene a Eya que por definición la clausura de un conjunto es el menor cerrado en el que está contenido. Por tanto, el menor número de bolas cerradas de radio δque recubren Etambién recubren E. Teniendo en cuenta la Proposición 2.6, se da la igualdad de dimensiones. Si bien a primera vista esta proposición parece interesante, podemos exponer las debilidades de la dimensión de conteo de cajas a nivel teórico muy fácilmente gracias a ella. Veamos a través de dos ejemplos cómo conjuntos numerables tienen dimensión de conteo de cajas mayor que cero, incluso aunque sólo tengan un punto de acumulación.
2. Dimensión fractal 13 Ejemplo 2.11. Gracias a la Proposición 2.10 es sencillo construir un conjunto numerable con dimensión de conteo de cajas distinta de cero. Sea Eel conjunto, numerable, de los racionales que pertenecen a [0,1]. Entonces Ees todo el intervalo [0,1], por la Proposición 2.10 vemos que dimBE=dimBE=1. Se trata de un resultado poco interesante pues la dimensión de cada punto por separado es cero y, sin embargo, su unión numerable tiene dimensión igual a uno. Ejemplo 2.12. Sea E={0}∪{1 n}n∈N, veamos que dimBE=1 2. Sean δ∈(0, 1 2)yk∈Nel natural que satisfaga 1 (k−1)k> δ ≥1 k(k+1). Veamos en primer lugar que dimBE≥1 2. Sea Uun conjunto tal que |U| ≤ δ, entonces Usólo puede contener a un punto del conjunto {1 n}k n=1pues la distancia entre dos de estos puntos es por lo menos 1 k−1−1 k=1 k(k−1)> δ. Consecuentemente, son necesarios por lo menos kconjuntos de diámetro δpara recubrir E, luego Nδ(F)≥ky entonces, log Nδ(F) −logδ≥log k log k(k+1)=log k 2log k+log(1+1/k)−→ 1 2 cuando k→+∞, que corresponde con δ→0, por lo que dimBE≥1 2. Por otro lado, veamos que dimBE≤1 2. Podemos dividir el intervalo [0, 1 k]en k+1 intervalos de longitud 1 k(k+1)≤δ, con esto nos quedan otros k−1 puntos en Eque podemos recubrir con k−1 intervalos, por lo tanto Nδ(E)≤k+1+k−1=2ky entonces, log Nδ(F) −logδ≤log2k log k(k−1)=log2 +log k 2log k+log(1−1/k)−→ 1 2 cuando k→+∞, que corresponde con δ→0, por lo que dimBE≤1 2. En este ejemplo vemos que basta que un conjunto numerable tenga un único punto de acumulación para que su dimensión de conteo de cajas sea mayor que cero. 2.3. Teoría de la medida Nuestro objetivo será tratar de construír una dimensión que corrija las carencias teóricas de la dimensión de conteo de cajas. No iremos muy lejos en este intento sin la ayuda de la teoría de la medida, así pues, en este capítulo, introduciremos las nociones de esta rama de las matemáticas necesarias para poder seguir avanzando. A partir de aquí trabajaremos con un conjunto cualquiera X. Definición 2.13. Decimos que una colección Sde subconjuntos de Xes una σ-álgebra si ∅∈S ySes cerrada bajo uniones numerables y bajo complementarios. Proposición 2.14 ([7, Theorem 5.2.1]). Sea Cuna colección de subconjuntos de X, entonces existe una única σ-álgebra Ftal que: (1) C ⊂F ,
14 2.3. Teoría de la medida (2) Si Ges una σ-álgebra tal que C ⊂G entonces F ⊂G. Demostración. Veamos en primer lugar que la intersección de una familia de σ-álgebras es una σ-álgebra. Sea Γuna familia de σ-álgebras y sea B=TA∈ΓA, veamos que Bes una σ-álgebra. En primer lugar, tenemos que ∅∈ B ya que ∅∈ A para todo A ∈ Γpor ser Auna σ-álgebra. En segundo lugar, veamos que Bes cerrado por complementarios. Sea A∈ B, entonces A∈ A para todo A ∈ Γy, por tanto, X\A∈ A, consecuentemente, X\A∈ B. Por último, veamos que es cerrado por uniones numerables. Sea {An}n∈Ncon An∈ B para todo n∈N, entonces An∈ A para todo n∈Ny para todo A ∈ Γ, así que Sn∈NAn∈A para todo A ∈Γy, consecuentemente, Sn∈NAn∈B. Para construir la σ-álgebra Fconsideraremos Γla familia de todas las σ-álgebras G tales que C ⊂ G.Γes no vacío ya que por lo menos la σ-álgebra que forman la familia de todos los subconjuntos de Xpertenece a Γ. Sea F=TG∈ΓG.Fes una σ-álgebra por ser intersección de σ-álgebras y si Ges una σ-álgebra tal que C ⊂ G, entonces G ∈ Γy, consecuentemente, F ⊂G. Definición 2.15. Si Ces una colección de subconjuntos de X, diremos que la σ-álgebra F obtenida en la Proposición 2.14, que denotaremos por σ(C), es la σ-álgebra generada por C. Definición 2.16. Decimos que una aplicación µdefinida sobre una σ-álgebra Sy con valores en [0,+∞]es una medida si cumple las dos siguientes propiedades: (1) El conjunto vacío tiene medida igual a 0, es decir, µ(∅) = 0; (2) La aplicación µes σ-aditiva, es decir, para toda colección numerable {En}n∈Nde elementos disjuntos de Sse cumple que µ∞ G n=1 En=∞ X n=1 µ(En). Teorema 2.17 ([13, Theorem 1.1]Continuidad de la medida). Sea µuna medida definida en una σ-álgebra Sde subconjuntos de X. Entonces se cumple: (1) Si E1⊂E2⊂··· es una sucesión creciente de conjuntos de S, entonces µ[ k∈N Ek=l´ ım k→∞µ(Ek). (2) Si F1⊃F2⊃··· es una sucesión decreciente de conjuntos de Syµ(F1)<∞, entonces µ\ k∈N Fk=l´ ım k→∞µ(Fk).
2. Dimensión fractal 15 Demostración. (1) Podemos expersar S∞ k=1Ekcomo la unión disjunta E1tF∞ k=2(Ek\Ek−1). Entonces tenemos, por la propiedad (2) de la Definición 2.16, que µ∞ [ k=1 Ek=µ(E1) + ∞ X k=2 µ(Ek\Ek−1) = l´ ım m→∞µ(E1) + m X k=2 µ(Ek\Ek−1) =l´ ım m→∞µE1t m G k=2 (Ek\Ek−1)=l´ ım m→∞µ(Em). (2) Sea Ek=F1\Fk, entonces la sucesión Ek∈Nes creciente y, como µ(F1)<∞,µ(Ek)<∞ para todo k∈N. Además, T∞ k=1Fk=F1\S∞ k=1Ek. Por tanto tenemos, usando (1), que µ∞ \ k=1 Fk=µ(F1)−µ∞ [ k=1 Ek=µ(F1)−l´ ım k→∞µ(Ek) =l´ ım k→∞[µ(F1)−µ(Ek)] = l´ ım k→∞µ(Fk). Definición 2.18. Decimos que una aplicación νdefinida sobre todos los subconjuntos de X y con valores en [0,+∞]es una medida exterior si cumple las siguientes propiedades: (1) El conjunto vacío tiene medida igual a 0, es decir, µ(∅) = 0; (2) ν(A)≤ν(B)si A⊂B; (3) La aplicación νes σ-subaditiva, es decir, para toda colección numerable {An}n∈Nde elementos de Xse cumple que ν∞ [ n=1 An≤∞ X n=1 ν(An). Las medidas exteriores son útiles pues por un lado están definidas para cualquier subconjunto de Xpero además, como veremos a continuación, siempre existe una σ-álgebra sobre la que actúa como una medida. Definición 2.19. Sea νuna medida exterior sobre X. Un subconjunto E⊂Xse dice νmedible (en el sentido de Carathéodory) si para cada subconjunto Ade Xtenemos que ν(A) = ν(A∩E) + ν(A\E). Observamos que, como A= (A∩E)S(A\E), por la condición (3) de la Definición 2.18 tenemos que en general se cumple ν(A)≤ν(A∩E) + ν(A\E). Luego para verificar que un conjunto Ees ν-medible llegará con probar que ν(A)≥ν(A∩E) + ν(A\E)para todo A subconjunto de X. Teorema 2.20 ([13, Theorem 1.2]). Sea νuna medida exterior. La colección Mde los conjuntos ν-medibles forma una σ-álgebra y la restricción de νaMes una medida.
16 2.3. Teoría de la medida Demostración. Empezaremos viendo que Mes una σ-álgebra. Claramente ∅∈ M pues, para todo A⊂X,A∩∅=∅yA\∅=A, entonces ν(A) = ν(∅) + ν(A)ya que ν(∅) = 0 por ser νmedida exterior. Veamos que Mes cerrado por complementarios. Para ello, supongamos que E∈ M y veamos que X\E∈ M. Como E∈ M tenemos, para todo A⊂X, que ν(A) = ν(A∩ E) + ν(A\E), además, como A∩(X\E) = A\EyA\(X\E) = A∩E, también se cumple ν(A∩(X\E)) + ν(A\(X\E)) = ν(A\E) + ν(A∩E) = ν(A). Por tanto, X\E∈M. Veamos que Mes cerrado por uniones numerables. Sean {En}n∈N⊂ M yA⊂X. Aplicando la igualdad de la Definición 2.19 sucesivamente tenemos que ν(A) =ν(A∩E1) + ν(A\E1) =ν(A∩E1) + ν((A\E1)∩E2) + ν(A\(E1∪E2)) =··· = k X j=1 νA\ j−1 [ i=1 Ei∩Ej+νA\ k [ j=1 Ej. Para todo k∈Nse cumple Sk j=1Ej⊂S∞ j=1Ej, lo que implica que A\(S∞ j=1Ej)⊂A\(Sk j=1Ej). Por tanto, tenemos, por el apartado (2) de la Definición 2.18, que ν(A)≥ k X j=1 νA\ j−1 [ i=1 Ei∩Ej+νA\∞ [ j=1 Ej, (2.6) y, como la desigualdad (2.6) es cierta para todo k∈N, ν(A)≥∞ X j=1 νA\ j−1 [ i=1 Ei∩Ej+νA\∞ [ j=1 Ej. (2.7) Por otro lado, como A∩(S∞ j=1Ej) = S∞ j=1A\Sj−1 i=1Ei∩Ej, usando el apartado (3) de la Definición 2.18 tenemos que ν(A)≤νA∩∞ [ j=1 Ej+νA\∞ [ j=1 Ej≤ k X j=1 νA\ j−1 [ i=1 Ei∩Ej+νA\∞ [ j=1 Ej. (2.8) De las desigualdades (2.7) y (2.8) deducimos que ν(A) = ∞ X j=1 νA\ j−1 [ i=1 Ei∩Ej+νA\∞ [ j=1 Ej=νA∩∞ [ j=1 Ej+νA\∞ [ j=1 Ej, lo que implica que S∞ j=1Ej∈M. Por tanto, Mes una σ-álgebra. Por último, veamos que νrestringida a Mes una medida. Para ello tenemos que ver que νcumple la condición (2) de la Definición 2.16. Por la condición (3) de la Definición 2.18 de medida exterior solo tenemos que probar que νF∞ n=1En≥P∞ n=1ν(En)si {En}n∈Nes
2. Dimensión fractal 23 Observación 2.32.Se obtiene una definición equivalente de la medida de Hausdorff si en la ecuación (2.14) el ínfimo se toma sobre todos los δ-recubrimientos de Fformados por conjuntos convexos en vez de conjuntos arbitrarios. Esto es debido a que siempre existe, para cualquier conjunto, un conjunto convexo del mismo diámetro en el que está contenido. Además, también se obtiene una definición equivalente si tomamos el ínfimo sobre todos los δ-recubrimientos abiertos o todos los δ-recubrimientos cerrados [6]. Nos dedicaremos ahora a demostrar algunos resultados sobre la medida de Hausdorff que nos serán de utilidad. El siguiente teorema demuestra la regularidad de la medida de Hausdorff junto con algunas consecuencias que nos serán útiles más adelante. Teorema 2.33 ([13, Theorem 1.6]). (1) Si E es un subconjunto de Rn, entonces existe un conjunto G perteneciente a Gδtal que E⊂G y Hs(G) = Hs(E). En particular, Hses una medida exterior regular. (2) Cualquier conjunto Hs-medible de Hs-medida finita contiene un conjunto perteneciente a Fσde igual medida y, por tanto, contiene un conjunto cerrado que difiere de él en un conjunto de medida arbitrariamente pequeña. Demostración. (1) Si Hs(E) = ∞, entonces Rnes un conjunto abierto de igual medida. Supongamos que Hs(E)<∞. Teniendo en cuenta la Observación 2.32 podemos tomar, para todo k∈N,{Uk m}m∈Nun 2 k-recubrimiento abierto de Etal que ∞ X m=1|Uk m|s<Hs 1 k (E) + 1 k. Entonces E⊂G, donde G=T∞ k=1S∞ m=1Uk mes un Gδ-conjunto. Como {Uk m}m∈Nes un 2 krecubrimiento de Gtenemos que Hs 2 k (G)≤Hs 1 k (E) + 1 k. Tomando el límite cuando k→ ∞ y teniendo en cuenta que E⊂Gdeducimos que Hs(E) = Hs(G). Como, por el Corolario 2.26, los conjuntos pertenecientes a Gδson Hs-medibles, Hses una medida exterior regular. (2) Sea Eun conjunto Hs-medible con Hs(E)<∞. Usando (1), podemos encontrar una sucesión {Ok}k∈Nde conjuntos abiertos que contengan a Etal que Hs(T∞ k=1Ok\E) = Hs(T∞ k=1Ok)−Hs(E) = 0. Como cualquier abierto de Rnes un conjunto de Fσ, suponemos que Ok=T∞ m=1Fk mpara todo k∈N, donde {Fk m}m∈Nes una sucesión creciente de conjuntos cerrados. Tenemos, por la continuidad de la medida Hs, que l´ ım m→∞Hs(E∩Fk m) = Hs(E∩Ok) = Hs(E), para todo k∈N. Por tanto, dado ε > 0, podemos encontrar un mktal que Hs(E\Fk mk)<2−kε, para todo k∈N. Si tomamos Fεigual al conjunto cerrado T∞ k=1Fk mk, entonces Hs(Fε)≥Hs(E∩Fε)≥Hs(E)−∞ X k=1Hs(E\Fk mk)>Hs(E)−ε.
