Una breve incursión en la teoría ergódica

Traballo Fin de Grao UNA BREVE INCURSIÓN EN LA TEORÍA ERGÓDICA Yago Varela-Portas Álvarez Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao UNA BREVE INCURSIÓN EN LA TEORÍA ERGÓDICA Yago Varela-Portas Álvarez Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA iii iv Trabajo propuesto Área de Coñecemento: ANÁLISIS MATEMÁTICO Título: UNA BREVE INCURSIÓN EN LA TEORÍA ERGÓDICA Breve descrición do contido Un sistema dinámico es, esencialmente, un espacio topológico en el cual los puntos están moviéndose con el tiempo. Tal vez, uno de los ejemplos más conocidos sea el flujo asociado a una cierta ecuación diferencial. Aunque esta evolución sea determinista, podría ser lo suficientemente complicada o caótica como para no poder extraer información a partir del estudio individual de los puntos del espacio. En este caso, la Teoría Ergódica ofrece un enfoque alternativo, a través de la teoría de la topología y la teoría de la medida/probabilidad, y permite deducir comportamientos promedio o propiedades válidas para casi todo punto del sistema. El objetivo de este trabajo es proporcionar una introducción a la Teoría Ergódica, así como a alguno de los resultados fundamentales de la misma como pueden ser el Teorema de Recurrencia de Poincaré o el Teorema Ergódico de Birkhoff. Recomendacións Si bien todas las herramientas que se utilizarán son de carácter elemental, aparecerán conceptos de muy diversas ramas de las Matemáticas: topología, ecuaciones diferenciales, teoría de la medida, probabilidad... Outras observacións Índice Resumen vii Introducción ix 1. Teoría de la medida y teorema de recurrencia de Poincaré 1 1.1. Espaciosdemedida................................... 1 1.2. Transformaciones que preservan medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Ejemplos de transformaciones que preservan medidas . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Recurrencia....................................... 10 1.3.1. Ejemplo de transformación que verifica el teorema de recurrencia de Poincaré. 11 2. Ergodicidad 15 2.1. ElteoremadeBirkhoff................................. 15 2.2. Transformaciones ergódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Transformaciones únicamente ergódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Bibliografía 29 v Resumen La dinámica es el estudio de los sistemas que evolucionan en el tiempo. Cuando esta evolución es lo suficientemente complicada o caótica para abordar el estudio centrándonos individualmente en cada punto del espacio, haremos uso de la teoría ergódica. La teoría ergódica es el estudio de los sistemas dinámicos desde la perspectiva de la topología, la teoría de la medida y la probabilidad, que permite obtener comportamientos promedio y propiedades del sistema a partir de ciertas características que veremos, como pueden ser la recurrencia y las órbitas de las transformaciones. El objetivo de este trabajo será introducirnos en el marco de la teoría ergódica haciendo un estudio de los principales resultados y sus demostraciones. En especial, nos centraremos en el teorema probado en 1931 por George David Birkhoff y que lleva su nombre. Abstract Dynamics is the study of systems which evolve with respect to time. When this evolution is complicated or chaotic enough to do the study focusing individually on the different points of the space individually, we will use Ergodic Theory. Ergodic Theory is the study of dynamical systems from the perspective of topology, measure and probability theory which allows us to obtain average behaviour and properties from some features that we will see, such as recurrence and orbits of the transformations. The main goal of this work is to introduce the framework of ergodic theory doing a study of the main results and their proofs. Specially, we will focus on the theorem proven in 1931 by George David Birkhoff and which has his name. vii 2 1. Teoría de la medida y teorema de recurrencia de Poincaré En el siguiente resultado, probaremos que la intersección numerable de elementos de una σ-álgebra sigue siendo un elemento de una σ-álgebra. Proposición 1.2. Si Bes una σ-álgebra y {Bn}n∈N∈ B es una colección de elementos de la σ-álgebra, entonces la intersección T n∈N Bnes también un elemento de B. Demostración. Este resultado se obtiene directamente de las propiedades de la definición de σálgebra. En efecto, sea {Bn}n∈N⊂ B. Por la segunda propiedad, la colección formada por los complementarios de cada Bnes una colección de la σ-álgebra, es decir, {BC n}n∈N⊂ B. Por la tercera propiedad, tenemos lo mismo para la unión, S n∈N BC n∈ B, y, de nuevo, por la propiedad 2, (S n∈N BC n)C∈ B. Por último, aplicando leyes de Morgan obtenemos el resultado deseado para la intersección, T n∈N Bn∈ B. Definición 1.3. Sea Xun conjunto no vacío y Buna σ-álgebra definida en X. Al par (X, B)lo llamaremos espacio medible. Definición 1.4. Sea Xun conjunto y Buna σ-álgebra de conjuntos de X, entonces, una función m:B −→ [0,+∞]es una medida si cumple: 1. m(∅)=0. 