Pohjantähti mielenkiinnon herättäjänä ja merkitysten lähteenä matematiikan ja fysiikan kouluopetuksessa : Matematiikan ja reaalimaailman kohtaaminen opettajankoulutuksessa : Leveysasteen määrittäminen Pohjantähden avulla

Po anen & Män ylä FMSERA Jou nal 2(1) 2018 23 MATEMATIIKAN JA REAALIMAAILMAN KOHTAAMINEN OPETTAJANKOULUTUKSESSA: LEVEYSASTEEN MÄÄRITTÄMINEN POHJANTÄHDEN AVULLA Jaska Po anen & Te hi Män ylä Tampe een yliopis o TIIVISTELMÄ Tule ien ma ema iikan ope ajien eh ä änä on muun muassa saada oppilaiden kiinnos- us ma ema iikkaan he äämään ja au aa oppilai a näkemään ma ema iikan me ki ys a - kipäi än ongelmien a kaisemisessa. Nämä a oi ee silmällä pi äen ma emaa is en ai- neiden ope ajaopiskelijoille suunni el iin eh ä ä: sijain ipaikan le eysas een sel i ämi- nen Pohjan ähden a ulla. Teh ä ä aa ii alkeellis a geome iaa sekä ysiikkaa yhdessä sen pe us elemiseksi, e ä le eysas e odella löy yy näin. Tu kimuksen aineis o koos ui opis- kelijoiden 21 eh ä ä apo is a, jo ka analysoi iin ja luoki el iin sisällönanalyysin kei- noin. Tule ille ma emaa is en aineiden ope ajille ämä osoi au ui yllä ä än aikeaksi, eh ä ä poikkesi o u us a ma ema iikan eh ä äs ä. JOHDANTO Yliopis ossa ma ema iikka usein näy äy yy abs ak ina ie eenä ja sen yh eyde a kielämään ei ä ole ope uksen keskiössä. Koulussa puoles aan ma ema iikan ilmeneminen jokapäi äisessä elämässä, sen empii ise juu e ja mahdollisuus jä- sen ää ympä is öään ko os u a , ne uo a mielekkyy ä ja me ki yksellisyy ä ma ema iikan ope ukseen ja oppimiseen. Ope ajaksi opiskele ien pi äisi halli a ma emaa isen ja kumon molemma pää ja mi ä nuo empien las en kanssa yös- kennellään, si ä enemmän ko os uu ma ema iikan empii isyys ja konk ee isuus. Tämä ulee esiin myös ule assa yössä ope ajana, esime kiksi al akunnallisen pe usope uksen ope ussuunni elman pe us eissa (Ope ushalli us, 2014, 376) on ma ema iikan oppimisympä is öjä ja yö apoja uosiluokilla 7-9 luonnehdi u seu aa as i: Ope uksen läh ökohda ali aan oppilai a kiinnos a is a aiheis a, ilmiöis ä ja näihin lii y is ä ongelmis a. Konk e ia oimii edelleen ä keänä osana ma e- ma iikan opiskelua. … Ongelmia ma ema isoidaan, a kais aan ja ulki aan yksin ja yhdessä. Ope uksen läh ökohdiksi pi äisi siis ali a oppilai a kiinnos a ia aihei a. Toi- saal a siinä ei a sinaises i sano a, millaise asia uollaisia oisi a olla, eikä siinä myöskään analysoida ai pe us ella, mikä ooli mielenkiinnolla oppimisessa ja Po anen & Män ylä FMSERA Jou nal 2(1) 2018 24 ope amisessa oikein on. Teks issä kui enkin maini aan muun muassa konk e ia ja ma ema isoin i, joiden oi aja ella ii aa an joko eaalimaailman huomioon o amiseen suo aan ope amisessa ai yleisemmin ongelmiin, jo ka aa i a esi- me kiksi odellisuuden ma emaa is a mallin amis a. Tässä u kimuksessa keski y ään a kas elemaan, mi en ope ajaksi opiskele a hahmo a a sekä sisällöllises i e ä kokemuksellises i eh ä än, jossa yhdis yy ma ema iikka ja eaalimaailma. Teh ä ä anne iin kaikille ma emaa is en ainei- den pedagogisia opin oja suo i