Clasificación de Superficies

Vicerreitoría de eStUdaNteS, cUltUra e ForMaciÓN coNtiNUa Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Matemáticas Topoloxía de Superficies Xosé M. Masa Vázquez 1 Clasificación de Superficies 9788498 879612 Departamento de Xeometría e Topoloxía Facultade de Matemáticas Clasificación de Superficies 1 Xosé M. Masa Vázquez Departamento de Xeometría e Topoloxía Facultade de Matemáticas ADVERTENCIA LEGAL: reservados todos os dereitos. Queda prohibida a duplicación, total ou parcial desta obra, en calquera forma ou por calquera medio (elec-trónico, mecánico, gravación, fotocopia ou outros) sen consentimento expreso por escrito dos editores. Dep. Legal: C 52 - 2013 ISBN 978-84-9887-961-2 © Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra atópase baixo unha licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0. Calquera forma de reprodución, distribución, comunicación pública ou transformación desta obra non incluída na licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0 só pode ser realizada coa autorización expresa dos titulares, salvo excepción prevista pola lei. Pode acceder Vde. ao texto completo da licenza nesta ligazón: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/legalcode.gl Deseño Unidixital Servizo de Edición Dixital da Universidade de Santiago de Compostea Edita Vicerreitoría de Estudantes, Cultura e Formación Continua da Universidade de Santiago de Compostela Servizo de Publicacións da Universidade de Santiago de Compostela Imprime Unidixital MATERIA: Topoloxía de Superficies TITULACIÓN: Grao en Matemáticas PROGRAMA XERAL DO CURSO Localización da presente unidade didáctica 1. CONEXIDADE Separación e conexidade Compoñentes conexas 2. CONEXIDADE POR CAMIÑOS Camiño. Camiño inverso. Produto de camiños Conexidade por camiños Conexidade local por camiños 3. COMPACIDADE Coberturas e subcoberturas Definición de compacidade Compacidade dun produto Compacidade en espazos métricos 4. COMPACIDADE LOCAL Compacidade local Compactificación de Aleksandrov 5. SUPERFICIES COMPACTAS Superficies. Suma conexa de superficies As superficies como cocientes de rexións planas. Triangulacións Orientabilidade 6. CLASIFICACIÓN DAS SUPERFICIES COMPACTAS, I Símbolo da presentación dunha superficie Redución do símbolo a unha forma canónica A característica de Euler dunha superficie 7. HOMOTOPÍA Homotopía de aplicacións Retración e deformación Espazos contráctiles Equivalencias e Tipo de homotopía 8. O GRUPO FUNDAMENTAL Homotopía de camiños. Lazos O Grupo Fundamental UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies - 3 9. CÁLCULO DO GRUPO FUNDAMENTAL Espazos simplemente conexos O Grupo Fundamental das esferas O Grupo Fundamental da circunferencia 10. CLASIFICACIÓN DAS SUPERFICIES COMPACTAS, II Presentación de grupos por xeradores e relacións O Teorema de Van Kampen O Grupo Fundamental das superficies compactas Teorema de Clasificación das Superficies Compactas 4UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies ÍNDICE PRESENTACIÓN ............................................................ 7 OBXECTIVOS ............................................................... 8 METODOLOXÍA ............................................................. 8 AVALIACIÓN ................................................................. 9 CONTIDOS ................................................................... 11 1.Superficies ............................................................. 11 1.1. Definición e exemplos ......................................... 12 1.2. Suma conexa de superficies .................................. 14 1.3. Superficies con bordo ......................................... 15 2. Clasificación das Superficies Compactas ............................ 16 2.1. As superficies como cocientes de rexións planas. Triangulacións .............................................. 17 2.2. Orientabilidade ................................................. 18 2.3. Símbolo da presentación dunha superficie ................... 20 2.4. Redución do símbolo a unha forma canónica ................ 