Computación cuántica aplicada a las finanzas

1 COMPUTACIÓN CUÁNTICA APLICADA A LAS FINANZAS TRABAJO FIN DE GRADO CURSO 2022-2023 AUTOR CINTIA Mª HERRERA ARENAS DIRECTORES GUILLERMO BOTELLA JUAN ALBERTO ANTONIO DEL BARRIO GARCÍA GRADO EN INGENIERÍA DE COMPUTADORES FACULTAD DE INFORMÁTICA UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID 2 ÍNDICE Resumen 8 Palab as cla e 9 Abs ac 9 Keywo ds 10 Capí ulo 1: In oducción 10 1.1. Mo i ación 10 1.2. Obje i os 11 1.3. Plan de abajo 12 Capí ulo 2: Es ado del A e 12 ● 2.1. Quan um Compu ing 12 ● 2.2. VQE 15 ● 2.3. Finanzas 17 ● 2.3.1. SMA S a egy 18 ● 2.3.2. Mean-Va iance op imiza ion 20 ● 2.3.3. Con ex op imiza ion 21 ● 2.3.4. IBM Finance 22 Capí ulo 3: P oblema con a iables bina ias 24 Capí ulo 4: Es udio de dis in os op imizado es 30 ● 4.1. COBYLA 30 ● 4.2. GSLS 33 ● 4.3. L_BFGS_B 35 ● 4.4. NELDER_MEAD 37 ● 4.5. ADAM 40 ● 4.6. CG 42 ● 4.7. SLSQP 43 ● 4.8. TNC 46 ● 4.9. POWELL 48 3 ● 4.10. NFT 51 ● 4.11. Conclusiones. 53 Capí ulo 5: P oblema con a iables en e as 54 Capí ulo 6: P oblema con acciones eales 57 ● 6.1. Resul ados ob enidos. 61 Capí ulo 7: Compa ación VQE con algo i mos clásicos 64 7.1. Resul ados ob enidos 65 Es udio con 27 acciones 66 Es udio con 15 acciones 68 Capí ulo 8: Conclusiones y T abajo Fu u o 70 8.1. Conclusiones 70 8.2. T abajo Fu u o 71 Chap e 8: Conclusions and Fu u e Wo k 72 8.1. Conclusions 72 8.2. Fu u e Wo k 73 Bibliog a ía 74 4 ÍNDICE DE FIGURAS Ilus ación 1. Es e a de Bloch. 11 Ilus ación 2. VQE Esquema I. 13 Ilus ación 3. VQE Esquema II. 14 Ilus ación 4. SMA Ejemplo. 16 Ilus ación 5. Mean-Va iance op imiza ion. 17 Ilus ación 6. Con ex op imiza ion. 18 Ilus ación 7. P oblema con a iables bina ias. Ejemplo pa áme os iniciales. 20 Ilus ación 8. P oblema con a iables bina ias. Modelo. 21 Ilus ación 9. P oblema con a iables bina ias. Res icciones. 21 Ilus ación 10. Ejemplo alpha=0.05 (Campana de Gauss). 22 Ilus ación 11. P oblema con a iables bina ias. Resul ados algo i mos clásico. 23 Ilus ación 12. P oblema con a iables bina ias. Resul ados algo i mo cuán ico. 23 Ilus ación 13. COBYLA G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 25 Ilus ación 14. COBYLA G á ica (maxi e =50, alpha=0.35). 25 Ilus ación 15. COBYLA G á ica (maxi e =100, alpha=0.65). 26 Ilus ación 16. COBYLA G á ica (maxi e =100, alpha=0.15). 26 Ilus ación 17. GSLS G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 27 Ilus ación 18. GSLS G á ica (maxi e =70, alpha=0.35). 27 Ilus ación 19. GSLS G á ica (maxi e =80, alpha=0.15). 27 Ilus ación 20. GSLS G á ica (maxi e =80, alpha=0.65). 28 Ilus ación 21. L_BFGS_B G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 29 5 Ilus ación 22. L_BFGS_B G á ica (maxi e =120, alpha=0.35). 29 Ilus ación 23. L_BFGS_B G á ica (maxi e =120, alpha=0.15). 29 Ilus ación 24. L_BFGS_B G á ica (maxi e =120, alpha=0.65). 30 Ilus ación 25. NELDER MEAD. Búsqueda del alo mínimo en la unción de Himmelblau. 31 Ilus ación 26. NELDER_MEAD G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 31 Ilus ación 27. NELDER_MEAD G á ica (maxi e =60, alpha=0.35). 31 Ilus ación 28. NELDER_MEAD G á ica (maxi e =60, alpha=0.15). 32 Ilus ación 29. NELDER_MEAD G á ica (maxi e =60, alpha=0.65). 32 Ilus ación 30. ADAM G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 33 Ilus ación 31. ADAM G á ica (maxi e =120, alpha=0.35). 33 Ilus ación 32. ADAM G á ica (maxi e =120, alpha=0.15). 34 Ilus ación 33. CG G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 35 Ilus ación 34. CG G á ica (maxi e =120, alpha=0.35). 35 Ilus ación 35. SLSQP G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 36 Ilus ación 36. SLSQP G á ica (maxi e =150, alpha=0.35). 36 Ilus ación 37. SLSQP G á ica (maxi e =120, alpha=0.65). 37 Ilus ación 38. SLSQP G á ica (maxi e =120, alpha=0.15). 