Análisis de la sostenibilidad del sistema público de pensiones español, mediante una evaluación comparativa de técnicas univariantes y multivariantes de predicción de series temporales de agregados económicos y demográficos

FACULTAD DE ESTUDIOS ESTADÍSTICOS GRADO EN ESTADÍSTICA APLICADA Cu so 2019/2020 T abajo de Fin de G ado TÍTULO: Análisis de la sos enibilidad del sis ema público de pensiones español, median e una e aluación compa a i a de écnicas uni a ian es y mul i a ian es de p edicción de se ies empo ales de ag egados económicos y demog á icos Alumno: Gus a o Rod íguez Rod íguez Tu o : José Luis Valencia Del a Sep iemb e de 2020 2 Con enido RESUMEN ...................................................................................................................................... 3 1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 4 1.1. El O igen de los Sis emas de Pensiones de Repa o ...................................................... 4 1.2. El Sis ema Público de Pensiones Español ....................................................................... 4 1.3. La Si uación Ac ual ......................................................................................................... 6 2. ESTADO DEL ARTE ........................................................................................................... 13 2.1. In oducción ................................................................................................................. 13 2.2. En oques de Es udio de la Sos enibilidad de un Sis ema de Pensiones ...................... 13 3. HIPÓTESIS Y OBJETIVOS ................................................................................................... 16 3.1. Hipó esis ....................................................................................................................... 16 3.2. Obje i o P incipal del Es udio ...................................................................................... 16 3.3. Obje i os Secunda ios del Es udio ............................................................................... 16 4. MATERIAL Y METODOLOGÍA ........................................................................................... 17 4.1. Ámbi o y Pe iodo del Es udio ....................................................................................... 17 4.2. Fuen es de Da os .......................................................................................................... 17 4.3. De iniciones .................................................................................................................. 17 4.4. Pasos a Segui en el Análisis de los Da os .................................................................... 19 4.5. Técnicas Es adís icas U ilizadas .................................................................................... 21 • 4.5.1. Análisis Uni a ian e ....................................................................................... 21 ➢ 4.5.1.1. Mé odos de Sua izado o Alisado Exponencial ....................................... 21 ➢ 4.5.1.2. Me odología Box-Jenkins ....................................................................... 22 • 4.5.2. Análisis Mul i a ian e .................................................................................... 23 ➢ 4.5.2.1. Análisis de Componen es P incipales ..................................................... 23 ➢ 4.5.2.2. Modelos Vec o iales ............................................................................... 24 • 4.5.3. Va iables de In e ención.............................................................................. 26 4.6. So wa e ....................................................................................................................... 26 5. ANÁLISIS Y RESULTADOS ................................................................................................. 27 5.1. P ocesamien o de las Se ies ......................................................................................... 27 5.2. Análisis .......................................................................................................................... 28 4.3. Compa a i a y Selección del Mejo Modelo ................................................................ 52 4.4. P edicción ..................................................................................................................... 54 6. DISCURSIÓN Y CONCLUSIONES ....................................................................................... 58 7. BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................. 60 3 RESUMEN En las p óximas páginas se e alua á la sos enibilidad u u a de nues o sis ema público de pensiones, median e el análisis de se ies empo ales de ag egados mac oeconómicos y demog á icos. La mo i ación de es e abajo es doble: económica y es adís ica. Po un lado, el gas o en pensiones es uno de los mayo es desembolsos que ealiza el Es ado y, ac ualmen e, el sis ema se encuen a en una si uación de di icul ad e ince idumb e, debido p incipalmen e a la g a e si uación económica y a la dinámica demog á ica. Po o o lado, a pesa de que los modelos mul i a ian es son muy usados en economía pa a modeliza las in e dependencias, no lo son an o a la ho a de p edeci se ies empo ales. El mo i o es que a menudo los mé odos uni a ian es supe an a los mul i a ian es a causa de su simplicidad. Po ello en es e abajo comp oba emos que mé odo nos p opo ciona una mayo p ecisión pa a p edeci el po cen aje de P oduc o In e io B u o que se des ina á al gas o en pensiones en España. Al inal de e mina emos que la mejo ap oximación la ob end emos median e modelos uni a ian es. También conclui emos que el sis ema público de pensiones necesi a cambios es uc u ales, pues o que la c isis p oducida po el COVID-19 ha acele ado su de e io o y pasa á a es a en una si uación insos enible en los p óximos años. Palab as cla e: Pensiones, Sos enibilidad, P edicción, Se ies Tempo ales, Sua izado Exponencial, Box-Jenkins, Uni a ian e, Mul i a ian e, Va iables de In e ención, COVID-19. 