24 2.4. Medida y dimensión de Hausdorff Como Fε⊂S∞ k=1Ok, tenemos que Hs(Fε\E)≤Hs(T∞ k=1Ok\E) = 0. Por (1) tenemos que Fε\Eestá contenido en un conjunto Gperteneciente a Gδtal que Hs(G) = 0. Por tanto, Fε\Ges un conjunto perteneciente a Fσ, contenido en Ey que cumple Hs(Fε\G)≥Hs(Fε)−Hs(G)>Hs(E)−ε. Sea {εl}l∈Nuna sucesión de números reales positivos que converja a cero. Entonces el conjunto Sl∈N(Fl\G)es un conjunto perteneciente a Fσ, contenido en Ey, por el Teorema 2.17, de igual medida que E. Demostraremos a continuación el Teorema del recubrimiento de Vitali. Este resultado nos permitirá extraer subconjuntos con propiedades interesantes de un tipo de recubrimientos, que definiremos a continuación, llamados recubrimientos de Vitali. Este teorema será de particular interés en el Capítulo 3. Lema 2.34 ([13, Lemma 1.7]). Sean E un conjunto Hs-medible con Hs(E)<∞yε > 0. Entonces existe ρ > 0que depende solo de E y de εtal que, para cualquier colección numerable de conjuntos de Borel {Uk}k∈N, con 0<|Uk|≤ρpara todo k ∈N, se cumple que HsE∩∞ [ k=1 Uk<∞ X k=1|Uk|s+ε. Demostración. De la igualdad (2.15) deducimos que podemos escoger ρ > 0 tal que Hs(E)<∞ X k=1|Wk|s+ε 2, (2.16) para todo ρ-recubrimiento {Wk}k∈Nde E. Sea {Uk}k∈Nuna colección numerable de conjuntos de Borel tal que 0 <|Uk| ≤ ρ. De las igualdades (2.15) y (2.14) deducimos que podemos encontrar un ρ-recubrimiento {Vk}k∈Nde E\S∞ k=1Uktal que HsE\∞ [ k=1 Uk+ε 2>∞ X k=1|Vk|s. Como {Uk}k∈N∪{Vk}k∈Nes un ρ-recubrimiento de Etenemos, por la desigualdad (2.16), que Hs(E)<∞ X k=1|Uk|s+∞ X k=1|Vk|s+ε 2. Por tanto HsE∩∞ [ k=1 Uk=Hs(E)−HsE\∞ [ k=1 Uk <∞ X k=1|Uk|s+∞ X k=1|Vk|s+ε 2−∞ X k=1|Vk|s+ε 2 =∞ X k=1|Uk|s+ε.
2. Dimensión fractal 25 Definición 2.35. Sea E⊂Rn. Una colección Vde subconjuntos de Rnse llama recubrimiento de Vitali de Esi para todo x∈Ey para todo δ > 0, existe un U∈ V tal que x∈Uy 0<|U|≤δ. Teorema 2.36 ([13, Theorem 1.10]Teorema del recubrimiento de Vitali). Sea E un subconjunto Hs-medible de Rny sea Vun recubrimiento de Vitali de conjuntos cerrados para E. Entonces: (1) Existe un subconjunto numerable {Un}n∈Nde Vtal que sus elementos son disjuntos y, o bien se cumple que P∞ n=1|Un|=∞, o Hs(E\S∞ n=1Un) = 0. (2) Si Hs(E)<∞, entonces, dado ε > 0, podemos pedir también que {Un}n∈Ncumpla que Hs(E)≤∞ X n=1|Un|s+ε. Demostración. Sea ρ > 0 fijado, podemos asumir que |U| ≤ ρpara todo U∈ V. Escogeremos los Unde manera inductiva. Sea U1cualquier elemento de V. Supongamos que U1,..., Umya han sido escogidos y sea dm=sup{|B|:B∈V,B∩Sm k=1Uk=∅}. Si dm=0, entonces, como el recubrimiento de Vitali está formado por conjuntos cerrados, tenemos que E⊂Sm k=1Uky, por tanto, (1) se cumple y el proceso termina. En otro caso tomaremos Um+1tal que |Um+1|≥ dm 2yUm+1∩Sm k=1Uk=∅. Para terminar la demostración de (1), supongamos que este proceso no termina en un número finito de etapas y que P∞ k=1|Uk|s<∞y veamos que entonces Hs(E\S∞ i=1Ui) = 0. Para todo n∈N, sea Bnuna bola con centro en Uny radio 3|Un|. Veamos que para todo k∈Nse cumple que E\ k [ i=1 Ui⊂∞ [ i=k+1 Bi. (2.17) Como el proceso de selección de los {Un}no termina en un número finito de etapas, tenemos que, para todo x∈E\Sk i=1Ui, existe U∈ V tal que x∈UyU∩Sk i=1Ui=∅. Como P∞ k=1|Uk|s<∞, tenemos que |Un|→0 y, consecuentemente, |U|>2|Um|para algún m∈N. Por el método de selección de los {Un},Utiene que intersecar a algún Uicon k<i<mpara el cual |U|≤2|Ui|. Consecuentemente, U⊂Biy, por tanto, se cumple el contenido (2.17). Tenemos entonces que, para todo δ > 0, se cumple que Hs δE\∞ [ i=1 Ui≤Hs δE\ k [ i=1 Ui≤∞ X k+1|Bi|s≤6s∞ X k+1|Ui|s, para todo klo suficientemente grande como para que se cumpla |Bi| ≤ δpara todo i>k. Como P∞ k+1|Ui|s→0 cuando ktiende a infinito, tenemos que Hs δ(E\S∞ i=1Ui) = 0 para todo δ > 0 y, consecuentemente, Hs(E\S∞ i=1Ui) = 0. Para demostrar (2), supongamos que ρes el número correspondiente a Eyεen el Lema 2.34. Si P∞ i=1|Ui|s=∞, entonces (2) se cumple trivialmente. Supongamos que
26 2.4. Medida y dimensión de Hausdorff P∞ i=1|Ui|s<∞, entonces, por el apartado (1) y el Lema 2.34 tenemos que Hs(E) = Hs(E\∞ [ i=1 Ui) + Hs(E∩∞ [ i=1 Ui) = 0+Hs(E∩∞ [ i=1 Ui)<∞ X i=1|Ui|s+ε. Vistos estos resultados, nos centraremos en estudiar las propiedades de la medida de Hausdorff. Para empezar, demostraremos que es, de alguna forma, una generalización de la medida de Lebesgue. Necesitaremos para ello el siguiente resultado sobre conjuntos convexos. Teorema 2.37. La medida de Lebesgue n-dimensional de un subconjunto de Rncerrado, convexo y de diámetro d es, como mucho, la de una bola de diámetro d. Una demostración de este teorema puede consultarse en [10]. Por otro lado, es conocido que la medida de Lebesgue n-dimensional de una bola n-dimensional de radio 1 es igual a πn 2 Γ(n 2+1). Puede consultarse una demostración de este resultado en [11]. Teorema 2.38 ([13, Theorem 1.12]). Si E ⊂Rnentonces Ln(E) = cnHn(E), donde Lnes la medida de Lebesgue n-dimensional y cn=πn 2 2nΓ(n 2+1). Demostración. Sea ε > 0, teniendo en cuenta la Observación 2.32, podemos construir un recubrimiento de Epor conjuntos cerrados y convexos {Um}m∈Ntal que P∞ m=1Um≤Hs(E)+ ε. Por el Teorema 2.37, Ln(Um)≤cn|Um|ny, por tanto, Ln(E)≤P∞ m=1Ln(Um)<cnHn(E)+ cnε. Consecuentemente Ln(E)≤cnHn(E). Para ver la desigualdad contraria, sea {Cm}m∈Nuna colección de conjuntos que sean productos cartesianos de intervalos finitos y que cumplan que ∞ X m=1 voln(Cm)<Ln(E) + ε. (2.18) Para todo m∈N, el conjunto de todas la bolas cerradas de radio menor o igual a δforman un recubrimiento de Vitali para Cm. Por el Teorema 2.36, existe una colección de bolas disjuntas {Bk m}k∈Nde radio menor o igual a δtal que Hn(Cm\S∞ k=1Bk m) = 0 y, por tanto, Hn δ(Cm\ S∞ k=1Bk m) = 0. Como los conjuntos de Borel son Ln-medibles, tenemos que P∞ k=1Ln(Bk m) = Ln(S∞ k=1Bk m)≤Ln(Cm). Por la desigualdad (2.18) tenemos que Hn δ(E)≤∞ X m=1Hn δ(Cm)≤∞ X m=1 ∞ X k=1Hn δ(Bk m) + ∞ X m=1Hn δCm\∞ [ k=1 Bk m ≤∞ X m=1 ∞ X k=1|Bk m|n=∞ X m=1 ∞ X k=1 cn−1Ln(Bk m) ≤cn−1∞ X m=1Ln(Cm)<cn−1Ln(E) + cn−1ε. Por tanto, para todo εyδpositivos se cumple cnHn δ(E)≤Ln(E) + εy, consecuentemente, cnHn(E)≤Ln(E).
