Representacións de grupos de Lie

Traballo Fin de Grao Representacións de grupos de Lie Alba Rodríguez Caneiro 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Representacións de grupos de Lie Autora: Alba Rodríguez Caneiro Director: Jesús Antonio Álvarez López Setembro, 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA iii iv Traballo proposto Área de Coñecemento: Xeometría e Topoloxía, Departamento de Matemáticas Título: Representacións de grupos de Lie Breve descrición do contido Tras expoñer os fundamentos necesarios sobre grupos e álxebras de Lie, pasarase a describir as fases do proceso do estudo de representacións de grupos de Lie: 1. Pasar de grupos de Lie a álxebras de Lie. 2. Considerar, primeiro, as álxebras de Lie complexas. Entre estas, considerar as semisimples. 3. Describir as representacións irreducibles. 4. Volver ao caso de álxebras e grupos de Lie reais. Só se fara con detalle no caso de SL(2,C). Recomendacións É conveniente cursar a materia Variedades Diferenciables. Son de utilidade coñecementos de Topoloxía Alxébrica. No caso de estudantes do dobre grao de Matemáticas e Física, resulta interesante cursar a materia Física de Partículas Elementais. Outras observacións Esta proposta de TFG admite ser complementada cunha proposta de TFG do grao en Física. A teoría de grupos de Lie é fundamental para o desenvolvemento das teorías cuánticas de campos. Índice xeral Resumo viii Introdución xi 1. Grupos de Lie 1 1.1. A noción de grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. SubgruposdeLie............................. 2 1.1.2. Construcións ............................... 5 1.2. Representacións.................................. 5 2. Álxebras de Lie 11 2.1. A noción de álxebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Representacións.................................. 12 2.3. Álxebra de Lie asociada a un grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1. Aplicación exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. Clasificación de álxebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3. Propiedades xerais das representacións 21 3.1. TeoremadeEngel................................. 21 3.2. TeoremadeLie.................................. 22 3.3. Redución completa e descomposición de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4. Particularización a sl(2,C)27 4.1. A álxebra de Lie sl(2,C)............................. 27 4.2. Representacións irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3. Representacións de SL(2,C)........................... 31 A. Conceptos básicos previos 33 A.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 v vi ÍNDICE XERAL A.2.Revestimentos................................... 35 A.3.Cuaternións.................................... 36 A.4.Álxebrasimétrica................................. 38 Bibliografía 39 2CAPÍTULO 1. GRUPOS DE LIE A identidade id : G−→ Gé un homomorfismo (e máis, é un isomorfismo) de grupos de Lie, así como o é a composición de homomorfismos de grupos de Lie. Exemplo 1.3. Os espazos vectoriais de dimensión finita coa estrutura de grupo aditiva son grupos de Lie. En particular, Rn. Exemplo 1.4. S1={z∈C| |z|= 1}é un grupo de Lie vista como un subgrupo multiplicativo de C. Exemplo 1.5. Sexan Vun espazo vectorial de dimensión finita sobre Rou CeEnd(V) o espazo vectorial das aplicacións lineares V→V. O conxunto de automorfismos de V, Aut(V) = {A∈End(V)|det(A)6= 0}ten estrutura de grupo de Lie. Exemplo 1.6. Sexa Fdenotando Rou C. O exemplo máis relevante de grupo de Lie é o grupo linear xeral,GL(n, F) = {A∈Mn(F)|det(A)6= 0}. Lembrando a descrición de aplicacións lineares mediante matrices, podemos identificar GL(n, R) = AutR(Rn)e GL(n, C) = AutC(Cn). Exemplo 1.7. GL(n, H) = {A∈Mn(H)|Aé unha transformación invertible de Hn}é un grupo de Lie, onde Hdenota a álxebra de cuaternións (ver apéndice A.3). Analogamente ao exemplo anterior, podemos identificar GL(n, H) = AutH(Hn). 1.1.1. Subgrupos de Lie Non existe unanimidade ao redor da definición de subgrupo de Lie. A orixe das discrepancias sitúase na teoría de variedades, onde se distingue entre subvariedades inmersas e subvariedades regulares. Mentres que a estrutura topolóxica subxacente nunha subvariedade regular coincide coa estrutura topolóxica inducida pola inclusión, isto pode non ocorrer no caso de subvariedades inmersas. A maior parte dos autores definen un subgrupo de Lie Hdun grupo de Lie Gcomo un subconxunto de Gque é simultaneamente un subgrupo e unha subvariedade inmersa. O requirimento de subvariedade regular dá lugar aos denominados subgrupos de Lie regulares, que desempeñan un papel especial na teoría de grupos de Lie. Porén, cómpre subliñar que na bibliografía podemos atopar a terminoloxía subgrupo de Lie (ou subgrupo de Lie pechado, de querer enfacitar a súa natureza) para referirse aos subgrupos de Lie regulares [1]. Neste 2Dado un homomorfismo de grupos entre dous grupos de Lie, as seguintes propiedades son equivalentes: ser medible, ser continuo, ser diferenciable e ser analítico (con respecto a unha estrutura de variedade analítica presente nos grupos de Lie). Existen homomorfismos de grupos entre grupos de Lie que non son medibles; por exemplo, pódese obter un automorfismo non medible de (R,+) extendendo calquera permutación non medible dos números transcendentes. 