4 1. INTRODUCCIÓN 1.1. El O igen de los Sis emas de Pensiones de Repa o En las sociedades p e ias a la Re olución Indus ial los ancianos solo podían ecibi ayuda a a és de los ecu sos in o males de apoyo social, p incipalmen e los miemb os de la amilia y las amis ades, lo que conlle aba al a asas de mo bilidad y mo alidad. La indus ialización y el capi alismo implica on una ans o mación de la es uc u a amilia y una mayo espe anza de ida. Todos es os p ocesos impulsa ían la demanda de c eación de sis emas es uc u ados de ayuda pa a la jubilación, en e medad, acciden es o discapacidad. El p ime sis ema de Segu idad Social ue c eado en 1881 po O o on Bisma ck con la inalidad de p opo ciona una en a en si uaciones ulne ables como la ejez o la incapacidad. Al e mina la P ime a Gue a Mundial, los sis emas de segu os sociales se ex endie on po las dis in as naciones has a llega a la si uación en la que se encuen an ac ualmen e. Du an e su desa ollo su gió una pugna sob e cómo debía a icula se un e dade o sis ema pensiones. Unos a gumen aban que las apo aciones del abajado y su pensión debían man ene una elación di ec a (Sis emas de Repa o Con ibu i o o Bisma ckianos). Po el con a io, o os de endían un sis ema de mínimos, en el cuál las pensiones u ie an igual cuan ía pa a cada abajado (Sis emas Asis enciales o Be e idge). Hoy en día la mayo ía de los países eu opeos cuen a con lo que se denomina un sis ema público de pensiones de epa o. En esencia, es e ipo de sis emas de pensiones se basan en la idea del pac o in e gene acional pa a la edis ibución de la en a, es deci , los abajado es con ibuyen con una pa e de su sala io a paga las pensiones ac uales con la espe anza de que el sis ema se p olongue el iempo su icien e como pa a que las gene aciones enide as apo en sus u u as pensiones. 1.2. El Sis ema Público de Pensiones Español En nues o país, la Ley Gene al de la Segu idad Social de 1966 ue la enca gada de implan a un modelo uni a io e in eg ado de p o ección social con una base inancie a de epa o, pa icipación del Es ado en la inanciación y ges ión pública. Con es a ley se es ablecía la edad de jubilación a los 65 años, se necesi aban 8 años de co ización pa a ene de echo a la misma y se enían en cuen a los 2 años an e io es a la echa de la jubilación pa a calcula la pensión. A lo la go de las úl imas décadas del siglo XX y las p ime as del siglo XXI se han ealizado sucesi as e o mas con el obje i o de adecua el sis ema a las necesidades sociales, económicas y demog á icas del país. A con inuación, se mues a una abla con los p incipales hi os y medidas que se oma on en dis in as e apas. 5 Tabla 1.1. P incipales Re o mas en el Sis ema Público de Pensiones Década de los 80 Finales de los 90 y p incipios del 2000 Década del 2010 • Equipa ación paula ina de las bases de co ización con los sala ios eales. • Re alo ización de las pensiones en unción de la a iación del IPC. • Ex ensión de la p o ección a más colec i os no cubie os. • Aumen o del pe íodo mínimo de co ización de 10 a 15 años. • Aumen o desde los 2 años has a los 8 años p e ios a la jubilación pa a el cómpu o de la base egulado a de la pensión. • Regulación de las pensiones no con ibu i as. • Fi ma del Pac o de Toledo pa a asegu a la es abilidad inancie a y las p es aciones u u as. • Aumen o de 8 a 15 en el núme o de años aplicados al cálculo de la base egulado a de la pensión. • C eación del Fondo de Rese a pa a asegu a la sos enibilidad del Sis ema y a ende posibles necesidades u u as. • Incen i ación de la jubilación más allá de los 65 años. • Aumen o de la edad de jubilación de 65 a 67 años. • Aumen o de la base egulado a de la pensión de 15 a 25 años. • Aumen o de 35 a 37 años co izados pa a alcanza el 100% de la base egulado a de la pensión. • In oducción del Fac o de Sos enibilidad. • Des inculación de la e alo ización de las pensiones al IPC y inculación al Índice de Re alo ización. Fuen e: Sec e a ía de Es ado de la Segu idad Social Muchas de es as medidas se c ea on con el p opósi o de aumen a el núme o de abajado es a iliados a la Segu idad Social, disminui el núme o de pensionis as y ebaja la cuan ía de la pensión media. Sin emba go, a pesa de que en el momen o de su aplicación supusie on un ali io pa a el sis ema, se man u o la endencia c ecien e an o en la can idad de pensiones como en el impo e de la pensión media. Todo ello, nos lle a a la siguien e p egun a: ¿En qué ci cuns ancias nos encon amos aho a? 6 1.3. La Si uación Ac ual El p og esi o en ejecimien o de la población, debido al aumen o de la espe anza de ida, ha modi icado de mane a sus ancial la es uc u a de la pi ámide poblacional española. G á ico 1.1. Población 1994 G á ico 1.2. Población 2019 Da os: INE Da os: INE Cada ez ganan más peso los colec i os más longe os, en especial los de más de 65 años y más de 85 años. Tabla 1.2. Población de más de 65 años (1994-2019) Año Mayo es de 65 años Población To al Po cen aje Población Mayo de 65 años Inc emen o 1994 5.857.730 39.547.353 14,81% 1999 6.616.982 40.369.666 16,39% 1,58% 2004 7.154.259 42.859.173 16,69% 0,30% 2009 7.727.117 46.367.550 16,66% -0,03% 2014 8.510.477 46.455.123 18,32% 1,65% 2019 9.180.401 47.100.395 19,49% 1,17% Da os: INE 7 G á ico 1.3. Población de más de 85 años (1994-2019) Da os: INE En la Tabla 1.2 y el G á ico 1.3 emos como el eng osamien o de las coho es de más edad ha sido con inuo du an e los úl imos 25 años. Tan solo la llegada de inmig an es jó enes, mo i ados po el c ecimien o económico de comienzos de siglo XXI, pudo alen iza la p og esión del inc emen o en el peso especí ico de es os g upos sob e el o al de la población. G á ico 1.4. Flujos Máximos y Mínimos de Inmig ación Anual po Edades en los Pe iodos 1993-2000, 2001-2008 y 2009-2016 Da os: EUROSTAT 8 Mien as, las gene aciones más jó enes an me mando año as año. Así, en el p ime semes e de 2019 en España solo han nacido 170.074 pe sonas, lo que supone la ci a más baja egis ada desde 1941, p ime año del que hay da os. También la asa b u a de na alidad ha dec ecido a lo la go de las úl imas décadas, si uándose en su mínimo desde que se empeza on a con abiliza da os en 1975. G á ico 1.5. Tasa de Na alidad (1975-2018) Da os: INE Es e ue e descenso de la na alidad, mo i ado po causas cul u ales, sociales y económicas, se p oduce esencialmen e po el e aso en la edad a la que se ienen hijos. Tabla 1.3. Edad Media a la Ma e nidad (1994-2018) Año Edad Media 1994 29,74 1999 30,68 2004 30,87 2009 31,04 2014 31,78 2018 32,20 Da os: INE 9 La unión de odos es os enómenos demog á icos p oduce un pelig oso aumen o de la asa de dependencia de la población mayo de 64 años, en endida como el cocien e en e la población mayo de 64 años y la población en e 16 y 64 años. G á ico 1.6. Tasa de Dependencia de la Población mayo de 64 años (1975-2019) Da os: INE Aunque es e índice de dependencia sea, es ic amen e hablando, un indicado demog á ico, se u iliza ampliamen e como indicado económico. Pues o que con apone al g upo que es p incipal gene ado de iqueza, en e al g upo que es mayo consumido de ecu sos del es ado. La endencia cla amen e c ecien e que nos mues a el G á ico 1.6 es una