37 Ilus ación 39. TNC G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 38 Ilus ación 40. TNC G á ica (maxi e =120, alpha=0.35). 38 Ilus ación 41. TNC G á ica (maxi e =120, alpha=0.15). 39 Ilus ación 42. TNC G á ica (maxi e =120, alpha=0.65). 39 Ilus ación 43. POWELL G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 40 Ilus ación 44. POWELL G á ica (maxi e =90, alpha=0.35). 40 Ilus ación 45. POWELL G á ica (maxi e =90, alpha=0.15). 41 6 Ilus ación 46. POWELL G á ica (maxi e =90, alpha=0.65). 41 Ilus ación 47. NFT G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 42 Ilus ación 48. NFT G á ica (maxi e =130, alpha=0.35). 42 Ilus ación 49. NFT G á ica (maxi e =130, alpha=0.15). 42 Ilus ación 50. NFT G á ica (maxi e =130, alpha=0.65). 43 Ilus ación 51. P oblema con a iables en e as. Ejemplo pa áme os iniciales. 44 Ilus ación 52. P oblema con a iables en e as. Modelo. 45 Ilus ación 53. P oblema con a iables en e as. Resul ados algo i mo cuán ico. 46 Ilus ación 54. P oblema con acciones eales. Ejemplo IBEX acciones. 47 Ilus ación 55. P oblema con acciones eales. Ejemplo IBEX acciones g á ica. 48 Ilus ación 56. P oblema con acciones eales. Resul ados g á ica. 50 Ilus ación 57. P oblema con acciones eales. Resul ados inales. 50 Ilus ación 58. P oblema con acciones eales. Resul ados i e ación. 51 Ilus ación 59. Compa ación VQE con algo i mos clásicos (27 acciones I).53 Ilus ación 60. Compa ación VQE con algo i mos clásicos (27 acciones II). 53 Ilus ación 61. Compa ación VQE con algo i mos clásicos (27 acciones III). 54 Ilus ación 62. Compa ación VQE con algo i mos clásicos (15 acciones I).54 Ilus ación 63. Compa ación VQE con algo i mos clásicos (15 acciones II). 55 Ilus ación 64. Compa ación VQE con algo i mos clásicos (15 acciones III). 55 7 Resumen En es e abajo in de g ado, se abo da el desa ío de asigna e icien emen e un p esupues o limi ado a una se ie de acciones inancie as pa a maximiza los bene icios, u ilizando el algo i mo de op imización a iacional cuán ica (VQE) y se es udian di e en es op imizado es. Se desa ollan es e siones del algo i mo VQE pa a abo da es a p oblemá ica de mane a in eg al. En la p ime a e sión, se emplea un en oque bina io, donde se decide si se escoge o no una acción. En la segunda e sión, las acciones se codi ican con un peso que indica su p opo ción. Po úl imo, en la e sión inal (híb ida), se ex aen los da os del his o ial de acciones de IBM y se combinan los dos en oques an e io es. En es a e sión, se aplica inicialmen e el algo i mo de a iables bina ias pa a selecciona las acciones óp imas y, pos e io men e, se aplica el algo i mo sob e a iables en e as pa a dis ibui el p esupues o (Budge ) de mane a óp ima en e las acciones escogidas. El p esen e TFG busca ap o echa la capacidad de los compu ado es cuán icos eales y los mé odos clásicos de op imización pa a abo da p oblemas inancie os complejos, o eciendo una solución inno ado a y p ome edo a en el campo de las inanzas cuán icas. Palab as cla e Compu ación cuán ica, VQE, inanzas, banco, acciones. 8 Abs ac In his TFG, we s udy how o e icien ly dis ibu e a limi ed budge o inancial s ocks o maximize bene i s, using he quan um a ia ional op imiza ion algo i hm (VQE), and he s udy o di e en op imize s. The e a e h ee e sions o he VQE algo i hm de eloped o comp ehensi ely app oach his issue. In he i s e sion, a bina y app oach is used, whe e i is decided i a s oke is o no chosen. In he second e sion, he s okes a e coded wi h a weigh indica ing hei p opo ion. Finally, in he inal e sion (hyb id), he IBM s ock his o y da a is ex ac ed, and he wo p e ious app oaches a e combined. In his e sion, we i s apply he bina y a iables algo i hm o selec he op imal s ocks and, la e , we apply he algo i hm on in ege a iables o dis ibu e he budge op imally among he chosen ac ions. This TFG looks o ake ad an age o he capaci y o eal quan um compu e s and classical op imiza ion