Sistemas numéricos y su didáctica para maestros

Matemáticas y su Didáctica para Maestros SISTEMAS NUMÉRICOS Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS Proyecto Edumat-Maestros Director: Juan D. Godino http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ Manual para el Estudiante Edición Octubre 2002 Eva Cid Juan D. Godino Carmen Batanero Proyecto Edumat-Maestros Director: Juan D. Godino http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ SISTEMAS NUMÉRICOS Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS Eva Cid Juan D. Godino Carmen Batanero Sistemas numéricos y su didáctica 156 SISTEMAS NUMÉRICOS Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS  Los autores Departamento de Didáctica de la Matemática Facultad de Ciencias de la Educación Universidad de Granada 18071 Granada ISBN: 84-932510-4-6 Depósito Legal: GR-186-2003 Impresión: ReproDigital. Facultad de Ciencias Avda. Fuentenueva s/n. 18071 Granada. Distribución en Internet: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ Publicación realizada en el marco del Proyecto de Investigación y Desarrollo del Ministerio de Ciencia y Tecnología, BSO2002-02452. Índice 157 Índice CAPÍTULO 1: NÚMEROS NATURALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Página A: Contextualización profesional Análisis de problemas escolares sobre numeración en primaria ................ B: Conocimientos matemáticos 1.Técnicas de recuento 1.1. Situación introductoria: Instrumentos para contar ............................... 1.2. Necesidades sociales que resuelven las técnicas de contar ................. 1.3. Técnica de recuento para obtener cardinales ...................................... 1.4. Técnicas de recuento para obtener ordinales ...................................... 1.5. Orden de ordinales y cardinales .......................................................... 1.6. Principios que subyacen en las técnicas de contar .............................. 1.7. Otras técnicas de recuento: ejemplos históricos .................................. 1.8. El paso del recuento sin palabras al recuento con palabras ................. 1.9. Técnicas abreviadas de contar ............................................................. 2. Los números naturales. Diferentes usos y formalizaciones 2.1. La noción de número natural y sus usos .............................................. 2.2. Formalizaciones matemáticas de los números naturales ..................... 3. Tipos de sistemas de numeración y aspectos históricos 3.1. situaciones introductorias .................................................................... 3.2. Necesidad de aumentar el tamaño de las colecciones de objetos numéricos ................................................................................................... 3.3. Algunos ejemplos de sistemas de numeración escritos ...................... 3.4. Tipos de sistemas de numeración ....................................................... 3.5. Cambios de base en los sistemas de numeración ................................ 3.6. Características de nuestros actuales sistemas de numeración escrito y oral ............................................................................................................. 3.7. Sistemas de numeración orales: ejemplos .......................................... 3.8. Sistemas de numeración basados en colecciones de objetos: ejemplos 3.9. Sistemas de numeración basados en partes del cuerpo humano: el origen de algunas bases .............................................................................. 3.10. Otros ejemplos históricos de sistemas de numeración escritos ......... 4. Taller de matemáticas .................................................................................... C: Conocimientos didácticos 1. Orientaciones curriculares 1.1. Diseño Curricular Base del MEC ........................................................ 1.2.Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) ... 2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje 2.1. El sentido numérico y su desarrollo .................................................... 2.2. El aprendizaje de la sucesión de palabras numéricas ......................... 167 171 171 172 174 174 175 175 176 177 178 179 181 183 183 186 187 188 190 191 193 194 196 199 200 201 202 Sistemas numéricos y su didáctica 158 2.3. El aprendizaje del recuento y del significado del número como cardinal y ordinal ....................................................................................... 2.4. El aprendizaje del orden numérico ..................................................... 2.5. El aprendizaje del sistema escrito de numeración ............................. 2.6. Conocimientos previos a la enseñanza d el valor de posición de las cifras ........................................................................................................... 3. Situaciones y recursos 3.1. Situaciones de recitado de la sucesión numérica ................................. 3.2. Situaciones de cardinalidad sin recuento ............................................ 3.3. Situaciones de recuento: obtención de cardinales y ordinales ............. 3.4. Situaciones de orden numérico ............................................................ 3.5. Situaciones de lectura y escritura de números de una cifra ................ 3.6. Situaciones de lectura y escritura de números de varias cifras ........... 3.7. Materiales para el estudio de la numeración ........................................ 3.8. Recursos en Internet ............................................................................. 4. Taller de didáctica 4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas .............. 4.2. Diseño de actividades .......................................................................... 4.3. Análisis didáctico de tareas escolares ................................................. 4.4. Diagnóstico de la comprensión de la numeración decimal ................. Bibliografía ....... ............................................................................................... Página 203 204 206 208 210 211 212 213 215 216 218 221 222 222 223 224 225 CAPÍTULO 2: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN A: Contextualización profesional Análisis de problemas escolares sobre adición y substracción en primaria ...... B: Conocimientos matemáticos 1. Estructura lógica de las situaciones aditivas de una etapa 1.1. Situación introductoria ........................................................................ 1.2. Situaciones que dan sentido a las operaciones de suma y resta de números naturales ...................................................................................... 2. Formalización de la operación de adición y sustracción de números naturales ............................................................................................................ 2.1. La adición de números naturales ........................................................ 2.2. La sustracción de los números naturales ............................................ 3. Técnicas de cálculo de sumas y restas 3.1. Estrategias de obtención de sumas y restas básicas ............................ 3.2. Técnicas orales (o mentales) de suma y resta .................................... 3.3. Técnicas escritas de suma y resta ........................................................ 3.4. Justificación de las técnicas escritas de suma y resta .......................... 3.5. Otras técnicas escritas de suma y resta: ejemplos ............................... 229 231 231 235 235 236 239 239 241 242 243 Índice 159 3.6. Uso de la calculadora en la solución de problemas aditivos ..................... 4. Taller de matemáticas ................................................................................... C. Conocimientos didácticos 1. Orientaciones curriculares 1.1.Diseño Curricular Base del MEC ........................................................ 1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) ... 2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje 2.1.Desarrollo de la capacidad de recuento ................................................ 2.2.Desarrollo de la comprensión de situaciones aditivas .......................... 3. Situaciones y recursos 3.1. Secuencia didáctica de introducción de la suma y resta de números naturales ....................................................................................................... 3. 2.Situaciones aditivas concretas .............................................................. 3.3. Situaciones aditivas formales. Aprendizaje de algoritmos ................... 3.4 Recursos en Internet ............................................................................... 4. Taller de didáctica 4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas ............... 4.2. Diseño de una evaluación ................................................................... 4.3. Análisis de problemas propuestos por niños ....................................... 4.4. Análisis de estrategias aditivas de los alumnos .................................. Bibliografía ....................................................................................................... Página 244 246 249 249 252 253 256 257 259 261 262 262 262 263 264 CAPÍTULO 3: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN A: Contextualización profesional Análisis de problemas escolares sobre multiplicación y división en primaria .... B: Conocimientos matemáticos 1. Estructura de los problemas multiplicativos de una operación 1.1. Situación introductoria .......................................................................... 1.2. Clasificación de los problemas multiplicativos .................................... 1.3. Construcción de las operaciones de multiplicación y división entera de números naturales ................................................................................. 2. Formalización de la multiplicación y división de números naturales .............. 3.Técnicas de cálculo de la multiplicación y división entera 3.1. Estrategias de obtención multiplicaciones y divisiones enteras básicas 3.2. Técnicas orales y de cálculo mental de multiplicación y división entera ............................................................................................................ 3.3. Técnica escrita de multiplicación .......................................................... 3.4. Técnica escrita de división entera .......................................................... 3.5. Técnica auxiliar de estimación .............................................................. 267 269 269 271 274 275 276 277 279 Sistemas numéricos y su didáctica 160 3.6. Otras técnicas escritas de multiplicación y división entera ................... 3.7. Diferencias entre las técnicas orales y escritas ...................................... 3.8. Operaciones con calculadora ................................................................. 3.9. Potencias, raíces y logaritmos .............................................................. 4. Modelización aritmética de situaciones físicas o sociales ............................... 5. La estimación en el cálculo aritmético ............................................................. 6. Divisibilidad en el conjunto de los números naturales 6.1. Definición de divisor y múltiplo. Notaciones y propiedades ................ 6.2. Criterios de divisibilidad ....................................................................... 6.3. Números primos y compuestos ............................................................. 6.4. Técnicas para descomponer un número compuesto en factores primos 6.5 Técnica para obtener la sucesión de números primos menores que uno dado .............................................................................................................. 6.6. Técnica para comprobar si un número es primo ................................... 6.7. Técnica para obtener los divisores y múltiplos de un número .............. 6.8. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de varios números 7. Taller de matemáticas ...................................................................................... C: Conocimientos didácticos 1. Orientaciones curriculares 1.1.Diseño Curricular Base del MEC ............................................................ 1.2.Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) ...... 2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje 2.1. Progresión en el estudio de la multiplicación y división ....................... 2.2. Principales dificultades en el aprendizaje .............................................. 