El Teorema de Burnside

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Depa amen o de Álgeb a, Geome ía y Topología TRABAJO DE FIN DE GRADO El Teo ema de Bu nside Guille mo Ga cía Sáez Di igido po Juan Ramón Delgado Pé ez, José F. Fe nando Gal án y José Manuel Gamboa Mu ube ia Cu so académico 2022-23 Mad id, a 20 de Junio de 2023 juan amón sexology Resumen. El obje i o de es e abajo es da una demos ación del Teo ema paqbde Bu nside u ilizando la Teo ía de ca ac e es. Pa a ello es necesa io desa olla la Teo ía de ep esen ación de g upos ini os, po lo que necesi a emos in oduci los concep os de módulo y el de álgeb a o anillo de un g upo ini o. Demos a emos esul ados cla es en la Teo ía de ep esen ación como el Teo ema de Maschke, el Lema de Schu y los eo emas de descomposición en ep esen aciones i educibles. Así mismo, ealiza emos un sucin o epaso de esul ados básicos de Teo ía algeb aica de núme os y es udia emos su es echa elación con los ca ac e es de las ep esen aciones, cla e en la demos ación del Teo ema de Bu nside. Abs ac . The main goal o his wo k is o gi e a sel -con ained p oo o he Bu nside’s paqbTheo em wi h Cha ac e Theo y. To achi e i we need o de elop he Rep esen a ion Theo y o Fini e G oups, which equi es o igo ous de ine concep s as modules and ing g oups. We will p o e impo an esul s as Maschke’s Theo em, Schu ’s Lemma and he decomposi ion heo ems in o i educible ep esen a ions. Addi ionally, we will make a succin e iew abou Algeb aic Numbe Theo y and i s elan ionship wi h Cha ac e Theo y, he key o he p oo o Bu nside’s Theo em. palab a I Con enido In oducción ..................................... 1 Capí ulo I. P elimina es .............................. 2 I.1. G upos ini os ................................... 2 I.2. In oducción a los módulos ............................ 5 Capí ulo II. Teo ía de ep esen ación ...................... 14 II.1. Rep esen ación de g upos. ............................ 14 II.2. Rep esen aciones i educibles. .......................... 17 Capí ulo III. Teo ía de ca ac e es ........................ 24 III.1. Ca ac e es .................................... 24 III.2. Relaciones de o ogonalidad. .......................... 28 Capí ulo IV. El Teo ema de Bu nside ...................... 33 IV.1. Núme os algeb aicos y ca ac e es ........................ 33 IV.2. Demos ación del Teo ema ........................... 36 IV.3. Conclusiones ................................... 39 Bibliog a ía ...................................... 41 palab a 1 In oducción Así como los núme os p imos son los lad illos con los que se cons uyen los núme os na u ales, de mane a simila podemos conside a a los g upos simples como los lad illos de los g upos ini os. Conc e amen e, odo g upo ini o Gadmi e una se ie de composición o o e de subg upos no males {1G}=G0G1· · · Gm=G, al que Gi+1/Gies simple pa a 0≤i≤m−1, y el Teo ema de Jo dan-Hölde nos dice que odas las se ies de composición son equi alen es, es deci , ienen la misma longi ud y ac o es isomo os. A pa i de es e impo an e esul ado demos ado a inales del siglo XIX su gie on dos impo an es p oblemas en Teo ía de g upos. 1. Clasi ica odos los g upos simples. 2. Mé odos de cons ucción de g upos a pa i de los g upos simples. En e inales del siglo XIX y p incipios del XX, los es ue zos de ma emá icos como O o Hölde , F ank Nelson Cole y William Bu nside, log a on clasi ica odos los g upos sim- ples de o den meno o igual que 1092. Un esul ado de Hölde que dice que un g upo cuyo o den es el p oduc o de dos o es p imos dis in os es esoluble, lle ó a Bu nside a p egun a se si exis en g upos no abelianos simples de o den impa y si hay g upos no abelianos simples cuyo o den sea di isible po menos de es p imos dis in os. En 1904, Bu nside espondió ambas cues iones cuando p obó su céleb e Teo ema, que dice que o- do g upo cuyo o den sea di isible po exac amen e dos p imos dis in os es esoluble. La demos ación de Bu nside in oluc a la Teo ía de la ep esen ación y la, has a en onces desconocida, Teo ía de ca ac e es, que Bu nside desa olla eno memen e du an e sus in- en os po demos a el esul ado. No se ía has a la década de 1970 que los ma emá icos Goldschmid , Bende y Ma suya- ma log a an una demos ación del Teo ema median e écnicas pu amen e de Teo ía de g upos. 2 CAPÍTULO I P elimina es I.1. G upos ini os En es a p ime a sección in oducimos algunos de los concep os básicos de la Teo ía de G upos, así como los concep os de clases de conjugación y esolubilidad de g upos, muy impo an es en la demos ación del Teo ema de Bu nside. De iniciones I.1.1.Un g upo es el pa o mado po un conjun o Gy una ope ación G×G→G; (a, b)7→ ab, que cumple las siguien es condiciones: 1. (ab)c=a(bc),pa a cualesquie a a, b, c ∈G. (P opiedad asocia i a). 2. Exis e un elemen o eG∈G, denominado elemen o neu o de G, al que aeG=eGa= apa a odo a∈G. Si no exis e ambigüedad ace ca del g upo, es e elemen o se suele deno a po 0si la ope ación es adi i a o po 1si es mul iplica i a. Es inmedia o e que dicho elemen o es único. 3. Pa a cada a∈Gexis e un elemen o a−1∈G al que aa−1=a−1a=eG. Se dice que a−1es el in e so de a. Es inmedia o p oba que el in e so de un elemen o es único, y que si a−1es el in e so de a∈G, en onces (a−1)−1=a. Se dice que dos elemen os g, h ∈Gconmu an si gh =hg. Si cada pa de elemen os de G conmu an se dice que Ges un g upo abeliano. Si Ges un conjun o ini o se llama o den de Gal núme o de elemen os de G, al que se deno a po o d(G). Si el o den de Ges po encia de un núme o p imo pse dice que Ges un p-g upo. De inición I.1.2.Un subconjun o Hde un g upo Gse dice subg upo de Gsi, con la misma ope ación de G, es un g upo. Es inmedia o e que es o equi ale a que 1G∈Hy ab−1∈Hpa a cualesquie a a, b ∈H. Pa a cada g upo G, él mismo y el conjun o {1G} son dos subg upos de G, denominados i iales. Un subg upo Hde un g upo Gse dice no mal si dado g∈Gse iene que g−1hg ∈Hpa a odo h∈H. Abusando de no ación es o suele deno a se como g−1Hg =H. Si Hes un subg upo no mal de Gse deno a á como HG. Si los únicos subg upos no males de Gson {eG}yG, se dice que Ges simple. De inición I.1.3.Un g upo Gse dice cíclico si exis e un elemen o g∈Gde modo que G={gk:k∈Z}. De inición I.1.4.Dado un subg upo