me hods o app oach complex inancial p oblems, o e ing an inno a i e and p omising solu ion in he sec o o quan um inance. Keywo ds Quan um compu ing, VQE, inance, bank, s ocks. 9 Capí ulo 1: In oducción En es e capí ulo se desc ibe cómo su ge la idea de necesi a un p og ama que ayude y guíe al usua io a la ho a de in e i en acciones. Pa a ello, se ecu e a la compu ación cuán ica que, como se explica á más adelan e, p esen a una mayo en aja an e la compu ación clásica. Además, se de allan los obje i os pa a ealiza es e p oyec o. 1.1. Mo i ación En es e p oyec o se busca encon a un p og ama que ayude al usua io a la elección sob e qué acciones in e i y de qué mane a hace lo. Se ha p opues o apos a po un algo i mo cuán ico, debido a los bene icios que p esen a. La compu ación cuán ica p esen a una mayo po encia de cálculo y, jun o a la supe posición y o as p opiedades que se explica án en capí ulos pos e io es, puede ompe con muchos algo i mos de cibe segu idad ac uales. Po ello, cada ez más emp esas es án empezando a in e esa se en inco po a ecnologías c ip og á icas que p o ejan la in o mación an o en compu ado as clásicas como cuán icas. Además, g acias al escalado que los compu ado es cuán icos p esen an, son capaces de explo a con más acilidad el conjun o de odas las soluciones posibles. Es o es ú il en el ámbi o de las inanzas, en la que in luyen múl iples dimensiones pa a ene en cuen a pa a oma la mejo decisión. 16 ▪ SMA S a egy ▪ Mean-Va iance op imiza ion ▪ Con ex op imiza ion A con inuación, se explica en qué consis e cada uno. ● 2.3.1. SMA S a egy Los da os his ó icos elacionados con el p ecio de me cado de un ac i o ienen indicios de es a elacionados con cómo a ia á su p ecio en un u u o, po an o, me ece la pena p es a a ención a su his o ial a la ho a de in e i en acciones. La es a egia SMA es una he amien a de análisis écnico ampliamen e u ilizada pa a p edeci endencias de p ecios u u as median e el análisis de da os de p ecios his ó icos. El SMA es el p ecio medio de me cado de un alo du an e un pe íodo especí ico. Se le conoce como el 'mo ing' a e age ya que se aza en un g á ico ba a po ba a y o ma una línea que se mue e a lo la go del g á ico a medida que cambia el p ecio p omedio. El SMA se calcula sumando el p ecio de un alo du an e un pe íodo y luego di idiendo esa ci a po el núme o de pe íodos. Po ejemplo, suma los p ecios de cie e de un alo del mes an e io y luego di idi el o al po el núme o de días del mes. La ó mula pa a un p omedio mó il simple es: SMA = (A 1 + A 2 + A 3 + … + A N ) N 17 Ai = el p ecio del ac i o en el pe íodo i N = el núme o de pe íodos o ales (pe sonalizable) Ilus ación 4. SMA Ejemplo. SMA bene icia a los in e so es a co o y la go plazo. Sua iza la ola ilidad p omediando el p ecio del alo du an e un pe íodo de e minado y ayuda a iden i ica endencias. ● 2.3.2. Mean-Va iance op imiza ion La op imización de la a ianza media es un elemen o cla e de la in e sión basada en da os . Es el p oceso de medi el iesgo de un ac i o en e a su endimien o p obable e in e i en unción de esa elación iesgo/ endimien o. Un análisis de media- a ianza es una he amien a que los in e so es u ilizan pa a ayuda a dis ibui el iesgo en sus ca e as , que cons a de dos elemen os cla e: iesgo ( isk), exp esado como a ianza (cuán o ha cambiado el p ecio del ac i o y qué an ápido lo ha hecho du an e un pe íodo de iempo), y ecompensa ( ewa d), exp esada como e o no. 18 En él, el in e so mide el iesgo de un ac i o, y luego lo compa a con el endimien o p obable del ac i o. El obje i o de una op imización de a ianza media es maximiza la ecompensa de una in e sión en unción de su iesgo. Una ca e a op imizada debe ía gene a el mayo endimien o posible en unción de la can idad de iesgo, y gene a la meno can idad de iesgo pa a el e o no. Ilus ación 5. Mean-Va iance op imiza ion. ● 2.3.3. Con ex op imiza ion A di e encia de los análisis desc ip i os y p edic i os, que se cen an en comp ende da os pasados y p edeci esul ados u u os, los análisis p esc ip i os ienen como obje i o op imiza los p ocesos de oma de decisiones. La op imización con exa es un subcampo de la op imización ma emá ica que es udia el p oblema de minimiza unciones con exas sob e conjun os con exos. Muchas clases de p oblemas de op imización con exa admi en algo i mos de iempo polinomial, mien as que la op imización ma emá ica es en gene al NP-di ícil . 