3. Situaciones y recursos 3. 1. Situaciones multiplicativas concretas ................................................. 3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos ................................. 3.3 Recursos en Internet ............................................................................... 4. Taller de didáctica 4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas .................. 4.2.Análisis de una prueba de evaluación ...................................................... 4.3.Análisis de estrategias de cálculo mental /oral ........................................ 4.4. Evaluación de resolución de problemas ................................................. Bibliografía .......................................................................................................... Página 280 282 282 283 284 285 287 288 290 290 291 291 292 292 294 297 299 299 300 302 303 306 307 307 307 308 309 CAPÍTULO 4: FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS A: Contextualización profesional Análisis de problemas escolares sobre fracciones y números racionales en primaria .............................................................................................................. 313 Índice 161 B: Conocimientos matemáticos 1. Fracciones y razones 1.1. Situaciones de uso de fracciones y razones ......................................... 1.2. Distinción entre fracciones y razones .................................................. 2. Equivalencia de fracciones. Números racionales ......................................... 3. Primeras propiedades del número racional positivo ...................................... 4. Operaciones con fracciones y números racionales 4.1. Suma y diferencia de fracciones y números racionales ....................... 4.2. Producto y cociente de fracciones y números racionales .................... 4.3. Orden de fracciones y racionales ....................................................... 5. Técnicas para resolver problemas de fracciones ........................................... 6. Taller de matemáticas ..................................................................................... C: Conocimientos didácticos 1. Orientaciones curriculares 1.1.Diseño Curricular Base del MEC ......................................................... 1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) ... 2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje ...................................... 3. Situaciones y recursos 3.1. Situaciones concretas ........................................................................... 3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos ................................ 3.3. Modelos gráficos y recursos para el estudio de las fracciones ........... 3.4 Recursos en Internet .............................................................................. 4. Taller de didáctica 4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas ............... 4.2. Análisis de respuestas de estudiantes a pruebas de evaluación ........... 4.3. Análisis de experiencias didácticas ..................................................... Bibliografía ......................................................................................................... Página 315 318 318 321 323 324 326 327 329 333 334 335 339 340 341 343 344 344 345 347 CAPÍTULO 5: NÚMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES A: Contextualización profesional Análisis de problemas sobre decimales en primaria .......................................... B: Conocimientos matemáticos 1. Fracciones decimales. Números decimales ................................................... 2. Los números decimales como subconjunto de Q. Expresiones decimales 2.1. Distinción entre expresión decimal y número decimal ........................ 2.2. Caracterización de los números decimales .......................................... 3. Técnica de obtención de expresiones decimales 3.1. Caso de los números racionales decimales ........................................... 3.2. Expresión decimal de números racionales no decimales. Expresiones decimales periódicas ............................................................................ 351 353 354 355 356 357 Sistemas numéricos y su didáctica 162 3.3. Expresiones decimales periódicas puras y mixtas. Fracción generatriz de los racionales representados por estas expresiones ......................... 4. La introducción de los decimales a partir de la medida .............................. 5. Operaciones con números decimales 5.1. Adición y sustracción ........................................................................... 5.2. Multiplicación ..................................................................................... 5.3. División ................................................................................................ 6. La aproximación decimal de racionales. Números reales .............................. 7. Notación científica. Representación decimal en las calculadoras ................. 8. Taller matemático ........................................................................................ C: Conocimientos didácticos 1.Orientaciones curriculares 1.1. Diseño Curricular Base del MEC ........................................................ 1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) ... 2. Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje ..................................... 3. Situaciones y recursos 3.1. Introducción del uso de la coma decimal en el contexto de la medida de longitudes ............................................................................................... 3.2. Modelos gráficos y concretos para representar fracciones decimales .. 3.3. Conexión entre fracciones y decimales ............................................... 3.3. Ordenación de decimales ..................................................................... 3.4. Operaciones aritméticas con decimales ............................................... 3.5. Recursos en Internet ............................................................................. 4. Taller de didáctica 4.1. Respuestas de estudiantes a una prueba de evaluación ........................ 4.2. Análisis de una experiencia de enseñanza ............................................ Bibbliografía Página 358 360 362 362 363 363 365 366 367 368 368 370 371 372 373 374 376 377 378 383 CAPÍTULO 6: NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS A: Contextualización profesional Análisis de problemas escolares sobre números positivos y negativos en primaria ........................................................................................................ B: Conocimientos matemáticos 1. Introducción .................................................................................................. 2. Otra manera de resolver los problemas aritméticos: el método algebraico 2.1. Características del método algebraico de resolución de problemas aritméticos .................................................................................................. 387 391 391 Números naturales. Sistemas de numeración 169 13. Haz la descomposición de 12 en dos sumandos que sean números naturales de todas las formas posibles. Para cada descomposición haz el producto de los sumandos. ¿Qué descomposición de 12 da el producto máximo? 14. Una máquina automática de despacho de billetes de tren admite monedas de 1, 5, 25, y 100 pts. Calcula el número mínimo de monedas necesario para pagar 3.242 pts; 1.587 pts; 4.287 pts. 15. Escribe con números romanos: 13, 27, 18, 70, 223, 617, 45, 3000. 16. Aproxima estos números a la decena de millar más próxima: 31794, 48076, 9.340, 20.250. 17. Escribe qué número indica cada una de estas tablas: 18. Escribe con símbolos egipcios los siguientes números: 200 625 1250 E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 170 Números naturales. Sistemas de numeración 171 B: Conocimientos Matemáticos 1.TÉCNICAS DE RECUENTO 1.1. Situación introductoria: Instrumentos para contar Toma un folio y divídelo en dos partes iguales. Escribe tu nombre en cada mitad. En una de ella simula la caída de una "granizada" durante unos 30 segundos, marcando con puntos gruesos la posición en la que caen los granizos. Obtendrás un dibujo parecido al que mostramos en este cuadro: a) ¿Cuántos puntos hay en tu dibujo? ¿Qué has hecho para contestar a esta pregunta? b) En la otra mitad del folio escribe un mensaje para que otro compañero reproduzca exactamente la misma cantidad de granizos que tú has producido, aunque no en la misma posición. No puedes utilizar las palabras uno, dos, tres,..; ni los símbolos 1, 2, 3,... c) Intercambia el mensaje con el de otro compañero; cada uno de vosotros ha de interpretar el mensaje del compañero y reproducir su granizada. d) Comprueba que la reproducción ha sido correcta. e) Describe el procedimiento que habéis utilizado en la realización de la tarea. 1.2. Necesidades sociales que resuelven las técnicas de contar Las técnicas de contar son universales, y se han encontrado en todas las sociedades estudiadas hasta ahora. Estas técnicas han dado origen al concepto de número y a la Aritmética. Surgen ligadas a la necesidad de: • comunicar información referente al tamaño (la numerosidad) de las colecciones de objetos (cardinal de la colección). • indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto dentro de una colección ordenada de objetos (ordinal del objeto). En las sociedades prehistóricas -cazadores y recolectoresse plantea ya, aunque sea a pequeña escala, la necesidad de responder a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿cuántos son?. También aparece la necesidad de establecer un orden de actuación: ¿qué se hace primero?, ¿quién interviene en segundo lugar?, etc. A partir de esas necesidades sociales se desarrollan diferentes técnicas de recuento que * * * * * * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 172 han ido evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra sociedad se utiliza predominantemente una técnica de recuento con palabras, aun cuando se conservan vestigios de otras varias técnicas. Cada colección de "objetos numéricos" vamos a llamarla "sistema numeral" o sistema de representación numérica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables se expresa diciendo que representan el mismo número. De este modo los números no son objetos como pueden ser una mesa, un perro, etc.; se dice que son "objetos ideales" o abstractos. En definitiva, interesa considerarlos como "maneras de hablar" ante ciertas situaciones en las que reflexionamos sobre las actividades de recuento y ordenación y los instrumentos que usamos para esas actividades. 1.3. Técnica de recuento para obtener cardinales Las técnicas de recuento actuales se basan en la existencia de unas palabras (numéricas) que se recitan siempre en el mismo orden. Estas palabras forman un conjunto bien ordenado (hay un primer elemento y un siguiente para cada una de ellas). Para obtener el cardinal de un conjunto se realizan las siguientes acciones: • Se adjudica a cada elemento del conjunto contado una palabra numérica distinta y sólo una en el orden habitual: uno, dos, tres,..., treinta. • Una vez acabada la fase anterior, la palabra adjudicada al último elemento del conjunto contado, se repite, haciendo referencia con ella a toda la colección (treinta) y designando el número de elementos o cardinal del conjunto. Observamos que podemos contar (hallar el cardinal de un conjunto) porque nos sabemos de memoria una sucesión ordenada de palabras: uno, dos, tres, etc, y las recitamos siempre en el mismo orden. La tarea más complicada de los recuentos consiste en adjudicar a cada objeto del conjunto una palabra numérica distinta y sólo una. Ello requiere definir un orden total en el conjunto contado, orden que podemos definir a voluntad, sin que se modifique el resultado final. Para contar se requiere una coordinación entre la palabra y la mano o la vista, y a veces, se usan técnicas auxiliares, marcando, por ejemplo, cada punto contado. Al terminar de contar, la última palabra, hace referencia, no sólo al último objeto señalado, sino también a todo el conjunto, esto es, se trata de una "propiedad" que se predica de todo el conjunto. Por tanto, cada palabra numérica que se pronuncia tiene un doble significado: es el ordinal del elemento correspondiente en la ordenación que se va construyendo, y es el cardinal del conjunto formado por los objetos ya contados hasta ese momento. Hay que tener en cuenta también el uso intransitivo del recuento, esto es, el recitado de