a ille. Pääainees a (ma ema iikka, ysiikka, ke- mia, ie ojenkäsi ely iede) iippuma a kaikki ule a odennäköises i ope a- maan ma ema iikkaa koulussa. Ki joi ajia kiinnos aa, millaisia almiuksia opis- kelijoilla on kohda a ja käsi ellä anne ua eaalimaailman ongelmaa, le eysas een mää i ämis ä Pohjan ähden a ulla. TAUSTA Mielenkiin o ai kiinnos us psykologisena ilana ku aa e äs ä e i yis ä suhde a henkilön ja koh een älillä. Tällainen subjek i-objek i - elaa io on olemassa, kun henkilö suh au uu myön eises i koh eeseen ja pi ää si ä a okkaana, ja jolloin edelleen mahdollis uu sisäisen mo i aa ion ja si ou umisen lii yminen siihen (U e , Rach, & Kosiol, 2017; Rellensmann, & Schukajlow, 2017; Sch aw, & Leh- man, 2001). Ope us yössä py i ään näin ollen luonnollises i he ä ämään oppi- laan mielenkiin o ope e a aan asiaan, jo a niin oppijalle i selleen me ki ykselli- nen ja mielekäs oppimisp osessi käynnis yisi kuin myös a allisemma ai ylei- semmä ope us yölle ase e u a oi ee saa u e aisiin. Useimmille ope ajille ämä a koi aa koko yöu an kes ä ää kehi ys yö ä, mikä ulee huomioida jo alan koulu uksessa. Uude ope ussuunni elma (Ope ushalli us, 2014; 2015) oh- jaa a myös aine ajojen yli ämiseen. Tämän oi nähdä pai si haas eena ope a- jille niin heille myös uu ena mahdollisuu ena luoda oppilai a kiinnos a ia ja sa- malla sisällöllises i ikkai a eh ä iä ja aja elu apoja. Kun ule a ma ema iikan ope aja aloi aa ope ajan pedagogise opinno , on hä- nellä ol a a ähin ään 50 opin opis een edes ä yliopis ollisia ma ema iikan suo- i uksia. Yliopis ossa ma ema iikkaa opiskellaan sen iedeluon een mukaises i, käsi eiden mää i elmiin, käsi ei ä ja niiden älisiä suh ei a koske iin äi ämiin sekä näiden odis uksiin keski yen ( . esim. U e ym., 2017, 398). Isojen ie o- ai eo iakokonaisuuksien aken amisessa, ku en esime kiksi klassisessa geome - iassa (ks. esim. Leh inen, Me ikoski, & Tossa ainen, 2007), on olennais a sisäi- nen johdonmukaisuus ja is i iida omuus, ei ulkoinen maailma ( . myös esim. Leh i, 1971, 85). Näin ma ema iikan muodollise opinno ei ä pakos i anna juu i mi ään al- miuksia ulkoiseen maailmaan lii y ien ongelmien luomiseen ja koh aamiseen koulussa. Toisaal a niin ope ussuunni elma (Ope ushalli us, 2014; 2015) – ku en Po anen & Män ylä FMSERA Jou nal 2(1) 2018 25 jo huoma iin – sekä ainedidak inen u kimus paino a a myös ämän yyppis- en ak i i ee ien huomioimis a. Esime kiksi a ikkelissa (Schukajlow, Rakoczy, & Pek un, 2017, 316) ii a aan yläkoululais en pa issa eh yyn u kimukseen, jossa oppilaille oli anne u e äs eaalimaailmaan ja Py hago aan lauseeseen lii - y ä ongelma. Tällaisella eh ä ällä oli ollu posi ii inen aiku us muun muassa mielenkiinnon, au onomian ja i seohjau u uuden kokemuksiin yösken elyssä. Yleises i eaalimaailmaan lii y än ma emaa isen ongelman käsi ely aa ii ä- hin äänkin in o maa ion sii oa ma ema iikan ja ulkoisen odellisuuden älillä. Jos ongelma on ei- i iaali ja ii ä än kompleksinen, niin a i aan lisäksi odel- lisuuden ma emaa is a mallin amis a, ma ema