19 Un p oblema de op imización con exa es un p oblema de op imización en el que la unción obje i o es una unción con exa y el conjun o ac ible es un conjun o con exo. Su obje i o es encon a un pun o que maximice o minimice la unción obje i o. En gene al, se cumple que: ▪ odo mínimo local es un mínimo global. ▪ el conjun o óp imo es con exo. ▪ si la unción obje i o es es ic amen e con exa, en onces el p oblema iene como máximo un pun o óp imo. Ilus ación 6. Con ex op imiza ion. ● 2.3.4. IBM Finance IBM es una de las emp esas que acili a compu ado es cuán icos al usua io. De es a o ma, se pueden ejecu a p og amas ya sea en un en o no de simulación, o compu ado eal (es deci , con uido). IBM Finance es una pa e de IBM que se enca ga de in eg a , o ganiza y supe isa las ansacciones inancie as. Den o de IBM, podemos encon a qiski , que es un ki de desa ollo de so wa e c eado po IBM pa a abaja con compu ado as cuán icas a ni el de ci cui os, pulsos y algo i mos. 20 Si nos amos al sec o de inanzas, se encuen a qiski inance, que es un amewo k de código abie o que con iene componen es de ince idumb e pa a p oblemas de acciones/ alo es, aplicaciones pa a p oblemas inancie os, como la op imización de ca e a, y p o eedo es de da os pa a ob ene da os eales o alea o ios pa a expe imen os inancie os. 21 Capí ulo 3: P oblema con a iables bina ias Un p oblema con a iables bina ias es aquel en el que las a iables en e as es án es ingidas en e los alo es 0 y 1, ep esen ando el 0 la opción de no escoge una a iable, y 1 si se ha escogido. Como p ime ace camien o al p oblema, se e á un en oque simpli icado, en el cual se iene un núme o pequeño de acciones (en es e caso 6), y se iene que decidi si se escoge una acción o no (0 o 1). El algo i mo es el siguien e: P ime o, se indican las a iables iniciales y las es icciones del p oblema y lo que se quie e (en es e caso, que el núme o de acciones a escoge sea igual al Budge ). A con inuación, se ejecu a á el ci cui o n eces (haciendo uso del VQE) pa a consegui el esul ado óp imo. Como se ha mencionado, el núme o de acciones es 6, y el Budge 3. Cabe des aca que, en es e caso, al se un p oblema de a iables bina ias, el Budge es, a pa e del dine o que se dispone, el núme o de acciones a escoge . Pa a consegui queda se con la mejo solución, se ecu e a la a iable “penal y” (o penalización), la cual “p emia” los esul ados buenos, de es a mane a, se desca an soluciones lejanas a la deseada. La a iable mu (𝜇), ep esen a los e o nos espe ados de los ac i os, y sigma las co a ianzas (o des iación ípica) en e los ac i os. En la Ilus ación 7 se puede obse a un posible ejemplo de cómo se ían los pa áme os iniciales del p oblema. 22 Ilus ación 7. P oblema con a iables bina ias. Ejemplo pa áme os iniciales. A con inuación, se puede e cómo se c ea el modelo (clásico) del p oblema. En dicho modelo, se indican las es icciones del p oblema. En es e caso, se limi a cada a iable en e 0 y 1, ya que, como se ha explicado, en es e p ime modelo solo impo a escoge o no una acción. También se indica que la suma del p ecio de odas las acciones debe se igual al Budge , ya que, como se abaja con a iables bina ias y se busca maximiza el esul ado, es o solo se consigue si el núme o de acciones seleccionadas es igual al Budge . Ilus ación 8. P oblema con a iables bina ias. Modelo. 