la serie de palabras numéricas en sí mismas, sin mención alguna a cardinales u ordinales. Aprender las palabras numéricas y cómo repetirlas en el orden correcto es aprender el recuento intransitivo, mientras que aprender su uso como medidas de conjuntos es el aprendizaje del recuento transitivo. "Si aprendemos un tipo de recuento antes que otro no tiene importancia cuando nos interesan los primeros números. Pero lo que es seguro, y no carente de importancia, es que tenemos que aprender algún procedimiento recursivo para generar la notación en el orden adecuado antes que hayamos aprendido a contar transitivamente, ya que hacer esto consiste, bien directa o indirectamente, en correlacionar los elementos de la serie numérica, con los miembros del conjunto que estamos contando. Parece, por tanto, que es posible que alguien aprenda a contar intransivamente, sin aprender a contar transitivamente. Pero no a la inversa" (Benacerraff1, 1983: 275 ) 1 Benacerraf, P. (1983). What numbers could not be. En, P. Benacerraf y H. Putnam (Eds), Philosophy of mathematics. Selected reading, 2nd edition (pp. 272-294). Cambridge: Cambridge University Press. Números naturales. Sistemas de numeración 173 Técnicas auxiliares del recuento Cuando estamos contando los elementos de un conjunto, necesitamos distinguir en cada paso el subconjunto ya contado, del no contado. Las técnicas auxiliares que se utilizan son: • Trazar mental o físicamente un camino a seguir cuando vamos contando los objetos. • Marcar los objetos ya contados. • Separar manual o mentalmente los objetos contados de los no contados (realizar una partición del conjunto). • Sustituir la colección de partida por otra que tenga el mismo cardinal, contando esta última. El uso de una u otra técnica auxiliar depende de: • el número de elementos del conjunto contado; • la configuración geométrica del conjunto; • el tipo de objetos que constituyen el conjunto contado; • la accesibilidad de los elementos del conjunto (objetos físicos al alcance de la mano, objetos físicos al alcance de la vista pero no de la mano, objetos evocados mentalmente). • la movilidad de los objetos. Todas estas técnicas auxiliares tienen que ir precedidas de una primera coordinación entre la mano o la vista y la emisión de la palabra. Es decir, hay que aprender a emitir cada palabra al mismo tiempo que la atención se fija en un objeto. Coordinabilidad entre conjuntos Al contar ponemos en correspondencia cada elemento de un conjunto con otro conjunto (de objetos, palabras, muescas, etc.). Las noción de cardinal se puede formalizar usando el lenguaje de la teoría de conjuntos. Definición 1(Coordinabilidad): Un conjunto A coordinable o equipotente con el conjunto B si existe una correspondencia biyectiva de A en B. Se escribe A∼ B. Cada elemento del primer conjunto se pone en correspondencia con uno y sólo uno del segundo. Definición 2 (Conjunto infinito): A es un conjunto infinito si existe un subconjunto propio B de A que sea coordinable con A, o sea, ∃ f : A à B, biyectiva. Ejemplo: El conjunto de números pares es infinito, porque podemos ponerlo en correspondencia biyectiva con el conjunto de números múltiplos de 10. Así: 2 ↔ 20 3 ↔30 4 ↔ 40 y siguiendo de esta forma por cada número par hay uno y sólo un múltiplo de 10, pero por otro lado el conjunto de múltiplos de 10 es un subconjunto de los números pares. Si un conjunto no es infinito se dice que es finito. En los conjuntos finitos no es posible que uno de sus subconjuntos sea coordinable con todo el conjunto. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 174 Proposición 1: La relación de coordinabilidad es una relación de equivalencia en el conjunto de los conjuntos finitos, o sea, cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Proposición 2: Todos los conjuntos coordinables entre si tienen el mismo cardinal. Todos estos conjuntos son equivalentes, desde el punto de vista de tener el mismo cardinal y decimos que forman una clase de equivalencia. 1.4. Técnicas de recuento para obtener ordinales Para obtener el ordinal de un elemento se utiliza la sucesión de palabras: uno, dos, tres, ... o la sucesión de palabras: primero, segundo, tercero, etc. que llamamos "palabras numéricas ordinales". El resultado del recuento se expresa indistintamente mediante unas u otras palabras. Se dice de un elemento que es el décimo quinto o que es el quince. A medida que se avanza en la sucesión de palabras numéricas se utilizan cada vez menos las palabras ordinales. Dado un conjunto totalmente ordenado y un elemento de dicho conjunto, podemos usar diversas técnica para determinar el número ordinal: • Se recita una de las sucesiones de palabras numéricas (ordinales o cardinales) • Se adjudican dichas palabras a los elementos del conjunto siguiendo el orden establecido hasta llegar al elemento en cuestión. • La palabra que le corresponde a dicho elemento es su ordinal. Como podemos ver, a diferencia de lo que sucede en la determinación de cardinales, para asignar un ordinal, el orden en que se van eligiendo los elementos ya no queda a discreción del que efectúa el recuento, sino que viene fijado de antemano. Para obtener el ordinal de un elemento no es absolutamente necesario tener previamente definido un orden total en el conjunto, sino que basta con saber qué elementos son anteriores al que nos interesa. En ese caso tenemos esta segunda técnica: • Se obtiene el cardinal del conjunto formado por todos los elementos anteriores al que nos interesa, utilizando la técnica de recuento correspondiente. • Pronunciamos la palabra numérica siguiente a la que se refiere el cardinal de dicho conjunto, indicando con ella el ordinal del elemento. Esta segunda técnica permite reordenar a voluntad el conjunto de los elementos anteriores al dado, puesto que para calcular cardinales el orden en que se elijan los elementos es irrelevante. 1.5. Orden de ordinales y cardinales Decimos que un ordinal es ‘anterior’ a otro si al recitar la sucesión numérica en el orden habitual, la palabra numérica correspondiente al primer ordinal se recita antes que la correspondiente al segundo ordinal. Por ejemplo, el ordinal ‘cuatro’ es anterior al ordinal ‘nueve’ porque, a la hora de contar, la palabra ‘cuatro’ se dice antes que la palabra ‘nueve’, la primera palabra es anterior en el tiempo a la segunda. Decimos que un cardinal es ‘más pequeño’ que otro, o ‘es menor’ que otro, si al emparejar los elementos de dos conjuntos que los tengan por cardinales respectivos, en el segundo conjunto quedan elementos sin pareja. Por ejemplo, el cardinal ‘cuatro’ es más pequeño, o menor, que el cardinal ‘nueve’ porque si emparejamos cuatro tazas con nueve platos quedarán platos sin taza. Esta última definición lleva implícita la idea de que todos los conjuntos que tienen el mismo cardinal pueden emparejarse sin que quede ningún elemento Números naturales. Sistemas de numeración 175 sin pareja. Estos dos órdenes, el ordinal y el cardinal, son equivalentes, es decir, que si un ordinal es anterior a otro los cardinales correspondientes a esas mismas palabras numéricas cumplen que el primero es más pequeño que el segundo; y recíprocamente. En general, decimos que el número a ‘es menor’ que b, entendiendo que eso significa que el ordinal a es anterior al ordinal b y que, al mismo tiempo, el cardinal a es más pequeño que el cardinal b. 1.6. Principios que subyacen en las técnicas de contar El análisis de las diversas técnicas de contar pone de manifiesto los principios que subyacen en ellas, es decir, los aspectos conceptuales que es necesario entender y tener en cuenta para contar correctamente. En el caso de la técnica de contar para obtener cardinales son los siguientes: • Principio del orden estable. Las palabras numéricas uno, dos, tres, ... deben recitarse siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna. • Principio de la correspondencia uno a uno. A cada elemento del conjunto sometido a recuento se le debe asignar una palabra numérica distinta y sólo una. • Principio de irrelevancia del orden. El orden en que se cuentan los elementos del conjunto es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto. • Principio cardinal. La palabra adjudicada al último elemento contado del conjunto representa, no sólo el ordinal de ese elemento, sino también el cardinal del conjunto. En el caso de la técnica de contar para obtener ordinales los principios que la dirigen son el del orden estable y el de la correspondencia uno a uno referido únicamente al propio elemento y a los anteriores a él. Aquí el orden en que sean elegidos los elementos del conjunto para adjudicarles las palabras numéricas ya no es irrelevante de cara a la obtención del ordinal correspondiente. 1.7. Otras técnicas de recuento: ejemplos históricos2 Hasta ahora hemos visto que para contar se necesitan unas palabras numéricas, pero, ¿estas palabras han existido siempre? ¿Existen técnicas de recuento que no se basen en palabras? A continuación mostraremos cómo han resuelto diferentes culturas el problema de responder a la pregunta, ¿cuántos hay? En primer lugar, el hombre tiene una capacidad innata para reconocer ciertos cardinales de conjuntos sin necesidad de efectuar un recuento. Esta capacidad recibe el nombre de “subitación” y permite reconocer cardinales de conjuntos con un número pequeño de objetos, por lo que algunas culturas comunican mediante el lenguaje cuál es el cardinal de un conjunto, aunque no tengan técnicas de contar, por ejemplo: • En algunas sociedades, como los zulúes y pigmeos de Africa, los arandan y kamilarai de Australia, los bocotudos de Brasil y los aborígenes de las islas Murria, sólo se han inventado las dos primeras palabras numéricas: una para indicar la unidad, otra para indicar la pareja. • Varias tribus de Oceanía declinan los nombres de las cosas en singular, dual, trial, cuatrial, plural, del mismo modo que nosotros declinamos los nombres en singular y plural. Tienen, por tanto, la posibilidad de indicar el cardinal de un conjunto de hasta cuatro objetos pero no tienen palabras para contar. 2 Esta información de tipo histórico procede de Ifrah (1985) libro cuya lectura se recomienda. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 176 En segundo lugar, muchas sociedades han desarrollado técnicas de contar sin palabras, que han llegado hasta nuestros días. Por ejemplo: llevar la cuenta de los votos a favor y en contra trazando palotes, mostrar los dedos para indicar un cardinal u ordinal (esta técnica se utiliza mucho con los niños pequeños), utilizar palillos, trozos de papel o fichas para llevar la cuenta de las partidas ganadas en un juego de cartas, pasar con los dedos las bolitas del rosario para llevar la cuenta de las avemarías, utilización de ábacos en las escuelas, etc. En nuestra cultura estas técnicas se mezclan con las técnicas de recuento con palabras, que son las predominantes, y, frecuentemente, sirven de refuerzo a estas últimas. Sin embargo, existen y han existido sociedades en las que las técnicas de recuento sin palabras eran muy importantes e incluso, las únicas existentes. Algunos ejemplos son los siguientes: • Los papúes de Nueva Guinea y los bosquimanos de Africa del Sur, entre otros muchos aborígenes, cuentan utilizando las partes del cuerpo humano. Para ello y en un orden previamente establecido van señalando los dedos de las manos y de los pies, las diferentes articulaciones del cuerpo, los ojos, nariz, boca, etc. • Ha sido una práctica frecuente en los ejércitos de diferentes épocas y sociedades que, antes de entrar en batalla, cada guerrero depositara un guijarro en un lugar convenido. A la vuelta cada guerrero recogía uno de dichos guijarros. Los sobrantes indicaban el número de bajas que se habían producido en la batalla. La utilización de guijarros para contar o realizar operaciones ha dado lugar a la palabra "cálculo" que proviene de la palabra latina "calculus" que significa "piedra pequeña". Tenemos así un muestrario de objetos físicos que sirven como objetos numéricos y que podemos clasificar en: - muescas, palotes; - objetos ensartados en collares o en varillas, nudos en una cuerda; - objetos sueltos: guijarros, palitos, conchas, perlas, huesos, etc. - partes del cuerpo humano. Ejercicios: 1. Si un pastor trashumante tuviese que contar 999999 cabezas de ganado, ¿Cuánto tiempo tardaría, haciendo una muesca por segundo? En conclusión, una técnica de recuento sin palabras se caracteriza por la existencia de un conjunto de objetos numéricos, que sirven para contar. A cada elemento del conjunto contado se le asocia un objeto numérico distinto y sólo uno, construyendo un subconjunto de objetos numéricos, cuya presentación es la respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay? Esto pone de manifiesto que lo que subyace en un recuento, la parte común a todos ellos, es el establecimiento de una correspondencia uno a uno entre el conjunto contado y un subconjunto numérico de referencia, tanto si los elementos de este último son objetos físicos, palabras, partes del cuerpo humano, etc. El conjunto de objetos numéricos debe estar "naturalmente estructurado", y constituye lo que llamaremos un "sistema numeral" o sistema de representación numérica. 