21 3. O Grupo Fundamental das superficies compactas .................. 23 3.1. Cálculo do Grupo Fundamental dunha superficie ............ 24 3.2. Teorema de Clasificación das Superficies Compactas ...... 26 3.3. Outra definición da Característica de Euler .................. 26 3.4. O xénero dunha superficie .................................... 27 ANEXO I: EXPOSICIÓNS PARA FACEREN AS E OS ESTUDANTES .. 28 A. A característica de Euler dunha superficie ........................... 28 B. Revestimento de orientación dunha superficie ...................... 29 ANEXO II: EXERCICIOS .................................................... 31 Referencias ................................................................... 32 UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies - 5 PRESENTACIÓN Asuperficie é un obxecto matemático importante e, como tal, dedícaselle un espazo amplo nos estudos do Grao. Constitúe o exemplo máis sinxelo de variedade multidimensional e as súas propiedades xeométricas, establecidas en gran medida por Gauss hai 200 anos, constitúen o punto de partida do estudo en dimensións superiores. Estudo que, en dimensión dous, se desenvolve na materia Teoría Global de Superficies, que se cursa ao tempo que esta. Aquí adóptase un punto de vista máis abstracto, prescindindo de calquera consideración métrica, centrándose nas propiedades topolóxicas do espazo subxacente. Un marco que, neste caso excepcional, permite conclusións precisas e completas: o Teorema de Clasificación Topolóxica das Superficies. O curso vertébrase arredor do enunciado e demostración deste resultado no caso máis simple, o das superficies compactas. O Programa divídese de forma natural en tres partes, de extensión parella, 1,5 créditos cada unha, para completar os 4,5 créditos dispoñíbeis. No primeiro terzo, os catro primeiros temas, abórdase o estudo da Topoloxía Conxuntista necesaria, tratando especialmente os conceptos de conexidade ecompacidade en espazos topolóxicos abstractos. Outro terzo da materia, que abrangue os temas 7, 8 e 9, e parte do tema 10, dedícase ao estudo da Homotopía e o Grupo Fundamental, un mergullo na Topoloxía Alxébrica, unha das grandes achegas da matemática do s.XX, presente no desenvolvemento de toda a matemática pura actual, e que supón unha metodoloxía novidosa e potente, magnificamente exemplificada no uso que se fai dela na demostración do Teorema de Clasificación. En fin, ao terzo restante dedícase esta Unidade Didáctica. Engloba os contidos referidos directamente a superficies, temas 5, 6 e parte do 10. Desde a súa definición, estudo de exemplos, orientabilidade,…ata o enunciado, discusión e demostración do Teorema de Clasificación. Deste xeito, deixando a un lado os desenvolvementos máis técnicos e auxiliares, a Unidade Didáctica céntrase nos aspectos máis substantivos, poñendo a énfase na comprensión do enunciado do Teorema e o seu alcance, analizando as súas consecuencias. E demorándose na consideración do dobre método da demostración: por un lado, un percorrido xeométrico ata reducir cada superficie a un modelo standard e, por outro, un método alxebro-topolóxico, baseado no Grupo Fundamental, para distinguir entre si os diferentes modelos. UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies - 7 1.1.6 A FAIXA DE MÖBIUS.- Imos construír agora un exemplo notable; non vai ser unha superficie compacta, como os exemplos anteriores. Será un cociente do produto do intervalo pechado polo intervalo aberto, [0,1] ×(0,1), pola relación de equivalencia xerada por (0, y)∼(1,1−y). r r O cociente, M, é a faixa de Möbius (Möbius strip). (Se queres construír unha faixa de Möbius con papel ou cartolina, parte dun rectángulo, mellor que dun cadrado). 1.1.7 EXERCICIO.- 1. Identifica o cociente dos conxuntos bermello e verde. 2. Constrúe unha función continua de Msobre S1. 