Resultados sobre determinación de grupos por su orden y el de sus elementos

TRABAJO DE FIN DE GRADO GRADO EN MATEMÁTICAS Rubén Tellechea Zamanillo Resul ados sob e de e minación de g upos po su o den y el de sus elemen os Bajo la di ección de José Ja ie E ayo Go dejuela FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Cu so 2018  2019 (En o den c onológico) A Mamá y Papá. Abs ac In his wo k we de e mine possible g oups which a g oup can be isomo phic o, once i s o de has been xed o one o i s elemen s specied, using elemen a y me hods o g oup heo y in he managemen o h ee ools: semidi ec p oduc s, g oup ex ensions and au omo phism g oups o some o he bes known amilies. In he  s h ee chap e s we will expose hese ools, and in he ollowing ones we de e mine all g oups o o de p , p2 , p3 , 2p , 4p , pq and 2k when he g oup has an elemen o o de k . Resumen En es e abajo de e minamos los posibles g upos a los que un g upo puede se isomo - o una ez se ha jado su o den o especicado el de alguno de sus elemen os, haciendo uso de mé odos elemen ales de eo ía de g upos en el manejo de es he amien as: el p oduc o semidi ec o, las ex ensiones de g upos y los g upos de au omo smos de algunas de las amilias más conocidas. En los p ime os es capí ulos expond emos dichas he amien as, y en los siguien- es de e minamos los g upos de o den p , p2 , p3 , 2p , 4p , pq y 2k cuando el g upo iene un elemen o de o den k . 4 Índice gene al Índice gene al 5 Glosa io de símbolos 6 In oducción 7 1. P oduc o semidi ec o 9 1.1. In oducción y deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. P oduc o semidi ec o como he amien a de de e minación . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. P oduc odi ec o .................................... 12 2. Ex ensiones de g upos 13 2.1. In oducción y deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. P oduc o semidi ec o y ex ensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Gene alidades sob e g upos 19 3.1. G uposdeau omo smos ............................... 19 3.2. Resul ados sob e g upos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3. O as gene alidades sob e g upos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4. Resul ados de de e minación 25 4.1. Ó denes p y p2 ..................................... 25 4.2. O den p3 ......................................... 25 4.3. Ó denes múl iplos de p imos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5. Un p oblema singula : G upos de o den 2k 33 5.1. P esen ación y mo i ación del p oblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2. Caso pa a el o den de g impa ............................. 33 5.3. Casodel2-g upo .................................... 35 5.4. Caso pa a o den de g pa ............................... 38 Apéndice: Conclusión 41 Una b e e his o ia del p oblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Visualizaciónde esul ados ................................. 41 Apéndice: Resul ados undamen ales 43 FunciónPhideEule ..................................... 43 Resul ados de eo ía de g upos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5 Glosa io de símbolos G G upo H, K Subg upos N Subg upo no mal g, h, k, n, x, y, z Elemen os [g, h] Conmu ado de g y h , [g, h] = ghg−1h−1 [H, K] Subg upo de conmu ado es, {[h, k]∈G:h∈H, k ∈K} hg1, ..., gni Subg upo gene ado po los elemen os g1, ..., gn , φ, ϕ Homomo smos ke ( ) Núcleo del homomo smo, {g∈G: (g)=1} Im( ) Imagen del homomo smo, (G) G∼ =H G es isomo o a H , ∃ :G→H homomo smo y biyec i a. o(G) O den de G o(g) O den de g [G:H] Índice de H sob e G , o(G)/o(H) G/N G upo cocien e de G sob e N Z(G) Cen o del g upo, {g∈G:gh =hg, ∀h∈G} NG(H) No malizado de H en G , {g∈G:gHg−1=H} Au (G) G upo de au omo smos de G , { :G→G: homomo smo y biyec i a } G×H P oduc o di ec o de G y H Cn G upo cíclico de o den n , hg|gn= 1i Dn G upo dihed al de o den 2n , hg, h|gn=h2= 1, hgh−1=g−1i DCn G upo dicíclico de o den 4n , hg, h|g2n=h4= 1, gn=h2, hgh−1=g−1i Q=DC2 G upo cua e nión, hi, j|i4=j4= 1, jij−1=i−1i QAn G upo quasiabeliano de o den 2n+1 , hg, h|g2n=h2= 1, hgh−1=g1+2n−1i QDn G upo semidihed al de o den 2n+1 , hg, h|g2n=h2= 1, hgh−1=g−1+2n−1i N Conjun o de núme os na u ales n, m, a, b Núme os na u ales P Conjun o de núme os na u ales p imos p, q Núme os p imos mcm(a, b) Mínimo común múl iplo de a y b . mcd(a, b) Máximo común di iso de a y b . a|b a es di iso de b , ∃m∈N:am =b a≡b(c)a es cong uen e con b módulo c , ∃m∈N:cm =a−b 6 In oducción  [...] De o a sue e, la cosa más poé ica del mundo se ía nues o an ía sub e áneo.  Y así es, en e ec o. [...] Lo a o y he moso es oca la me a; lo ácil y ulga es alla . Nos pa ece cosa de epopeya que el eche o alcance desde lejos a un a e con un da do sal aje, ¾y no debe ía pa ecé noslo que el homb e le acie e desde lejos a una es ación con una máquina sal aje? El caos es imbécil, po lo mismo que allí el en puede i igualmen e a Bake S ee o a Bagdad. Pe o el homb e es un e dade o mago, y oda su magia consis e en que dice el homb e: ½sea Vic o ia!, y hela que apa ece. G.K. Ches e on, El homb e que ue jue es . El de la clasicación de odos los g upos ni os (da una lis a de és os al que cualquie g upo ni o sea isomo o a uno de la lis a, pe o ningunos dos de la lis a sean isomo os en e sí) es un p oblema que iene de lejos. Fo mas más modes as de es a cues ión han sido esuel as en los úl imos años: enemos ales lis as pa a los g upos ni os abelianos [9], pa a los g upos ni os simples [1], pa a odos los g upos de o den meno que 2000 (sal o o den 1024) [2] ... y sin emba go su plan eamien o gene al se man iene i esolu o. A lo la go de es as páginas abo da emos una pa e ínma de dicho p oblema: da emos lis as como la desc i a a iba pa a los g upos que engan un de e minado o den que hayamos jado, y a a emos que ese o den sea an gené ico y aba que an os casos como sea posible. Más bien nos con o ma emos con da una amilia de g upos a la que