2. 0 ≤m(B)≤+∞para todo B∈ B. 3. Si {Bn}n∈N⊂ B es una colección de elementos disjuntos de B, entonces, mS n∈N Bn= = ∞ P n=1 m(Bn). Teorema 1.5. Sea Bla σ-álgebra de Borel de Rn. Entonces, existe una única medida λ:B −→ [0,+∞]tal que, para cada A:= (a1, b1)×... ×(an, bn), con ai, bi∈Ryai< bi, se tiene que λ(A) = (b1−a1)·... ·(bn−an). Esta medida se conoce como la medida de Lebesgue. Definición 1.6. Un espacio de medida es un triple (X, B, m), donde (X, B)es un espacio medible ym:B −→ [0,+∞]una medida definida en (X, B). Si m(X) = 1,(X, B, m)será un espacio de probabilidad. En ese caso, mserá una medida de probabilidad. Definición 1.7. Sea (X, B, m)un espacio de medida. Decimos que el subconjunto Bde Xes de medida cero si existe un subconjunto B1∈ B tal que B⊂B1ym(B1) = 0. Una propiedad aplicable a puntos de un conjunto S⊂Xvale “ para casi todo punto x∈S” (c.t.p) o vale “ casi por doquier ” si el conjunto de los puntos de Sdonde la propiedad es falsa es de medida cero. 1.1. Espacios de medida 3 Teorema 1.8. Dado un espacio de medida (X, B, m)se tendrá que: 1. Si A, B ∈ B son tales que A⊂B, entonces m(A)≤m(B). 2. Si A, B ∈ B son tales que A⊂Bym(A)<∞entonces, m(B\A) = m(B)−m(A). 3. Si A, B ∈ B son dos conjuntos cualesquiera, entonces, m(A∪B)≤m(A) + m(B). Demostración. Demostramos cada uno de los puntos por separado: 1. Se tiene que B=A∪(B\A), además, A∩(B\A) = ∅, por lo tanto, m(B) = m(A)+m(B\A) de donde deducimos que m(B)≥m(A)ya que m(B\A)≥0. 2. Como m(A)<∞tiene sentido la resta m(B)−m(A) = m(A)+m(B\A)−m(A) = m(B\A). 3. Se tiene que A∪B=A∪(B\A), siendo esta una unión disjunta. Por lo tanto, m(A∪B) = m(A) + m(B\A)≤m(A) + m(B). La última desigualdad es consecuencia del hecho que B\A⊂By del primer punto. Definición 1.9. Sean AyBdos conjuntos medibles. Se define la diferencia simétrica de conjuntos medibles como: A∆B= (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A). En la siguiente proposición probamos la desigualdad triangular en diferencias simétricas de conjuntos medibles. Proposición 1.10. Sean A,ByCtres conjuntos medibles y muna medida. Entonces, se cumple la siguiente desigualdad: m(A∆B)≤m(A∆C) + m(C∆B). Demostración. Solo tendremos que verificar que A∆B⊆(A∆C)∪(C∆B). Una vez se prueba esto, la desigualdad se obtiene directamente de las propiedades de las medidas. Sea x∈A∆B. Por la definición de la diferencia simétrica, se tiene que, o bien x∈A\B, o bien, x∈B\A. Supongamos que x∈A\B. Como x∈A\B, tenemos que x∈Ayx /∈B. Separamos dos casos: i) Si x /∈C, tenemos que x∈A∆C. 4 1. Teoría de la medida y teorema de recurrencia de Poincaré ii) Si x∈C, tenemos que x /∈A∆C, y como x /∈B, entonces nos queda que x∈C∆B En cualquier caso, x∈(A∆C)∪(C∆B)y tendríamos ya probada la desigualdad. El caso en el que x∈B\Ase obtiene de manera análoga. Vamos a definir lo que es el espacio L1, que será un conjunto de funciones con ciertas características. Esta funciones las utilizaremos a lo largo del trabajo, en especial en el segundo capítulo. Definición 1.11. Dadas dos funciones medibles fygdefinidas en (X, B, m). Diremos que son equivalentes si son iguales casi para todo punto. Lo denotaremos por f∼g. Se puede ver fácilmente que esta es una relación de equivalencia, por lo que podremos definir sus clases de equivalencia. Definición 1.12. Denotaremos por [f]a la clase de equivalencia de f y la definiremos como [f] = {g:f∼g}. Definición 1.13. Definiremos el espacio L1(X, B, m)como el conjunto de todas las clases de equivalencia de funciones medibles definidas en (X, B, m)y dotado de la siguiente norma: ||[f]|| =||f|| =Z|f|dm. Teorema 1.14 (Teorema de convergencia dominada).Sea (fn)una sucesión de funciones medibles definidas en Xque convergen c.p.t. a una función medible f. Si existe una función integrable g∈L1(X, B, m)tal que |fn| ≤ gpara todo nnatural y para casi todo punto, entonces las funciones l´ım sup n→∞ fn(x)yl´ım inf n→∞ fn(x) son integrables y verifican ZX l´ım sup n→∞ fndm≥l´ım sup n→∞ ZX fndm, ZX l´ım inf n→∞ fndm≤l´ım inf n→∞ ZX fndm. En particular, si (fn)converge c.p.t. tenemos que ZX l´ım n→∞ fndm= l´ım n→∞ ZX fndm. Un espacio de medida se suele construir tomando una colección Lde subconjuntos de X, como por ejemplo los abiertos en [0,1], como haremos más