1.2. Suma conexa de superficies Sexan S1eS2dúas superficies, D1eD2discos pechados en S1eS2, respectivamente; ou sexa, subconxuntos homeomorfos a un disco pechado no plano euclidiano. Imos supor que cada disco escollido está contido nun aberto da superficie homeomorfo a R2. As fronteiras dos discos, Fr(Di), i = 1,2, son homeomorfas a S1. Sexa ϕ:Fr(D1)→Fr(D2)un homeomorfismo. Na unión disxunta (S1−Int(D1)) ∪(S2−Int(D2)) consideramos a relación de equivalencia ∼ϕdeterminada por x∼ϕ(x)se x∈Fr(D1). Construímos o cociente S1#S2= [(S1−Int(D1)) ⊔(S2−Int(D2))] / ∼ϕ. 1.2.1 LEMA.- O cociente S1#S2é unha superficie. 1.2.2 CUESTIÓN.- Comprobade que o cociente é Hausdorff, localmente euclidiano e conexo. (Pódese considerar S1#S2como unión de tres subespazos abertos: S1menos un disco pechado, S2menos un disco pechado e un cilindro) 1.2.3 DEFINICIÓN.- A superficie S1#S2denomínase suma conexa (connected sum) das superficies S1eS2. A construción depende das escollas feitas, D1, D2eϕ, pero ao variar a escolla as superficies resultantes son homeomorfas. Non é difícil construír o homeomorfismo pertinente, pero nós deduciremos este feito do Teorema de Clasificación. 14UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies 1.2.4 OBSERVACIÓN.- O Teorema de Clasificación permitirá concluír que a operación #ten, no conxunto de tipos de homeomorfía das superficies, as boas propiedades da suma dos números enteiros, salvo non ter oposto: é conmutativa, asociativa e ten elemento neutro, a esfera S2; ten estrutura de semigrupo. 1.3. Superficies con bordo Hai unha definición de variedade topolóxica máis xeral da que temos dado. Será un espazo topolóxico Mno que cada punto teña unha veciñanza aberta homeomorfa a Rnou ao semi-espazo {(x1, x2, . . . , xn)|xn≥0}. O conxunto de puntos que non admiten ningunha veciñanza homeomorfa a Rndenomínase bordo (boundary) da variedade. E diremos que Mé unha variedade con bordo (manifold with boundary). O bordo denótase ∂(M). No caso de ser n= 2 e de se verificar as restantes propiedades topolóxicas que consideramos na definición de superficie, teremos unha superficie con bordo (bordored surface). 1.3.1 EXEMPLOS.- O semiplano superior pechado, ou o disco pechado, son superficies con bordo. O cilindro S1×Ié unha superficie con bordo. A Faixa de Möbius, construída partindo dun cadrado pechado, é unha superficie con bordo. Dada unha superficie sen bordo, se consideramos nela unha colección finita de discos pechados disxuntos, se quitamos os interiores deses discos teremos unha superficie con bordo. 1.3.2 CUESTIÓN.- Supoñamos que, nun espazo X, un punto xadmite unha veciñanza homeomorfa ao plano superior pechado, e que a imaxe do punto xpolo homeomorfismo pertenza ao eixo de abscisas. Pode o punto xadmitir unha veciñanza aberta homeomorfa a R2? Cando falemos de superficies neste curso, de non explicitar o contrario, entenderemos que se trata de superficies sen bordo. UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies - 15 2. Clasificación das Superficies Compactas Grigori Perelman (1966). O último elo dunha longa cadea de esforzo para resolver a conxectura de Poincaré. Os inmediatos anteriores que non se pode deixar de citar son Richard Hamilton (1943), que desenvolveu a técnica do fluxo de Ricci que permitiu a Perelman probar aconxectura de xeometrización, proposta en 1983 por Willian Thurston (1946), e que implica a conxectura de Poincaré. Un dos retos da matemática consiste en clasificar os obxectos ou estruturas que define. Poucas veces se consigue unha resposta tan completa e tan simple como no caso que nos ocupa. Do Teorema de Clasificación dedúcese, en particular, que toda superficie compacta simplemente conexa é homeomorfa á esfera S2. Seguramente xa a estas alturas, mesmo antes de acabar a demostración do teorema, paréceche un resultado razoábel e, se cadra, non moi complicado. Pois xa ves, a famosa conxectura de Poincaré, si, o mesmo Poincaré que deu nome ao grupo fundamental, afirmaba (agora xa é un teorema) xustamente iso, pero en dimensión 3.Toda variedade compacta e simplemente conexa de dimensión 3é homeomorfa á esfera S3. E foron necesarios 100 anos, o esforzo de moita xente e profundas teorías para poder concluír que é certo. E isto só para a esfera, nada comparado co Teorema de Clasificación de Superficies, que agora tes a oportunidade de comprender e gozar. 16UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies 2.1. As superficies como cocientes de rexións planas. Triangulacións Temos presentado algunhas superficies como cocientes de rexións planas. Imos ver agora que toda superficie compacta se pode presentar desta forma. Para iso, comezaremos por triangular a superficie, ou sexa, dividir a superficie en trozos pechados homeomorfos a triángulos, de xeito que estos triángulos se peguen ben. A triangulación é un tipo de estrutura combinatoria (combinatorial structure). As estruturas combinatorias teñen grande interese en moitas ramas da matemática, tamén na topoloxía. Nós imos apenas rozala, polo que non faremos un tratamento sistemático. Imos falar de triángulos, entendendo por tais conxuntos pechados homeomorfos a un triángulo xeométrico. E nestes conxuntos imos distinguir vértices, arestas e cara, en correspondencia polo homeomorfismo cos vértices, as arestas e o interior do triángulo xeométrico. 2.1.1 DEFINICIÓN.- Unha triangulación (triangulation) dunha superficie compacta Sé unha colección de triángulos en S,T={T1, . . . , Tn}, tal que se verifica: 1. S=∪n i=1Ti 2. dous triángulos Ti, Tj, ou son disxuntos, ou teñen en común un punto, que corresponde a un vértice dos triángulos, ou teñen en común un conxunto que corresponde a unha aresta. 3. toda aresta é a fronteira de exactamente dous triángulos 4. todo vértice está na fronteira de varios triángulos, que poden ser dispostos en orde cíclica; isto é, se x0é un vértice, o conxunto de triángulos que o conteñen poden ser enumerados como Ti1, . . . , Tikde xeito que Tij∩Tij+1 é unha aresta (facendo Tik+1 =Ti1). Sobre o Toro, nas figuras abaixo, (a)e(b)non serían triangulacións; por contra, (c), si.  @@@@@@@ @ r r r r(a) r r r r        A A A       (b) r r r r          (c) 2.1.2 CURIOSIDADE.- Cal é o número mínimo de triángulos necesarios para triangular a esfera? É bastante natural admitir que toda superficie compacta posúe unha triangulación, pero isto require unha demostración. Unha demostración rigorosa deste feito é menos elemental do que se puidera un imaxinar, desborda o tempo de que dispomos e non ten especial interese para nós, polo que non a faremos. Algún dos seus argumentos, dun valor formativo maior no contexto do noso programa, abordarémolo como exercicio. UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies - 17 Sexa agora Sunha superficie compacta, cunha triangulación T= {T1, T2, . . . , Tk}. A partir de Tconstrúese un polígono, coas arestas identificadas de dúas en dúas, tal que o seu cociente é a superficie de partida. Para facelo, asociamos a cada Tiun triángulo xeométrico T′ ien R2. Partindo dun deles, por exemplo, T′ 1, imos pegando os outros por algunha das arestas que están identificadas na triangulación. Os detalles poden consultarse no libro de Massey [?, Capítulo I, Sección 7]. 2.1.3 OBSERVACIÓN.- Na definición de triangulación inclúese que dous triángulos poden compartir, como moito, un lado. Descompoñendo unha superficie en rexións triangulares poderían tres triángulos, ou máis, compartir un mesmo lado? Pola propia natureza da superficie, a resposta semella non. Pero dar unha resposta formal esixe unha argumentación non trivial, que nós abordaremos máis adiante, utilizando como ferramenta o grupo fundamental (Tema 8). De momento, admitímolo sen proba. 2.2. Orientabilidade Vivimos nun planeta orientado: en calquera punto, se miramos cara ao Polo Norte, temos o Leste á nosa dereita. Ou, mirando ao Polo Sur, teriamos o Leste á nosa esquerda, que é o mesmo en canto a orientación. Outro exemplo práctico: unha mesa chea de comensais; podemos pensar nunha mesa redonda, que é máis visual. Co servizo de cada comensal, situado lateralmente, hai un anaco de pan. Na nosa cultura adóitase adxudicar a cada comensal o pan que ten á súa esquerda. Pero acontece a miúdo que a primeira persoa colla o pan que máis lle entre polos ollos; dise, entón, que orientou a mesa (no sentido das agullas do reloxo, se optou polo panciño da esquerda, no contrario, no outro caso). Que é unha