señal de que, si no se p oducen cambios es uc u ales, en el u u o end emos desequilib ios económicos. Po o o lado, la e olución del saldo del Sis ema de Segu idad Social ampoco a oja esul ados halagüeños. Aunque los ing esos de los úl imos años man ienen una endencia posi i a g acias al aumen o en las co izaciones sociales, la pa ida de gas os c ece a asas oda ía más al as. 16 3. HIPÓTESIS Y OBJETIVOS 3.1. Hipó esis La hipó esis de pa ida es que exis e una elación subyacen e en los da os de las se ies empo ales de gas o en pensiones como po cen aje del PIB que puede se modelizada median e écnicas es adís icas. Y, po an o, podemos p onos ica , con di e en es g ados de con ianza, el compo amien o de la se ie en el u u o. 3.2. Obje i o P incipal del Es udio La inalidad p incipal de es e es udio es comp oba si el sis ema de pensiones, al y como es á es uc u ado ac ualmen e, es iable en un ho izon e empo al de 10 años. Pa a ello calcula emos el po cen aje del PIB que supone el gas o en pensiones du an e los años 2020-2030. 3.3. Obje i os Secunda ios del Es udio En e los p opósi os secunda ios es án: • Compa a dis in as me odologías pa a p edeci se ies empo ales, an o uni a ian es como mul i a ian es, y de e mina cuál es la que p opo ciona mejo es esul ados. • Es ima el posible impac o que end á la c isis del COVID-19 en nues o sis ema de pensiones. 17 4. MATERIAL Y METODOLOGÍA 4.1. Ámbi o y Pe iodo del Es udio El abajo se ha desa ollado en el ámbi o del e i o io español. Los da os pe enecen al pe iodo 1995-2020 y como unidad de iempo básica se ha seleccionado el mes. 4.2. Fuen es de Da os Los da os pa a pode lle a a cabo los obje i os de es e es udio se han seleccionado siguiendo, esencialmen e, es c i e ios: su disponibilidad, su iabilidad y su po encial capacidad explica i a. Teniendo en cuen a el p ime y el segundo c i e io se han empleado bases de da os p oceden es de Eu os a , el Ins i u o Nacional de Es adís ica y la Segu idad Social. El uso de uen es de da os que han sido elabo adas po ins i uciones que se encuen an bajo el pa aguas del Sis ema Es adís ico Eu opeo (SEE) ga an iza que los da os son iables y compa ables, ya que han sido a ados de mane a adecuada a lo la go de odo el p oceso. En cuan o al e ce c i e io, nos guia emos po los abajos publicados po o os in es igado es y po nues a in uición. Como hemos is o en las secciones an e io es los lujos de inmig ación, las asas de mo alidad y ecundidad, el ni el de empleo y a iliación, la es uc u a de la población, e cé e a juegan un papel de e minan e en las luc uaciones a lo la go del iempo del po cen aje del PIB des inado al gas o en pensiones. Po odo lo an e io las a iables que se han incluido en es e es udio son: • Núme o de pensiones pagadas. • Valo de la pensión media a p ecios co ien es. • Núme o de inmig an es llegados a España po edad. • P oduc o In e io B u o de España a p ecios co ien es. • Núme o de habi an es en España po edad y sexo. • Núme o de de unciones po cada mil habi an es en España po edad y sexo. • Núme o de pe sonas a iliadas a la Segu idad Social. El mo i o p incipal de no in oduci los da os ela i os a la na alidad es que el impac o de los nue os nacimien os solo se á de u ilidad en es udios a más la go plazo (20 o más años). 4.3. De iniciones Como paso p e io al análisis y la cons ucción de modelos, es esencial de ini un indicado que pueda medi ehacien emen e el g ado de sos enibilidad del sis ema de pensiones y un de e minado umb al en el que es ablece si el sis ema es o no iable. 18 La a iable indicado a de la sos enibilidad se á el po cen aje de PIB que se dedica a cub i el gas o en pensiones, que, a pa i de aho a, denomina emos PGP (Po cen aje de Gas o en Pensiones). Es a a iable queda de inida po la siguien e exp esión: 𝑃𝐺𝑃𝑡=𝐺𝑃𝑡 𝑃𝐼𝐵𝑡=𝑃𝑀𝑡×𝑁𝑃𝑡 𝑃𝐼𝐵𝑡 donde 𝐺𝑃𝑡 ep esen a el gas o en pensiones en el ins an e , 𝑃𝐼𝐵𝑡 ep esen a el P oduc o In e io B u o en el ins an e , 𝑃𝑀𝑡 ep esen a la pensión media en el ins an e y 𝑁𝑃𝑡 ep esen a el núme o de pensiones en el ins an e . Pues o que las únicas a iables que se miden en unidades mone a ias son el PIB y la pensión media, a lo la go del es udio usa emos p ecios co ien es. La azón es ob ia, ya que di idi nume ado y denominado po el de lac o nos da ía los mismos esul ados. El es ablecimien o de un umb al a pa i del cual de e mina la sos enibilidad o no de nues o sis ema de pensiones es un asun o más complejo. En la li e a u a no exis e un consenso, po lo que oma emos es a decisión en base a los da os de España y de países de nues o en o no. Tabla 4.1. Po cen aje del PIB Des inado a Pensiones (2015) País % PIB G ecia 17.8 I alia 16.5 F ancia 15.0 Po ugal 14.9 Aus ia 14.6 Dinama ca 13.5 Finlandia 13.1 Países Bajos 13.0 UE-28 12.8 Bélgica 12.7 España 12.6 Alemania 11.8 Polonia 11.8 Suecia 11.4 Reino Unido 11.4 Eslo enia 10.9 Da os: EUROSTAT Obse amos que el gas o medio en los países de la UE en pensiones se si uó en 2015 en el 12.8% del PIB, pa a España los da os son muy simila es a la media eu opea ( an solo unas décimas po debajo). Den o de ese 12.6% del PIB que gas o nues o país en pensiones se engloban di e en es ipos de pensiones, como las de la Segu idad Social (ap oximadamen e el 9.1% del PIB) o las de las clases pasi as (al ededo del 1.2% del PIB). 19 Teniendo en cuen a que los da os que manejamos en es e es udio son los ela i os a las pensiones pagadas po la Segu idad Social, podemos es ablece a a és de una elación de p opo cionalidad que el umb al de gas o en pensiones pa a nues o es udio debe ía si ua se como mucho en una banda en e el 13% y el 15% del PIB. Ya que, en caso de supe a ese umb al, el gas o o al de España en pensiones se si ua ía muy po encima del es o de países de la UE. En esumen, de e minamos que el sis ema se encuen a en una si uación sos enible mien as nues as p edicciones de gas o del PIB en pensiones es én po debajo del 13%; en si uación de iego cuando es én en e el 13% y el 15%; y en si uación cla amen e insos enible cuando es én po encima del 15%. 