Grupos de transformaciones

Traballo Fin de Grao Grupos de transformaciones Juan Manuel Lorenzo Naveiro Curso 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Grupos de transformaciones Juan Manuel Lorenzo Naveiro Julio, 2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Xeometría e Topoloxía Título: Grupos de transformacións Breve descrición do contido Segundo Felix Klein, a xeometría é o estudo daquelas propiedades dun espazo que permanecen invariantes baixo a acción dun grupo de transformacións. O obxectivo deste traballo é comeza-lo estudo dos grupos de transformacións continuas, coa idea de aplicar estes coñecementos á Xeometría Diferencial. Recomendacións Cursar “Variedades diferenciables”. Outras observacións iii Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Grupos topológicos de transformaciones 1 1.1. Preliminares: variedades topológicas ..................... 1 1.2. Grupos topológicos. Acciones de grupos ................... 2 1.3. Espacios de órbitas. Tipos de órbitas ..................... 6 1.4. Acciones propias ................................ 11 1.5. Ejemplos de acciones continuas ........................ 14 2. Grupos diferenciables de transformaciones 17 2.1. Preliminares: variedades diferenciables .................... 17 2.2. Fibrados vectoriales .............................. 18 2.2.1. Subfibrados de un fibrado vectorial .................. 21 2.2.2. El Teorema de Frobenius global .................... 21 2.3. Grupos de Lie .................................. 22 2.3.1. El álgebra de Lie de un grupo de Lie ................. 23 2.3.2. La integral de Haar en un grupo de Lie compacto .......... 24 2.4. Acciones diferenciables ............................. 25 2.5. Dos ejemplos de variedades homogéneas ................... 34 2.6. Tipos de órbitas ................................ 35 3. Acciones isométricas 39 3.1. Variedades de Riemann ............................ 39 3.1.1. Derivada covariante y geodésicas ................... 41 3.1.2. La aplicación exponencial de una variedad de Riemann ....... 42 3.2. Slices para una acción propia ......................... 43 3.3. Consecuencias del Slice Theorem ....................... 50 Bibliografía 63 v Resumen Los grupos de transformaciones están ligados a la noción de simetrías de un espacio dado y han alcanzado gran notoriedad en diversas ramas de las Matemáticas desde su aparición en el siglo XIX. El objetivo de este trabajo es hacer un estudio de los grupos de transformaciones desde el punto de vista de la Geometría Diferencial y, en menor medida, de la Topología. Se hará hincapié en las acciones propias de los grupos de Lie sobre las variedades diferenciables, así como en las acciones isométricas sobre variedades de Riemann. Con este fin, se hará una breve introducción a los fibrados vectoriales y a las variedades de Riemann. También se dedicará una parte del trabajo a la demostración de tres teoremas fundamentales relativos a las las acciones propias: el Teorema de la Variedad Cociente, el Slice Theorem y el Teorema de la Órbita Principal. Abstract Transformation groups are linked to the notion of symmetry of a given space and have attained great notoriety among several branches of Mathematics since their appearance in the nineteenth century. The aim of this work is to study transformation groups from the perspective of Differential Geometry and, to a lesser extent, Topology. Special interest will be devoted to proper Lie group actions on differentiable manifolds, as well as isometric actions on Riemannian manifolds. With this objective in mind, there will be a brief introduction to vector bundles and Riemannian manifolds. Furthermore, a part of this project will be dedicated to proving three fundamental theorems regarding proper actions: the Quotient Manifold Theorem, the Slice Theorem and the Principal Orbit Theorem. vii 2CAPÍTULO 1. GRUPOS TOPOLÓGICOS DE TRANSFORMACIONES Definición 1.3. Un espacio topológico Xse dice paracompacto si dado un recubrimiento abierto Ude X, es posible encontrar un refinamiento localmente finito Vde U. Lema 1.4 ([11, Teorema 1.15] y [12, Teorema 4.77]).Todo espacio topológico Xsegundo numerable, localmente compacto y Hausdorff es paracompacto. Más precisamente, dado un recubrimiento abierto Ude Xy una base Bde la topología de X, existe un refinamiento localmente finito de Uformado por elementos de B. Lema 1.5 ([12, Teorema 4.84]).Sea Xun espacio topológico paracompacto y Hausdorff. Si U={Ui}i∈Ies un recubrimiento abierto arbitrario de X, entonces existe un refinamiento localmente finito V={Vi}i∈Ide Utal que Vi⊆Uipara todo i∈I. Definición 1.6. Una aplicación continua f:X→Yse dice propia si es cerrada y para cada y∈Y, la fibra f−1(y)⊆Xes un conjunto compacto. Teorema 1.7 ([5, Capítulo 1, §10, Teorema 1 y Proposición 7]).Sean XeYdos espacios topológicos y f:X→Yuna aplicación continua. Si fes propia, entonces para todo K⊆Y compacto, su imagen recíproca f−1(K)⊆Xes compacto. Además, si XeYson Hausdorff, eYes localmente compacto, el recíproco también es cierto. 1.2. Grupos topológicos. Acciones de grupos Introducimos aquí la definición de grupo topológico, junto con el concepto de acción de un grupo topológico sobre un espacio Hausdorff. Seguiremos la exposición de [6]y[8] para este apartado. Definición 1.8. Un conjunto Ges un grupo topológico si es un espacio topológico Hausdorff, dotado de una estructura de grupo (cuyo elemento neutro denotamos por e) de manera que las aplicaciones α:G×G→G β :G→G (g, h)7→gh g7→g−1 son continuas (tomando en G×Gla topología producto). La aplicación αse conoce como multiplicación, mientras que se dice que βes la inversión. Notación 1.9.Si Ges un grupo topológico, para cada g∈Gse definen las aplicaciones Lg:G→G Rg:G→G h7→gh h7→hg. 1.2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. ACCIONES DE GRUPOS 3 Ambas aplicaciones son continuas, debido a la continuidad de α. También se deduce de la definición de grupo que Le=Re= IdG, así como que Lg◦Lg0=Lgg0yRg◦Rg0=Rg0g para cualesquiera g, g0∈G. Por lo tanto, LgyRgson homeomorfismos, verificando que L−1 g=Lg−1,R−1 g=Rg−1. Las aplicaciones LgyRgse conocen respectivamente como traslación por la izquierda ytraslación por la derecha. Ejemplo 1.10. El espacio vectorial Rnes un grupo topológico con la suma de vectores. En efecto, es una variedad topológica de dimensión n, y las aplicaciones αyβestarían dadas por α(x, y) = x+y,β(x) = −xpara cada x, y ∈Rn. Ambas aplicaciones son continuas, por ser sus componentes funciones polinómicas. Ejemplo 1.11 (El grupo lineal general).Denotamos por GL(n, R)al grupo de matrices invertibles n×ncon coeficientes reales. Es decir, GL(n, R) = {A∈ Mn(R): det(A)6= 0}. Puesto que la aplicación det: Mn(R)→Res continua, al ser polinómica, se tiene que GL(n, R) = det−1(R\{0})es una variedad topológica de dimensión n2por ser un abierto de Mn(R). La multiplicación αes continua: si A= (aij)yB= (bij)son dos matrices de GL(n, R), entonces se tiene que para cada i, j ∈ {1, ..., n},(AB)ij =Pn k=1 aikbkj, que es una función polinómica en las entradas de AyB. Probemos que la inversión βes continua. Para cualquier matriz A= (aij)∈GL(n, R), podemos tener en cuenta que para i, j ∈ {1, ..., n}, la entrada (i, j)de A−1es (A−1)ij =1 det(A)(−1)i+jdet(A[j,i]), siendo A[j,i]la submatriz de Aobtenida al eliminar la fila j-ésima y la columna i-ésima. Así, la entrada (i, j)de A−1es una función racional en los coeficientes de A, donde el denominador no se anula. Por consiguiente, βes una aplicación continua, y GL(n, R)es un grupo topológico. Ejemplo 1.12 (Subgrupos cerrados de GL(n, R)).Consideremos los siguientes subgrupos de G=GL(n, R): SL(n, R) = {A∈GL(n, R): det(A)=1}, O(n) = {A∈GL(n, R): ATA=In}, SO(n) = SL(n, R)∩O(n). Puesto que el determinante det: GL(n, R)→Ry la aplicación g:GL(n, R)→Sncon valores en el espacio de las matrices simétricas n×ndada por g(A) = ATAson aplicaciones continuas, deducimos que SL(n, R) = det−1(1) yO(n) = g−1(In)son subconjuntos 4CAPÍTULO 1. GRUPOS TOPOLÓGICOS DE TRANSFORMACIONES cerrados de GL(n, R), lo que implica que SO(n)también es cerrado. Ya que GL(n, R)era un grupo topológico, es claro que los subgrupos SL(n, R),O(n)ySO(n)vuelven a ser grupos topológicos. De hecho, O(n)es acotado: para cualquier matriz A∈O(n), las columnas de Adeben formar una base ortonormal de Rn. En consecuencia, Pn i,j=1 a2 ij =n, de donde ||A|| =√n (donde ||A|| denota la norma de Frobenius de la matriz A, pensada como vector de Rn2). Así, el Teorema de Heine-Borel nos permite concluir que O(n)es compacto. El mismo argumento nos permite concluir que SO(n)también es un grupo topológico compacto. Definición 1.13. Sea Xun conjunto y Gun grupo. Una acción de Gsobre Xes una aplicación ϕ:G×X→Xverificando que ϕ(g1g2, x) = ϕ(g1, ϕ(g2, x)), ϕ(e, x) = x, (1.1) para cualesquiera g1, g2∈G,x∈X. Usualmente emplearemos la notación g·x=ϕ(g, x), de modo que (1.1) se puede reescribir como (g1g2)·x=g1·(g2·x), e ·x=x(1.2) La terna (X, G, ϕ)recibe el nombre de grupo de transformaciones, y se dice que Xes un G-conjunto. También emplearemos la notación GyXpara decir que hay una acción de Gsobre X. En el caso de que Gsea un grupo topológico, Xsea un espacio Hausdorff y ϕsea continua, decimos que (X, G, ϕ)es un grupo topológico de transformaciones. En las condiciones anteriores podemos definir las aplicaciones: ϕg:X→X ϕx:G→X y7→g·y h7→h·x. Debido a las identidades (1.1), se deduce que ϕe= IdX, y ϕgh =ϕg◦ϕhpara todos g, h ∈G. De esa manera, vemos que cada aplicación ϕges biyectiva, con inversa ϕ−1 g= ϕg−1. De hecho, si estamos ante un grupo topológico de transformaciones, las aplicaciones anteriormente descritas son continuas, siendo además ϕgun homeomorfismo para todo g∈G. Ejemplo 1.14. Sea Gun grupo arbitrario, y H≤Gun subgrupo. Entonces Hactúa de modo natural sobre Gmediante la aplicación ϕ:H×G→Gdada por ϕ(h, g) = hg. En el caso de que Gsea un grupo topológico, la terna (G, H, ϕ)es un grupo topológico de transformaciones, ya que ϕno es más que la restricción de la multiplicación a H×G. 1.2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. ACCIONES DE GRUPOS 5 Ejemplo 1.15. Sean GyHen las condiciones anteriores. Otra posible acción de Hsobre Ges h·g=gh−1para todo h∈H, g ∈G. De nuevo, la acción es continua si Ges un grupo topológico. Ejemplo 1.16. Sea Gun subgrupo de GL(n, R)(por ejemplo, G=O(n)oG=SO(n)). La aplicación ϕ:G×Rn→Rn (A, x)7→Ax define una acción continua de Gsobre Rn, ya que para cada i∈ {1, ..., n}, se tiene que [Ax]i=Pn j=1 aijxjes una función polinómica en las entradas de Ay las de x. Definición 1.17. Sean (X, G, ϕ)e(Y, G, ψ)dos grupos de transformaciones. Una aplicación f:X→Yse dice que es G-equivariante (o simplemente equivariante) si se cumple que f(g·x) = g·f(x)para todo x∈Xy para cualquier g∈G. Se puede probar con facilidad que la composición de aplicaciones equivariantes es equivariante, así como que la inversa de una aplicación equivariante y biyectiva vuelve a ser equivariante. Definición 1.18. Sea (X, G, ϕ)un grupo de transformaciones. Para cada x∈X, se definen: (i)La órbita de xcomo: G·x={g·x:g∈G}=ϕx(G). (ii)El subgrupo de isotropía de xcomo: Gx={g∈G:g·x=x}= (ϕx)−1(x). Dados A, A0⊆G,B⊆X, definimos AA0={ab:a∈A, b ∈A0}=α(A×A0), A·B={a·b:a∈A, b ∈B}=ϕ(A×B), A−1={a−1:a∈A}=β(A). En particular, si G·B=Bdiremos que el conjunto Bes G-invariante (o simplemente invariante). Fijémonos en que si Bes invariante, la acción GyXse restringe a B. De la definición de acción, se puede comprobar que dado un grupo de transformaciones (X, G, ϕ)yx∈Xel subgrupo de isotropía Gxes en efecto un subgrupo de G. Además, en el caso de que (X, G, ϕ)sea un grupo topológico de transformaciones se cumple que Gx es cerrado en G. Si g∈G, se verifica que Gg·x=gGxg−1, igualdad que emplearemos a la hora de tratar los tipos de órbitas. 