Hde un g upo Gse llama cen alizado de Hen G al subg upo CG(H) := {g∈G:gh =hg, ∀h∈H}. I. P elimina es 3 Si g∈Gse denomina cen alizado de g,CG(g), al conjun o de elemen os del g upo que conmu an con g. El cen alizado de G,Z(G) := CG(G), se denomina cen o de G. De inición I.1.5.Sean Gun g upo y Hun subg upo suyo. Se de ine en Gla elación de equi alencia RHmedian e: dados a, b ∈G, decimos que aybson cong uen es po la de echa espec o de H, y esc ibimos aRHbsi y solo si ab−1∈H. De o ma análoga se de ine la elación RHse cong uen e po la izquie a espec o de Hsi dados a, b ∈Gse iene que a−1b∈H. La aplicación G/RH→G/RH, Ha 7→ a−1H, es á bien de inida y es inyec i a po que Ha =Hb si y solo si ab−1=h∈H, lo que equi ale a que b−1=a−1h, o lo que es igual, b−1H=a−1hH =a−1H. Además es e iden e que es sob eyec i a, luego es una biyección. Po ello ambos conjun os ienen el mismo ca dinal, que se denomina índice de Hen Gy que se deno a po [G:H]. De inición I.1.6.Sea Hun subg upo no mal de un g upo G. En al caso las elaciones de equi alencia an e io es coinciden, deno a emos como G/H al conjun o cocien e (común). Median e la siguien e ope ación se puede p oba que iene es uc u a de g upo G/H ×G/H →G/H, (Ha, Hb)7→ Ha ·Hb =Hab. La no malidad de Hes imp escindible pa a e que es á bien de inida. El o den del g upo cocien e es el ca dinal del conjun o cocien e, que hemos de inido como el índice, po lo an o o d(G/H) = [G:H]. I.1.a. Clases de conjugación. De iniciones I.1.7. 1. Se llama acción de un g upo Gsob e un conjun o no acío Xa cualquie homomo - ismo de g upos G→Biy(X),g7→ ˆg. Con iene obse a que es e homomo ismo induce una aplicación G×X→X, (g, x)7→ ˆg(x). Nó ese que id = ˆeGyˆg−1=ˆ g−1, po a a se de un homomo ismo. 2. Se de ine en Xla elación de equi alencia x∼ysi exis e g∈G al que y= ˆg(x). En e ec o es de equi alencia pues x∼xal se x=beG(x), si y= ˆg(x)en onces x= ˆg−1(y), y si dados x, y, z ∈Xse iene que y= ˆg(x)yz=ˆ h(y), en onces z=ˆ h◦ˆg(x). La clase de equi alencia de x∈Xse llama G-ó bi a de xbajo la acción de G, que es el conjun o OG,x ={ˆg(x) : g∈G}. Si no hay con usión espec o al g upo deno a emos Ox:= OG,x, y di emos que es la ó bi a de x. La amilia {Ox:x∈X}es una pa ición de X, y si R⊂Xes un conjun o de ep esen an es de es as clases de equi alencia, se cumple X=Fx∈ROx. En consecuencia |X|=Px∈R|Ox|. De inición I.1.8.Sean Xun conjun o no acío y Gun g upo. Se denomina es abilizado del pun o x∈Xbajo la acción de Gal subg upo S abG(x) := {g∈G: ˆg(x) = x}. Es inmedia o comp oba que es un subg upo. I. P elimina es 10 d)(x, ay)−a·(x, y) pa a x, x1, x2∈M,y, y1, y2∈Nya∈R. Sea T:= F/E. Pa a cada elemen o (x, y) de Fdeno amos a su clase en Tcomo x⊗y. Po lo an o Tes á gene ado po los elemen os de la o ma x⊗y, y de nues a de inición se desp enden las siguien es p opiedades: a)(x1+x2)⊗y=x1⊗y+x2⊗y b)x⊗(y1+y2) = x⊗y1+x⊗y2 c)(ax)⊗y=x⊗(ay) = a(x⊗y) pa a cualesquie a x, x1, x2∈M,y, y1, y2∈Nya∈R. Es deci , que la aplicación h:M×N→Tde inida como h(x, y) = x⊗yes R-bilineal. Sea aho a :M× N→Puna aplicación R-bilineal, donde Pes un R-módulo. Po se bilineal se anula en odos los gene ado es de E, en consecuencia en odo E, luego induce un homomo ismo en e R-módulos ′:T→Pbien de inido, de o ma que ( ′◦ h)(x, y) = ′(x⊗y) = (x, y). La aplicación ′queda uní ocamen e de e minada po es a condición, y po lo an o el pa (T, h)sa is ace las condiciones de la p oposición. 2. Unicidad. Sea o o pa (T′, h′)que cumple ambién es as p opiedades. Reemplazando (P, )po (T′, h′)ob enemos que exis e una única aplicación R-lineal i:T→T′ al que h′=i◦h. In e cambiando Tpo T′ob enemos que exis e una única aplicación R-lineal i′:T′→T al que h=i′◦h′. Sus i uyendo ob enemos que h=i′◦(i◦h) = (i′◦i)◦h. Recíp ocamen e ob enemos que h′= (i◦i′)◦h′. Como los pa es (T, idT),(T′,idT′) e i ican que h= idT◦hyh′= idT′◦h′, es- pec i amen e, po lo p obado en el apa ado an e io concluimos que i′◦i= idT, i◦i′= idT′. Po lo an o ambas composiciones son la iden idad, lo que implica que ies un isomo ismo. Obse ación I.2.13.El R-módulo Tcons uido a pa i de MyNse suele deno a po M⊗RN, o simplemen e M⊗Nsi no hay ambigüedad sob e el anillo Ren el que se abaja. Se puede e como un R-módulo lib e gene ado po los elemen os x⊗y, denominados enso es descomponibles. Si (xi)i∈I,(yj)j∈Json dos amilias que gene an M yN espec i amen e, en onces los elemen os xi⊗yjgene an M⊗N. En pa icula , si M yNson ini amen e gene ados, en onces ambién lo es M⊗N. Ejemplo I.2.14.Sean m, n ∈Nyd= gcd(m, n). Veamos que Zm⊗ZZn∼ =Zd. Sea la aplicación :Zm×Zn→Zdde inida como: (x+mZ, y +nZ) = xy +dZ. I. P elimina es 11 Es á bien de inida y es bilineal, luego po la p oposición an e io exis e una única aplica- ción lineal g:Zm⊗ZZn→Zd al que g((x+mZ)⊗(y+nZ)) = xy +dZ. Sea aho a la aplicación h:Zd→Zm⊗ZZnde inida como: h(l+dZ)=(l+mZ)⊗(1 + nZ). Veamos que es á bien de inida. Sean l, l′∈Z ales que l−l′∈dZ, luego exis e k∈Z al que l=l′+kd. Po la iden idad de Bézou exis en a, b ∈Z ales que d=am +bn. Sus i uyendo en la exp esión an e io ob enemos que l=l′+akm +bkn. Po lo an o: h(l+dZ) = h(l′+akm +bkn +dZ)=(l′+akm +bkn +mZ)⊗(1 + nZ) = (l′+bkn +mZ)⊗(1 + nZ) = (1 + mZ)⊗(l′+bkn +nZ) = (1 + mZ)⊗(l′+nZ) = (l′+mZ)⊗(1 + nZ) = h(l′+dZ). La aplicacion hcumple que (h◦g)((x+mZ)⊗(y+nZ)) = h(xy +dZ) = (xy +mZ)⊗(1+nZ) = (x+mZ)⊗(y+nZ). Además, (g◦h)(l+dZ) = g((l+mZ)⊗(1 + nZ)) = l+dZ. Hemos comp obado que h=g−1y po lo an o ges un isomo ismo en e Z-módulos. Ejemplo I.2.15.Sean VyWdos espacios ec o iales. De inimos una aplicación ϕ: V∗⊗W→Hom(V, W)que sob e los elemen os descomponibles del p oduc o enso ial ac úa como ϕ( ∗⊗w) = ∗,w, donde ∗,w es la aplicación lineal V→Wde inida po ∗,w(u) = ∗(u)w. Como cada elemen o de V⊗Wpuede esc ibi se como suma de enso es descomponibles es a asignación se ex iende a un homomo ismo, que deno amos ϕ. Supongamos que ∗⊗w∈ke (ϕ). En onces ∗,w(u) = ∗(u)w= 0 pa a cualquie u∈V. Si ∗es la unción 0, en onces ∗⊗w= 0 ⊗w= 0. Supongamos que ∗es no nulo, luego exis e u∈V al que ∗(u)= 0, luego necesi amos que w= 0 pa a que ∗⊗w= 0. Po lo an o ke (ϕ) = {0}yϕes inyec i a. Concluimos así que dim(Hom(V, W)) = dim(V∗⊗W), y po lo an o Hom(V, W)∼ =V∗⊗W. I.2.c. Anillos de g upos El siguien e concep o se á impo an e a la ho a de en ende las ep