2. Dimensión fractal 27 De esta forma, la medida de Hausdorff generaliza los conceptos de longitud, área y volumen. Serán de utilidad a lo largo del trabajo los dos siguientes resultados sobre cómo se comporta la medida de Hausdorff sobre cierto tipo de transformaciones. Proposición 2.39 ([12, Proposition 3.1]). Sean F ⊂Rny f :F→Rnuna aplicación tal que para todo x,y∈F, |f(x)−f(y)|≤ c|x−y| con c ∈R+. Sea s un número real positivo, entonces Hs(f(F)) ≤csHs(F). Demostración. Si {Un}n∈Nes un δ-recubrimiento de Fentonces, como |f(F∩Un)|≤ c|F∩Un|≤ c|Un|, {f(F∩Un)}n∈Nes un cδ-recubrimiento de f(F). Por tanto, P∞ n=1|f(F∩Un)|s≤csP∞ n=1|Un|s, y, consecuentemente, Hs cδ(f(F)) ≤csHs δ(F). Como esta desigualdad se cumple para todo δ > 0, tomando el límite obtenemos que Hs(f(F)) ≤csHs(F). Proposición 2.40 ([12, Scaling property 3.2]). Sea f :Rn→Rnuna aplicación sobreyectiva tal que para todo x,y∈Rn, |f(x)−f(y)|=r|x−y| con r ∈R+. Sea s un número real positivo, entonces Hs(f(F)) = rsHs(F). Demostración. Como |f(x)−f(y)|=r|x−y|,fes inyectiva. Como por hipótesis fes también sobreyectiva, tenemos que |f−1(x)−f−1(y)|=r−1|x−y|y el resultado es consecuencia de aplicar la Proposición 2.39 a fyf−1. En particular tenemos que Hses invariante por isometrías, como cabría esperar. Nos centraremos ahora en en definir una dimensión utilizando la medida de Hausdorff, con este objetivo, estudiaremos como varía Hsen función de s. Tomando δ < 1 en la ecuación (2.14) vemos que Hs δes decreciente con s, así que, por la igualdad (2.15), Hstambién lo es. Además, tomando t>s, si {Un}es un δ-recubrimiento de F, se cumple que X n|Un|t=X n|Un|t−s|Un|s≤δt−sX n|Un|s, (2.19) tomando ínfimos obtenemos que Ht δ(F)≤δt−sHs δ(F). Tomando límites vemos que si Hs(F) toma un valor finito para cierto sentonces Ht(F) = 0 para todo t>s. Por otro lado tenemos que δs−tHt δ(F)≤Hs δ(F)así que si Ht(F)toma un valor positivo entonces Hs(F)es infinito si s<t. Por tanto, Hs(F),como función de s, tiene un valor crítico antes del cual la medida de Hausdorff vale ∞y después del cual vale 0. Esto suscita la siguiente definición. Definición 2.41. Llamaremos dimensión de Hausdorff de F, denotado dimHFal valor que cumple, dimHF=´ ınf{s:Hs(F) = 0}=sup{s:Hs(F) = ∞}. Por lo tanto Hs(F) = ¨∞si s<dimHF, 0 si s>dimHF.
28 2.4. Medida y dimensión de Hausdorff Observación 2.42.En el análisis previo a la Definición 2.41 hemos omitido los casos en los que Hs(F) = 0 para todo s>0 y Hs(F) = ∞para todo s>0. Estos casos se corresponden, respectivamente, con dimHF=0 y dimHF=∞. El primer caso es, por ejemplo, el de los subconjuntos finitos de Rn. El segundo caso no se da en el estudio de Hssobre Rnpero puede darse en espacios más generales como espacios de Hilbert. Si s=dimHFentonces Hs(F)puede tomar cualquier valor en [0,∞]. Llamaremos sconjunto a un conjunto Hs-medible (en particular un boreliano por el Corolario 2.26) que cumpla que 0 <Hs(F)<∞. Los s-conjuntos son los más convenientes para estudiar teóricamente. En la práctica la mayoría de conjuntos que nos encontremos serán s-conjuntos [12, Chapter 5]. Proposición 2.43. La dimensión de Hausdorff cumple las siguientes propiedades, (1) Si E ⊂F entonces dimHE≤dimHF. (2) Si F ⊂Rn, entonces 0≤dimH≤n. (3) Estabilidad numerable, es decir, si {Fn}n∈Nes una sucesión numerable de conjuntos, entonces dimHS∞ n=1Fn=supn∈N{dimHFn}. (4) Si F es numerable, entonces dimHF=0. (5) Si F ⊂Rnes abierto, entonces dimHF=n. Demostración. (1) Si E⊂F, entonces Hs(E)≤Hs(F)para todo s>0 y, consecuentemente, dimHE≤dimHF. (2) Como la dimensión de Hausdorff es mayor o igual a cero en general, solo tenemos que probar que si F⊂Rnentonces dimH≤n. Sea Eun subconjunto acotado de Rn, entonces Hs(E) = 0 para todo s>nya que Ese puede recubrir con un número finito de cubos n dimensionales de diámetro δpara todo δ > 0. Como cualquier subconjunto de Rnes unión numerable de conjunto acotados, Hs(F) = 0 si s>n. Por tanto, dimHF≤n. (3) Como Fn⊂S∞ n=1Fnpara todo n∈N, por la propiedad (1) tenemos que dimHFn≤ dimHS∞ n=1Fn. Por otro lado, si s>dimHFnpara todo n∈N, entonces Hs(Fn) = 0 para todo n∈N. Por tanto HsS∞ n=1Fn≤P∞ n=1Hs(Fn) = 0, lo que implica la desigualdad contraria. (4) F=S∞ n=1Fndonde Fnes un punto para todo n∈N. Como Fnes un punto tenemos que H0(Fn) = 1 y por tanto dimHFn=0. Luego tenemos por la propiedad (3) que dimHS∞ n=1Fn=0. (5) Como Fes abierto, contiene una bola de volumen n-dimensional positivo, luego dimHF≥n. Por (2) obtenemos la desigualdad contraria. Por último en este apartado, un resultado interesante en el que la dimensión de Hausdorff de un conjunto nos da información sobre su topología. Proposición 2.44 ([12, Proposition 3.5]). Sea F ⊂Rntal que dimHF<1, entonces F es totalmente disconexo.
2. Dimensión fractal 29 Demostración. Sean xeydos puntos distintos de Rn. Definimos la función f:Rn→[0, ∞) por f(z) = |z−x|. Entonces tenemos que |f(z)−f(w)|=|z−x|−|w−x|≤|(z−x)−(w−x)|=|z−w|, por lo que fes lipschitziana. Por la Proposición 2.39, tenemos que dimHf(F)≤dimHF<1. Luego f(F)es un subconjunto de Rcon H1-medida cero y, por tanto, R\f(F)es denso en R. Consecuentemente, podemos encontrar un r∈R\f(F)tal que 0 <r<f(y). Entonces tenemos que F={z∈F:|z−x|<r}∪{z∈F:|z−x|>r}, por lo que Fes igual a la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos tales que xeyno pertenecen al mismo. Por tanto xeyno están en la misma componente conexa de F. Como xeyeran dos puntos arbitrarios deducimos que Fes totalmente disconexo. 2.5. Comparación de dimensiones. Definición de fractal de Mandelbrot Empezamos este apartado comparando las dos definiciones de dimensión fractal vistas hasta ahora. Proposición 2.45 ([12, Proposition 3.4]). Sea F ⊂Rnno vacío y acotado. Entonces dimHF≤dimBF≤dimBF. Demostración. Distinguimos dos casos. En primer lugar, supongamos que Hs(F) = 0 para todo s>0, entonces dimHF=0 y el resultado se cumple ya que, por definición, 0 ≤ dimBF≤dimBF. En segundo lugar, supongamos que existe s>0 tal que 1 <Hs(F). Como Hs(F) = l´ ımδ→0Hs δ(F), podemos tomar δ > 0 tal que 1<Hs δ(F)≤Nδ(F)δs, usando la igualdad (2.14). Tomando logaritmos obtenemos que 0 <log Nδ(F) + slog δy, por lo tanto, s≤l´ ıminfδ→0+ log Nδ(F) −logδ, de lo que se deduce el resultado. Por desgracia, existen ejemplos en los que las desigualdades de la Proposición 2.45 son estrictas. Por lo tanto, en general, si conocemos (o podemos estimar) el valor de una de las dimensiones solo obtendremos una cota para la otra. En el Capítulo 4 veremos una condición suficiente para que ambas dimensiones coincidan sobre un conjunto. Para comparar las dimensiónes fractales con la dimensión topológica hay que tener en cuenta que la segunda está definida para cualquier espacio topológico sea o no metrizable. Dicho esto, otra diferencia sustancial es que, como comentábamos anteriormente, a diferencia de las dimensiones de conteo de cajas y de Hausdorff, la dimensión topológica es un número entero. Por otro lado, en cualquier espacio métrico, se cumple la desigualdad dim F≤dimHF, una demostración de este resultado se puede consultar en [8, Chapter 3].
30 2.5. Comparación de dimensiones. Definición de fractal de Mandelbrot Como comentamos en la introducción, Mandelbrot originalmente definió un fractal como un conjunto cuya dimensión de Hausdorff excedía estrictamente su dimensión topológica. Expondremos un par de ejemplos que ilustren, por un lado, cuál era la motivación de esta definición y, por otro lado, por qué no era una “buena” definición. A priori, parecería razonable definir un fractal como un conjunto tal que su dimensión de Hausdorff no sea un entero puesto que, intuitivamente, parece que para esto suceda, dicho conjunto tiene que ser “irregular” de alguna forma (exploraremos con detalle dicha “irregularidad” en el Capitulo 3). No obstante, existen conjuntos con dimensión de Hausdorff entera y que, sin embargo, parecen tener ciertas características que habíamos asociado con los fractales en la introducción. Por ejemplo, consideremos el siguiente resultado, cuya demostración se puede consultar en el Apéndice B. Teorema 2.46 ([25, Theorem 44.1]). Sea I = [0, 1]. Existe una aplicación continua y sobreyectiva f :I→I2. Tenemos entre manos una curva que “llena el espacio”. Como habíamos comentado, el primer ejemplo de una curva de este tipo fue dado por Peano a finales del siglo XIX y se trata de uno de los monstruos a los que Mandelbrot consideraba fractales. No obstante, al “llenar el espacio”, vemos que su dimensión de Hausdorff es 2, es decir, un número entero. Por tanto, para poder incluír este tipo de curvas como fractales, Mandelbrot amplía la definición usando la dimensión topológica. De esta manera, este tipo de curvas son fractales en el sentido de Mandelbrot pues su dimensión topológica es 1. Como comentábamos en el primer capítulo, en la actualidad no existe ninguna convención sobre la definición de fractal. Por ejemplo, la definición de Mandelbrot no se acepta pues existen ciertos conjuntos cuya dimensión de Hausdorff es igual a su dimensión topológica y, sin embargo, son lo suficientemente irregulares como para que se consideren fractales. Un ejemplo de uno de estos conjuntos es el grafo de la función de Cantor, también conocido como “la escalera del diablo”, que podemos ver en la Figura 2.3. Para su definición y más detalles se pueden consultar [21,28]. Fig. 2.3. Función de Cantor. Imagen obtenida de [20].