6CAPÍTULO 1. GRUPOS TOPOLÓGICOS DE TRANSFORMACIONES Definición 1.19. Sea (X, G, ϕ)un grupo de transformaciones. Diremos que ϕes: •Libre si Gx={e}para todo x∈X. •Efectiva si Tx∈XGx={e}(es decir, si para todo g∈Gque cumple g·x=xpara cada x∈X, se tiene que g=e). •Transitiva si para todo x∈X,G·x=X. En este caso, también se dice que Xes un G-espacio homogéneo. 1.3. Espacios de órbitas. Tipos de órbitas Si (X, G, ϕ)es un grupo topológico de transformaciones, podemos dotar al conjunto de todas las órbitas de una estructura de espacio topológico. Para ello, obtendremos dicho conjunto como un cociente de Xbajo cierta relación de equivalencia, lo que nos permitirá darle la topología cociente. En esta sección definiremos dicha relación, y veremos las propiedades básicas de este cociente, conocido como el espacio de órbitas. Además, definiremos los tipos de órbitas para una acción y daremos una relación entre ellos que bajo condiciones favorables nos permitirá dar un orden parcial entre los tipos de órbitas. Definición 1.20. Sea GyXuna acción de un grupo Gsobre un conjunto X. Podemos definir una relación ∼en Xde la siguiente manera: x∼y⇐⇒ y=g·xpara algún g∈G. Esta relación es de equivalencia, donde la clase de equivalencia de cada x∈Xes precisamente G·x. El conjunto cociente de la relación ∼se conoce como el espacio de órbitas para la acción y se denota por X/G. Cuando la acción es continua, X/G recibe la topología cociente inducida por la proyección canónica π:X→X/G. Proposición 1.21. Sea (X, G, ϕ)un grupo topológico de transformaciones. Dado A⊆G yB⊆X, se tiene que: (i)Si Bes abierto en X, entonces A·Btambién es abierto en X. (ii)Si Aes compacto y Bes cerrado en X, entonces A·Bes cerrado en X. Demostración. En primer lugar, si Bes un abierto de X, usando que ϕges un homeomorfismo para todo g∈G, podemos observar lo siguiente: A·B={a·b:a∈A, b ∈B}=[ a∈A{a·b:b∈B}=[ a∈A ϕa(B). Por tanto, A·Bes abierto en Xpor ser unión de abiertos de X. 1.3. ESPACIOS DE ÓRBITAS. TIPOS DE ÓRBITAS 7 Por otro lado, supongamos que Aes compacto y Bes cerrado. Observemos que para cualquier conjunto C⊆X, se tiene que C⊆X\(A·B)si y solamente si A−1·C⊆X\B. Tomemos un punto y∈X\(A·B), con lo que A−1·y⊆X\B. En consecuencia, A−1×{y} ⊆ ϕ−1(X\B), que es abierto en G×X. Por lo tanto, ya que A−1=β(A)es compacto, por serlo A, e {y}es compacto, el Lema del Entorno Tubular Generalizado nos permite encontrar abiertos U⊆G,V⊆Xde modo que A−1×{y} ⊆ U×V⊆ϕ−1(X\B). Entonces, U·V⊆X\B, con lo que A−1·V⊆X\B. Deducimos entonces que y∈V⊆ X\(A·B), lo que implica que yes punto interior de X\(A·B). Ya que la elección de y fue arbitraria, concluimos que A·Bes cerrado en X. Corolario 1.22. La proyección canónica π:X→X/G es una identificación abierta. Si Ges compacto, πes también una aplicación cerrada. Demostración. Para cualquier A⊆X,π(A)es abierto (respectivamente, cerrado) en X/G si y solo si π−1(π(A)) es abierto (respectivamente, cerrado) en X. Basta tener en cuenta que π−1(π(A)) = {x∈X:π(x) = G·x∈π(A)}={x∈X:existe y∈Acon G·y=G·x} ={x∈X:existen y∈A, g ∈Gtales que x=g·y}=G·A y aplicar la Proposición 1.21. Ejemplo 1.23 (Cociente por un subgrupo).Sea Gun grupo topológico y H≤Gun subgrupo cerrado. Recordamos que el cociente G/H es el espacio G/H ={gH :g∈G} dotado de la topología de identificación inducida por la proyección canónica π:G→G/H. Precisamente, G/H es el espacio de órbitas para la acción HyGdada por h·g=gh−1, con lo que πes una aplicación abierta. En consecuencia, π×πes una identificación abierta (en general, el producto de identificaciones no es una identificación, con lo que es necesario aprovechar que πes abierta), lo que nos permite justificar que G/H es Hausdorff. En efecto, basta comprobar que la diagonal de G/H ∆ = {(g1H, g2H)∈G/H ×G/H :g1H=g2H} es cerrada en G/H ×G/H, lo que equivale ahora a que (π×π)−1(∆) sea cerrado en G×G. Definiendo la aplicación continua γ:G×G→Gmediante γ(g, h) = g−1h, se tiene que (π×π)−1(∆) = {(g1, g2)∈G×G:g1H=g2H}={(g1, g2)∈G:g−1 1g2∈H}=γ−1(H) 8CAPÍTULO 1. GRUPOS TOPOLÓGICOS DE TRANSFORMACIONES es cerrado en G×G. Así, el cociente G/H es un espacio Hausdorff. Podemos definir una acción ϕde Gsobre G/H mediante la ecuación g·xH =gxH, g ∈G, xH ∈G/H. No es difícil comprobar que la acción está bien definida y es continua. Por último, fijémonos en que la acción es transitiva, puesto que cualquier xH ∈G/H se puede escribir como xH =x·eH. De ese modo, G/H =G·eH es un espacio homogéneo. Ahora vamos a establecer los tipos de órbitas para la acción, que van a estar ligados a una relación de equivalencia entre las órbitas. Esta relación va a estar completamente vinculada a una relación de equivalencia entre los subgrupos de isotropía de la acción, lo que nos da lugar a una dualidad órbitas-isotropías. Comenzaremos trabajando con los subgrupos de un grupo G, para más adelante construir los tipos de órbitas para una acción arbitraria GyX. Definición 1.24. Sea Gun grupo cualquiera. Dos subgrupos HyKse dicen conjugados si existe un elemento g∈Gverificando que gHg−1=K. La relación ser conjugados es claramente de equivalencia. Para cada subgrupo H≤G, denotamos por (H)a la clase de equivalencia de Hbajo esta relación, que se conoce como la clase de conjugación de H. Si GyXes una acción, entonces para cualquier x∈Xyg∈G, se verifica que Gg·x=gGxg−1, con lo que (Gg·x)=(Gx). Por lo tanto, a cada órbita le corresponde una única clase de conjugación entre los subgrupos de isotropía de la acción, conocida como el tipo de isotropía de la órbita G·x. Definición 1.25. Sea Gun grupo. Definimos la relación ≤entre las clases de conjugación de los subgrupos de Gde modo que (H)≤(K)⇐⇒ gHg−1⊆Kpara algún g∈G, H, K ≤G. Definición 1.26. Sea GyXuna acción de un grupo sobre un conjunto, y x, y ∈X. Decimos que las órbitas G·xyG·ytienen el mismo tipo si existe una aplicación biyectiva y equivariante f:G·x→G·y. Es inmediato que la relación tener el mismo tipo de órbita es de equivalencia. Para cada órbita G·x, la clase de equivalencia [G·x]se conoce como el tipo de órbita de G·x. La siguiente Proposición nos explicita la dualidad entre órbitas e isotropías que habíamos vaticinado. Proposición 1.27. Sea (X, G, ϕ)un grupo de transformaciones. Dos órbitas G·xyG·y tienen el mismo tipo si y solo si (Gx)=(Gy). 1.3. ESPACIOS DE ÓRBITAS. TIPOS DE ÓRBITAS 9 Demostración. Por un lado, si f:G·x→G·yes una biyección equivariante existe un b∈Gde modo que f(x) = b·y. Así, para cada g∈Gse tiene que g·x=x⇔f(g·x) = f(x)⇔g·f(x) = f(x)⇔g·(b·y) = b·y⇔(b−1gb)·y=y. Por consiguiente, Gx=bGyb−1, lo que implica que (Gx) = (Gy). Por otro lado, si GxyGyson conjugados, y b∈Ges un elemento tal que Gx=bGyb−1, definimos la aplicación f:G·x→G·ymediante la ecuación f(g·x)=(gb)·ypara cada g∈G. Esta aplicación está bien definida: dados g1, g2∈Gtales que g1·x=g2·x, se verifica que g−1 1g2∈Gx. Por lo tanto, b−1g−1 1g2b∈Gy, y obtenemos que (b−1g−1 1g2b)·y=y, lo que implica que (g1b)·y= (g2b)·y. También es equivariante: dados g∈G,h·x∈G·x, observamos que f(g·(h·x)) = f((gh)·x)=(ghb)·x=g·((hb)·x) = g·f(h·x). De modo análogo, ya Gy=b−1Gxbvemos que la aplicación q:G·y→G·xdada por q(g·y)=(gb−1)·xestá bien definida y es G-equivariante. Esta aplicación es la inversa de f: dado cualquier g·x∈G·xse verifica que q(f(g·x)) = q((gb)·y) = [(gb)b−1]·x=g·x. Por el mismo razonamiento, llegamos a que f(q(g·y)) = g·ypara cada g∈G, con lo que q=f−1y concluimos que fes una biyección equivariante. Definición 1.28. Sea GyXuna acción. Definimos la relación ≤entre los tipos de órbitas de la acción de modo que [G·x]≤[G·y]⇐⇒ existe una aplicación equivariante f:G·y→G·x. Se puede demostrar, con el mismo argumento que se utilizó en la Proposición 1.27, que [G·x]≤[G·y]si y solo si (Gy)≤(Gx), de modo que al pasar de órbitas a isotropías, la relación se “invierte”. Por último, aportamos aquí la definición de órbita principal, que tomará un papel central en el último capítulo. Definición 1.29. Sea GyXuna acción continua. Una órbita G·xse dice principal si existe un abierto Uinvariante que contiene a x, cumpliendo que para cada y∈U, [G·y]≤[G·x](o equivalentemente, (Gx)≤(Gy)). Observación 1.30.En general, si Ges un grupo la relación ≤no tiene por que definir un orden parcial entre las clases de conjugación de sus subgrupos, como se pone de manifiesto en el ejemplo que planteamos a continuación. No obstante, en [8, Sección 1.7] se demuestra que si Ges un grupo topológico compacto, entonces la relación ≤sí determina un orden entre dichas clases. Más adelante, veremos que en el contexto diferenciable podemos afirmar que la relación es de orden entre los subgrupos compactos de G, lo que será suficiente para nuestros propósitos. 10 CAPÍTULO 1. GRUPOS TOPOLÓGICOS DE TRANSFORMACIONES Ejemplo 1.31. Consideremos los siguientes subgrupos cerrados de GL(3,R). G=( A b 0 1!:Aes una matriz conforme, b ∈R2) H=( I2b 0 1!:b∈Z2)≤G K=( I2b 0 1!:b= (m, 2n)Tpara algunos m, n ∈Z)≤G donde decimos que Aes una matriz conforme si es de la forma A=αC, siendo α6= 0 yC∈SO(2) (se puede pensar que una matriz es conforme si la aplicación lineal que determina en R2≡Ces la multiplicación por un número complejo). Por construcción, K⊆H. Además, si tomamos g∈Gtal que g=    2 0 0 0 2 0 0 0 1     , un cálculo directo nos indica que gHg−1⊆K. No obstante, HyKno son conjugados. En efecto, supongamos que existe una matriz a∈Gde manera que aHa−1=K. Entonces, a va a tomar la forma a= A b 0 1!= αC b 0 1!, y se puede comprobar que la inversa de aes a−1= 1 αCT−1 αCTb 0 1 !. Ahora, tomemos un elemento arbitrario de H: x= I2d 0 1!, d = (d1, d2)T∈Z2. Se tiene que axa−1= I2αCd 0 1 !∈K, con lo que para cada d∈Z2,αCd tiene que ser de la forma (m, 2n)T, siendo mynnúmeros enteros. Si decimos que la matriz αC es αC = αcos(θ)−αsin(θ) αsin(θ)αcos(θ)!= c1−c2 c2c1!, 1.4. ACCIONES PROPIAS 11 deberá cumplirse que c2d1+c1d2es un número par para cualesquiera d1, d2∈Z, lo que implica que c1yc2son números pares. Por consiguiente, c1d1−c2d2es par, independientemente de la elección de d, lo que impide que K⊆aHa−1. Esto contradice la elección de a, con lo que podemos deducir que en realidad HyKno son subgrupos conjugados de G. En definitiva, la relacion ≤no es antisimétrica en general. 