1.8. El paso del recuento sin palabras al recuento con palabras Las etapas necesarias para pasar de una técnica de recuento con objetos al recuento con palabras son las siguientes: • Comparar el conjunto que se quiere contar con un conjunto de referencia, formado por Números naturales. Sistemas de numeración 177 objetos visibles o evocables por los demás. El principio de la correspondencia uno a uno permite pasar de una comunicación poco precisa del cardinal de una colección a una comunicación precisa de la misma, representándola mediante un conjunto de los objetos numéricos (muescas, guijarros, cuentas, etc.). • Comparar con un conjunto de referencia ordenado (partes del cuerpo humano, objetos diferenciados) para poder establecer el ordinal de cada elemento dentro de un conjunto. La presentación sucesiva de los objetos diferenciados siempre en el mismo orden, principio del orden estable, permite comunicar el ordinal de un elemento. • Utilización indistinta de los conjuntos de referencia ordenados para la obtención de cardinales u ordinales. Cada uno de los objetos numéricos, al estar diferenciado de los demás, puede recibir un nombre distinto. • Descubrimiento de que basta nombrar el último elemento del conjunto numérico ordenado con el que se ha establecido la correspondencia uno a uno para transmitir la información deseada, tanto en contextos cardinales como ordinales: principio cardinal. En un momento dado, algunas sociedades se dan cuenta de que al usar un conjunto numérico ordenado, ya no es necesario presentar al interlocutor todo el conjunto con el que se ha establecido la correspondencia, ni enumerarlo. Con hacer referencia al último objeto es suficiente pues el interlocutor puede evocar todos los elementos anteriores. No todas las culturas han sido capaces de llegar a este punto. Por ejemplo, los papúes de Nueva Guinea, para indicar el cardinal "siete" hacen el gesto de tocar con su mano izquierda, sucesivamente, los dedos de la mano derecha, la muñeca y el codo. Si se hace delante de ellos el gesto único de tocar el codo no le encuentran sentido. Vestigios de esta incapacidad cultural se encuentran en los niños pequeños que preguntados sobre cuántos hay cuentan y dicen, por ejemplo,: “uno, dos, tres, cuatro”, y ante la pregunta insistente del adulto: “si pero, ¿cuántos hay?” vuelven a decir: “uno, dos, tres y cuatro”. Más adelante el conjunto de referencia se desliga de los objetos físicos. Cada palabra se convierte en una palabra numérica (palabra que sirve para contar). En otras sociedades primitivas algunas de esas palabras siguen evocando partes del cuerpo humano. En particular, nuestro conjunto numérico habitual es un conjunto ordenado de palabras: uno, dos, tres, cuatro, etc. Si alguien dice que tiene cinco objetos, su interlocutor entiende la información porque se imagina un objeto para el uno, otro para el dos, otro para el tres, otro para el cuatro y otro para el cinco. Es decir, la transmisión de dicha información numérica está dependiendo del hecho de tener almacenada en nuestra memoria esa sucesión de palabras, de forma que cuando nos dicen una de ellas somos capaces de recordar todas las anteriores. 1.9. Técnicas abreviadas de contar Las técnicas de contar exigen mucho tiempo cuando los elementos a contar son muchos. No es extraño, por tanto, que se intente hacerlas más breves. Algunas situaciones permiten acortar el proceso de contar, partiendo de una colección de objetos de cardinal conocido al que se añaden o suprimen elementos para obtener el cardinal de la colección modificada. Las formas más importantes de abreviar los recuentos son las siguientes: • Contar de dos en dos, de tres en tres, etc., aprovechando nuestra capacidad de reconocer directamente los cardinales de conjuntos pequeños. • Contar hacia delante o hacia atrás, desde un cardinal dado. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de dieciocho objetos y nos dicen que añadamos algunos más, no volvemos a contar todo para saber el cardinal del nuevo conjunto, sino que contamos los nuevos E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 178 objetos adjudicándoles las palabras ‘diecinueve’, ‘veinte’, ‘veintiuno’, etc. De la misma manera, si queremos suprimir unos cuantos objetos de un conjunto de dieciocho vamos adjudicando a los objetos surprimidos las palabras ‘diecisiete’, ‘dieciséis’, etc. y la última palabra numérica indicará el cardinal del conjunto final. • Contar hacia delante o hacia atrás desde un cardinal dado hasta otro cardinal también dado. Esta técnica se usa cuando queremos saber cuántos objetos hay que añadir o quitar a un conjunto de cardinal dado para obtener otro cardinal conocido, o bien, qué diferencia existe entre dos conjuntos de cardinal dado. Por ejemplo, si nos preguntan cuántos objetos hemos añadido a un conjunto que tenía dieciséis y ahora tiene veinticuatro objetos, podemos decir: diecisiete, dieciocho, diecinueve, veinte, veintiuno, veintidós, veintitrés, veinticuatro, al mismo tiempo que vamos levantando dedos. Al final tendremos ocho dedos levantados que nos dan la respuesta a la pregunta inicial. Del mismo modo, si nos preguntan cuántos objetos hay que quitar para pasar de tener catorce a tener once, podemos decir: trece, doce, once, al mismo tiempo que levantamos dedos. Los tres dedos levantados nos dan la respuesta a la pregunta. • Contar hacia delante o hacia atrás, desde el cardinal dado, tantas veces como indique el número de objetos a añadir o suprimir, respectivamente. Por ejemplo, si a un conjunto de veinticuatro elementos le quitamos cinco elementos podemos decir: veintitrés, veintidós, veintiuno, veinte, diecinueve, a medida que vamos quitando efectivamente esos objetos o levantando dedos. El hecho de quitar los cinco objetos o tener cinco dedos levantados nos indica que la cuenta ha terminado y el resultado es diecinueve. Como hemos podido ver, algunas de estas técnicas abreviadas necesitan, además de la colección habitual de palabras numéricas, una colección suplementaria de objetos numéricos. Esta colección referencial de apoyo suelen ser los dedos, pero podría ser cualquier otra: palotes, fichas, etc. 2. LOS NÚMEROS NATURALES. DIFERENTES USOS Y FORMALIZACIONES 2.1. La noción de número natural y sus usos Como resumen de las secciones anteriores podemos decir que contar es poner en correspondencia uno a uno los distintos elementos de un conjunto (contado) con un subconjunto de otro conjunto (contador, sistema numérico de referencia o sistema numeral). Los elementos del conjunto numérico pueden ser objetos físicos (piedrecillas, semillas, marcas en una varilla o en un segmento, partes del cuerpo), palabras, símbolos, etc. Pueden también ser imaginados por una persona, es decir, ser representaciones internas de objetos para realizar comparaciones o cálculos. Pero tanto si son perceptibles, como mentales, el uso básico que hacemos de ellos es contar y ordenar. En una primera aproximación, podemos decir que los números naturales son cualquier sistema de "objetos" (símbolos, marcas, materiales concretos, palabras,...), perceptibles o pensados, que se usan para informar del cardinal de los conjuntos y para ordenar sus elementos, indicando el lugar que ocupa cada elemento dentro del conjunto. El sistema más común es el de las palabras: cero, uno, dos, tres,..; y los símbolos, 0, 1, 2, 3,... Para poder ser usados en las situaciones de recuento y ordenación estos sistemas de objetos numéricos deben tener una estructura recursiva específica, que se concreta en los llamados axiomas de Peano enunciados en la sección 2.2. El número natural responde a la cuestión, ¿cuántos elementos tiene este conjunto? (recuento del número de elementos) y en estas circunstancias se habla de número cardinal. Números naturales. Sistemas de numeración 185 Ejercicios 2. Escribe en el sistema egipcio, romano y chino el número 1386. 3 ¿Cuál es el menor número que se escribe con 25 símbolos en sistema egipcio? 4. Imagina que en un nuevo lenguaje, los primeros números son: Sis, boom, bah, tra, la, y después de contar un buen rato, la serie de números continúa: Hip, hoo, rah, fo, fum. Completa las operaciones siguientes: a. Hoo +bah= b. Fo-boom= c. Fum-hip= c) Sistema hindú En el norte de la India y desde el siglo III a. C., existió un sistema de numeración escrito cuyos primeros símbolos eran los siguientes: Pero además este sistema también tenía símbolos específicos para los números 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 y para escribir, por ejemplo, el número 5436 se escribía el símbolo que representaba al número “5000” seguido del que representaba al “400”, el del “30” y, por último, el del “6”. Se trataba por tanto de un sistema de tipo aditivo. Por otro lado, para realizar las operaciones construían una tabla de calcular dibujando rayas verticales sobre la arena de manera que las fichas, según en qué casilla se situasen, significaban unidades, decenas, centenas, etc. Si colocaban tres fichas en la casilla más a la derecha significaba tres unidades. Si las colocaban en la casilla siguiente significaban tres decenas. Pero en algún momento se les ocurrió dibujar las nueve primeras cifras en las casillas en lugar de utilizar fichas. Así, por ejemplo, el número 7629 lo representaban de la siguiente manera: Como consecuencia los símbolos que representaban los números del 1 al 9, se utilizaron regularmente en los cálculos mientras que los que representaban decenas, centenas, etc. no se utilizaban porque eso venía indicado por la casilla en que se encontraba la cifra (A los signos del 1 al 9 se les suele llamar cifras o dígitos). Aparece así una notación posicional en la que el significado de la cifra se complementa con la posición que ocupa. La cifra situada en la casilla E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 186 de la derecha del número anterior significa 9 mientras que situada en la siguiente casilla significaría 90 y en la siguiente 900. Naturalmente, cuando faltaba una unidad de un orden determinado se dejaba la casilla correspondiente vacía. Podría pensarse que el paso de este tipo de notación a una en que se eliminasen las barras verticales es inmediato. Sin embargo, este paso no se dio hasta varios siglos después pues exige definir un signo para el cero y esto es algo que muy pocas culturas han hecho. La razón es difícilmente inteligible para nosotros, acostumbrados desde niños a la existencia del signo 0, pero tenemos que comprender lo artificioso que resulta crear un símbolo para indicar el vacío, la nada, la no existencia de algo. Si algo no existe no hace falta apuntarlo. El vacío se indica mostrándolo, no rellenándolo con un signo. La idea de inventar un signo para indicar la no existencia de unidades o la existencia de un lugar vacío es una idea sorprendente y se les ocurrió, por fin, a los matemáticos hindúes a principios del siglo VI d. C., lo que les permitió prescindir de las barras verticales a la hora de representar los números. A partir de entonces un número, por ejemplo el 9100 se representó así: Cuando los árabes conquistaron el norte de la India conocieron este sistema de numeración y al darse cuenta de lo mucho que facilitaba los cálculos lo adoptaron. Las cifras que vienen a continuación corresponden a la grafía habitual en el Califato de Bagdad. Nuestro sistema de numeración escrito es, por tanto, una invención hindú que, posteriormente, fue asumida por los árabes, los cuales la difundieron por todo su imperio. Los contactos comerciales y culturales de Europa con el mundo árabe propiciaron la difusión de este sistema en la Europa occidental donde entró en competencia con el sistema de numeración romano. Lentamente fue ganando adeptos hasta que a finales del siglo XVIII quedo definitivamente implantado. 