Eine Bemerkung über quasielliptische lineare Differentialoperatoren

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Gel'man [5] als eine Folge ung ih e ib igen Resul a e no wendige und hin eichende Bedingungen i die Abschä zung ll Ä (D) a ll' = C (ll P (D) ull'z + 2 ly oQ i @) ull - i - q" ), a € Co- [Ri ], gewonnen, wobei P(D) einen quasiellip ischen Ope a o und R(D) einen Ope a- o , de nich s ä ke als P(D) is , sowie Qi@) Randope a o en bezeichnen. Das Ziel diese No e is , einen di ek en Beweis ii dieses E gebnis un e Be- nu zung de Me hoden on Schech e [6], [7] geben, mi denen auch Ma suzawa 4l ein ähnliches Resul a ii die Hinlänglichkei in einem Spezial all e hal en ha . l. P oblems ellung 1.1. Fii zwei Punk e !:(! ,...,!,) und 4:(q ...,q) des euklidischen Raumes R' se zen wi (y, l):y q +...*!,4,, und es sei Ri:{y(R'ly =O}, Ei:{yen'l%=0}. Im wei e en is zweckmäBig 7:(x, ):(x , ...;xn- ) und :( ,€):(€ ,...,(n- ,O zu sch eiben. Mi Hil e de Fou ie ans o ma ionen 9* in. R'-1 und 4 in R we den ii eine geeigne e Funk ion u on y die pa iellen Fou ie ans o mie en du ch bzw. (4u)(C, ) : Tcn-, I ,-i('' E)u(x, ) dx (%u)(x,0 : n, e- e u(x, ) i de inie ( gl. [3], S.24), wobei no:(2n)-o ', k:1,2,... , is . Mi C,-[ ii] bezeichnen wi die Menge de Einsch änkungen on Co-(R)- Funk ionen au ,|. Die Res ik ion you on z(Co-[Ei] au R'-1 wi d du ch ( su)(x) : ?c. 0) e klä . 1.2. Es seien ganze Zahlen ix>|, k:1, ...,n, es geleg , und sei /:Dax {moll=k=n} sowie g*:Ulm , k:1,...,n, und q:(q',qo): :(4 , ..' , Qo- , 8n), doi:10.5186/aas m.1977.0323 328 V co T. Pun , oNEN Eine in R {0} de inie e Funk ion h:q:(4,O-h((,0 nenn man q-homo- gen om G ad s(R und sch eib degoh:s, alls ii alle >0 h( e41 : hQe' 1, l"o : 'hG, a : h(q) gil , wobei 94 : ( e' (, l.A : ( o ( , ..., "- (,- , .o gesch ieben is ; analog de inie man ii eine Funk ion g:(*g(O die 4'-11o-o- geni ä om G ad s(R, degog:s. Fe ne se zen wi / a- UP (6): [2 l<-l'.J , c€ .,-', und e klä en in Co-(R'-l) ein Funk ional 1.1", s>0, du ch l"l? : { (0'"1(4u)(01' d(, z€co-(R'-1). Die No m des Raumes Lz(N+) wi d mi ll .ll bezeichne . 1.3. Wi be ach en einen pa iellen Di e en ialope a o P(D): P(D*,D): ) a De : ) a DllDl" mi kons an en Koe izien en ao(Ci hie bei is p ein Mul iindex p:(p', o1- :(P , ...,Pn- ,Po)(N" und Dp:D!'D!":Dl ...[0"- po" mi D:(D,, D): :(D , ..., Dn-L, Do), D*: -i 0l0y*. Das en sp echende Polynom ha die Ges al pQD : p( ,0 : Z aoy, : ) ao{'(e", wobei 4e-(e'(e :(11...