3. Propiedades locales de s-conjuntos En esta sección estudiaremos, con el objetivo de dar una definición formal de “irregularidad”, las propiedades locales de s-conjuntos de Rn, es decir, estudiaremos los entornos de los puntos de un s-conjunto. Como las demostraciones de muchos de los siguientes resultados son muy laboriosas no las incluiremos en este trabajo. Nuestra forma de proceder será probar con rigurosidad un resultado más sencillo que el general y después enunciar el resultado general citando dónde se puede encontrar una demostración. Todos los resultados presentados en esta parte se enuncian en los Capítulos 2, 3 y 4 de [13]. 3.1. Densidad y regularidad En primer lugar buscaremos un análogo al siguiente teorema de densidad de Lebesgue para s-conjuntos. Denotaremos por Br(x)la bola cerrada de centro xy radio r. Teorema 3.1 ([13, Theorem 1.13]). Sea E un subconjunto Ln-medible de Rn. Entonces la densidad de Lebesgue de E en x, definida como l´ ım r→0+Ln(E∩Br(x)) Ln(Br(x)) , existe, es igual a 1 si x ∈E y es igual a 0 si x /∈E, excepto para un conjunto de Ln-medida cero. Empezaremos definiendo el análogo para s-conjuntos a la densidad de Lebesgue. Gracias a este nuevo concepto de densidad podremos dar una definición de regularidad para sconjuntos. Definición 3.2. Dado s>0, definimos las densidades superior einferior de un s-conjunto E en un punto x∈Rnrespectivamente como Ds(E,x) = l´ ımsup r→0+ Hs(E∩Br(x)) (2r)s, Ds(E,x) = l´ ıminf r→0+Hs(E∩Br(x)) (2r)s. Si Ds(E,x) = Ds(E,x)decimos que la densidad de Een xexiste y la denotamos por Ds(E,x), siendo esta el valor común. Definición 3.3. Sea Eun s-conjunto. Un punto x∈Etal que Ds(E,x) = Ds(E,x) = 1 se dice punto regular de E. Un punto x∈Eque no sea regular se dice irregular. Un s-conjunto Ese dice regular si Hs-casi todos sus puntos son regulares y se dice irregular si Hs-casi todos sus puntos son irregulares.
32 3.1. Densidad y regularidad Definición 3.4. Sea Eun s-conjunto, definimos la densidad convexa superior de Een el punto xcomo Ds c(E,x) = l´ ım r→0+§sup Hs(E∩U) |U|sª, donde el supremo se toma sobre todos los conjuntos convexos Utales que x∈Uy 0 <|U|≤ r. Como Br(x)es un conjunto convexo tenemos que Ds(E,x)≤Ds c(E,x). Además, si x∈U entonces U⊂B|U|(x). Por tanto, Hs(E∩U) (2|U|)s≤Hs(E∩B|U|(x)) (2|U|)s, para todo conjunto Utal que |U| 6=0. Como |B|U|(x)|=2|U|, tenemos que 2−sDs c(E,x)≤ Ds(E,x). En resumen, se cumple que 2−sDs c(E,x)≤Ds(E,x)≤Ds c(E,x). (3.1) Trataremos ahora de dar una caracterización de s-conjuntos regulares e irregulares. Para ello necesitaremos unos resultados sobre las densidades que veremos a continuación. Para empezar, como trabajaremos con la medida de Hausdorff, necesitamos probar que los conjuntos con los que vamos a trabajar son Hs-medibles. Demostraremos en el siguiente lema algunos casos sencillos. Lema 3.5 ([13, Lemma 2.1]). Sea E un s-conjunto de Rn. Entonces se cumple que: (1) Hs(E∩Br(x)) es, como función de x, Borel-medible para todo r, es decir, el conjunto {x∈Rn:Hs(E∩Br(x)) <c}es un boreliano para todo c ∈R+. (2) Ds(E,x)y Ds(E,x)son, como funciones de x, Borel-medibles. Demostración. (1) Sean r,α > 0 y F={x∈Rn:Hs(E∩Br(x)) < α}. Sea x∈F. Por el Teorema 2.17 tenemos que, para cualquier sucesión {δn}n∈Nde números reales positivos decreciente y que converge a cero, l´ ım n→∞Hs(E∩Br+δn(x)) = Hs(E∩Br(x)). Por tanto podemos encontrar un ε > 0 tal que Hs(E∩Br+ε(x)) < α. Si y∈Bε(x), tenemos que Br(y)⊂Br+ε(x)y, consecuentemente, Hs(E∩Br(y)) < α. Entonces Bε(x)es un entorno de xcontenido en Fy, como esto se cumple para todo x∈F,Fes un conjunto abierto de Rn. Como esto es cierto para todo α > 0, concluimos que Hs(E∩Br(x)) es Borel-medible. (2) Demostraremos que Ds(E,x)es Borel-medible, el caso de Ds(E,x)se prueba de forma parecida. Sea α > 0, veamos que el conjunto {x∈Rn:Ds(E,x)< α}es un conjunto de Borel. Usando el apartado (1) tenemos que el conjunto Gr={x∈Rn:Hs(E∩Br(x)) < α(2r)s}es un abierto para todo r∈R+. Veamos que el conjunto Fρ={x∈Rn:Hs(E∩Br(x)) < α(2r)spara algún r< ρ},
3. Propiedades locales de s-conjuntos 39 Por último enunciaremos una caracterización de s-conjuntos regulares para s∈N. Para ello deberemos definir el análogo a los Y-conjuntos para dimensiones mayores que uno, la rectificación numerable. Definición 3.22. Un s-conjunto, s∈N, de Rnse dice numerablemente rectificable si es de la forma ∞ [ k=1 fk(Ek)∪G, donde Hs(G) = 0 y fkes una función lipschitziana que va de un subconjunto acotado Ek de RsaRn. Definiremos también el concepto de tangencia para s-conjuntos pues, como veremos, tendrá una gran relevancia. Definición 3.23. Diremos que el s-conjunto F⊂Rntiene tangente en x en la dirección v, donde ves un vector unitario, si Ds(F,x)>0, y, para todo ángulo φ > 0, l´ ım r→0+Hs(F∩(B(x,r)\S(x,v,φ))) rs=0, donde S(x,v,φ)es el conjunto de los y∈Rntales que |〈y−x,v〉| ≤ ||y−x||cos φ, como se indica en la Figura 3.2. Fig. 3.2. Representación de S(x,θ,φ). Imagen obtenida de [12]. Teorema 3.24 ([13, Theorem 3.33]). Sea E ⊂Rnun s-conjunto donde s es un entero. Entonces son equivalentes: (1) E es regular. (2) E es numerablemente rectificable. (3) E tiene tangente en alguna dirección en casi todos sus puntos. En [13]solo se enuncia el Teorema 3.24. La demostración de la equivalencia de (2) y (3) y la implicación (2)⇒(1) puede encontrarse en [14]. La demostración de la implicación (1)⇒(2) puede encontrarse en [24].
40 3.3. Estructura de conjuntos de dimensión no entera 3.3. Estructura de conjuntos de dimensión no entera El resultado para s-conjuntos con sno entero es fácil de enunciar pero difícil de demostrar. Como veremos, tales conjuntos serán siempre irregulares. Demostraremos en este trabajo el caso 0 <s<1. Teorema 3.25 ([13, Theorem 4.2]). Si E es un s-conjunto con 0<s<1, la densidad Ds(E,x)no existe para casi todo punto de E. Demostración. Lo demostraremos por reducción al absurdo. Supongamos pues que existe un subconjunto medible E1de Econ medida positiva donde la densidad exista. Por el Corolario 3.8 tenemos que 1 2<2−s≤Ds(E,x)si x∈E1. Por el Teorema de Egoroff [26, Theorem 21.3], podemos encontrar un r0>0 y un conjunto de Borel F⊂E1con Hs(F)>0 y de forma que Hs(E∩B(x,r)) >1 2(2r)s, (3.4) para todo x∈Fy todo r<r0. Sea y∈Fun punto de acumulación de F. Sea ηun número real tal que 0 <η<1. Definimos la corona circular Ar,η=B(y,r(1+η)) \B(y,r(1−η)). Entonces Hs(E∩Ar,η) (2r)s=Hs(E∩B(y,r(1+η))) −Hs(E∩B(y,r(1−η))) (2r)s →Ds(E,y)((1+η)s−(1−η)s) (3.5) cuando r→0+. Como yera un punto de acumulación de F, podemos encontrar, para ciertos valores de rarbitrariamente pequeños, un xr∈Ftal que |xr−y|=r. Por tanto, para dichos valores de r, tenemos que B(xr,rη 2)⊂Ar,η. Consecuentemente, por la desigualdad (3.4), tenemos que rsηs 2<Hs(E∩B(xr,rη 2)) ≤Hs(E∩Ar,η), para valores arbitrariamente pequeños de r. Usando la igualdad (3.5) concluimos que 2−s−1ηs≤Ds(E,y)((1+η)s−(1−η)s) = D(E,y)(2sη+O(η2)), cuando η→0+. Lo cual es imposible cuando 0 <s<1. Corolario 3.26 ([13, Corollary 4.3]). Cualquier s-conjunto con 0<s<1es irregular. Como habíamos anticipado, el teorema general es el siguiente. Teorema 3.27 ([13, Theorem 4.12]). Un s-conjunto de Rncon s /∈Nes irregular. La demostración del Teorema 3.27 puede encontrarse en [23]. Gracias al Teorema 3.27 ya podemos justificar el hecho, que anteriormente calificábamos de intuitivo, de que todo s-conjunto cuya dimensión de Hausdorff, s, sea un real no entero debe ser considerado un fractal.
4. Sistema iterativo de funciones Muchos fractales tienen una parte que es similar de alguna forma al total. Observamos este fenómeno ya desde los primeros ejemplos con el conjunto de Cantor, la curva de Koch o el triángulo de Sierpinski. Lo importante de esta “autosimilitud” es que nos puede servir no sólo para crear nuevos fractales sino también para poder calcular su dimensión fractal de manera sencilla. Para poder estudiar la autosimilitud fractal, introducimos el concepto de sistema iterativo de funciones. Definición 4.1. Sea D⊂Rnun conjunto cerrado. Una aplicación S:D→Dse dice que es una contracción si existe r∈(0, 1)tal que |S(x)−S(y)|≤ r|x−y|para todo x,y∈D. Definición 4.2. Una familia finita de contracciones {S1,S2, . . . , Sm}, con m≥2, se llama sistema iterativo de funciones, usualmente abreviado como SIF (o IFS por sus siglas en inglés). Definición 4.3. Un conjunto compacto F⊂Dse llama conjunto invariante para el SIF {S1,S2,...,Sm}si F= m [ λ=1 Sλ(F). Ejemplo 4.4. Sea Fel conjunto de Cantor y sean S1,S2:R→Rdefinidas como S1(x) = x 3 yS2(x) = x 3+2 3. Entonces S1(F)yS2(F)son respectivamente la mitad de la izquierda y la de la derecha de Fy, por tanto, F=S1(F)∪S2(F). Consecuentemente, Fes un conjunto invariante para el SIF {S1,S2}. Nuestro siguiente objetivo será demostrar que el conjunto invariante de un SIF es único. De esta manera, el conjunto invariante queda completamente especificado por el SIF. Para poder demostrar esto introduciremos un espacio métrico completo con el objetivo de aplicar el Teorema del punto fijo de Banach. Empezamos definiendo la distancia de dicho espacio métrico. Definición 4.5. Sea Aun subconjunto de Rn. Definimos la δ-vecindad,Aδ, de Acomo el conjunto de puntos a distancia menor o igual a δde A, es decir, Aδ={x∈Rn:|x−a|≤δpara algún a∈A}. Definición 4.6. Sea Sel conjunto de todos los compactos no vacíos de D. Decimos que la distancia definida sobre Scomo dH(A,B) =´ ınf{δ≥0 : Aδ⊂ByBδ⊂A}, es la distancia de Hausdorff. Teorema 4.7 ([7, Theorem 2.5.1]). La distancia de Hausdorff define una métrica sobre S.