isoin ia ( . esim. Mellone, Ve - scha el & Van Doo en 2017, 3); mallin sisällä oidaan si en ehdä puh aas i ma- emaa isia ope aa ioi a, mu a niiden sisäl öjä ja me ki yksiä on a ioi a a ja koe el a a myös suh eessa ysikaaliseen maailmaan. Tässä ope ajan on lisäksi pys y ä ä aken amaan ehei ä pe us elu- ja pää elyke juja, koska jos ope aja ei siihen kykene, hän ei pys y myöskään ohjaamaan oppilai aan muodos amaan nii ä. Aiemman u kimuksen pe us eella ope ajaopiskelijoilla on ässä haas ei a (Män ylä & Nousiainen, 2014). Tässä u kimuksessa a kas ellaan eaalimaailman ongelmaa, joka aa ii ensin- näkin in o maa ion sii oa ma ema iikan ja ulkoisen odellisuuden älillä. Täl- löin ha emmin oidaan pysy ellä puh aas i ma ema iikan pii issä, sen sijaan pi- ää so el aa useamman oppiaineen ie oja ja mene elmiä. Tämän yyppise on- gelma edelly ä ä ilan een ma ema isoin ia ja ässä kyseisessä apauksessa ä- män p osessin pe us elemis a myös ysikaalisen aja elun kau a. Fysiikan iede- luon een akia sen oi aja ella ole an usein, ku en ässäkin, läheinen ja luon e a ”yh eis yökumppani” ma ema iikalle ämän yyppisissä ongelmissa ( . esim. Pie ocola, 2008). LEVEYSASTEEN MÄÄRITTÄMINEN POHJANTÄHDEN AVULLA Pohjan äh i sijai see noin as een päässä ai aan pohjoisna as a, maapallon pyö- imisakselin suunnas a. P ekession aiku ukses a se ielä lähenee si ä hieman, aina uo een 2115 as i ja sen e äisyys maapallos a on 330 alo uo a (Kaila, 1979, 176). Pohjan ähdellä on e ikoinen ooli ai aan kiin opis eenä: siis pis eenä, joka näy ää pysy än aina samassa paikassa äh i ai aalla esime kiksi Tampe eella ole an ha ai sijan ho ison i asoon nähden, oisin kuin muu ähde – iippu- ma a maapallon uo okau ises a pyö imisliikkees ä akselinsa ympä i ja/ ai maapallon uo uises a a aliikkees ä au ingon ympä i. Teoksen Täh i ie een pe us ee (1984, 25) mukaan ”le eysas ees a puhu aessa a - koi e aan yleensä maan ie eellis ä le ey ä, joka on ha ain opaikan luo isuo an ja maapallon ek aa o in älinen kulma”. Pidimme ä ä mää i elmää läh ökoh ana ideoidessamme eh ä änan oa opiskelijoille. Laadimme sen pohjal a malliku an (Ku a 1), joka ky kee asiaan myös Pohjan ähden. Po anen & Män ylä FMSERA Jou nal 2(1) 2018 26 Ku a 1. Malliku a maapallon poikkileikkausympy än Γ(O, OX) a ulla sille, miksi Pohjan ähden ko keuskulma N’XH ho ison is a = paikan X le eysas e eli kulma X’OX. Ku an 1 mukaises i siis paikan X le eysas e on mää i elmän mukaan kulma X’OX, jonka kä kipis e = maapallon keskipis e O. Siel ä ei kukaan pääse ä ä kul- maa mi aamaan, mu a Pohjan ähden kulmako keus N’XH on puoles aan helppo konk ee ises i mää i ää. Opiskelijoiden pi i pe us ella, e ä maanpäälli- nen kulma N’XH on odella = kulma X’OX (hy ällä a kkuudella). Tällöin a i- aan yksinke ais a geome is a pää elyä, mu a eaalimaailmaa ei oi ny unoh- aa sen edelly yksenä. Tämä p osessi sisäl ää jokseenkin äli ömäs i ha ai a issa ole ia koulugeome - isia käsi ei ä ( . Ku a 1) suu en mää än. Mu a ne, ku en kulma, ympy än angen i jne., a i se a ja mahdollis a a ny myös