1.1. A NOCIÓN DE GRUPO DE LIE 3 caso, denomínase subgrupo inmerso dun grupo de Lie a aquel que non cumpre a condición de subvariedade regular. Neste traballo optamos por adoptar a primeira terminoloxía. O adxectivo pechado asignado aos subgrupos de Lie regulares responde ao seguinte teorema: Teorema 1.8 (Teorema dos subgrupos pechados de Cartan).Sexa Gun grupo de Lie e H⊆Gun subgrupo. Entón, Hé un subgrupo de Lie regular se e só se Hé pechado. Introduciremos agora un exemplo arquetípico de subgrupo de Lie que non é regular. Exemplo 1.9. Sexa Go toro real de dimensión dous, G≡R2/Z2∼ =S1×S1eHa imaxe en Gdunha recta con pendente irracional en R2. Entón, Hé unha subvariedade inmersa, pero non unha subvariedade regular de G. A maior parte dos exemplos relevantes de grupos de Lie xorden naturalmente como subgrupos pechados de GL(n, F). Exemplo 1.10. Ogrupo linear especial sobre F,SL(n, F) = {A∈GL(n, F)|det(A) = 1}, é un subgrupo pechado de GL(n, F)e, polo teorema 1.8, un subgrupo de Lie regular de GL(n, F). Exemplo 1.11. Ogrupo ortogonal O(n) = {A∈GL(n, R)|AtA=I}e o grupo ortogonal especial (ou grupo de rotacións)SO(n) = {A∈O(n)|det(A)=1}son subgrupos de Lie regulares compactos de GL(n, R). A miúdo resulta conveniente pensar en O(n)como o conxunto de automorfismos que conservan o produto escalar euclídeo estándar, dado por hx, yi=Pn µ=1 xµyµ, con x, y ∈Rn. É dicir, os automorfismos Atales que hAx, Ayi=hx, yi. SO(n)é unha das dúas compoñentes conexas de O(n). Exemplo 1.12. Ogrupo unitario U(n) = {A∈GL(n, C)|A†A=I}, con A†o conxugado complexo da transposta de A,eogrupo unitario especial SU(n) = {A∈U(n)|det(A)=1} son subgrupos de Lie regulares compactos de GL(n, C). Pode verse U(n)como o conxunto de automorfismos que preservan o produto hermítico estándar, dado por hx, yi=Pn µ=1 xµ¯yµ, con x, y ∈Cn. É dicir, os automorfismos Atales que hAx, Ayi=hx, yi. En particular, U(1) é o grupo de simetría das rotacións no plano, cuxos elementos poden parametrizarse por un escalar, o ángulo de rotación, θ. Cabe destacar este exemplo, xa que é o grupo de Lie asociado a QED (electrodinámica cuántica, do inglés quantum electrodynamics), teoría gauge abeliana que describe a interacción entre luz e materia. 4CAPÍTULO 1. GRUPOS DE LIE GL n, GL n, GL n, GL n, GL n, GL n, GL n, SO n O n U n Sp n Sp n, U n SO n Figura 1.1: Grupos de Lie relevantes con algunhas das súas inclusións. Exemplo 1.13. Se N(·)denota a norma dada polo produto escalar simpléctico estándar (A.26), defínese o grupo simpléctico Sp(n, C)como o grupo de automorfismos de Hnque conservan N(·). Denomínase grupo simpléctico compacto aSp(n) = {A∈GL(n, H)|A†A=I}, onde A†denota o conxugado cuaterniónico da transposta de A, que verifica Sp(n) = U(2n)∩Sp(2n, C).(1.1) En particular, o grupo Sp(1) denomínase grupo de cuaternións. En notación matricial, correspóndese coas matrices a b −¯ b¯a!,a, b ∈C,|a|2+|b|2= 1.(1.2) Sp(1) é simplemente conexo e isomorfo a SU(2). Asemade, o isomorfismo natural H∼ =R4, dado por (a, b, c, d)7−→ a+bi +cj +dk, identifica a Sp(1) eSU(2) coa esfera unidade S3. Tense ademais que SU(2), e por ende, Sp(1), é o revestimento universal de SO(3); isto é, SO(3) é isomorfo a SU(2)/{±1}ou Sp(1)/{±1}, pois o grupo fundamental de SO(3) éZ2. Definición 1.14. Defínese a serie central descendente dun grupo de Lie Gcomo a secuencia de subgrupos de Lie dada por G1= [G, G]eGk= [G, Gk−1],(1.3) onde [G, G]denota o subgrupo xerado polos conmutadores3de G. Definición 1.15. Un grupo de Lie Gdise nilpotente se Gk={e}para algún k. 3Lémbrese que, dado un grupo arbitrario G, o conmutador de g, h ∈Gé[g, h] = g−1h−1gh. 1.2. REPRESENTACIÓNS 5 1.1.2. Construcións Proposición 1.16. Sexan Gun grupo de Lie, Hunha variedade diferenciable conexa e ϕ:H−→ Gunha aplicación de revestimento. Sexa e0un elemento cuxa imaxe é o elemento identidade ede G. Entón, existe unha única estrutura de grupo de Lie en Htal que e0é o elemento identidade e ϕé un homomorfismo de grupos de Lie. Ademais, o núcleo de ϕ está contido no centro de H. Demostración. Basta observar que, por ser φeφ×φaplicacións de revestimento, o produto en Ginduce univocamente unha aplicación H×H−→ Hque leva (e0, e0)en e0e que esta define un produto que verifica os axiomas de grupo. Proposición 1.17. Sexan Hun grupo de Lie e Γ⊂Z(H)un subgrupo discreto do seu centro. Entón, existe unha única estrutura de grupo de Lie no grupo cociente G=H/Γtal que a aplicación cociente H−→ Gé un homomorfismo de grupos de Lie e unha aplicación de revestimento. Nótese que a demostración da proposición 1.17 é directa. Ademais, na proposición 1.16 basta con estudar o caso no que H é o revestimento universal de G e logo aplicar a proposición 1.17 para revestimentos intermedios. As dúas proposicións anteriores motivan as seguintes definicións. Definición 1.18. Sexan GeHdous grupos de Lie. Denomínase isoxénea a un homomorfismo de grupos de Lie ϕ:H−→ Gque é asemade unha aplicación de espazos de revestimento entre as variedades diferenciables subxacentes. Dise que GeHson isóxenos. Unha isoxénea dá lugar a unha relación de equivalencia. Cada clase de equivalencia ten un membro inicial, que se corresponde co espazo de revestimento universal, ˜ G, dun grupo de Lie G. Ademais, se o centro de ˜ Gé discreto, tamén ten un membro final dado por ˜ G/Z(˜ G). Neste contexto, ˜ Grecibe o nome de forma simplemente conexa do grupo G e, no caso de existir, ˜ G/Z(˜ G)denomínase forma adxunta. 