adelante en el ejemplo del operador 1.1. Espacios de medida 5 shift al final de la sección 1.3 sobre recurrencia. Una vez que se define L, se considera la menor σ-álgebra, B, que contiene a los elementos de L. Esto nos lleva a preguntarnos qué características debe tener esta colección L. Debido a esto, introduciremos las definiciones de semi-álgebra y de álgebra. Definición 1.15. Una colección Lde conjuntos de Xes una semi-álgebra si satisface las siguientes propiedades: 1. ∅∈L. 2. Para cualesquiera A, B ∈ L se tiene que A∩B∈ L. 3. Para todo A∈ L, el complementario ACse puede expresar como unión finita disjunta de elementos de L. Ejemplo 1.16. Podemos dar los siguientes ejemplos de semi-álgebras: En Rconsideramos la colección de conjuntos de la forma (a, b],(−∞, a], ó (b, +∞)con a, b ∈Rya < b. Veamos que, en efecto, esta colección forma una semi-álgebra de R. Primero, se deduce trivialmente que ∅∈L. Ahora, tomamos dos elementos de la colección, como pueden ser A= (a1, b1]yB= (a2, b2], la intersección de estos dos conjuntos es A∩B= (m´ax{a1, a2},m´ın{b1, b2}]que es un subconjunto de L. Además, R\A= (−∞, a1]∪(b1,+∞) que es una colección de conjuntos disjuntos de L. Lo mismo se puede probar si tomamos conjuntos de la forma (−∞, a]ó(b, +∞]. Queda así demostrado que esta colección es una semi-álgebra definida en R. Sea Xun conjunto tal que ∅ ∈ X, la colección L=Xformado por un único conjunto es una semi-álgebra. Definición 1.17. Una colección Ade conjuntos de Xes una álgebra si cumple las tres propiedades siguientes: 1. ∅∈A. 2. Si AyBson dos conjuntos de A, entonces la intersección A∩Bes también un elemento de A. 3. Si A∈ A, entonces el complementario X\Atambién pertenece a A. Podemos sustituir la propiedad (2) por la condición que dados A1, ..., An∈ A entonces, la unión n S i=1 Ai∈ A. 6 1. Teoría de la medida y teorema de recurrencia de Poincaré Notemos que, toda álgebra es una semi-álgebra y toda σ-álgebra es una álgebra. Esto último junto con el hecho que la intersección de elementos de una σ-álgebra es elemento de la σ-álgebra, que probamos en la proposición 1.2, nos lleva a deducir que la intersección de una colección de álgebras de Xes también una álgebra de X. Deducimos así el concepto de álgebra generada por un subconjuntos de X. Veamos el siguiente teorema que nos caracteriza el concepto de álgebra generada por una semi-álgebra. Teorema 1.18. Sea Luna semi-álgebra de conjuntos de X. El álgebra A(L)generada por L está formado por los conjuntos de Xque pueden ser escritos de la forma E= n S i=1 Aidonde los Aison elementos disjuntos de L. Definición 1.19. Sea Luna semi-álgebra de conjuntos de X. Una función τ:L −→ R+se llama aditiva o finitamente aditiva si cumple: 1. τ(∅) = 0. 2. Si {Ei}n i=1 es una colección de elementos disjuntos de L, entonces, τ( n S i=1 Ei) = n P i=1 τ(Ei). Diremos que τes σ-aditiva o contable aditiva si la segunda condición se puede sustituir por τ( ∞ S i=1 Ei) = ∞ P i=1 τ(Ei). Por ejemplo, si consideramos la semi-álgebra de los subconjuntos de [0,1] de la forma [0, b]y (a, b], entonces la función longitud definida como λ(a, b] = b−aes σ-aditiva. Teorema 1.20. Sea Luna semi-álgebra de conjuntos de Xyτ:L −→ R+una función finitamente aditiva. Entonces, existe una única función finitamente aditiva τ1:A(L)−→ R+que es extensión de τaA(L), es decir, τes la restricción de τ1al conjunto L. Además, si τes σ-aditiva, también lo será τ1. Puede ocurrir que x /∈ L, no obstante, Xes unión disjunta de un número finito de miembros A1, ..., Ande Ly, así, τ1(X) = n P i=1 τ(Ai). Tenemos el siguiente teorema sobre la extensión de una álgebra Aa una σ-álgebra B(A) generada por A.B(A)será la intersección de todas las σ-álgebras que contengan a A. Teorema 1.21 (Teorema de extensión de Hahn-Kolmogorov).Sea Luna semi-álgebra de subconjuntos de X y B(L)la σ-álgebra generada por L. Sea τ0:L −→ [0,1] una medida. Entonces existe una única medida τ:B(L)−→ [0,1] que extiende a τ0. Teorema 1.22 (Teorema de Aproximación).Sea (X, B, m)un espacio de medida y A0un álgebra que genera B. Entonces para todo B∈ B tal que m(B)<∞y para todo ϵ > 0, existe un A0∈ A0tal que m(B∆A0)< ϵ. 1.2. Transformaciones que preservan medidas 7 Teorema 1.23. Sea Aálgebra definida en Xyτ1:A −→ R+una función σ-aditiva. Entonces, hay una única medida de probabilidad τ2definida en el espacio medible (X, B(A)) que extiende aτ1. Combinando los teoremas 1.20 y 1.23 vemos que una función τque es σ-aditiva definida en una semi-álgebra Lpuede ser extendida de manera única a una medida de probabilidad definida en (X, B(L)) si n P i=1 τ(Ei) = 1 siempre que X= n S i=1 Ei, siendo {Ei}n i=1 una colección disjunta de elementos de L. Por ejemplo, la función de longitud definida en la semi-álgebra de los subconjuntos de [0,1] de la forma [0, b]y(a, b]puede ser extendida de manera única por la medida de Lebesgue definida en los borelianos de [0,1]. 