ysikaalisen ulkinnan ja me ki yksenannon. Esime kiksi kulman X’OX (Ku a 1) me ki ykseen lii yy luo- ilangan kau a myös paino oima, ja ympy än Γ(O, OX) pis eeseen X ase e uun angen iin ha ain opaikan X ho ison i – ai oikeammin ho ison i aso. Ku assa 1 näy ää myös ole an yhdensuun aisia puolisuo ia, ku en ON ja XN’, joi a leik- kaa puolisuo a OZ. Tä ä mahdollis a yhdensuun aisuu a pi äisi kui enkin pe- us ella ysikaalises i, esime kiksi alonsä eiden ( ysikaalises i) suo a ii aisen e enemisen kau a. Toisaal a ällöin on pakos i kiinni e ä ä huomio a geome - ian sisäiseen, suo ien yhdensuun aisuu a koske aan aja eluun – mikä ässä a- pauksessa saa aa joh aa jopa kiin oisaan kogni ii iseen is i ii aan. Näin ämä, näennäises i ehkä yksinke ainen Pohjan äh een lii y ä oppimis eh- ä ä, koulukon eks iin sii e ynä, olisi käy ökelpoinen myös y i yksessä ai- kaansaada pysy ämpää, yksilöllis ä mielenkiin oa ja ak ii isuu a oppijassa ( . esim. Sch aw, & Lehman, 2001, 28 – 29;). Tässä apauksessa se oisi kohdis ua ainakin ma ema iikan (e i yises i geome ian), ysiikan, maan ie een ja äh i ie- een oppisisäl öihin. Se oisi joh aa myös yleisempään oi allukseen ( . esim. Wagenschein, 2000) eo ee isil a aiku a ien ma ema iikan/geome ian asioi- den me ki ykses ä myös eaalimaailmassa – ja si ä kau a pa empaan opiskelu- mo i aa ioon. Po anen & Män ylä FMSERA Jou nal 2(1) 2018 27 TUTKIMUKSEN TOTEUTUS JA MENETELMÄT Tu kimuksemme a oi eena on a kas ella, mi en opiskelija sekä sisällöllises i e ä kokemuksellises i hahmo i a anne un eaalimaailman eh ä än. Tu kimus- kysymyksemme o a : 1. Mi en opiskelija pe us ele a apo eissaan ha ain opaikan le eysas een mi auksen pe iaa een ja mi auksen? 2. Mi en mielekkääksi ai me ki yksiä luo aksi opiskelija o a kokenee eh- ä än apo ien pe us eella? Tu kimuskysymys 1 au aa as aamaan sisällölliseen a oi eeseen: millaisia si- sällöllisiä näkökulmia opiskelija uo a esiin ja mi en he onnis u a ky kemään ne yh enäisiksi pe us eluiksi. Tu kimuskysymys 2 au aa as aamaan kokemuk- selliseen näkökulmaan: mi en opiskelija o a i se kokenee eh ä än ai mi en he luonneh i a eh ä än oolia mahdollisessa ope uksen kon eks issa. Tu kimuksen kon eks i ja osallis uja Tu kimus suo i e iin ma emaa is en aineiden pedagogis en opin ojen ensim- mäisellä aineopin ojen ku ssilla (Ainedidak iikka 1, 5 op) syksyllä 2017. Ku ssilla oli opiskelijoi a 28 ja kaikilla oli ähin ään 50 op ensimmäisen ope e a an aineen opin oja. 11 opiskelijalla oli ma ema iikka pääaineena ja ysiikka si uaineena, ii- dellä opiskelijalla oli ysiikka pääaineena ja ma ema iikka si uaineena. Kuudella opiskelijalla oli ma ema iikka pääaineena ja yhdellä si uaineena, ysiikkaa heillä ei ollu ollenkaan. Lisäksi kahdella opiskelijalla ei ollu ma ema iikkaa eikä y- siikkaa ope e a ana aineena. Opiskelijoille anne u eh ä ä Opiskelijoille anne iin seu aa a eh ä ä Tampe een le eysas een mää i ä- miseksi Pohjan ähden a ulla ( eh ä änan o sisälsi myös ku an 1 kal aisen malli- ku an). Opiskelijoiden joko sähköises i ai ki jallises i palau ama eh ä ä apo - i muodos a a u kimusaineis omme. Opiskelija sai a i se ali a, eke ä kö he eh ä ä i senäises i ai yhmissä. Paikkakunnan le eysas e oidaan koh alaisella a kkuudella mää i ää Poh- jan ähden a ulla. Suunna aan esime kiksi auluha pin lii u a si koh i Pohjan- äh eä ja käänne ään kiinni ys a si ho ison i ason suun aiseksi. Le eysas e = näiden a sien älinen pienempi kulma (kulma N’XH; ku a 1). 