3.4. Tipos de sistemas de numeración Los ejemplos anteriores nos muestran la existencia de diferentes tipos de sistema de numeración que ahora vamos a definir con más precisión. a) Sistema aditivo regular En este sistema se definen símbolos para la unidad, la base y las potencias de la base. El número representado se obtiene sumando los valores de los signos que componen su representación. El sistema egipcio es un ejemplo de sistema aditivo regular de base 10. b) Sistema multiplicativo regular En él se definen símbolos para la unidad, la base, las potencias de la base y todos los números comprendidos entre la unidad y la base. El número representado se obtiene Números naturales. Sistemas de numeración 187 multiplicando cada potencia de la base por el valor del símbolo que le precede y sumando los resultados junto con las unidades. Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema chino de numeración que es un sistema multiplicativo regular de base 10. c) Sistema posicional regular En este sistema se definen símbolos para la unidad y los números comprendidos entre la unidad y la base. También se define un símbolo, el cero, para indicar la no existencia de unidades. En cambio, no se definen símbolos específicos para la base ni para las potencias de la base, representándose éstas por medio de combinaciones de los símbolos de la unidad y del cero. En estas condiciones, cada uno de los signos que componen la representación del número, dependiendo del lugar que ocupa, hace referencia a las unidades o a una determinada potencia de la base. El número representado se obtiene de la misma manera que en un sistema multiplicativo. Nuestro sistema de numeración escrito es un ejemplo de sistema posicional decimal. Reglas de los sistemas de numeración posicionales Las reglas de los sistema de numeración posicionales ordenados se pueden sintetizar de la siguiente manera: 1. Elegido un número b >1 como base del sistema de numeración, se utilizan b símbolos, llamados cifras o guarismos (0, 1, 2, ..., b1) que representan el cero y los primeros números naturales. 2. Cada b unidades simples (o de 1er orden) forman una unidad de 2º orden, y se escribe a la izquierda de las unidades de 1er orden. (Principio del valor relativo de las cifras) 3. Se continúa el proceso como en 2) 4. Cuando no hay unidades de un orden (carencia de unidades) se expresa mediante un 0 en la posición correspondiente. 5. La base b se representa por 10(b (es la unidad de 2º orden); la unidad de tercer orden, b2 se expresará como 100(b . Teorema fundamental: Existencia y unicidad de la expresión de un número n en base cualquiera b Dado un número natural b (que se llama base del sistema de numeración), todo número natural n∈N se puede expresar de manera única mediante el siguiente polinomio: n= ckbk + rkbk-1 + rk-1bk-2 + .... + r3b2 + r2b + r1 donde r1, r2, ..., rk, ck, son números naturales menores que b. 3.5. Cambios de base en los sistemas de numeración Para comprender las reglas de los sistemas de numeración posicionales ordenados, entre los que se encuentra el sistema decimal de numeración habitualmente usado, es conveniente realizar y analizar las tareas de paso del sistema de numeración base 10 a otras bases distintas, tanto menores que 10, como mayores, y viceversa. Paso de la escritura en base 10 de un número n a la base b E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 188 En primer lugar habrá que determinar la cifra de las unidades (o de primer orden), para lo cual habrá que dividir n entre b; el resto será la cifra de la unidades de la nueva expresión. Para hallar la cifra a colocar en la posición de segundo orden se divide el primer cociente obtenido por b y se toma el resto; y así sucesivamente. Ejemplo: El número 235(10, expresado en base 5 será 1420(5 Paso de la escritura de un número n en base b a base 10 Basta expresar la escritura de n en forma polinómica (en forma de potencias de la base b) y realizar las operaciones indicadas en base 10; el resultado será la escritura en de n en base 10. Ejemplo: El número 2034(5 será el 269(10 ya que, 2034(5 = 2.53 + 0.52 +3.5 + 4 = 269 (haciendo las operaciones en base 10) El paso de la escritura de un número de base b1 a base b2 se puede realizar pasando el número dado en base b1 a base 10 y después dicho número en base 10 a base b2 por el método explicado anteriormente. Ejercicios 5. Efectúa los cambios de base siguientes: 3415 (de base 10 a base 3); 999 (de base 10 a base 7); 25842 (de base 10 a base 12); 1001110 (de base 2 a base 10); ABC6 (de base 13 a base 10); 33421 (de base 5 a base 3); 34250 (de base 6 a base 4) y 102102 (debase 3 a base 7). 6. Escribe las cifras del número siguiente en base 3: 1 + 3 +32 + 34 + 36 Expresa el número anterior en base 9 7. Escribe en base 5 las cifras del siguiente número 5 x (5 x (5 x (5 + 4) + 3 ) + 2) + 1 ; x significa el signo de multiplicar. 8. En base 16 (hexadecimal) los dígitos usados son 0 hasta 9 y las letras A, B, C, D, E, F para los números del diez hasta el quince. a) Convierte B6(16 a base 10; b) Convierte B6(16 a base 2; c) Explica cómo se puede pasar B6(16 a base 2 directamente, esto es, sin pasarlo primero a base 10. 3.6. Características de nuestros actuales sistemas de numeración escrito y oral a) Sistema de numeración escrito Como ya hemos dicho antes es un sistema posicional regular de base 10. Los símbolos que se definen son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. 235 5 35 47 5 0 2 9 5 4 1 Números naturales. Sistemas de numeración 189 b) Sistema de numeración oral Es un sistema multiplicativo y de base 10 pero con irregularidades. Es un sistema multiplicativo porque define símbolos no sólo para los números anteriores a la base sino también para la base y sus potencias. El número 3400 no lo leemos como "tres cuatro cero cero" sino como "tres mil cuatrocientos", es decir, hacemos referencia a las potencias de la base "mil" y "cien" o "ciento". Las irregularidades dependen del idioma y en castellano son las siguientes: • Once, doce, trece, catorce y quince. En un sistema regular se diría: dieciuno, diecidos, diecitrés, diecicuatro y diecicinco. • Veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta, noventa. En un sistema regular se diría: dos dieces (o dos decenas), tres dieses, cuatro dieses, etc. • Quinientos en lugar de cinco cientos • Algunas de las potencias de diez no tienen un símbolo específico, sino un símbolo compuesto por los correspondientes a otras potencias. Así, por ejemplo, la potencia 104 no tiene un símbolo propio como le correspondería en un sistema regular, sino un símbolo compuesto: diez mil. Lo mismo sucede con otras potencias de la base (105 se dice cien mil, 107 se dice diez millones, 108 se dice cien millones, etc. ), lo que hace que las potencias mil (103) y millón (106) se conviertan en bases auxiliares. • La palabra 'billón' tiene un significado ambiguo. En España y otros países de origen latino quiere decir 'un millón de millones' (1012), mientras que en los países de tradición anglosajona la palabra equivalente significa 'mil millones' (109). c) Sistema de numeración oral ordinal Se usa para nombrar a los ordinales, aun cuando también puede usarse para ello el sistema oral habitual. Es un sistema de numeración de base 10 en el que se definen símbolos para la unidad y los demás números anteriores a la base, para la base y sus potencias, y también para los nueve primeros múltiplos de la base y del cuadrado de la base. Un número viene dado por la suma de los valores de los signos que lo representan; es por tanto un sistema de tipo aditivo, pero con una sobreabundancia de términos. En muchas de las palabras que nombran a los diferentes múltiplos de la base o de la base al cuadrado se hace patente un criterio de tipo multiplicativo. Por ejemplo, el término 'octingentésimo' se relaciona con los términos 'ocho' y 'centésimo'. Los símbolos de este sistema de numeración son los siguientes: primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno, décimo, undécimo (o décimo primero), duodécimo (o décimo segundo), vigésimo (20), trigésimo (30), cuadragésimo (40), quincuagésimo (50), sexagésimo (60), septuagésimo (70), octogésimo (80), nonagésimo (90), centésimo (100), ducentésimo (200), tricentésimo (300), cuadringentésimo (400), quingentésimo (500), sexcentésimo (600), septingentésimo (700), octingentésimo (800), noningentésimo (900), milésimo (1000), millonésimo (1.000.000). Según esto el ordinal 783 se diría septingentésimo octogésimo tercero. Hoy en día, bastantes de estos términos han caído en desuso. Ejercicios 9.Utiliza nuestro sistema de numeración oral para expresar el número: 754.120.004.002000.000.000 E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 190 10. Utiliza nuestro sistema posicional de numeración escrita para representar el número siete trillones, setenta mil siete billones, siete millones, setenta y siete. 2. 11. Expresa mediante nuestro sistema oral ordinal los números 11, 14, 27, 53, 99, 135, 366, 584 y 1336. 12. ¿Cuántos números capicúas hay comprendidos entre 1 y 1000? A continuación vamos a describir otros sistemas de numeración, lo que nos permitirá ver cómo diferentes culturas han resuelto el problema de representar los números. 3.7. Sistemas de numeración orales: ejemplos En la lengua Api de las Nuevas Hebridas representan los 24 primeros números partiendo de 5 palabras: tai, lua, tolu, vari, luna (que significa literalmente "la mano") que equivalen a nuestras palabras: uno, dos, tres, cuatro y cinco. A partir de ahí los números siguientes los nombran combinando esas palabras: para 6 se dice: otai (literalmente 'el nuevo uno') • para 7 se dice: olua (literalmente 'el nuevo dos') • para 8 se dice: otolu (literalmente 'el nuevo tres') • para 9 se dice: ovari (literalmente 'el nuevo cuatro') • para 10 se dice: lualuna (literalmente 'las dos manos') • para 11 se dice: lualuna i tai (literalmente 'dos manos y uno') para 15 se dice: toluluna (literalmente 'tres manos') • para 16 se dice: toluluna i tai (literalmente 'tres manos y uno') para 20 se dice: variluna (literalmente 'cuatro manos') • para 24 se dice: variluna i vari (literalmente 'cuatro manos y cuatro') Se trata de un sistema de base cinco, pues los números se expresan indicando los grupos de cinco que los componen y el resto que queda. En euskera las palabras que se utilizan para nombrar los diez primeros números son las siguientes: bat (uno), bi (dos), hiru (tres), lau (cuatro), bost (cinco), sei (seis), zazpi (siete), zortzi (ocho), bederatzi (nueve), hamar (diez). A partir de ahí, construyen las palabras numéricas como sigue: • once se dice: hamaika • doce se dice: hamabi (literalmente 'diez y dos') • trece se dice: hamahiru (literalmente 'diez y tres') • catorce se dice: hamalau (literalmente 'diez y cuatro') • quince se dice: hamabost (literalmente 'diez y cinco') • dieciséis se dice: hamasei • diecisiete se dice: hamazazpi • dieciocho se dice: hemezortzi (no sigue la regla, pero actualmente se admite también 'hamazortzi ') • diecinueve se dice: hemeretzi ( no sigue la regla ) • veinte se dice: hogei • treinta se dice: hogeitamar (literalmente 'veinte y diez') • cuarenta se dice: berrogei (no sigue la regla ) • cincuenta se dice: berrogeitamar (literalmente 'cuarenta y diez') • sesenta se dice: hirurogei (literalmente 'tres veintes') • setenta se dice: hirurogeitamar (literalmente 'tres veintes y diez') Números naturales. Sistemas de numeración 191 • ochenta se dice: larogei (literalmente 'cuatro veintes") • noventa se dice: larogeitamar (literalmente 'cuatro veintes y diez') • cien se dice: ehun. Se trata de un sistema de base 20 con una base auxiliar 10. En el sistema de numeración oral francés también se conservan vestigios de una base 20. Se dice, por ejemplo: 'quatrevingts' (cuatro veintes) para indicar 'ochenta' y 'quatre-vingts-dix' (cuatro veintes diez) para indicar 'noventa' . 