cualquie a en ales ci cuns ancias sea isomo o a uno de ellos, y deja emos al lec o que comp uebe que ningunos dos son isomo os en e sí, ya que la esolución llena ía páginas apelando a una cues ión sin mucho in e és ni dicul ad; bas a echa un is azo a los esul ados y juga un poco con las cuen as pa a da se cuen a de que en e ec o es así. El p ime pun o que debemos a a es el p oduc o semidi ec o, he amien a imp escindible en la a ea de busca g upos po la mane a en que és e simplica muchos de ellos. No obs an e, cuando uno iene un ma illo piensa que odos los p oblemas son cla os, y en es e caso la cosa no es así. Pa a ello, el segundo capí ulo señala á ( iéndolo desde una pe spec i a más amplia) las limi aciones que iene dicho p oduc o, quedando ad e idos sob e posibles e o es en su uso. Te mina emos el epe o io écnico iendo los g upos de au omo smos que amos a eque i . Con odo ello, da emos las lis as de los g upos de ó denes p , p2 , p3 , 2p , 4p , y pq . Ce a emos el abajo con un p oblema de ámbi o más conc e o, pe o igualmen e encauzado en el hilo que lle amos. Huelga deci que odo lo que no se dene aquí equie e an sólo de mé odos elemen ales, que se ap enden en cualquie cu so de eo ía de g upos, y po consiguien e a cualquie alumno que haya cu sado uno no le debe ía p esen a mayo dicul ad. Pa a ali ia algunas lagunas le es en la memo ia hemos decidido inclui jun o a la no ación las deniciones de los é minos que se p esuponen, y pa a ol idos mayo es ecomendamos acudi a [4]. 7 8 Capí ulo 1 P oduc o semidi ec o El p oduc o semidi ec o a a se la he amien a undamen al en la labo de clasica g upos, pues g acias a ella nos bas a con localiza dos subg upos complemen a ios, con uno de ellos no mal, pa a ene nalizada la clasicación. En lo que sigue, llama emos de mane a in o mal complemen a ios a una pa eja de subg u- pos ales que su in e sección es el subg upo i ial y su p oduc o el g upo o al. 1.1. In oducción y deniciones Es a p ime a p oposición nos mues a la elación en e la es uc u a de es os subg upos complemen a ios y la del g upo o iginal cuando uno de ellos es no mal, mos ando que en su p oduc o ca esiano como conjun os podemos deni una ope ación que se co esponde con la del g upo que los con iene. P oposición 1.1.1. Sea G un g upo y sean N, H < G subg upos suyos, con N / G , NH =G , N∩H={1G} . Do emos al conjun o N×H con la ope ación ◦: (N×H)×(N×H)−→ N×H (n1, h1),(n2, h2)7−→ (n1h1n2h−1 1, h1h2) En onces (N×H, ◦) es g upo y G∼ =(N×H, ◦) . Demos ación. Comencemos iendo que (N×H, ◦) es g upo. Como N /G , se da hnh−1∈N, ∀n∈ N, ∀h∈H , de modo que la ope ación es á bien denida y el p oduc o es in e no. El elemen o neu o es (1N,1H)∈N×H y dado el elemen o (n, h)∈N×H , su in e so es (h−1n−1h, h−1) . Finalmen e, la asocia i idad se comp ueba omando (n1, h1),(n2, h2),(n3, h3)∈N×H y iendo: ((n1, h1)(n2, h2))(n3, h3)=(n1h1n2h−1 1, h1h2)(n3, h3) = ((n1h1n2h−1 1)h1h2n3h−1 2h−1 1,(h1h2)h3) = (n1h1n2h2n3h−1 2h−1 1, h1(h2h3)) = (n1, h1)(n2h2n3h−1 2, h2h3) = (n1, h1)((n2, h2)(n3, h3)) Veamos aho a la isomo ía buscada. Cada g∈G se puede esc ibi de o ma única de la o ma g=nh, n ∈N, h ∈H , ya que, de pode se esc ibi n1h1=n2h2 con n1, n2∈N, h1, h2∈H end íamos ambién n−1 2n1=h2h−1 1 , que es á cla o que pe enece a N∩H , luego es 1G , con lo que n1=n2 y h1=h2 . 9 que no es muy di ícil comp oba que es au omo smo de N . A su ez, con és os podemos deni la unción φ:H→Au (N) : h7→ ϕh , que es homomo smo po que dado n∈N se da (φ(h1)◦φ(h2))(n) = ϕh1(ϕh2(n)) = ϕh1(τ(ρ(h2)i(n)ρ(h−1 2))) =τ(ρ(h1)i(τ(ρ(h2)i(n)ρ(h−1 2)))ρ(h−1 1)) =τ(ρ(h1)ρ(h2)i(n)ρ(h−1 2)ρ(h−1 1)) =τ(ρ(h1h2)i(n)ρ((h1h2)−1)) =ϕh1h2(n) =φ(h1h2)(n) Aho a, si enemos un elemen o g∈G , podemos oma hg=π(g)∈H y ng=τ(gρ(h−1)) ∈N , de o ma que g=i(k)ρ(h) . De es e modo podemos deni la aplicación :G−→ NoφH g7−→ (ng, hg) pe ec amen e denida po cómo lo es án los elemen os ng y hg . Es cla o que es una aplicación biyec i a, y necesi amos comp oba que es homomo smo pa a ene el esul ado buscado. Pa a es o bas a oma elemen os x, y ∈G y comp oba que (xy) = (i(nx)ρ(hx)i(ny)ρ(hy)) = (i(nx)ρ(hx)i(ny)ρ(h−1 x)ρ(hx)ρ(hy)) = (i(nx)i(ϕhx(ny))ρ(hxhy)) = (i(nxϕhx(ny))ρ(hxhy))) = (nxϕhx(ny), hxhy) = (nx, hx)(ny, hy) = (i(nx)ρ(hx)) (i(ny)ρ(hy)) = (x) (y) Q.E.D. Es e úl imo eo ema, aunque de e mina exac amen e aquellas si uaciones en las que sólo podemos ex ende u ilizando el p oduc o semidi ec o, no esul a muy ú il pa a conoce , a pa i de da os básicos del g upo ex ensión G (como po ejemplo su o den, que lo de e minan a su ez los ó denes de N y H ) si dicho p oduc o a a se la única o ma posible de ex ende . El esul ado es alioso, pe o sólo nos dice si una ex ensión es p oduc o semidi ec o una ez la enemos pe ec amen e (o en g an medida) de e minada, lo cual no suele se el caso. El esul ado siguien e, en cambio, sí que nos a a deci cuando la única o ma de ex ende es el p oduc o semidi ec o. La demos ación de es e eo ema, al menos en su comienzo, sólo hace uso de mé odos elemen ales como los que empleamos en es e abajo. Sin emba go, su escollo nal equie e de maquina ia más a anzada (bien eo ía de ep esen aciones, bien cohomología de g upos) que ex ende ía el abajo po encima de su lími e. Además, ni el eo ema ni el lema que necesa iamen e le p ecede an a se usados ealmen e en el ex o (aunque son una buena e e encia en el hilo que es amos siguiendo), mo i o de más pa a deja su p ueba en manos de la bibliog a ía. Puede encon a se el esul ado en [5]. Lema 2.2.4. (A gumen o de F a ini) Sea G un g upo y sea N / G un subg upo no mal suyo. Conside emos P un p -subg upo de Sylow de N . En onces G=NNG(P) . 