(X 1 y" is ; die O dnung des ope a o s P(D) s imm also mi dem G ad o d P(4) on P(4) iibe ein. Wi se zen o aus: a) P(<,O is ein q-homogenes Polynom mi degnP:p. b) P((,0 is quasiellip isch om bes imm en Typ K+>l: (i) es gil PG,O+0 ii ((,Oen {O} ode äqui alen e weise ( gl. [3], s. 103) lp(C,0 = co«()u+l|, , ((, 0€R,, mi eine Kons an en Co-D; (ii) ii alle (61'- {0} besi z dieGleichung P(4,2):0 genau K+ Lösun- gen z:((e) mi posi i em Imaginä eil Im((O>O. Fö 6€R'-1 {0} seien die e schiedenen Nulls ellen des Polynoms P(e,z) mi ("(O und die zugehö igen O dnungen mi k,(4) bezeichne . Dann s ellen wi Bedingung (§. Fil a*B gil c,G) * hG), ((R',- o), d. h. die O dnung k"(O häng nich uon ( ab. Eine Beme kung ibe quasiellip ische linea e Di e en ialope a o en 329 Man kann nun annehmen, daB mi gewissen Zahlen l=)j<^ ii die Index- mengen I : {1, ...,1), l+ : {1, ...,1* , z{- : z1 21+ die Da s ellung PG,A:,II (C-QG)Y" bes eh (dies bedeu e keine wesen liche Besch änkung, YEl. P), S.239) und die Beziehungen Im (,(O > 0 :u a€A+ und Im (,(O = 0 ij; a€A- gel en. F i das du ch P*( , O : ,!1,«-("(€))o" e klä e Polynom P*(€,O is dann die (-O dnung o d,P*((,O:h*...* lkx*:K+. Es sei je z R((,O ein q-homogenes Polynom mi dego :p und M((,o (mi 1 als Haup koe izien on () de g öB e gemeinsame Teile de Polynome P*(€,O und R((,0. Wi sch eiben P'*G,0: P*(€,)|MG,C) und s ellen Bedingung (B). De G ad uon P'a(40 in ( is posi iu und bleib kons an , z ((R'-' {0}. Demzu olge können wi o ausse zen, daB eine Zahl 1' , I < 1' < )'+ , so exis ie , da6 mi i':{1,..., }") P;(C,O:.II (?Q«))u gil , wobei %n=k, und z1* ..-l% :%:o d P'*((,()= is . Noch sei %,:k, ö a€21 21' und Qo: {0, ..., %n- 1} ii uQl gese z . 1.4. Das E gebnis on V. G. MazJa und I. V. Gel'man, dem wi hie einen di ek en Beweis geben wollen, lau e nun wie olg ( gl. [5], 5.254): Sa z 1.1. Es seien P(C,0 ein q-homogenes quasiellip isches Polynom oom bes imm m Typ und Å((,0 ein q-homogenes Polynom mi degoP:degoR:P de a , da,$ die Bedingungen (A) und (B) e i ll sind, o dEPiG,$:x- Fe ne seien QiG,0, i:1, ..., x, q-homogene Polynome mi deg, Qi:l i€ -q,' Die Abschä z* g (1.1) ll R(D)ull, = c(llP(D)uil + § woQi@)ul1-p -s^ ), u(c0-[ni], j- 330 V x o T. PuRl oNEN gil dann und nu dann, wenn die olgenden Bedingungen (I) und (II) il alle (€R'- {0} e illl sind: (D Fil jedes i, l=j=x, is Q1({O:0 mod M((,O. Q Die Polynome Qi(LO, i:1,...,x, sind linea unabhängig nodulo P*((,O. 2. Die Hinlänglichkei de Bedingungen 2.1. Die Bedingungen (I) und (II) sind hin eichend, alls mi den Bezeichnungen P'(e ,O: P( ,01MG,0, R'(€,O: R((,01M(C,0, QjG,0: Qi((,01MG,0, j : l, ...,x, gil : Sa z 2.1. Un e den Vo ausse zungen uon Sa z 