1.4. Acciones propias En esta sección introducimos las acciones propias. Esencialmente, una acción continua GyXse dice propia cuando, dado un subconjunto pequeño (donde por pequeño entendemos compacto) Cde X, todos los elementos de G, salvo un subconjunto pequeño de G, trasladan Clo suficientemente lejos como para que no corte a su posición inicial. Esta condición nos va a dar lugar a propiedades favorables con respecto a las órbitas y al espacio X/G, tales como que este último es Hausdorff. Comenzamos dando la definición estándar de acción propia. Posteriormente, veremos las propiedades fundamentales de este tipo de acciones. Definición 1.32. Una acción GyXde un grupo topológico sobre un espacio Hausdorff se dice propia si la aplicación θ:G×X→X×Xdefinida por θ(g, x) = (g·x, x)es propia. En el caso de que GyXsean variedades topológicas, podemos dar una caracterización de las acciones propias basada en el hecho de que en espacios Hausdorff y segundo numerables, la compacidad equivale a la compacidad secuencial (véase [12, Teorema 4.45]). Proposición 1.33. Sea Gun grupo topológico segundo numerable actuando sobre una variedad topológica M. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i)La acción es propia. (ii)Para dos sucesiones (gi)i∈N,(pi)i∈Nde elementos de GyM, respectivamente, si (pi)i∈Ny(gi·pi)i∈Nson sucesiones convergentes en M, entonces (gi)i∈Ntiene una subsucesión convergente en G. (iii)Para cualquier compacto K⊆M, el conjunto GK={g∈G:g·K∩K6=∅} es compacto. Demostración. Comencemos viendo que (i)implica (ii): supongamos que la acción GyM es una acción propia. Entonces, la aplicación θ:G×M→M×Mes propia. Tomemos dos sucesiones (gi)i∈N⊆G,(pi)i∈N⊆Mverificando que pi→p,gi·pi→qpara ciertos puntos p, q ∈M. En tal caso, (θ(gi, pi))i∈N= ((gi·pi, pi))i∈Nes convergente al punto 18 CAPÍTULO 2. GRUPOS DIFERENCIABLES DE TRANSFORMACIONES consultar [11] o [22]. Una variedad diferenciable de dimensión mes una variedad topológica Mde dimensión mdotada de una estructura diferenciable (equivalentemente, de un atlas maximal). Para cada p∈M, definimos el espacio tangente a Men pcomo el conjunto de todas las derivaciones en p(también conocidos como vectores tangentes), y lo denotaremos por Tp(M). El conjunto T(M) = a p∈M Tp(M) = [ p∈M{p}×Tp(M) recibe el nombre de fibrado tangente a M, y es también una variedad diferenciable, esta vez de dimensión 2m. Está dotado de una proyección π:T(M)→Mdada por π(p, v) = p. Una aplicación f:M→Nentre variedades diferenciables se dice diferenciable o de clase C∞si para cada punto p∈Mexiste una expresión en coordenadas de fen p que sea una aplicación de clase C∞entre abiertos euclidianos. En tal caso, finduce una aplicación lineal f∗p:Tp(M)→Tf(p)(N), conocida como la diferencial de fen p, cuyo rango se conoce como el rango de fen p, denotado por rangp(f). Si fes biyectiva y su inversa es diferenciable, se dice que fes un difeomorfismo. El anillo de todas las funciones diferenciables de Men Rlo denotaremos por F(M). Una aplicación diferenciable f:M→Nes una inmersión (respectivamente sumersión odifeomorfismo local) si para cada p∈M, la aplicación f∗pes inyectiva (respectivamente sobreyectiva o biyectiva). Si E⊆Mes una variedad diferenciable y la inclusión i:E ,→Mes una inmersión, se dice que Ees una subvariedad inmersa de M. Si además Ees un subespacio topológico de M, entonces Ees una subvariedad regular de M. Un campo de vectores sobre una variedad diferenciable Mes una aplicación X:M→ T(M)cumpliendo que Xp∈Tp(M)para todo p∈M(es decir, si π◦X= IdM). Se dice que el campo de vectores es diferenciable si lo es como aplicación entre las variedades MyT(M)(equivalentemente, si induce una derivación X:F(M)→F(M)). El conjunto de todos los campos de vectores diferenciables sobre Mlo denotamos por X(M), y es un álgebra de Lie con el corchete de Lie, definido mediante la ecuación [X, Y ](f) = X(Y f)−Y(Xf)para X, Y ∈X(M),f∈F(M). 2.2. Fibrados vectoriales Los fibrados vectoriales son un tipo especial de variedades que localmente se asemejan al producto topológico de otra variedad diferenciable (llamada base) por un espacio vectorial. También podemos pensar un fibrado vectorial como una familia de espacios vectoriales parametrizada de modo diferenciable por la base. Mostraremos aquí las nociones básicas 2.2. FIBRADOS VECTORIALES 19 de estos fibrados, con especial interés hacia el fibrado tangente de una variedad. Como referencias para profundizar sobre este tema, sugerimos [21, Capítulos 3,4 y 5] y [7]. Definición 2.1. Un fibrado vectorial de rango kes una terna (E, π, M), donde MyE son variedades diferenciables, y π:E→Mes una aplicación diferenciable y sobreyectiva que cumple las siguientes propiedades: •Para cada p∈M, la fibra Ep=π−1(p)es un espacio vectorial sobre R. •Existe un recubrimiento abierto {Ui}i∈Ide My difeomorfismos ϕi:π−1(Ui)→Ui×Rk que hacen que el diagrama π−1(Ui)Ui×Rk Ui π ϕi p1 sea conmutativo (siendo p1la proyección sobre el primer factor). •Para cada p∈Ui, la restricción ϕi:Ep→ {p} × Rkes un isomorfismo de espacios vectoriales. Se deduce de la definición que dim E=k+ dim M, así como que πes una sumersión sobreyectiva. Normalmente, nos referiremos al fibrado (E, π, M)por π:E→M, o simplemente Esi esto no provoca confusión. Notación 2.2.Se dice que Ees el espacio total del fibrado,Mes la base del fibrado, πes la proyección,Uies un abierto de trivialidad yϕies una trivialización local. Ejemplo 2.3 (El fibrado tangente).Sea Muna variedad diferenciable de dimensión m. Vamos a comprobar que (T(M), π, M)es un fibrado vectorial de rango m, siendo π:T(M)→Mla proyección. Para probar esta afirmación, recordemos como se obtenían las cartas de T(M)a partir de las de M. Sea (U, ϕ)una carta de M, con funciones coordenadas ϕ= (x1, ..., xm). Entonces, se puede construir una carta (π−1(U),˜ϕ)de T(M)de la siguiente manera: para cada (p, v)∈T(M), sabemos que existen unos únicos números reales a1, ..., amtales que v= m X i=1 ai(∂xi)p. Definimos entonces ˜ϕ:π−1(U)→ϕ(U)×Rmmediante la fórmula ˜ϕ(p, v)=(ϕ(p), a1, ..., am). 20 CAPÍTULO 2. GRUPOS DIFERENCIABLES DE TRANSFORMACIONES Esta aplicación define un sistema de coordenadas en π−1(U), y nos permite ver que Ues un abierto de trivialidad de π:T(M)→M. En efecto, la composición ψ= (ϕ−1×IdRm)◦˜ϕ está dada por ψ:π−1(U)→U×Rm (p, v)7→(p, a1, ..., am), que es un difeomorfismo por ser composición de difeomorfismos y está en las condiciones de la Definición 2.1. Como la elección de la carta (U, ϕ)era arbitraria, podemos deducir que existe un recubrimiento de Mformado por abiertos de trivialidad de π. Así, llegamos a que el fibrado tangente es, ciertamente, un fibrado vectorial de rango m. En general, denotaremos a cada vector (p, v)∈T(M)por vp, o simplemente vsi no hay ambigüedad sobre el punto en el que ves tangente. Ejemplo 2.4. Mediante un procedimiento análogo al de la construcción del fibrado tangente a una variedad Mde dimensión m, se puede construir el espacio T∗(M)⊗T∗(M) = a p∈M T∗ p(M)⊗T∗ p(M) donde para cada p∈M,T∗ p(M)⊗T∗ p(M)es el espacio vectorial formado por todas las formas bilineales definidas en Tp(M). Dicho espacio tiene una estructura de variedad diferenciable de dimensión m+m2, y con la proyección canónica π:T∗(M)⊗T∗(M)→Mdada por π(gp) = ppara cada gp≡(p, g)∈T∗(M)⊗T∗(M)se obtiene que (T∗(M)⊗T∗(M), π, M) es un fibrado vectorial de rango m2. Definición 2.5. Sea π:E→Mun fibrado vectorial de rango k, y S⊆Muna subvariedad regular de M. Se define la restricción de EaScomo la terna (E|S, π, S), donde definimos E|S=π−1(E) = Sp∈SEp, y π:E|S→Ses la restricción de π:E→MaS. Se puede demostrar que E|Ses un fibrado vectorial con base Sy de rango k[11, Ejemplo 10.8]. Definición 2.6. Dado un fibrado vectorial π:E→M, una sección de π:E→Mes una aplicación diferenciable σ:M→Ede modo que π◦σ= IdM. Si U⊆Mes un abierto, y σ:U→Ees una aplicación C∞que cumple que π◦σ= IdU, se dice que σes una sección local de π:E→M. El conjunto de secciones de π:E→Mse denota por Γ(E). Tiene una estructura de R-espacio vectorial, así como de módulo sobre F(M), con las operaciones usuales. Una sección σ:M→Eno es nada más que una asignación diferenciable que a cada punto de Mle hace corresponder un vector perteneciente a su fibra. Notemos que en el caso de que Esea el fibrado tangente de M, las secciones de π:T(M)→Mson precisamente los campos de vectores diferenciables. 2.2. FIBRADOS VECTORIALES 21 2.2.1. Subfibrados de un fibrado vectorial Los subfibrados de un fibrado vectorial constituyen una generalización de las secciones a dimensiones superiores. Mientras que podemos pensar un fibrado vectorial π:E→M como una familia de espacios vectoriales parametrizada por M, un subfibrado de Ese puede interpretar como una familia de subespacios vectoriales de las fibras de E, también parametrizada por M. Definición 2.7. Dado un fibrado vectorial π:E→M, un subfibrado vectorial de (E, π, M)es un fibrado vectorial π:D→M, de modo que D⊆Ees una subvariedad regular de Ey para cada p∈M,Dp=D∩Epes un subespacio vectorial de Ep. La aplicación π:D→Mes la restricción de π:E→MaD. Si Ees el fibrado tangente, se dice que π:D→M(o simplemente, D) es una distribución sobre M. El siguiente criterio nos permite determinar cuando la unión de una familia de subespacios Dp⊆Epes un subfibrado de E, en términos de secciones de E: Teorema 2.8 ([11, Lema 10.32]).Sea π:E→Mun fibrado vectorial de rango k. Para cada p∈M, tomemos un subespacio vectorial Dpde Epde dimensión n, con n < k. Entonces, tomando D=Sp∈MDp, las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i)π:D→Mes un subfibrado vectorial de π:E→M. (ii)Para cada punto p∈M, existen unas secciones locales de E,σ1, ..., σn:U→E, definidas en un entorno Ude p, de modo que para cada q∈M,{σ1(q), ..., σn(q)}es una base de Dq. 2.2.2. El Teorema de Frobenius global Para acabar con este apartado sobre fibrados vectoriales, vamos a enunciar el Teorema de Frobenius global para distribuciones. Al ser las distribuciones una generalización de los campos de vectores, la noción de curva integral de un campo de vectores se extiende al concepto de variedad integral: si Des una distribución sobre una variedad M, una subvariedad N⊆Mes integral si Tp(N) = Dppara todo punto p∈N. Nos podríamos preguntar entonces si dado cualquier p∈Mexiste una variedad integral que contenga a p. En caso afirmativo, el Teorema que enunciaremos nos da información sobre cómo están “dispuestas” las variedades integrales de dicha distribución. Definición 2.9. Dada una distribución Dsobre una variedad diferenciable M, y A⊆M una subvariedad inmersa de M. Se dice que Mes una variedad integral de Dsi se verifica que Tp(A) = Dapara todo a∈A. Si todo punto de Mestá contenido en una variedad integral de D, entonces diremos que Des una distribución integrable. 22 CAPÍTULO 2. GRUPOS DIFERENCIABLES DE TRANSFORMACIONES Definición 2.10. Una foliación de dimensión kde una variedad diferenciable Mes una familia Fformada por subvariedades inmersas de M, de dimensión k, conexas, disjuntas, cuya unión es My que cumplen la siguiente propiedad: para cada p∈Mexiste una carta (U, ϕ)de Mcentrada en p(es decir, tal que ϕ(p)=0) tal que ϕ(U) = (−δ, δ)m, y de modo que para cada A∈ F, o bien A∩U=∅o, de ser A∩U6=∅, entonces ϕ(A∩U)es la unión finita o numerable de conjuntos de la forma (−δ, δ)k×{c}, siendo c∈(−δ, δ)m−k. Ejemplo 2.11. Sea M=Rn\ {0}. La colección F={Sn−1(r): r > 0}formada por todas las esferas de radio positivo centradas en el origen conforma una foliación (n−1)- dimensional de M. Ejemplo 2.12. Dada una función f:R→Rde clase C∞yk∈R, sea Fkla gráfica de la función f+k. La familia F={Fk:k∈R}es una foliación de dimensión 1de R2. Figura 2.1: Representación de las foliaciones de los Ejemplos 2.11 y2.12. Las regiones grises representan posibles cartas adaptadas a cada foliación. Teorema 2.13 (de Frobenius global, [11, Teoremas 19.3, 19.12 y 19.21]).Sea Duna distribución integrable de rango ksobre una variedad diferenciable M. La familia Fformada por todas las variedades integrales de D, que son conexas y maximales con respecto de la inclusión, es una foliación k-dimensional de M. 2.3. Grupos de Lie Comenzamos con la definición de grupo de Lie, que se puede ver como el análogo diferenciable al grupo topológico. Seguiremos la estructura de [11], aunque otras posibles referencias para esta sección son [20] o [23]. 