16 Teo ema 2.2.5. (Schu  Zassenhaus) Sea G un g upo ni o de o den ab , con a, b ∈N y mcd(a, b)=1 . Si G iene un subg upo no mal de o den a , en onces iene un subg upo de o den b . El caso conc e o siguien e se ee e al p oblema que has a aho a hemos es ado manejando. Co ola io 2.2.6. Sean N y H dos g upos ni os de ó denes cop imos. En onces, las ex ensiones de N po H se án p oduc os semidi ec os (aunque no necesa iamen e de N po H ). Demos ación. Si G es una ex ensión de N po H , necesa iamen e end á a N como subg upo no mal. Po el eo ema 2.2.5 hab á un subg upo K < G de o den o(H) . Como los ó denes de N y K son cop imos, N∩H={1G} . A su ez, o(G) = o(N)o(H) = o(N)o(K) , luego po 3.3.4 se end á G=NK . Así, aplicando 1.2.1, exisis i á un homomo smo φ:K→Au (N) al que G∼ =NoφK . Q.E.D. 17 18 Capí ulo 3 Gene alidades sob e g upos Después de lo dicho es amos casi lis os pa a lanza nos a la labo de de e mina g upos. Vamos a e mina especicando algunas cues iones écnicas, como los g upos de au omo smos de algunas de las amilias de g upos más conocidas, p opiedades de los g upos cíclicos o algunos esul ados sob e isomo ía de g upos. 3.1. G upos de au omo smos Comencemos iendo los g upos de au omo smos de los g upos cíclicos cuando és os son de o den po encia de un p imo. Añadiendo a es os casos la p oposición 3.1.5, po el eo ema undamen al de la a i mé ica, end emos el g upo de au omo smos de cualquie g upo cíclico. Omi imos las demos aciones po su ex ensión, pe o pueden consul a se con acilidad en cualquie manual de eo ía de g upos. En conc e o, ecomendamos [7]. P oposición 3.1.1. Sean p∈P impa y n∈N . En onces Au (Cpn)∼ =Cpn−1(p−1) . P oposición 3.1.2. Sea n∈N . En onces: •Au (C2n)∼ ={1G} si n= 1 •Au (C2n)∼ =C2 si n= 2 •Au (C2n)∼ =C2×C2n−2 si n≥3 Es udiemos aho a los au omo smos del g upo dihed al. Pa a más cu iosidad, el esul ado puede e se con ex ualizado en un ma co dis in o en [8]. P oposición 3.1.3. Sea n∈N , n≥3 . Se da que Au (Dn)∼ =CnoφAu (Cn), donde φ:Au (Cn)→Au (Cn) es la iden idad. Demos ación. Deno emos Dn∼ =hσioφhτi , donde φ:C2→Au (Cn) iene dado po φ(τ) = η , cuando η:Cn→Cn:g7→ g−1 ; es deci , Dn=hσ, τ|σn=τ2= 1Dn, τστ−1=σ−1i , como solemos maneja . Comenza emos demos ando que Au (Dn) iene un subg upo no mal isomo o a Cn y que la ex ensión 0CnAu (Dn)Au (Cn) 0 es sepa able. Finalmen e, p oba emos que el homomo smo φ es la iden idad. 19 Empecemos po habla de qué o ma end á un au omo smo de Dn . Nos bas a, como acos- umb amos, con deni la imagen de los gene ado es σ y τ , asegu ándonos de que se espe an las es icciones algeb aicas que és os plan ean (en es e caso τστ−1=σ−1 ) y se p ese a el o den de dichos elemen os. Dado en onces α∈Au (Dn) end emos que o(σ) = o(α(σ)) = n y, como n > 2 , α(σ) no puede se un elemen o de la o ma σjτ ( odos ellos ienen o den dos), luego se á uno de los elemen os de o den n en hσi , es deci , un σi , con 1≤i<n y mcd(i, n)=1 . A su ez, α(τ) se á un elemen o de o den dos que no es é en hα(σ)i , pues τ /∈ hσi . Así, se á uno cualquie a de los σjτ, 0≤j < n ; en e ec o, en cualquie si uación en que se de α(τ) = σjτ se man end á α(τστ−1) = α(τ)α(σ)α(τ−1)=(σjτ)(σi)(σjτ)−1 =σj(τσiτ−1)(σ−j) = σj(τστ−1)i(σ−j) =σjσ−iσ−j=σ−i=α(σ)−1 Llama emos, a lo la go de la p ueba, ζx,y al au omo smo de Dn que manda σ a x y τ a y . Po lo dicho en el pá a o an e io , odo au omo smo se á de la o ma ζσi,σjτ , 1≤i < n, mcd(i, n) = 1 , 0≤j < n . Conside emos ζ=ζσ,στ , que en ía cada σi a sí mismo y cada σiτ a σi+1τ . És e es au omo smo po que en ía cada elemen o a o o de su mismo o den y espe a la p opiedad τστ−1=σ−1 , odo lo mencionado en el pá a o an e io . Así, el subg upo hζi={ζσ,σiτ: 0 ≤i<n} es de o den n . Además, és e es subg upo no mal, ya que dado o o α=ζσk,σlτ=ζσk,τ ◦ζσ,σlτ=ζσk,τ ζl enemos αζα−1= (ζσk,τ ζl)ζ(ζσk,τ ζl)−1=ζσk,τ (ζlζζ−l)ζ−1 σk,τ =ζσk,τ ζζ−1 σk,τ =ζσ,σjτ=ζj∈ hζi. Es cla o que además el cocien e Au (Dn)/hζi es isomo o a Au (Cn) , pues cada clase de es e cocien e se desc ibe simplemen e po la imagen de σ , lo cual es como conside a Au (hσi) = Au (Cn) . Es o nos da la sucesión exac a (p opia de un subg upo no mal): 0CnAu (Dn)Au (Cn) 0 σiζi1Au (Cn) ζσi,σjτ(σ7→ σi) i π És a a su ez es escindida po el co e ρ:Au (Cn)→Au (Dn) : ω7→ ζω(σ),τ , pues es cla o que es homomo smo y, dado β:Cn→Cn:σ7→ σi , se iene π◦ρ(β) = π(ζβ(σ),τ ) = β . Po ello, Au (Dn)∼ =CnoφAu (Cn) , donde φ:Au (Cn)→Au (Cn) : β7→ β po que la conjugación de ζ po ζσj,τ esul a ζj , como ya habíamos is o. Q.E.D. El esul ado siguien e ambién puede consul a se en [7]. P oposición 3.1.4. Sean n∈N y p∈P . En onces Au (Cp×n ... ×Cp)∼ =GLn(Fp) Po úl imo, con iene eseña que, pa a dos g upos de o den cop imo, el g upo de au o- mo smos de su p oduc o di ec o se puede descompone en p oduc o di ec o de los g upos de au omo smos de cada uno. P oposición 3.1.5. Sean H y K dos g upos ni os con mcd(o(H), o(K)) = 1 . En onces Au (H×K)∼ =Au (H)×Au (K). 20 Demos ación. Sea la aplicación :Au (H)×Au (K)−→ Au (H×K) ζ= (ϕ, ψ)7−→  (ζ) : H×K→H×K (h, k)7→ (ϕ(h), ψ(k))  Queda cla o que es á bien denida, pues la aplicación imagen es un homomo smo. Veamos que es isomo smo. Pa a e que es homomo smo sean ζ1, ζ2∈Au (H×K) y (h, k)∈H×K . Con ello: ( (ζ1)◦ (ζ2))(h, k) = (ζ1)(ϕ2(h), ψ2(k)) = (ϕ1(ϕ2)(h), ϕ1(ψ2(k))) = ((ϕ1◦ϕ2)(h),(ϕ1◦ψ2(k))) = (ζ1ζ2)(h, k) Veamos aho a que es inyec i a, pa a lo cual nos bas a con e ke ( ) = {1} . Sean ζ= (ϕ, ψ)∈ke ( ) y (h, k)∈H×K . Así: (ζ)(h, k) = 1 ⇒(ϕ(h), ψ(k)) = 1 ⇒ϕ(h) = 1, ψ(k) = 1⇒ϕ≡1H, ψ ≡1K⇒ζ≡1H×K . Finalmen e, pa a comp oba la sob eyec i idad, sea ω∈Au (H×K) y busquemos un ζ∈ Au (H)×Au (K) al que (ζ) = ω . Conside emos, ambién, las p oyecciones πH:H×K→ H: (h, k)7→ h, πK:H×K→K: (h, k)7→ k . Mi emos el homomo smo γH:K H ×K H ×K H k(1H, k)ω(1H, k)πH(ω(1H, k)) jωπH Con ello, po el p ime eo ema de isomo ía, K/ke (γH)∼ =Im(γH)< H ⇒n o(γH)|m⇒o(γH) = n⇒ke (γH) = K⇒γH≡1H Análogamen e el homomo smo γK:H H ×K H ×K K h(h, 1K)ω(h, 1K)πK(ω(h, 1K)) i ω πK es idén icamen e 1K . Llamemos así ωH:H−→ H:h7−→ πH(ω(h, 1K)) ωK:K−→ K:k7−→ πK(ω(1H, k)) con lo que, si ζ= (ωH, ωK) y (h, k)∈H×K , se iene (ζ)(h, k) = (ωH(h), ωK(k)) = (πH(ω(h, 1K)),1K)(1H, πK(ω(1H, k))) = (πH(ω(h, 1K)), γK(h))(γH(k), πK(ω(1H, k))) = (πH(ω(h, 1K)), πK(ω(h, 1K)))(πH(ω(1H, k)), πK(ω(1H, k))) = (πH(ω(h, 