3.8. Sistemas de numeración basados en colecciones de objetos: ejemplos a) Muescas: La utilización de muescas para llevar una cuenta está documentada desde la Prehistoria. Entre los huesos prehistóricos con muescas existen algunos (como el reflejado en el dibujo siguiente) en los que las muescas han sido representadas en grupos de cinco. Es uno de los primeros ejemplos de agrupación para facilitar la lectura del número. b) Objetos ensartados en hilos: collares En algunas regiones de África occidental los pastores contaban sus rebaños haciendo desfilar a los animales uno detrás de otro. Cuando pasaba el primero ensartaban una concha en una tira blanca, otra cuando pasaba el segundo y así sucesivamente. Al llegar al décimo animal deshacían el collar y ensartaban una concha en una tira azul que asociaban a las decenas. Después ensartaban de nuevo conchas en la tira blanca hasta llegar al vigésimo animal y entonces ensartaban una segunda concha en la tira azul. Cuando había ya diez conchas en la tira azul deshacían el collar de las decenas y ensartaban una concha en una tira roja reservada para las centenas. Y así sucesivamente hasta que se acababa el recuento de los animales. Al llegar a los doscientos cincuenta y ocho animales, por ejemplo, habría dos conchas en la tira roja, cinco en la azul y ocho en la blanca. La base de este sistema es la decena. c) Objetos ensartados en varillas: ábacos El ejemplo que proponemos es el de un ábaco que se ha utilizado para contar y calcular incluso después de la segunda guerra mundial (ábaco japonés). La varilla situada a la derecha indica centésimas, la segunda varilla décimas, la tercera unidades, la cuarta decenas, la quinta E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 192 centenas, etc. En la varilla de las unidades cada una de las cuatro bolas de la parte de abajo indica una unidad, pero la bola situada en la parte de arriba indica cinco unidades. De esa manera el número siete se representará moviendo la bola superior y dos bolas inferiores hacia el eje central. En la varilla de las decenas la bola superior indica cincuenta y cada una de las bolas inferiores diez y así sucesivamente. Se trata pues de un sistema de base diez con una base auxiliar cinco. Ejercicios 13. Expresa los números 457 y 17089 mediante: - un ábaco japonés - el sistema de numeración romano - sistema de numeración egipcio - sistema de numeración chino 14. Supongamos que cuentas usando manos y dedos. ¿Cómo representarías el número 12? d) Nudos Los incas representaban números y contaban haciendo nudos en una cuerda. Según la posición en que estaban situados los nudos indicaban unidades, decenas, centenas, millares, etc. A estas cuerdas se les llamaba quipus. El dibujo de la derecha representa una contabilidad de ganado bovino (cuerdas blancas y ganado ovino (cuerdas verdes). Las cuerdas blancas de derecha a izquierda representan el número de toros, vacas lecheras y vacas estériles. Las cuerdas verdes indican número de borregos, corderos, cabras, etc. Las cuerdas que enlazan a las otras indican las sumas de las cantidades representadas en las cuerdas enlazadas. e) Objetos sueltos: valor definido por la posición Existen sistemas de numeración basados en guijarros o fichas en los que el valor numérico de los objetos viene dado por la posición que ocupan en un tablero distribuido en casillas. Así, según que el guijarro o ficha esté situado en una u otra casilla significará una unidad, una decena, una centena, etc. Estas tablas de fichas se utilizaron en Europa para efectuar cálculos hasta el siglo XVIII. f) Objetos sueltos: valor definido por alguna característica del objeto Números naturales. Sistemas de numeración 193 Los sumerios utilizaban pequeños objetos de arcilla para contar y representar los números. El valor numérico de cada objeto venía dado por su forma de la siguiente manera: 1 = cono pequeño; 10 = bola pequeña; 60 = cono grande; 600 = cono grande perforado; 3600 = bola grande; 36000 bola grande perforada. Se trataba de un sistema de numeración de base 60 (3600 = 602) con una base auxiliar 10 (600 = 10 x 60, 36000 = 10 x 602). Para garantizar el pago de una deuda, por ejemplo, el conjunto de objetos que representaba el valor numérico de la deuda se encerraba en una esfera hueca sobre la que se imprimían los sellos del acreedor, el deudor y el notario. Este último guardaba la esfera y, posteriormente, en el momento de saldar la deuda, la abría y las partes implicadas se aseguraban de que el pago estaba conforme. 3.9. Sistemas de numeración basados en partes del cuerpo humano: el origen de algunas bases Se cree que la mayor parte de los sistemas de numeración tienen su origen en otros más primitivos basados en la utilización de distintas partes del cuerpo humano como objetos numéricos. Las bases más utilizadas: 5, 10, 12, 20, 60 pueden explicarse como un intento de aumentar la capacidad contable de los dedos. a) Base cinco Si utilizamos los dedos de la mano derecha para contar unidades hasta cinco y por cada cinco unidades levantamos un dedo de la mano izquierda estaremos en un sistema de numeración de base cinco. Cada cinco unidades dan lugar a una unidad de orden superior, los dedos de la mano izquierda, y toda la mano izquierda representará una unidad de segundo orden compuesta de 25 unidades. b) Base diez Aparece al utilizar los dedos de las dos manos para contar unidades. Un hombre representaría una unidad de orden superior, la decena. c) Base veinte Aparece al utilizar los dedos de las dos manos y de los dos pies para contar unidades. Un hombre representaría la unidad de orden superior que en este caso sería una veintena. d) Base doce Se explica si se utiliza el dedo pulgar de la mano derecha para contar las falanges de los otros dedos de la misma mano. Tenemos así doce falanges en la mano derecha. Si además por cada doce unidades señalamos una falange de la mano izquierda tendremos una unidad de primer orden, la docena, y las dos manos representaran una unidad de segundo orden (144 = 122). e) Base sesenta Aparece como una combinación de cinco y doce si contamos falanges con la mano derecha y por cada docena levantamos un dedo de la mano izquierda. Las dos manos representan entonces una “sesentena”. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 194 Ejercicios 15. El uso de la base 10 en el sistema de numeración indoarábigo se puede suponer que se debe a que tenemos 10 dedos entre ambas manos. Supongamos que entre los marcianos ocurrió lo mismo, esto es, usaron un sistema de numeración basado en el número de dedos de sus manos. ¿Cuántos dedos tenían los marcianos en sus manos si sabemos que en dicho planeta el número diecisiete se escribía 21?. 16. Construye un sistema aditivo de base 12 y utilízalo para expresar los números 1245674, 23478 y 100. 17. Construye un sistema aditivo de base 20 y utilízalo para representar los números del ejercicio anterior. 18. En la siguiente tabla escribimos los números del 0 al 35 en base 6. Describe todos los patrones numéricos que puedes encontrar: 0 1 2 3 4 5 10 11 12 14 14 15 20 21 22 24 24 25 30 31 32 33 34 35 40 41 42 43 44 45 50 51 52 53 54 55 3.10. Otros ejemplos históricos de sistemas de numeración escritos La necesidad de almacenar información numérica propia de las sociedades estatales propicia la aparición de los sistemas escritos de numeración. Estos números escritos se conservan bien, ocupan poco lugar y su almacenamiento se organiza con facilidad; tienen, por tanto, ventajas frente a las representaciones numéricas orales o mediante objetos. A continuación vamos a ver algún ejemplo más : a) Los sumerios empezaron a desarrollar una contabilidad escrita a partir del 3200 a.C. consistente en dibujar en tablillas de arcilla las figuritas de barro que utilizaban para indicar los números. En la figura de una “factura” sumeria descubierta en Uruk (hacia el 2850 antes de J.C.) se observa el dibujo de las esferas y conos de barro que se utilizaban para representar los números. Aparecen también unos dibujos que representan sacos, dibujos de espigas que indican distintos tipos de cereal y unos dibujos de patos que representan aves en general. b) Los matemáticos y astrónomos de Babilonia fueron los primeros en construir un sistema de numeración escrito en el que se utilizaba en parte un criterio posicional. Para escribir los números utilizaban sólo dos signos: un 'clavo' vertical å que indicaba la unidad y una 'espiga' … que indicaba la decena. Los números de 1 a 59 se representaban de manera aditiva repitiendo esos signos las veces que hiciera falta. Así, por ejemplo, 19 y 58 se escribían: ååå … ååå (1 espiga + 9 clavos) ååå ……… ååå …… ååå (5 espigas + 8 clavos) åå Pero a partir de 59 la escritura era posicional, es decir, el número 69, por ejemplo, no se escribía Números naturales. Sistemas de numeración 201 • usar múltiples modelos para desarrollar una comprensión inicial del valor de posición y el sistema de numeración de base diez; • desarrollar la comprensión de la posición relativa y magnitud de los números, de los aspectos cardinal y ordinal y sus conexiones; • desarrollar un sentido de los números naturales, representarlos y usarlos de manera flexible, incluyendo la relación, composición y descomposición de los números • conectar las palabras números y los numerales con las cantidades que representan, usando diversos modelos físicos y representaciones. Para el nivel 3-5 se espera que los niños sean capaces de: • comprender la estructura del valor de posición del sistema de numeración decimal y ser capaz de representar y comparar números naturales y decimales; • reconocer representaciones equivalentes para los mismos números y generarlos mediante composiciones y descomposiciones de otros números; Ejercicio: 1.Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes respecto del estudio de los números naturales y la numeración, - Diseño Curricular Base del MEC - Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma - Principios y Estándares 2000 del NCTM. 2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE 2.1. El sentido numérico y su desarrollo Desde los niveles de preescolar uno de los objetivos básicos de la educación matemática será el desarrollo progresivo del "sentido numérico", entendido como "una buena intuición sobre los números y sus relaciones", que debe desarrollarse gradualmente como resultado de explorar los números, usarlos en una variedad de contextos, y relacionarlos entre sí, superando el limitado aprendizaje de los algoritmos tradicionales. "El sentido numérico se concibe como una forma de pensar, por consiguiente no es una "lección" en el currículum de las matemáticas de Primaria, sino una manera de aproximarse al trabajo con los números en el aula" (Llinares, 2001, p. 152). La comprensión y dominio de los números naturales pone en juego muchas ideas, relaciones y destrezas, por lo que podemos considerarlo como un aprendizaje complejo, que no se desarrolla de manera simple y automática. Con la expresión ‘sentido numérico’ hacemos referencia al complejo de nociones y relaciones que configuran el ‘sistema de los números naturales’. Incluye, por tanto, su origen en las actividades humanas de contar y ordenar colecciones de objetos, los instrumentos materiales inventados para dicha actividad, las operaciones y relaciones que se establecen entre ellas para la solución de problemas prácticos, y el propio sistema lógico–deductivo que organiza, justifica y estructura todos sus elementos. El dominio intuitivo, flexible y racional de los números que caracteriza la apropiación del sentido numérico por parte del sujeto se inicia en preescolar, con las actividades de clasificación y ordenación de colecciones (uso de relaciones “más que”, “menos que”, “igual”, ...), el aprendizaje de la secuencia numérica hasta la decena, y continúa E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 202 desarrollándose en los niveles escolares posteriores trabajando con números más grandes, fracciones, decimales, porcentajes, etc. 2.2. El aprendizaje de la sucesión de palabras numéricas El número natural surge como respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿qué lugar ocupa este elemento dentro de un conjunto ordenado? Se construye, por tanto, alrededor de su significado como cardinal y ordinal y para ello es necesario contar. Pero esto exige a su vez la memorización de tramos de la sucesión numérica cada vez más amplios. Además, se necesita también estar en condiciones de recitar cualquier tramo de la sucesión numérica para saber cuáles son los números anterior y posterior a uno dado y para desarrollar técnicas orales de suma y resta. La memorización de la sucesión de palabras numéricas puede conseguirse por medio de situaciones de recitado o de recuento. Pero el recuento empieza siempre desde uno y no permite consolidar tramos altos de la sucesión. Por ejemplo, para aprender que después del novecientos noventa y nueve viene el mil no podemos contar desde uno, tendremos que recitar la sucesión numérica desde un novecientos y pico. Hay que tener en cuenta, además, que las dificultades mayores se encuentran en los cambios de decena, centena, millar, etc., por lo que es necesario ejercitarse en tramos de la sucesión que contengan alguno de estos cambios. En el dominio del recitado de las palabras numéricas el alumno puede encontrarse en alguno de los niveles siguientes: - Nivel cuerda. El alumno es capaz de recitar un trozo de la sucesión numérica por evocación. El sonido de lo que está diciendo trae encadenados los sonidos siguientes, pero el niño no separa una palabra de otra. Este conocimiento verbal no puede aplicarse al recuento al no distinguir donde acaba una palabra y empieza otra. - Nivel cadena irrompible. El niño sólo es capaz de recitar la sucesión numérica si empieza por el