1.2. Transformaciones que preservan medidas Definición 1.24. Sean (X1,B1, m1) y (X2,B2, m2) espacios de probabilidad. Una transformación T: (X1,B1)−→ (X2,B2)es medible si T−1(B2)⊂ B1, es decir, si B2∈ B2, entonces, T−1(B2)∈ B1. Si X1yX2son espacios topológicos, decimos que T:X1−→ X2es medible si lo es con respecto a las σ-álgebras de los borelianos. Una transformación T:X1−→ X2preserva medidas si Tes medible y m1(T−1(B2)) = m2(B2)para todo B2∈ B2. T:X1−→ X2es una transformación invertible que preserva medidas si Tpreserva medidas, es biyectiva y la inversa T−1también preserva medidas. Observación 1.25. Se tiene que especificar el espacio de medida en el que se define la transformación, no solo el conjunto. Esto se debe a que en una transformación T: (X1,B1, m1)−→ (X2,B2, m2)la propiedad de preservar medidas depende de B1,B2, m1 ym2. Si T: (X1,B1, m1)−→ (X2,B2, m2)yS: (X2,B2, m2)−→ (X3,B3, m3)preservan medidas, entonces la composición S◦T: (X1,B1, m1)−→ (X3,B3, m3)también preserva medidas. Probemos este hecho: Para ver que S◦Tpreserva medidas, tal y como las hemos definido, tenemos que ver que es medible y, además, que m1((S◦T)−1(B3)) = m3(B3)para todo B3∈ B3. 8 1. Teoría de la medida y teorema de recurrencia de Poincaré En efecto, S◦Tes medible ya que, para todo B3∈ B3, se tiene que (S◦T)−1(B3) = =T−1(S−1(B3)) que es un elemento de B1ya que TySson medibles. Por último, m1((S◦T)−1(B3)) = m1(T−1(S−1(B3))) = m2(S−1(B3)) = m3(B3). Por lo tanto, S◦Tpreserva medidas. En la sección 1.3 de recurrencia, nos interesarán aquellas transformaciones donde (X1,B1, m1) = (X2,B2, m2)ya que estudiaremos las iteraciones de la transformación T, es decir, los Tnpara ciertos nnaturales. Si T:X−→ Xes una transformación que preserva medidas en (X, B, m), entonces diremos que Tpreserva mo que mes T-invariante. Además, en estos casos, se dirá que el sistema (X, B, m, T)es un sistema dinámico medible. Proposición 1.26. Sean (X1,B1)y(X2,B2)dos espacios medibles, T:X1−→ X2una transformación y Cuna familia de subconjuntos de X2tal que la σ-álgebra generada por Ces B2. Si para cada C∈ C se tiene que T−1(C)∈ B2, entonces Tes medible. Corolario 1.27. De la proposición anterior se sigue que toda función continua T:X1−→ X2 entre espacios topológicos es medible. Por lo general, resulta poco útil en la práctica comprobar que una transformación preserva medidas utilizando únicamente la definición. Esto se debe principalmente a que no se conocen los elementos que forman la σ-álgebra con la que se está trabajando. Sin embargo, resulta más sencillo conocer los elementos de una semi-álgebra que genera la σ-álgebra indicada. En el siguiente teorema veremos una manera de caracterizar las transformaciones que preservan medidas. Teorema 1.28. Sean (X1,B1,m1)y(X2,B2,m2) espacios de medida σ-finitos, T:X1−→ X2una transformación y L2una semi-álgebra que genera B2. Si para cada A2∈ L2, se tiene T−1(A2)∈ B1ym1(T−1(A2)) =m2(A2), entonces Tpreserva medidas. Demostración. El hecho de que Tsea medible se obtiene directamente de la proposición 1.26. Veamos que Tpreserva medidas. Sea ˜m2:B2−→ [0,∞]la medida definida como: ˜m2(A2) = m1(T−1(A2)). Por hipótesis, ˜m2|L2=m2. Por el teorema 1.21, m2es la única extensión de la medida ˜m2|L2. Luego ˜m2=m2y, en conclusión, Tpreserva medidas. 1.2. Transformaciones que preservan medidas 9 1.2.1. Ejemplos de transformaciones que preservan medidas La identidad en (X, B, m). Definimos esta transformación como id : (X, B, m)−→ (X, B, m) tal que para cada x∈X,id(x) = x. Tenemos que, para cualquier subconjunto Bde B, id−1(B) = B, lo que prueba que la identidad es una transformación medible. Además, tomando cualquier medida definida en X,m(id−1(B)) = m(B)para todo subconjunto B de B, por lo tanto la identidad es, en efecto, una transformación que preserva medidas. Ver [4]. Sea (X, B, λ), siendo X= [0,1),Bla σ-álgebra de Borel y λla medida de Lebesgue. Definimos la transformación T:X−→ Xcomo: T(x)=2xmod 1 =      2x, si 0≤x < 1 2 2x−1,si 1 2≤x < 1 Tomando un intervalo de la forma [a, b), entonces: T−1[a, b) = a 2,b 2∪a+ 1 2,b+ 1 2 lo cual prueba que Tes medible. Luego observamos que además, λ(T−1[a, b)) = λa 2,b 2+λa+ 1 2,b+ 1 2=b 2−a 2+b+ 1 2−a+ 1 2= =b−a=λ([a, b)) por lo que Tpreserva la medida. Ver [3]. Definamos la transformación de Gauss como T: [0,1) −→ [0,1) tal que: T(x) =      1 x=1 x−1 x,si x > 0 0,si x= 0 Consideremos la medida