4.4. Pasos a Segui en el Análisis de los Da os En p ime luga , uni emos las dis in as se ies empo ales en un único conjun o de da os y calcula emos las a iables que sean necesa ias. En muchos de los casos pa a pode abaja end emos que ealiza un p ocesamien o de las se ies que incluye: su deses acionalización, ya que es undamen al pa a pode analiza de mane a co ec a su e olución y endencia a lo la go del iempo; y la in e polación de da os al an es, ya que algunas de las se ies es adís icas disponibles no ienen la pe iodicidad adecuada ( imes ales, semes ales o anuales). A con inuación, p ocede emos a la pa e del análisis y la c eación de modelos. En es e apa ado usa emos dos ipos de me odología: uni a ian e y mul i a ian e. Un paso esencial en la ase de análisis es el de di idi nues o conjun o de da os en dos pa es: una pa a la es imación de los pa áme os (en enamien o) y o a pa a comp oba la calidad de nues as p edicciones ( es ). G á ico 4.1. Como di idi las se ies empo ales Cuando ya engamos nues os modelos es imados y alidados p ocede emos a e cuál es el que nos p opo ciona una mejo ap oximación a la ealidad. Selecciona emos el modelo que nos p opo cione unas mejo es p edicciones. Po úl imo, usa emos odos las obse aciones de las que disponemos pa a p edeci el compo amien o del po cen aje de PIB que se des ina a cub i el gas o en pensiones. Con es as úl imas p edicciones e emos si el sis ema es o no sos enible en el iempo. Da os Disponibles (Pasado) En enamien o Tes Fu u o P edicciones 20 G á ico 4.2. Esquema gene al de abajo 21 4.5. Técnicas Es adís icas U ilizadas Pa a lle a a cabo el análisis de nues a base de da os, amos a u iliza di e sas écnicas es adís icas. • 4.5.1. Análisis Uni a ian e ➢ 4.5.1.1. Mé odos de Sua izado o Alisado Exponencial Los mé odos de sua izado o alisado exponencial ue on desa ollados po B own, Hol y Win e s en e 1950 y 1960. Es os modelos ajus an la e olución de la se ie calculando cada nue a obse ación como una media ponde ada de las an e io es, conside ando que los pesos de las mismas se educen exponencialmen e. Pese a su simplicidad, a ios au o es han demos ado que pueden ene mejo desempeño que o os modelos más complejos, pa icula men e cuando los da os no son no males. Exis en mul i ud de mé odos de sua izado, pe o los más conocidos y usados son el mé odo de alisado simple, el mé odo de alisado doble de Hol , el mé odo adi i o de Hol - Win e s y el mé odo mul iplica i o de Hol -Win e s. Es os dos úl imos se án los que u iliza emos noso os y los que de allamos a con inuación. El mé odo de Hol -Win e s se puede aplica en se ies empo ales con endencia lineal y es acionalidad. El modelo adi i o y el mul iplica i o se de inen ma emá icamen e de la siguien e o ma: Hol -Win e s Adi i o Hol -Win e s Mul iplica i o 𝒙𝒕=(𝑳𝒕+𝒃𝒕)+𝑺𝒕+𝝐𝒕 donde 𝑳𝒕=𝜶(𝒙𝒕−𝑺𝒕−𝒔)+(𝟏−𝜶)(𝑳𝒕−𝟏+𝒃𝒕−𝟏) 𝒃𝒕=𝜷(𝑳𝒕−𝑳𝒕−𝟏)+(𝟏−𝜷)𝒃𝒕−𝟏 𝑺𝒕=𝜸(𝒙𝒕−𝑳𝒕)+(𝟏−𝜸)𝑺𝒕−𝒔 𝝐≡𝑵(𝟎,𝝈) 𝒙𝒕=(𝑳𝒕+𝒃𝒕)×𝑺𝒕+𝝐𝒕 donde 𝑳𝒕=𝜶𝒙𝒕 𝑺𝒕−𝒔+(𝟏−𝜶)(𝑳𝒕−𝟏+𝒃𝒕−𝟏) 𝒃𝒕=𝜷(𝑳𝒕−𝑳𝒕−𝟏)+(𝟏−𝜷)𝒃𝒕−𝟏 𝑺𝒕=𝜸𝒙𝒕 𝑳𝒕+(𝟏−𝜸)𝑺𝒕−𝒔 𝝐≡𝑵(𝟎,𝝈) Los es pa áme os 𝜶, 𝜷 y 𝜸 oman alo es que oscilan en e 0 y 1. Las p edicciones pa a es os modelos se calculan como: 22 Hol -Win e s Adi i o Hol -Win e s Mul iplica i o 𝒙𝒕+𝟏=(𝑳𝒕+𝒃𝒕)+𝑺𝒕+𝟏−𝒔 𝒙𝒕+𝟏=(𝑳𝒕+𝒃𝒕)×𝑺𝒕+𝟏−𝒔 Tan solo señala emos que en es os modelos cuando el alo de los pa áme os es á p óximo a 0, indica que las p edicciones se modi ican muy poco con la nue a in o mación, po lo que son muy simila es en e sí (mucha memo ia). Po el con a io, cuando oman un alo ce cano a 1 la p edicción se a adap ando según el alo que oman las úl imas obse aciones, po lo que se dice que iene poca memo ia (los alo es alejados p ác icamen e no ienen in luencia en la p edicción). ➢ 4.5.1.2. Me odología Box-Jenkins La publicación de “Time Se ies Analysis: Fo ecas ing and Con ol” po Box y Jenkins a comienzos de los 70 supuso la in eg ación del conocimien o p e io exis en e sob e la noción de es ocas icidad en se ies de iempo, así como la c eación de una me odología cohe en e sob e cómo abo da la iden i icación, es imación y alidación de los modelos. La ca ac e ización p incipal de es e en oque es la conside ación de que la se ie empo al iene de e minada po la ealización de un p oceso es ocás ico, siendo es a una ealización pa icula del mismo. Sob e la base de es a simple idea se han ido desa ollando mul i ud de modelos: au o eg esi os (AR), de medias mó iles (MA), mix os au o eg esi os-medias mó iles (ARMA) y au o eg esi os in eg ados de medias mó iles (ARIMA). La es uc u a de los modelos AR, MA y ARMA solo pe mi e se usada en se ies de iempo es aciona ias1, pe o la mayo ía de las se ies no lo son. G acias a la in oducción de los modelos ARIMA se ealiza la in eg ación o di e enciación que pe mi e abo da se ies no es aciona ias. Se dice que un p oceso 𝑧𝑡 es 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝,𝑑,𝑞)(𝑃,𝐷,𝑄)𝑠 cuando 𝑝 es el o den de la pa e au o eg esi a, 𝑑 el o den de in eg ación, 𝑞 el o den de la pa e mó il, 𝑃 el o den de la pa e au o eg esi a pe iódica o es acional, 𝐷 el o den de in eg ación de la pa e pe iódica o es acional, 𝑄 el o den de la pa e mó il pe iódica o es acional y 𝑠 es la pe iodicidad de la se ie2. Ma emá icamen e se de ine como: Φ𝑃(𝐿𝑠)𝜙𝑝(𝐿)(1−𝐿𝑠)𝐷(1−𝐿)𝑑𝑧𝑡=c+Θ𝑄(𝐿𝑠)𝜃𝑞(𝐿)𝜖𝑡 donde: 1 En é minos p ác icos, una se ie es es aciona ia (en el sen ido débil) cuando la media, la a ianza y la co a ianza pe manecen cons an es a lo la go del iempo. 2 La pe iodicidad de la se ie iene de e minada po la na u aleza de los da os (días, meses, imes es, e cé e a), luego no hay que calcula 𝑠. 23 Φ𝑃(𝐿𝑠)=(1−Φ1𝐿𝑠−⋯−Φ𝑃𝐿𝑠𝑃) es el ope ado AR es acional de o den P, 𝜙𝑝(𝐿)=(1−𝜙1𝐿−⋯−𝜙𝑝𝐿𝑝) es el ope ado AR egula de o den p, Θ𝑄(𝐿𝑠)=(1−Θ1𝐿𝑠−⋯−Θ𝑄𝐿𝑠𝑄) es el ope ado MA es acional de o den Q, 𝜃𝑞(𝐿)=(1−𝜃1𝐿−⋯−𝜃𝑞𝐿𝑞) es el ope ado MA egula de o den q, (1−𝐿𝑠)𝐷 son las di e encias es acionales, (1−𝐿)𝑑 son las di e encias egula es y 𝜖𝑡 es un p oceso de uido blanco. También es con enien e de ini el ope ado polinomial de e a dos L, que aplicado a la a iable 𝑧𝑡 se de ine de la siguien e mane a: 𝐿(𝑧𝑡)=𝑧𝑡−1 𝐿𝑘(𝑧𝑡)=𝑧𝑡−𝑘 (1−𝐿)𝑧𝑡=𝑧𝑡−𝑧𝑡−1 • 4.5.2. Análisis Mul i a ian e P ime amen e, debemos asegu a nos de que no exis en p oblemas debido a que exis an a iables que son combinación lineal di ec a de o as. Una solución sencilla pa a es e p oblema consis e en elimina alguna de las a iables que sea combinación lineal de las o as. Una ez solucionado el p oblema an e io , debemos comp oba si exis en a iables que engan in o mación edundan e, es deci , si hay una elación de dependencia lineal ue e en e algunas de las a iables p edic o as (Mul icolinealidad). En caso a i ma i o, p ocede emos a ealiza una educción de la dimensión median e componen es p incipales. El úl imo paso se á u iliza los da os esul an es de la educción de la dimensión pa a pode es ima el compo amien o de la se ie mul i a ian e. ➢ 4.5.2.1. Análisis de Componen es P incipales El Análisis de Componen es P incipales desc ibe la a iación de un conjun o de da os mul i a ian e en é minos de un conjun o inco elado de a iables, cada una de las cuales es una combinación lineal pa icula de las a iables o iginales. Es as nue as a iables eciben el nomb e de Componen es P incipales y se ob ienen en o den dec ecien e a su impo ancia. Es o quie e deci que la p ime