42 Demostración. En primer lugar vemos que claramente dH(A,B)≥0 y dH(A,B) = dH(B,A). Como AyBson compactos están acotados y, por tanto, dH(A,B)<+∞. Veamos que dH(A,B) = 0 si y solo si A=B. Si A=Bpara todo ε > 0, A⊂Bεy entonces dH(A,B) = 0. Por otro lado, si A,B∈ S satisfacen dH(A,B) = 0, entonces si x∈Atenemos que, para todo ε > 0, x∈Bε. Consecuentemente, d(x,B) = 0 y como Bes compacto y, por tanto, cerrado, x∈B. Luego A⊂B. Podemos ver de forma análoga que B⊂Apor lo que A=B. Por úlitmo veamos que se cumple la desigualdad triangular. Sean ε > 0, A,B,C∈ S yx∈A. Entonces existen y∈Btal que |x−y|<dH(A,B) + εyz∈Ctal que |y−z|< dH(B,C) + ε. Por tanto, |x−z|≤|x−y|+|y−z|<dH(A,B) + dH(B,C) + 2ε, es decir, Aestá contenido en la (dH(A,B) + dH(B,C) + 2ε)-vecindad de C. De forma análoga vemos que C está contenido en la (dH(A,B)+dH(B,C)+2ε)-vecindad de A. Consecuentemente, dH(A,C)≤ dH(A,B) + dH(B,C) + 2εpara todo ε > 0 y por lo tanto dH(A,C)≤dH(A,B) + dH(B,C). Nuestro objetivo ahora será probar que (S,dH)es un espacio métrico completo. Para esto necesitaremos previamente introducir algún concepto de topología en espacios métricos necesario para la demostración. Definición 4.8. Diremos que un espacio métrico Ses secuencialmente compacto si cada sucesión de elementos de Stiene por lo menos un punto de acumulación. Definición 4.9. Sea r>0. Diremos que un subconjunto Ade un espacio métrico Ses una r-red para Ssi cada punto de Sestá a una distancia menor o igual a rde un punto de A. Proposición 4.10 ([7, Proposition 2.3.5]). Sean S un espacio métrico secuencialmente compacto y r >0, entonces S tiene una r-red finita. La demostración de la Proposición 4.10 se puede encontrar en el Apéndice B. Definición 4.11. Diremos que un espacio métrico Ses compacto de punto límite si cada subconjunto infinito de Stiene por lo menos un punto de acumulación. Necesitaremos también el siguiente teorema sobre compacidad en espacios métricos. Teorema 4.12 ([25, Theorem 28.2]). En espacios métricos la compacidad secuencial, la compacidad de punto límite y la compacidad son equivalentes. Teorema 4.13 ([7, Theorem 2.5.3]). El espacio métrico (S,dH)es un espacio métrico completo. Demostración. Tenemos que demostrar que cualquier sucesión de Cauchy de Sconverge. Supongamos que {An}n∈Nes una sucesión de Cauchy en S. Sea A={x∈D:∃{xn}n∈Ntal que xn∈Anyxn→x}, vamos a demostrar que dH(An,A)→0 y que Aes no vacío y compacto. Empezaremos probando que dH(An,A)→0 y que Aes no vacío. Sea ε > 0. Como {An}n∈N es de Cauchy, existe un N∈Ntal que si m,l≥Nentonces dH(Am,Al)<ε 2. Sea m>N,
4. Sistema iterativo de funciones 43 veamos que dH(Am,A)< ε. Si x∈A, entonces existe una sucesión {xn}n∈Ntal que xn∈Any xn→x. Entonces, para nsuficientemente grande, d(xn,x)<ε 2. Si k>N, entonces existe un y∈Amtal que d(xk,y)<ε 2. Por tanto, tenemos que d(y,x)≤d(y,xk) + d(xk,x)< ε. Consecuentemente, A⊂Nε(Am). Para ver que Am⊂Nε(A), supongamos y∈Amy escojamos un sucesión de naturales estrictamente creciente k1<k2<··· de forma que k1=my dH(Akj,Al)<2−jεpara todo l≥kj. Definimos una sucesión {yk}k∈Ncon yk∈Akde manera inductiva. Para k<m, escogemos yk∈Akde manera arbitraria. Escogemos ym=y. Si ykj ha sido ya escogido y kj<k≤kj+1, escogemos yk∈Aktal que d(ykj,yk)<2−jε. De esta forma {yk}k∈Nes una sucesión de Cauchy en Dy, como Des cerrado, converge a un valor x∈D. Claramente x∈Ay además tenemos que d(y,x) = l´ ımk←∞ d(y,yk)< ε lo que implica que y∈Nε(A)y, por tanto, Am⊂Nε(A). Además, tomando ε=1, vemos que A6=∅. Por último, veamos que Aes compacto. Gracias al Teorema 4.12 esto es equivalente a probar que Aes compacto de punto límite. Empezaremos probando que para todo ε > 0 existe una ε-red finita en A. Sea ntal que dH(An,A)<ε 3. Por la Proposición 4.10, tenemos que existe una ε 3-red finita para Anque denotaremos {y1,y2,..., ym}. Para cada yide la ε 3-red existe un xi∈Atal que d(yi,xi)<ε 3. Por tanto, el conjunto finito {x1,x2,..., xm}es una ε-red para A. En segundo lugar probaremos que Aes un conjunto cerrado. Sea x∈A, entonces existe una sucesión {yn}n∈Nde elementos de Atal que d(x,yn)<2−n. Para todo n∈N, tomamos un zn∈Antal que d(yn,zn)<dH(An,A) + 2−n. De esta forma tenemos que d(zn,x)≤d(zn,yn) + d(yn,x)<dH(An,A) + 2−n+2−n. Como dH(An,A) + 2−n+2−n→0 cuando n→ ∞, tenemos que zn→xy, por tanto, x∈A, luego Aes un conjunto cerrado. Finalmente, veamos que Aes un compacto de punto límite. Sea Fun subconjunto infinito de A. Sabemos que existe una 1 2-red Bpara A, entonces, por ser Fsubconjunto de A, todo punto de Festá a distancia menor o igual a 1 2de algún punto de B. Como Fes infinito y Bes finito, existe un elemento de Bque está a distancia menor o igual que 1 2a un número infinito de elementos de F. Sea F1⊂Fese conjunto infinito. Como todo elemento de F1 está a distancia menor o igual que 1 de cualquier otro elemento de F1tenemos que |F1|≤1. Podemos razonar de manera análoga, escogiendo esta vez una 1 4-red de A, y obtener un conjunto infinito F2⊂F1con |F2| ≤ 1 2. De esta manera podemos obtener una sucesión de conjuntos {Fk}k∈Ntal que |Fk|≤2−k+1yFk+1⊂Fkpara todo k∈N. Consideramos ahora una sucesión {xn}n∈Ntal que xk∈Fkpara todo k∈N. Tenemos que d(xj,xk)≤2−j+1si j<ky, por tanto, la sucesión {xn}n∈Nes de Cauchy y, consecuentemente, converge a un elemento x. Como Aes cerrado tenemos que x∈A. Por tanto, xes un punto de acumulación de F como queríamos probar. Teorema 4.14 ([12, Theorem 9.1]). Sea {S1. . . Sm}un SIF definidas en un subconjunto cerrado D ⊂Rnde forma que para todo x,y∈D, |Sλ(x)−Sλ(y)|≤ rλ|x−y|, con rλ∈(0,1)para todo λ∈{1,..., m}. Entonces el SIF tiene un único conjunto invariante F.
44 Además, si denotamos por S :S →S la aplicación S(A) = m [ n=1 Sn(A), (4.1) se cumple que F=∞ \ k=0 Sk(E), (4.2) para todo E ⊂D compacto, no vacío y tal que Sλ(E)⊂E para todo λ∈{1, . . . , m}. Demostración. Sea Sel conjunto de todos los compactos no vacíos de DydHla distancia de Hausdorff sobre S. Por el Teorema 4.13 sabemos que (S,dH)es un espacio métrico completo. Si A∈ S , entonces S(A)definido en la igualdad (4.1) es compacto ya que la imagen continua de un compacto es un compacto y la unión finita de compactos también, luego Ses en efecto una aplicación de Sen S. Sea r=m´ ax{r1,..., rm}<1, veamos que Scumple que para todo A,B∈S dH(S(A),S(B)) ≤rdH(A,B). (4.3) Sean q>dH(A,B)yx∈S(A), entonces x=fn(x0)para algún n∈ {1, . .. , m}y algún x0∈A. Como q>dH(A,B), existe un punto y0∈Btal que d(x0,y0)<q. Entonces el punto y=fn(y0)∈S(B)satisface que d(x,y) = rnd(x0,y0)<rq. Como esto se cumple para todo punto x∈S(A), tenemos que S(A)está contenido en la rq-vecindad de S(B). Análogamente, vemos que S(B)está contenido en rq-vecindad de S(A). Por tanto dH(S(A),S(B)) <rq, y, como esto es cierto para todo q>dH(A,B), concluimos que dH(S(A),S(B)) ≤rdH(A,B). Entonces, Ses una contracción en un espacio métrico completo y, por el Teorema del punto fijo de Banach, Stiene un único punto fijo, es decir, existe un único conjunto F∈S que es invariante para el SIF, y, además, dH(Sk(E0),F)→0 cuando k→ ∞ para todo E0∈ S . En particular si tomamos E∈ S tal que Sλ(E)⊂Epara todo λ∈ {1,..., m}, entonces S(E)⊂Ey, por tanto, {Sk(E)}k∈Nes una sucesión decreciente de elementos de S que contienen a F. Consecuentemente, F=T∞ k=0Sk(E). Una vez sabemos que el conjunto invariante de un SIF es único, surgen dos problemas. El primero, que comentaremos a continuación, consiste en, dado un SIF, encontrar su conjunto invariante y el segundo, que abordaremos en el Capítulo 5, consiste en, dado un conjunto, encontrar un SIF del que sea conjunto invariante. Para el primer problema, utilizaremos la segunda parte del Teorema 4.14, pues la aplicación S, definida en la igualdad (4.1), es clave para poder computar el conjunto invariante de un SIF. Como vimos en la demostración de dicho teorema, la sucesión {Sk(E)}k∈Nconverge a Frespecto a la distancia de Hausdorff y, por tanto, se trata de una sucesión de aproximaciones del fractal Fcada vez mejores. Para todo k∈N Sk(E) = [ Ik Si1◦···◦Sik(E) = [ Ik Si1(Si2(···(Sik(E)···))), (4.4) donde la unión se toma sobre el conjunto Ikde todas la k-uplas (i1, . . . , ik)con ij∈{1, . . . , m}. Si Sλ(E)⊂Epara todo λ∈{1,..., m}, y x∈F, podemos definir la aplicación Φ:{(i1,i2,...):ij∈{1,..., m}}→ F(4.5)
4. Sistema iterativo de funciones 45 que hace corresponder (i1,i2,...)con xi1,i2,... :=T∞ k=1Si1◦···◦Sik(E). Además Φes sobreyectiva ya que, por la igualdad (4.2), cualquier elemento de Festá contenido en Sk(E) para todo k∈Ny entonces, por la igualdad (4.4), se cumple que, para todo k∈N, existe una secuencia (i1,..., ik)∈ Iktal que x∈Si1◦···◦Sik(E). Además, la expresión xi1,i2,... no depende del conjunto Eescogido siempre y cuando se cumpla que Sλ(E)⊂Epara todo λ∈{1,..., m}[12, Chapter 9]. De todo esto podemos extraer dos métodos para aproximar conjuntos invariantes computacionalmente. El primer método consiste en escoger un conjunto inicial cualquiera y dibujar la aproximación k-ésima Sk(E). Este es, por ejemplo, el método usado en la Figura 1.3. El segundo método se denomina “juego del caos” (“chaos game” en inglés). Consiste en crear una sucesión de puntos de la siguiente manera: tomamos un punto inicial x0cualquiera, seleccionamos, de manera aleatoria, una contracción Si1del SIF y defininimos x1como Si1(x0). Continuamos de esta forma seleccionando un Siky definiendo xk=Sik(xk−1)para todo k∈N. Ilustramos este proceso en la Figura 4.1. Para más detalles sobre este método se puede consultar [28, Chapter 6]. (a) 100 iteraciones (b) 1000 iteraciones (c) 10000 iteraciones Fig. 4.1. Primeras iteraciones del juego del caos asociado al triángulo de Sierpinski. 4.1. Autosimilitud. Dimensión de conjuntos autosimilares Retornamos al estudio de la autosimilitud. Para ello, nos centraremos en el caso de los SIF en los que los Sλsean similitudes, es decir, que cumplen que para todo x,y∈D |Sλ(x)−Sλ(y)|=rλ|x−y|, con rλ∈(0,1)para todo λ. Diremos que rλes la proporción de la similitud Sλ. Observamos que se deduce directamente de la definición que cualquier similitud es inyectiva. Definición 4.15. Diremos que el conjunto invariante de un SIF de similitudes es un conjunto exactamente autosimilar o, simplemente, autosimilar. Coméntabamos al principio del capítulo que la autosimilitud era útil para calcular la dimensión fractal. Comenzaremos ahora a introducir resultados para llegar a este objetivo.