men la σ-álgebra de Borel definida por m(A) = ZA dx x+ 1. Para ver si Tpreserva m, es suficiente probar que si [a, b]⊂[0,1], entonces, m(T−1[a, b]) = m[a, b] = log 1 + b 1 + a. 10 1. Teoría de la medida y teorema de recurrencia de Poincaré Ahora bien, T−1[a, b] = ∞ S n=1 1 b+n,1 a+n, entonces, m(T−1[a, b]) = ∞ X n=1 log (a+n+ 1)(b+n) (b+n+ 1)(a+n)= ∞ X n=1 log a+n+ 1 b+n+ 1 −log a+n b+n = l´ım n→∞ log a+n+ 1 b+n+ 1 −log a+ 1 b+ 1 = log b+ 1 a+ 1. Concluyendo que Tpreserva m. 1.3. Recurrencia En esta sección consideraremos un sistema dinámico medible (X, B, m, T). Dada la transformación T, para un punto xde Xestudiaremos las iteraciones de T, es decir, para un número natural n, definimos la iteración n-ésima de Ten xcomo Tn(x)=(T◦...◦T)(x), es decir, la composición de T n veces. Para n= 0,T0(x) = id(x)y para un nnegativo, Tn(x)=(T−1◦...◦T−1)(x). Supondremos que en el instante inicial el sistema se encuentra en el estado xy, en cada instante, iteraremos el punto con la transformación Tde tal forma que, en el instante n-ésimo, el sistema se encontrará en el estado Tn(x). Surge así el concepto de órbitas de T. Si x∈X, la órbita futura de xes: o+(x) = {Tn(x) : n≥0}. Si Tes invertible, se puede definir de manera análoga la órbita pasada o−(x)y la órbita o(x) que es la unión de las dos anteriores. Un punto es fijo si es el único punto de su órbita y un punto es periódico si su órbita es finita. Para un estudio más detallado ver [5]. En el estudio de esta sección nos centraremos en las propiedades asintóticas de las órbitas. Veremos que un punto es recurrente si su órbita pasa infinitas veces por un entorno del punto. Finalmente veremos el teorema de recurrencia de Poincaré que establece que bajo ciertas hipótesis, casi todo punto de un conjunto vuelve al conjunto después de iteraciones de T. Definición 1.29. Sea (X, B, m)un espacio de probabilidad y Tuna transformación. Sea B∈ B yx∈B. Diremos que xes recurrente en Bpor iteración de Tsi existe una sucesión de infinitos números naturales {ki}i∈N⊂Ntal que Tki(x)∈Bpara todo kide la sucesión. Teorema 1.30. Dado un espacio de medida (X, B, m), se tiene que, si existe {Fn}n∈N⊂ B con Fk⊃Fk+1,∀k∈Nym(F1)<+∞, entonces, m \ n∈N Fn!= l´ım n→∞ m(Fn). 1.3. Recurrencia 11 Teorema 1.31 (Teorema de recurrencia de Poincaré).Sea T:X−→ Xuna transformación que preserva medidas en el espacio de probabilidad (X, B, m). Sea E∈ B tal que m(E)>0. Entonces, casi todo punto de Evuelve a Etras un número finito de iteraciones de T, es decir, existe F⊂Econ m(F) = m(E)tal que para cualquier x∈F, existe una sucesión estrictamente creciente de números naturales n1, n2, n3, ... tales que Tni(x)∈Fpara cada inatural. El teorema de recurrencia de Poincaré nos dice que dada una transformación que preserva medidas en un espacio de medida y un subconjunto medible del dominio de dicha transformación, entonces casi todo punto del subconjunto regresa infinitas veces a él tras iteraciones de la transformación. Veamos ahora la demostración del teorema. Demostración. Para N≥0, sea EN= ∞ S n=N T−n(E). Por lo que G= ∞ T N=0 Enes el conjunto de los puntos de Xque son recurrentes en Epor iteración de T. Entonces el conjunto F=E∩Gestá formado por todos los puntos de Eque son recurrentes en E. Si x∈Fexisten n1< n2< n3< ... tales que Tni(x)∈Epara todo i. Para cada i∈Ntenemos Tni(x)∈Fporque Tnj−ni(Tni(x)) ∈ Epara todo j∈N. Falta probar que m(E) = m(F): Como Tpreserva medidas, tenemos que m(EN) = m(EN+1), y, por tanto, m(E0) = m(EN) para todo N∈N. Como E0⊃E1⊃E2⊃..., tenemos que m(G) = m(E0), ya que, por el teorema 1.30, m(G) = m( ∞ T N=0 EN) = l´ım N→∞ m(EN) = m(E0). Como G⊂E0,m(E0\G) = 0. Entonces, m(E) = m(E∩E0) = m(E∩(G∪(E0\G))) = m((E∩G)∪(E∩(E0\G))) = m(E∩G) = m(F). De la última cadena de igualdades, la primera igualdad se obtiene de E⊂E0, la segunda de G⊂E0y la cuarta de m(E0\G)=0 1.3.1. Ejemplo de transformación que verifica el teorema de recurrencia de Poincaré. Veamos el operador shift como caso particular en el que se verifica el teorema de recurrencia. Tomaremos el conjunto Ω = {0,1, ..., 9}Nque se puede identificar con los números reales entre el 0 y el 1. Podría denotarse como el conjunto definido por {x= 0.(xi)i∈N:∀i∈N, xi∈ {0,1, ..., 9}}. Así vemos que los números reales entre 0 y 1 los podremos denotar con su expansión decimal como x= 0.x1x2x3... con xi∈ {0,1, ..., 9}para cada i. Para este ejemplo particular de operador shift podríamos tomar también el conjunto Σ = AN={x= (xi)i∈N:∀i∈N, xi∈ A} con A={0,1}. Vemos que el conjuntos Σson las sucesiones de ceros y unos que se utilizaría para la expresión binaria de los números de Ω. Sin embargo, por simplicidad utilizaremos Ω. 18 2. Ergodicidad Sea E∈B. Para un x∈X, nos podemos preguntar con qué frecuencia los elementos de {x, T(x), T2(x), ...