a Componen e P incipal ecoge la máxima in o mación de los da os o iginales, y como consecuencia, la 24 segunda Componen e ecoge la mayo can idad de in o mación que no haya sido ecogida po la p ime a Componen e y así sucesi amen e con el es o de cada una de las Componen es P incipales. Debido a que las Componen es P incipales se u ilizan pa a esumi los da os o iginales con la mínima pé dida de in o mación, es o da á luga a impo an es simpli icaciones en los análisis pos e io es que amos a ealiza . Elegi emos el núme o de Componen es en unción de la p opo ción de a iabilidad explicada, de mane a que dicha p opo ción se conside e su icien e (con esul ados de encues as eales un 70% es su icien e, si son p uebas de labo a o io se debe se más exigen e). Desde un pun o de is a geomé ico las Componen es P incipales ep esen an la selección de un nue o sis ema de coo denadas ob enido median e la o ación del sis ema o iginal. Los nue os ejes ep esen an las di ecciones con máxima a iabilidad y p oducen una desc ipción más simple y o denada de la es uc u a de la ma iz de Va ianzas- Co a ianzas. Luego, pa iendo de la ma iz de Va ianzas-Co a ianzas, se halla á su descomposición en unción de sus alo es p opios y la ma iz o mada po sus au o ec o es co espondien es. Ma emá icamen e queda exp esado de la siguien e o ma: Σ=𝑃Λ𝑃−1 siendo 𝑃 la ma iz que con iene a los au o ec o es y Λ una ma iz diagonal o mada po los au o alo es. De es e modo, la p ime a componen e p incipal se á aquella a iable cuyo ec o di ección coincide con el del au o ec o co espondien e al mayo au o alo de la ma iz de Va ianzas-Co a ianzas. Finalmen e hay que des aca que cuando las a iables no se midan en unidades semejan es, se aplica á el análisis sob e la ma iz de co elaciones (en ez de sob e la ma iz de Va ianzas-Co a ianzas). ➢ 4.5.2.2. Modelos Vec o iales La gene alización de la me odología Box-Jenkins a las se ies empo ales mul i a ian es no a dó mucho en llega . Los p ocesos ec o iales au o eg esi os de medias mó iles (VARMA) ue on desc i os po p ime a ez po Quenouille en 1957, aunque el so wa e pa a pode implemen a los solo es a ía disponible a p incipios de los años 80. Fue a pa i de esa década cuando el uso de es e ipo de modelos se con i ió en la pied a angula de la p edicción mac oeconómica, g acias a la publicación de más abajos eó icos y p ác icos. Los p ime os modelos que se u iliza ían ue on los modelos ec o iales au o eg esi os (VAR), que cons i uyen un caso pa icula de los VARMA. A pesa de que la eo ía económica no es á de acue do con el modelado de p ocesos que usan modelos VAR (ya que los é minos de medias mó iles no pueden exclui se), la di icul ad de la me odología VARMA impulsó la selección de modelos VAR. 25 En esencia, un modelo 𝑉𝐴𝑅(𝑝) se de ine de la siguien e o ma: 𝒛𝑡=𝑨1𝒛𝑡−1+⋯+𝑨𝑃𝒛𝑡−𝑝+𝝐𝑡 donde 𝒛𝑡=(𝑧1𝑡,𝑧2𝑡,…,𝑧𝑘𝑡)∀ 𝑘=1,…,𝑛 (𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠) 𝑨𝑖∈ℳ𝑘×𝑘 ∀ 𝑖=1,…,𝑝 ∧ 𝑘=1,…,𝑛 (𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠) 𝔼[𝝐𝑡]=0 ∧ 𝔼[𝝐𝑡𝝐𝑡′]=Σ𝜖 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑅𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑘−𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) Po an o, la exp esión ma icial de un modelo 𝑉𝐴𝑅(1) con un ec o de dos a iables es: [𝑧1,𝑡 𝑧2,𝑡]=[𝛼11 𝛼12 𝛼21 𝛼22][𝑧1,𝑡−1 𝑧2,𝑡−1]+[𝝐1,𝑡 𝝐2,𝑡] En gene al, los modelos VAR p opo cionaban unos esul ados bas an es buenos y supusie on una mejo a sob e los modelos an e io es. Con el iempo se descub i ía que ienden a su i un lige o sob eajus e (p opo cionan p edicciones de icien es ue a de la mues a, aunque el ajus e sea muy bueno den o de la mues a). A pesa de ello se man u ie on como uno de los p incipales modelos de e e encia du an e casi dos décadas. La al a de in e és en los modelos mul i a ian es de medias mó iles se debió p incipalmen e a la di icul ad a la ho a de implemen a los. Se ía necesa io una nue a ampliación de la me odología y, sob e odo, de la capacidad de cómpu o de los o denado es pa a que se ex endie a su uso a inales de los 90. U ilizando una mix u a de la no ación usada pa a desc ibi los modelos uni a ian es 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝,𝑑,𝑞)(𝑃,𝐷,𝑄)𝑠 y los mul i a ian es 𝑉𝐴𝑅(𝑝), enemos que un modelo 𝑉𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝,𝑞) se de ine ma emá icamen e como: 𝒛𝑡−𝝓1𝒛𝑡−1−⋯−𝝓𝑝𝒛𝑡−𝑝=𝒄+𝝐𝑡−𝜽1𝝐𝑡−1−⋯−𝜽𝑞𝝐𝑡−𝑞 Es os modelos ambién pe mi en la in oducción de a iables ic icias o dummy pa a pode modela la es acionalidad (seasonal ac o s). Po ejemplo, con da os imes ales el modelo se especi ica ía de la o ma: 𝒛𝑡−𝝓1𝒛𝑡−1−⋯−𝝓𝑝𝒛𝑡−𝑝=𝒄+𝑫𝑄1𝜷𝑄1+⋯+𝑫𝑄3𝜷𝑄3+𝝐𝑡−𝜽1𝝐𝑡−1−⋯−𝜽𝑞𝝐𝑡−𝑞 donde: • 𝒄 es el ec o co espondien e a la pa ame ización del cua o imes e (Q4). • 𝑫𝑄𝑖∀ 𝑖=1,…,3 son ma ices dummy con odos sus alo es iguales a 0 sal o que el imes e sea el co ec o. Es deci , si el imes e es Q1 en onces 𝑫𝑄1 es la ma iz iden idad, en o o caso es una ma iz nula. • 𝜷𝑄𝑖∀ 𝑖=1,…,3 son ec o es que con ienen los pa áme os de los e ec os de cada uno de los imes es. 32 Tabla 5.6. Es adís icas de ajus e pa a la a iable PGP Es adís ico Valo E o cuad á ico medio 0.0022329 E o cuad á ico medio de la aíz 0.04725362 E o absolu o medio 0.03238464 R-cuad ado 0.99805205 R-cuad ado ajus ado 0.99803712 C i e io de in o mación de Akaike -1605.5754 C i e io de in o mación bayesiano de Schwa z -1594.8475 Cálculos basados en el ango de ajus e de da os. Tabla 5.7. Es adís icas de endimien o pa a la a iable PGP Es adís ico Valo G ados de e o de libe ad 36 Núme o de obse aciones u ilizadas 36 E o de suma de cuad ados 1.00272543 E o cuad á ico medio 0.02785348 E o cuad á ico medio de la aíz 0.16689363 E o absolu o medio 0.13999174 R-cuad ado 0.66138652 R-cuad ado ajus ado 0.67079245 C i e io de in o mación de Akaike -128.9087 C i e io de in o mación bayesiano de Schwa z -128.9087 Cálculos basados en la egión de p edicción de da os. En de ini i a, an o el modelo adi i o como el mul iplica i o son adecuados pa a modeliza el po cen aje de gas o del PIB en pensiones. La p incipal i ud de es os mé odos es que a pesa de su sencillez p opo cionan unas p edicciones muy ajus adas a la ealidad. Ambos modelos quedan de inidos ma emá icamen e de la siguien e mane a: Hol -Win e s Adi i o 𝒙𝒕=(𝑳𝒕+𝒃𝒕)+𝑺𝒕 donde 33 𝑳𝒕=𝟎.𝟑𝟎𝟖𝟑𝟏(𝒙𝒕−𝑺𝒕−𝒔)+(𝟏−𝟎.𝟑𝟎𝟖𝟐𝟏)(𝑳𝒕−𝟏+𝒃𝒕−𝟏) 𝒃𝒕=𝟎.𝟑𝟐𝟕𝟓𝟕(𝑳𝒕−𝑳𝒕−𝟏)+(𝟏−𝟎.𝟑𝟐𝟕𝟓𝟕)𝒃𝒕−𝟏 𝑺𝒕=𝟎.𝟐𝟔𝟓𝟒𝟗(𝒙𝒕−𝑳𝒕)+(𝟏−𝟎.𝟐𝟔𝟓𝟒𝟗)𝑺𝒕−𝒔 Hol -Win e s Mul iplica i o 𝒙𝒕=(𝑳𝒕+𝒃𝒕)×𝑺𝒕 donde 𝑳𝒕=𝟎.𝟐𝟖𝟑𝟔𝟕𝒙𝒕 𝑺𝒕−𝒔+(𝟏−𝟎.𝟐𝟖𝟑𝟔𝟕)(𝑳𝒕−𝟏+𝒃𝒕−𝟏) 𝒃𝒕=𝟎.𝟑𝟔𝟓𝟎𝟑(𝑳𝒕−𝑳𝒕−𝟏)+(𝟏−𝟎.𝟑𝟔𝟓𝟎𝟑)𝒃𝒕−𝟏 𝑺𝒕=𝟎.𝟏𝟑𝟕𝟗𝟑𝒙𝒕 𝑳𝒕+(𝟏−𝟎.