orientación? Nun espazo vectorial de dimensión finita, pensade en R2ou R3, primeiro, dadas dúas bases ordenadas existe unha matriz de cambio de base, matriz que ten determinante diferente de cero. Pódese definir unha relación de equivalencia no conxunto de bases ordenadas: dúas serán equivalentes se o determinante da matriz de cambio de base é positivo. Só hai dúas clases de equivalencia. Cada clase de equivalencia denomínase orientación (orientation). En dimensións baixas é doado visualizar o concepto de orientación. En Rredúcese a sentido. En R2, dada unha base v1, v2, se nos movemos sobre a circunferencia unitaria, por exemplo, de v1av2polo ángulo máis pequeno, faremos un percorrido no sentido das agullas do reloxo ou no contrario, en función da clase de equivalencia á que pertenza a base; no plano, orientación é o mesmo que sentido de xiro. Para facer un símil en R3, na vez dun reloxo pódese usar un sacarrollas. Como trasladar esta noción a unha superficie? De dispor das ferramentas da Xeometría Diferencial, unha orientación da superficie nun punto sería unha orientación do seu plano tanxente. Localmente poderiamos trasladar unha orientación de R2a todos os puntos dunha carta coordenada. 18UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies Se tivesemos unha cobertura por cartas coordenadas tais que os jacobianos dos cambios de cartas foran positivos, teriamos unha orientación en cada punto compatible coa escolla local. A superficie estaría orientada. Sempre se pode definir orientación nun punto da superficie, dúas orientacións en cada punto, de feito. Pero non sempre é posible facelo de forma coherente: cando é posible dise que a superficie é orientábel (orientable), e non orientábel (nonorientable)noutro caso. Pero nós non imos usar unha estrutura diferenciable. Poderiamos utilizar a estrutura combinatoria dada polas triangulacións. Por exemplo, podemos numerar os vértices dunha triangulación. E orientar arestas e triángulos segundo a orde crecente dos vértices. As orientacións de dous triángulos adxacentes dinse coherentes se inducen na aresta común orientacións contrarias. Se todas son coherentes, definirán unha orientación na superficie. É un bo método para traballar exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r r r r r r rrr ```` ` """  \ \ \ \   b b b A A A   B B B B B 1 2 1 2 3 3 5 64 Triangulación do Plano Proxectivo A orientabilidade é unha propiedade topolóxica, e pódese definir para calquera variedade topolóxica, sen recorrer a técnicas diferenciais nin combinatorias. Nós imos dar unha definición moi particular, útil para o caso das superficies. Comezaremos facendo unha discusión intuitiva, informal. Para esta discusión, identificaremos orientación nun punto da superficie con sentido de xiro sobre unha pequena circunferencia debuxada na superficie, arredor do punto. Imos traballar sobre a Faixa de Möbius, que a pensamos como cociente do rectángulo da figura: r rr r       }}} oo  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fixada unha orientación no punto central e desprazándoa ao longo da circunferencia (liña vermella), ao volver ao mesmo punto a orientación inverteuse. Isto lévanos a concluír que a Faixa de Möbius é non orientábel. Esta idea pódese usar como definición: unha superficie sería orientábel se desprazando unha orientación ao longo dun camiño pechado, esta non muda. Pero nós imos dar aínda outra definición, que será máis cómoda, e abonda para as nosas necesidades. 2.2.1 DEFINICIÓN.- Diremos que unha superficie é orientábel se non contén ningún subespazo homeomorfo a unha Faixa de Möbius. Noutro caso diremos que é non orientábel. UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies - 19 É doado comprobar que o Plano Proxectivo e a Garrafa de Klein son superficies non orientábeis. A Esfera e o Toro, por contra, son superficies orientábeis. Pero isto non o poderemos concluír cabalmente ata ter demostrado o Teorema de Clasificación. 