esen aciones de g upos. Se a a de do a a un g upo (que asumi emos ini o) de es uc u a de anillo a a és de un anillo dado. Así, un anillo de g upos es po un lado un anillo y po o o un módulo lib e cuyo anillo de escala es es el anillo a a és el cual ha sido cons uido, y una de cuyas bases es el conjun o de elemen os del g upo de pa ida. De inición I.2.16.Sea Run anillo conmu a i o con elemen o unidad 1R= 0, y sea G={g1, . . . , gn}un g upo ini o. De inimos el anillo del g upo Gcon coe icien es en R, que se deno a á po RG, como el conjun o de las sumas o males a1g1+a2g2+· · · +angn, ai∈R , 1≤i≤n I. P elimina es 12 La suma en RG se de ine componen e a componen e (a1g1+· · ·+angn)+(b1g1+· · ·+bngn) = (a1+b1)g1+· · ·+(an+bn)gnai, bi∈R , 1≤i≤n donde ai+bies la suma en el anillo R. La mul iplicación se de ine p ime o pa a las uplas (agi)(bgj)como (agi)(bgj) = (ab)gk, donde ab es el p oduc o en el anillo R, y gk=gigjes la ope ación de inida en el g upo. Es a de inición se ex iende a odas las sumas o males median e la p opiedad dis ibu i a de mane a que el coe icien e de gken el p oduc o (a1g1+· · · +angn)(b1g1+· · · +bngn)es X gigj=gk aibj Con es as ope aciones RG es un anillo uni a io cuyo elemen o unidad es 1R·e, donde ees el neu o pa a la ope ación en el g upo G.RG se á conmu a i o si y solo si Ges abeliano. Ejemplo I.2.17.Sea H={e, ¯e, i,¯ i,j,¯ j,k,¯ k}el g upo cua e nión, y conside amos el anillo de g upo RH. Un elemen o cualquie a del anillo end á dado po la siguien e suma o mal x1e+x2e+x3i+x4¯ i+x5j+x6¯ j+x7k+x8¯ k donde los xison núme os eales. Veamos un ejemplo de ope ación en el anillo del g upo: (3+π·i)·(7·k) = (3·1)(7·k)+(π·i)·(7·k) = (3·7)·(1·k)+(π·7)·(i·k) = 21·k+(7π)·(¯ j) De inimos el anillo de Hamil on como el conjun o Q={a·e+b·i+c·j+d·k:a, b, c, d ∈R}, donde i2=j2=k2=ijk =e, y la adición se de ine componen e a componen e. Nó ese que RH no es isomo o al anillo de Hamil on. Es o se debe a que en el anillo se cumplen elaciones adicionales en e los elemen os que no se cumplen en RH. Po ejemplo en el anillo de Hamil on ¯ i= 1·¯ i= 1·(−i) = −i, mien as que en el anillo de g upo ¯ i= (−1)·i pues ep esen an sumas o males dis in as. A la ho a de es udia las ep esen aciones de g upos nos in e esa á en conc e o el caso de un anillo de g upo en el que el anillo Res a su ez un cue po F. En es e caso el anillo FG, que ambién se á un FG-módulo lib e, es un espacio ec o ial sob e Fcuya base es G, y po lo an o su dimensión se á el o den del g upo G. De inición I.2.18.Sea Gun g upo ini o. Se de ine el cen o del anillo del g upo G,CG, que se deno a á como Z(CG), como el conjun o Z(CG) := {z∈CG:z = z, ∀ ∈CG}. De inición I.2.19.Sean C1, . . . , C las clases de conjugación de un g upo G. Pa a cada 1≤i≤ , de inimos Ci:= X g∈Ci g∈CG. Los elemen os C1, . . . , C de CGse denominan sumas de clase de G. I. P elimina es 13 P oposición I.2.20.Las sumas de clase de un g upo ini o Gpe enecen al cen o de CG. De hecho, o man una base de CG. Demos ación. Sean Cuna clase de conjugación de G, y g∈Gun ep esen an e de C. En onces los elemen os de Cson x−1 1gx1, . . . , x−1 gx , pa a cie os x1, . . . , x ∈G. Po lo an o C= X i=1 x−1 igxi. Pa a cualquie h∈G,h−1Ch =P i=1 h−1x−1 igxih. Si i a ía en e 1y , los elemen os h−1x−1 igxih a ían en odo Cpues o que h−1x−1 igxih=h−1x−1 kgxkh⇐⇒ x−1 igxi=x−1 kgxk. Po lo an o P i=1 h−1x−1 igxih=C, y po lo an o h−1Ch =C; es deci , hC =Ch. Tenemos que Cconmu a con odo h∈G, y po lo an o ambién conmu a con odo Ph∈Gahh∈CG, luego C∈Z(CG). Pa a la segunda pa e obse emos p ime o que C1, . . . , C , son linealmen e independien- es pues o que las clases C1, . . . , C o man una pa ición disjun a de G. Veamos aho a que gene an odo Z(CG).Sea =Pg∈Gagg∈Z(CG). Pa a h∈G(que en pa icu- la es un elemen o de CG), enemos que h =h , luego h−1 h = . Es o implica que Pg∈Gagh−1gh =Pg∈Gagg. Po lo an o pa a cada g∈Gel coe icien e agde ges igual al coe icien e ah−1gh de h−1gh. En pa icula es o implica que la asignación g7→ ages cons an e en Og, luego =P i=1 aiCi, donde aies el coe icien e de un ep esen an e de la clase de conjugación Ci. 14 CAPÍTULO II Teo ía de ep esen ación En es e capí ulo amos a in oduci los concep os básicos de la eo ía de ep esen- ación de g upos, necesa ia pa a en ende la noción de ca ac e es de g upos, pues es os úl imos es án in imamen e ligados a las ep esen aciones. Una ep esen ación de g upos asocia a cada elemen o del g upo una ma iz in e ible, luego la ope ación in e na del g upo se pod á e como una mul iplicación de ma ices usual. Ve emos ambién que una ep esen ación de un g upo Ges equi alen e a un FG-módulo sob e un cue po F. II.1. Rep esen ación de g upos. De inición II.1.1.Sean Gun g upo ini o, Fun cue po y Vun F-espacio ec o ial. De- no a emos po GL(V)al g upo o mado po los F-au omo ismos del F-espacio ec o ial V, con la ope ación composición. 1. Una ep esen ación lineal de Gen Ves un homomo ismo de g upos ρ:G→GL(V). El g ado de la ep esen ación es la dimensión de Vcomo F-espacio ec o ial. 2. Sea nun en e o posi i o. Una ep esen ación ma icial de Ges un homomo ismo de g upos ρ:G→GLn(F), donde GLn(F)es el g upo de las ma ices n×nin e ibles con coe icien es en F. 3. Una ep esen ación lineal o ma icial se dice iel si es inyec i a. Obse ación II.1.2.A pa i de aho a el é mino ep esen ación deno a á indis in amen e ep esen ación lineal o ma icial, pues en nues o con ex o ambas son equi alen es. En e ec o, si Ves un F-espacio ec o ial de dimensión ini a n, ijada una base de nues o espacio ob enemos que GL(V)∼ =GLn(F). De es a o ma oda ep esen ación lineal induce una ep esen ación ma icial y ice e sa. Ejemplo II.1.3.Sea D4={ , s | 4=s2= (s )2= 1}el g upo diéd ico de o den 8, que no es más que el g upo de sime ías del cuad ado que ienes po é ices los pun os del plano (1,1),(−1,1),(−1,−1),(1,−1), donde deno a la o ación en sen ido an iho a io de 90 g ados y sdeno a la e lexión espec o del eje ho izon al {y= 0}. Sean las ma ices R=0−1 1 0 , S =1 0 0−1, de inimos la aplicación ρ:D4→GL2(C), isj7→ RiSj, pa a 0≤i≤3y0≤j≤2. Que es un homomo ismo es inmedia o, luego ρes una ep esen ación de D4de g ado 2. II. Teo ía de ep esen ación 15 Más gene almen e si enemos Dn={ , s | n=s2= (s )2= 1}, las ma ices R=cos(2π/n)−sin(2π/n) sin(2π/n) cos(2π/n), S =1 0 0−1, y la aplicación ρ:Dn→GL2(C), isj7→ RiSj, pa a 0≤i≤n−1y0≤j≤2, nos dan una ep esen ación de g ado 2 del g upo diéd ico de o den 2n. Vamos a e aho a la elación en e FG-módulos y ep esen aciones de g upos. Sea ρuna ep esen ación de G:= {g1, . . . , gn}en un F-espacio ec o ial V. Pa a cada 1≤i≤n, ρ(gi)es un endomo ismo de V. Podemos do a a Vde es uc u a de FG-módulo si de inimos la acción del anillo de g upo FG sob e un elemen o de Vde la siguien e mane a: n X i=1 λigi!