1.2. Representacións Definición 1.19. Sexan Gun grupo de Lie e Munha variedade diferenciable. Unha acción de G en M é unha aplicación diferenciable G×M−→ M, dada por (g, m)7−→ g·m, que verifica: 1. e·m=m, ∀m∈M, onde eé o elemento identidade de G, e 2. g1·(g2·m)=(g1g2)·m, ∀g1, g2∈G, ∀m∈M. 6CAPÍTULO 1. GRUPOS DE LIE A acción denomínase transitiva se, para cada m, n ∈M, existe g∈Gtal que g·m=n. O estabilizador de m∈MéGm={g∈G|g·m=m}. Definición 1.20. Unha representación dun grupo de Lie Gnun espazo vectorial complexo Vde dimensión finita é un homomorfismo de grupos de Lie π:G−→ GL(V). A dimensión da representación defínese como a dimensión de V. Unha representación dun grupo de Lie Gpode interpretarse como unha acción de Gnun espazo vectorial V. É máis, algúns autores definen unha representación de Gen Vcomo unha acción Π : G×V−→ Vtal que, para cada g∈G, a translación v7−→ Π(g, v),v∈V, é unha aplicación linear. Nótese que dita traslación é un automomorfismo de Ve as dúas definicións son equivalentes. Consecuentemente, nalgunhas ocasións empregaranse acción e representación como sinónimos. Ademais, lémbrese que, se Vé un F-espazo vectorial de dimensión n, escollendo unha base de V,V∼ =Fn,End(V)∼ =Mn(F)eGL(V)∼ =GL(n, F). Consecuentemente, ao definir unha representación como unha acción, xorde o concepto de representación matricial, un homomorfismo continuo G−→ GL(n, F)[2]. Observación 1.21.Teoricamente, unha representación é un par (π, V ). En ausencia de ambigüidade denótase, non obstante, πou ben V. Tamén é usual atopar a referencia a unha representación simplemente como Gactúa en Vou Vé un G-módulo. Ademais, se esta é coñecida, dados g∈Gev∈G, a notación (π(g))(v)simplifícase como g·vou mesmo gv. Exemplo 1.22. Sexa Gun grupo de Lie. A aplicación π:G−→ GL(1,C) = Cdada por π(g)=1,∀g∈Gé unha representación unidimensional denominada representación trivial. Exemplo 1.23. Sexa Go grupo linear xeral, GL(n, F), ou algún dos subgrupos de Lie deste introducidos na subsección 1.1.1. A representación de Gen Fnonde π(A)é a multiplicación pola esquerda pola matriz A∈Gé coñecida como representación estándar de G. Definición 1.24. Sexan Gun grupo de Lie, Vun espazo vectorial complexo de dimensión finita e πunha representación de Gen V. Dise que πé unha representación fiel se πé un homomorfismo inxectivo. Se πé unha representación fiel dun grupo de Lie G,{π(g)|g∈G}pode verse como un grupo de matrices isomorfo ao grupo orixinal G. Isto é, πpermite representar Gcomo grupo de matrices. Unha forma práctica de entender as representacións é como tódalas formas posibles nas que un grupo fixo pode actuar como un grupo de matrices [3]. Non obstante, non tódolos grupos de Lie son realizables como matrices. 1.2. REPRESENTACIÓNS 7 Exemplo 1.25. Sexa G=R×R×S1={(x, y, u)|x, y ∈R, u ∈S1⊂C}co produto dado por, para (x1, y1, u1),(x2, y2, u2)∈G, (x1, y1, u1)·(x2, y2, u2)=(x1+x2, y1+y2, eix1y2u1u2).(1.4) É inmediato probar que Gé un grupo de Lie, por definición. Tense que Gnon é isomorfo a ningún grupo de Lie matricial. En efecto, non existe ningún homomorfismo G−→ GL(n, C) continuo inxectivo para ningún n. A demostración pode atoparse en [3]. Gpode describirse como o cociente do grupo de Heisenberg4por un subgrupo discreto do centro. A chave da demostración reside na nilpotencia do grupo G, a cal provoca que, se un elemento do centro distinto do neutro ten como imaxe a identidade por algunha representación dun espazo de dimensión finita, entón todo o centro ten como imaxe a identidade, necesariamente. Definición 1.26. Sexan (π, V )e(π0, V 0)dúas representacións de dimensión finita dun grupo de Lie G. Dado T∈Hom(V, V 0), dise que Té un operador de entrelazado (intertwining operator) ou un morfismo de G-módulos se T◦π(g) = π0(g)◦T, para todo g∈G. Denótase HomG(V, V 0)ao conxunto de tódolos operadores de entrelazado. Se Té bixectivo, dise que as representacións VeV0son equivalentes. Definición 1.27. Sexan Gun grupo de Lie e Vunha representación de dimensión finita de G. Un subespazo U⊆GéG-invariante se, gU ⊂Upara todo g∈G. Entón, U tamén é unha representación de G. Empréganse, así mesmo, as terminoloxías submódulo e subrepresentación de V. Definición 1.28. Sexa Vunha representación dun grupo de Lie G. Dise que Vé unha representación irreducible se os únicos subespazos G-invariantes son {0}eV. Da análise da definición de subespazo G-invariante, se Vé unha representación de dimensión finita, séguese que: Vé irreducible se e só se V= spanC{gv |g∈G}para todo v∈V\ {0}, onde span denota o subespazo vectorial xerado polo conxunto indicado. Exemplo 1.29. As representacións estándar do exemplo 1.23 son representacións irreducibles. 4O conxunto das matrices 3×3da forma    1a b 0 1 c 0 0 1   , con a, b, c ∈Ré un subgrupo de GL(3,R)denominado grupo de Heisenberg. 8CAPÍTULO 1. GRUPOS DE LIE Definición 1.30. Sexan Gun grupo de Lie e Vunha representación de G. Un produto escalar (hermítico) h·,·i :V×V−→ Cdise G-invariante se hgv,gv0i=hv, v0i, dados v, v0∈V, para todo g∈G. Dise que Vé unha representación unitaria se existe un produto escalar (hermítico) en V. Teorema 1.31. Toda representación dun grupo de Lie compacto é unitaria. Teorema 1.32 (Lema de Schur).Sexan Gun grupo de Lie e VeV0dúas representacións irreducibles. 1. Se T:V−→ V0é unha aplicación de entrelazado, entón, ou ben T= 0 ou ben Té un isomorfismo. 