𝟏𝟑𝟕𝟗𝟑)𝑺𝒕−𝒔 El siguien e paso se á la c eación de un modelo ARIMA median e el uso de la me odología Box-Jenkins. La p incipal di icul ad de es a me odología es que, debido a la in inidad de modelos que pueden se c eados, no siemp e es ácil sabe cuál es el co ec o pa a explica la es uc u a de nues a se ie. Po ello a lo la go de los años se ha desa ollado un p ocedimien o i e a i o que pe mi e iden i ica el modelo más ap opiado (G á ico 5.6). El p oblema de es e esquema de abajo es que no siemp e conduce a esul ados únicos, po lo que dos in es igado es pod ían llega a esul ados di e en es y alidos con los mismos da os. Pa alelamen e a es a o ma manual de ac ua casi odos los p og amas es adís icos ac uales han desa ollado algo i mos que pe mi en el cálculo del mejo modelo de o ma au omá ica, aunque los esul ados no siemp e son los óp imos. Aquí ambién abaja emos con los da os desde 1995 has a 2016 pa a la c eación del modelo y los pos e io es pa a comp oba la calidad de las p edicciones. En es e caso sí que debemos comp oba si nues a se ie es es aciona ia, pues en caso con a io debe emos de di e encia egula y/o es acionalmen e. Pa a que una se ie {𝑧𝑡}𝑡≥1 sea es aciona ia debe cumpli las siguien es p opiedades: 𝜇=𝐸[𝑧𝑡] ∀ 𝑡∈ℤ+ 𝜎2=𝑉𝑎𝑟[𝑧𝑡] ∀ 𝑡∈ℤ+ 𝛾𝑡,𝑡+ℎ=𝐶𝑜𝑣[𝑧𝑡 ,𝑧𝑡+ℎ] ∀ 𝑡,ℎ∈ℤ+ 34 G á ico 5.6. Esquema gene al de abajo de la me odología Box-Jenkins En p ime luga , analiza emos si es necesa io ealiza ans o maciones pa a es abiliza la a ianza. Pa a ello u iliza emos p incipalmen e el es de Le ene, donde se pone a p ueba la hipó esis nula de igualdad de a ianzas en la población. 35 G á ico 5.7. Box-Plo a iable PGP Tabla 5.8. Tes de Le ene pa a homogeneidad de la a ianza PGP ANOVA de des iaciones absolu as de las medias de g upo Fuen e DF Suma de cuad ados Cuad ado de la media F-Valo P > F Yea 24 0.2813 0.0117 0.69 0.8558 E o 275 4.6383 0.0169 Teniendo en cuen a el G á ico 5.7 y la Tabla 5.8, de e minamos que no hay e idencias es adís icamen e signi ica i as pa a echaza la homocedas icidad. Luego los da os son cons an es en a ianza y no hace al a ealiza ninguna ans o mación. Obse amos aho a que la se ie no es es aciona ia, lo cual se pone de mani ies o en el len o dec ecimien o de su ACF, an o egula como pe iódica, y en que no podemos echaza la hipó esis nula de la exis encia de aíces uni a ias median e la p ueba de Dickey-Fulle . G á ico 5.8. ACF y PACF a iable PGP 36 Tabla 5.9. P uebas aumen adas de la aíz unidad de Dickey-Fulle a iable PGP Tipo Rho P < Rho Tau P < Tau F P > F Ze o Mean 0.0249 0.6882 0.03 0.6923 Single Mean -13.0799 0.0617 -2.50 0.1172 3.21 0.2493 Tendencia -36.2181 0.0016 -4.40 0.0025 9.71 0.0010 Po an o, omamos la decisión de que debemos ealiza p ime o una di e enciación o dina ia, y luego una di e enciación pe iódica. Si hubié amos p ocedido di e enciando p ime o es acionalmen e, hab íamos llegado ambién a la conclusión de que eníamos que di e encia después egula men e. G á ico 5.9. ACF y PACF a iable PGP (1,12) Tabla 5.10. P uebas aumen adas de la aíz unidad de Dickey-Fulle a iable PGP (1,12) Tipo Rho P < Rho Tau P < Tau F P > F Ze o Mean -419.378 0.0001 -28.55 <.0001 Single Mean -419.368 0.0001 -28.50 <.0001 406.13 0.0010 Tendencia -419.377 0.0001 -28.45 <.0001 404.67 0.0010 Aho a que ya podemos deci que la se ie PGP (1,12) es es aciona ia, p ocedemos a es ima el mejo modelo posible que log e iden i ica la es uc u a de la se ie. Pa a a anza en la búsqueda hacia ese modelo ideal, u iliza emos la ACF, PACF, la signi ica i idad de los coe icien es es imados, el es adís ico de Box.Ljung y los es adís icos de in o mación. 37 Tabla 5.11. Elección del Mejo Modelo MODELO Box- Ljung ¿Son signi ica i os odos los coe icien es? SBC ¿Es álido el modelo? PASO 1. MODELO DE PARTIDA 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟎,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟎)𝟏𝟐 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟎,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟎)𝟏𝟐 <.0001 SI -607.134 NO 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟏,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟎)𝟏𝟐 <.0001 SI -671.506 NO 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟎,𝟏,𝟏)(𝟎,𝟏,𝟎)𝟏𝟐 <.0001 SI -657.04 NO 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟎,𝟏,𝟎)(𝟏,𝟏,𝟎)𝟏𝟐 <.0001 SI -669.244 NO 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟎,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 <.0001 SI -695.577 NO PASO 2. MODELO DE PARTIDA 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟎,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟏,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 <.0001 SI -733.635 NO 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟎,𝟏,𝟏)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 <.0001 NO -701.087 NO 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟎,𝟏,𝟎)(𝟏,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 <.0001 SI -713.115 NO PASO 3. MODELO DE PARTIDA 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟏,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟐,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.0005 SI -738.519 NO … … … … … PASO 4. MODELO DE PARTIDA 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟐,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟑,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.0030 SI -738.592 NO … … … … … PASO 5. MODELO DE PARTIDA 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟑,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟒,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.0316 SI -739.256 NO … … … … … PASO 6. MODELO DE PARTIDA 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟒,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟓,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.2876 SI -744.263 SI … … … … … PASO 7. MODELO DE PARTIDA 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟓,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟔,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.7103 SI -748.083 SI … … … … … PASO 8. MODELO DE PARTIDA 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟔,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟕,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.9158 SI -749.69 SI 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟔,𝟏,𝟏)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.6675 NO -743.176 NO 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟔,𝟏,𝟎)(𝟏,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.6691 NO -742.424 NO PASO 9. MODELO DE PARTIDA 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟕,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟖,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.9039 NO -746.079 NO 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟕,𝟏,𝟏)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.8702 NO -745.088 NO 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟕,𝟏,𝟎)(𝟏,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 0.9093 NO -744.103 NO PASO 10. MODELO FINAL 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟕,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 A lo la go de es e p oceso i e a i o de e minamos que el mejo candida o pa a modeliza nues a se ie es el 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(7,1,0)(0,1,1)12. A con inuación, se mues a la in o mación asociada a es e modelo. 