2.3. GRUPOS DE LIE 23 Definición 2.14. Se dice que un conjunto Ges un grupo de Lie si tiene una estructura de grupo y una estructura de variedad diferenciable de modo que las aplicaciones αyβ son diferenciables (tomando en G×Gla estructura de variedad producto). Observación 2.15.En el caso de los grupos de Lie, tendremos que la diferenciabilidad de αimplica que tanto Lgcomo Rgson difeomorfismos para todo g∈G. Observación 2.16.Si Ges un grupo topológico y H≤Ges un subgrupo de G, entonces se tiene de modo inmediato que Hes de nuevo un grupo topológico. En el caso de que Gsea un grupo de Lie, un subgrupo H≤Gno tiene por que ser un grupo de Lie. Por ejemplo, H podría no ser una variedad diferenciable. Este hecho es el que motiva la siguiente definición: Definición 2.17. Sea Gun grupo de Lie. Se dice que un subconjunto H⊆Ges un subgrupo de Lie de Gsi H≤Ges un subgrupo de G, con estructura de grupo de Lie y tal que i:H ,→Ges una inmersión. El siguiente teorema (de difícil demostración) nos da una condición suficiente para determinar cuando un subgrupo de un grupo de Lie Ges un subgrupo de Lie de G. Su prueba se puede encontrar por ejemplo en [8, Sección 3.7] y en [11, Teorema 20.12]. Teorema 2.18 (de Cartan).Si Ges un grupo de Lie, y H≤Ges un subgrupo cerrado de G, entonces Hes un subgrupo de Lie embebido (es decir, una subvariedad regular) de G. Ejemplo 2.19. Todos los grupos topológicos del capítulo anterior son grupos de Lie. El hecho de que RnyGL(n, R)sean grupos de Lie se prueba con la misma argumentación que empleamos para justificar que son grupos topológicos. Por otro lado, SL(n, R),O(n)y SO(n)son grupos de Lie por ser subgrupos cerrados de GL(n, R), gracias al Teorema 2.18. Definición 2.20. Un homomorfismo de grupos de Lie es una aplicación diferenciable f:G→G0tal que fes un homomorfismo de grupos. Si fes biyectiva y su inversa f−1:G0→Ges un homomorfismo de grupos de Lie, se dice que fes un isomorfismo de grupos de Lie. Usando la Regla de la Cadena, es fácil comprobar que un homomorfismo de grupos de Lie tiene rango constante. 2.3.1. El álgebra de Lie de un grupo de Lie En esta sección se define el álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie G. Como ya sabemos, cada g∈Ginduce una traslación Lg:G→Gque es un difeomorfismo. El álgebra de Lie de Ges el conjunto de los campos de vectores definidos en Gque permanecen invariantes por todas las traslaciones por la izquierda de G. 24 CAPÍTULO 2. GRUPOS DIFERENCIABLES DE TRANSFORMACIONES Definición 2.21. Sea Gun grupo de Lie. Un campo de vectores X:G→T(G)es invariante (por la izquierda) si para cualquier g, h ∈G, se verifica la igualdad: (Lg)∗h(Xh) = Xgh. El conjunto de todos los campos invariantes definidos en Gse denota por goLie(G)y se conoce como el álgebra de Lie de G. Se puede comprobar que gtiene una estructura de espacio vectorial con la suma de campos de vectores y el producto por escalares reales. A continuación, veremos que dicho espacio es un subespacio vectorial de X(G)(es decir, que todo campo de vectores invariante es diferenciable) isomorfo al espacio tangente Te(G). Proposición 2.22. Sea Gun grupo de Lie y v∈Te(G). Entonces existe un único campo de vectores invariante que cumple que Xe=vy es diferenciable. Demostración. Supongamos, en primer lugar, que X:G→T(G)es un campo de vectores invariante de modo que Xe=v. Entonces, para cada g∈Gse cumple que Xg=Xge = (Lg)∗e(Xe)=(Lg)∗e(v). Esta igualdad prueba automáticamente la unicidad de X, ya que el último término de la igualdad depende solamente de v. Además, ahora también es inmediata la existencia del campo: basta tomar Xg= (Lg)∗e(v)para todo g∈G, y hemos encontrado el campo deseado. Queda comprobar que Xes un campo invariante y diferenciable. Por un lado para cada g, h ∈G: Xgh = (Lgh)∗e(v)=(Lg◦Lh)∗e(v)=(Lg)∗h((Lh)∗e(v)) = (Lg)∗h(Xh), de modo que el campo es invariante. Por otro lado, el hecho de que la multiplicación sea diferenciable nos permite construir una aplicación: Γ : G×T(G)→T(G) (g, vh)7→(Lg)∗h(vh), que es diferenciable (esto se puede comprobar tomando coordenadas). En consecuencia, como Xg= (Lg)∗e(v) = Γ(g, v)para cada g∈G, deducimos que Xes diferenciable. Como consecuencia de esto y de que la aplicación de evaluación en ees lineal, podemos identificar gcon Te(G)como espacios vectoriales de dimensión finita. 2.3.2. La integral de Haar en un grupo de Lie compacto Definimos la integral de Haar para un grupo de Lie compacto siguiendo la argumentación que aparece en [20]. Esta integral nos va a permitir “promediar” los valores de una función continua f:G→Rde un modo que dicho promedio sea invariante por traslaciones. 2.4. ACCIONES DIFERENCIABLES 25 Teorema 2.23 ([20, Teorema 1.46]).Sea Gun grupo de Lie compacto. Existe un funcional lineal I:C(G, R)→R, verificando las siguientes propiedades: (i)Ies positivo: si f:G→Res una función continua y no negativa, entonces I(f)≥0. (ii)I(1) = 1. (iii)I(f◦Lg) = I(f◦Rg) = I(f)para cada g∈G. Dicho funcional se conoce como la integral de Haar, y se denota por I(f) = ZG f(g)dg, f ∈ C(G, R). Cuando Ges un grupo de Lie compacto de dimensión m, este funcional se puede construir aprovechando la integración de m-formas continuas. En primer lugar, se construye (de un modo idéntico a como se construyeron los campos de vectores invariantes) una forma de volumen ωdefinida en Gque verifica (Lg)∗ω=ωpara cada g∈G(se dice que las formas de este estilo son invariantes por la izquierda). Dividiendo ωpor RGω, se obtiene una forma de volumen ηque vuelve a ser invariante por la izquierda. El funcional Ise definiría mediante la fórmula ZG f(g)dg =ZG fη, f ∈ C(G, R). De todos modos, la existencia de la integral de Haar no se limita a los grupos de Lie compactos. En [19], el Teorema 20 demuestra la existencia y unicidad de la integral de Haar para cualquier grupo topológico compacto y segundo numerable (los grupos de Lie se encuentran dentro de ese contexto), aplicando un procedimiento totalmente diferente al que acabamos de comentar. Se puede encontrar un estudio más pormenorizado de las propiedades de esta integral en [8, Sección 2.7]. 2.4. Acciones diferenciables Comencemos introduciendo la definición de acción diferenciable de un grupo de Lie sobre una variedad diferenciable: Definición 2.24. Un grupo diferenciable de transformaciones es un grupo de transformaciones (M, G, ϕ)en el cual Ges un grupo de Lie, Mes una variedad diferenciable y ϕ:G×M→Mes una aplicación C∞. En esta situación, tendremos que para cada p∈Myg∈Glas aplicaciones ϕpyϕg son diferenciables, siendo además ϕgun difeomorfismo de M. 26 CAPÍTULO 2. GRUPOS DIFERENCIABLES DE TRANSFORMACIONES Se puede comprobar, de nuevo empleando la Regla de la Cadena, que se verifica lo siguiente: Proposición 2.25. Sea Gun grupo de Lie, y f:M→Nuna aplicación diferenciable y equivariante entre dos G-variedades diferenciables. Entonces el rango de fes constante en las órbitas de la acción GyM. En particular, si Mes homogénea el rango de fes constante. Desde aquí hasta el final de la sección, nos centraremos en probar dos resultados para acciones propias y diferenciables: por un lado, el Teorema de la Variedad Cociente, que afirma que el espacio de órbitas para una acción libre y propia es una variedad diferenciable; por otro lado, que las órbitas de una acción propia son subvariedades regulares de la Gvariedad en cuestión (de hecho, probaremos que el homeomorfismo G/Gp∼ =G·ppasa a ser un difeomorfismo de variedades). Lema 2.26. Sea f:M→Nuna aplicación diferenciable de rango constante. Si fes inyectiva, entonces fes una inmersión. Demostración. Sean m= dim Myn= dim N. Si fno fuese una inmersión, entonces el rango de fsería r < m. En consecuencia, para cualquier p∈M, el Teorema del Rango nos garantiza que existen cartas (U, ϕ),(V, ψ)de MyNrespectivamente de manera que p∈U,ϕ(p) = 0,f(U)⊆Vy la expresión en coordenadas F=ψ◦f◦ϕ−1de fes de la forma F(u1, ..., um)=(u1, ..., ur,0, ..., 0). Por lo tanto, para un ε > 0suficientemente pequeño, tendríamos que F(0, ..., 0, ε) = F(0). De ese modo, obtenemos que f(p) = f(ϕ−1(0, ..., 0, ε)), lo que implica que fno sería inyectiva. Teorema 2.27. Sea GyMuna acción propia de un grupo de Lie sobre una variedad diferenciable M. Para cada p∈M, la órbita G·pes cerrada en M. Además, si Gp={e} entonces G·pes una subvariedad regular de Mdifeomorfa a G. Demostración. La primera mitad del enunciado es parte del Teorema 1.35. Solamente nos queda comprobar que G·pes una subvariedad regular y que existe un difeomorfismo entre GyG·p. Vimos en el Teorema 1.35 que la aplicación ϕp:G→G·ppasa el cociente como un homeomorfismo ψ:G/Gp→G·p. De la hipótesis Gp={e}se sigue que en realidad la propia aplicación ϕpes un homeomorfismo. Probaremos que ϕp:G→Mes un embebimiento regular, lo que nos permitirá justificar que G·pes una subvariedad. La aplicación ϕpes diferenciable y G-equivariante. Al ser Gun G-espacio homogéneo, podemos aplicar la Proposición 2.25 para deducir que ϕpes una aplicación de rango constante. Basta utilizar ahora el Lema 2.26 para deducir que ϕp:G→Mes una inmersión. 