2. Se Vé unha representación complexa e T:V−→ V, unha aplicación de entrelazado, entón, T=λI,λ∈C. Proposición 1.33. Unha representación irreducible dun grupo de Lie abeliano Gé unidimensional. Demostración. Probemos o contrarrecíproco. Sexa Vunha representación de Gde dimensión dim V > 1. Por ser Gabeliano, para cada g∈G, a translación v7−→ gv,v∈V, é un operador de entrelazado. Polo Lema de Schur (teorema 1.32), dita translación consiste no produto por λ=λ(g)∈C. Isto implica que todo subespazo de VéG-invariante. Posto que dim V > 1, existe un subespazo G-invariante Wde Vcon dim W= 1. Consecuentemente, Vnon é irreducible. Construción de novas representacións Unha vez coñecidas representacións de dimensión finita dun grupo de Lie G, pódense construír novas representacións a partir delas empregando os procedementos usuais de álxebra linear. Téñense así accións sobre os espazos vectoriais suma directa, produto tensorial e dual. Polo seu interese, destácase a primeira delas. Definición 1.34. Sexan Gun grupo de Lie matricial e π1,π2, ..., πmrepresentacións de Gactuando nos espazos vectoriais V1,V2, ..., Vm, respectivamente. A representación de G suma directa π1⊕π2⊕···⊕πmactuando no espazo vectorial suma directa V1⊕V2⊕···⊕Vm vén dada por [π1⊕ ··· ⊕ πm(A)](v1, ..., vm)=(π1(A)v1, ..., πm(A)vm), A ∈G. (1.5) 1.2. REPRESENTACIÓNS 9 Observación 1.35.O caso n= 2 resulta instrutivo. Escóllese para V1⊕V2unha base, que se constrúe de forma natural a partir dunha base para V1e unha base para V2. Con respecto a esta base, a acción de Gno espazo suma directa pode verse como o produto pola esquerda por unha matriz de catro bloques ?10 0?2!,(1.6) onde ?ié a acción en Vi,i∈ {1,2}. Definición 1.36. Unha representación dimensionalmente finita dun grupo de Lie Gdise completamente reducible se é isomorfa á suma directa dun número finito de representacións irreducibles. Definición 1.37. Un grupo de Lie Gécompletamente reducible se toda representación de Gde dimensión finita é completamente reducible. 10 CAPÍTULO 1. GRUPOS DE LIE Capítulo 2 Álxebras de Lie Este capítulo recolle preliminares necesarios sobre as álxebras de Lie. Polo tanto, prescindirase das demostracións longas. Exposicións completas desta parte poden atoparse nas mesmas referencias indicadas no capítulo 1. Levarase a cabo a primeira redución mencionada: pasar do estudo dun obxecto dotado dunha estrutura de grupo e de variedade diferenciable a un obxecto puramente alxebraico. Para iso, introdúcese primeiramente unha caracterización dos homomorfismos de grupos de Lie. 2.1. A noción de álxebra de Lie Definición 2.1. Unha álxebra de Lie gé un espazo vectorial xunto cunha aplicación [·,·] : g×g−→ gverificando: 1. [·,·]é bilineal (gé álxebra co produto [·,·]), 2. [Y, X] = −[X, Y ], para todo X, Y ∈g(antisimetría), e 3. a identidade de Jacobi: [[X, Y ], Z]+[[Y, Z], X]+[[Z, X], Y ] = 0, para todo X, Y, Z ∈g. Exemplo 2.2. Dado un F-espazo vectorial Vde dimensión n,V∼ =Fn, o espazo de endomorfismos de V,End(V)∼ =Mn(F), ten estrutura de álxebra de Lie coa operación bilinear [·,·]definida polos conmutadores, [X, Y ] = XY −Y X, para X, Y ∈End(V). Conceptos como homomorfismo de álxebras de Lie ou subálxebra de Lie defínense como é natural para un espazo vectorial, remarcando a necesidade de preservar a operación corchete. 11 18 CAPÍTULO 2. ÁLXEBRAS DE LIE Exemplo 2.20. As álxebras de Lie asociadas a U(n)eSU(n)son u(n) = {X∈gl(n, C)|X∗=−X}e su(n) = {X∈gl(n, C)|X∗=−X, trX= 0},(2.18) respectivamente. Posto que o espazo tanxente ten a mesma dimensión que a variedade diferenciable, das dimensións de u(n)esu(n)obtéñense as dimensións de U(n)eSU(n): dim u(n) = 2n(n−1)/2 + n=n2= dim U(n),e dim su(n)=2n(n−1)/2 + n−1 = n2−1 = dim SU(n).(2.19) Exemplo 2.21. A álxebra de Lie asociada a Sp(n)é sp(n) = {X∈gl(n, H)|X∗=−X}.(2.20) 2.4. Clasificación de álxebras de Lie Definición 2.22. Sexan Gun grupo de Lie e ga súa correspondente álxebra de Lie. Defínese o centro Z(g)de gformado polos elementos X∈gtales que [X, Y ]=0,∀Y∈g. Dise que gé unha álxebra de Lie abeliana se Z(g) = g. Definición 2.23. Sexan gunha álxebra de Lie e h⊂gunha subálxebra. Dise que hé un ideal de gse [X, Y ]∈h,∀X∈h,∀Y∈g.(2.21) Proposición 2.24. Sexan Gun grupo de Lie conexo, H⊂Gun subgrupo conexo e geh as correspondentes álxebras de Lie. Entón, Hé un subgrupo normal de Gse e só se hé un ideal de g. Definición 2.25. Unha álxebra de Lie gdenomínase álxebra de Lie simple se dim g>1e esta non contén ideais non triviais. As seguintes categorías de álxebras de Lie veñen motivadas pola definición de dúas series de subálxebras. A serie central descendente,Dkg, vén dada por: D1g= [g,g]eDkg= [g,Dk−1g](2.22) Aserie derivada,Dkg, vén dada por: D1g= [g,g]eDkg= [Dk−1g,Dk−1g](2.23) Nótese que Dkg⊂Dkg,∀k∈N?. Para k= 1,D1g=D1g≡Dg recibe o nome de subálxebra de conmutadores. Ademais, mediante a identidade de Jacobi, pode probarse que Dkgé un ideal de g. É inmediato ver que cada Dkgtamén é un ideal de g. 2.4. CLASIFICACIÓN DE ÁLXEBRAS DE LIE 19 Definición 2.26. Unha álxebra de Lie gdenomínase nilpotente se Dkg= 0 para algún k. Definición 2.27. Unha álxebra de Lie gdenomínase resoluble se Dkg= 0 para algún k. Definición 2.28. Unha álxebra de Lie gdenomínase semisimple se todo ideal resoluble de gé trivial. Obsérvese que gé resoluble se e só se existe unha sucesión de subálxebras de Lie, g=g0⊃g1⊃ ··· ⊃ gk= 0, tal que gi+1 é un ideal en giegi/gi+1 é abeliana. Neste caso, pode probarse por indución que Dig⊂gi, para todo i. Séguese, entón, a seguinte caracterización: se hé un ideal nunha álxebra de Lie g, entón gé resoluble se e só se he g/hson álxebras de Lie resolubles. Se gé a álxebra de Lie asociada a un grupo de Lie G conexo, entón gé resoluble se e só se existe unha sucesión de subgrupos conexos normais en Gtales que os cocientes son abelianos. Por outra banda, unha consecuencia inmediata da definición 2.28 é que unha álxebra de Lie gé semisimple se e só se todo ideal abeliano de gé nulo. Entón, unha álxebra de Lie semisimple posúe centro nulo e, polo tanto, a representación adxunta dunha álxebra de Lie semisimple é unha representación fiel. Definición 2.29. Sexa gunha álxebra de Lie. Denomínase radical de g,Rad g, ao ideal resoluble maximal, suma de tódolos ideais resolubles, de g. Para toda álxebra de Lie g, establécese a sucesión exacta curta 0−→ Rad(g)−→ g−→ g/Rad(g)−→ 0,(2.24) onde o ideal Rad(g)é resoluble e a álxebra g/Rad(g), semisimple. En consecuencia, pódese afirmar que para analizar as representacións dunha álxebra de Lie arbitraria é conveniente entender previamente as representacións das álxebras de Lie resolubles e semisimples. O seguinte resultado xustifica as terminoloxías simple esemisimple empregadas. Proposición 2.30. Toda álxebra de Lie semisimple é suma directa de álxebras de Lie simples. As álxebras de Lie simples gozan de importancia por ser, nun sentido, pezas básicas a partir das cales se constrúen obxectos máis complexos. Este carácter vese reforzado pola existencia dunha clasificación completa das álxebras de Lie simples. Non profundizaremos na mesma, pero enunciáse o seguinte teorema como mera curiosidade. A súa demostración e a definición das álxebras de Lie excepcionais empregadas nel pode verse, por exemplo, en [1], [5]. 