46 4.1. Autosimilitud. Dimensión de conjuntos autosimilares Proposición 4.16 ([7, Theorem 4.1.1]). Sea {rk}m k=1un conjunto de números reales tales que rk∈(0,1)para todo 1≤k≤m. Entonces existe un único s ∈R+tal que Pm k=1rs k=1. Demostración. Consideramos la función Φ:[0,∞)→[0,∞)definida por Φ(x) = m X k=1 rx k. Entonces Φes una función continua que cumple que Φ(0) = n≥1 y l´ ımx→∞ Φ(x) = 0<1. Por tanto, en virtud del Teorema de los Valores Intermedios, existe por lo menos un stal que Φ(s) = 1. La derivada de Φes m X k=1 rx klog(rk), que es estrictamente menor que cero. Luego Φes estrictamente decreciente y por tanto ses la única solución de Φ(x) = 1. Definición 4.17. Sea Fel conjunto invariante del SIF {S1,··· ,Sm}tales que Skes una similitud de proporción rk∈(0, 1)para todo 1 ≤k≤m. Diremos que el único número real s que cumple que m X k=1 rs k=1, es la dimensión de similitud de F. Observamos que un mismo conjunto Fpuede ser el conjunto invariante de dos SIF distintos dando lugar a dos posibles dimensiones de similitud. Por ejemplo el intervalo [0,1] se puede obtener por un lado como la unión de [0, 1 2]y[1 2,1]ambos obtenidos de [0,1]a través de similitudes de proporción 1 2, lo que daría a una dimensión de similitud de 1. Sin embargo, [0,1]también se puede obtener como la unión de los intervalos [0, 2 3]y[1 3,1], ambos obtenidos a través de similitudes de proporción 2 3que inducirían una dimensión de similitud estrictamente mayor que 1. Intuitivamente este ejemplo nos hace pensar que para que la dimensión de similitud dependa solo del conjunto habría que limitar el solapamiento de los intervalos. Veremos a continuación que en efecto esto es así pues, bajo ciertas hipótesis que nos limiten este solapamiento, la dimensión de similitud será la misma que la dimensión de Hausdorff. Definición 4.18. Diremos que un SIF {S1,··· ,Sm}satisface la condición del conjunto abierto si existe un conjunto no vacío, abierto y acotado Vtal que m G k=1 Sk(V)⊂V, siendo esta unión una unión disjunta. Vamos a probar que si un SIF cumple la condición del conjunto abierto, entonces la dimensión de similitud es la misma que la dimensión de Hausdorff. Para ello necesitamos un par de resultados previos.
4. Sistema iterativo de funciones 47 Lema 4.19 ([12, Lemma 9.2]). Sean a1,a2>0. Sea {Vk}k∈Nuna colección de abiertos disjuntos de Rntal que, para todo k ∈N, Vkcontiene una bola de radio a1r y está contenido en una bola de radio a2r. Entonces cualquier bola B de radio r interseca como mucho a (1+2a2)na−n 1 elementos de {Vk}k∈N. Demostración. Sea Buna bola de radio r, veamos que, como mucho, interseca a (1+2a2)na−n 1 elementos de {Vk}k∈N. Si Bno interseca a ningún elemento de {Vk}k∈Nentonces el resultado se cumple trivialmente. Podemos suponer entonces que Binterseca por lo menos a un conjunto de {Vk}k∈N. Sea Vk0con k0∈Ntal que B∩Vk06=∅. Tenemos que, como Vk0 está contenido en una bola de radio a2r,Vk0está contenida en cualquier bola centrada en un punto de Vk0y de radio 2a2r. Deducimos que Vk0está contenido en un bola concéntrica con By de radio (1+2a2)rque denotaremos A. Supongamos que el número de conjuntos pertenecientes a {Vk}k∈Nque intersecan a Bes igual a q∈N∪{∞}. Como hemos visto, si un elemento de {Vk}k∈Ninterseca a B, entonces está contenido en A, por tanto, puesto que los elementos de {Vk}k∈Nson disjuntos, contienen cada uno una bola de radio a1r yAes un conjunto acotado, q∈N. Denotaremos los qconjuntos que intersecan a Bcomo {Vk1,··· ,Vkq}. Como para todo 1 ≤i<j≤q,VkiyVkjson disjuntos, tenemos que el volumen n-dimensional de la unión de las bolas de radio a1rcontenidas en cada {Vki}1≤i≤qes igual aq(a1r)n. Como Sq i=1Vki⊂A, tenemos que q(a1r)n≤(1+2a2)nrny, consecuentemente, q≤(1+2a2)na−n 1como queríamos probar. Proposición 4.20 ([12, Mass distribution principle 4.2]). Sea µuna medida exterior definida sobre los subconjuntos de un conjunto F ⊂Rntal que 0< µ(F)<∞. Si para algún s>0existen dos constantes positivas c y εtales que µ(U)≤c|U|s, para todo U tal que |U| ≤ ε, entonces Hs(F)≥µ(F) cy, por tanto, s ≤dimHF≤dimBF≤ dimBF. Demostración. Sea {Un}n∈Nun ε-recubrimiento de F, entonces 0< µ(F)≤µ∞ [ n=1 Un≤∞ X n=1 µ(Un)≤c∞ X n=1|Un|s. Tomando ínfimos, tenemos que Hs δ(F)≥µ(F) cpara δ∈(0,ε). Por tanto Hs(F)≥µ(F) cy, como µ(F)>0, dimHF≥s. Para los siguientes resultados necesitaremos introducir notación sobre secuencias de índices. Notación 4.21.Sea {S1,...,Sm}un SIF compuesto por similitudes de proporción {r1,..., rm}. Empezamos recordando que denotamos por xi1,i2,··· =T∞ k=1Si1◦···◦Sik(E)yIkel conjunto de todas las k-uplas (i1, ..., ik)donde ij∈ {1,..., m}para todo j∈ {1,..., k}. Además, denotaremos por (1) Iel conjunto de las sucesiones de índices entre 1 y m.
48 4.1. Autosimilitud. Dimensión de conjuntos autosimilares (2) Ii1,...,ik, al subconjunto de Ien el que los kprimeros términos de cada sucesión sean (i1,..., ik). (3) Ai1,···,ik=Si1◦···◦Sik(A), donde Aes un conjunto cualquiera y (i1, ..., ik)∈Ik. Lema 4.22 ([12, Theorem 9.3]). Sean {S1,.. . , Sm}un SIF compuesto por similitudes de proporción {r1..., rm}, F su único conjunto invariante y s su dimensión de similitud. Supongamos que se satisface la condición del conjunto abierto. Entonces la aplicación e µdefinida sobre los subconjuntos de F por e µ(A) = µ({(i1,i2,...)∈I :xi1,i2,... ∈A}), donde A ⊂F y µes la medida exterior sobre el conjunto Iconstruida por el Método I mediante la función c(Ii1,...,ik)=(ri1···rik)s, es una medida exterior que está en las condiciones de la Proposición 4.20. Demostración. En primer lugar, veamos que e µes una medida exterior sobre los subconjuntos de F. Sea Φ:I → Fla aplicación sobreyectiva definida en (4.5). De esta forma, si A⊂F,e µ(A) = µ(Φ−1(A)). Por tanto, e µ(∅) = µ(Φ−1(∅)) = µ(∅) = 0. Si A⊂B, entonces Φ−1(A)⊂Φ−1(B)y, consecuentemente, e µ(A) = µ(Φ−1(A)) ≤µ(Φ−1(B)) = e µ(B). Por último, si {Ak}k∈Nes una colección numerable de subconjuntos de F, entonces e µ(S∞ k=1Ak) = µ(Φ−1(S∞ k=1Ak)) = µ(S∞ k=1Φ−1(Ak)) ≤P∞ k=1µ(Φ−1(Ak)) = P∞ k=1e µ(Ak). Veamos que e µestá en las condiciones de la Proposición 4.20. En primer lugar, veamos que 0 <e µ(F)<∞, observamos que e µ(F) = µ(Φ−1(F)) = µ(I)por ser Φsobreyectiva. Por las propiedades de una medida exterior construida por el Método I tenemos que µ(I) = µ(Sm λ=1Iλ)≤Pm λ=1µ(Iλ)≤Pm λ=1c(Iλ) = Pm λ=1rs λ=1. De hecho, utilizando que (ri1···rik)s=Pm λ=1(ri1···rikrλ)sse puede demostrar que µ(I) = 1, los detalles se pueden consultar en [7, Theorem 5.5.4]. En segundo lugar, veamos que existe una constante qtal que e µ(U)≤ |U|sqpara todo U⊂Ftal que |U|<1. Sea Bcualquier bola de radio r<1, buscaremos una cota de e µ(B). Sea Vun conjunto abierto que satisfaga la condición del conjunto abierto, vamos a recubrir F∩Bcon unos ciertos subconjuntos de Vde la forma Vi1,...,iky después estimar la medida de estos subconjuntos. El reto es encontrar un conjunto de secuencias de índices (i1,..., ik) lo suficientemente bueno. Definimos un nuevo conjunto Qa partir de los elementos de I. Para cada (i1,i2,...)∈I, sea ikel primer elemento que cumpla que ri1···rik≤r. (4.6) Observamos que entonces también se cumple que m´ ın 1≤i≤mrir≤ri1···rik(4.7) ya que ri1···rik≤r<ri1···rik−1implica que m´ ın1≤i≤mrir≤rrik<ri1···rik−1rik. Sea Qel conjunto de todas las secuencias finitas obtenidas de esta forma. Para cada (i1,i2,...)∈I, existe un único k∈Ntal que (i1, . . . , ik)∈Q. Observamos que si (i1,..., ik)∈
5. Aplicaciones 55 esta forma, podemos seguir iterando f3(x) = f(f(f(x))) y, en general, fn(x) = f(fn−1(x)) para n∈N. Definición 5.3. Sea f:D→Duna aplicación y x∈D, diremos que {fn(x)}n∈Nes la órbita de x. En general estaremos interesados en el comportamiento de un órbita {fn(x)}n∈Ncuando nsea grande. Como comprobaremos visualmente en el siguiente apartado, puede que fn(x) converja a un punto fijo w, esto es, un punto tal que f(w) = w. Más en general, podría suceder que {fk(x)}k∈Nconverja a una órbita periódica de ppuntos {w,f(w), . . ., fp−1(w)}, donde pes el menor entero tal que fp(w) = w, en el sentido que |fk(x)−fk(w)| → 0 cuando k→∞. No obstante, en algunas situaciones, {fk(x)}k∈Nparece moverse de forma aparentemente aleatoria, esto puede ser debido a un conjunto invariante fractal, también llamado atractor extraño. En este contexto llamaremos atractor a un subconjunto cerrado F de Dque sea invariante por f, es decir, f(F) = F, y que cumpla que la distancia de fk(x)a Ftienda a 0 cuando k→∞ para todo x∈Vdonde Ves un conjunto abierto que contiene aF. El mayor de estos conjuntos Vse llama cuenca de atracción de F. Para dar una intuición de por qué pueden aparecer atractores fractales observamos que f(D)⊂Dy, por tanto, fk(D)⊂fk−1(D)⊂... ⊂f(D)⊂D. Consecuentemente, fk(D) = Tk i=1fi(D)y, por tanto, el conjunto F=T∞ k=1fk(D)es invariante por fyfk(x)∈Tk i=1fi(D) para todo x∈D. Así, la sucesión de iteraciones {fk(x)}k∈Nse acerca a Fcuando k→ ∞. Usualmente Fserá un atractor del sistema dinámico y, como vimos en el capítulo anterior, esta forma de construir conjuntos puede producir fractales. 5.2.1. El modelo logístico Supongamos que queremos modelizar, mediante un sistema dinámico, el crecimiento de una población. Así, si la variable xrepresenta el tamaño de la población, queremos predecir cuál será el tamaño de esta población después de un cierto periodo de tiempo. Para ello necesitamos una función adecuada fque modelice esta situación. Un primer acercamiento consistiría en suponer que la población se reproduce de forma constante y por tanto, si xes la población al comienzo, rx, donde res un número real positivo, será la población al cabo de un cierto periodo de tiempo. El modelo resultante produce un crecimiento exponencial si r>1 y por tanto solo será útil mientras la población disponga de unos recursos ilimitados que le permitan seguir creciendo a un ritmo constante. Para que el modelo tenga en cuenta factores externos que limiten el crecimiento exponencial, suponemos que existe una población máxima Pde forma que si la población se acerca a P, limitará su crecimiento. Modelamos esta situación con la fórmula x7→ rx(P−x). Para simplificar las ecuaciones consideraremos la cantidad ex=x Pque representa la proporción de la máxima población P. De esta forma tenemos ef(ex):=f(exP) = rexP(P−exP) = erex(1−ex), donde er=rP2. Por simplicidad de la notación definimos fλcomo fλ:[0,1]→[0,1] x7→λx(1−x),