2.4. ACCIONES DIFERENCIABLES 27 De ese modo, ϕpes un embebimiento regular de Gen M, lo que nos permite afirmar que G·p=ϕp(G)posee una única estructura de subvariedad regular de Mque hace de ϕp:G→G·pun difeomorfismo, lo que prueba el Teorema. Ahora, estamos en condiciones de probar el teorema central de este capítulo. Teorema 2.28 (Teorema de la Variedad Cociente).Sea Gun grupo de Lie actuando de modo libre y propio sobre una variedad diferenciable M. Entonces, el espacio cociente M/G es una variedad topológica que admite una única estructura diferenciable de modo que la proyección canónica π:M→M/G es una sumersión sobreyectiva. Además, se tiene que dim M/G = dim M−dim G. Demostración. Sea k= dim G,m= dim Myn=m−k. La acción de Gsobre Mla escribiremos como ϕ:G×M→M. Empecemos viendo el carácter Hausdorff y segundo numerable de M/G. Por un lado, el espacio de órbitas es Hausdorff al ser la acción propia. Por otro lado, como la proyección canónica es continua, sobreyectiva y abierta, el hecho de que Msea segundo numerable implica que M/G también lo es. Nuestro objetivo para ver que M/G es una variedad diferenciable será definir un atlas diferenciable sobre M/G que haga de M/G una variedad cociente de M. Para ello, vamos a buscar una familia de cartas de Mque sean compatibles con la acción GyMcon las que podremos crear un atlas sobre M/G. Definimos entonces esta noción de compatibilidad entre las cartas y la acción. Sea (U, ψ)una carta de M. Diremos que (U, ψ)es una carta adaptada a la acción de Gsi cumple las siguientes propiedades: (1) ψ(U)⊆Rmes un cubo de la forma (−δ, δ)m= (−δ, δ)k×(−δ, δ)n, donde δ > 0. (2) Escribiendo el sistema de coordenadas como ψ= (x, y)=(x1, ..., xk, y1, ..., yn), entonces para cualquier órbita G·pde la acción, o bien U∩G·p=∅o bien ψ(U∩G·p) = (−δ, δ)k×{c}para una constante c∈(−δ, δ)n. Informalmente, esto significa que cada órbita o bien corta a nuestro abierto coordenado en un subconjunto k-dimensional de la forma y=c, o bien no lo corta. La clave para demostrar este teorema será probar la siguiente afirmación: Para todo punto p∈M, existe una carta adaptada a la acción de G centrada en p. Observemos que, al ser la acción libre y propia, tenemos en virtud del Teorema 2.27 que todas las órbitas G·pson subvariedades regulares de Mdifeomorfas a G(y por lo 34 CAPÍTULO 2. GRUPOS DIFERENCIABLES DE TRANSFORMACIONES es un embebimiento. Por otra parte, el hecho de que ϕpsea diferenciable, junto con que π:G→G/Gpes una sumersión sobreyectiva nos permite deducir que ψ:G/Gp→M es de nuevo diferenciable. Aplicando el carácter equivariante de ψ, obtenemos gracias a la Proposición 2.25 que ψtiene rango constante, de modo que ψtendrá que ser una inmersión por el Lema 2.26, lo que justifica que es un embebimiento regular de G/Gpen M. Ahora que sabemos que ψes un embebimiento regular, podemos afirmar que la órbita G·p=ψ(G/Gp)admite una única estructura de subvariedad regular de Mque hace de ψ un difeomorfismo, lo que termina la prueba del Teorema. 2.5. Dos ejemplos de variedades homogéneas Como aplicación de los resultados anteriores, vamos a presentar dos espacios homogéneos. El adjetivo homogéneo hace alusión a la propiedad fundamental de estos espacios: la transitividad de la acción implica que estos espacios “siempre tienen la misma apariencia independientemente de por donde se están observando”. Esta familia de espacios es de gran importancia en Geometría, llegando hasta tal punto que una geometría de Klein es un espacio homogéneo, donde el grupo que actúa sobre él se considera su grupo de simetrías. Ejemplo 2.31 (Variedades de Stiefel Vk(Rn)).Sean nun entero positivo y 1≤k≤n. Una referencia ortonormal de dimensión ken Rnes una k-tupla de vectores v= (v1, ..., vk) de Rnverificando que {v1, ..., vk}es un subconjunto ortonormal de Rn. El conjunto de todas las referencias ortonormales de dimensión ken Rnlo denotaremos por Vk(Rn). En este ejemplo, obtendremos Vk(Rn)como órbita de una acción propia. Fijémonos, en primer lugar, en que Vk(Rn)es un subconjunto de (Rn)k=Rnk. Podemos dar una acción propia O(n)y Rnk mediante la siguiente fórmula: A·v=A·(v1, ..., vk)=(Av1, ..., Avk), A ∈O(n),v∈Rnk. El carácter propio es consecuencia directa de que O(n)es compacto. Además, para v=e= (e1, ..., ek), donde {e1, ..., en}es la base canónica de Rn, se puede comprobar fácilmente que O(n)·e=Vk(Rn), lo que nos garantiza que es una subvariedad regular de Rnk difeomorfa a O(n)/O(n)e. Hallemos entonces la isotropía de e. Dada cualquier matriz A∈O(n), tenemos que A∈O(n)esi y solo si Aei=eipara todo i= 1, ..., k. Como Aes ortogonal, esta condición es equivalente a que A= Ik0 0B!, 2.6. TIPOS DE ÓRBITAS 35 siendo B∈O(n−k). De ese modo, O(n)e∼ =O(n−k). Llegamos así a que tenemos el siguiente difeomorfismo de O(n)-espacios homogéneos: Vk(Rn)∼ =O(n)/O(n−k). Ejemplo 2.32 (Variedades de Grassmann Gk(Rn)).Sea nun entero positivo, y k∈ {1, ..., n−1}. Denotamos por Gk(Rn)al conjunto de todos los subespacios k-dimensionales de Rn. Vamos a dotar a este conjunto de una estructura de variedad diferenciable por medio del Teorema de la Variedad Cociente. Consideremos el grupo compacto G=O(n). Se puede definir una acción de O(n)sobre Gk(Rn)mediante la fórmula A·U=AU ={Ax:x∈U}, A ∈O(n), U ∈Gk(Rn). Es decir, dada una matriz A∈O(n)y un subespacio k-dimensional U⊆Rn,A·U es el subespacio obtenido al aplicarle el isomorfismo lineal AaU. Esta fórmula verifica claramente (1.2), dando así lugar a un grupo de transformaciones (Gk(Rn), O(n), ϕ). Además, como consecuencia del Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt se sigue que esta acción es transitiva. En particular, si V0= Span{e1, ..., ek}, siendo {e1, ..., en}la base canónica de Rn, obtenemos que O(n)·V0=Gk(Rn), de modo que tendremos una biyección de O(n)/O(n)V0en Gk(Rn). Identifiquemos entonces el subgrupo de isotropía O(n)V0: Dada una matriz A∈O(n), se verifica que A·V0=V0si y solamente si es de la forma A= B0 0C!, donde B∈O(k)yC∈O(n−k). Por lo tanto, O(n)V0∼ =O(k)×O(n−k)y es cerrado en O(n). En consecuencia, tenemos que existe una biyección ψ:O(n)/[O(k)×O(n−k)] →Gk(Rn), donde gracias al Teorema de la Variedad Cociente 2.28, podemos afirmar que el dominio de ψes una variedad diferenciable. Esto nos permite darle a Gk(Rn)una estructura de variedad diferenciable que hace de ψun difeomorfismo. Cuando tomamos k= 1, el espacio resultante es precisamente el espacio proyectivo RPn−1. 2.6. Tipos de órbitas Dada una acción GyX, habíamos definido una relación binaria ≤entre los tipos de órbitas de dicha acción, la cual estaba vinculada a una relación entre las clases de conjugación de los subgrupos de isotropía. El Ejemplo 1.31 ilustraba que en general, dicha relación 36 CAPÍTULO 2. GRUPOS DIFERENCIABLES DE TRANSFORMACIONES no era de orden. No obstante, cuando tenemos una acción propia GyM, recordemos que los grupos de isotropía son compactos. Vamos a ver entonces que la relación ≤restringida a clases de subgrupos compactos sí es de orden, con lo que tendremos definido un orden parcial entre los tipos de órbitas. Necesitamos dos Lemas para poder demostrarlo: Lema 2.33. Sea f:M→Nuna inmersión entre dos variedades diferenciables de la misma dimensión. Si Mes compacta y Nes conexa, entonces fes sobreyectiva. Demostración. Por ser funa inmersión y dim M= dim N, tenemos que fes a su vez una sumersión, lo que implica que fes una aplicación abierta. En consecuencia, f(M)⊆Nes un abierto de N. También se cumple que f(M)es cerrado, ya que Mes compacto y fes continua, lo que implica que f(M)es compacto. Aplicando que Nes conexa, deducimos que f(M) = N, con lo que fes sobreyectiva. Lema 2.34. Sean Gun grupo de Lie y H≤Gun subgrupo compacto de G. Para cualquier g∈G, se verifica que: gHg−1⊆H=⇒gHg−1=H. Demostración. Al ser Hun subgrupo compacto de G, deducimos que Hes un subgrupo de Lie de G, en virtud del Teorema 2.18. Además, Hadmite una descomposición en una cantidad finita de componentes conexas {H1, ..., Hn}, que son a su vez subvariedades regulares de G, puesto que son abiertas en H. Más aún, al ser cada Hiabierto en H, tenemos que dim Hi= dim Hpara cada i= 1, ..., n. Sea entonces g∈Gun elemento tal que gHg−1⊆H. La aplicación de conjugación Cg:G→Gdada por Cg(x) = gxg−1para cada x∈Ges un difeomorfismo del grupo de Lie G. Vamos a ver que para cada i∈ {1, ..., n}existe un único σ(i)∈ {1, ..., n}de tal manera que Cg(Hi) = Hσ(i). Fijemos i∈ {1, ..., n}. Tenemos que, por hipótesis, Cg(Hi)⊆Cg(H)⊆H. Además, Cg(Hi)es un conjunto conexo debido a la continuidad de Cg. Por lo tanto, Cg(Hi)debe estar contenido en alguna componente conexa de H; es decir, existe una única componente Hσ(i)de manera que Cg(Hi)⊆Hσ(i), y Cg:Hi→Hσ(i)es una inmersión ya que Cg era un difeomorfismo. Ahora, recordando que las subvariedades HiyHσ(i)son conexas y compactas (al ser cerradas en el compacto H), con dimensión igual a dim H, podemos deducir aplicando el Lema 2.33 que Cg(Hi) = Hσ(i), como queríamos demostrar. Fijémonos ahora en que la aplicación σ:{1, ..., n}→{1, ..., n}es inyectiva, puesto que la conjugación es una aplicación inyectiva y las componentes conexas de Hson disjuntas. Como tenemos solamente una cantidad finita de componentes conexas, deducimos que σ 2.6. TIPOS DE ÓRBITAS 37 es biyectiva. De ese modo: gHg−1=Cg(H) = Cgn [ i=1 Hi= n [ i=1 Cg(Hi) = n [ i=1 Hσ(i)= n [ i=1 Hi=H, con lo que tenemos probada la afirmación del enunciado. Teorema 2.35. Si Ges un grupo de Lie, la relación ≤entre clases de conjugación de subgrupos compactos de Ges una relación de orden parcial. Demostración. Tenemos que ver que la relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Para cada H≤G,eHe−1=H, con lo que (H)≤(H). Así, la relación es reflexiva. Si (H)≤(K), y (K)≤(L), existen g, g0∈Gde modo que gHg−1⊆Kyg0K(g0)−1⊆ L. Por lo tanto, (g0g)H(g0g)−1=g0(gHg−1)(g0)−1⊆g0K(g0)−1⊆L, de donde (H)≤(L). De esa manera, la relación es transitiva. Finalmente, supongamos que (H)≤(K)y(K)≤(H). Entonces, existen g1, g2∈G tales que g1Hg−1 1⊆Kyg2Kg−1 2⊆H. Por consiguiente, g2g1Hg−1 1g−1 2⊆g2Kg−1 2⊆H, y aplicando el Lema 2.34, tendremos que g2g1Hg−1 1g−1 2=H, de donde K=g1Hg−1 1= g−1 2Hg2. Llegamos entonces a que (H)=(K), y deducimos que la relación es antisimétrica. Al cumplir ≤las tres propiedades anteriores, hemos demostrado que es en efecto una relación de orden entre las clases de conjugación de G. Para acciones propias de un grupo de Lie Gsobre una variedad M, vamos a definir dos nuevas clases de órbitas, sabiendo que son subvariedades regulares de M Definición 2.36. Sea GyMuna acción diferenciable y propia. Decimos que p∈M es un punto regular si G·pes una órbita principal. En caso contrario, diremos que p es un punto singular. Denotaremos a los conjuntos formados por los puntos regulares y singulares de Mpor MRyMS, respectivamente. De modo equivalente, MRes la unión de todas las órbitas principales para la acción, mientras que MSes la unión de todas las órbitas no principales. Una órbita G·pes singular si tiene dimensión inferior a una órbita principal. Por otra parte, si G·ptiene la misma dimensión que una órbita principal, pero ella misma no lo es, se dice que es una órbita excepcional. Nos podríamos preguntar, ahora que sabemos que ≤es una relación de orden entre tipos de órbitas, si existe un tipo de órbita máximo. Es decir, querríamos saber cuáles son las órbitas más “grandes”. El Teorema de la Órbita Principal nos da una respuesta a esta pregunta empleando los slices para una acción propia. Veremos en el siguiente Capítulo qué es un slice, y probaremos su existencia. Este resultado se conoce como el Slice Theorem, demostrado por Montgomery y Yang en 1957 para el caso de grupos compactos [15], y por Richard S. Palais en 1961 para cualquier acción propia [17]. Capítulo 3 Acciones isométricas La Geometría de Riemann permite extender la Teoría de Superficies en R3a objetos de dimensiones superiores que no tienen por qué estar contenidos dentro de un espacio euclidiano. Pasamos de las superficies a las variedades de Riemann, variedades diferenciables que están dotadas de lo que conocemos como una métrica de Riemann (un análogo a la primera forma fundamental de una superficie). En parte, esta nació motivada por la teoría de geometrías no euclidianas, siendo sus primeros impulsores Karl Gauss (1777-1855) y Bernhard Riemann (1826-1866), quien fue el primero en introducir estas variedades (véase [2]). A día de hoy, juegan un papel importante en Matemáticas y en Física. En este capítulo utilizaremos las variedades de Riemann como una herramienta más que nos permita ampliar nuestros conocimientos de acciones propias. Comenzaremos introduciendo formalmente las variedades de Riemann, con nuestra atención dirigida a las isometrías y a la aplicación exponencial de las mismas (seguiremos la exposición de [10] y [16]). Hecho esto, veremos como es posible usar los rudimentos de esta disciplina para probar el Slice Theorem, resultado que nos permite estudiar localmente las acciones propias a partir de las acciones ortogonales de un grupo de Lie compacto sobre un espacio euclídeo. Finalmente, demostraremos por medio del Slice Theorem el Teorema de la Órbita Principal, que sitúa a las órbitas principales de una acción propia sobre una variedad conexa como los elementos máximos de la relación ≤, afirmando también que su unión es un abierto denso de la variedad. 