23 Finalmen e, se c ea el p oblema cuad á ico y se mues a como queda ían los pa áme os iniciales. Aquí se puede e como se de allan las es icciones que se indican, así como el cálculo pa a pode consegui el máximo bene icio. Ilus ación 9. P oblema con a iables bina ias. Res icciones. An es de ejecu a el algo i mo cuán ico, se debe aplica el penal y y con e i el p oblema en un p oblema linea . A con inuación, se p ocede a ejecu a el VQE. Como se sabe, los algo i mos cuán icos equie en ejecu a se a ias eces, ya que, debido al uido, los esul ados pueden e se a ec ados, y enemos que queda nos con el alo que más eces se epi a, ya que, ese end á más p obabilidad de se el 24 co ec o. En es e caso, se lanza 100 eces. En u u as e siones se ejecu a á un mayo núme o de eces. Como op imizado , escogemos el COBYLA (más adelan e se mos a á un es udio de cómo ac úa el algo i mo con dis in os op imizado es). Cabe des aca que, en es a p ime a ap oximación, se lanza el ci cui o en un backend local. El alpha escogido pa a es e p oblema es de 0.35 (cuan o po cen aje de los ex emos de la campana No mal de Gauss desp eciamos). Ilus ación 10. Ejemplo alpha=0.05 (Campana de Gauss). Se aplica el VQE con los pa áme os indicados y, se calcula el alo mínimo. Como se puede obse a , los esul ados ob enidos con el VQE y el ci cui o clásico son pa ecidos. Al se un p oblema “pequeño” (p oblema bina io y núme o de acciones = 6), se puede ejecu a clásicamen e, pa a ene un e e en e del esul ado óp imo, y e cuán o se ha alejado con el algo i mo cuán ico. Resul ados algo i mo clásico: 25 Ilus ación 11. P oblema con a iables bina ias. Resul ados algo i mos clásico. Resul ados algo i mo cuán ico: Ilus ación 12. P oblema con a iables bina ias. Resul ados algo i mo cuán ico. Como se puede obse a , el alo mínimo coincide con la búsqueda ealizada en un algo i mo clásico. De es os esul ados se puede conclui que, pa a el Budge dado, la solución óp ima se á escoge las acciones x0, x1, x3 y, desca a x2 y x5. 32 ▪ Con maxi e = 120 y a iando alpha. Conclusión: Si se disminuye alpha po debajo de 0.25, no encuen a la solución. Como se puede ap ecia , la g á ica es más ines able cuan o mayo sea alpha. Ilus ación 23. L_BFGS_B G á ica (maxi e =120, alpha=0.15). Ilus ación 24. L_BFGS_B G á ica (maxi e =120, alpha=0.65). ▪ Va iando alpha y maxi e . Conclusión: Con alpha = 0.15, encuen a la solución con un maxi e en e 80 y 90. Cuan o mayo sea alpha, más a da en ejecu a se. 33 ● 4.4. NELDER_MEAD Se usa pa a op imiza un ci cui o que no equie e es icciones (debido a es o, no podemos aplica lo en nues o p oblema). (Nelde , 1965) Consis e en encon a el mínimo de una unción obje i o en un espacio mul idimensional. En la Ilus ación 25 se mues a el p oceso pa a encon a el alo mínimo. Ilus ación 25. NELDER MEAD. Búsqueda del alo mínimo en la unción de Himmelblau. ▪ Con alpha = 0.35 y a iando maxi e . Conclusión: Con maxi e en e 50 y 60 encuen a la solución (mejo que GSLS). Ta da en ejecu a se pa ecido al GSLS. 34 Ilus ación 26. NELDER_MEAD G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). Ilus ación 27. NELDER_MEAD G á ica (maxi e =60, alpha=0.35). ▪ Va iando alpha y maxi e . Conclusión: Pa ece que no a ec a an o el alo de alpha, si no el del maxi e a la ho a de encon a la solución. Ilus ación 28. NELDER_MEAD G á ica (maxi e =60, alpha=0.15). 35 Ilus ación 29. NELDER_MEAD G á ica (maxi e =60, alpha=0.65). ● 4.5. ADAM Es e op imizado basado en g adien es se basa en es imaciones adap a i as de momen os de o den in e io . Además, no necesi a mucha memo ia y es in a iable al cambio de escala diagonal de los g adien es. Dicho algo i mo es usado en edes neu onales pa a mejo a el p oceso de ap endizaje de un modelo. Es e u iliza una es imación del momen o y de la magni ud de los g adien es an e io es pa a ac ualiza los pa áme os del modelo en cada i e ación, adap ando la asa de ap endizaje de cada pa áme o indi idualmen e en unción de su es imación del momen o y de la magni ud del g adien e. De es a o ma, se consigue que el modelo se ajus e de mane a más e icien e a los da os de en enamien o, aumen ando su p ecisión de p edicción. (Raul Mu illo, 2020) ▪ Con alpha = 0.35 y a iando maxi e . Conclusión: Con maxi e en e 110 y 120 encuen a la solución. Ta da más en ejecu a se que o os op imizado es (5 min). 