1.1 bes eh die Abschö zung (2. ) llR'(D) ull, = c (llp' (D)ull, + § woQi@) :l! -,, -, ), u ( co- [ ;i], j:1 alls die olgende Bedingung (III) il a//e (€R'- {0} e ill is : (III) Die Polynome Q'jG,$, j:1,...,x, sind linea unabhd.ngig modulo P'*((,O. In de Ta , aus den Bedingungen (I) und (II) olg Bedingung (III) und ii a€Co-[Ai] is o:M(D)u€C lR'+1, so daB Abschä zung (1.1) sich aus (2.1) e gib . 2.2. Es sei (€R'- {0}. Wi se zen P:(C,0:((-(,((»-*"P'((,O idi a(A' L-, pi,((,o : (?C,G))-*P;(€,O :ii a( ', P-,(€,O : (?QG))-."P-(4,0 ii a€21-. Dann gib es einsolches o(O undsolche Polynome (in O R*((,O und R-((,O, daB die Fo mel R((,0 _ _ E , R*((,0, R_((,o VG6 -'o ''' -7IGD- F -G:6 und olglich R'((,0 - - ? , R'*(8,0, A-(('o F@ -' o s - VlG, § - -p J.', O gil , wobei und R'(C,O: R((, )lM((,C) R;((,0: l?* (€,01MG,0 Eine Beme kung ibe quasiellip ische linea e I)i e en ialope a o en 331 gesch ieben wu den. Mi Hil e de e allgemeine en Lag angeschen In e pola ions- o mel (Lag ange-Syl es e -Fo mel) e häl man je z !S*: o(o* z z,lpG)(?(,G)1 -'" P'(C,q ""' ' "7e pä" *,ä uå. ;eG)G-Q(0)o-* mi Q.2) e(o:;({F# !;1,:,.n,, aQ,," n€Qn, und (2.3) ip( :;(#w, " ;J|,:,,u,, a(A-, §ce,. Somi gil (2.4) R'((, O : o(O P'(C, 0 + Z Z eG)(?C"G))oP:(C,0 a€.A'0€.ec *,å,?,. ;p (o(? c,(€))F P;(<, 0. 2.3. Zunächs wi d de Fall n:l besonde s un e such . Fo mel Q.4) ha dann die Ges al (2.s) R'(O : oP'(O*,ä nä_ leG-Q)PP:(o + Z Z AG-Q)PP:(O. a€ Å- 0 €e" Hie mi is i E€C; [E*] R'(D,)Q : oP'(D )q *,å, uä, lp (D, - U)o P:(D,) 0 + Z Z ,,(D,-Q)PP:(D,)Q, a€A- I €on wobei q die Null o se zung on E i /<0 bezeichne . Se z man P'(D,)EQ) i,i =0 (2.6) (2.7) ( ) : P'(D,)'Q@: {0 ii , = 0, so gil (man siehe 4.1) Lemma 2.2. Wenn E(C lP*l und du ch (2.7) e klö is , dann bes eh ii alle a€l' A-, (e, die Gleichung x.- A s,((D, - ( )p p:(D ) 0) @ : (c - Q)F - *" @, l «) - i ", Å' G - )k -," + 0 - L w k mi VI/,e : y o(D, - ( ) u - k pi@ ) q ( ). 332 V xxo T. Punp oNEN Mi Hil e on Lemma 2.2 e hal e.l. wi aus (2.6) s,(R'(D)0)(0: o(4 l(O + Z Z ,[ G-Q -."(s, i(o aEÅ'0€0" + Z Z ,;aG-QP-*@, iG) ce^- 0€e" -in Z Z ,le- 'G-,;.o-xs+P- wd. a€.,{ B€0" &=1 xn-0 -'n',å- u?,J'o 2 G-Q) -x'+o-Lwk' Dahe gil wegen (2.5) (2.8) E(R',(D,)O) (0 : i @, l(o x"- A -i , Z Z e 2 (?Q -h+ -Lwa e€Ä'AEec lc:l x"- A -'n',ä- u?