1K))πH(ω(1H, k)), πK(ω(h, 1K))πK(ω(1H, k))) = (πH(ω(h, k)), πK(ω(h, k))) = ω(h, k) ⇒ (ζ) = ω Q.E.D. 21 3.2. Resul ados sob e g upos cíclicos Realiza emos aho a a ias obse aciones sob e la pa icula idad de los g upos cíclicos. Co- mencemos iendo que, pa a cada di iso del o den del g upo, un g upo cíclico sólo iene un subg upo de ese amaño, y las epe cusiones de es o a la ho a de con a los elemen os de un de e minado o den. P oposición 3.2.1. Sea G un g upo cíclico de o den ni o. Pa a cada m∈N:m|o(G) exis e un único H < G al que o(H) = m . Además, és e es cíclico. Demos ación. Supongamos que o(G) = n y G=hgi . Tomemos m∈N al que m|n , de o ma que n=dm, d ∈N . Así, omando el subg upo H=hgdi enemos que és e iene o den m , pues o(H) = o(gd) = n mcd(n, d)=n d=m Veamos que és e es el único subg upo de G con o den m . Tomemos o o subg upo K < G de o den m . Los elemen os de és e se án de la o ma gk, k ∈N , como odos los de G . Sea k∈N el mínimo de és os cumpliendo que gk6= 1G . Todo elemen o gp∈K cumple que k|p pues, di idiendo euclídeamen e p en e k , ob enemos que p=qk + , con q, ∈N,0≤ < k , de al modo que po la elección de k se da que = 0 , y po an o k|p . Con ello, K=hgki , y, como la elección de K es a bi a ia, odo subg upo de G es cíclico. Pa a e que H y K coinciden bas a e que: o(K) = o(gk) = n mcd(n, k)=n k=m⇒k=n m=d Q.E.D. Co ola io 3.2.2. Sea G un g upo cíclico y sea n∈N al que n|o(G) . En onces G iene ϕ(n) elemen os de o den n , donde ϕ es la unción phi de Eule . Demos ación. Como po 3.2.1 G solo iene un elemen o de o den n , en és e es a án odos los elemen os de o den n . Además, si g∈G es un elemen o de o den n (y po an o gene ado de dicho subg upo), en onces odos los elemen os de o den n se án de la o ma gi , pa a i∈ {1, ..., n −1} al que mcd(i, n) = 1 . Con ello, la can idad de elemen os de o den n en G se co esponde á con la can idad de na u ales i meno es que n y cop imos con él, que es ϕ(n) . Q.E.D. La p opiedad que nos a a esul a más in e esan e de los g upos cíclicos de o den pa a a se que ienen un único elemen o de o den dos. La exis encia de es e elemen o no es pa a noso os ninguna so p esa, pe o su unicidad se á algo que debe emos ene en cuen a al busca elemen os de o den dos en g upos. Co ola io 3.2.3. Sea G un g upo cíclico de o den ni o y pa . En onces exis e un único η∈G al que o(η) = 2 . Demos ación. Bas a aplica 3.2.2 eniendo en cuen a que ϕ(2) = 1 . Q.E.D. Es ambién bien conocida la elación del p oduc o di ec o con la amilia de g upos cíclicos a la ho a de descompone en ac o es cop imos. P oposición 3.2.4. Sean n, m ∈N ales que mcd(m, n)=1 . En onces Cmn =Cm×Cn 22 Demos ación. Conside emos Cm=hai y Cn=hbi . Busquemos en Cm×Cn un elemen o de o den mn y hab emos e minado. Tomemos x= (a, b) = (a, 1Cn)(1Cm, b)∈Cm×Cn . Sabemos que an o Cm como Cn son abelianos, con lo que ambién lo es Cm×Cn . Como en odo g upo abeliano, el o den del p oduc o de dos elemen os es el mínimo común múl iplo de los ó denes de los dos elemen os. Así, o(x) = o((a, 1Cn)(1Cm, b)) = mcm(o(a, 1Cn), o(1Cm, b)) =mcm(o(a), o(b)) = o(a)o(b) mcd(o(a), o(b)) =mn, con lo que ya lo enemos. Q.E.D. 3.3. O as gene alidades sob e g upos En es a úl ima sección in oducimos el es o de esul ados écnicos que nos se án necesa ios más adelan e. Lema 3.3.1. Sea H < Z(G) al que G/H es cíclico. En onces G es abeliano. Demos ación. Como H⊂Z(G) , los elemen os de H conmu an con odos los elemen os de G , con lo que H / G y el cocien e G/H es g upo. Además, si G/H es cíclico, ambién lo es G/H Z(G)/H , y como po el segundo eo ema de isomo ía G/Z(G)∼ =G/H Z(G)/H ambién es cíclico G/Z(G) , es deci , ∃g∈G:G/Z(G) = hgZ(G)i . Llamemos =o(gZ(G)) . Con es o, dado a∈G exis en m∈ {0, ..., −1} , z∈Z(G) ales que a=gmz . De es e modo, dados a1, a2∈G con a1=gm1z1 y a2=gm2z2 enemos, po pe enece z1 y z2 al cen o: a1a2=gm1z1gm2z2=z2gm1gm2z1=z2gm2gm1z1=gm2z2gm1z1=a2a1 con lo que G es abeliano. Q.E.D. Lema 3.3.2. Sea G un g upo de o den n y sea k∈N el di iso de n más pequeño dis in o de uno. Si H < G un subg upo al que [G:H] = k , en onces H / G . La demos ación del esul ado puede consul a se en [4]. No obs an e, lo explici amos po el núme o de eces que ha emos uso de él. Lema 3.3.3. Sean G un g upo, N / G un subg upo no mal abeliano y h∈G N . Tomemos el homomo smo ϕ:N→N:n7→ hnh−1 . En onces o(ϕ)|[G:N] . Demos ación. Pues o que h /∈N , hN no es el elemen o neu o de G/N , con lo que omemos k=o(hN) , es deci , al que hk∈N . Con es o enemos que ϕk= 1Au (N) , pues o que, como N es abeliano y hk∈N , se iene que ϕk(n) = hknh−k=n, ∀n∈N . Así pues, o(ϕ)|k , pe o como k=o(hN)|o(G/N)=[G:N] enemos que o(ϕ)|[G:N] . Q.E.D. P oposición 3.3.4. Sea G un g upo ni o y sean H y K subg upos de G ales que mcd(o(H), o(K)) = 1, H ∩K={1G}, o(H)o(K) = o(G). En onces G=HK . 23 Demos ación. Sabemos que HK ={hk :h∈H, k ∈K} . Además, cada elemen o hk en HK iene una ep esen ación única como p oduc o de un elemen o de H y uno de K . En e ec o, si h1k1=h2k2 , con h1, h2∈H y k1, k2∈K , en onces h−1 1h2=k1k−1 2 , y es e elemen o es a á an o en H como en K , luego se á, po hipé esis, 1G , de o ma que h1=h2 y k1=k2 . Po lo an o hab á en HK an os elemen os como pa ejas (h, k) , que son o(H)o(K) en o al. Tenemos pues que HK ⊂G , y el ca dinal de ambos conjun os coincide, luego G=HK . Q.E.D. Es os dos úl imos esul ados ace ca de la isomo ía se án ú iles y usados en el capí ulo 5. Lema 3.3.5. Sea G=hx, x1, .., xni un g upo con hxi∩hx1, ..., xni={1G} y xxi=xix pa a odo i∈ {1, ..., n} . En onces G∼ =hxi×hx1, ..., xni . Demos ación. Conside emos la aplicación :hx, x1, ..., xni hxi×hx1, ..., xni x(x, 1) xi(1, xi). Es á bien denida po que hxi ∩ hx1, ..., xni={1G} , y es homomo smo po que dados a, b ∈G con a=xiyi y b=xjyj en G, con yi, yj∈ hx1, ..., xni enemos, dado que x y xi conmu an, que (ab) = (xiyixjyj) = (xixjyiyj) = (xi,1)(xj,1)(1, yi)(1, yj) = (xi,1)(1, yi)(xj,1)(1, yj) = (xi, yi)(xj, yj) = (a) (b). La aplicación