36 Ilus ación 30. ADAM G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). Ilus ación 31. ADAM G á ica (maxi e =120, alpha=0.35). ▪ Va iando alpha y maxi e . Conclusión: Con alpha meno de 0.20 no encuen a la solución. Ilus ación 32. ADAM G á ica (maxi e =120, alpha=0.15). 37 ● 4.6. CG CG es la ab e ia u a de Conjuga e G adien op imize . CG es un algo i mo pa a la solución numé ica de sis emas de ecuaciones lineales cuyas ma ices son simé icas y de inidas posi i as. Dicho algo i mo i e a i o u iliza la suposición inicial pa a gene a una secuencia de mejo as de soluciones ap oximadas pa a un p oblema, en el cual, cada ap oximación se de i a de las an e io es. Es e op imizado es bueno pa a p oblemas sin es icciones (debido a es o, no lo podemos aplica a nues o p oblema). (Quin ana, 2022) ▪ Con alpha = 0.35 y a iando maxi e . Conclusión: Con maxi e en e 100 y 110 encuen a la solución. Ta da más que o os op imizado es en ejecu a se. Ilus ación 33. CG G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). 38 Ilus ación 34. CG G á ica (maxi e =120, alpha=0.35). ▪ Va iando alpha y maxi e . Conclusión: Pa ece que no a ec a an o el alo de alpha, si no el del maxi e a la ho a de encon a la solución. ● 4.7. SLSQP SLSQP es la ab e ia u a de Sequen ial Leas SQua es P og amming op imize , es deci , se basa en los cuad ados mínimos pa a encon a la solución mínima. (Hwang, 1989) Es e op imizado consis e en minimiza una unción de a ias a iables con cualquie combinación de lími es, es icciones de igualdad y desigualdad. SLSQP se suele usa pa a p oblemas en los que la unción obje i o y las es icciones son dos eces di e enciables con inuamen e. Sin emba go, es e op imizado ealiza una con e sión de los alo es en lo an es, lo que hace que abaje con alo es in ini os (aumen a el núme o de qubi s). ▪ Con alpha = 0.35 y a iando maxi e . Conclusión: Con maxi e en e 110 y 120 encuen a la solución. A mismo alpha que en COBYLA, necesi as mayo maxi e pa a encon a la solución. 39 Ilus ación 35. SLSQP G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). Ilus ación 36. SLSQP G á ica (maxi e =150, alpha=0.35). ▪ Con maxi e = 120 y a iando alpha. Conclusión: A di e encia de o os op imizado es como el COBYLA, pa ece que, si el maxi e es lo su icien emen e g ande, el alpha no a ec a pa a encon a la solución. 40 Ilus ación 37. SLSQP G á ica (maxi e =120, alpha=0.65). Ilus ación 38. SLSQP G á ica (maxi e =120, alpha=0.15). ▪ Va iando alpha y maxi e . Conclusión: Si se disminuye alpha, podemos encon a la solución con meno maxi e . ● 4.8. TNC TNC es la ab e ia u a de T unca ed New on, es deci , se basa en un algo i mo de New on uncado pa a minimiza una unción con a iables suje as a lími es. (S ephen G. Nash, 2000) Es e op imizado u iliza in o mación de g adien e, al igual que el CG. Se di e encia del op imizado CG, en que es e en uel e una 41 implemen ación en C y pe mi e que cada a iable enga lími es supe io es e in e io es. ▪ Con alpha = 0.35 y a iando maxi e . Conclusión: Con maxi e en e 110 y 120 encuen a la solución. Necesi a mayo maxi e pa a encon a la solución (peo que COBYLA y GSLS), y a da más que el COBYLA en ejecu a se. Ilus ación 39. TNC G á ica (maxi e =100, alpha=0.35). Ilus ación 40. TNC G á ica (maxi e =120, alpha=0.35). ▪ Va iando alpha y maxi e . Conclusión: Disminuyendo alpha, se puede encon a la solución con un meno maxi e . 