· = n X i=1 λi·ρ(gi)( ), pa a cualesquie a Pn i=1 λigi∈FG y ∈V. Vamos a e i ica que es o es en e ec o un FG-módulo. 1. ((Pn i=1 λigi)+(Pn i=1 βigi)) · = (Pn i=1(λi+βi)gi)· =Pn i=1(λi+βi)·ρ(gi)( ) = Pn i=1(λiρ(gi)( ) + βiρ(gi)( )) = Pn i=1 λiρ(gi)( ) + Pn i=1 βiρ(gi)( )=(Pn i=1 λigi)· + (Pn i=1 βigi)· . 2. Pa a p oba el segundo axioma y pa a e i a lo engo oso de la no ación lo p oba e- mos pa a la suma o mal de un único elemen o gi· =ρ(gi)( ), y el esul ado pa a la acción de FG se ex ende á de o ma lineal. Pa a es o es undamen al el hecho de que ρes un homomo ismo de g upos. (gigj)· =ρ(gigj)( ) = (ρ(gi)◦ρ(gj))( ) = ρ(gi)(ρ(gj)( )) = gi·(gj· ). 3. Aquí es cla e el hecho de que ρ(gi)sea un endomo ismo de V. (Pn i=1 λigi)·( +w) = Pn i=1 λiρ(gi)( +w) = Pn i=1 λi(ρ(gi)( ) + ρ(gi)(w)) = Pn i=1 λiρ(gi)( ) + Pn i=1 λiρ(gi)(w)=(Pn i=1 λigi)· + (Pn i=1 λigi)·w. 4. (1F·e)· = 1Fρ(e)( ) = 1F· = . Recíp ocamen e supongamos que enemos un FG-módulo V. Po se un FG-módulo en pa icula se á un F-módulo, lo que sabemos que es equi alen e a se un espacio ec o ial. Pa a cada g∈Gde inimos la aplicación ϕgde Ven Vcomo ϕg( ) = g· , donde g· iene dado po la acción del elemen o del anillo FG sob e V. Como los elemen os de F conmu an con cada uno de los g∈Gse sigue de los axiomas de módulo que pa a odos , w ∈Vy pa a odos a, b ∈F, se iene que ϕg(a +bw) = g·(a +bw) = g·(a ) + g·(bw) = a(g· ) + b(g·w) = aϕg( ) + bϕg(w). Es deci , pa a cualquie g∈G,ϕges una aplicación lineal. Si aho a de inimos ϕ:G→ End(V); g7→ ϕg, enemos que de los axiomas de módulo se desp ende que ϕ(gigj)( ) = ϕgigj( ) = (gigj)( ) = gi(gj( )) = ϕgi(ϕgj( )) = (ϕ(gi)◦ϕ(gj)( ). II. Teo ía de ep esen ación 16 Luego ϕes un homomo ismo de g upos que manda cada elemen o del g upo Gen un endomo ismo de Vque, ijando una base en V, end á dado po una ma iz. Además ϕ(g−1) = ϕ(g)−1, luego las ma ices son necesa iamen e in e ibles y po lo an o podemos e ϕcomo un homomo ismo de Gen GL(V). Así hemos p obado que un FG-módulo induce una ep esen ación de g upos. El siguien e esul ado ecoge la in o mación que hemos p obado. P oposición II.1.4.Sean Fun cue po, Gun g upo ini o y Vun conjun o. En onces V es un FG-módulo si y solo si Ves un F-espacio ec o ial y ϕ:G→GL(V) (como la hemos de inido an es)es una ep esen ación de G. De inición II.1.5.Sean Gun g upo ini o, Vun espacio ec o ial y U⊂Vun subespacio suyo. Di emos que Ues G-es able si g·u∈Upa a odo g∈G, u ∈U. Si emos Vcomo un FG-módulo, en onces se sigue de las de iniciones que sus submó- dulos son sus subespacios G-es ables. De inición II.1.6.Dos ep esen aciones de un g upo ini o Gse di án equi alen es si los FG-módulos que inducen son isomo os. Supongamos que enemos ϕ:G→GL(V)yψ:G→GL(W)dos ep esen aciones de un g upo ini o G, donde VyWson dos F-espacios ec o iales, y sea :V→W un isomo ismo en e FG-módulos. En pa icula se á un isomo ismo en e F-módulos; es deci , un isomo ismo en e espacios ec o iales, luego dim V= dim W. Po lo an o ambas ep esen aciones ienen el mismo g ado. Además, dados g∈G, ∈V enemos que (g· ) = g·( ( )) po se un isomo ismo de FG-módulos. En el lenguaje de la acción del anillo de g upo es o signi ica que (ϕ(g)( )) = ψ(g)( ( )), lo que implica que ◦ϕ(g) = ψ(g)◦ , pa a odo g∈G. En pa icula dos ep esen aciones ϕ, ψ de G sob e el mismo espacio ec o ial Vson equi alen es si y solo si exis e ∈GL(V) al que ◦ϕ(g)◦ −1=ψ(g), pa a odo g∈G. En é minos ma iciales es o se aduce en que exis e una ma iz in e ible P al que Pϕ(g)P−1=ψ(g)pa a odo g∈G. Es e hecho no es más que la exis encia de bases B1yB2en V ales que la ma iz de ϕ(g) espec o de B1coincide con la ma iz de ψ(g) espec o de B2pa a odo g∈G. De inición II.1.7.Sean ϕ:G→GL(V)yψ:G→GL(W)dos ep esen aciones de un g upo ini o Gsob e un cue po F. La suma di ec a V⊕W iene es uc u a de FG-módulo, y po an o de espacio ec o ial. Sea ρ: GL(V)×GL(W)→GL(V⊕W); (ϕ(g), ψ(g)) 7→ ϕ(g) + ψ(g).En onces el homomo ismo de GaGL(V⊕W) iene dado po ρ◦(ϕ×ψ). En é minos ma iciales es o se puede e como la aplicación g7→ ϕ(g) 0 0ψ(g). De inición II.1.8.Sean ϕ:G→GL(V)yψ:G→GL(W)dos ep esen aciones de un g upo ini o Gsob e un cue po F. De inimos la ep esen ación del p oduc o enso ial como sigue ρ:G→GL(V⊗W); g7→ ϕ(g)⊗ψ(g). Recíp ocamen e dados dos FG-módulos VyW, de inimos la acción de Gsob e el p oduc o enso ial como g·( ⊗w)=(g· )⊗(g·w), pa a cualesquie a g∈G, ∈V,w∈W. II. Teo ía de ep esen ación 17 En é minos ma iciales la ep esen ación iene dada po el p oduc o de K onecke de las ma ices de las ep esen aciones ϕyψ. Deno emos A:= ϕ(g) = {aij}yB:= ψ(g)pa a cie o g∈G, en onces el p oduc o de K onecke se de ine como A⊗B=   a11B . . . a1nB . . ..... . . an1B . . . annB   . De inición II.1.9.Sean Fun cue po, VyWdos F-espacios ec o iales y :V→W una aplicación lineal en e ellos. Se de ine la aplicación aspues a de como la aplicación lineal :W∗→V∗;ϕ7→ ϕ◦ . P oposición II.1.10.Sea Fun cue po. Sean V, W dos F-espacios ec o iales de dimen- sión ini a y :V→Wuna aplicación lineal en e ellos. Conside amos bases BV, BW en VyW, espec i amen e, y deno amos po A= (aij)a la ma iz de espec o dichas bases. En onces la ma iz de espec o de las bases duales B∗ V, B∗ Wes A . Demos ación. Si BV:= { 1, . . . , n}yBW:= {w1, . . . , wn}, en onces B∗ V:= { ∗ 1, . . . , ∗ n} yB∗ W:= {w∗ 1, . . . , w∗ n}son bases de V∗yW∗, espec i amen e. Si B= (bij)es la ma iz de espec o dichas bases se cumple que bji = ( (w∗ i))( j) = (w∗ i◦ )( j) = w∗ i( ( j)) = w∗ i m X k=1 akjwk!