38 Tabla 5.12. 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟕,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 Pa áme o Es imado E o es ánda Valo Ap ox P > | | Re a do MU -0.0000551 0.0023473 -0.02 0.9813 0 MA1,1 0.63297 0.05053 12.53 <.0001 12 AR1,1 -0.53578 0.05962 -8.99 <.0001 1 AR1,2 -0.10337 0.06629 -1.56 0.1201 2 AR1,3 0.12539 0.06410 1.96 0.0514 3 AR1,4 0.20318 0.06350 3.20 0.0015 4 AR1,5 0.29959 0.06448 4.65 <.0001 5 AR1,6 0.26517 0.06676 3.97 <.0001 6 AR1,7 0.16100 0.06040 2.67 0.0081 7 Tabla 5.13. Comp obación de au oco elación de esiduales (Box-Ljung) Pa a e a do Chi-cuad ado DF P > ChiSq 12 4.41 4 0.3533 18 6.79 10 0.7453 24 10.46 16 0.8415 30 12.45 22 0.9473 36 17.37 28 0.9409 42 23.33 34 0.9158 Tabla 5.14. Es adís icas de ajus e pa a la a iable PGP E o S d Es imación 0.060942 AIC -782.625 SBC -749.69 Núme o de esiduales 287 Se obse a que los pa áme os del modelo ienen un p- alo asociado muy bajo (sal o la cons an e que no impo a si es o no es adís icamen e signi ica i a); sus esiduos son no males e inco elados; y sus p edicciones se ace can mucho a los da os eales. Po an o, en es e caso ambién concluimos que el modelo 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(7,1,0)(0,1,1)12 es adecuado pa a es ima el po cen aje de gas o del PIB en pensiones. Nues o modelo queda de inido ma emá icamen e como: 39 (1+0.53578𝐿+0.10337𝐿2−0.12539𝐿3−0.20318𝐿4−0.29959𝐿5−0.26517𝐿6 −0.1600𝐿7)(1−𝐿12)(1−𝐿)𝑧𝑡=−0.00006+(1−0.63297𝐿12)𝜖𝑡 G á ico 5.10. Residuos 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟕,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 G á ico 5.11. P edicciones 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟕,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 40 Pasemos aho a a cambia de pa adigma, pa a aden a nos en la me odología mul i a ian e. El p ime pun o a a a se á la educción del núme o de a iables. En nues o caso pa imos de las siguien es se ies: Tabla 5.15. Núme o de Va iables Se ies Núme o de Va iables Desc ipción A iliados 1 Núme o de a iliados a la Segu idad Social PGP 1 Po cen aje del PIB des inado a pensiones Inmig ación 100 Flujo de inmig an es po edad Mo alidad 200 Tasa de mo alidad po edad y sexo Población 172 Población po edad y sexo Debido a que muchas de es as se ies es án muy co elacionadas, p ocede emos a ealiza una educción median e componen es p incipales. El ACP se ha á en es ases independien es: una pa a las se ies de inmig ación, o a pa a las de mo alidad y una úl ima pa a las de población. En el caso de las se ies de inmig ación, emos que al analiza los au o alo es debemos de educi a dos componen es p incipales, ya que con ello conseguimos explica más del 90% de la a iabilidad de nues os da os. Tabla 5.16. Se ie Inmig ación - Au o alo es de la ma iz de co elación Au o alo Di e encia P opo ción Acumulada 1 85.6728872 74.0499011 0.8482 0.8482 2 11.6229861 10.5404390 0.1151 0.9633 3 1.0825471 0.5065657 0.0107 0.9740 G á ico 5.12. ACP Se ie de Inmig ación 41 G á ico 5.13. Pa ones Componen es Inmig ación Las ep esen aciones g á icas nos ayudan a en ende como es án ecogidas nues as a iables iniciales en las nue as componen es. Po lo que pod íamos deci que, en gene al, la p ime a Componen e oma alo es ce canos a uno cuando son pe sonas meno es de 65 años y alo es in e io es a medida que aumen a su edad. La segunda Componen e oma alo es nega i os has a los 60 años ap oximadamen e (con el mínimo ce cano a los 20 años), pa a luego c ece ápidamen e. P ocediendo de mane a simila es ipulamos que la se ie de mo alidad puede se educida a es componen es p incipales y la se ie de población a cua o componen es p incipales. En ambos casos conseguimos explica más del 90% de la a iabilidad de nues os da os. Tabla 5.17. Se ie Mo alidad - Au o alo es de la ma iz de co elación Au o alo Di e encia P opo ción Acumulada 1 169.999371 162.356933 0.8416 0.8416 2 7.642438 3.098831 0.0378 0.8794 3 4.543607 1.884282 0.0225 0.9019 4 2.659325 0.495731 0.0132 0.9151 48 Tabla 5.22. Tes de G ange -Causali y Wald Tes DF Chi-cuad ado P > ChiSq 1 20 36.88 0.0121 2 2 4.62 0.0990 3 8 16.84 0.0318 4 6 5.72 0.4549 5 4 10.19 0.0373 6 40 71.37 0.0017 El esul ado mues a que se puede acep a que odas las a iables in e ienen di ec amen e o a a és de o as a iables en la a iable PGP y, po lo an o, las 11 a iables deben es a en el modelo. Aho a calculamos los pa áme os del modelo 𝑉𝐴𝑅(2). El p incipal p oblema de es e modelo es que iene una g an can idad de coe icien es y que muchos de ellos no son es adís icamen e signi ica i os. Po eso p ocedemos a i eliminando coe icien es de mane a i e a i a has a queda nos con un modelo con menos pa áme os, en el que odos los coe icien es sean en gene al más signi ica i os. Tabla 5.23. Es imado es del pa áme o del modelo 𝑽𝑨𝑹(𝟐) Pa áme o Es imado E o es ánda Valo P > | | Va iable CONST1 0.00099 0.00590 0.17 0.8670 1 AR1_1_1 -0.60592 0.05810 -10.43 0.0001 PGP( -1) AR1_1_7 -0.14524 0.10466 -1.39 0.1664 Mo CP1( -1) … … … .. … … AR2_11_10 -0.13126 0.02101 -6.25 0.0001 InmiCP1( -2) AR2_11_11 -0.82987 0.03338 -24.86 0.0001 InmiCP2( -2) Ya solo queda p edeci y comp oba los es adís icos de in o mación asociados al modelo. Tabla 5.24. C i e ios de in o mación 𝑽𝑨𝑹(𝟐) AICC -11533.8 HQC -13505.2 AIC -13834.1 SBC -13014.7 FPEC 1.99E-27 49 G á ico 5.19. P edicciones 𝑽𝑨𝑹(𝟐) Debido a la can idad de a iables del modelo, no amos a comp oba si odos los esiduos cumplen con los supues os de no malidad y au oco elación. En es e caso nos ald emos únicamen e de las p edicciones pa a es ipula si el modelo es o no álido. Como emos que las capacidades de p edicción del modelo son buenas, pasamos a explica b e emen e algunas de las in e acciones en e las a iables de nues o modelo. U iliza emos los impulsos pa a pode explica de mane a isual cómo in luyen unas a iables sob e o as. Los impulsos ep esen an la espues a que se p oduce en una a iable cuando en la o a se inc emen a una unidad. Si la g á ica se ace ca al pun o de equilib io o eg esa a la línea de equilib io o iginal (ce o), signi ica que la espues a de una a iable al impulso de o a a iable desapa ece, de modo que no iene un e ec o pe manen e en el iempo. G á ico 5.20. Respues a a Impulso en NAFIL de PGP 50 G á ico 5.21. Respues a a Impulso en PopCP de PGP 51 G á ico 5.22. Respues a a Impulso en Mo CP de PGP G á ico 5.23. Respues a a Impulso en PGP de PGP 52 G á ico 5.24. Respues a a Impulso en InmiCP de PGP Un ejemplo conc e o de la in e p e ación de es os esul ados es el siguien e: eniendo en cuen a que un alo ce cano a 1 en InmiCP1 se asocia a un inmig an e en edad de abaja , in e p e a emos que la llegada de inmig ación jo en p oduce una disminución del po cen aje de gas o del PIB en pensiones. Po o o lado, un alo ce cano a 1 en CP2 se asocia a un inmig an e mayo de 60 años, luego la llegada de inmig ación de más de 60 años p oduce un aumen o del po cen aje de gas o del PIB en pensiones. 