}caen en E.Ti(x)∈Esi χE·Ti(x) = 1. Por tanto el número de elementos {x, T(x), ..., Tn−1(x)}en Ees n−1 P i=0 χETi(x), la frecuencia relativa es 1 n n−1 P i=0 χETi(x). Vemos que el límite de esta frecuencia relativa, en caso de existir, sería l´ım n→∞ 1 n n−1 P i=0 χETi(x), es decir, el promedio orbital de χE. El promedio orbital de la función característica del conjunto Ese denota por τEy a τE(x)se llama promedio temporal de estadía de xen E. Este valor converge a m(E)casi por doquier. Es decir, se puede expresar el promedio temporal de estadía de xen Ecomo: τE(x) = l´ım n→∞ 1 n#{0≤j≤n−1 : Tj(x)∈E}. y se tiene que ZX τEdm=m(E). 2.2. Transformaciones ergódicas Definición 2.6. Sea Tuna transformación que preserva las medidas en un espacio de probabilidad (X, B, m). Un conjunto B∈ B es T-invariante si T−1(B) = B. Veamos una propiedad importante de los conjuntos T-invariantes. Proposición 2.7. Sea Bun conjunto T-invariante, entonces se tiene que m(T−1(B)∆B) = 0. Demostración. Si T−1(B) = B, entonces, T−1(B)\B=∅=B\T−1(B), lo que implica que m(T−1(B)\B) = 0 = m(B\T−1(B)) de donde obtenemos la igualdad m(T−1(B)∆B)=0. Definición 2.8. Una transformación Tes ergódica si todo conjunto T-invariante tiene medida 0 ó 1. Dicho de otra forma, una transformación Tque preserva medidas en el espacio de probabilidad (X, B, m)es ergódica si los únicos elementos Bde Blos cuales T−1(B) = Bcumplen que m(B)∈ {0,1}. Observación 2.9.El teorema ergódico implica que los promedios orbital y espacial son iguales para casi todo punto y para todo f∈L1(X)si Tes ergódica. 2.2. Transformaciones ergódicas 19 Lema 2.10. Sea T:X−→ Xuna transformación que preserva medidas de un espacio de probabilidad (X, B, m). Sea A0un álgebra que genera ByA, B ∈ B. Entonces, para todo ϵ > 0 existen A0, B0∈ A0tales que para todo entero j≥0: 1. |m(A)·m(B)−m(A0)·m(B0)|< ϵ. 2. |m(T−j(A∩B)) −m(T−j(A0∩B0))|< ϵ. Demostración. Sea ϵ > 0dado y sean A, B ∈ B. Usando el teorema de aproximación 1.22, escogemos A0, B0∈ A0con m(A∆A0)<ϵ 2,m(B∆B0)<ϵ 2y |m(A)·m(B)−m(A0)·m(B0)|< ϵ. Para todo j≥0,(T−j(A∩B))∆(T−j(A0∩B0)) ⊂(T−j(A)∆T−j(A0)) ∪(B∆B0), de este modo obtenemos que m((T−j(A∩B))∆(T−j(A0∩B0))) < ϵ y queda así probado. Hay varias formas de expresar la condición de ergodicidad. En el siguiente teorema veremos una de estas formas. Esta, en particular, trata el concepto de órbita densa (enunciados 3 y 4 del teorema). Teorema 2.11. Sea T:X−→ Xuna transformación que preserva medidas en el espacio de probabilidad (X, B, m). Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes: 1. T es ergódica. 2. Los únicos elementos Bde Bcon m(T−1(B)∆B)=0son aquellos cuya medida es 0 ó 1. 3. Para todo A∈ B con m(A)>0, se tiene que m∞ S n=1 T−n(A)= 1. 4. Para todo A, B ∈ B con m(A)>0ym(B)>0, existe un número natural n > 0tal que m(T−n(A)∩B)>0 Demostración. (1) ⇒(2) Sea B∈ B ym(T−1(B)∆B) = 0. Queremos construir un conjunto B∞tal que T−1(B∞) = =B∞ym(B∞∆B) = 0. Para cada n≥0tenemos que m(T−n(B)∆B) = 0 ya que T−n(B)∆B⊂ n−1 S i=0 T−(i+1)(B)∆T−i(B) = n−1 S i=0 T−i(T−1(B)∆B)y, por lo tanto, m(T−n(B)∆B)≤n·m(T−1(B)∆B). Sea B∞= ∞ T n=0 ∞ S i=n T−i(B). Por las propiedades de la medida, sabemos que m(B∆ ∞ S i=n T−i(B)) ≤ ∞ P i=n m(B∆T−i(B)) = 0 para cada n≥0. Como los conjuntos ∞ S i=n T−i(B)son decrecientes en 20 2. Ergodicidad ny cada uno tiene medida igual a B, por el teorema 1.30 tenemos que m(B∞∆B) = 0, lo que implica que m(B∞) = m(B). Además, tenemos que T−1(B∞) = ∞ T n=0 ∞ S i=n T−(i+1)(B) = = ∞ T n=0 ∞ S i=n+1 T−i(B) = B∞. Como Tes ergódica, tenemos que la medida de B∞tiene que ser 0 ó 1. (2) ⇒(3) Sea A∈ B tal que m(A)>0. Definimos A1= ∞ S n=1 T−n(A). Tenemos que T−1(A1)⊂A1y, como m(T−1(A1)) = m(A1), se tiene que m(T−1(A1)∆A1)=0. Por el enunciado 2, sabemos que la medida de A1es 0 ó 1. Sin embargo, no puede ser que m(A1)=0ya que T−1(A)⊂A1y m(T−1(A)) = m(A)>0. Por lo tanto, m(A1)=1. (3) ⇒(4) Sean AyBelementos de Btales que m(A)>0ym(B)>0. Por el enunciado 3, tenemos que m∞ S n=1 T−n(A)= 1, lo que implica que 0< m(B) = mB∩∞ S n=1 T−n(A)= =m∞ S n=1 (B∩T−n(A). Por lo tanto, m(B∩T−n(A)) >0para algún n≥1. (4) ⇒(1) Supongamos que B∈ B yT−1(B) = B. Supongamos que 0< m(B)<1. Entonces, 0 = m(B∩(X\B)) = m(T−n(B)∩(X\B)) para todo n≥1, que contradice el enunciado 4. Concluimos que Tes ergódica siguiendo la definición. Definición 2.12. Una función f∈L1(X)es T-invariante si f◦T=fen casi todo punto de X. Proposición 2.13. Las siguientes propiedades son equivalentes: 1. Si f∈Lp(X)es T-invariante, entonces f es constante en casi todo punto; 2. Tes ergódico; 3. Si f∈L1(X)es T-invariante, entonces f es constante en casi todo punto; 4. Para toda función f∈L1(X),f∗=RXfdmen casi todo punto de X. 5. Para todo A, B ∈ B, se tiene l´ım n→∞ 1 n n−1 X j=0 m(T−j(A∩B)) = m(A)m(B). Demostración. (1) ⇒(2). 