es inyec i a po que, omando los a y b an e io es, (a) = (b)⇒(xi, yi)=(xj, yj)⇒i=j, yi=yj⇒a=b. La aplicación es sob eyec i a po que dado un b= (xi, yi)∈ hxi×hx1, ..., xni , podemos oma a=xiyi de al modo que (a) = b . Q.E.D. P oposición 3.3.6. Sea n∈N impa . En onces D2n∼ =C2×Dn . Demos ación. Digamos que C2={1C2, η} y Dn=hσ, τ|σn=τ2= 1Dn, τστ−1=σ−1i . To- memos los elemen os g= (η, σ) y h= (1C2, τ) en C2×Dn . Es cla o que o(h)=2 ; ambién se comp ueba con acilidad que, como g= (η, 1Dn)(1C2, σ) = (1C2, σ)(η, 1Dn) , el o den de g es el mínimo común múl iplo de los ó denes de η y σ que, pues o que n es impa , es 2n . Finalmen e, hgh−1= (1C2, τ)(η, σ)(1C2, τ−1)=(η, τστ−1) = (η−1, σ−1) = g−1, lo que nos da el isomo smo buscado. Q.E.D. 24 Capí ulo 4 Resul ados de de e minación Aho a que enemos he amien as pa a ello, podemos pasa a la pa e p ác ica del abajo. Vamos a p ocede a clasica y de e mina g upos, eligiendo sus ó denes u ó denes de algunos de sus elemen os adecuadamen e pa a pode los manipula con acilidad. Comenza emos iendo los g upos de o den po encia de un p imo y segui emos con los de o den kp , con k∈N pequeño y de e minado. 4.1. Ó denes p y p2 Comencemos po ó denes de un g upo ni o sencillos: p y p2 . El p ime o es co ola io di ec o del eo ema de Lag ange, aunque el segundo equie e de la p ime a in e ención del p oduc o semidi ec o. Teo ema 4.1.1. Sea G un g upo de o den p∈P . En onces G∼ =Cp . Demos ación. Dado g∈G , po el eo ema de Lag ange, o(g)|p . Cla o que, omando g6= 1G , enemos que o(g) = p y po an o G=hgi , luego G∼ =Cp . Q.E.D. Teo ema 4.1.2. Sea G un g upo de o den p2 , con p∈P . En ones G∼ =Cp2 o G∼ =Cp×Cp . Demos ación. Po el eo ema de Lag ange, los elemen os de G dis in os de la unidad pueden ene o den p o p2 . Si al menos uno de ellos iene o den p2 en onces, y sólo en onces, el g upo es cíclico e isomo o a Cp2 . Si, po el con a io, odos los elemen os de G dis in os de la unidad ienen o den p , po el p ime eo ema de Sylow sabemos que exis e N / G con o(N) = p . Si además omamos h∈G N , és e end á o den p , hhi ∩ N={1G} y, debido a 3.3.4, hhiN=G , de modo que, po 1.2.1, exis i á un único homomo smo φ:hhi → Au (N) al que G∼ =Noφhhi . También es cie o que Au (N)∼ =Cp−1 po 3.1.1 y, eniendo en cuen a que p−1-p=o(h) , necesa iamen e φ(h)=1Au (N) , con lo que φ≡1Au (N) . Po 1.3.1, G∼ =Cp×Cp . Q.E.D. 4.2. O den p3 El g upo de o den p3 , pese a ene an solo cinco de e minaciones posibles, nos a a esul a algo más complicado de especica . Los lemas que se exponen a con inuación nos ha án la a ea más sencilla. Lema 4.2.1. Sea G un g upo no abeliano de o den p3, p ∈P , y sea Z su cen o. En onces: •o(Z) = p 25 y su co espondien e homomo smo ψ:H→Au (N) : h7→ δ , como δ∈Au (N) = hζi , δ=ζi, i ∈ {1, ..., q −1} , bas a oma β:H→H:h7→ hi , ene en cuen a que ψ=φ◦β (po que ψ(h) = δ=ζi=φ(h)i=φ(hi) = φ(β(h)) ) y aplica 1.2.2 pa a da se cuen a de que es os dos homomo smos denen p oduc os semidi ec os isomo os. Pa a e que es e p oduc o semidi ec o cumple la desc ipción dada en el enunciado, omemos elemen os x= (g, 1H) e y= (1N, h) en NoφH . Es cla o que o(x) = o(g) = q y o(y) = o(h) = p . An es de conclui hay que señala que, como ya hemos dicho, po el eo ema de Eule q|2q−1 , y po an o la aplicación in e sa de ζ se á ζ−1:N→N:g7→ g2q−2 . Con ello concluimos: yxy−1= (1N, h)(g, 1H)(1N, h−1)=(g, h)(1N, h−1)=(ζ−1(g),1H)=(g2q−2,1H) = x−1 Q.E.D. 32 Capí ulo 5 Un p oblema singula : G upos de o den 2k 5.1. P esen ación y mo i ación del p oblema En las páginas siguien es esol e emos un p oblema dis in o, aunque en la línea de lo que enimos haciendo: el de clasica los g upos de o den 2k cuando es os ienen al menos un ele- men o g de o den k . El in e és po es e p oblema se ha susci ado en el es udio de g upos de au omo smos de supe cies de Klein con bo de. En e ec o, al in en a ob ene los g upos de au omo smos de una de es as supe cies con 2 componen es conexas en el bo de, se plan ean dos si uaciones: o bien el al g upo iene o den impa , y en onces es cíclico, o bien es pa , y en- onces iene un subg upo cíclico de índice 2 ( éase [3]). Po ello, pa a pode es udia qué g upos apa ecen se hace necesa io clasica los g upos de o den 2k que con engan un elemen o de o den k . Apa en emen e, y sal o un caso pa icula como e emos, es e esul ado no se conoce, y a ob ene lo hemos dedicado es e capí ulo. Resol e emos el p oblema en dos casos: cuando k sea impa y cuando k sea pa (que llegado el momen o, po comodidad, lo llama emos 2mk , pa a k impa ). En el caso pa a k impa se pueden ubica los subg upos necesa ios pa a da un p oduc o semidi ec o. No se á así en el caso en que k es pa , donde ápidamen e encon amos dos amilias de con aejemplos: la de algunos cíclicos y la de odos los dicíclicos. Pa a sali del callejón in oduci emos un caso muy conc e o en el que la cues ión se educe a un p oblema de cómpu o: el del 2-g upo ( al y como la desa olló Go ens ein en [6]). Apoyándonos en és e pod emos, con algeb aica cau ela, gene aliza lo al caso pa . 5.2. Caso pa a el o den de g impa Comenzamos, como aco damos, po el caso en que el o den de g es impa . Teo ema 5.2.1. Sea G un g upo de o den 2k , con k∈N impa , y un elemen o g∈G de o den k . En onces ∃k1, k2∈N:k=k1k2, mcd(k1, k2)=1, G ∼ =Ck1×Dk2 . Demos ación. Como [G:hgi]=2 , en onces hgi/G en i ud de 3.3.2. Además, po el eo ema de Cauchy, ∃h∈G:h2= 1G y, como k es impa , h /∈ hgi . Llamemos, po comodidad N=hgi, H = hhi . De es e modo, como H∩N={1G} y HN =G , po 1.2.1, ∃φ:H→Au (N) : G∼ =NoφH . Supongamos aho a que k=pα1 1...pα , pi∈P {2}, αi∈N,∀i∈ {1, ..., n} , con los p imos pi dis in os en e sí, de o ma que N=hgi∼ =Ck∼ =Cpα1 1×... ×Cpα 33 y así, po 3.1.1 y 3.1.5, Au (N)∼ =Cpα1−1 1(p1−1) ×...