4.3. Compa a i a y Selección del Mejo Modelo El p incipal obje i o de nues o es udio es p onos ica el compo amien o u u o del po cen aje de gas o del PIB que se dedica a pensiones, luego pa a de e mina qué modelo es el elegido nos guia emos p incipalmen e po la calidad de las p edicciones. Los es adís icos más comunes pa a compa a se ies empo ales son el MAE (Mean Absolu e E o o E o Absolu o Medio) y el RSME (Roo Mean Squa ed E o o E o Cuad á ico Medio). Los modelos se án mejo es cuan o meno sea su MAE o su RMSE. Ma emá icamen e se de inen como: 𝑅𝑀𝑆𝐸=√1𝑁∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖 )2 𝑁 𝑖=1 𝑀𝐴𝐸=1𝑁∑|𝑦𝑖−𝑦𝑖 | 𝑁 𝑖=1 53 Tabla 5.25. Mé icas sob e el conjun o Tes Mé ica H-W Adi i o H-W Mul iplica i o ARIMA VAR MAE 0.0257795 0.0278535 0.0202728 0.0463431 RSME 0.3665130 0.3741546 0.3473594 0.4003582 En el G á ico 5.25 emos que pa a las p ime as obse aciones el modelo VAR es el que mejo se ajus a, pe o a la go plazo pie de su capacidad p onos icado a. Po el con a io, los modelos ARIMA y Hol -Win e s son un poco peo es en el co o plazo, pe o mucho más ajus ados a la ealidad en el la go plazo. Luego eniendo en cuen a la capacidad p onos icado a a la go plazo escoge emos los modelos de Hol -Win e s o el ARIMA. G á ico 5.25. Compa a i a de P edicciones O o ac o de e minan e a la ho a de decidi el modelo a escoge es que pa a la a iable PGP enemos da os has a mediados de 2020, mien as que los da os de lujo de inmig ación o población solo es án disponibles has a diciemb e de 2018. Po an o, eniendo en cuen a la disponibilidad de da os más ac uales con los que hace las p edicciones escoge emos los modelos de Hol -Win e s o el ARIMA. Po úl imo, hay que ene en cuen a que uno de los obje i os secunda ios es pode p edeci cual se á el impac o de la c isis del COVID-19 en el sis ema de pensiones. Es o solo se puede lle a a cabo median e el uso de a iables de in e ención. Los modelos de alisado exponencial no es án implemen ados pa a el uso de a iables de in e ención, pe o los mé odos ARIMA y VAR si es án implemen ados pa a ello. Teniendo en cuen a odos los ac o es an e io es, de e minamos que el mejo modelo pa a ealiza p edicciones en nues o es udio es el modelo ARIMA. 54 4.4. P edicción Aho a calcula emos el modelo 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(7,1,0)(0,1,1)12 con odos los da os disponibles y a iable de in e ención pa a la c isis del COVID-19. Como ac ualmen e desconocemos como a a se la du ación e in ensidad de la c isis, amos a plan ea un escena io hipo é ico. Es e escena io se basa en la in o mación publicada en los úl imos meses sob e cuál es el a ance más p obable de la pandemia. Los ac o es que se han conside ado pa a elabo a es e escena io son: • Has a el p esen e, la pa e más du a de la c isis ue en e ma zo y mayo de 2020. • La mayo ía de los sec o es económicos y sociales con inúan su iendo los e ec os de la c isis, aunque de mane a menos in ensa. • En gene al los ciudadanos y las emp esas es án más concienciados y p epa ados pa a hace en e a nue os epun es, po lo que de habe los no end án la misma in ensidad que la p ime a oleada. • El desa ollo de a amien os y acunas se p e é que empiece a da sus u os a lo la go del año 2021. Po lo an o, nues o escena io de e mina á de 0 a 10 el ni el de in ensidad de la c isis en los p óximos años. Como se obse a el pico de in ensidad de la c isis se p oduce en los p ime os meses de 2020 y a descendiendo de mane a p og esi a has a que sus e ec os desapa ecen a lo la go del 2022. G á ico 5.26. In ensidad de la C isis COVID-19 55 Pa a c ea es e escena io hemos asignado a cada uno de los 120 meses (10 años) que que emos p onos ica un alo 𝑥 consecu i o del in e alo de 0 a 1, asegu ándonos de que ningún mes oma á el alo 0 o 1. Es e p oceso se ha conseguido asignando a ene o de 2020 el alo de 𝑖=1, a eb e o de 2020 el alo de 𝑖=2 y así sucesi amen e. Y luego aplicando la unción: 𝑥=𝑖/121 Finalmen e u ilizamos el alo ob enido pa a calcula la in ensidad de la c isis u ilizando la unción de densidad de una 𝐵𝑒𝑡𝑎(1.5,20), es deci , 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑡= { 0 𝑠𝑖 𝑥<0 Γ(1.5+20) Γ(1.5)Γ(20)𝑥1.5−1(1−𝑥)20−1 𝑠𝑖 𝑥∈(0,1) 0 𝑠𝑖 𝑥>1 siendo Γ la unción gamma de Eule . A con inuación, se mues an los da os ela i os a los esiduos del modelo con a iable de in e ención pa a el COVID-19 y las p edicciones ob enidas. Tabla 5.26. Comp obación de au oco elación de esiduales (Box-Ljung) Pa a e a do Chi-cuad ado DF P > ChiSq 6 . 0 . 12 4.50 4 0.3426 18 6.92 10 0.7327 24 10.67 16 0.8296 30 12.69 22 0.9414 36 17.70 28 0.9335 42 23.77 34 0.9049 56 G á ico 5.27. Residuos 𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨(𝟕,𝟏,𝟎)(𝟎,𝟏,𝟏)𝟏𝟐 con a iable de In e ención G á ico 5.28. P edicciones del Gas o en Pensiones 2020-2030 (Da os has a Junio de 2020 y con a iable de In e ención COVID-19) 57 Vemos que el modelo ARIMA con a iable de in e ención cumple con los equisi os necesa ios pa a se un modelo álido. E iden emen e aho a es imposible e alua la calidad de las p edicciones, pues son sucesos que oda ía no han ocu ido. Lo que si podemos alo a es que los in e alos de con ianza pa a el modelo son bas an e es echos pa a los 5 p ime os años. Al se unas p edicciones a la go plazo la es imación pun ual no es de g an impo ancia, ya que un in e alo de iempo an amplio con end á muchos e o es. Po eso amos a queda nos única y exclusi amen e con la endencia de la se ie. G á ico 5.29. Compa a i a de la Tendencia del Gas o en Pensiones 2020-2030 Nues o escena io ecoge una c ecida del po cen aje de PIB des inado pensiones, que se plasma en un aumen o en la endencia muy b usco du an e el p ime año pa a luego con inua su subida de o ma menos acen uada.