20 CAPÍTULO 2. ÁLXEBRAS DE LIE Teorema 2.31. Toda álxebra de Lie complexa simple é isomorfa a unha das oito álxebras de Lie seguintes: sl(n, C),so(n, C)ou sp(n, C)con n∈N(denominadas álxebras de Lie clásicas), g2,f4,e6,e7ou e8(denominadas álxebras de Lie excepcionais). Capítulo 3 Propiedades xerais das representacións Neste capítulo recóllense resultados máis profundos sobre teoría de representacións de grupos e álxebras de Lie. Probaranse as proposicións e teoremas máis destacados, seguindo os modelos de demostración propostos en [1]. Para unha exposición completa, recoméndase recorrer a [1] e [6]. 3.1. Teorema de Engel Teorema 3.1 (Teorema de Engel).Sexa g⊂gl(V)unha subálxebra de Lie tal que todo X∈gé un endomorfismo nilpotente de V. Entón, existe un vector v∈Vtal que X(v)=0 para todo X∈g. Demostración. Usarase o seguinte resultado: se X∈gl(V)é un elemento nilpotente, entón, a acción adxunta ad(X) : gl(V)−→ gl(V)é nilpotente [1]. Procédese por indución na dimensión de g. Se dim g= 1, a proba é inmediata xa que a anticonmutatividade da operación corchete implica que gé abeliana. Supóñase que dim g>1e véxase, en primeiro lugar, que gcontén un ideal hde codimensión1un. Sexa h⊂gunha subálxebra propia. Entón, a acción adxunta ad(h)de h en gconserva o subespazo h. Polo tanto, ad(h)actúa no espazo cociente, g/h. En virtude do resultado previamente anunciado, para todo X∈h,ad(X) actúa de forma nilpotente en gl(V), en ge en g/h. Por indución, existe un elemento non nulo ¯ Y∈g/htal que ad(X)( ¯ Y) = 0 para para todo X∈h. Entón, existe Y∈g,Y /∈h, tal que ad(X)(Y)∈h, para todo X∈h. Equivalentemente, tense un subespazo de gxerado por h,h0, que é unha 21 22 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES XERAIS DAS REPRESENTACIÓNS subálxebra de ge do que hé un ideal de codimensión un. Por maximalidade de h,h0=g. Aplícase a hipótese de indución á subálxebra h: existe un vector non nulo v∈Vtal que X(v) = 0 para todo X∈h. Denótese por Wo subespazo de tódolos vectores coa mesma propiedade que ve sexa Y∈g,Y /∈h. Posto que heYxeran g, basta probar que existe un vector non nulo v∈Wtal que Y(v) = 0. Dado w∈WeX∈h, temos que X(Y(w)) = Y(X(w)) + [X, Y ](w).(3.1) O primeiro sumando da dereita é nulo por definición de w∈W; o segundo é nulo polo mesmo motivo, xa que [X, Y ] = ad(X)(Y)∈h. Entón, X(Y(w)) = 0, para todo X∈h e, en consecuencia Y(w)∈W. É dicir, a acción de Yen Vleva ao subespazo Wen si mesmo; posto que Yactúa de xeito nilpotente en V, séguese que existe v∈Wtal que Y(v) = 0. 3.2. Teorema de Lie Teorema 3.2 (Teorema de Lie).Sexa g⊂gl(V)unha álxebra de Lie complexa resoluble. Entón, existe un vector non nulo v∈Vque é autovector de Xpara todo X∈g. Demostración. A demostración é similar á do teorema de Engel. O primeiro paso é probar que gcontén un ideal hde codimensión un. Posto que gé resoluble, Dg = [g,g]6=g, co cal o cociente g/Dg é unha álxebra de Lie abeliana non nula. Sexa aunha subálxebra de g/Dg de codimensión un. Por ser g/Dg abeliana, aé un ideal; polo tanto, a preimaxe de aen gtamén é un ideal de codimensión un. Aplícase a hipótese de indución a dito h: existe v0∈Vtal que, para todo X∈h,v0 é autovector de X. Sexa λ(X)o autovalor de Xasociado a v0e considérase o subespazo W⊂Vdefinido por W={v∈V|X(v) = λ(X)·v, ∀X∈h}.(3.2) Sexa Y∈g,Y /∈h. Basta probar, que Yleva un vector v∈Wnun múltiplo de si mesmo ou, equivalentemente, que Y(W)⊂W. Sexan w∈Wnon nulo e X∈h. Entón, [X, Y ]∈h, por ser hideal, e X(Y(w)) = Y(X(w)) + [X, Y ](w) = λ(X)·Y(w) + λ([X, Y ]) ·w. (3.3) Basta ver que o segundo termo é nulo e, inmediatamente, tense que Y(w)∈W. Para iso, defínese o subespazo U⊂Vcomo U= span{w, Y (w), Y 2(w), ..., Y k(w), ...}.(3.4) 1Se Wé un subespazo vectorial dun espazo vectorial Vde dimensión finita, a codimensión Wen V defínese como codim W= dim V−dim W. 3.2. TEOREMA DE LIE 23 Claramente, tense que Y(U)⊂U. Ademais, X(U)⊂U. En efecto, (3.3) asegura que X leva Y(w)a unha combinación linear de Y(w)ew, ambos elementos de U. Supóñase que X(Yk−1(w)) ∈U, para X∈h. Entón: X(Yk(w)) = Y(X(Yk−1(w))) + [X, Y ](Yk−1(w)) = λ(X)·Y(w) + λ([X, Y ]) ·w. (3.5) Posto que X(Yk−1(w)) ∈U, o primeiro sumando da dereita está en Ue, posto que [X, Y ]∈ h, o segundo, tamén. De (3.3) e (3.5) séguese que, en termos na base {w, Y (w), Y 2(w), ...}de U, a acción dun X∈hé triangular superior, con entradas diagonais λ(X). En efecto, X(Yk(w)) é unha combinación linear dos elementos de dita base para i≤k. Próbase por indución en k. Por definición, X(w) = λ(X)w. Supóñase X(Yk−1(w)) = Pk−1 i=0 ui(X)Yi(w), para X∈h arbitrario. Sexa y=Y(w). Entón: X(Yk(w)) = Y(X(Yk−1(w))) + [X, Y ](Yk−1(w)) = =Y k−1 X i=0 ui(X)Yi(w)!