1. Sel i äkää asianmukaises i, yksin ai pien yhmässä, ma emaa ises i ja y- sikaalises i pe us ellen miksi Tampe een le eysas e = Pohjan ähden kul- mako keus ho ison is a. 2. Tehkää ku an 1 mukainen mi aus. Ku ailkaa/ apo oikaa lyhyes i mi - ausolosuh ee , mi auksen o eu us apa (mi a äline, yksin/ yhmässä yms.) sekä mi aus ulokse . Po anen & Män ylä FMSERA Jou nal 2(1) 2018 28 3. Millä kouluas eella, missä oppiaineissa ja millaisilla ope usjä jes elyillä yllä ku a u mi aukse oisi mielekkääs i ee ää? Pe us elua myös ope- ussuunni elmien (Ope ushalli us 2014, Ope ushalli us 2015) kau a. 4. Mi en yo. eh ä ä sopisi oppiaine ajoja yli ä ään yh eis yöhön (eli ns. ehey ä ään ope ukseen eli monialaiseen oppimiseen eli ilmiöoppimi- seen) koulussa? Opiskelijoille alun pe in anne uun ku a hieman poikkeaa ku as a 1. Ku aan 1 on lisä y e äi ä pis ei ä (X’, E, Z, N’, N, H) ja jana X’X on eh y ka ko ii alla, jo a se pa emmin e o uisi puolisuo as a XN’. Lisäksi pis ees ä E on pois e u suo an kulman me kin ä. Nämä muu okse ei ä ää is ä opiskelijoille anne ua ongel- maa ja malliku aa, sen sijaan ne helpo a a opiskelijoiden an amien as auksien analysoin ia. Tu kimuksemme läh öole uksena oli, e ä kaikki ma emaa is en ie eiden ope - ajaopiskelija löy ä ä ai aal a Pohjan ähden – ai a i aessa sel i ä ä , kuinka se löy yy – sekä un e a esime kiksi sen e ikoisen oolin ai aan kiin o- pis eenä. Analyysi Aineis o koos uu 28 opiskelijan 21 apo is a. Näis ä 17 on yksilö apo eja, kaksi pa ei ain eh yjä apo eja, yksi kolmen hengen apo i ja yksi neljän hengen apo i. Rapo i analysoi iin ja luoki el iin sisällönanalyysin keinoin, mi en opiskelija pe us eli a ysikaalises i ja ma emaa ises i mi auksen idean ( eh ä- än 1 as aukse ). Ohjeis ukses a huolima a ain kolme opiskelijaa oli ehny mi auksen ( eh ä än 2 as aukse ), jo en sen analyysi on pin apuolisempi. Lo- puksi, u kimuskysymykseen kaksi as aamiseksi eh ä ien 3 ja 4 as auksis a analysoi iin ja luoki el iin, mi en mielekkääksi ai me ki yksiä luo aksi opiskeli- ja koki a mi auksen. Tu kimuskysymykseen 1 lii y ää sisällönanalyysiä oh- jasi ie o sii ä, mi ä hy ään pe us eluun pi äisi sisäl yä. Esime kiksi pe us el a- essa le eysas een mää i yksen ysikaalisia läh ökoh ia, pi äisi uoda esiin Poh- jan äh i hy in kaukaisena kiin opis eenä ja alon suo a ii ainen kulku. Ma e- maa is en pe us eluiden luoki elemiseksi muo oilimme ensin kaksi seu aa- aksi esi el ä ää mahdollis a asianmukais a seli ys apaa (i) ja (ii), joi a e ukä een a elimme opiskelijoiden käy ä än niiden u uuden akia. Rapo ien pe us e- luiden sisällöllinen laa u ohjasi luoki elun syn