= m X k=1 akjw∗ i(wk) = aij. De inición II.1.11.Sea ρ:G→GL(V)una ep esen ación de un g upo ini o Gsob e un F-espacio ec o ial V. De inimos la ep esen ación dual de ρcomo el homomo ismo ρ∗:G→GL(V∗); g7→ (ρ(g−1)) . Obse ación II.1.12.Sean Gun g upo ini o, Fun cue po y VyWdos FG-módulos. En onces po las de iniciones an e io es y el Ejemplo I.4.15, enemos que Hom(V, W)con la acción g· ( ) = g (g−1 )pa a cualesquie a g∈G, ∈Hom(V, W)y ∈V, es un FG-módulo y po lo an o induce una ep esen ación. II.2. Rep esen aciones i educibles. De inición II.2.1.Sean Gun g upo ini o, Fun cue po y Vun FG-módulo. Sea ρ: G→GL(V)la ep esen ación de Gen Vasociada. Se dice que ρes educible,i educible, descomponible,indescomponible, o comple amen e educible si Vcomo FG-módulo lo es. Ejemplo II.2.2.Sea U=Cy sea Gun g upo ini o. Conside emos la acción i ial de G sob e U; es deci , g·u=upa a cualesquie a g∈G,u∈U. Es á cla o que, como CG- módulo, Ues i educible, y la ep esen ación de Gque induce se denomina ep esen ación i ial. Cla amen e en la base canónica la ma iz de la ep esen ación es la iden idad. Teo ema II.2.3 (Teo ema de Maschke).Sean Gun g upo ini o y Fun cue po cuya ca ac e ís ica no di ide al o den de G. Si Ves un FG-módulo y Ues un submódulo p opio suyo, en onces exis e un submódulo Wde V al que V=U⊕W. II. Teo ía de ep esen ación 18 Demos ación. La cla e de la demos ación es á en encon a un FG-homomo ismo π:V→U, que sea una p oyección sob e U; es deci , que cumpla que π(u) = u, pa a odo u∈U. Supongamos que exis e dicho FG-homomo ismo, y sea W:= ke π. Como πes un ho- momo ismo de FG-módulos, Wes un FG-submódulo, y de hecho es el suplemen a io de Uque buscamos. En e ec o, si ∈U∩W, en onces a su ez se cumple que π( ) = y que π( )=0, luego necesa iamen e U∩W={0}. Po o o lado dado ∈Va - bi a io, podemos esc ibi =π( ) + ( −π( )). Po de inición de π,π( )∈U, y π( −π( )) = π( )−π2( ) = π( )−π( )=0, luego −π( )∈W. Se concluye así que V=U⊕W. Pa a inaliza la demos ación necesi amos p oba que exis e dicho FG-homomo ismo. Como Ues un subespacio de Vpodemos oma una base BUde Uy comple a la has a ob ene una base Bde V. Si omamos U′el subespacio gene ado po el conjun o B BU, enemos en onces que V=U⊕U′. Sin emba go, U′pod ía no se un submódulo (un subespacio G-es able), como que emos. Sea π0:V→Ula p oyección sob e U espec o a la descomposición an e io ; es deci , π0 e i ica que π0(u+u′) = upa a cualesquie a u∈U,u′∈U′. La idea se á ob ene nues a p oyección πp omediando π0sob e G. Pa a cada g∈Gde inimos la aplicación gπ0g−1como gπ0g−1( ) = g·π0(g−1· ), pa a cada ∈V. Aquí (·)deno a la acción de los elemen os del anillo FG. Como Ues un submódulo, y po an o es G-es able, en onces la imagen de la aplicación es á con enida en U. Po o o lado, como gyg−1ac úan como aplicaciones F-lineales en onces gπ0g−1es una aplicación F-lineal. Finalmen e, como Ues G-es able, y po de inición de π0,π0(g−1·u) = g−1·u, concluimos que gπ0g−1(u) = u, pa a odo u∈U, y po lo an o es una p oyección de V sob e Ucomo espacio ec o iales. Sea aho a n:= o d(G), podemos e ncomo un elemen o de Fpues o que n=eF+n) · · · +eF, donde eFdeno a al elemen o neu o espec o del p oduc o en F. Po hipó esis nes nulo no en F, luego exis e m∈F al que nm =eF=mn. De inimos π:= mX g∈G gπ0g−1, que es de nue o una aplicación F-lineal de Ven Upo se una combinación lineal de aplicaciones F-lineales de Ven U. Como dado u∈Uyg∈Ga bi a ios enemos que gπ0g−1(u) = u, en onces π(u) = m(nu) = eFu=u. Luego πes una p oyección de V sob e U. Res a p oba que es un FG-homomo ismo, y po se una aplicación F-lineal bas a p oba que ambién espe a la acción de G; es deci , que π(h· ) = h·π( ), pa a cualesquie a h∈G, ∈V. En e ec o, π(h· ) = mX g∈G gπ0g−1(h· ) = mX g∈G gπ0(g−1·(h· )) =mX g∈G h(h−1g)π0((g−1h)· ) = mX k∈G h·kπ0k−1( ) = h·π( ), donde k:= h−1gpa a odo g∈G ambién eco e odo G. II. Teo ía de ep esen ación 19 Co ola io II.2.4.Sean Gun g upo ini o, VyWdos CG-módulos, y g:V→Wun CG- homomo ismo. En onces exis e un submódulo Ude V al que V=U⊕ke g e i icando que U∼ =im g. Demos ación. Po se ke gun submódulo de Vy po el Teo ema de Maschke, exis e un submódulo Ude V al que V=U⊕ke g. De inimos aho a una aplicación ˆg:U→ im g, u 7→ g(u), que se á un CG-homomo ismo po se lo g. Si u∈ke ˆg, en onces u∈ ke g∩U={0},luego ke ˆg={0}. Sea aho a w∈∈ g, luego w=g( )pa a cie o ∈V. Esc ibimos =u0+u, con u0∈ke gyu∈U. En onces w=g( ) = g(u0+u) = g(u0) + g(u) = g(u) = ˆg(u), y po lo an o im ˆg= im g. Tenemos así que ˆges un CG-isomo ismo; es deci , U∼ = im g. Lema II.2.5 (Lema de Schu ).Sean Gun g upo ini o, Fun cue po, y VyWdos FG- módulos i educibles. Sea :V→Wun FG-homomo ismo. En onces: V∼ =Woke =V. Si V=W, en onces pa a odo ∈V, ( ) = z pa a algún z∈C. Demos ación. Pa a la p ime a pa e, sean g∈Gy ∈ke . En onces g· ∈ke ya que (g· ) = g· ( ) = 0. Po lo an o ke es un subespacio G-es able de V, luego es un submódulo suyo. Como Ves i educible en onces o bien ke ={0}o bien ke =V. Po o o lado im es un submódulo de W, y como Wes i educible en onces o bien im ={0}o bien im =W. Es o implica que o los dos FG-módulos son isomo os o que la aplicación es nula. Pa a la segunda pa e eamos como una aplicación F-lineal en e los espacios ec o iales VyW, y ijando bases BVyBWen VyW, espec i amen e, deno amos po Aa la ma iz de espec o dichas bases. Sea g( ) = de (A− I)su polinomio ca ac e ís ico. Po se Calgeb aicamen e ce ado el polinomio g end á al menos una aíz en C; es deci , exis e z∈C al que de (A−zI)=0y po lo an o ke ( −z·idV)= 0. Po el apa ado an e io enemos que ke ( −z·idV) = V, luego =z·idV. Co ola io II.2.6.Sean Gun g upo ini o, Vun CG-módulo i educible y z∈Z(CG). En onces exis e λ∈C al que z· =λ , pa a cualquie ∈V. Demos ación. Sean ∈CGy ∈V. En onces ( z)· = (z )· , luego la unción 7→ z· es un CG-au omo ismo de V. Po el Lema de Schu es e au omo ismo es de la o ma λidVpa a algún λ∈C. Teo ema II.2.7 (Teo ema de descomposición).Sean Gun g upo ini o, Fun cue po cuya ca ac e ís ica no di ide al o den de G, y Vun FG-módulo lib e de ango ini o. En onces Ves comple amen e educible. Demos ación. Que Vsea un FG-módulo lib e de ango ini o es equi alen e a que V enga dimensión ini a como F-espacio ec o ial. Si la dimensión de Ves 1en onces es i educible y po lo an o es comple amen e educible pues V=V⊕0. Supongamos que III. Teo ía de ca ac e es 26 Demos ación. Sea g∈G al que o d(g) = m. Si ρ(g) = zIncon z∈C, en onces como In= ρ(eG) = ρ(gm) = ρ(g)m=zmIn, en onces zes una aíz m-ésima de la unidad. Como χ(g) = (zI) = nz, en