2.3. Símbolo da presentación dunha superficie Como temos visto, toda superficie compacta pódese presentar como cociente dun polígono, coas arestas identificadas dúas a dúas. A cada unha destas presentacións asociaremos un símbolo (symbol). Para iso, etiquetamos cada aresta cunha letra. Etiquetada unha aresta, por exemplo coa letra a, a aresta coa que se identifica denotarémola por aou por a−1: fixado un sentido de lectura do polígono, se o primeiro vértice que encontramos da aresta ase identifica ao primeiro que encontramos da súa parella, etiquetarémola como a. En caso contrario, como a−1. Para indicar como se identifican as arestas, non se marcan puntos a identificar, como viñamos facendo; indícase unicamente o sentido da identificación, mediante unha frecha. A superficie resultante non depende do homeomorfismo, soamente do sentido, da imaxe dos extremos (podería un extremo do segmento ter como imaxe un punto do interior do segmento?). A continuación poñemos como exemplos representacións do Toro, o Plano Proxectivo e a Garrafa de Klein. As representacións, certamente, non son únicas, como teremos ocasión de comprobar. Aínda menos o símbolo. Neste caso, para escribir os símbolos, empezamos a ler o polígono polo vértice superior da esquerda. ? ?b b a a - - aba−1b−1 6 ? -  b b a a abab 6 ? - - b b a a aba−1b Non resulta difícil comprobar que un símbolo da suma conexa de dúas superficies pódese formar unindo os símbolos das dúas superficies. Ímolo ver nun exemplo. 20UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies 2.3.1 O DOBRE TORO.- O dobre toro, como se indica na figura, é a suma conexa de dous toros. Imos partir da presentación de dous toros, con símbolos aba−1b−1ecdc−1d−1, e imos chegar ao símbolo aba−1b−1cdc−1d−1 para o dobre toro. Quitamos un disco aberto na rexión poligonal de cada toro; as modificamos para obter novas rexións poligonais, agora con cinco arestas (a nova corresponde á fronteira do disco). Finalmente pegamos as dúas rexións por esta aresta impar. O proceso indícase na figura abaixo. a a eee a a b b b b b b a a c c c c d d d d d d c c 2.3.2 OBSERVACIÓN.- Se no símbolo dunha superficie hai dúas arestas co mesmo expoñente, digamos ...a...a..., daquela a superficie é non orientábel. En efecto, unindo os extremos destas arestas fórmase unha faixa de Möbius. Reciprocamente, se a superficie contén unha faixa de Möbius, pódese construír unha triangulación comezando por unha da faixa de Möbius, que conteña duas arestas co mesmo expoñente. 2.4. Redución do símbolo a unha forma canónica O Teorema de Clasificación vai dicir que toda superficie compacta é homeomorfa ou a unha esfera, ou a unha suma conexa de toros, ou a unha suma conexa de planos proxectivos. A esfera admite como símbolo aa−1. A suma conexa de ntoros admite como símbolo a1b1a−1 1b−1 1. . . anbna−1 nb−1 n. A suma conexa de nplanos proxectivos admite como símbolo c1c1. . . cncn. Trátase de ver que todo símbolo se pode reducir a un destes. Iso é o que faremos agora. 2.4.1 OBSERVACIÓN Tamén é común utilizar outra linguaxe: denomínase asa (handle) a un toro menos o interior dun disco pechado; a suma conexa de UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies - 21 ntoros é tamén unha esfera con nasas. Analogamente, un bonete cruzado (cross-cap) é un plano proxectivo menos o interior dun disco pechado; a suma conexa de nplanos proxectivos é tamén unha esfera con nbonetes cruzados. O proceso de redución de calquera símbolo a un destes está descrito na maioría dos textos sobre superficies, por exemplo, en [?]. Trátase de realizar unha cadea de modificacións da rexión plana que non alteran a clase de homeomorfía do cociente. Ou sexa, que todas definen superficies homeomorfas. Tal como nós o faremos, está dispoñíbel no curso virtual nunha presentación cos principais argumentos. Pódese acceder a esta presentación tamén na seguinte páxina web: http://www.slideshare.net/XosMMasaVzquez/superf-nova Agora quedará por demostrar que dous símbolos diferentes representan superficies non homeomorfas. Isto precisará novas ideas, novas técnicas. Nós utilizaremos a homotopía e o Grupo Fundamental, polo que teremos que agardar ata o Tema 10 para rematar a demostración. No proceso de redución, se o símbolo ten arestas cos mesmos expoñentes, reducirase a unha suma conexa de planos proxectivos. Noutro caso, á esfera ou a unha suma conexa de toros. De acordo coa Observación 2.??, a esfera e a suma conexa de toros serán as superficies orientábeis, a suma conexa de espazos proxectivos, as non orientábeis. Temos demostrado, pois, o seguinte 2.4.2 TEOREMA .