ymis ä. Seli ys (i). Jos suo a leikkaa kah a yhdensuun ais a suo aa, niin samankoh aise kulma o a yh ä suu ia (geome ian lause, ks. esim. Leh inen, Me ikoski, & Tossa ainen, 2007, 32). Ku assa 1 suo a OZ leikkaa suo a ON ja XN’. Kulma XON ja ZXN’ o a samankoh aise , koska suo a OZ on niillä molemmilla samannimisenä eli oikeana kylkenä. Pis eiden O ja N/Pohjan äh i mää äämä suo a on ässä = maan pyö imisakseli, joka kulkee maan keskipis een O kau a ja joka on koh isuo assa maan ek aa o iin/ek aa o i asoon nähden. Suo assa XN’ on pis e X ha ai sijan paikka ja N’ = Pohjan äh i. Suo a ON ja XN’ oidaan aja ella ai pe us ella yh- densuun aisiksi joko Pohjan ähden suu en e äisyyden ai alonsä eiden suo a- Po anen & Män ylä FMSERA Jou nal 2(1) 2018 29 ii aisen kulun akia. Näin geome is a ja ysikaalis a aja elua yhdis ämällä oi- daan pää ellä, e ä kulma XON ja ZXN´ o a yh ä suu e . Zenii isuo a OZ (= suo a XZ) on mää i elmänsä mukaan koh isuo assa pis een X mää äämään ho i- son iin/ho ison i asoon nähden. Tä en myös kulma X’OX ja N’XH o a yh ä suu e eli Pohjan ähden ko keuskulma ho ison is a = paikan X le eysas e. Yllä käy e y geome inen pe iaa e on koulugeome iassa hy in a allinen ja se oidaan esi ellä jo alakoulussa. Yläkoulussa ja lukiossa si ä so elle aan lasken- nollises i paino uneessa geome iassa aikkapa silloin, kun on pe us el a a kah- den kolmion yhdenmuo oisuu a ( . Ope ushalli us 2014, 2015). Toisaal a ky- symys suo ien yhdensuun aisuudes a on sy ällisemmän geome isen aja elun kannal a ai an keskeinen. Esime kiksi se, e ä asokolmion kulmien summa = oi- kokulma, edelly ää käsi ys ä yhdensuun aisis a suo is a – ja nii ä leikkaa as a suo as a. Myös kuuluisa Eukleideen pa alleeliaksiooma lii yy asiaan. Muun mu- assa näis ä syis ä joh uen aja elimme, e ä ule a ma emaa is en aineiden ope - aja käy äisi ä ilman muu a seli ys ä (i). Ku assa 1 on pis e X’ pis een X koh isuo a p ojek io ek aa o illa OE. Missään ei kui enkaan sano a, e ä (puoli)suo a XN’ yh yisi siihen. Näin sellainen jä keily, e ä is ikulmina kulma ZXN’ ja OXX’ olisi a yh ä suu e – mis ä edelleen seu- aisi helpos i a sinainen äi e – ei oimi ilman ysikaalis a pe us elua suo ien ON ja XN’ yhdensuun aisuudelle. Seli ys (ii). Jos kahden e ä än kulman samannimise kylje ai niiden ja kee o a koh isuo assa oisiaan as aan, niin kulma o a yh ä suu e (geome ian lause). Tämä lause on mahdollis a ymmä ää seli ys a assa (i) käsi ellyn, keskei- sen geome isen pe iaa een kau a, mu a koulussa se saa e aan esi ää myös si- en, e ä yh eys siihen ei ole ko in ilmeinen. Esime kiksi lukiossa se oidaan maini a ysiikassa/ma ema iikassa kal e alla asolla ole an kappaleen a kas e- lun yh eydessä. Ki joi ajien mieles ä ämä pe iaa e on huomiona oinen myös siksi, e ä ilmeises i si ä so el aen oisi ehdä yksinke aisen kulmanmi auslai - een. Seli yspe us een (ii) käy ö oisi ede ä si en, e ä a kas ellaan suo aan kulmia X’OX ja N’XH (Ku a 1). Näiden kulmien asemma kylje , OX ja XH, o a koh i- suo assa oisiinsa nähden zenii isuo an OZ ja ho ison