2.2. Transformaciones ergódicas 21 Si A∈ B es T-invariante, su función característica χAes T-invariante y es una función Lp(X). De este modo, χAes constante en casi todo punto, es decir, m(A) = 0 ó1, por lo que T es ergódica. (2) ⇒(3). Supongamos que f∈L1(X)es T-invariante y que no es constante en casi todo punto. Entonces, existe un c∈Rtal que Bc={x:f(x)≤c}satisface que 0< m(Bc)<1. Sin embargo, dado y∈T−1(Bc), se tiene, por hipótesis, que c≥f(T(y)) ≥f(y)para casi todo punto y∈T−1(B). Así, m(T−1(Bc)\Bc) = 0, y como también m(T−1(Bc)) = m(Bc)porque Tpreserva medidas, concluímos que Bces T-invariante y, al ser Tergódico, m(Bc) = 0 ó1, llegando así a una contradicción. (3) ⇒(4). Como f∗está en L1(X)y es T-invariante, es constante. Por el teorema de Birkhoff, se tiene que RXf∗dm=RXfdmy queda así probado. (4) ⇒(5). Por el teorema de Birkhoff, l´ım n→∞ 1 n n−1 P i=1 χA(Ti(x)) = χ∗ A=RXχA=m(A)para casi todo punto. Por el teorema de convergencia dominada, m(A)m(B) = ZX l´ım n→∞ 1 n n−1 X i=0 χA(Ti(x))!χBdm = l´ım n→∞ 1 nZX n−1 X i=0 χA(Ti(x))χBdm = l´ım n→∞ 1 n n−1 X i=0 m(Ti(A∩B)). (5) ⇒(2). Si Aes T-invariante, aplicamos (4) a los conjuntos AyAc. Obteniendo m(A)m(Ac) = l´ım n→∞ n−1 P i=0 m(Ti(A∩Ac)) = 0, lo que implica que m(A)=0ó1. (2) ⇒(1). Esta implicación es análoga a la (2) ⇒(3), donde vimos que ftiene que ser constante en casi todo punto si Tes ergódica. 22 2. Ergodicidad Corolario 2.14. Para todo A, B ∈ A se tiene que l´ım n→∞ 1 n n−1 X j=0 m(T−j(A)∩B) = ZτA·χBdm. Teorema 2.15. Sea (X, B, m, T)un sistema dinámico medible. Sean 1≤p≤ ∞ ySuna semi-álgebra que genera A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Tes ergódica. 2. Para toda función medible f:X−→ Rtal que (f◦T)(x)≥f(x)c.t.p se tiene que fes constante c.t.p. 3. Para toda función medible f:X−→ Cque sea T-invariante se tiene que fes constante c.t.p. 4. f∈Lpimplica que el promedio orbital f∗es constante c.t.p. 5. f∈Lpimplica que el promedio orbital f∗=Rfdmc.t.p. 6. Para todo B∈ B y para casi todo punto x∈X, m(B) = τB(x) = l´ım n→∞ 1 n#{0≤j≤n−1 : Tj(x)∈B}. siendo τAel promedio temporal de estadía de x en Bcomo vimos en la sección anterior. 7. Para todo A, B ∈Sse tiene l´ım n→∞ 1 n n−1 X j=0 m(T−j(A)∩B) = m(A)·m(B). Demostración. (1) ⇒(2) Sea f:X−→ Runa función medible tal que f◦T(x)≥f(x)c.t.p. Si fno es constante c.t.p entonces existe un número real c∈Rtal que el conjunto medible B={x:c≥f(x)} satisface 0< m(B)<1. Sin embargo, y∈T−1(B)implica por hipótesis que c≥f(T(y)) ≥f(y)c.t.p y∈T−1(B). Así, m(T−1(B)\B)=0y como también se tiene que m(T−1(B)) = m(B), ya que Tpreserva m, concluimos que m(T−1(B)∆B) = 0. Como Tes ergódica m(B)es 0 ó 1, llegando así a una contradicción. 2.2. Transformaciones ergódicas 23 (2) ⇒(3) Obvio. Como fes T-invariante, se tiene que f(T(x)) = f(x)c.t.p. y se llega de manera análoga a la implicación anterior. (3) ⇒(4) Obvio (4) ⇒(5) Dado que f∈Lp, como Lp⊂L1, se tiene que f∈L1. Aplicando el teorema ergódico de Birkhoff obtenemos f∗=Zf∗dm=Zfdmc.t.p . (5) ⇒(6) Como B∈ B yx∈B, entonces χB∈Lpy τB(x) = 1 n#{0≤j≤n−1 : Tj(x)∈B}=1 n n−1 X j=0 χB◦Tj(x). (6) ⇒(7) Por hipótesis y por el corolario 2.14, l´ım n→∞ 1 n n−1 X j=0 m(T−j(A)∩B) = ZτA·χB=m(A)·ZχB=m(A)·m(B). (7) ⇒(1) Como cada elemento del álgebra A0generada por Spuede ser escrita como unión disjunta de elementos de S(como ya vimos en el teorema 1.18). Con esto, la hipótesis (7) se tiene también para los elementos de A0. Sea ϵ > 0y sean A, B ∈ B, usando el lema 2.10, escogemos A0, B0∈ A0tales que para todo j≥0verifican |m(T−j(A∩B)) −m(T−j(A0∩B0))|< ϵ y |m(A)·m(B)−m(A0)·m(B0)|< ϵ Por la proposición 2.13, sabemos que existe el límite l´ım n→∞ 1 n n−1 X j=0 m(T−j(A∩B)). 24 2. Ergodicidad Por lo tanto, tenemos  l´ım n→∞ 1 n n−1 X j=0 m(T−j(A∩B)) −m(A0)·m(B0) = = l´ım n→∞ 1 n n−1 X j=0 m(T−j(A∩B)) −l´ım n→∞ n−1 X j=0 m(T−j(A0∩B0)) ≤ ≤l´ım n→∞ 1 n n−1 X j=0 m(T−j(A∩B)) −m(T−j(A0∩B0))≤ϵ y así,  l´ım n→∞ 1 n n−1 X j=0 m(T−j(A∩B)) −m(A)·m(B) ≤2ϵ. Como ϵfue escogido de manera arbitraria, la hipótesis (7) se verifica para todos los elementos de B. Si A∈ B es T-invariante, para todo j≥0,m(T−j(A)∆A)=0y de este modo m(T−j(A)∩Ac)=0donde se concluye que m(A)·m(Ac) = l´ım n→∞ 1 n n−1 X j=0 m(T−j(A)∩Ac) = 0. Por lo tanto, m(A)∈ {0,1}, con lo que queda probado. 