- Toda superficie compacta é homeomorfa a unha esfera, ou a unha suma conexa de toros ou a unha suma conexa de planos proxectivos. Para completar o Teorema de Clasificación, resta por demostrar que estas superficies non son homeomorfas entre si, o que faremos no último tema. 22UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies 3. O Grupo Fundamental das superficies compactas Henri Poincaré (1854-1912) De intelixencia portentosa, fixo grandes aportacións en teoría de funcións, ecuacións diferenciais, xeometría hiperbólica, física relativista, filosofía da ciencia,… A descuberta do grupo de transformacións da xeometría non euclidiana, co papel que xogan na presentación das superficies como cocientes métricos de rexións planas, e os seus estudos de topoloxía combinatoria conducíronno á construcción do grupo fundamental. Que propiedade topolóxica dun espazo reflicte a diferencia entre, por exemplo, un disco e unha coroa no plano euclidiano? Noutras palabras, como detectar a presenza dun burato sen facer uso de ningunha ferramenta non topolóxica, como distancia ou ángulo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r r . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... .. ... ... ... .. ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .. .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .. ... ... ... .. ... ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r r Xustamente a razón de introducir neste curso a homotopía é a necesidade de distinguir entre superficies non homeomorfas, como a esfera e o toro. Non faremos unha teoría xeral de homotopía, limitarémonos, esencialmente, á consideración de homotopía de camiños. No caso dos exemplos citados, dous camiños cos mesmos extremos no disco pódense deformar un no outro con continuidade; na linguaxe que imos introducir, son homótopos. Isto non acontece sempre na coroa. Esta idea sinxela vaise elaborar ata dar lugar á construcción dun grupo, o Grupo de Poincaré ou Grupo Fundamental do espazo, que será un invariante topolóxico. Calcularemos o Grupo de Poincaré de cada superficie modelo, comprobando que son todos diferentes. Concluiremos que cada modelo corresponde a unha clase de homeomorfía distinta. UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies - 23 B.7 Sexan e SeSsuperficies compactas, p:e S→Sunha proxección de revestimento de kláminas. Daquela χ(e S) = kχ(S). (Indicación: usar unha triangulación de Scon triángulos contidos en abertos lisos. Construír a partir dela unha triangulación de e S) B.8 CONSTRUCIÓN DO REVESTIMENTO DE ORIENTACIÓN.- A clase de homeomorfía dunha superficie non orientábel vén determinada pola súa característica de Euler, que será un número enteiro necesariamente menor ou igual que 1. Se Sé non orientábel, é a suma conexa de 2−χ(S)planos proxectivos. No exercicio 8.?? (seminario do 12 de abril), vimos que a suma conexa de n+ 1 planos proxectivos admite unha presentación poligonal de símbolo a1a2. . . anc a−1 1a−1 2. . . a−1 nc Imos considerar outra copia desta superficie; escribiremos o seu símbolo como bnbn−1. . . b1c b−1 nb−1 n−1. . . b−1 1c Agora construímos unha nova superficie a partir destas dúas copias; formamos unha nova rexión poligonal pegando unha aresta cde cada copia. Trátase de identificar a nova superficie, e S, comprobar que é orientábel, definir unha función p:e S→Se verificar que é unha proxección de revestimento. B.9 Definide explicitamente o revestimento de orientación da Garrafa de Klein 30UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies ANEXO II: EXERCICIOS C.1 Comprobade que o cociente do disco coa identificación que se indica na Figura 1 é homeomorfo á esfera. C.2 Comprobade que o cociente do disco coa identificación que se indica