3.1. Variedades de Riemann Empezamos estableciendo la definición de variedad de Riemann, así como la de isometría de variedades de Riemann. Definición 3.1. Sea Muna variedad diferenciable. Una métrica de Riemann sobre M 39 40 CAPÍTULO 3. ACCIONES ISOMÉTRICAS es una sección gdel fibrado vectorial T∗(M)⊗T∗(M)de modo que para cada p∈M, gp:Tp(M)×Tp(M)→Res un producto escalar en Tp(M). Una variedad de Riemann es un par (M, g), donde Mes una variedad diferenciable y ges una métrica de Riemann sobre M. Por simplicidad, denotaremos por Ma la variedad de Riemann, en vez de (M, g). En general, nos referiremos a la métrica de Riemann gcon el símbolo h·,·i. Además, escribiremos normalmente hv, wi=hv, wippara v, w ∈Tp(M). Si Ees una subvariedad regular de M, entonces para cada p∈E, tenemos que Tp(M) = Tp(E)⊕(Tp(E))⊥. Denotaremos por νp(E)al complemento ortogonal de Tp(E)en Tp(M). Definición 3.2. Sea f:M→Nuna inmersión entre variedades diferenciables. Si Nes una variedad de Riemann con métrica g, se define el pullback de gcomo la aplicación f∗g:M→T∗(M)⊗T∗(M)definida por (f∗g)p(v, w) = gf(p)(f∗p(v), f∗p(w)) para todo p∈M,v, w ∈Tp(M). Es sencillo probar que f∗gdefine una métrica de Riemann sobre M. Definición 3.3. Sean (M, g)y(N, h)variedades de Riemann. Una isometría entre M yNes un difeomorfismo f:M→Nque verifica que g=f∗h. En particular, fcumple que hf∗p(v), f∗p(w)i=hv, wipara cualquier p∈M,v, w ∈Tp(M). Se dice que MyNson isométricas si existe una isometría entre MyN. Ejemplo 3.4. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión m. Tomada una base ortonormal {u1, ..., um}, se considera el isomorfismo lineal ϕ:V→Rmque lleva cada ui en ei. Entonces, la aplicación ϕ= (x1, ..., xm)induce un sistema de coordenadas en todo Vy es una isometría lineal. Podemos definir entonces g= (dx1)2+... + (dxm)2, y tenemos que ges una métrica de Riemann en la variedad diferenciable V. Con esta métrica, se tiene que toda isometría lineal f:V→Ves una isometría de la variedad de Riemann V. Ahora nos centraremos en definir la conexión de Levi-Civita en variedades de Riemann. En general, una conexión generaliza la noción de derivada direccional para los campos de vectores. Definición 3.5. Sea π:E→Mun fibrado vectorial. Una conexión en Ees una aplicación ∇:X(M)×Γ(E)→Γ(E)que verifica las siguientes propiedades: • ∇f1X1+f2X2Y=f1∇X1Y+f2∇X2Y, • ∇X(aY1+bY2) = a∇XY1+b∇XY2, • ∇X(fY )=(Xf)Y+f∇XY, para cualesquiera X, X1, X2∈X(M),Y, Y1, Y2∈Γ(E),f, f1, f2∈F(M)ya, b ∈R. Si E=T(M), diremos simplemente que ∇es una conexión afín en M. 3.1. VARIEDADES DE RIEMANN 41 Usando particiones de la unidad se puede demostrar que cualquier variedad diferenciable admite una conexión afín (véase [10, Proposición 4.12]), pero no tiene por qué ser única. Para variedades de Riemann exigiremos dos condiciones adicionales. La primera de estas refleja la compatibilidad de la conexión con la métrica de Riemann. Estas dos condiciones nos caracterizan una única conexión sobre la variedad, conocida como la conexión de Levi-Civita. Teorema 3.6 (Teorema Fundamental de la Geometría de Riemann, [10, Teorema 5.10], [16, Página 61]).Sea (M, g)una variedad de Riemann. Existe una única conexión ∇en T(M), llamada conexión de Levi-Civita que verifica las identidades ∇XY−∇YX= [X, Y ]y XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY, ∇XZipara todos X, Y, Z ∈X(M). 3.1.1. Derivada covariante y geodésicas A partir de la conexión de Levi-Civita es posible derivar campos de vectores que están únicamente definidos a lo largo de una curva α:I⊆R→M(en particular, su velocidad α0). Esto nos permitirá entender la aceleración de la curva αcomo el resultado de aplicar dicha derivada a α0. Las geodésicas de una variedad de Riemann serán precisamente las curvas cuya aceleración sea nula. Definición 3.7. Sea Muna variedad diferenciable y α:I⊆R→Muna curva C∞. Un campo de vectores tangente a Ma lo largo de αes una aplicación diferenciable V:I→T(M)cumpliendo que V(t)∈Tα(t)(M)para cada t∈I. Denotamos por X(α)al conjunto de todos los campos tangentes a Ma lo largo de α. Es sencillo comprobar que X(α)tiene una estructura de espacio vectorial sobre R, así como de F(I)-módulo. Teorema 3.8 ([10, Teorema 4.24], [16, Página 65]).Sea Muna variedad de Riemann y α:I→Muna curva diferenciable definida sobre un intervalo abierto I⊆R. Existe una única aplicación R-lineal Dt:X(α)→X(α), llamada derivada covariante a lo largo de α, que cumple las siguientes propiedades: (i)Dt(fW) = f0W+fDtWpara todo W∈X(α)yf:I→Rdiferenciable. (ii)Si Vadmite una extensión a un campo ˜ V∈X(M), entonces para todo t∈Ise cumple DtV(t)=(∇α0(t)˜ V)α(t). Definición 3.9. Sea Muna variedad de Riemann y α:I→Muna curva diferenciable. Se dice que un campo de vectores V∈X(α)es paralelo a lo largo de αsi DtV= 0. En el caso de que V=α0sea paralelo, diremos que αes una geodésica de M. 42 CAPÍTULO 3. ACCIONES ISOMÉTRICAS Cuando se toman sistemas de coordenadas locales, se puede comprobar que los campos paralelos y las geodésicas están caracterizados por una ecuación diferencial ordinaria involucrando los símbolos de Christoffel de la métrica. Imponiendo condiciones iniciales a dicha ecuación, se llega al siguiente Teorema, que resulta de aplicar el Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales dadas: Teorema 3.10 ([10, Teorema 4.27 y Corolario 4.28]).Si Mes una variedad de Riemann, p∈Myv∈Tp(M), entonces existe una única geodésica maximal γv:Iv→Mque verifica que γv(0) = pyγ0 v(0) = v. 3.1.2. La aplicación exponencial de una variedad de Riemann Si Mes una variedad de Riemann y p∈M, sabemos que para cualquier vector tangente v∈Tp(M)existe una única geodésica maximal con condiciones iniciales pyv. Permitiendo variar pyv, se recogen todas las geodésicas en una única aplicación, que se conoce como la aplicación exponencial. Definición 3.11. Sea Muna variedad de Riemann. Definimos el dominio de la aplicación exponencial como E={v∈T(M): 1 ∈Iv}, donde para cada v∈Tp(M)Ives el intervalo de definición de la geodésica maximal γvverificando γv(0) = pyγ0 v(0) = v. En estas condiciones, definimos la aplicación exponencial exp: E → Mmediante la fórmula exp(v) = γv(1) v∈ E. Para cada p∈M, definimos Ep=E ∩Tp(M), y la restricción de la exponencial a Epla denotaremos por expp:Ep→M. Teorema 3.12 (Propiedades de la aplicación exponencial, [10, Proposiciones 5.19 y 5.20]). Sean Muna variedad de Riemann y exp: E → Mla aplicación exponencial. El dominio Ees un abierto estrellado de T(M)que contiene a la sección nula. Además, exp es diferenciable, siendo exppun difeomorfismo local en 0p∈Tp(M)para todo p∈M. Si f:M→Nes una isometría entre variedades de Riemann y ˜ Ees el dominio de la aplicación exponencial de N, entonces el diagrama Ep˜ Ef(p) M N expp f∗p expf(p) f es conmutativo para todo p∈M. 3.2. SLICES PARA UNA ACCIÓN PROPIA 43 Terminamos la sección definiendo las acciones isométricas, que son las acciones compatibles con la métrica de Riemann de una variedad M. Definición 3.13. Sea ϕ:GyMuna acción diferenciable de un grupo de Lie Gsobre una variedad de Riemann (M, h·,·i). Se dice que la acción ϕes isométrica si, para cada g∈G, ϕges una isometría. También se dice que la métrica de Riemann h·,·i es G-invariante. Observación 3.14.Si GyMes una acción diferenciable de un grupo de Lie compacto G sobre una variedad diferenciable M, entonces siempre es posible encontrar una métrica Ginvariante en M. Tomando una métrica arbitraria (·,·)sobre M(que sabemos que siempre existe), entonces podemos definir un producto interior h·,·i tal que hv, wip=ZG ((ϕg)∗p(v),(ϕg)∗p(w))g·pdg, v, w ∈Tp(M), p ∈M. Por la linealidad y positividad de la integral de Haar, se tiene que h·,·i determina un producto interior en Tp(M)para todo p∈M. Además, observemos que h(ϕh)∗p(v),(ϕh)∗p(w)ih·p=ZG ((ϕg)∗h·p((ϕh)∗p(v)),(ϕg)∗h·p((ϕh)∗p(w)))dg =ZG ((ϕgh)∗p(v),(ϕgh)∗p(w))dg =ZG ((ϕg)∗p(v),(ϕg)∗p(w))dg =hv, wip para cada v, w ∈Tp(M)yh∈G. Por lo tanto, esta nueva métrica es G-invariante, como queríamos demostrar. 3.2. Slices para una acción propia Dada una acción diferenciable y propia GyM, un slice nos proporciona una herramienta para entender el comportamiento local de la acción. Dado un punto p∈M, un slice S⊆Men pserá una subvariedad regular para la cual estudiar la acción de Gsobre un entorno invariante de pse reduce a describir la acción de Gpsobre S. Seguiremos la exposición de [1], [14]y[18] a la hora de definir y ver las propiedades fundamentales de los slices, aunque también sugerimos [3] para ver una aproximación alternativa a los slices en el caso de acciones isométricas sobre variedades geodésicamente completas o [9] en el caso de que el grupo Gsea compacto. Definición 3.15. Sea (M, G, ϕ)un grupo diferenciable de transformaciones y p∈Mtal que G·pes una subvariedad regular de M. Se dice que un subconjunto S⊆Mes un slice en psi existe un abierto U⊆Mtal que G·p⊆U,Ues invariante, y existe una retracción diferenciable y G-equivariante r:U→G·ptal que S=r−1(p). 50 CAPÍTULO 3. ACCIONES ISOMÉTRICAS M, y como ϕ=F◦η,Fes una sumersión sobreyectiva de G×GpSen G·S. De hecho, F es un difeomorfismo, al ser dim G×GpS= dim G+ dim S−dim Gp= dim G+ dim M−dim G·p−dim Gp= dim M, lo que nos permitirá construir la retracción r:G·S→G·pnecesaria para concluir. Se considera γ:G×GpS→G/Gptal que γ[g, s] = gGppara cada [g, s]∈G×GpS. Es una aplicación bien definida, diferenciable y equivariante, gracias a que γ[gh−1, hs] = gh−1Gp=gGpsi h∈Gp. Definimos entonces G·S G ·p G×GpSG/Gp r F−1 γ ψ donde r=ψ◦γ◦F−1. Por construcción, res una retracción diferenciable. También es G-equivariante, por ser composición de aplicaciones equivariantes. Por último, observamos que r−1(p) = (ψ◦γ◦F−1)−1(p) = F(γ−1(ψ−1(p))) = F(γ−1(eGp)) = F(η(Gp×S)) =ϕ(Gp×S) = Gp·S=S, lo que significa que S=r−1(p)es un slice en p. Definición 3.22. Sea ϕ:GyMuna acción propia e isométrica. Dado p∈M, un slice en pde la forma S= expp(B0p(ε)∩νp(G·p)), donde exppes un difeomorfismo en B0p(ε), se conoce como slice normal en p. El grupo de Lie Gpactúa sobre νp(G·p)mediante g·v= (ϕg)∗p(v). Como ϕes isométrica, entonces cada elemento g∈Gpinduce una isometría lineal de νp(G·p). Por ello, se dice que la acción es ortogonal. Denotando por O(V)al grupo de isometrías lineales de un espacio euclídeo, se deduce que tenemos un homomorfismo de grupos Gp→O(νp(G·p)), dado por la asignación g7→ (ϕg)∗p. Este homomorfismo se conoce como la representación slice. Notemos que, en estas condiciones, el difeomorfismo exppes Gp-equivariante, pues se tiene que para cualquier g∈Gpyv∈νp(G·p): expp(g·v) = expp((ϕg)∗p(v)) = expg·p((ϕg)∗p(v)) = ϕg(expp(v)) = g·expp(v). 