+ [X, Y ](Yk−1(w)) = k−1 X i=0 ui(X)Yi+1(w) + k−1 X i=0 ui([X, Y ])Yi(w) = =u0([X, Y ])(w) + k X i=1 (ui−1(X) + ui([X, Y ]))Yi(w),(3.6) e a hipótese queda probada por indución. Consecuentemente, Tr(X|U) = λ(X) dim(U). Posto que o conmutador [X, Y ]∈hactúa en U, a súa traza é nula. Como dim U6= 0, necesariamente λ([X, Y ]) = 0 e tense o que se quería demostrar. Proposición 3.3. Toda representación irreducible dunha álxebra de Lie resoluble é unidimensional. O teorema de Lie e a proposición anterior son o xerme da demostración do seguinte resultado, o cal asegura que para coñecer as representacións irreducibles dunha álxebra de Lie arbitraria basta abordar o caso semisimple. Proposición 3.4. Sexa gunha álxebra de Lie complexa. Toda representación irreducible de gé da forma V=V0⊗L, onde V0é unha representación de g/Rad(g)eLé unha representación unidimensional2. 2Sexan VeWdúas representacións de g. Dados v∈V,w∈WeX∈g, defínese a acción de gno produto tensorial V⊗Wcomo X(v⊗w) = X(v)⊗w+v⊗X(w). 24 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES XERAIS DAS REPRESENTACIÓNS 3.3. Redución completa e descomposición de Jordan Os resultados da teoría de representacións de grupos finitos non son, en xeral, extrapolables á teoría de representacións de grupos e álxebras de Lie. Non obstante, algúns como a redución completa emerxen no nicho das álxebras de Lie semisimples, que teñen un comportamento relativamente bo. Antes de enunciar e demostrar esta propiedade, de vital importancia ao implicar a descomposición das representacións en suma de representacións irreducibles, introdúcense definicións e lemas previos. Lema 3.5. Para todo X∈gl(V), o endomorfismo ad(X)de gl(V)verifica ad(X)s= ad(Xs)ead(X)n= ad(Xn),(3.7) onde Xsé a parte semisimple de XeXn, a parte nilpotente. Definición 3.6. Sexa Vun espazo vectorial e X, Y ∈gl(V). Defínese a forma de Killing, BV, como: BV(X, Y ) = Tr(X◦Y).(3.8) Verifícase que, para todo X, Y, Z ∈gl(V),BV(X, [Y, Z]) = BV([X, Y ], Z). En particular, a forma de Killing nunha álxebra de Lie gvén dada pola representación adxunta e denótase B(X, Y ) = Bg(ad(X),ad(Y)). A forma de Killing pode empregarse para caracterizar a resolubilidade e semisimplicidade dunha álxebra de Lie dada. Teorema 3.7 (Criterio de Cartan).Se gé unha subálxebra de gl(V)eBV(X, Y )=0, para todo X, Y ∈g, entón gé resoluble. Lema 3.8. Unha álxebra de Lie gé resoluble se e só se B(ad(X),ad(X)) = 0, para todo X∈g. Lema 3.9. Unha álxebra de Lie gé semisimple se e só se a súa forma de Killing, B, é non dexenerada. A continuación, enúnciase e próbase o teorema da redución completa. Teorema 3.10 (Redución completa).Sexan gunha álxebra de Lie semisimple, Vunha representación de geW⊂Vun subespazo invariante baixo a acción de g. Entón, existe un subespazo W0⊂Vcomplementario a We invariante baixo g. Demostración. En primeiro lugar, posto que a imaxe de gpola representación é semisimple, trabállase asumindo g⊂gl(V). Polo lema 3.9, tense que a forma de Killing, BVé non 3.3. REDUCIÓN COMPLETA E DESCOMPOSICIÓN DE JORDAN 25 dexenerada. Pódese tomar logo unha base U1, ..., Urde ge unha base dual U0 1, ..., U0 rrespecto á forma de Killing. Defínese CV∈End(V), unha xeralización do operador de Casimir3, como PUi·(U0 i·v). Calcúlase a traza de CV: Tr(CV) = XTr(Ui◦U0 i) = XBV(Ui, U0 i) = dim g.(3.9) Nótese ademais que Cvconserva todo submódulo de We que tódalas representacións unidimensionais de g, álxebra de Lie semisimple, son triviais. Posto que CVconmuta con g, o núcleo Ker(Cv)é unha subrepresentación de g. Supóñase que Wé irreducible de codimensión un. Entón CVconserva We actúa trivialmente en V/W. Polo lema de Schur, CVé o produto por un escalar en W. Posto que Tr(Cv)>0, este escalar non é nulo. Entón, V=W⊕Ker (CV), con WeKer (CV) subrepresentacións de g. Supóñase que Wnon é irreducible pero ten codimensión un. Próbase por indución en dim V. Se dim V= 1, é trivial. Sexa Zunha subrepresentación non nula. Por indución, existe un espazo complementario de W/Z ⊂V/Z, sexa Y/Z. Posto que Y/Z ten dimensión un, pode atoparse Utal que Y=Z⊕U. Entón, V=W⊕U. Resta probar o caso no que Wnon ten codimensión un. Cun argumento similar ao empregado no parágrafo anterior, conclúese que basta probar o caso no que Wirreducible. Considérese a aplicación restrición ρ: Hom(V, W)−→ Hom(W, W). Nótese que ρé un homomorfismo de g-módulos. Homg(W, W)⊂Hom(W, W )é un submódulo unidimensional. Polo caso anterior, existe un submódulo unidimensional de ρ−1(Homg(W, W )) ⊂ Hom(V, W)que se aplica sobrexectivamente en Homg(W, W)por ρ. Posto que os módulos unidimensionais son triviais, significa que existe ψ∈Hom(V, W)g-invariante tal que ρ(ψ)=1. En consecuencia, ψé unha proxección g-invariante de Ven W, co cal V=W⊕Ker(ψ). Para espazos vectoriais complexos é coñecido o seguinte resultado: Sexan Vun espazo vectorial complexo e X∈End(V). Entón, Xescríbese de forma única como X=Xs+Xn, onde Xsé diagonalizable, Xné nilpotente e ambos conmutan (descomposición de Jordan). Véxase agora que se conserva a descomposición de Jordan para álxebras de Lie semisimples. Teorema 3.11 (Conservación da descomposición de Jordan).Sexa gunha álxebra de Lie semisimple. Para todo X∈g, existen XseXnen gtales que, para toda representación ρ:g−→ gl(V), tense: ρ(X)s=ρ(Xs)eρ(X)n=ρ(Xn).(3.10) 3Información sobre o operador de Casimir pode atoparse en [1]. Para os propósitos deste traballo, basta asumir que conmuta coa acción de g. 26 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES XERAIS DAS REPRESENTACIÓNS Noutras palabras, se se supón que ρé inxectiva e se interpreta gcomo subálxebra de gl(V)eX∈gcomo un endomorfismo, tense que as partes diagonalizable e nilpotente de X,XseXn, respectivamente, pertencen a ge non dependen de ρ. Demostración. En primeiro lugar demóstrase que, dada g⊂gl(V)álxebra de Lie, se gé semisimple, entón para X∈g,Xs, Xn∈g. En efecto, supóñase que gé unha intersección de subálxebras de gl(V)e próbese a afirmación para ditas subálxebras. Por ser gsemisimple, g= [g,g]. Entón, para todo X∈g, Xé un conmutador de g, co cal Tr(X) = 0. É inmediato logo ver que g⊂sl(V)∼ =sl(n, C). Ademais, se Tr(X)=0,Tr(Xs)=0eTr(Xn) = 0, e Xn, Xs∈sl(V). Se Vnon é irreducible, dada unha subrepresentación Wde V, defínese: sW={Y∈gl(V)|Y(W)⊂W, Tr(Y|W)=0}.