na Figura 2 é homeomorfo ao plano proxectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r r r r r r r r Figura 1 Figura 2 r r r r K Figura 3 C.3 Expresade analiticamente a relación de equivalencia que se indica en I2, na Figura 3, e demostrade que o cociente é unha superficie. Denomínase Garrafa de Klein (Klein Bottle) C.4 Demostrade que todo espazo compacto e localmente euclidiano é segundo enumerábel (Indicación: pódese expresar como unión finita de subconxuntos abertos homeomorfos ao espazo euclidiano). C.5 Constrúe unha función continua e sobrexectiva da faixa de Möbius sobre a circunferencia S1. C.6 Constrúe un mergullo do toro T2=S1×S1en R3. C.7 Partindo da función f:S2→R4dada por f(x, y, z) = (x2−y2, xy, xz, yz), constrúe un mergullo de P2en R4. C.8 Sexa Kun subconxunto compacto, convexo e con interior non baleiro do plano euclidiano. Demostrade que existe un homeomorfismo ϕ:D2→K entre o disco unitario pechado e K, que leva S1na fronteira Fr(K)de K. (Podedes supor, sen perda de xeneralidade, D2⊂K) C.9 Buscade un argumento formal para xustificar que unha triangulación dunha superficie compacta non pode ter unha infinidade de triángulos. C.10 Considera as rexións planas con símbolos a b c d a−1b−1c d−1, a b c d a−1b−1d−1c−1. Cantos vértices distintos teñen? UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies - 31 C.11 Demostrade o homeomorfismo K ≈ P2#P2. C.12 Demostrade o homeomorfismo T2#P2≈P2#P2#P2. Esquema: e e a d−1a d    RR R RR - - -- -         I II 6 i  @@@@ @ @ @ @     III c d e a e d a  @@@@ @ @ @ @     IV c c d d e e c d c d e e  @@@@ @ @ @ @     I aba−1b−1cc d c c a b b a  @@@@ @ @ @ @     II a b d b a d e a d b a d b C.13 Sexa Uo interior dun disco pechado en P2. Discutide o homeomorfismo P2−U≈ M. C.14 Dados dous espazos con punto base, (X, x0)e(Y, y0), denomínase wedge ou unión por un punto, e se denota X∨Y, ao cociente da unión disxunta de XeYresultante de identificar x0ey0, X∨Y= (X⊔Y)/x0∼y0. Utilizando o Teorema de Van Kampen, calculade o grupo fundamental de S1∨S2. (Observación: en xeral, o wedge depende da escolla dos puntos base; no caso das esferas, non) C.15 Deducide do Teorema de Clasificación das supefrficies compactas con bordo que a clase de homeomorfía da suma conexa de dúas superficies non depende das escollas feitas. 32UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies Referencias [1] ARMSTRONG, M. A., Topología Básica, Editorial Reverté, Barcelona, 1987. [2] CROSSLEY, M. D., Essential Topology. Springer-Verlag, London, 2005. [3] GOODMAN, S. E., Beginning Topology. Undergraduat Texts, 10, AMS, Providence, Rhode Island, 2009 [4] GRAMAIN, A., Topologie des Surfaces. Presses Universitaires de France, Paris, 1971 [5] GREENBERG, M. J. and J. R. HARPER,Algebraic Topology: a first course, Benjamin, Massachusetts, 1981. [6] KATOK, A. and V. CLIMENHAGA,Lectures on Surfaces: (almost) everything you wanted to know about them. Student Math. Library, 46, AMS, Providence, R.I., 2008 [7] KINSEY, L. C., Topology of Surfaces. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1993 [8] LEE, J. M., Introduction to topological manifolds Graduate texts in mathematics, Springer-Verlag, New York, 2000 [9] MCCLEARY, J., A First Course in Topology. Continuity and Dimension. Student Math. Library, 31, AMS, Providence, R. I., 2006. [10] MASA VÁZQUEZ, X.M., Topoloxía xeral. Introducción aos espacios euclidianos, métricos e topolóxicos. Manuais universitarios, 1. Universidade de Santiago de Compostela, 1999. [11] MASSEY, W. S., Introducción a la Topología Algebraica, Editorial Reverté, Barcelona, 1972. [12] MESSER, R. and P. STRAFFIN,Topology Now! The Mathematical Association of America, Washington, DC, 2006. [13] MUNKRES, J. R., Topología, Prentice Hall, Madrid, 2002 UNIDADE DIDÁCTICA I. Clasificación de Superficies - 33 Vicerreitoría de eStUdaNteS, cUltUra e ForMaciÓN coNtiNUa Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Matemáticas Topoloxía de Superficies Xosé M. Masa Vázquez 1 Clasificación de Superficies 9788498 879612 Departamento de Xeometría e Topoloxía Facultade de Matemáticas