×Cpα −1 (p −1) . Deno emos po gi al gene ado de cada Cpαi i . Dado i∈ {1, ..., n} a bi a io, pues o que 2|(pi−1) , en cada Cpαi−1 i(pi−1) hay, po 3.2.3, un único elemen o ηi∈Au (Cpαi i) de o den 2 . Nó ese que és e elemen o cumpli á ηi(x) = x−1,∀x∈ Cpαi i , pues el au omo smo x7→ x−1 es de o den dos. Con odo ello, sabemos que φ(h) debe se un elemen o de o den di iso de dos en Au (N) . Como en cada Cpαi i hay un único elemen o de o den dos, se end á que la p oyección de φ(h) a Au (Cpαi i) se á, o bien 1Au (N) , o bien ηi . Así, eo denando sin pé dida de gene alidad, pa a cie o 0≤s≤ , φ:H−→ Au (N)∼ =Au (Cpα 11)×... ×Au (Cpα ) h7−→ (1Au (Cpα1 1 ), ..., 1Au (Cpαs s), ηs+1, ..., η ) Tomemos así los elemen os de N×H : x= ((g1, ..., gs,1, ..., 1),1H). σ= ((1, ..., 1, gs+1, ..., g ),1H). τ= (1N, h). De modo que, omando k1=pα1 1...pαs s, k2=pαs+1 s+1 ...pα se e ica: o(x) = o((g1, ..., gs,1, ..., 1)) = mcm{o(gi) : 1 ≤i≤s}=k1. o(σ) = o((1, ..., 1, gs+1, ..., g )) = mcm{o(gi) : s+ 1 ≤i≤ }=k2. o(τ) = 2 Po dis inción de ó denes es cla o que a /∈ hbi,∀a, b ∈ {x, σ, τ} , de modo que, como o(G) = 2k= 2k1k2=o(τ)o(x)o(σ) , se iene, po 3.3.4 G=hxihσihτi=hx, σ, τi . Sabemos en onces que cada elemen o g∈G admi e una única ep esen ación g=xiσjτδ, i ∈ {0,1, ..., k1−1}, j ∈ {0,1, ..., k2−1}, δ ∈ {0,1} pues cada pa eja de {hxi,hσi,hτi} iene in e sección {1G} . Comp obamos ambién: xσ =σx xσ = ((g1, ..., gs,1, ..., 1),1H)((1, ..., 1, gs+1, ..., g ),1H) = ((g1, ..., g ),1H) σx = ((1, ..., 1, gs+1, ..., g ),1H)((g1, ..., gs,1, ..., 1),1H) = ((g1, ..., g ),1H) xτ =τx xτ = ((g1, ..., gs,1, ..., 1),1H)(1N, h) = ((g1, ..., gs,1, ..., 1), h) τx = (1N, h)((g1, ..., gs,1, ..., 1),1H) = ((g1, ..., gs,1, ..., 1), h) στ =τσ−1 σ−1= ((1, ..., 1, g−1 s+1, ..., g−1 ),1H) στ = ((1, ..., 1, gs+1, ..., g ),1H)(1N, h) = ((1, ..., 1, gs+1, ..., g ), h) τσ−1= (1N, h)((1, ..., 1, g−1 s+1, ..., g−1 ),1H) = ((1, ..., 1, gs+1, ..., g ), h) 34 Así, deno ando Ck1=ha|ak1= 1i y Dk2=hb, c|bk2=c2= 1, cbc−1=b−1i podemos deni la unción γ:G−→ Ck1×Dk2 g=xiσjτδ7−→ (ai, bjcδ) Comp obemos que es isomo smo. Es inyec i a po la unicidad de ep esen ación de g∈G . Es sob eyec i a ya que dado (ai, bjcδ)∈Ck1×Dk2 podemos oma xiσjτδ∈G cuya imagen es el p ime elemen o. Finalmen e, pa a demos a que es homomo smo omemos elemen os g1=xi1σj1τδ1 y g2=xi2σj2τδ2 . Teniendo en cuen a las p opiedades expues as an e io men e ace ca de cómo conmu an los elemen os x , σ y τ , podemos dis ingui los siguien es casos: Cuando δ1= 0 : (g1g2) = (xi1σj1τδ1xi2σj2τδ2) = (xi1+i2σj1+j2τδ2) = (ai1+i2, bj1+j2cδ2) = (ai1, bj1)(ai2, bj2cδ2) = (xi1σj1) (xi2σj2τδ2) = (g1) (g2) Cuando δ1= 1 : (g1g2) = (xi1σj1τδ1xi2σj2τδ2) = (xi1+i2σj1τσj2ττδ2−1) = (xi1+i2σj1(τστ)j2τδ2−1) = (xi1+i2σj1σ−j2τδ2−1) = (xi1+i2σj1−j2τδ2−1) = (ai1+i2, bj1−j2cδ2−1) = (ai1+i2, bj1(cbc)j2cδ2−1) = (ai1+i2, bj1(cbj2c)cδ2−1) = (ai1+i2, bj1cbj2cδ2)=(ai1, bj1c)(ai2, bj2cδ2) = (g1) (g2) Lo que nos da el esul ado deseado. Q.E.D. 5.3. Caso del 2-g upo El p ocedimien o an e io no puede aplica se, sin emba go, cuando el o den de g es pa . Sin i más lejos, si omamos un g upo cíclico de o den pa , po 3.2.3, és e end á sólo un elemen o de o den dos, que po la misma azón se encon a á den o de hgi , lo que no nos pe mi e encon a el h∈G hgi an e io . Pod íamos pensa ingenuamen e que és o sólo se puede da en los casos abelianos (y po poco es así) y, eniendo és os cla os po el eo ema de clasicación de los g upos ni os abelianos, segui con ello dejándolos al ma gen. Tampoco es a salida es posible, y la e idencia la da el ejemplo 2.2.1, el g upo cua e nión, Q , que eniendo o den 8 y elemen os de o den 4 no iene ningún elemen o de o den 2 ue a de los subg upos de o den 4 . En ealidad no se á así ampoco en ninguno de los dicíclicos, ni en el p oduc o di ec o de un cíclico de o den impa po cualquie a de los has a aho a mencionados. Pa i emos en onces de una si uación más conc e a: cuando G es un 2-g upo. El siguien e lema ha sido ex aído de [6], y puede consul a se pa a más in o mación. Lema 5.3.1. Llamemos N=hgi . Sea G un g upo no abeliano de o den 2n+1 con un elemen o g∈G de o den 2n , pa a n∈N y n≥3 . En onces G es isomo o a uno de los g upos siguien es •D2n=hx, y|x2n=y2= 1, yxy−1=x−1i 35 •DC2n−1=hx, y|x2n−1=y2=z, z2= 1, yxy−1=x−1i •QAn=hx, y|x2n=y2= 1, yxy−1=x1+2n−1i •QDn=hx, y|x2n=y2= 1, yxy−1=x−1+2n−1i . Demos ación. Como G no es abeliano, exis e h∈G N que no conmu a con odos los elemen os de N . En pa icula , no puede conmu a con g , pues en al caso conmu a ía con odos los de N . Así, la aplicación ϕ:N→N:x7→ hxh−1 es un au omo smo de N dis in o de la iden idad, po que hgh−16=g . Po 3.3.3, sabemos que o(ϕ)|[G:N]=2 , y como no iene o den uno po que no es la iden idad, necesa iamen e o(ϕ)=2 . Sabemos ambién que G=hg, hi , po que hgi(hg, hi con lo que [G:hg, hi]<[G:hgi] , y como [G:hgi]=2 end emos [G:hg, hi]=1 , y po an o G=hg, hi . Además, o(ϕ)=2 , luego ϕ2=IdN , y así ϕ2(g) = g⇒h2gh−2=g⇒h2g=gh2⇒h2∈Z(G) Con inuando, como Au (N)∼ =Au (C2n)∼ =C2×C2n−2 , y sabiendo que ϕ es de o den dos, las posibilidades que enemos son: 1. ϕ(g) = g1+2n−1 2. ϕ(g) = g−1 3. ϕ(g) = g−1+2n−1 Cabe señala que cualquie elemen o de G se puede esc ibi de la o ma gihj, i ∈ {0, ..., 2n−1}, j ∈ {0,1} , ya que és os cub en los 2n+1 elemen os de G y son dis in os en e sí (de lo con a io en on a íamos un absu do en el que g y h conmu an). Con es o ya podemos empeza a de e mina los g upos posibles. Es udiemos es os casos po sepa ado. 1) Cuando ϕ(g) = g1+2n−1 , enemos que: hg2h−1=hgh−1hgh−1= (hgh−1)2= (g1+2n−1)2=g2+2n=g2⇒hg2=g2h Así, g2 conmu a con g y h , luego g2∈Z(G) . Veamos que, además, Z(G) = hg2i , iendo que no puede se mayo al no pode habe ningún o o elemen o en el cen o. Ya sabemos que h /∈Z(G) . Si en Z(G) hubiese alguna po encia de g de exponen e impa , po es a g2 , es a ía ambién g , lo cual no es cie o. Si en Z(G) hubiese un elemen o del ipo g2 h , al es a g2 es a ía ambién h , lo cual no es cie o. Si lo hubiese de la o ma g2 +1h , po es a g2 ambién es a ía gh , pe o es o es absu do, pues si es así se da g(gh)=(gh)g⇒gh =hg . Añadiendo que, como dijimos, h2∈Z(G) , exis i á un a∈N al que h2= (g2)a=g2a . Tomemos en onces c∈N que sa is aga a+c(1 + 2n−2)≡0(2n−1) lo cual es legí imo pues o que n > 2 . Tomando en onces y=gch enemos y2= (gch)2=gchgch=gchgch−1hh =gc(gc)1+2n−1h2 =gc(2+2n−1)g2a=g2(a+c(1+2n−2)) =g2(2n−1) =g2n = 1G y además ygy−1= (gch)g(h−1g−c) = gc(hgh−1)g−c=gcg1+2n−1g−c=g1+2n−1 y po lo an o G∼ =QAn=hg, y|g2n=y2= 1, ygy−1=g1+2n−1i 36 2) Cuando ϕ(g) = g−1 , es ácil comp oba que g2n−1 conmu a con h hg2n−1h−1= (hgh−1)2n−1= (g−1)2n−1=g−(2n−1) =g2n−(2n−1) =g2n−1(2−1) =g2n−1 ⇒hg2n−1=g2n−1h Comp obemos que, además, se end á Z(G) = hg2n−1i . Veamos que no puede se mayo iendo que ningún o o elemen o es á en el cen o. De an emano con amos con que h /∈Z(G) . Si g ∈Z(G), ∈ {1, ..., 2n−1} , en onces hg h−1= (hgh−1) = (g−1) =g− ⇒hg =g− h⇒g =g− ⇒g2 = 1G⇒ = 2n−1 con lo que se a a del elemen o que ya sabíamos que es aba den o. Si g h∈Z(G), ∈ {1, ..., 2n− 1} en onces h(g h)h−1=hg h−1h=g− h⇒g h=g− h⇒g2 = 1G⇒ = 2n−1 pe o como además g2n−1∈Z(G) , es o signica ía que h∈Z(G) , que no es así. Aho a, como h2∈Z(G) , exis e a∈N al que h2= (g2n−1)a=g2n−1a . Si 2|a , en onces a= 2a0 , luego h2=g2na0= 1G , y po an o G∼ =D2n=hg, h|g2n=h2= 1, hgh−1=g−1i Si 2-a , en onces a= 2a0+ 1 , luego h2=g2na0+2n−1=g2n−1 , y así G∼ =DC2n−1=hg, h|g2n−1=h2=m, m2= 1, hgh−1=g−1i 3) Cuando ϕ(g) = g−1+2n−1 , de nue o g2n−1 conmu a con h : hg2n−1h−1= (hgh−1)2n−1= (g−1+2n−1)2n−1=g−2n−1+22n−2 =g−2n−1g22n−2=g2n−2n−1g2n2n−2=g2n−1(2−1)(g2n)2n−2=g2n−1 Veamos que es a ez Z(G) = hg2n−1i , iendo de nue o que no hay en el cen o ningún o o elemen o. Como ya hemos dicho, h /∈Z(G) . Si g2 ∈Z(G), ∈ {1, ..., 2n−1} , hg2 h−1= (hgh−1)2 = (g−1+2n−1)2 =g−2 ⇒g4 = 1G⇒2n−2| de modo que es a á en {2n−2,2n−1,2n−23} . En el p ime y segundo casos nos da que g2 es g2n−1 y 1G espec i amen e, con lo que sólo debemos busca un absu do en el e ce caso. Si g2n−13∈Z(G) ambién g3∈Z(G) . Con ello hg3h−1= (hgh−1)3= (g−1+2n−1)3=g3·2n−1−3=g2n−1−3⇒g3=g2n−1−3⇒g2n−1−6= 1G, lo cual es absu do. Po o o lado, si g2 +1 ∈Z(G), ∈ {1, ..., 2n−1} se da á: hg2 +1h−1= (hgh−1)2 +1 = (g−1+2n−1)2 +1 =g2n−1−2 −1 ⇒g2 +1 =g2n−1−2 −1⇒g2n−1−4 −2= 1G⇒g2(2n−2−2 −1) = 1G ⇒2n−1|2n−2−2 −1 lo cual es idículo po que el p ime o es po encia de dos y el segundo impa . De nue o, pa a elemen os de la o ma g2 h o g2 +1h ob end emos los mismos absu dos. Como h2∈Z(G) , exis e a∈N al que h2= (g2n−1)a=g2n−1a . 37 Si 2|a , en onces a= 2a0 , luego h2=g2na0= 1G , y con ello G∼ =QDn=hg, h|g2n=h2= 1, hgh−1=g−1+2n−1i Si 2-a , en onces a= 2a0+ 1 , luego h2=g2na0+2n−1=g2n−1⇒G∼ =hg, h|g2n−1=h2= m, m2= 1, hgh−1=g−1+2n−1i . Cla o que en es e caso podemos encon a una p esen ación mejo . Tomando y=gh se iene y2= (gh)2=ghgh =g(hgh−1)hh =gg−1+2n−1h2=g2n−1g2n−1=g2n= 1G y ygy−1= (gh)g(h−1g−1) = g(hgh−1)g−1=gg1+2n−1g−1=g1+2n−1 y así, de nue o, G∼ =QDn=hg, y|g2n=y2= 1, ygy−1=g−1+2n−1i Q.E.D. 5.4. Caso pa a o den de g pa Teniendo pues los posibles 2-g upos con un elemen o g como el desc i o, amos a a a de descompone nues o g upo G lo sucien e pa a que, aplicando 5.3.1, sólo nos quede esol e una se ie de cuen as. Teo ema 5.4.1. Sea G un g upo no abeliano de o den 2n+1k , con n, k ∈N , k impa , al que iene un elemen o g∈G de o den 2nk . En ones exis en k1, k2∈N con k=k1k2 y mcd(k1, k2) = 1 de o ma que G es isomo o a Ck1×K , donde K es uno de los siguien es g upos •C2n×Dk2 •Ck2oC2n+1 =hz, w|zk2=w2n+1 = 1, wzw−1=z−1i •D2nk2=h , w| 2nk2=w2= 1, w w−1= −1i •DC2n−1k2=h , w| 2nk2= 1, 2n−1k2=w2, w w−1= −1i • hx, z, w|x2n=zk2=w2= 1, wxw−1=x1+2n−1, wzw−1=z−1, xz =zxi • hx, z, w|x2n=zk2=w2= 1, wxw−1=x−1+2n−1, wzw−1=z−1, xz =zxi . Además, cuando n= 1 sólo puede se lo a dos p ime os casos y cuando n= 2 a los cua o p ime os casos . Demos ación. Llamemos N=hgi . Po el eo ema undamen al de la a i mé ica, k=pα1 1...pα , con pi∈P {2}, αi∈N,∀i∈ {1, ..., } y los p imos pi dis in os en e sí. Como G es no abe- liano, necesa iamen e exis e un h∈G al que gh 6=hg . Como hgi(hg, hi y [G:hgi]=2 , necesa iamen e G=hg, hi . Tomando en onces el au omo smo ϕ:N→N:g7→ hgh−1 enemos, po 3.3.3 y eniendo en cuen a que ϕ no es la iden idad po que no conmu an g y h , que o(ϕ) = 2 . Conside ando hgi∼ =Ck∼ =C2n×Cpα1 1×... ×Cpα end emos que, po 3.1.1, ϕ se á en cada Cpαi i la iden idad o la aplicación λ7→ λ−1 pa a cada elemen o λ . Digamos que en Cpα1 1, ..., Cpαs s es la iden idad y en Cpαs+1 s+1 , ..., Cpα es la o a aplicación, pa a cie o 0≤s≤ . Llamemos ambién, k1=pα1 1...pαs s y k2=pαs+1 s+1 ...pα , de al modo que mcd(k1, k2)=1 y k=k1k2 . 38 Teniendo en cuen a que hgi∼ =C2n×Ck1×Ck2 , podemos oma los elemen os x, y, z ∈ hgi que gene an cada C2n , Ck1 y Ck2 espec i amen e, que conmu an en e sí, y cumplen g=xyz . De es a o ma sabemos ϕ(y) = y y ϕ(z) = z−1 . En b e e nos p egun a emos po ϕ(x) . Veamos el o den de h . Como, po el eo ema de Lag ange, o(h)|o(G) , o(h)=2m , |k, 0< m≤n+1 . Si conside amos h , po se impa , ϕ=ϕ , y o(h )=2m . También se da á G=hg, h i , po que como h y z no conmu an h /∈ hgi , que es abelinano, de modo que hgi(hg, h i . Así, podemos sus i ui el h que habíamos omado po h , de mane a que se sigan cumpliendo odas las hipó esis eque idas, y supone sin pé dida de gene alidad que h es de o den 2m . Bajo la ce eza de que mcd(o(y), o(x)) = mcd(o(y), o(z)) = mcd(o(y), o(h)) = 1 somos conscien es de que hyi ∩ hx, z, hi={1G} , y po 3.3.5 se da G∼ =hyi×hx, z, hi . Sólo nos queda p oba que K=hx, z, hi es uno de los señalados en el enunciado. Sabemos que h /∈ hx, zi po que h /∈ hgi . Al se [K:hx, zi]=2 , po 3.3.2, hx, zi/ K . Llama emos po ello en lo es an e ϕ a la es icción de ϕ a K , es deci a la aplicación ϕ:K→ K:λ7→ hλh−1 . Po 3.3.3, o(ϕ)|2 , y como h y z no conmu an, o(ϕ)=2 , al igual que en su caso gene al. Es cie o que ϕ(z) = z−1 , pe o pa a x enemos a ias posibilidades: ϕ(x) = x , ϕ(x) = x−1 , ϕ(x) = x1+2n−1 o ϕ(x) = x−1+2n−1 , siendo posibles las dos úl imas sólo cuando n≥3 y las es úl imas cuando n≥2 . Así pues, o(x)=2n y o(h)=2m , con h /∈ hxi , de o ma que o(hx, hi)=2n+1 . Mi emos aho a las dis in as opciones de ϕ(x) pa a ob ene los dis in os g upos hx, hi . En el caso en que ϕ(x) = x , enemos que hx, hi es un g upo de o den 2n+1 abeliano con un elemen o de o den 2n . Po an o, a endiendo al eo ema de clasicación de los g upos abelianos ni os, hx, hi∼ =C2n×C2 o hx, hi∼ =C2n+1 . En el p ime o de los casos, podemos supone que x= (a, 1C2) , donde C2n=hai y C2=hbi , pues és e es de o den 2n . Del mismo modo, h no puede se de la o ma (ai,1C2) , pues en al caso se da ía h∈ hxi , de modo que podemos oma h= (1C2n, b) (si h= (ai, b) bas a ía aza un isomo smo que jase x y mandase h a hx−i ). Po an o, aplicando 3.3.5 sob e el gene ado x , enemos el p ime g upo del enunciado. Si se da el segundo caso y hx, hi es isomo o a un g upo cíclico, (digamos que es gene ado po a ), en onces hx, z, hi=hz, ai , donde na u almen e a2 conmu a con z , luego es necesa io que a no lo haga, y así enemos el segundo g upo del enunciado. Pa a los demas casos, sabemos que hx, hi no es abeliano y es de o den 2n+1 . Supond emos aho a que n≥3 , ya que odas las posibilidades pa a n= 1 ya las hemos abo dado, y ha emos una conside ación nal del caso en que n= 2 . Aplicando 5.3.1, y dependiendo de la elección de ϕ(x) , end emos que hx, hi es isomo o a QAn=hx, w|x2n=w2= 1, wxw−1=x1+2n−1i (5.1) D2n=hx, w|x2n=w2= 1, wxw−1=x−1i (5.2) Qn=hx, w|x2n= 1, x2n−1=w2, wxw−1=x−1i (5.3) QDn=hx, w|x2n=w2= 1, wxw−1=x−1+2n−1i, (5.4) donde el caso (5.1) se da cuando ϕ(x) = x1+2n−1 , el caso (5.4) cuando ϕ(x) = x−1+2n−1 , y los casos (5.2) y (5.3) cuando ϕ(x) = x−1 . En cada caso podemos conside a que el elemen o x de la desc ipción de dichos g upos coincide con el elemen o x has a aquí u ilizado, y que po an o a a conmu a con z . Sin emba go, no en odos los casos h a a cumpli el papel de w , y po an o no end ía po qué cumpli se que wzw−1=z−1=ϕ(z) . Sin emba go, sí a a se así. Remi iéndonos a la demos ación de 5.3.1 emos qué sucede en cada g upo. Si se da (5.1), w=xch , de o ma que wzw−1= (xch)z(h−1x−c) = xcz−1x−c=z−1, 39 luego G=hx, z, w|x2n=zk2=w2= 1, wxw−1=x1+2n−1, wzw−1=z−1, xz =zxi . Si se da (5.4), w=h , de modo que ϕ(z) = wzw−1 , o w=gh , lo que nos da el mismo esul ado po que x conmu a con z . Po an o, G=hx, z, w|x2n=zk2=w2= 1, wxw−1= x−1+2n−1, wzw−1=z−1, xz =zxi . Si se da (5.2), w=h , y con es o enemos, po que x y z conmu an, omando =xz , w w−1=w(xz)w−1= (wxw−1)(wzw−1) = x−1z−1=z−1x−1= −1, y po an o, G=h , w| 2nk2=w2= 1, w w−1= −1i . Si se da (5.3), w=h , llamando =xz , G=h , w| 2n−1k2=w2=m, m2= 1, w w−1= −1i . Hablemos po úl imo del caso en que n= 2 . Po 3.1.2, como o(ϕ) = 2 , puede da se que ϕ(x) = x o que ϕ(x) = x−1 . El p ime o de los casos ya lo hemos analizado an es. Respec o al segundo, sab emos que hx, hi se á un g upo no abeliano de o den 8 , con un elemen o de o den 4 . Po lo an o end emos dos posibilidades, o bien hx, hi∼ =D4 , o bien hx, hi∼ =Q , el g upo cua e nión. Cla o que és e úl imo es el caso pa icula DC2 . A pa i de aquí sólo es necesa io segui lo dicho de los casos (5.2) y (5.3) en el caso en que n≥3 , an es señalado, pa a ob ene de nue o el e ce y cua o g upo del enunciado. Q.E.D. 40 Apéndice: Conclusión Una b e e his o ia del p oblema Como ya hemos insinuado, el p oblema de busca una lis a comple a e i edundan e de g upos es un p oblema de más de siglo y medio. El pis ole azo de salida lo dió Cayley en e 1854 y 1859, de e minando los g upos cíclicos y los de o den 4, 6 y 8. Le siguió Ne o en 1882 con los g upos de o den p2 y pq (donde se engloba 2p ). Kempe en 1886 de e minó los de o den 8 (coincidiendo con el lis ado de Cayley) y 12. Sin emba go se equi ocó, y los g upos de o den 12 ue on co ec amen e desc i os po Cayley en 1889. Los g upos de o den p3 ue on descubie os po sepa ado en 1893 po Cole y Glo e , Hölde y Young, log ando además los es p ime os ambién los ó denes p2q y pq (donde se engloba 4p ). No obs an e, Hölde u o que ec ica en 1895 po que se equi ocó en p2q . Más adelan e, es ando p óxima la en ada en el e ce milenio, Besche, Eick y O'B ien de- e mina on odos los g upos de o den meno o igual que 2000, sal o los de 1024, haciendo uso de mé odos compu acionales. Es a lis a es á pe ec amen e disponible y manejable en la biblio- eca digi al GAP. Pa a más in e és, la his o ia comple a de la clasicación po o den puede encon a se en [2]. Visualización de esul ados Después de cua en a páginas es na u al p egun a se cuán os g upos hemos de e minado en es e p oceso. Vamos a e qué esul ado dan nues os eo emas sob e los g upos de o den meno o igual que 2000, iendo qué pa e de la lis a de [2] hemos cubie o. ¾Cuán os de és os hemos clasicado? P egun ado así la espues a es decepcionan e: de los 49.910.529.484 sólo hemos a ado con 1.600, un 0,0000032% de los g upos de dicha lis a. La cosa po supues o iene ampa. Lo cie o es que 49.487.365.422 de los g upos de o den meno o igual que 2000 son de o den 1024 = 210 , lo que ep esen a un 99,152% de ellos. El 0,848% es an e ambién es á dispu ado: hay 408.641.062 g upos de o den 1536 = 293 y 10.494.213 de o den 512 = 29 . También se an más de un millón de g upos en 768 = 283 , 1280 = 285 y 1792 = 287 . És os mencionados son el 0,846%, con lo que de ene algo que deci se á en ese escaso 0.002% es an e. Si que emos e algo en cla o enemos en onces que p egun a nos, iendo ambién la o ien- ación y la o ma de abo da los g upos que ha enido es e ex o, de cuáles de los ó denes has a 2000 hemos dado odas los posibles g upos a los que uno de dicho o den puede se isomo o. El esul ado es en es e caso más halagado . Si mi amos la lis a de na u ales los p ime os que no alcanzamos son 16, 18, 24, 30, 32, 36, 40... no muchos y alejados en e sí. De los 2000 p ime os ó denes hemos clasicado 980, un 49%, y hemos dejado en el in e o 1020. También se puede de- ci que de esos 1020, 302 son de o den pq , que con ayuda del bagaje écnico a nues as espaldas no hab ía sido di ícil de de e mina . 41