56 5.2. Sistemas dinámicos donde λ∈[0,4]es un parámetro que codifica información sobre el sistema. Este modelo se conoce como modelo logístico. Un herramienta interesante para tener un primer acercamiento visual al estudio de las órbitas del modelo logístico son los diagramas de coweb, también conocidos como diagramas de Verthulst, cuyo funcionamiento se explica en la Figura 5.2. Fig. 5.2. Diagrama de coweb del modelo logístico para λ=4. En azul representamos la gráfica de 4x(1−x)y en rojo la recta f (x) = x. Usualmente reemplazaremos las flechas por segmentos. En la Figura 5.3 se observan comportamientos muy diferentes para distintos valores de r. Por ejemplo, en la Figura 5.3 (a), observamos que la sucesión de los {xk}k∈Nconverge hacia un punto fijo. En la Figura 5.3 (b), los {xk}k∈Ntienden hacia un ciclo de dos elementos. Por último, en las restantes se observa un comportamiento más extraño. En particular en la Figura 5.3 (d) se observa lo que llamaremos un comportamiento caótico. Existen diversas (a) Punto fijo. (b) Ciclo de dos puntos. (c) Ciclo con mayor número de elementos. (d) Comportamiento caótico. Fig. 5.3. Diferentes comportamientos para distintos valores de r.
5. Aplicaciones 57 definiciones de caos en matemáticas. Una de ellas es la siguiente. Definición 5.4. Una aplicación fse dice caótica sobre Fsi se cumple: (1) Para algún x∈F, la órbita de xes densa en F. (2) Los puntos x∈Ftales que fp(x) = xpara algún p∈Nson densos en F. (3) Existe un δ > 0 tal que, para todo x∈F, existen puntos y∈Farbitrariamente cercanos a xtales que |fk(x)−fk(y)|≥δpara algún k∈N. Estamos interesados en saber cuál es comportamiento a largo plazo de las órbitas del modelo logístico en función del parámetro λ. Para ello nos apoyaremos en la Figura 5.4 donde encontramos el diagrama de bifurcación del modelo logístico, es decir, una gráfica donde se aproxima dicho comportamiento de las órbitas del modelo en función de su parámetro. En este caso, para un cierto valor x0, hemos dibujado {fk λ(x0)}750 k=501 para distintos valores de λcon el objetivo de hacer una aproximación visual del comportamiento a largo plazo de las órbitas de fλ. Resumimos a continuación los resultados del estudio del diagrama de bifurcación del modelo logístico, para más detalles se puede consultar [29, Chapter 6]. Si 0 < λ ≤1, entonces fλtiene un punto fijo en 0 que es atractivo en el sentido de que fk λ→0 cuando k→∞para todo x∈[0,1]. Para 1 < λ < 3, la función fλtiene un punto fijo inestable en 0 y un punto fijo estable en 1−1 λ, de tal forma que fk λ(x)→1−1 λpara todo x∈(0, 1). Cuando λ sobrepasa el valor λ1=3, el punto fijo 1−1 λse vuelve inestable y se “bifurca” en una órbita estable de periodo 2 a la que son atraídos todos los puntos de (0,1)salvo una colección numerable. Dicha bifurcación se aprecia claramente en la Figura 5.4. Cuando λalcanza el valor λ2=1+p6, las órbitas de periodo 2 se vuelven inestables y son remplazadas por órbitas estables de periodo 4. Mientras λsigue incrementando, esta duplicación del periodo de la órbita estable sigue ocurriendo. Así, definimos λqcomo el valor del parámetro λen el que aparece una órbita estable de periodo 2q. Además, dicha duplicación sucede de manera cada vez más rápida de modo que λq→λ∞cuando q→∞, donde λ∞≃3,570. Fig. 5.4. Diagrama de bifurcación para el modelo logístico.
58 5.2. Sistemas dinámicos Una de las características más interesantes de este proceso es su universalidad. Resulta que el comportamiento del modelo logístico es similar al de cualquier transformación de un intervalo hλ(x):=λh(x)en la que hsea una función diferenciable y unimodal. Aunque los valores {λk}k∈Nen los que se produzcan la duplicación del periodo de la órbita estable dependan de hλ, siempre se cumple que λ∞−λk≃cδ−k, donde ces una constante que depende de hλyδ=4,6692... es la constante de Feigenbaum. Además, el comportamiento de hλ∞será caótico debido a la existencia de un atractor fractal cuya dimensión de Hausdorff es aproximadamente igual a 0,538 [12, Section 13.2]. Pensando ya en el siguiente apartado y con el objetivo de simplificar al máximo la función del modelo logístico, introduciremos el concepto de conjugación topológica para ver que estudiar el comportamiento de fλes de alguna forma equivalente a estudiar el comportamiento de gc(x):=x2+cpara alguna constante c. Diremos que dos aplicaciones continuas f:X→X,g:Y→Yson topológicamente conjugadas si existe un homeomorfismo φ:Y→Xtal que f◦φ=φ◦g. Esta relación nos es útil ya que las propiedades relacionadas con los sistemas dinámicos de fy de gserán las mismas. Las aplicaciones fλ:x7→λx(1−x)ygc:y7→ y2+cson topológicamente conjugadas por el homeomorfismo φ:x7→ λ 2(1−2x)en el apropiado rango de definición, donde cyλestán relacionados por la ecuación 4c=λ(2−λ)[29, Lecture 25]. 5.2.2. El conjunto de Mandelbrot. Conjuntos de Julia Nos preguntamos ahora qué pasa con el comportamiento de gc:x7→ x2+ccomo una función definida de Cen Cyc∈C. Empezaremos centrándonos en el estudio para el valor inicial 0. En particular, nos interesará conocer para qué valores de cla órbita del cero está acotada. Definición 5.5. Llamaremos conjunto de Mandelbrot, denotado por M, al conjunto de cpara los que {gk c(0)}k∈Nestá acotado. Como fλy la restricción a Rde gcson topológicamente conjugadas, los valores de ccorrespondientes a aquellos de λpara los que las órbitas del modelo logístico estaban acotadas pertenecerán al conjunto de Mandelbrot. En la Figura 5.5, podemos ver una representación del conjunto de Mandelbrot junto a la correspondencia de los valores pertenecientes a R con el diagrama de bifurcación del modelo logístico. El conjunto de Mandelbrot tiene una sorprendente conexión con el estudio de la iteración de funciones complejas de Julia y Fatou que comentábamos en la introducción. Ellos estudiaron el comportamiento de un polinomio con coeficientes complejos (en particular, gc) para cualquier valor inicial z∈C. Definición 5.6. Sea f:C→Cun polinomio de grado mayor o igual que 2 con coefficientes complejos. Sea K(f) = {z∈C:{fk(z)}k∈Nestá acotado}. Decimos que el conjunto de Julia de f, denotado J(f)es la frontera de K(f), es decir, J(f) = ∂K(f). Nos centraremos en los conjuntos J(gc). Como se puede apreciar en la Figura 5.6, estos conjuntos son muy diferentes dependiendo del parámetro cescogido. Precisamente el conjunto de Mandelbrot nos ayudará a saber cuales de estos conjuntos son conexos. Teorema 5.7 ([12, Theorem 14.14]). Para todo c ∈C, el conjunto de Julia J(gc)es conexo
5. Aplicaciones 59 Fig. 5.5. El conjunto de Mandelbrot y su correspondencia con el diagrama de bifurcación del modelo logístico. Imagen obtenida en [32]. (a) c=−0,1 +0,1i(b) c=0,25 +0,52i(c) c=0,66i Fig. 5.6. Representación de conjuntos de Julia de gcpara distintos valores de c. Imagen obtenida en [12]. si {gk c(0)}k∈Nestá acotado y es totalmente disconexo en caso contrario. Por tanto, M={c∈C:{gk c(0)}k∈Nestá acotado}={c∈C:J(gc)es conexo}. Si nos fijamos en conjunto J(g0), es decir, el conjunto de Julia asociado a la función compleja g0:x7→ x2, vemos que se corresponde con la circunferencia {z∈C:|z|=1}que no es un fractal. Veremos a través de los dos siguientes resultados que esto es una excepción pues, en la mayoría de los casos, J(gc)es un fractal. Teorema 5.8 ([12, Theorem 14.15]). Si |c|>5+2p6 4, entonces J(gc)es el conjunto invariante
60 5.3. Otras aplicaciones del SIF {(z−c)1 2,−(z−c)1 2}para z cerca de J(gc). Además, si |c|es grande, tenemos que dimBJ(gc) = dimHJ(gc)≃2log2 log4|c|. Teorema 5.9 ([12, Theorem 14.16]). Si |c|<1 4, entonces J(gc)es una curva simple cerrada. Además, si |c|es pequeño se tiene que dimBJ(gc) = dimHJ(fc) = 1+|c|2 4log2 +O(|c|3). 5.3. Otras aplicaciones Una de las características más interesantes de los fractales son sus múltiples aplicaciones en diversas disciplinas. En este trabajo nos hemos centrado en estudiar las matemáticas detrás de los fractales pero no podemos finalizar sin comentar algunas de estas aplicaciones. Así, aprovecharemos este apartado para comentar algunas de las aplicaciones más interesantes que no se hayan comentado a lo largo del trabajo. En primer lugar, en el libro [19]encontramos métodos usados en análisis matemático que están basados en fractales, en particular usan ideas en la autosimilitud como, por ejemplo, la construcción de SIF en distintos espacios con el objetivo de obtener aproximaciones de un cierto objeto matemático deseado. Así, podemos encontrar, por ejemplo, una generalización del Teorema del Collage [19, Theorem 8.5]. Por otro lado, ciertas construcciones fractales han sido útiles para crear contraejemplos o resolver problemas en diversas áreas de matemáticas puras. A modo de ejemplo comentaremos brevemente el problema de Kakeya. A principios del siglo XX, Besicovitch estaba trabajando sobre una conjectura relacionada con la integral de Riemann sobre la que se dio cuenta que podría encontrar un contraejemplo si era capaz de construir un subconjunto de R2que contuviera un segmento en todas las direcciones y fuera de medida cero. Finalmente, en [1]fue capaz de construir un conjunto de dichas características conocido como conjunto de Besicovitch. Paralelamente, los matemáticos japoneses Kakeya y Fujiwara trabajaban sobre el problema de encontrar el subconjunto convexo de R2con menor área dentro del cual era posible invertir un segmento unidad, es decir, dentro del cual se puede maniobrar continuamente un segmento de longitud uno de forma que termine en su posición original pero rotado 180o. En [15]conjeturaron que la solución era un triángulo equilátero de altura uno y, además, observaron que si se quitaba la restricción de la convexidad el problema aceptaba soluciones con menor área que la del triángulo equilátero. El problema de encontrar el conjunto con menor área en el que se puede rotar un segmento unidad pasó a llamarse problema de Kakeya. Unos años más tarde, Besicovitch resolvió el problema de Kakeya de una forma sorprendente pues, con una simple modificación del conjunto de Besicovitch, se podían obtener conjuntos de medida arbitrariamente pequeña en los que era posible invertir un segmento unidad. Se pueden encontrar más detalles sobre el tema, incluyendo la construcción de los conjuntos mencionados, en [13, Chapter 7]. Los fractales se utilizan también en modelización. Por un lado, como comentábamos en la introducción, modelizan ciertos fenómenos naturales. Para ello se utiliza, entre otras cosas,
5. Aplicaciones 61 el llamado “movimiento browniano” en honor del científico Robert Brown que, en 1827, se dio cuenta de que la trayectoria seguida por una partícula de polen en la superficie del agua es muy irregular. La modelización de estas trayectorias irregulares es útil para modelizar múltiples fenómenos, un ejemplo lo encontramos en la Figura 5.7. Para más detalles sobre el estudio del movimiento browniano se puede consultar de [12, Chapter 16]. Un libro específico sobre el uso de fractales en modelización biológica es [17], en el que se incluyen múltiples ilustraciones relacionadas con el tema. Por otro lado, los fractales también son útiles en el estudio del flujo turbulento. Para más detalles se puede consultar [22]. Fig. 5.7. Ejemplo de aplicación del movimiento browniano. Imagen obtenida de [12].