uno, pero ahora ya diferencia las distintas palabras numéricas. En este nivel ya se pueden asumir tareas de recuento. - Nivel cadena rompible. Aquí el alumno es capaz de "romper" la cadena comenzando a recitar a partir de un número distinto del uno. - Nivel cadena numerable. El niño es capaz, comenzando desde cualquier número, de contar un número determinado de palabras, deteniéndose en la que corresponda. Por ejemplo, contar cinco números a partir del ocho y decir el número final, el trece. Desde este dominio se afrontan con bastantes garantías la realización de las operaciones básicas del cálculo. - Nivel cadena bidireccional. Es el máximo dominio al que se puede llegar. Supone las destrezas del nivel anterior aplicadas al recitado de la sucesión numérica hacia delante o hacia atrás. Contar bien desde el número a, b números hacia atrás, tardando aproximadamente el mismo tiempo que hacia delante, es el tipo de tarea que define al alumno que ha alcanzado este nivel de dominio de la sucesión numérica. Aunque estos niveles definen una progresión en el aprendizaje del recitado de la sucesión numérica, hay que entender que no todos los niños pasan por todos esos niveles y también que un mismo niño puede tener un nivel de dominio de un cierto tramo numérico y otro nivel distinto para otro tramo numérico. Es decir, un niño puede estar en un nivel de "cadena Números naturales. Sistemas de numeración 203 numerable" en el tramo del uno al diez y en un nivel de "cadena irrompible" en el tramo del diez al veinte. El aprendizaje de las palabras numéricas se va haciendo por tramos progresivos que se suelen consolidar en el siguiente orden: primero las palabras uno, dos y tres, después el tramo del uno al cinco seguido del tramo del cinco al diez. En fases posteriores los niños van consolidando los siguientes tramos: del diez al veinte, del veinte al cincuenta, del cincuenta al cien, del cien al doscientos, del doscientos al quinientos, del quinientos al mil, del mil al diez mil, del diez mil al cien mil, del cien mil al millón, del millón en adelante. 2.3. El aprendizaje del recuento y del significado del número como cardinal y ordinal Los distintos estados de conocimiento de los niños sobre el significado del número pueden resumirse como sigue: - Percepción temprana de cardinales. Los niños pequeños, entre dos y cuatro años, son capaces de reconocer el cardinal de conjuntos de uno a tres o cuatro elementos sin necesidad de contar. El cardinal es percibido globalmente por simple inspección visual del conjunto. En cambio, cuando se trata de cardinales mayores, los niños ya no saben decirlos correctamente porque eso exige contar y en esta etapa no tienen asumidos los principios en los que se basa dicha técnica. - Percepción prioritaria de ordinales. Esta etapa corresponde a niños con edades entre tres y cinco años. Ahora los niños ya asumen algunos de los principios que permiten efectuar un recuento. En concreto, el principio del orden estable (las palabras numéricas deben decirse siempre en el mismo orden, empezando por el uno y sin omitir ninguna) y el de la correspondencia uno a uno (cada objeto del conjunto contado debe recibir una palabra numérica y sólo una)5. La práctica del recuento pone de manifiesto el sentido ordinal del número por cuanto la palabra numérica que se adjudica a cada objeto es su ordinal. Sin embargo, en esta fase no se asume el principio de cardinalidad, es decir, los niños no entienden que el último ordinal sea, al mismo tiempo, el cardinal de todo el conjunto. Para ellos, la respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay?, consiste en la enumeración de todos los objetos de la colección. - Percepción prioritaria de cardinales. En esta etapa, los niños, entre cuatro y siete años, asumen el principio de cardinalidad (la última palabra de un recuento indica, no sólo el ordinal del último elemento señalado, sino también el cardinal del conjunto) con lo que pueden responder correctamente a la pregunta ¿cuántos hay? después de haber efectuado un recuento. Pero al centrar su atención en los cardinales sufren una cierta regresión respecto a los ordinales y aparecen, por ejemplo, dificultades al obtener un ordinal. Se niegan a detener el recuento en el elemento en cuestión, ya que tienen muy claro el principio de la correspondencia uno a uno y pretenden adjudicar palabras numéricas a todos los elementos del conjunto. También tienen dificultades para reinterpretar un cardinal como ordinal, es decir, una vez que han dicho que diecisiete es el número de elementos de un cierto conjunto, les resulta difícil volver a entenderlo como el ordinal del último elemento señalado. Esto les impide, entre otras cosas, adoptar técnicas de contar a partir de uno de los sumandos para obtener una suma. 5 Esto no quiere decir que los niños en esta etapa no cometan errores en el recuento. De hecho, las equivocaciones al contar son bastante frecuentes incluso en los adultos. Lo que quiere decir es que son razonablemente conscientes de los principios a los que nos acabamos de referir y procuran respetarlos al efectuar los recuentos. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 204 Una buena concepción6 del número como cardinal y ordinal supone asumir la doble condición de cada palabra de un recuento como ordinal de un elemento y, a la vez, cardinal de los elementos contados hasta ese momento. Esto permite interpretar las palabras de un recuento numérico, bien como ordinales, bien como cardinales, en función del problema que haya que resolver. En lo que se refiere a la técnica de contar, los errores que se observan pueden clasificarse en: - Errores de recitado. Errores ligados a un recitado incorrecto de la sucesión numérica, consistentes en: saltarse palabras numéricas, decirlas en otro orden, repetirlas, introducir palabras no numéricas, etc. Pueden deberse a que el niño no tiene asumido el principio del orden estable o a una memorización incorrecta del tramo numérico que recita. - Errores de coordinación. Errores ligados a la falta de coordinación entre la emisión de la palabra y el señalamiento del objeto. Por ejemplo, el niño dice "cuatro" señalando dos objetos o dice "dos tres" señalando un único objeto. Pueden deberse al desconocimiento del principio de la correspondencia uno a uno, al hecho de no saber donde empiezan y acaban las distintas palabras numéricas (nivel cuerda del recitado) o a una falta de coordinación entre la emisión vocal y el movimiento de la mano. - Errores de partición. Errores asociados al hecho de "no llevar la cuenta", es decir, de no distinguir correctamente lo ya contado de lo que falta por contar. Consisten en volver a contar un objeto ya contado o dejar objetos sin contar. Se producen por desconocimiento del principio de la correspondencia uno a uno o por una defectuosa puesta en práctica del mismo, debida al desconocimiento o mala utilización de las técnicas auxiliares del recuento (técnicas de diseño de un camino, marcado, separación o realización de una partición) 2.4. El aprendizaje del orden numérico El orden numérico se construye alrededor de situaciones de comparación: comparación entre ordinales para decidir quién va antes y comparación entre cardinales para decidir a qué conjunto le sobran o faltan elementos cuando construimos parejas con un elemento de cada conjunto. Decimos que cinco es menor que ocho porque si un elemento es el quinto estará antes o será anterior en el tiempo al octavo (significado del orden entre ordinales). También decimos que cinco es menor que ocho porque si emparejamos cinco tazas con ocho platos quedarán platos sin taza (significado del orden entre cardinales). Esta última definición también lleva implícita la idea de que todos los conjuntos que tienen el mismo cardinal pueden emparejarse sin que quede ningún elemento sin pareja. El orden numérico tanto en su sentido ordinal como cardinal es asumido muy pronto por los niños. En el caso de orden entre ordinales, el éxito a la hora de ordenar dos números va ligado a la memorización del tramo de la secuencia numérica que los incluye. El niño capaz de recitar del uno al diez ya puede decir, por ejemplo, que "el seis va antes que el nueve". Sin embargo, ese mismo niño puede no saber que quince es menor que diecisiete si no tiene memorizado el tramo del diez al veinte. La memorización de tramos cada vez más amplios de la sucesión numérica permite a los niños ampliar las parejas de números susceptibles de ser ordenadas. Finalmente, la familiarización con las reglas de formación de las palabras 6 Una concepción es el conjunto de informaciones ( conocimientos para la acción y saberes para la interacción social) que un individuo tiene acerca de una noción matemática. Números naturales. Sistemas de numeración 205 numéricas junto con el conocimiento de la escritura del número, conduce a los niños a asumir las reglas formales del orden numérico: a) Un número es menor que otro si tiene menos cifras. b) Si dos números tienen el mismo número de cifras, será menor aquel que tenga menor la cifra de orden superior. c) Si las cifras de orden superior coinciden, se examinan las cifras de orden siguiente hasta encontrar algún caso en que no coincidan y entonces se aplica la regla b. En cuanto al sentido cardinal del orden, en un primer momento los niños son capaces de percibir globalmente si en un conjunto hay más elementos que en otro, siempre que esa diferencia sea apreciable por simple inspección visual. Sin embargo, el establecimiento del orden entre los cardinales de dos conjuntos por medio del emparejamiento (construcción de parejas que contengan un elemento de cada conjunto) o del recuento no es una habilidad temprana; de hecho, hay niños de seis y siete años que, en esas condiciones, tienen dificultades para decidir qué conjunto tiene más o menos elementos. A este respecto es esclarecedor el comportamiento de los niños en la llamada experiencia de la conservación del número propuesta por Jean Piaget. Consiste en lo siguiente: - Se le presentan aun niño un número reducido de objetos, por ejemplo, entre seis y nueve fichas azules puestas en fila. A continuación, el entrevistador le pide al niño que ponga tantas fichas rojas como fichas azules hay, una ficha roja por cada ficha azul. Una vez que el niño ha emparejado cada ficha azul con una ficha roja, el entrevistador le pregunta si hay el mismo número de fichas azules que de fichas rojas. Si el niño dice que sí, el entrevistador modifica la fila de fichas rojas dejando una mayor distancia entre dos fichas. De esa manera, la fila de fichas rojas ocupa más espacio que la de fichas azules. Después de eso, se pregunta al niño si ahora sigue habiendo las mismas fichas azules que rojas. En la resolución de esta tarea los niños se comportan de las siguientes maneras: - Algunos no saben colocar un número de fichas rojas igual al de fichas azules. No conocen la técnica de emparejamiento ni tampoco se les ocurre contar. Son niños que pueden tener una percepción global de dónde hay más o menos elementos, pero que no usan la correspondencia uno a uno para comparar cardinales. - Otros son capaces de colocar un número de fichas rojas igual al de azules, están seguros de que los dos cardinales son iguales, pero cuando el entrevistador modifica una de las filas haciendo que ocupe más espacio dicen que en esa fila hay más fichas. Se trata de niños que son capaces de usar una técnica de emparejamiento para comparar cardinales de conjuntos, pero en cuanto visualmente ese emparejamiento desaparece dejan de verlo y vuelven a una comparación global basada en la percepción visual de que uno de los conjuntos ocupa más espacio. - Por último, tenemos a los niños que a pesar de la modificación espacial efectuada por el entrevistador siguen afirmando que los dos conjuntos de fichas tienen el mismo número porque "no se ha puesto ni quitado ninguna ficha". En este caso, los niños no sólo son capaces de usar la correspondencia uno a uno entre conjuntos para comparar cardinales, sino que E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 206 siguen "viéndola", aunque físicamente haya desaparecido, y no se dejan distraer por consideraciones de otro orden. Lo más sorprendente de esta experiencia es que ha puesto de manifiesto que practicamente todos los niños pequeños son "no conservadores" y que es necesario esperar a que tengan alrededor de siete años para que acepten mayoritariamente que el número de fichas sigue siendo el mismo. Una última consideración a tener en cuenta es que la tarea de ordenar dos números es muy diferente de la de ordenar tres o más números. De hecho, se ha observado que niños que son capaces de ordenar tres números de dos en dos no son capaces de ordenarlos a base de decir cual es el menor, el mediano y el mayor. En una fase posterior se da también el caso de que, una vez ordenados ciertos números, el niño es incapaz de introducir en el lugar adecuado un número que se le ha dado posteriormente. 