3.3. Consecuencias del Slice Theorem Para terminar este capítulo, vamos a ver dos aplicaciones del Slice Theorem, centrándonos en su uso para el estudio de las órbitas principales. En primer lugar, veremos que 3.3. CONSECUENCIAS DEL SLICE THEOREM 51 toda acción propia GyMse puede hacer isométrica tomando una métrica de Riemann adecuada, para después ver las propiedades del conjunto MR(que era la unión de todas las órbitas principales para la acción), recogidas en el Teorema de la Órbita Principal. Teorema 3.23 (Existencia de métricas G-invariantes, [17, Teorema 4.3.1]).Sea ϕ:GyM una acción propia. Entonces es posible encontrar una métrica de Riemann G-invariante para la acción. Demostración. Denotemos por π:M→M/G a la proyección canónica. Al ser la acción GyMuna acción propia, el Slice Theorem 3.21 nos garantiza que podemos encontrar, para cada p∈M, un slice Spen p(y π(Sp)es abierto en M/G en virtud de la Proposición 3.17). Además, en vista de la demostración de dicho teorema, es claro que podemos escoger los slices tan pequeños como queramos, y relativamente compactos (pues son imagen por un embebimiento de una bola abierta en un espacio vectorial). Esto implica que la colección de todos los abiertos de la forma π(S), donde Ses un slice para la acción, es una base de la topología de M/G. Además, M/G es localmente compacto, Hausdorff y segundo numerable, gracias a que πes abierta y al Teorema 1.35, con lo que el Lema 1.4 nos garantiza que M/G es paracompacto, y podemos encontrar una sucesión (finita o numerable) de slices (Spn)nrelativamente compactos de manera que {π(Spn)}nes un recubrimiento abierto y localmente finito del espacio M/G (y por lo tanto {G·Spn}nes un recubrimiento abierto y localmente finito de M). En consecuencia, el Lema 1.5 nos garantiza la existencia de un refinamiento {Cn}nde {π(Spn)}ntal que Cn⊆π(Spn)para todo n. Definimos, para cada n,Kn=π−1(Cn)∩Spn. Por construcción, Knes abierto en Spn, y la clausura Knestá contenida en Spn. En efecto, si x∈Kn, tenemos que π(x)∈π(Kn)⊆ π(Kn) = Cn⊆π(Spn), con lo que existen g∈G,s∈Spnde modo que x=g·s∈g·Spn∩Spn. De ese modo, g∈Gpn, con lo que x∈Spn(al ser Spninvariante por Gpn). Observemos que como Spnes relativamente compacto, entonces Kntambién tiene clausura compacta, siendo además ClSpn(Kn) = Kn. Escogemos ahora una función fn:Spn→Rque sea diferenciable, no negativa, tal que fnsea positiva en el compacto Kny cuyo soporte sea un subconjunto compacto de Spn. Podemos suponer que fnes invariante por Gpn: de no ser el caso, empleando la compacidad de Gpnsustituiríamos fnpor ˜ fn(s) = ZGpn f(g·s)dg, s ∈Spn, que es también diferenciable, no negativa, positiva en Kny con soporte contenido en el soporte de fn, siendo esta además invariante por Gpn. Podemos extender el dominio de fnaG·Spnrecordando que tenemos un difeomorfismo Fn:G×GpnSpn→G·Spndado 52 CAPÍTULO 3. ACCIONES ISOMÉTRICAS por Fn[g, s] = g·s. Al ser fninvariante por Gpn, la aplicación γn:G×GpnSpn→R dada por γn[g, s] = fn(s)está bien definida, es diferenciable e invariante. De ese modo, la composición γn◦F−1 nes una extensión de fna todo G·Spn, cumpliendo que fn(g·s) = fn(s) para cada g∈G,s∈Spn. Por consiguiente, fnes G-invariante. Si además definimos fn(p) = 0 para cada p∈M\G·Spn, obtenemos una función fn:M→Rque sigue siendo diferenciable y G-invariante, tal que G·Kn⊆sop(fn)⊆G·Spn. Construiremos ahora una métrica de Riemann βnen cada G·Spnque sea invariante por G. Ya que Spnes una Gpn-variedad, y Gpnes compacto, podemos definir una métrica βnen T(M)|Spnque sea Gpn-invariante empleando la integral de Haar. Podemos extender βna todo G·Spnpor medio de la fórmula: (βn)g·s(v, w)=(βn)s((ϕg−1)∗g·sv, (ϕg−1)∗g·sw), v, w ∈Tg·s(M), g ∈G, s ∈Spn. Esta extensión está bien definida, ya que si x=g1·s1=g2·s2, donde g1, g2∈G, s1, s2∈Spn, vemos que s2=g−1 2g1·s1∈g−1 2g1·Spn∩Spn, de donde g−1 2g1∈Gpncomo consecuencia de la Proposición 3.17. Aplicando que ϕg−1 2g1es una isometría respecto de βn, obtenemos lo siguiente: para cada v, w ∈Tx(M), (βn)s1((ϕg−1 1)∗g1·s1v, (ϕg−1 1)∗g1·s1w) = (βn)s2((ϕg−1 2g1)∗s1((ϕg−1 1)∗g1·s1v),(ϕg−1 2g1)∗s1((ϕg−1 1)∗g1·s1w)) = (βn)s2((ϕg−1 2)∗g2·s2v, (ϕg−1 2)∗g2·s2w). El carácter G-invariante de βnse demuestra de modo similar: tomados g·s∈G·Spn, h∈G,v, w ∈Tg·s(M), se verifica: (βn)h·(g·s)((ϕh)∗g·sv, (ϕh)∗g·sw) = (βn)s((ϕg−1h−1)∗(hg)·s((ϕh)∗g·sv),(ϕg−1h−1)∗(hg)·s((ϕh)∗g·sw)) = (βn)s((ϕg−1)∗g·sv, (ϕg−1)∗g·sw)=(βn)g·s(v, w), Ya estamos en condiciones de construir la métrica G-invariante: sea β=X n fnβn. Esta suma está bien definida y es diferenciable, ya que para cada nse tiene que sop(fnβn)⊆ G·Spn, con lo que la familia de los soportes de cada sumando es localmente finita. Además, puesto que Pnfnes una función positiva por construcción, tenemos que βes una métrica de Riemann sobre M. Finalmente, del carácter invariante de las aplicaciones fnyβn concluimos que βes invariante, lo que termina la prueba. 3.3. CONSECUENCIAS DEL SLICE THEOREM 53 Nuestro objetivo a partir de ahora va a ser aplicar los Teoremas 3.21 y3.23 para demostrar el Teorema de la Órbita Principal, que nos permitirá describir la estructura de las órbitas principales para una acción propia de un grupo de Lie sobre una variedad conexa. El enunciado de dicho Teorema es el siguiente: Teorema 3.24 (de la Órbita Principal).Si GyMes una acción propia de un grupo de Lie sobre una variedad diferenciable conexa, entonces: (i)Todas las órbitas principales tienen el mismo tipo, que es además el máximo entre los tipos de órbitas de GyM. (ii)MR, la unión de todas las órbitas principales, es un abierto denso de M. (iii)El abierto π(MR)es un subconjunto conexo de M/G, siendo πla proyección canónica. La demostración de este resultado va a ser considerablemente larga, con lo que probaremos sus afirmaciones separadamente. Teorema 3.25. Sea GyMuna acción propia. El conjunto MRformado por todos los puntos regulares de Mes un abierto denso de M. En particular, siempre existen órbitas principales para cualquier acción propia. Demostración. Veamos que MRes abierto en M: si p∈Mes un punto regular de M, entonces en virtud del Slice Theorem 3.21 existe un slice Sen p. Además, aplicando el Corolario 3.18, podemos suponer que cada órbita que pasa por G·Ses principal, lo que implica que G·Ses un entorno abierto de pcontenido en MR. Así, pes punto interior de MR. Ya que la elección de pera arbitraria, deducimos que MRes un conjunto abierto. Ahora, probemos que MRes denso en Mviendo que para cada abierto U⊆Mno vacío, se tiene MR∩U6=∅. Dado Uen las condiciones anteriores, tomemos p∈Uun punto cualquiera, y sea S⊆Mun slice en p(de nuevo, la existencia de Sestá garantizada por el Teorema 3.21). Escogemos q∈(G·S)∩Ude modo que la dimensión de Gqsea n= m´ın{dim Gx:x∈(G·S)∩U}yGqtenga kcomponentes conexas, siendo kel número mínimo de componentes conexas que tiene cualquier subgrupo de isotropía Gx, donde x∈ (G·S)∩Uydim Gx=n. Tomamos un slice Sqen q, de modo que W= (G·S)∩(G·Sq)∩U es un abierto que contiene a q. Vamos a ver que V=G·Wes un entorno invariante de G·qtal que (Gq)≤(Gx)para todo x∈V. Si x∈V, entonces x=h·y, donde h∈G,y∈W, con lo que (Gx)=(Gy). Ya que y∈W⊆G·Sq, existirá un g∈Gtal que y∈g·Sq(que es un slice en g·q). Por lo tanto, el Corolario 3.18 nos permite afirmar que Gy⊆Gg·q=gGqg−1. Probaremos que por la elección de qdebe ser Gy=gGqg−1. En efecto, como la conjugación es un difeomorfismo, tenemos que gGqg−1tiene dimensión nykcomponentes conexas. Como 54 CAPÍTULO 3. ACCIONES ISOMÉTRICAS y∈W, tenemos que dim Gy≥n; también se tiene que dim Gy≤n, al ser Gy⊆gGqg−1, con lo que dim Gy=n. En consecuencia, Gyes una subvariedad abierta de gGqg−1, y es también cerrada por ser compacta. Se deduce entonces que Gyes la unión de una subfamilia de las componentes conexas de gGqg−1(que son a lo sumo k). Como Gytiene ko más componentes conexas, necesariamente Gyposee exactamente kcomponentes conexas, lo que fuerza que Gy=gGqg−1. De esa manera, (Gx) = (Gy) = (Gq), como queríamos demostrar. En resumen, hemos llegado a que q∈MR∩U, de donde MR∩U6=∅. Así, MRes denso en M, ya que la elección de Uera arbitraria. Teorema 3.26. Sea ϕ:GyMuna acción propia de un grupo de Lie sobre una variedad conexa M. Si π:M→M/G es la proyección canónica, entonces π(MR)es un subconjunto conexo de M/G. Demostración. En virtud del Teorema 3.25, sabemos que MRes un subconjunto abierto y denso de M. Por lo tanto, π(MR)es abierto en M/G, y es denso, ya que M/G =π(M) = π(MR)⊆π(MR). La demostración de este resultado se basa en dos observaciones. Primera observación: Por ser Muna variedad conexa, necesariamente Mes conexa por caminos, lo que implica que M/G es conexo por caminos. Por otra parte, decimos que un subconjunto A⊆M/G no desconecta localmente a M/G si todo punto x∈M/G admite un entorno abierto U⊆M/G tal que U\Aes conexo. Vamos a ver que si (M/G)\π(MR) = π(MS)no desconecta localmente a M/G, entonces π(MR)es conexo. Sean x, y ∈π(MR)dos puntos cualesquiera. Ya que M/G es conexo por caminos, es posible encontrar un camino α: [0,1] →M/G de manera que α(0) = xyα(1) = y. Ahora, aceptando que π(MS)no desconecta localmente a M/G, podemos dar un recubrimiento abierto Ude M/G de manera que para todo U∈ U,U\π(MS) = U∩π(MR)es conexo. Aplicando entonces la compacidad del intervalo [0,1], podemos dar una partición 0 = t0< t1< ... < tn= 1 de [0,1] tal que α([ti−1, ti]) ⊆Uipara todo i= 1, ..., n, siendo Ui∈ U. Por construcción, sabemos que U1∩π(MR)yU2∩π(MR)son conexos. Además, U1∩U2 es un abierto no vacío, puesto que α(t1)∈U1∩U2. Aplicando la densidad de π(MR), deducimos que U1∩U2∩π(MR)6=∅, de modo que (U1∩π(MR)) ∪(U2∩π(MR)) = (U1∪U2)∩π(MR)es conexo. Siguiendo este argumento por recurrencia, podemos llegar a probar que (U1∪... ∪Un)∩π(MR)⊆π(MR)es un conjunto conexo que contiene a xey. En consecuencia, como la elección de x, y ∈M/G era arbitraria, π(MR)es conexo. Segunda observación: Debemos comprobar que en efecto π(MS)no desconecta localmente a M/G. Es decir, tendremos que probar que cualquier elemento x=π(p)∈M/G admite un entorno U⊆M/G de modo que U∩π(MR)es conexo. 