A. Código utilizado Código usado para generar la Figura 1.1. Primero definimos la función «weiestrass», que asigna a cada xla suma parcial n-ésima para los parámetros ayb, de forma recursiva. A continuación, dibujamos una aproximación de la función usando 500 sumandos. 1 weiestrass<-function(a,b,n,x) { 2 f<-0 3 for (i in 0:n){ 4 f=f+(b**i)*cos((a**i)*x*pi) 5 } 6 return(f) 7 } 8 x<-seq(0,2,0.005) 9 plot(x,weiestrass(3,0.5,500,x),type='l',ylab='') 10 plot(x,weiestrass(3,0.75,500,x),type='l',ylab='') Código usado para generar la Figura 1.3. Definimos la función una función que para cada nnos dibuja En(en la notación del Ejemplo 1.3). Empezamos obteniendo las coordenadas de los vértices de todos los triángulos de Enen dos vectores x e y. Por último utilizamos el paquete «ggplot2» para dibujar En. Para ello definimos el vector id que indica como agrupar los vértices de xey. 1 library("ggplot2") 2 3 triang_sierpinski<-function(n){ 4 x<-c(0,0.5,1) 5 y<-c(0,sqrt(3)/2,0) 6 id<-c(1,1,1) 7 for (k in 1:n){ 8 x_new<-c() 9 y_new<-c() 10 for (i in 1:(max(id)/3)){ 11 x_1<-(x[2+(i-1)*3]+x[1+(i-1)*3])/2 12 x_2<-(x[3+(i-1)*3]+x[2+(i-1)*3])/2 13 y_1<-(y[2+(i-1)*3]+y[1+(i-1)*3])/2 14 x_new1<-c(x[1+(i-1)*3],x_1,x[2+(i-1)*3]) 15 y_new1<-c(y[1+(i-1)*3],y_1,y[1+(i-1)*3]) 16 x_new2<-c(x_1,x[2+(i-1)*3],x_2) 17 y_new2<-c(y_1,y[2+(i-1)*3],y_1) 18 x_new3<-c(x[2+(i-1)*3],x_2,x[3+(i-1)*3]) 19 y_new3<-c(y[1+(i-1)*3],y_1,y[1+(i-1)*3]) 20 x_new<-c(x_new,x_new1,x_new2,x_new3) 21 y_new<-c(y_new,y_new1,y_new2,y_new3)
64 22 } 23 x<-x_new 24 y<-y_new 25 id<-c() 26 for (j in 1:length(x)){ 27 id<-c(id,rep(j,3)) 28 } 29 } 30 r<-data.frame(x,y,id) 31 p<- ggplot(r,aes(x=x,y=y)) + 32 geom_polygon(aes(group =id),fill="black",colour="black")+ 33 theme_bw() + 34 theme(axis.line =element_blank(),panel.grid.major =element_blank(), panel.grid.minor =element_blank(),panel.border =element_blank() ,panel.background =element_blank(),axis.text.x=element_blank() ,axis.ticks.x=element_blank(),axis.text.y=element_blank(), axis.ticks.y=element_blank(),axis.title.x=element_blank(), axis.title.y=element_blank(),legend.position="none") 35 p 36 } Código usado para generar la Figura 2.2. Utilizamos el paquete “sp” para obtener los datos geográficos necesarios. Utilizamos después la función “fortify” para transformar dichos datos en un data frame con el que podamos trabajar con el paquete “spatstat”. Continuamos utilizando la función “as.ppp” para crear un archivo .ppp al que poder aplicar la función “quadratcount” que sirve para dividir en una cuadrícula las coordenadas. Gracias a esta función detectamos en que cuadrados de dicha cuadrícula hay puntos de la frontera. Por último, utilizamos el paquete “ggplot2” para dibujar lo que nos interesa. 1 library("raster") 2 library("sp") 3 spain <- getData('GADM',country ='spain',level = 1) 4 galicia <- spain[spain$NAME_1 == "Galicia",] 5 library("spatstat") 6 library("ggplot2") 7 fgal<-fortify(galicia) 8 x<-fgal[,1] 9 y<-fgal[,2] 10 gal<-data.frame(x,y) 11 anchura<-max(gal[,1])-min(gal[,1]) 12 altura<-max(gal[,2])-min(gal[,2]) 13 c_x<-(max(gal[,1])+min(gal[,1]))/2 14 c_y<-(max(gal[,2])+min(gal[,2]))/2 15 h<-max(altura/2,anchura/2) 16 h<-h+h/10 17 gal_owin<-owin(c(c_x-h,c_x+h),c(c_y-h,c_y+h)) 18 gal_ppp<-as.ppp(gal,gal_owin)
B. Demostraciones auxiliares 71 observamos que, dado n∈N, el camino fnpasa a una distancia menor o igual a 2−nde xya que fnpasa por cada uno de los cuadrados de lado 2−nen los que hemos divido I2. Usando este hecho, probaremos que, dado ε > 0, la ε-vecindad de xinterseca a f(I). Podemos escoger Nlo suficientemente grande como para que ρ(fN,f)<ε 2y 2−N<ε 2. Con lo que hemos probado, podemos asegurar que existe t0∈Ital que d(x,fN(t0)) ≤ 2−N. Luego, ya que d(fN(t),f(t)) <ε 2para todo t, deducimos que d(x,f(t0)) < ε, y, consecuentemente, la ε-vecindad de xinterseca a f(I). Por lo tanto, xpertenece a la clausura de f(I). Como Ies compacto, tenemos que f(I)también es compacto y, consecuentemente, es cerrado. Por tanto, xpertenece a f(I)como queríamos probar. Demostración de la Proposición 4.10. Supongamos que Sno tiene una r-red finita. Vamos a definir una sucesión {xn}n∈N, de forma inductiva, tal que d(xn,xm)>rpara todo n6=m. En primer lugar, como S6=∅, ya que sino ∅sería una r-red finita, podemos escoger x1∈S. Supongamos ahora que x1,x2,..., xnya han sido escogidos. Como por hipótesis {x1,..., xn} no es una r-red, podemos tomar xn+1tal que d(xj,xn+1)>rpara todo 1 ≤j≤n. Veamos que la sucesión {xn}n∈Nno tiene punto de acumulación, lo que supondría una contradicción pues Ses secuencialmente compacto. Por reducción al absurdo, supongamos que existe un punto de acumulación x. Por ser punto de acumulación tendríamos que en la bola Br 2(x)contendría dos puntos de la sucesión lo cual es imposible pues la distancia entre dos puntos de la sucesión es estrictamente mayor que r.
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Índice alfabético A atractor extraño, 55 autosimilitud exacta, 45 B Borel-medible, 32 borelianos, 17 C caos, 57 compacidad de punto límite, 42 secuencial, 42 condición del conjunto abierto, 46 conjugación topológica, 58 conjunto de Besicovitch, 60 de Borel, 17 de Cantor, 2, 11, 51 de Julia, 58 de Mandelbrot, 58 invariante, 41 medible, 15 conjuntos positivamente separados, 17 constante de Feigenbaum, 58 continuidad de la medida, 14 contracción, 41 cuenca de atracción, 55 curva, 36 de Koch, 2, 51 rectificable, 36 D δ-recubrimiento, 8 δ-vecindad, 41 densidad, 31 convexa superior, 32 diámetro, 8 diagrama de bifurcación, 57 de coweb, 56 dimensión de conteo de cajas, 9 de Hausdorff, 3, 27 de similitud, 46 topológica, 8 distancia de Hausdorff, 41 E Estabilidad finita, 12 F fractal, 4 función de Cantor, 30 H hoja de Barnsley, 54 I irregularidad, 31 J juego del caos, 45 L longitud de una curva, 36 M Método I, 19 Método II, 21 medida, 14 medida de Lebesgue n-dimensional, 21 exterior, 15 regular, 17 métrica exterior, 17 medida s-dimensional de Hausdorff, 22 modelo logístico, 56 moviminto Browniano, 60 P problema de Kakeya, 60 proporción de una similitud, 45 R r-red, 42 rectificación numerable, 39 recubrimiento de Vitali, 24 refinamiento, 7
76 ÍNDICE ALFABÉTICO regularidad, 31 S s-conjunto, 28 σ-álgebra, 13 σ-álgebra generada por C, 14 σ-aditividad, 14 σ-subaditividad, 15 similitud, 45 sistema iterativo de funciones, 41 T tangente, 39 Teorema del Collage, 53 triángulo de Sierpinski, 2, 11, 51 V volumen n-dimensional, 21 Y Y-conjunto, 37 Z Z-conjunto, 37