(3.11) Entón, gé unha subálxebra de sWe ademais, X∈sWimplica Xn, Xs∈sW. Posto que [X, g]⊂g, séguese que [p(X),g]⊂gpara un polinomio p(·). Entón, [Xs,g]⊂ ge[Xn,g]⊂g. Defínese unha nova subálxebra, n={X∈gl(V)|[X, g]⊂g}.(3.12) Entón, g=n∩(SW⊂VsW). En efecto, sexa g0=n∩(SW⊂VsW). Entón, gé un ideal de g0xa que g0⊂n. Polo teorema de redución completa existe un submódulo U⊂g0tal que g0=g⊕U. Posto que [g0,g]⊂g, necesariamente [g, U]=0. Para ver que Ué nulo, tómense Y∈Ue un submódulo Wde V.Y∈sW, co cal Yconserva WeTr(Y|W)=0. O lema de Schur asegura que Y|Wé o produto por un escalar λ. Como Tr(Y|W) = 0,λ= 0 eY|W= 0. Agora, se gé unha álxebra semisimple, a representación adxunta ad mergulla gen gl(g). Dado X∈g, o probado anteriormente implica que ad(X)s∼ =Xsead(X)n∼ =Xnestán en g. A descomposición X=Xs+Xndenomínase descomposición absoluta de Jordan. Nótese que [Xs, Xn]=0. A aplicación ρ:g−→ g0, con g0obtida a partir de gexcluíndo algúns dos ideais de g, é un homomorfismo de álxebras de Lie semisimples. Entón, ρ(Xs) = ρ(X)s eρ(Xn) = ρ(X)n. Capítulo 4 Particularización a sl(2,C) Este capítulo céntrase na álxebra de Lie sl(2,C). En primeiro lugar, explicítase a súa estrutura como álxebra de Lie. Motívase a escolla deste exemplo como bo modelo e de gran importancia física. A continuación, descríbense as súas representacións irreducibles e establécese a correspondencia das mesmas coas representacións irreducibles do grupo de Lie SL(2,C). 4.1. A álxebra de Lie sl(2,C) Da particularización de exemplos anteriores para n= 2 eF=Cxorde a álxebra de Lie sl(2,C) = {X∈gl(2,C)|trX= 0}onde gl(2,C)∼ =End(Cn)∼ =Mn(C). Pode definirse como o conxunto das matrices 2×2complexas con traza nula e adquire estrutura de álxebra de Lie coa operación corchete dada polo conmutador. Unha base natural para sl(2,C)é H= 1 0 0−1!, X = 0 1 0 0 !, Y = 0 0 1 0 !,(4.1) que verifica as seguintes relacións: [H, X] = 2X, [H, Y ] = −2Y, [X, Y ] = H. (4.2) Este exemplo é importante por diversos motivos. Por unha banda, trátase dun excelente modelo para o estudo das representacións de dimensión finita de álxebras de Lie semisimples. Ademais, sl(2,C)é a complexificación de su(2), que, á súa vez, é isomorfa a so(3). As representacións destas dúas últimas álxebras de Lie son de gran importancia na física. En efecto, as representacións dos grupos de Lie SU(2) eSO(3) están directamente relacionadas cos operadores momento angular e permiten describir as partículas de espín 27 34 APÉNDICE A. CONCEPTOS BÁSICOS PREVIOS recibe o nome de expresión local de f. Unha aplicación entre variedades diferenciables f:M−→ Nédiferenciable Cr(1≤ r≤ ∞) se, para cada p∈Mexiste unha expresión local de f en p que é unha aplicación de clase Crentre abertos de espazos euclideanos. Sexa Munha variedade diferenciable de dimensión m, e 1≤r≤ ∞. Denotarase por Fr(M) = {f:M−→ R|fé diferenciable Cr}(A.2) ao conxunto das funcións reais diferenciables Cr. (Fr(M),+,·) ten estrutura de anel e de espazo vectorial real coa suma e produto de funcións e co produto de funcións por escalares; é unha álxebra. Denotarase F(M) = F∞(M) Se Mé unha variedade diferenciable e p∈M, denomínase vector tanxente a M en p a unha aplicación v:F(M)−→ R(A.3) verificando: 1. v(f+g) = v(f) + v(g),v(λf) = λv(f), 2. v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g) para cada f, g ∈F(M)eλ∈R. Dados dous vectores tanxentes vewaMen p, defínese a súa suma como (v+w)(f) = v(f) + w(f),(A.4) e o produto por un escalar λ∈Rcomo (λv)(f) = λv(f).(A.5) Comprobar que ambos son vectores tanxentes é trivial. Defínese o espazo tanxente a M en p,Tp(M), como o conxunto de tódolos vectores tanxentes a Men p.Tp(M)é un espazo vectorial real de dimensión ncoas operacións suma e produto por escalares dadas por (A.4) e (A.5), respectivamente. Sexan MeNvariedades diferenciables de dimensións respectivas menef:M−→ N unha aplicación diferenciable C∞,p∈M,q=f(p). A aplicación tanxente a f en p é a aplicación f∗p:Tp(M)−→ Tq(N)dada por f∗p(v)(h) = v(h◦f), onde v∈Tp(M),h∈F(N).(A.6) Sexa Munha variedade diferenciable de dimensión m. Denomínase fibrado tanxente de Mao conxunto unión disxunta T(M) = G p∈M Tp(M).(A.7) A.2. REVESTIMENTOS 35 Aproxección do fibrado tanxente é a aplicación π:T(M)−→ M, dada por v7−→ π(v) = p, se v∈Tp(M).(A.8) O conxunto T(M)pode dotarse dunha topoloxía e estrutura diferenciable de forma que sexa unha variedade diferenciable de dimensión 2m. Nese caso, πé unha aplicación C∞ entre variedades diferenciables. Dise que X é un campo de vectores sobre unha variedade diferenciable Mse é unha aplicación X:M−→ T(M), dada por p7−→ Xp∈Tp(M).(A.9) É dicir, Xé unha sección da proxección do fibrado tanxente. Dados XeYcampos de vectores sobre M,λ∈Ref∈F(M), defínense as operacións suma X+Y:M−→ T(M), dada por (X+Y)p:=Xp+Yp,(A.10) produto por escalares λX :M−→ T(M), dada por (λX)p:=λXp,(A.11) e produto por unha función fX :M−→ T(M), dada por (fX)p:=f(p)Xp.