*"u z (c-Q -84+o-Lwk' 2.4. Un e Be iicksich igung de Pa se alschen Gleichung olg aus (2.8) : (z.s) [ a'{o), 'd = c(sunl il' _i o, x'- *"å'u?"' |-" l'loPl'*P I #=*" *,å_,ä."20 n d, w*p I F*-; Fii die Behandlung de ech en Sei e on Z.ql U.no i; n wi zwei Lemma a (man siehe 4.2). Lemma2.3. Fii jedes s:|,2,... is d( _ ,- (2(s- ))! I lF ,;*:zz(s-l)TFlI* ' Lemma 2.4. Is a€l-, so gil il jedes k:1, ..., xn wox:T.1 T '"='g o . J «-()o Mi Hil e de o igen L,emma a und de Schwa zschen Ungleichung e häl man je z in dem zwei en Glied de ech en Sei e on (2.9) Y*iF i=m="Iw, d(i %im 7 =c6p _l VPa , und olglich gil (2. 0) i ^'< )* zd < c(* l#81' _i po, 1 -0 1 *,ä, oä, ?__ Vkp lWÅ, 1 ^7nw +a 16 u_i o) 2.5. Wi gehen au den allgemeinen Fall zu iick. Mi es em (€R"- {0} ha man nach (2.10) (2.1 1) J lR'(€ , D)(9, :)(( , )12 d o, = c('yn i# { 'G,D)(4u)((, ) zd + z z .5u [eG)l'lw,o(01' # oä, e4, €, a§ ) 77 ak b/l 1 m 5" ( (11z x"- -k+ z) I : )(4 :)( , »Pd4 *,ä ,å.|,;o3)l' J lP'(4,D,i, mi w*(0 : y o(D - L(0)*- p:G, D) (4a) (1, ). Au g und de Vo ausse zungen gil hie bei ypl il =* i a e ((R'-' o) Eine Beme kung ibe quasiellip ische linea e Di e en ialope a o en 333 mi eine Kons an en G =0, und (2. 2) (2.13) (, is q'-homogen (in O mi de;q,(o: Qn 334 V x o T. PunuoNEN in olge de Bedingung (§. Wegen de S e igkei schlieB man aus (2.13), daB (2.14) l m(,(01 =- C (€),", 66n'-'1{0}, mi eine Kons an en C >0 gil . Noch haben wi (man siehe 4.3) Lemma 2.5. Es exis ie m Kons an en Cs=O und C >O de a , da i die Un- gleichungm l ip@l = C ((){*"-a)a" und l ;u <Cl = c n((){*,- ile^ il alle (€R'-1 {0} bes ehen. Be icksich ig man Q.lz), (2.14) und Lemma2,5, so e häl man aus (2.11) (2. s) J lR'((, D,)(g.u)(( , )12 d o- : , ({ lP,(€, D,)(Ta)((, )12 d + Z. "Z l<C>G"- a -uz n"w,,,,- pG)l')' ae.1, §€0" 2.6. Wi wenden uns nun an die Polynome QiG,(), j:1,...,x. Es sei (€R'- {0}. Dannexis ie enPolynome (in O Qi*G,O und Qi-(1,0 mi Q G,O - Qi*((,O *Qi-G,0 P(€,0 - P*((,0 ' P_((,C)' und olglich is Oi«, ;l - Qi*G, O - Q -G, o mi w - TG:§--PJ('a Dahe gi .( g . 2,2) Qi*G' o : Qi*G' olM(E' c)' (2.16) QjG, o : ,Z*, oä.qi"eG)(?("(o)FP:((' o + z z qi,ag)((-(,(€))pPiG,0 mi den Bezeichnungen ' L (0u QJ*G,Al (2'17) qi"eG): Tlw il : nG), a(/L', §(Qn, und (2. 8) q ,eG):i(#?#)l=*G), a€A-, i(p.. Eine Beme kung ube quasiellip ische linea e Di e en ialope a o en 341 Li e a u [] GB ,'nmN, I. V., und V. G. Mlz' l: Es ima es on he bounda y o di e en ial ope a o c wi h cons an coe cien s in a hal -space. - Ma h. USSR-Iz . 8, 1974, 667--:726. [2] Hönu,l,Noen, L.: On he heo y o gene al pa ial di e en ial ope a o s, - Ac a Ma h. 94, 1955, 16l---248. [3] HönuaNoBn, L.: Linea pa ial di e en ial ope a o s. - lThi d e ised p in ing.] Die G und- leh en de ma hema ischen Wissenscha en I 16. Sp inge -Ve lag Be lin-Heidelbe g- New Yo k, 1969. 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