onces |χ(g)|=n=χ(eG). Recíp ocamen e supongamos que |χ(g)|=χ(eG). Po la P oposición III.1.4 χ(g) = ζ1+· · · +ζn, donde cada ζies una aíz m-ésima de la unidad. En onces |χ(g)|=|ζ1+· · ·+ζn|=χ(eG) = n. Reco demos que pa a cualesquie a z1, . . . , zn∈Cse iene que |z1+· · · +zn| ≤ |z1|+· · · +|zn|, dándose la igualdad únicamen e si odos los zison iguales. Como |ζi|= 1 pa a odo 1≤i≤n, se deduce que ζi=ζjpa a cualesquie a 1≤i, j ≤n. Tomando z:= ζ1 se iene el esul ado. Si g∈ke ρ, en onces ρ(g) = In, luego χ(g) = n=χ(eG). Recíp ocamen e si χ(g) = χ(eG), en onces po lo an e io ρ(g) = zInpa a algún z∈C. Es o implica que χ(g) = zχ(eG), luego z= 1. Po lo an o ρ(g) = In, lo que implica que g∈ke ρ. Lema III.1.6.Sean Gun g upo ini o con elemen o neu o eG,g∈GyOgla clase de conjugación de g. Sea Uun CG-módulo i educible, y sea χel ca ac e de su ep esen ación asociada. En onces Og·u=λu pa a odo u∈U, donde λ=|G|χ(g) |CG(g)|χ(eG). Demos ación. Como Ogpe enece al cen o de CG, en onces po el Co ola io II.2.6, exis e λ∈C al que Og·u=λu pa a cualquie u∈U; es deci ,  X x∈Og x ·u=λu. Sea ρla ep esen ación de Gasociada a U. Si ijamos una base Bde U, pa a cada g∈G, podemos e ρ(g)como una ma iz con coe icien es complejos. Se sigue de lo an e io que Px∈Ogρ(x) = λI. Tomando azas enemos que Px∈Ogχ(x) = λχ(eG), y como χes cons an e en cada clase de conjugación de Gob enemos que |Og|χ(g) = λχ(eG). Como |Og|=|G:CG(g)|, despejando λse ob iene el esul ado buscado. P oposición III.1.7.Sean ϕ, ψ dos ep esen aciones de Gen VyW, espec i amen e, y g∈G. En onces: χϕLψ(g) = χϕ(g) + χψ(g), χϕNψ(g) = χϕ(g)χψ(g), χϕ∗(g) = χϕ(g), donde V⊕WyV⊗Wdeno an la suma di ec a y p oduc o enso ial como FG-módulos, espec i amen e. III. Teo ía de ca ac e es 27 Demos ación. 1. Como ya imos la ep esen ación de la suma di ec a de ep esen aciones iene dada ma icialmen e po la ma iz po bloques diagonal con en adas ϕ(g)yψ(g)pa a odo g∈G. Po lo an o su ca ac e end á dado po la aza de es a ma iz, que no es más que la suma de las azas de las ep esen aciones ϕyψ; es deci , la suma de χϕ(g)yχψ(g). 2. Como ya imos la ep esen ación ma icial del p oduc o enso ial iene dado po el p oduc o de K onecke de las ep esen aciones de ϕyψ. Fijado g∈G, en onces la aza de ϕ(g)⊗ψ(g)se á (ϕ(g)⊗ψ(g)) = n X i=1 ϕ(g)ii · (ψ(g)) = (ϕ(g)) · (ψ(g)). Po an o el ca ac e del p oduc o enso ial de ep esen aciones es el p oduc o de los ca ac e es de dichas ep esen aciones. 3. χϕ∗(g) = (ϕ∗(g)) = (ϕ(g−1) ) = (ϕ(g−1)) = χϕ(g−1) = χϕ(g) De inición III.1.8 (Tabla de ca ac e es).Sean χ1, . . . , χklos ca ac e es i educibles de G, y sean g1, . . . , g unos ep esen an es de las clases de conjugación de G. La ma iz de o den k× cuya ij-ésima en ada es χi(gj), pa a odo i, j con 1≤i≤k,1≤j≤ , se llama abla de ca ac e es de G. Encima de la ma iz se dispone una ila con las clases de conjugación de Gy el núme o de elemen os que hay en cada una. Ejemplo III.1.9.Re omamos el ejemplo II.2.6 con las mismas no aciones, y abaja emos du an e el ejemplo con la bases canónicas {1}en el caso de Cy{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} en el caso de C3. La ep esen ación i ial asocia cada elemen o del g upo con la ma iz iden idad de o den 1×1, luego el ca ac e de dicha ep esen ación es igual a 1cons an- emen e en cada elemen o del g upo. Sean Ila ep esen ación i ial, Ala ep esen a- ción al e nan e, inducida po el espacio U′,Pla ep esen ación al e nan e inducida po C3=U⊕V, y P′la ep esen ación inducida po el espacio V. Como dim U′= 1 y dim V= 2, en onces si iden i icamos al elemen o neu o de S3con la pe mu ación id, enemos que χA(id) = 1 yχP′(id) = 2. Como (12) y(123) son pe mu aciones impa y pa , espec i amen e, enemos que χA((12)) = −1yχA((123)) = 1. La ma iz de P((12)) es de la o ma   0 1 0 1 0 0 0 0 1 , luego χP((12)) = 1. De mane a simila la ma iz de P(123) se á   0 0 1 1 0 0 0 1 0 , y po lo an o χP((123)) = 0. Como C3=U⊕V, enemos que χP′((12)) = χP((12)) − χI((12)) = 1 −1 = 0, y que χP′((123)) = χP((123)) −χI((123)) = 0 −1 = −1. Luego la III. Teo ía de ca ac e es 28 abla de ca ac e es de S3queda como S3id[1] (12)[3] (123)[2] I1 1 1 A1−1 1 P′2 0 −1 III.2. Relaciones de o ogonalidad. El conjun o de unciones de clase en e un g upo ini o Gy un cue po F o ma un F-espacio ec o ial. Vamos a e qué lo podemos do a de un p oduc o in e no, que en el caso de que el cue po Fsea Cse á he mí ico. De inición III.2.1.Sea Vun C-espacio ec o ial. Un p oduc o in e no he mí ico es una aplicación ⟨·,·⟩ :V×V→C, que cumple lo siguien e pa a cualesquie a x, y, z ∈V, a, b ∈C: 1. ⟨x, y⟩=⟨y, x⟩, 2. ⟨ax +by, z⟩=a⟨x, z⟩+b⟨y, z⟩, 3. ⟨x, ay +bz⟩=a⟨x, y⟩+b⟨x, z⟩, 4. Si x= 0, en onces ⟨x, x⟩>0. De inición III.2.2.Sea Gun g upo ini o. Deno amos po CC(G)al conjun o de unciones de clase de un g upo ini o Ga alo es en C. El conjun o CC(G)es un subespacio del espacio ec o ial de unciones de Gen C, y una base end á dada po aquellas unciones que oman el alo 1en una clase de conjugación y ce o en el es o de clases de conjugación de G. Luego si G iene clases de conjugación, dim CC(G) = . De inición III.2.3.Dados , g ∈CC(G)de inimos el p oduc o ⟨ , g⟩:= 1 o d(G)X h∈G (h)g(h). Es u ina io comp oba que se a a de un p oduc o in e no he mí ico. Como sabemos que el ca ac e de una ep esen ación es una unción de clase enemos un p oduc o in e no de ca ac e es asociados a ep esen aciones de un g upo ini o G. Po la P oposición III.1.4 la exp esión del p oduc o in e no queda como ⟨χρ, χψ⟩=1 o d(G)X g∈G χρ(g)χψ(g−1), donde ρyψson dos ep esen aciones de G. De la P oposición III.1.4, usando el hecho de que χρ(g−1) = χρ(g), y que G={g−1:g∈G}, se deduce que ⟨χρ, χψ⟩=⟨χψ, χρ⟩, luego en pa icula es un núme o eal. A pa i de aho a deno a emos ca ac e es asociados a ep esen aciones de Gsin especi ica la ep esen ación pa a no eca ga la no ación. III. Teo ía de ca ac e es 29 P oposición III.2.4.Sea Gun g upo ini o con clases de conjugación, y sea R= {g1, . . . , g }un conjun o de ep esen an es. Sean χyψdos ca ac e es asociados a dos ep esen aciones de G. En onces se cumple que ⟨χ, ψ⟩= X i=1 χ(gi)ψ(g−1 i) o d(CG(gi)). Demos ación. Sea Ogila clase de conjugación de gi. Po se los ca ac e es unciones de clase son cons an es en las clases de conjugación, luego X g∈Ogi χ(g)ψ(g−1) = |Ogi|χ(gi)ψ(g−1 