48 Nue amen e, se indican las es icciones pa a el algo i mo. Al abaja con un Budge de 16, se le indica á que la suma de las acciones no debe se supe io a és e. Pa a pode adap a se al núme o de qubi s, se limi a á el alo a escoge de cada acción en e 0 y Budge -1. Se ealiza es a es a po que en caso con a io, se necesi a ía un qubi más pa a pode ep esen a el alo . El es o de las es icciones es igual que en la an e io e sión. A di e encia de la e sión an e io , en es a no se pod á ejecu a el código de un algo i mo clásico pa a e cuál se ía el esul ado óp imo y compa a esul ados, ya que, eque i ía mucho iempo debido a la can idad de cómpu o ( en aja del algo i mo cuán ico en e al clásico). Ilus ación 52. P oblema con a iables en e as. Modelo. 49 De la misma o ma que se hacía en la e sión bina ia, se debe adap a el ci cui o, y con e i lo a un p oblema lineal y elimina desigualdades. De o ma análoga a la e sión an e io , se elige el op imizado (en es e caso COBYLA). Se p ocede a lanza el ci cui o. Todo es igual a la e sión an e io , excep o que aquí se ha lanzado en un simulado (ibmq_qasm_simula o , de 32 qubi s) en ez de ejecu a lo en local. Se p ocede a “deshace ” el cambio que se hizo al p incipio sob e ajus a el Budge , y queda la can idad a in e i en cada acción. Ilus ación 53. P oblema con a iables en e as. Resul ados algo i mo cuán ico. 50 Capí ulo 6: P oblema con acciones eales En es a e sión inal, los da os son ex aídos del his o ial de acciones de IBM. Se combinan la p ime a y segunda e sión. P ime o se aplica el algo i mo de a iables bina ias pa a escoge las acciones y, después, se aplica el algo i mo sob e a iables en e as pa a la epa ición del Budge . Hay que esal a , que es necesa io ene una cuen a en IBM e iden i ica se con el ID de la cuen a de IBM pa a pode lanza el código. P ime o se ex aen los da os sob e las acciones. Se usan los da os sob e la p ime a mi ad del 2021. En es e caso, se escoge un Budge de alo 5 (núme o de acciones máximo a escoge ). A con inuación, se mues an los da os ob enidos en o ma o abla y diag ama, pa a pode ap ecia cómo cambió cada acción a lo la go de los meses. Ilus ación 54. P oblema con acciones eales. Ejemplo IBEX acciones. 51 Ilus ación 55. P oblema con acciones eales. Ejemplo IBEX acciones g á ica. A con inuación, se explica el algo i mo con el VQE. La unción ecibe como pa áme os de en ada el Budge , maxi e (núme o de i e aciones), alpha y el ac o de iesgo (p obabilidad de que un endimien o sea meno a lo espe ado, es deci , la in e sión ealizada no p opo cione la en abilidad espe ada o que la pé dida supe e la in e sión inicial). 52 En la p ime a ase (pa e bina ia), se aplica el modelo con los alo es iniciales de mu y sigma, y se aplica el VQE. De es a o ma, el algo i mo escoge á las acciones candida as pa a la siguien e ase (pa e en e a). Po an o, pa a cada mes, el algo i mo selecciona á 5 de en e odas las acciones que eciba, escogiendo las mejo es que c ea que pueden da mejo bene icio. Como se ha explicado, aho a nos debemos queda solo con las acciones escogidas en la pa e bina ia. Po an o, se ecalcula mu y sigma y el núme o de acciones pa a la siguien e ase. Pa a ello, se calculan dichos alo es pa a el núme o de acciones candida as de la ase an e io . Se uel e a aplica el modelo con el nue o alo de sigma, mu y núme o de acciones, y se aplica el VQE. Aho a que nos hemos quedado con los da os de las 5 acciones que in e esan, el algo i mo epa i á el Budge de la o ma más en able y bene iciosa posible. Al igual que se hizo en la e sión de a iables en e as, se debe “deshace ” el cambio pa a pode ob ene los esul ados co ec os. Se p ocede a ecalcula las acciones o ales, es deci , el núme o de acciones uel e a se el o iginal. ● 6.1. Resul ados ob enidos. Se ha ejecu ado el código an e io con los siguien es pa áme os: ▪ alpha = 0.35 ▪ budge = 5 ▪ Op imizado : COBYLA 53 ▪ Maxi e (núme o de uel as): 500 El esul ado inal y la g á ica son los siguien es: Ilus ación 56. P oblema con acciones eales. Resul ados g á ica. Ilus ación 57. P oblema con acciones eales. Resul ados inales. 