2.2.1. Transformaciones únicamente ergódicas Definición 2.16. Sea Xun espacio métrico compacto. Denotamos por M(X)el conjunto de las medidas de probabilidad definidas en la σ-álgebra de Borel definida en X.M(X)es un conjunto compacto. Si Tes continua, denotamos por MT(X)al conjunto de las medidas m∈ M(X)que son T-invariantes, es decir, aquellas medidas las cuales Tlas preserva. Definición 2.17. Dada una aplicación continua T:X−→ Xdefinimos la aplicación T∗:M(X)−→ M(X)como (T∗m)(A) = m(T−1(A)). para cada conjunto de Borel Ade X.T∗es una aplicación continua. Hay casos en los que una transformación continua Tde un espacio métrico Xtiene una única medida invariante, es decir, #MT(X)=1. Estas transformaciones son las transformaciones únicamente ergódicas. Se puede probar que la transformación Tque cumple la condición 2.2. Transformaciones ergódicas 25 #MT(X)=1va a ser una transformación ergódica, por ello tiene sentido definir este tipo de transformaciones como únicamente ergódicas. El ejemplo más común son las traslaciones de grupos abelianos. Antes de ver este ejemplo necesitamos ver el concepto de grupo topológico. Definición 2.18. Un grupo topológico es una terna (G, τ, ·)que verifica: 1. (G, τ)es un espacio topológico. 2. (G, ·)es un grupo, no necesariamente abeliano. 3. La función G×G−→ Gque lleva un par (x, y)en x·yes continua. 4. La función G−→ Gque lleva un par xen x−1es continua. Definición 2.19. Sea Gun grupo topológico. Para cada x∈Gasociamos los homeomorfismos Lx:G−→ GyRx:G−→ G llamadas traslaciones por la izquierda y por la derecha respectivamente, y están definidas de la siguiente manera: Lx(y) := yx yRx(y) := xy. Una medida invariante por la izquierda en Ges una medida mdefinida en la σ-álgebra de Borel de Gque es invariante por todas las traslaciones por la izquierda y que, además verifica, para todo conjunto Ade Borel m(A) = ´ınf Uabierto U⊃A m(U) = sup Ccerrado C⊂A m(C). Teorema 2.20. Sea Gun grupo topológico abeliano y compacto y xun elemento de Gtal que el conjunto {nx :n∈Z}es denso en G. Entonces la traslación Lx:G−→ Ges únicamente ergódica. Demostración. Supongamos que mes una medida de probabilidad de M(X)invariante por Lx. Dado y∈G, definimos (nj)j≥1⊂Zuna sucesión de números enteros tales que njxconverge a y. Entonces para f∈C0(G), es decir, las funciones continuas definidas en G, como Lxpreserva m, tenemos que ZG fd(L∗ ym) = ZG f◦Lydm. Basta probar que l´ım j→∞ ZG f◦Lnjxdm=ZG f◦Lydm. (2.9) 26 2. Ergodicidad Para cada ϵ > 0existe un entorno Ude ytal que |f(y1)−f(y2)| ≤ ϵpara todo y2∈y1+U. Observamos que |(f◦Lnjx)(z)−(f◦Ly)(z)|=|f(z+njx)−f(z+y)|. Entonces, para jsuficientemente grandes, se tiene que njx−y∈Uy, así, obtenemos que ||(f◦Lnjx)−(f◦Ly)|| ≤ ϵ. y queda así probado 2.9. En conclusión, se tiene la sigiente cadena de igualdades ZG fd(L∗ ym) = l´ım j→∞ ZG (f◦Lnjx) dm= l´ım n→∞ ZG (f◦Lnj x) dm=ZG fdm. lo que implica que L∗ ym=mL−1 y=m. En el siguiente teorema caracterizamos las transformaciones únicamente ergódicas en términos del promedio orbital de funciones continuas. Teorema 2.21. Sea Xun espacio métrico compacto y T:X−→ Xuna aplicación continua. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes: 1. T es únicamente ergódica. 2. Para todo f∈C0(X), la sucesión de funciones 1 n+ 1 n X j=0 f◦Tj(2.10) converge uniformemente a una constante. 3. Para toda función f∈C0(X), el límite l´ım n→∞ 1 n+ 1 n X j=0 f(Tj(x)) existe para cada xy no depende de x. Demostración. (1) ⇒(2) Supongamos que no se cumple la condición del enunciado (2). Entonces existe una aplicación f∈C0(X)tal que la sucesión dada por 2.10 no converge uniformemente a ZX fdm, 2.2. Transformaciones ergódicas 27 donde mes el único elemento de MT(X). Entonces existe un ϵ > 0, una sucesión de enteros (ni)i≥1y una sucesión (xi)i≥1de puntos de Xtales que  1 ni+ 1 ni X j=0 f(Tj(xi)) −ZX fdm ≥ϵ para cada i. Sea mni∈ M(X)tal que ZX gdmni=1 ni+ 1 ni X j=0 g(Tj(xi)) para cada g∈C0(X)(se puede probar la existencia de una aplicación gcon estas características). Como M(X)es compacto, podemos suponer que la sucesión (mni)converge a una medida υ∈ M(X). Veamos ahora que υ∈ MT(X). Sea g∈C0(X), entonces tenemos que ZX (g◦T) dυ= l´ım ni→∞ ZX (g◦T) dmni= l´ım ni→∞ 1 ni+ 1 ni X j=0 g(Tj+1(xi)) = = l´ım ni→∞ ZX gdmni−l´ım ni→∞ 1 ni+ 1g(xi) + l´ım ni→∞ g(Tni+1(xi)) = ZX gdυ. Entonces, υ∈ MT(X). Sin embargo, ZX fdυ−ZX fdm = l´ım ni→∞ ZX fdmni−ZX fdm = = l´ım ni→∞  1 ni+ 1 ni X j=0 f(Tj(xi)) −ZX fdm ≥ϵ. Así obtenemos que υ=m, contradiciendo con el hecho que Tes únicamente ergódica. (2) ⇒(3) Trivial, porque converge a una constante, entonces no dependerá de x. (3) ⇒(1) Sea ϕ:C0(X)−→ Rla función definida por ϕ(f) = l´ım n→∞ 1 n+ 1 n X j=0 f(Tj(x)). Entonces, para una medida m∈ MT(X)tenemos ZX fdm=1 n+ 1 n X j=0 ZX (f◦Tj) dm