i). Aho a como Ges la unión disjun a de las clases de conjugación de los elemen os de R, y |Ogi|=|G| |CG(gi)|, enemos que ⟨χ, ψ⟩=1 o d(G)X g∈G χ(g)ψ(g−1) = 1 o d(G) X i=1 X g∈Ogi χ(g)ψ(g−1) = X i=1 |Ogi| |G|χ(gi)ψ(g−1 i) = X i=1 χ(gi)ψ(g−1 i) o d(CG(gi)). De inición III.2.5.Sean Gun g upo ini o, Fun cue po y Vun FG-módulo. De inimos el conjun o VG:= { ∈V:g· = , ∀g∈G}. Lema III.2.6.Sean Gun g upo ini o y VyWdos CG-módulos. En onces HomCG(V, W) = Hom(V, W)G. Demos ación. Sean ∈HomCG(V, W)yg∈G. Po se G-lineal, se iene que pa a odo ∈V,g· ( ) = g (g−1 ) = ((gg−1) ) = ( ), luego ∈Hom(V, W)G. Recíp ocamen e, sean ∈Hom(V, W)Gyg∈G. Como queda ijo po la acción de g, se iene que dado ∈V,g ( ) = g ((g−1g) ) = g (g−1(g )) = g· (g ) = (g ), luego ∈HomCG(V, W). Teo ema III.2.7 (O ono malidad de ca ac e es).Sean Gun g upo ini o, VyWdos CG- módulos i educibles y χyψlos ca ac e es de sus ep esen aciones asociadas. En onces ⟨χ, ψ⟩= 1 si V∼ =Wy⟨χ, ψ⟩= 0 en caso con a io. Demos ación. De inimos p:V→VG, 7→ 1 o d(G)Pg∈Gg· . Po las p opiedades de los módulos, pes lineal. De hecho dado h∈G, p(h· ) = 1 o d(G)X g∈G g·(h· ) = 1 o d(G)X g∈G (hgh−1)·(h· ) = h·1 o d(G)X g∈G g· =h·p( ), pues si g eco e G, en onces hgh−1 ambién lo hace. Luego pes G-lineal. Aho a, dado w∈p(V), exis e un ∈V al que w=p( ). Dado aho a h∈G, se iene que h·w=1 o d(G)X g∈G h·(g· ) = 1 o d(G)X g∈G (hg)· =1 o d(G)X k∈G k· =w, III. Teo ía de ca ac e es 30 donde k=hg ambién eco e Gsi glo hace. Así p(V)⊂VG. Po o o lado, dado ∈VG, p( ) = 1 o d(G)Pg∈Gg· =1 o d(G)Pg∈G = , luego p(V) = VG. Además, p2( ) = p(p( )) = 1 o d(G)X h∈G h· 1 o d(G)X g∈G g· ! =1 o d(G)X h∈G 1 o d(G)X g∈G g· =1 o d(G)X g∈G g· =p( ). Po lo an o pes una p oyección sob eyec i a, y enemos la siguien e descomposición V= ke p⊕VG, luego de aquí se deduce que p= dim VG. Po o o lado pse descompone como p=1 o d(G)Pg∈Gϕg, donde cada ϕg:V→V, 7→ g· . En consecuencia, p=1 o d(G)Pg∈G ϕg. Reco demos que la ep esen ación inducida po un CG-módulo es el homomo ismo de g upos ρ:G→GL(V), g 7→ ϕg, luego ρ(g) = χ(g) = ϕg, y po lo an o enemos que dim VG= p=1 o d(G)X g∈G ϕg=1 o d(G)X g∈G χ(g). Así, dim(HomCG)(V, W)) = dim(Hom(V, W)G) = 1 o d(G)X g∈G χHom(V,W )(g) =1 o d(G)X g∈G χV∗⊕W(g) = 1 o d(G)X g∈G χV∗(g)χW(g) =1 o d(G)X g∈G χ(g)ψ(g) = ⟨ψ, χ⟩=⟨χ, ψ⟩. El esul ado se sigue del Lema II.2.15. P oposición III.2.8.Sean Gun g upo ini o y Vun CG-módulo. Deno emos po χal ca ac e de la ep esen ación inducida po V. En onces Ves i educible si y solo si ⟨χ, χ⟩= 1. Demos ación. Si Ves i educible se sigue del esul ado an e io . Recíp ocamen e, su- pongamos que ⟨χ, χ⟩= 1. Conside ando la descomposición canónica V=Lk i=1 V⊕ai i, enemos que χ=a1χ1+· · · +akχk, pa a cie os ca ac e es χiy en e os no nega i os ai. Po lo an o, 1 = ⟨χ, χ⟩=⟨a1χ1+· · · +akχk, a1χ1+· · · +akχk⟩=a2 1+· · · +a2 k. Necesa iamen e exis e un único 1≤i≤k al que ai= 0 yai= 1; es deci , V∼ =Vi, luego Ves i educible. P oposición III.2.9.Sean Gun g upo ini o, y χ1, . . . , χklos ca ac e es i educibles de G. En onces los χ1, . . . , χkson ec o es linealmen e independien es en el espacio CC(G). Demos ación. Supongamos que exis en λ1, . . . , λk∈C ales que λ1χ1+· · · +λkχk= 0. Po la elación de o ogonalidad enemos que 0 = ⟨0, χi⟩=⟨λ1χ1+· · · +λkχk, χi⟩=λi, luego son linealmen e independien es. III. Teo ía de ca ac e es 31 Teo ema III.2.10.El núme o de ca ac e es i educibles de un g upo ini o Ges igual al núme o de clases de conjugación que iene G. Demos ación. Sean χ1, . . . , χklos ca ac e es i educibles de G, y sea el núme o de clases de conjugación de G. Po el esul ado an e io χ1, . . . , χkes un conjun o linealmen e independien e de CC(G), luego k≤ . Conside amos la descomposición canónica de CG en la o ma CG=W1⊕ · · · ⊕ Wk, donde cada Wi=V⊕ai ipa a una amilia {Vi}k i=1 de CG-submódulos i educibles no isomo os dos a dos. Esc ibimos 1 = w1+· · · +wk, con cada wi∈Wi. Sea aho a z∈Z(CG). Po el Co ola io II.2.6, pa a cada iexis e un λi∈C al que pa a odo ∈Vise iene que z· =λi , y po lo an o z·wi=λiwi. De es o se sigue que z=z·1 = z·(w1+· · · +wk) = λ1w1+· · · +λkwk. Es o implica que Z(CG)es á con enido en el subespacio de CGgene ado po {w1, . . . , wk}. Como dim(Z(CG)) = , se iene que ≤k, y po lo an o =k. Como co ola ios di ec os ob enemos lo siguien e. Co ola io III.2.11.Los ca ac e es i educibles χ1, . . . , χkde un g upo ini o G o man una base de CC(G). Co ola io III.2.12.La abla de ca ac e es de un g upo ini o Ges cuad ada. Re omando el Ejemplo III.1.9 man eniendo las no aciones, ya podemos demos a que U, U′yVson los únicos CS3-módulos i educibles de S3. En e ec o, S3 iene es clases de conjugación, y se iene que 1. ⟨χI, χI⟩=1 6(1 ·12+ 3 ·12+ 2 ·12)=1, 2. ⟨χA, χA⟩=1 6(1 ·12+ 3 ·(−1)2+ 2 ·12) = 1, 3. ⟨χP′, χP′⟩=1 6(1 ·22+ 3 ·02+ 2 ·(−1)2) = 1, 4. ⟨χI, χA⟩=1 6(1 ·1·1+3·1·(−1) + 2 ·1·1) = 0, 5. ⟨χI, χP′⟩=1 6(1 ·1·2+3·1·0+2·1·(−1)) = 0, 6. ⟨χA, χP′⟩=1 6(1 ·1·2+3·(−1) ·0+2·1·(−1)) = 0. Teo ema III.2.13 (Relaciones de o ogonalidad en las columnas de la abla de ca ac e es). Sean χ1, . . . , χklos ca ac e es i educibles de un g upo ini o G, y sean g1, . . . , gk ep e- sen an es de las clases de conjugación de G. En onces pa a cualesquie a , s ∈ {1, . . . , k}, se iene que k X i=1 χi(g )χi(gs) = δ s|CG(g )|, donde δ s es la Del a de K onecke . Demos ación. Pa a 1≤s≤k, de inimos ψscomo la unción de clase que sa is ace que ψs(g ) = δ s pa a 1≤ ≤k. Po el Co ola io III.2.10, exis en z1, . . . , zk∈C ales que ψs=z1χ1+· · · +zkχk. Como ⟨χi, χj⟩=δij,zi=⟨ψs, χi⟩=1 o d(G)Pg∈Gψs(g)χi(g). III. Teo ía de ca ac e es 32 Como dado g∈G,ψs(g)=1si y solo si ges conjugado de gs, y hay o d(G)/o d(CG(gs)) elemen os de Gconjugados con gs, enemos que zi=1 o d(G)X g∈Ogs ψs(g)χi(g) = χi(gs) |CG(gs)|. Po lo an o δ s =ψs(g ) = k X i=1 ziχi(g ) = k X i=1 χi(g )χi(gs) |CG(gs)|. Es e esul ado se conoce como las Relaciones de o ogonalidad en las columnas de la abla de ca ac e es. 33 CAPÍTULO IV El Teo ema de Bu nside En es a úl ima sección demos a emos el Teo ema de Bu nside, el obje i o p incipal de es e abajo, y discu i emos b e emen e su impo ancia en la clasi icación de los g upos ini os. P e iamen e necesi amos unos esul ados básicos sob e núme os algeb aicos y su elación con los ca ac e