i ii an/ympy än an- gen in XH mää i elmien akia. Kulman N’XH oikean kyljen XN’ ja ke on koh i- suo assa kulman X’OX oikeaan kylkeen OX’ nähden, jos suo a XN’ on yhdensuun- ainen suo an ON kanssa – ja ässä a i aisiin siis myös ysikaalis a pe us elua. Tu kimuskysymykseen 2 lii y ä sisällönanalyysi oli puh aas i aineis oläh öinen. Opiskelijoiden apo eis a poimi iin mielekkyy een ja me ki yksellisyy een lii - y ä kohda , joi a e ail iin e i luokkien muodos amiseksi. Toinen ki joi ajis a analysoi ja luoki eli aineis on. Luoki eluiden luo e a uuden a mis amiseksi oinen ki joi ajis a innakkaisluoki eli koko aineis on ja luoki elijoiden yksi- mielisyys oli 87 %, jo a pide iin ii ä änä. Lisäksi ulososiossa on py i y esi ä- mään e i luokis a aineis olainauksia, jo a lukija oi a ioida luoki elua. Po anen & Män ylä FMSERA Jou nal 2(1) 2018 30 TULOKSET Tuloksissa on e i luokkien nimen jälkeen esi e y luokan yleisyys aineis ossa sekä lukumää änä (N) e ä p osen eina (%), iimeinen luku (0-2) ii aa luokan koo- diin aulukossa 1. Fysikaalise läh ökohda . Pohjan ähden mi auspe iaa eessa oleellis a on pe- us ella se, miksi Pohjan äh i sopii mi aukseen ja miksi Pohjan ähden alo oi- daan esi ää yhdensuun aisina suo ina (ks. Ku a 1) (Pohjan ähden suu i e äi- syys/ alon suo a ii ainen e eneminen). Fysikaalis en läh ökoh ien pe us elu luoki el iin kolmeen luokkaan: Kel ollinen pe us elu (N=7; 33 %; 2). Pohjan ähden pysyminen paikallaan yö- ai aalla ai e äisyys Maas a on uo u esiin. Tämä oidaan o eu aa mihin uodenaikaan hy änsä ja se pe us uu pohjoi- seen napa äh een Pohjan äh een. (R11) Puu eellinen pe us elu (N=1; 5 %; 1). Pohjan ähden suu i e äisyys on uo u esiin, mu a ämän iedon me ki ys ä ei ole ky ke y mi auksen ideaan. Puu u a pe us elu (N=13; 62 %; 0). Mi auksen ysikaalisia läh ökoh ia ei ole uo u esiin. Vain alle puole opiskelijois a poh i a mi auksen ysikaalisia läh ökoh ia, suu- in osa o i ku an sisäl ämä iedo almiina. Sellais a pohdin aa, jossa olisi uo u esiin sekä Pohjan ähden sopi uus le eysas een mi aukseen, e ä sen e äisyy- des ä joh u a pe us elu ku an 1 yhdensuun aisille suo ille, ei aineis ossa ollu . Ma emaa ise pe us elu . Edellä on uo u esiin ennakoi uja ma emaa isia pe- us elui a mi aukselle, sen pohjal a opiskelijoiden pe us elu apo eissa luoki- el iin neljään luokkaan: Ma emaa ises i yydy ä ä pe us elu (N=7; 33 %; 2). Ku an 1 mukaisessa le- eysas een pe us elussa käy e ään suo ien yhdensuun aisuu a, mu a pe us e- luke jussa on edelleen puu ei a, e minologiassa epämää äisyy ä ai pe us elu jää kesken (ku en alla). Tällöin syn yy kaksi kulmaa: maapallon keskipis ees ä pohjan ähden suun ai- nen ii a ja zenii isuo a OX älinen kulma ja as aa ien ii ojen älinen kulma paikassa X. Tällöin nämä kulma o a yh ä suu e , sillä niiden ie eise si u [ asemma kylje ] o a yhdensuun aise . (R14) Ma emaa ises i äl ä ä pe us elu (N=5; 24 %; 1). Pe us elussa käy e ään is i- kulmia, yhdenmuo oisia kolmioi a, ms. jonkinlaisina ha ain o o uuksina ku- as a 1, mu a olennais a suo ien yhdensuun