54 De la Ilus ación 57 se pueden obse a da os como las ganancias/pé didas al año, las ganancias que se consiguie on en el mejo mes, el pe íodo en el que se lanza el algo i mo, e c. Po úl imo, se mues a una sección de la ejecución del código, pa a e los esul ados in e medios. Ilus ación 58. P oblema con acciones eales. Resul ados i e ación. La Phase 1 co esponde con los esul ados ob enidos en la selección de acciones median e acciones bina ias. Se puede obse a un a ay. Cada casilla co esponde a una acción, espec i amen e. Si el alo es 1, la acción ue elegida. 55 Po el con a io, la Phase 2 co esponde con los esul ados ob enidos en la pa e de acciones en e as. Aquí, el algo i mo decidía que peso da a cada acción (cuán o dine o epa i ). Dicho p oceso, se epi e has a comple a el pe iodo de iempo indicado. Siendo un mes po cada pa de ases. 56 Capí ulo 7: Compa ación VQE con algo i mos clásicos En es e apa ado, se ejecu a el algo i mo an e io jun o con a ios algo i mos clásicos, y se compa an los esul ados. Po el ele ado iempo de ejecución, se ha enido que disminui el Budge a 4 (núme o de acciones a escoge en la ase del VQE). Como se explicó en capí ulos an e io es, los algo i mos clásicos con los que se han ealizado el es udio del VQE han sido los siguien es: ▪ SMA S a egy ▪ Mean-Va iance op imiza ion ▪ Con ex op imiza ion Se ha ejecu ado el VQE con los siguien es pa áme os: ▪ alpha = 0.35 ▪ budge = 4 ▪ Op imizado : COBYLA ▪ Maxi e (núme o de uel as): 250 7.1. Resul ados ob enidos Se han ealizado p uebas en dis in os escena ios: usando 27 acciones y 15 acciones del his o ial de IBM. Cabe des aca que, pa a las ejecuciones de 27 acciones, el iempo ha sido de 3-4 días, mien as que en el caso de 15 acciones el iempo de ejecución ha sido de 1-2 días. 57 El backend u ilizado en ambos casos ha sido ibmq_qasm_simula o , y se han ealizado las p uebas en en o nos sin uido. A con inuación, se mues an algunos de los esul ados ob enidos. Es udio con 27 acciones En las siguien es g á icas se pueden ap ecia los siguien es algo i mos, VQE ( ojo), SMA S a egy o abo e50sma (azul), Con ex op imiza ion ( e de), Mean-Va iance op imiza ion o classic op imiza (na anja). Ilus ación 59. Compa ación VQE con algo i mos clásicos (27 acciones I). En es a g á ica se puede ap ecia cómo el VQE ( ojo) p edice de o ma co ec a en qué acciones in e i compa ado con los o os algo i mos clásicos e, incluso, es á po encima en algunos meses. 64 Ex end/dec ease he numbe o s ocks in he IBM selec ion, and s udy how he algo i hms beha e. Make changes o code pa ame e s such as alpha, isk ac o , maxi e , e c. In case o ha ing a powe ul compu e , he numbe o s ocks o choose (budge ) could be inc eased, al hough we a e cu en ly limi ed by he numbe o qubi s ha hey o e us. 65 Bibliog a ía Ca ascal de las He as, G., He nampe ez Manso, P., Bo ella, G., & del Ba io, A. A. (2023). Back es ing quan um compu ing algo i hms o po olio op imiza ion. TechRxi . P ep in . Ca ascal, G. d. (2021). Fi s expe iences o eaching quan um compu ing. J Supe compu 77, 2770–2799 . Ca ascal, G. R. (2023). Di e en ial E olu ion VQE o C yp o-cu ency A bi age. Quan um Op imiza ion wi h many local minima. E ic R. Johns on, N. H.-S. (2019). P og amming Quan um Compu e s, 1s edi ion, O’Reilly, . Gines Ca ascal, G. B. (2023). EPJ Quan um Technol., 10 1, 13. G o e ., L. K. (1996). A as quan um mechanical algo i hm o da abase sea ch. In P oceedings o he wen y-eigh h annual ACM symposium on Theo y o Compu ing (STOC '96). Associa ion o Compu ing Machine y, New Yo k, NY, USA, 212–219. Hida y, J. D. (2019). 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