3.3. CONSECUENCIAS DEL SLICE THEOREM 55 Sea h·,·i una métrica de Riemann G-invariante para la acción, que sabemos que existe en virtud del Teorema 3.23, y escojamos un slice Σ = expp(B0p(ε)∩νp(G·p)) normal en p. Nuestro objetivo será probar que π(Σ) es el abierto deseado. Se define la aplicación f: Σ/Gp→π(Σ) dada por f[s] = π(s). Ya que Gp⊆G, es claro que festá bien definida y es continua en su dominio. También es inmediato que fes sobreyectiva, y se puede probar que es inyectiva: si [s],[s0]∈Σ/Gpson tales que f[s] = π(s) = π(s0) = f[s0], se deduce que existirá un g∈Gde manera que s0=g·s∈g·Σ∩Σ. En consecuencia g∈Gppor la Proposición 3.17, de donde [s] = [s0]. Finalmente, suponiendo que ε > 0es suficientemente pequeño como para que ϕ:G×Σ→G·Σsea una sumersión (y por tanto, abierta), deducimos que fes una aplicación abierta, lo que significa que f: Σ/Gp→π(Σ) es un homeomorfismo. Así, ver que π(Σ) \π(MS)es conexo es equivalente a ver que (Σ/Gp)\f−1(π(MS)) es conexo. Fijémonos también en que si Gp·ses una órbita principal para la acción GpyΣ, entonces G·ses principal, como consecuencia del Corolario 3.18 y de la definición de órbita principal. En consecuencia si q: Σ →Σ/Gpes la proyección canónica, f−1(π(MS)) ⊆ q(ΣS), de donde q(ΣR) = (Σ/Gp)\q(ΣS)⊆(Σ/Gp)\f−1(π(MS)). Por densidad de q(ΣR) en S/Gp, tendremos que si q(ΣR)es conexo, entonces (Σ/Gp)\f−1(π(MS)) es también conexo. Nos centraremos entonces en demostrar que q(ΣR)es conexo. Por ser expp:B0p(ε)∩νp(G·p)→Σun difeomorfismo equivariante, induce un homeomorfismo entre los espacios de órbitas que preserva las órbitas principales. Además, la acción de Gpsobre νp(G·p)es ortogonal, de manera que nos será suficiente probar la siguiente afirmación: Si GyVes una acción ortogonal de un grupo de Lie compacto sobre un espacio vectorial de dimensión finita, entonces π(VR)es conexo, siendo πla proyección canónica. Probaremos la afirmación por inducción en dim V. En el caso de que dim V= 1, podemos suponer directamente que V=R. Las únicas transformaciones ortogonales que admite Rson ±IdR. Si Gactúa solamente mediante la aplicación identidad, entonces el espacio de órbitas es R, y todas las órbitas son principales, de modo que π(RR) = Res conexo. Si existen g, g0∈Gtales que g·x=xyg0·x=−xpara todo x∈R, todas las órbitas salvo la de 0son principales, y la asignación π(x)∈R/G 7→ |x| ∈ [0,∞)define un homeomorfismo, de modo que π(RR)∼ =(0,∞)es conexo. Supongamos ahora que el resultado es cierto cuando dim V < n, y tomemos una acción GyVen las condiciones anteriores, siendo dim V=n. Al ser la acción ortogonal, tenemos que cada esfera Sn−1(r)es G-invariante. Aplicando la hipótesis de inducción, el hecho de que cualquier slice para la acción Gy Sn−1(r)tiene dimensión inferior a n, la representación 56 CAPÍTULO 3. ACCIONES ISOMÉTRICAS slice y la primera observación, tenemos garantizado que las órbitas principales de la acción Gy Sn−1(r)conforman un subespacio conexo por caminos de Sn−1(r)/G ∼ =π(Sn−1(r)). Además, para una órbita G·vcontenida en Sn−1(r)es equivalente que sea principal para Gy Sn−1(r)a que lo sea para GyV. Teniendo todo ello en cuenta, podemos probar que π(VR)es conexo por caminos: Tomamos π(x), π(y)∈π(VR)puntos cualesquiera. Salvo que la acción sea trivial, necesariamente x, y 6= 0. Si ˜x=x/||x||, entonces el camino γ(t) = π((1 −t)x+t˜x)une xcon ˜x. Además, puesto que las homotecias v7→ λv son difeomorfismos G-equivariantes para cada λ > 0, tenemos que cada γ(t)es una órbita principal, ya que lo era π(x) = γ(0). Por lo tanto, los puntos π(x)yπ(˜x)están conectados por un camino en π(VR). Del mismo modo, π(y)yπ(˜y)están conectados por un camino en π(VR), siendo ˜y=y/||y||. Aplicando ahora que π(Sn−1)∩π(VR)es conexo por caminos, encontramos un tercer camino en π(VR)que conecta π(˜x)con π(˜y). Concatenando esos tres caminos, obtenemos un camino de π(x)a π(y), con lo que hemos demostrado que π(VR)es conexo por caminos tal y como queríamos demostrar. En definitiva, llegamos a que π(Σ) es un entorno de π(p)tal que π(Σ) \π(MS)es conexo. Por lo tanto, π(MS)no desconecta localmente a M/G, y concluimos que π(MR) es conexo, lo que termina la demostración. Corolario 3.27. Si Ges un grupo de Lie que actúa propiamente sobre una variedad conexa M, entonces todas las órbitas principales tienen el mismo tipo. Demostración. Sea π:M→M/G la proyección canónica. Por el Teorema 3.26, sabemos que π(MR)es un subconjunto conexo de M/G. Tomemos p∈MRun punto arbitrario, y denotemos por [G·p]al tipo de la órbita de p. Veremos que si G·qes una órbita principal, entonces [G·q]=[G·p]. Consideremos A=π({q∈MR: [G·q]=[G·p]})6=∅. Por un lado Aes abierto en π(MR). En efecto, si π(q)∈A, entonces en virtud del Slice Theorem 3.21 y del Corolario 3.18, podemos encontrar un slice Sen qde manera que para cada s∈S,Gs=Gq, con lo que [G·s] = [G·q] = [G·p], y G·ses una órbita principal. Por lo tanto, π(S)⊆π(MR) es un subconjunto abierto de M/G (y por tanto, de π(MR)) que contiene a π(q)y tal que π(S)⊆A. Así, tenemos probado que Aes abierto en π(MR). Por otro lado, Atambién es cerrado en π(MR): dado cualquier π(q)∈π(MR)\A, tenemos que G·qes una órbita principal con [G·q]6= [G·p]. Tomado un slice Sen qtal que Gs=Gqpara todo s∈S, y G·ses principal, volvemos a deducir que π(S)⊆π(MR) es un conjunto abierto que contiene a π(q). Como [G·s] = [G·q]6= [G·p]para todo s∈S, tendremos que π(S)⊆π(MR)\A. Por consiguiente, π(MR)\Aes abierto en π(MR), de 3.3. CONSECUENCIAS DEL SLICE THEOREM 57 donde Aes cerrado en π(MR). Recordando ahora que π(MR)es conexo, el hecho de que Asea tanto abierto como cerrado en π(MR)obliga a que necesariamente A=π(MR). Así, tenemos demostrada la afirmación. Teorema 3.28. Sea GyMuna acción propia de un grupo de Lie sobre una variedad conexa. Entre todos los tipos de órbitas para la acción, existe un tipo máximo: el de las órbitas principales. Demostración. Sabemos que encontrar un tipo de órbita máximo para la acción es equivalente a encontrar una clase de conjugación mínima entre los subgrupos de isotropía. Probaremos que la clase de conjugación de los subgrupos de isotropía asociados a órbitas principales (que es única gracias al Corolario 3.27) es mínima para la acción, viendo que si ˜p∈MR, entonces (Gp)≥(G˜p)para todo p∈M. En primer lugar, demostraremos que para cualquier clase de conjugación (Gp), existe una clase minimal (Gq)tal que (Gq)≤(Gp). Supongamos que no fuese cierto el resultado, entonces podemos dar un p∈Mde manera que no existe una clase minimal menor o igual aGp. Al ser (Gp)un elemento no minimal, existe un subgrupo de isotropía Gp1de modo que (Gp1)<(Gp). En particular, existe un g∈Gtal que Gg·p1=gGp1g−1⊆Gp. Por lo tanto, escogiendo q1=g·p1, tenemos que Gq1⊂Gp. Ya que (Gp)no está acotado inferiormente por un elemento minimal, necesariamente (Gq1)no es minimal. Repitiendo el razonamiento anterior, encontramos un elemento q2∈M tal que Gq2⊂Gq1. Siguiendo este proceso por recurrencia, podemos obtener una sucesión estrictamente decreciente de subgrupos de isotropía Gp⊃Gq1⊃Gq2⊃Gq3⊃... En particular, la sucesión (dim Gqi)i∈Nes monótona decreciente. Definimos entonces k= m´ın{dim Gqi:i∈N}, y sea t= m´ın{Γ(Gqi): i∈N,dim Gqi=k}, siendo Γ(Gqi)el número de componentes conexas de Gqi(que es finito, ya que Gqies compacto). Escogemos un j∈Nde manera que dim Gqj=kyGqjtenga exactamente tcomponentes conexas. El subgrupo Gqj+1 ⊂Gqjes abierto en Gqj, al tener dimensión k(gracias a que la sucesión es decreciente y kes mínimo), y cerrado en Gqjpor ser compacto. En consecuencia, Gqj+1 es unión de componentes conexas de Gqj(que lo son a su vez de Gqj+1 ), y como tiene t componentes conexas, la única posibilidad es que Gqj+1 =Gqj, hecho que contradice que la sucesión (Gqi)i∈Nsea estrictamente decreciente. Llegamos entonces a que toda clase de conjugación (Gp)tiene que estar acotada inferiormente por una clase minimal (Gq). Lo único que nos queda por ver es que G·qes una órbita principal. Tomemos un slice Sen q, garantizado por el Teorema 3.21. Tenemos que Gs⊆Gqpara 58 CAPÍTULO 3. ACCIONES ISOMÉTRICAS cada s∈S, gracias al Corolario 3.18, con lo que (Gs)≤(Gq). Aplicando la minimalidad de (Gq), obtenemos que (Gs) = (Gq)para todo s∈S, de modo que si g∈G,s∈S, tenemos (Gg·s) = (Gs) = (Gq). Así, el conjunto G·Ses un abierto G-invariante que contiene a q cumpliendo que (Gz)≤(Gq)para todo z∈G·S. Por lo tanto, la órbita G·qes principal, lo que implica que (Gq)=(G˜p). En definitiva, hemos visto que para cualquier punto p∈M, existe una órbita principal G·qtal que (Gq)≤(Gp), de modo que (G˜p)≤(Gp). Así, [G·˜p]≥[G·p]para todo p∈M, con lo que concluimos que [G·˜p]es el tipo de órbita máximo para la acción. Ya tenemos demostradas todas las afirmaciones del Teorema 3.24 justificadas, con lo que queda demostrado el Teorema de la Órbita Principal. Ejemplo 3.29 (Una órbita excepcional).En el Ejemplo 1.36, habíamos estudiado la acción SO(n)y Snpor rotaciones de eje en+1. No es difícil comprobar que esta acción desciende al espacio proyectivo RPn. De ese modo, la acción SO(n)y RPndada por A·[x, t] = [Ax, t], A ∈SO(n),[x, t]∈RPn, está bien definida y es propia. Estudiemos los tipos de órbitas en el caso de la acción SO(2) y RP2. Supongamos un punto cualquiera p= [x, y, z]∈RP2. Se dan tres situaciones distintas según el valor de z∈[−1,1]. En primer lugar, si z= 1 oz=−1, tenemos que [x, y, z] = [0,0,1] = [0,0,−1]. En este caso, es inmediato que SO(2) ·p={p}ySO(2)p=SO(2). En segundo lugar, si 0<|z|<1, podemos tomar z > 0. La órbita SO(2) ·pcoincide con D={[x0, y0, z0]∈RP2:z0=±z}por un argumento idéntico al empleado en el Ejemplo 1.36. Suponiendo además que p= [r, 0, z], con r=√1−z2>0, tenemos que una matriz A∈SO(2) pertenece a SO(2)pexactamente cuando A(r, 0) = (r, 0). La única matriz ortogonal que cumple esto es A=I2, con lo que SO(2)p={I2}, y la órbita SO(2) ·pes principal, pues (SO(2)p)es mínimo. En último lugar, supongamos z= 0. La órbita de p= [x, y, 0] es G·p={[x, y, 0] ∈RP2}. Podemos suponer que p= [1,0,0], y una matriz A∈SO(2) pertenece a SO(2)psi y solamente si A(1,0) = (1,0) oA(1,0) = (−1,0). Esto obliga a que A=I2o bien A=−I2, lo que implica que SO(2)p={±I2}∼ =Z2. Así, la órbita SO(2) ·[1,0,0] no es principal pero tiene la misma dimensión que las órbitas principales, de modo que es una órbita excepcional. 3.3. CONSECUENCIAS DEL SLICE THEOREM 59 Figura 3.2: Órbitas para la acción SO(2) y RP2. Izquierda: modelo del plano proyectivo como cociente de S2; derecha: modelo del plano proyectivo como cociente de B0[1]. Los tres tipos de órbitas distintos aparecen representados en la Figura 3.2. Cabe destacar que RP2 R={[x, y, z]∈RP2:|z| ∈ (0,1)}, que cumple todas las propiedades garantizadas por el Teorema de la Órbita Principal. Ejemplo 3.30 ([6, Página 42]).Se considera el subespacio vectorial de M3(R)formado por todas las matrices simétricas con traza cero: M={X∈ M3(R): XT=X, tr(X) = 0}. Sobre este espacio definimos un producto interior mediante hX, Y i= tr(XY ), que hace de Mun espacio euclídeo de dimensión 5. Por lo tanto, Mes una variedad de Riemann. Definimos una acción ϕ:SO(3) yMde la siguiente manera: A·X=AXA−1=AXAT, A ∈SO(3), X ∈M. La acción es diferenciable y propia. Además, cada ϕAes una isometría lineal, lo que implica que esta acción es isométrica. Para poder estudiar esta acción nos conviene recordar el Teorema Espectral Real: si X∈ M3(R)es una matriz simétrica, entonces todos sus autovalores son reales, y existe una matriz P∈SO(3) de modo que PAPTes diagonal (siendo los elementos de la diagonal sus autovalores). Más aún, dada otra matriz simétrica Y∈ M3(R), la existencia de una matriz Q∈SO(3) cumpliendo que Y=QXQTes equivalente a que XeYtengan los mismos autovalores (incluyendo multiplicidades). Como consecuencia directa, podemos deducir que el subespacio vectorial Σ⊆Mformado por las matrices diagonales de traza nula interseca a todas las órbitas de la acción. Vamos a estudiar los tipos de órbitas que posee esta acción. Para ello, tomemos una órbita SO(3)·Xarbitraria. Ya que Σcorta a todas las órbitas, podemos suponer sin pérdida