es. IV.1. Núme os algeb aicos y ca ac e es De inición IV.1.1.Un núme o algeb aico αes un núme o complejo que es aíz de un polinomio con coe icien es en Q. El polinomio mónico con coe icien es en Qde meno g ado en e los que ienen a αcomo aíz se denomina polinomio mínimo. De inición IV.1.2.Decimos que un núme o complejo αes un en e o algeb aico si es aíz de un polinomio mónico con coe icien es en Z. Deno a emos al conjun o de odos ellos como A. Pa ece na u al pensa que dado un en e o algeb aico, su polinomio mínimo end á coe i- cien es en Z. An es de p oba es e hecho, que se á undamen al pa a la P oposición IV1,4, necesi amos algunos esul ados p e ios. De inición IV.1.3.Sea ( ) := an n+· · · +a0∈Z[ ]. Decimos que es p imi i o si gcd(a0, . . . , an)=1. Lema IV.1.4.El p oduc o de dos polinomios p imi i os es p imi i o. Demos ación. Sean , g ∈Z[ ], y supongamos que exis e un p imo pque di ide a odos los coe icien es de g. Sea ϕ:Z[ ]→Zp[ ]; 7→ mod p, que es un homomo ismo de anillos. Tenemos que 0 = ϕ( g) = ϕ( )ϕ(g),y como Zp[ ]es un dominio ϕ( )=0, ó ϕ(g)=0, luego uno de los dos no es p imi i o. . Teo ema IV.1.5.Sean , g ∈Q[ ]dos polinomios mónicos ales que g ∈Z[ ]. En onces , g ∈Z[ ]. Demos ación. Sea n( espec i amen e m) el meno en e o posi i o pa a el que n ∈Z[ ] ( espec i amen e mg ∈Z[ ]). Si des el máximo común di iso de los coe icien es de n , en pa icula ddi ide al coe icien e di ec o de n , que es npo se mónico. Po lo an o n d ∈Z[ ], lo que con adice la minimalidad de n. Tenenemos en onces que d= 1 y n es p imi i o. Un azonamien o o almen e análogo nos da que mg es p imi i o. Po el Lema an e io enemos que h:= (n )(mg)=(nm) g es ambién p imi i o. Como IV. El Teo ema de Bu nside 34 g ∈Z[ ]po hipó esis, nm di ide a odos los coe icien es de h, luego nm = 1, lo que implica que n=m= 1, es deci , , g ∈Z[ ]. . P oposición IV.1.6.Sea α∈A. En onces el polinomio mínimo de αsob e Qcumple que ∈Z[ ] Demos ación. Como α∈Aexis e un polinomio mónico g∈Z[ ] al que g(α)=0. Di idiendo gen e en Q[ ]exis en c( ), ( )∈Q[ ]con 0≤deg < deg , ales que g=c· + . Como g(α) = (α) = 0 necesa iamen e (α) = 0. Si ( )= 0 exis e l∈Z al que ( )/l ∈Q[ ]es mónico de g ado meno que y con αcomo aíz, lo que con adice la minimalidad de . Po lo an o g=c· , con cmónico po se lo yg. En i ud del eo ema an e io c, ∈Z[ ]. P oposición IV.1.7.α∈Asi y solo si Z[α]es un Z-módulo lib e de ango ini o. Demos ación. Sea ( ) := n+an−1 n−1+· · · +a0el polinomio mínimo de α∈A. Po la p oposición an e io ∈Z[ ]. Los elemen os {1, α, . . . , αn−1}son Z-linealmen e independien es, pues de lo con a io exis i ían b0, . . . , bn−1∈Zno odos nulos ales que b0+b1α+· · · +bn−1αn−1= 0. Sin pé dida de gene alidad asumimos que bn−1= 0, po lo que di idiendo po dicho é mino enemos que αes aíz del polinomio mónico con coe icien es en Q g( ) := n−1+ (bn−2/bn−1) n−2+· · · + (b0/bn−1), lo que con adice la minimalidad de . Como (α) = 0 despejando ob enemos que αn=−(an−1αn−1+· · · +a0). Así, pa a cualquie m≥n enemos que αm=−(an−1αm−1+· · · +a0αm−n). Es o implica que αmes á en el Z-módulo gene ado po {1, α, . . . , αm−1}.Po inducción sob e m enemos en onces que αmes á en el Z-módulo gene ado po {1, α, . . . , αn−1}, y como el conjun o es Z-linealmen e independien e, Z[α]es lib e con base {1, α, . . . , αn−1}. Recíp ocamen e, supongamos que Z[α]es á ini amen e gene ado po el conjun o { 1(α), . . . , (α)}, i∈Z[ ]. Sea nel máximo de los g ados de los imás uno. Como αn∈Z[α]en onces exis en a1, . . . , a ∈Z ales que αn=a1 1(α) + · · · +a (α). Po an o αes aíz de un polinomio mónico con coe icien es en e os, es deci , es un en e o algeb aico. P oposición IV.1.8.Aes un subanillo de C. Además se cumple que A∩Q=Z. IV. El Teo ema de Bu nside 35 Demos ación. Pa a la p ime a pa e es su icien e con comp oba que si α, β ∈A, en onces α+β, αβ ∈A. Po el esul ado an e io enemos que an o Z[α]como Z[β]son Z-módulos lib es de ango ini o. Po lo an o Z[α, β] = Z[α][β]es lib e de ango ini o. Como Z[α+β]yZ[αβ]son submódulos de Z[α, β], po la P oposición I.3.9 ambos son Z-módulos lib es de ango ini o. En consecuencia, el esul ado se sigue de la P oposición IV.1.4. Pa a la segunda pa e, sea α∈A∩Q. En onces exis en p, q ∈Zcon s= 0 y gcd(p, q)=1 ales que α=p/q. Po se un en e o algeb aico exis e un polinomio mónico ( ) = n+an−1 n−1+· · · +a0con coe icien es en Z, al que (α)=0. Po lo an o (pn/qn) + an−1(pn−1/qn−1) + · · · +a0= 0. Mul iplicando a ambos lados po qny despejando pnllegamos a que pn=−q(an−1pn−1+a0qn−1), lo que implica que qdi ide a pn, y como son cop imos necesa iamen e q=±1, es deci , α∈Z. Co ola io IV.1.9.Sean Gun g upo ini o, Vun espacio ec o ial sob e un cue po Fyρ una ep esen ación de Gen V. En onces pa a odo g∈G,χV(g)∈A. Demos ación. Sea g∈G, y deno emos k:= o d(g). Po la P oposición III.1.4 sabemos que χV(g) = ζ1+· · · +ζχV(e), donde ζk i= 1 pa a 0≤i≤χV(e). Como cada ζies un en e o algeb aico y es os o man un anillo, en onces χV(g)∈A. Lema IV.1.10.Sea Gun g upo ini o y omamos := Pg∈Gagg∈CG, al que ag∈Z pa a odo g∈G. Sea u∈CGno nulo al que u =λu pa a algún λ∈C. En onces λ∈A. Demos ación. Sean g1, . . . , gnlos elemen os de G. En onces pa a cualquie 1≤i≤n, enemos que gi =Pn j=1 aijgjpa a cie os en e os aij. De hecho aij =agdonde g=g−1 igj. Que u =λu implica que λes un au o alo de la ma iz con coe icien es en e os A= (aij); es deci , es aíz de un polinomio mónico con coe icien es en e os. Po lo an o λ∈A. Co ola io IV.1.11.Sean χun ca ac e i educible de un g upo ini o Gcon elemen o neu o eG, y g∈G. En onces λ=|G|χ(g) |CG(g)|χ(eG)∈A. Demos ación. Sea Uun CG-módulo i educible al que el ca ac e de su ep esen ación asociada es χ. Sea Cla suma de clase de la clase de conjugación de Gque con iene a g. En onces, po el Lema III.1.6, sabemos que C·u=λu, pa a odo u∈U, y po el lema an e io λ∈A. De inición IV.1.12.Sean α∈Cun núme o algeb aico y ∈Q[ ]su polinomio mínimo. Llama emos conjugados de αa las aíces de . P oposición IV.1.13.Sean α, β ∈Cnúme os algeb aicos, y sean p, q ∈Q[ ]sus espec i- os polinomios mínimos. Sea ∈Q[ ]el polinomio mínimo de α+β. Si ces una aíz de , en onces exis en aíces a, b de p, q, espec i amen e, ales que c=a+b. Además, dado ∈Q, los conjugados de α se án de la o ma α′, donde α′es aíz de p.