aisuu a ei maini a. Te minologi- assa on epämää äisyy ä. Le eysas e jää pe us elema a. Mi a aan kulmaa  [ilmeises i kulmaa N’XH, ku a 1]. Zenii isuo an ja Poh- jan äh eä koh i ole ien suo ien älinen kulma on 90-β, jonka as inkulma [kulman ZXN’ is ikulma OXX’] on myös 90-β. Täs ä saadaan le eysas een kulmaksi β [ a koi e aan ilmeises i kulmaa X’OX, ku a 1]. (R10) Po anen & Män ylä FMSERA Jou nal 2(1) 2018 31 Ma emaa ises i oimima on ai epämää äinen pe us elu (N=4; 19 %; 0,5). Pe- us elussa käy e ään epämää äisiä ma emaa isia pe us elui a ja pe us elu on epälooginen. Seli e ään esime kiksi, mi ä kulmia auluha pin osa ku assa 1 as- aa a . Pe us elu puu uu (N=5; 24 %; 0). Mi aukseen lii y ä ma emaa ise pe us elu puu u a ai on edo u, e ä nähdään ku as a 1. Pe us eluiden ma emaa isessa puolessa kolmannes opiskelijois a oli osannu esi ää ma emaa ises i olennaisia pe iaa ei a pe us eluiden osana. Nämä pe us- elu pohjau ui a suo ien yhdensuun aisuudelle. Ennakoi ua seli yspe us e a (ii) ei käy äny kukaan. Kaiken kaikkiaan pe us elu jäi ä ielä aillinaisiksi, jo en ässä on ielä kehi y ä ää. Mi aus. Ku en edellä uo iin ilmi, ain kolmessa apo issa esi e iin mi aus u- lokse Tampe een le eysas eelle Pohjan ähden a ulla. Rapo i luoki el iin kol- meen luokkaan: Mi aus on eh y (N=3; 14 %; 2). Opiskelija( ) on suo i anu mi auksen. Yhdessä apo issa mi aus oli eh y esime kkinä maini un auluha pin a ulla, apo issa oli ku a u myös, mi en Pohjan äh i löyde ään yö ai aal a. Toisessa mi aus oli eh y käsi a sien a ulla ja äs ä oli o e u ku a, jos a kulma oli laske u ( i he- ma ginaali ässä oli suu i). Kolmannessa apo issa: Tein mi auksen kahden kynän a ulla. Lai oin oisen kynän Pohjan äh eä koh i ja oisen ho ison in suun aises i. Kynien äliseksi kulmaksi mi asin kol- mio ii aimella 70 as e a. (R6) Mi auksen idea on ku a u (N=10; 48 %; 1). Suu immassa osassa oli ku a u esime kkinä maini un auluha pin käy ö mi auksessa. Yhdessä apo issa me- ne elmää pide iin liian hankalana ja sen sijaan ideoi iin, mi en jalallisen kauko- pu ken, mi anauhan ja lase kynän a ulla mi aus oi aisiin ehdä. Yhdessä a- po issa ku a iin Pohjan ähden unnis aminen yö ai aal a. Mi aus puu uu (N=8; 38 %; 0). Mi aukseen ei ii a u millään a alla (N=7) ai opiskelija e osi pil isyy een ai pimeyden puu eeseen (N=3). Teh ä ä sai ain kolme opiskelijaa/opiskelija yhmää menemään ulos ja kokeile- maan mi aus a käy ännössä. Mielekkyys ja me ki yksellisyys. Mielekkyy ä ja me ki yksen luon ia luoki el- iin sen pohjal a, mi en opiskelija poh i a eh ä än me ki ys ä joko i selleen ai kouluope uksessa. Tämän pohjal a muodos e iin kolme luokkaa: Mielenkiin oinen ai me ki yksiä luo a eh ä ä (N=10; 48 %; 2). Opiskelija joko eh ä än sisällön ai o eu usmuodon kau a uo esiin mielenkiinnon he äämisen ai me ki yksien luonnin. Le eysas een mää i äminen on hy ä esime kki oiminnallises a yösken e- lys ä. Siinä oppilaa oi a apaas i liikkua, kommunikoida keskenään, esi ää apaas i omia ideoi a, kysyä, ihme ellä, u kia ja oppia uusia asioi a. Tämä uo