(A.12) Un campo de vectores Xsobre unha variedade diferenciable MéCr(0≤r≤ ∞) se é Crcomo aplicación entre variedades diferenciables. Se XéC0,Xé un campo de vectores continuo. Se XéC∞,Xé un campo de vectores diferenciable. Denótase por X(M)ao conxunto de tódolos campos de vectores diferenciables sobre M.X(M)coas operacións (A.10), (A.11) e (A.12) é un espazo vectorial e un F(M)-módulo. Sexa Munha variedade diferenciable e X∈X(M). Unha curva diferenciable α:I⊂ R−→ Mdise curva integral de X se ˙α(t) = Xα(t),∀t∈I. Proposición A.1. Sexan Xun campo de vectores diferenciable sobre Mep∈M. Dado t∈R, existen un intervalo aberto I⊂R,t0∈Ie unha curva integral ϕ:I−→ Mde X tal que ϕ(t) = p. A.2. Revestimentos Sexan Xe˜ Xdous espazos topolóxicos e p:˜ X−→ Xunha aplicación continua. Dise que un subconxuntos aberto U⊆Xestá uniformemente revestido por pse p−1(U)é a 36 APÉNDICE A. CONCEPTOS BÁSICOS PREVIOS unión disxunta de subconxuntos abertos de ˜ X, cada un dos cales é o homeomorfo a Ua través de p. Dise que p:˜ X−→ Xé unha aplicación de revestimento se todo punto x∈Xten unha veciñanza aberta uniformemente revestida por p.˜ Xé o espazo de revestimento de XeX o espazo base da aplicación de revestimento p. É dicir, p:˜ X−→ Xé un revestimento se 1. pé sobrexectivo, e 2. para todo x∈X, existe unha veciñanza aberta Ude xtal que p−1(U) = Sj∈JUj, para unha colección {Uj|j∈J}de subconxuntos de ˜ Xverificando Uj∩Uk=∅se j6=kep|Uj:Uj−→ Ué un homeomorfismo para todo j∈J. Sexa p:˜ X−→ Xunha aplicación de revestimento con Xconexo por camiños. Entón, o cardinal de p−1(x)é independente de x∈X. Se dito cardinal é n, dise que p:˜ X−→ Xé unha aplicación de revestimento de nfollas. Para n= 2, dise que ˜ Xé un dobre revestimento de X; para n= 3,˜ Xé un triple revestimento de X; etc. A.3. Cuaternións A álxebra de cuaternións, H, é un anel de división1contendo a Cde dimensión complexa 2 e dimensión real 4. A R−álxebra Hpode ser descrita como a álxebra de matrices complexas 2×2da forma a b −¯ b¯a!(A.13) coa suma e produto de matrices. Cé un subcorpo de Hco mergullo dado por c∈C7−→ c0 0 ¯c!∈H.(A.14) Ré tamén un subcorpo de H; é máis, é o centro de H. A álxebra Hé un espazo vectorial complexo con base canónica 1 = 1 0 0 1 !ej= 0 1 −1 0 !.(A.15) 1Un anel de división é un anel unitario no cal todo elemento distinto de 0 é invertible e, polo tanto, unha unidade. Tamén se denominan corpos non conmutativos, por ser a conmutatividade a única propiedade que os diferencia dos corpos. A.3. CUATERNIÓNS 37 O produto cumpre que zj =j¯zpara z∈Cej2=−1.(A.16) Xorde naturalmente o seguinte isomorfismo de espazos vectoriais complexos: C2−→ H, dado por(a, b)7−→ a+bj = a b −¯c¯a!∈H.(A.17) Na álxebra de cuaternións pode definirse un anti-automorfismo de C−álxebras denominado conxugación i:H−→ H, dada por h=a+bj 7−→ ¯ h= ¯a−bj,a, b ∈C,(A.18) e que dá lugar a unha norma en H: i:H−→ R, dada por N(h) = h·¯ h=¯ h·h, (A.19) que se corresponde co cadrado da norma hermítica en C2. Como espazo vectorial real, a base canónica de Hestá formada polos seguintes catro elementos: 1 = 1 0 0 1 !,i= i0 0−i!,j= 0 1 −1 0 !, e k= 0i i0!.(A.20) As regras para o produto son i2=j2=k2=−1,(A.21a) ij =−ij =k,jk =−kj =i, e ki =−ik =j. (A.21b) Xorde un isomorfismo natural de R-espazos vectoriais R4−→ H, dado por (a, b, c, d)7−→ a+bi +cj +dk. (A.22) Defínese a conxugación, un anti-automorfismo de R−álxebras como H−→ H, dado por a+bi +cj +dk 7−→ a−bi −cj −dk, (A.23) que á súa vez dá lugar a unha norma H−→ R, dado por a+bi +cj +dk 7−→ a2−b2−c2−d2,(A.24) que se corresponde co cadrado da norma de Minkowski. Os postulados básicos da álxebra linear poden ser formulados para aneis de división. Un endomorfismo ϕ:Hn−→ Hn, linear respecto ao produto pola esquerda por escalares, pode describir como unha matriz n×ncon coeficientes en H. Desta forma, pódese identificar GL(n, H) = AutH(Hn).(A.25) 38 APÉNDICE A. CONCEPTOS BÁSICOS PREVIOS Dados x, y ∈Hn, defínese o produto escalar simpléctico estándar,h·,·i, como hx, yi= n X µ=1 xµ¯yµ.(A.26) A norma asociada a dito produto vén dada por hx, xi= n X µ=1 xµ¯xµ= n X µ=1 N(xµ).(A.27) A.4. Álxebra simétrica Dados Vun espazo vectorial sobre un corpo F, a álxebra simétrica,Sym(V)é unha álxebra conmutativa sobre Fque contén a Ve satisfai a seguinte propiedade universal: Proposición A.2. Sexan Vun F-espazo vectorial e Aunha álxebra conmutativa. Dada f:V−→ A, existe un único homomorfismo de álxebras g: Sym(V)−→ Atal que f=g◦i, onde ié a inclusión de Ven Sym(V). A álxebra simétrica, Sym(V)pode construírse como o cociente da álxebra tensorial T(V)polo ideal xerado polos elementos da forma x⊗y−y⊗x. Trátase dunha álxebra graduada; é dicir, é a suma directa Sym(V) = ∞ M n=0 Symn(V),(A.28) onde Symn(V)é o subespazo vectorial xerado polos produtos de nelementos de V. Dise que Symn(V)é a n-ésima potencia de V. Para n= 2,Sym2(V)denomínase cadrado simétrico de V. Bibliografía [1] Fulton, W. and Harris, J., Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, vol. 129, Springer-Verlag, New York, 1991. [2] Bröcker, T. and T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 98, Springer Science& Business Media, New York, 1985. [3] Hall, B. C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction, 2nd Edition, Springer. [4] Sepanski, M. R., Compact Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 235, Springer Science & Business Media, 2007. [5] Samelson, H., Notes on Lie Algebras, 3rd Edition. [6] Seitz-Mcleese, M. Classifying the representations of sl(2,C) [7] Woit, P., Quantum Theory, Groups and Representations. An introduction, Springer, 2017. [8] Warner, F. W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 94, Springer-Verlag, 1983. [9] Lee, J. M., Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, Springer Science & Business Media, 2006. [10] Kosniowski, C., A first course in algebraic topology, Cambridge University Press, 1980. 39