2.5. El aprendizaje del sistema escrito de numeración El aprendizaje del sistema escrito de numeración se desarrolla en dos etapas: la de la lectura y escritura de las cifras (números del O al 9) y la de la lectura y escritura de números de dos o más cifras, lo que supone asumir las reglas de representación de números propias de un sistema posicional de base diez. En lo que se refiere a las cifras, los niños deben aprender a reconocerlas y a escribirlas siguiendo el sentido de recorrido oportuno. Para las personas diestras los sentidos de recorrido más adecuados son los siguientes: Los errores más frecuentes que se observan en el trabajo de los niños son: - Errores de inversión de la grafía. Algunos niños confunden el 6 y 9; otros escriben , en lugar de 2, en lugar de 3, en lugar de 5. - Errores caligráficos. La mala caligrafía puede llevar a un niño a confundir sus propias cifras cuando tiene que volver a leerlas. Se puede confundir el 1 con el 2, el 3 con el 5, el 6 o el 9 con el 0, etc. - Errores de recorrido. Es frecuente que los niños se acostumbren a escribir las cifras siguiendo recorridos anómalos. Esto contribuye a empeorar la caligrafía y, además, puede fomentar los errores de inversión ya comentados y la escritura de derecha a izquierda, en vez de izquierda a derecha, lo que crea problemas cuando hay que escribir números de varias cifras. En cuanto al valor de posición de las cifras, diversas experiencias muestran que la comprensión que tienen los niños de ese convenio es muy limitada, incluso cuando llevan ya mucho tiempo escribiendo números de varias cifras. A continuación vamos a describir dos de esas experiencias. Números naturales. Sistemas de numeración 207 Experiencia de Kamii sobre reconocimiento de la decena - El entrevistador presenta a un niño dieciséis fichas y le pide que las cuente, las dibuje en un papel y escriba el número 16. Una vez hecho eso, el entrevistador rodea el 6 y le pide al niño que señale en el dibujo de las fichas lo que corresponde a ese número. Después rodea el 1 y le pide que señale en el dibujo la parte que corresponde a ese número. Este experimento se realizó con niños de entre ocho y once años de edad (por supuesto, todos ellos escolarizados y sabiendo escribir números de varias cifras) y sus respuestas pueden clasificarse como sigue: - Las cifras se interpretan como ordinales o como etiquetas: el 6 corresponde a una ficha y el 1 a otra ficha distinta (22%). - El 6 representa seis fichas y el 1, una ficha (23%). - El 6 representa seis fichas y el 1 es una decena, pero, a la hora de indicarlo en el dibujo, se señala una sola ficha (12%). - El 6 representa seis fichas y el 1 las diez fichas restantes ( 43%. Entre los niños de ocho años sólo el 20% relaciona el 1 con las diez fichas. Experiencia de Ross del agrupamiento en decenas - El entrevistador presenta al niño 48 alubias y 9 tazas. No le dice al niño cuántas alubias hay ni le pide que las cuente. Lo que le pide es que ponga diez alubias en cada taza. Una vez acabada la tarea sobre la mesa quedan 4 tazas llenas y 8 alubias sueltas. Entonces se pregunta al niño cuántas alubias hay en total. Las respuestas de los niños (entre ocho y once años) fueron como sigue: - No saben decir cuántas hay (5%). - Las vuelven a contar todas de una en una (15%. - Las cuentan por decenas ("diez, veinte, treinta, cuarenta") y al final añaden el ocho. Algunos niños multiplican diciendo "cuatro de diez son cuarenta" o "cuatro por diez son cuarenta"(80%). Ningún niño dice directamente "cuarenta y ocho". Además, entre los niños de ocho años sólo el 60% cuenta de diez en diez, el otro 40% cuenta de uno en uno, o no cuenta. Estas experiencias muestran que la noción del valor posicional de las cifras se va construyendo lentamente y que los niños aprenden a escribir números sin ser enteramente conscientes del valor que representa cada cifra. De hecho, los niños saben que cuarenta y dos se escribe con un cuatro y un dos porque los dos números empiezan por la sílaba "cua". Son las similitudes de los sonidos las que permiten escribir y leer correctamente números de dos cifras, más que una correcta interpretación del número en términos de decenas y unidades. Los errores más frecuentes en la escritura de números de varias cifras son los siguientes: E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 208 - Invertir el orden de las cifras. Es propio de la escritura de números de dos cifras y consiste en intercambiar la cifra de las decenas con la de las unidades. - Incorporar la potencia de la base. Consiste en escribir los números tal como se hablan, es decir, explicitando las potencias de la base, como sucede en nuestro sistema oral. Por ejemplo, tres mil doscientos veintitrés se escribiría como 300020023. - Suprimir o añadir ceros. En números grandes con pocas cifras significativas es frecuente que los niños se equivoquen en el número de ceros intermedios que hay que escribir. Por ejemplo, mil cuatro puede aparecer escrito como 104 o como 10004. Además, se observan dificultades de lectura y escritura de números muy grandes tanto en niños como en adultos debido a que la escuela no suele ejercitar a los alumnos en ello y, desde el punto de vista social, se trata de un conocimiento poco necesario. 2.6. Conocimientos previos a la enseñanza del valor de posición de las cifras Para entender que el número treinta y cinco se escribe con un tres y un cinco hay que "verlo" descompuesto en tres decenas y cinco unidades. Pero eso exige saber que "diez más diez son veinte, y más diez son treinta", es decir, hay que saber contar de diez en diez y que cuando a una decena se le suma otra se obtiene la decena siguiente. Una vez entendido que tres decenas es lo mismo que treinta unidades, hay que estar familiarizado con el hecho de que treinta más cinco son treinta y cinco. En otras palabras, para que un niño pueda darle sentido a los razonamientos que se organizan alrededor del valor de posición de las cifras tiene que estar familiarizado con determinadas técnicas orales de suma. Esto implica que las situaciones aditivas que estudiaremos más adelante deben comenzarse antes de enseñar la escritura de números de dos cifras. Los conocimientos orales previos a dicha enseñanza son los siguientes: - Contar de uno en uno y de diez en diez. - Ser capaz de interpretar como cardinales u ordinales las palabras numéricas correspondientes a los números de dos cifras. - Saber que si se suma una unidad se obtiene el número siguiente. - Saber que si se suma una decena se obtiene la decena siguiente. - Sumar oralmente decenas con unidades. El aprendizaje de estos conocimientos puede conseguirse mediante situaciones de recitado, de recuento, de orden y aditivas. Pero además, se necesitan ciertos conocimientos de escritura. Son los siguientes: - Manejar con bastante soltura el lápiz y el papel. - Leer y escribir las cifras. - Saber interpretar como cardinales y ordinales las cifras que aparecen en un mensaje escrito. Números naturales. Sistemas de numeración 209 La adquisición de la primera de estas condiciones depende de la puesta en marcha de situaciones de manejo del lápiz y el papel que ayuden a desarrollar la psicomotricidad fina que la escritura requiere. Estas situaciones no son específicamente matemáticas por lo que no las hemos descrito. En cuanto a las otras dos condiciones, su aprendizaje se conseguirá por medio de las situaciones de trazado de cifras y de comunicación descritas en el apartado anterior. Ejercicio 2: Diagnóstico de competencias y comprensión sobre cardinación y ordenación En l a tabla siguiente se incluye una relación de tareas de manipulación de objetos en situaciones aritméticas que se pueden usar para el diagnostico inicial (o la evaluación final) de las competencias y comprensión de los alumnos de 1er curso de primaria sobre cardinación y ordenación. Utiliza esta pauta con algún niño de dicho nivel. Compara tus resultados con la información dada en esta sección. Manipulación de objetos en situaciones aritméticas a) Contar el número de elementos de un conjunto. A ver, ¿cuántas fichas tenemos aquí?, cuéntalas. b) Construir un conjunto con un número dado de elementos Vamos a coger 15 fichas. Venga, empieza,colócalas aquí. c) Dados dos conjuntos, decir cuál de ellos tiene más o menos elementos. Mira, aquí tenemos fichas negras y aquí fichas rojas. ¿Dónde hay más fichas? d) Construir un conjunto que tenga el mismo número de elementos que otro dado. Mira, aquí tenemos fichas rojas. Vamos a poner un número igual de fichas azules. ¿Cómo lo haremos? e) Decir el ordinal de un elemento. Vamos a hacer una fila de fichas. Ésta es la primera, ésta la segunda, ¿y ésta? f) Colocar un elemento de ordinal dado Mira, en esta fila hay que colocar esta ficha para que sea la cuarta, ¿cómo lo haremos? g) Añadir elementos a un conjunto ya contado (con el conjunto inicial tapado o sin tapar) Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si añadimos estas otras, ¿Cuántas tendremos ahora? Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si añadimos estas 3, ¿cuántas tendremos ahora? h) Quitar elementos a un conjunto ya contado (con el conjunto inicial tapado o sin tapar) Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si quitamos éstas, ¿cuántas tendremos ahora? Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si quitamos 3, ¿cuántas tendremos ahora? i) Adivinar el cardinal de un conjunto sabiendo su cardinal cuando se le añaden o suprimen elementos. Mira, aquí tenemos unas fichas escondidas. No sabemos cuántas hay, pero yo sé que si añadimos 3 más, en total hay ocho. ¿Cuántas fichas hay escondidas?. j) Modificar el ordinal de un elemento añadiendo o quitando elementos anteriores. Mira, esta ficha está la quinta. Si ponemos delante estas otras dos, ¿ahora cómo estará? Mira, esta ficha está la quinta. ¿Cuántas fichas se tienen que ir de la cola para que quede la tercera? k) Comparar dos conjuntos y decir cuántos elementos más o menos tiene uno que otro. Dónde hay más fichas, ¿aquí o aquí?, ¿cuántas más? l) Comparar dos conjuntos diciendo cuántos elementos hay que añadir a uno de ellos para que se iguale con el otro. Aquí tenemos 12 fichas azules y aquí 15 rojas. ¿Cuántas fichas azules tenemos que añadir para tener tantas como rojas? m) Construir un conjunto que tenga un número determinado de elementos de más o de menos que otro ya dado. Aquí tenemos 23 fichas. Vamos a hacer otro montón que tenga 4 fichas menos que éste. n) Comparar dos ordinales, diciendo cuántos elementos hay entre los dos. Si sabemos que esta ficha es la sexta y ésta la novena, ¿cuántas fichas tendremos que poner entre E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 210 las dos? ñ) Hacer torres de 10 elementos a partir de un número dado de elementos. Hemos contado 25 fichas. ¿Cuántas torres de diez fichas podemos hacer? Vamos a hacerlas. ¿Cuántas fichas sobran? o) Realizar acciones de compra-venta de objetos diversos p) Contar objetos de dos en dos, de cinco en cinco, de diez en diez, de cien en cien , de mil en mil. q) Recorrer la sucesión numérica escrita saltando de dos en dos, de tres en tres, etc., hacia delante y hacia atrás. r) Reiterar acciones de añadir o quitar. Aquí tenemos 3 fichas. Si añadimos otras 3, ¿cuántas tenemos ahora? ¿Y con 3 más? Si de estas 22 fichas empezamos a quitar 3, y 3, y 3, ..., ¿cuántas quedarán al final? s) Repartir un número dado de objetos entre un número dado de individuos. Vamos a repartir estas 20 fichas en cuantro montones iguales. ¿Cuántas f ichas hay en cada montón? t) Repartir un número dado de objetos entre varios individuos de modo que a cada uno le corresponda un número dado de objetos. Vamos a repartir estas 20 fichas en grupos de 5. ¿Cuántos grupos podremos hacer? u) Dado cierto número de individuos, adjudicar a cada uno de ellos un número dado de objetos. Vamos a hacer 4 montones de 5 fichas cada uno. ¿Cuánatas fichas necesitaremos? v) Comprar-vender varios objetos de un mismo precio. w) Construir conjuntos que tengan dos veces, tres veces, etc. más elementos que otro dado. x) Construir conjuntos que tengan la mitad, la tercera parte, etc. que otro dado. y) Formar todas las combinaciones posibles entre varios elementos. Si tengo tres pantalones y dos camisas, ¿de cuántas maneras distintas me puedo vestir? z) Medir longitudes, áreas, capacidades, masas con unidades no convencionales. 3. SITUACIONES7 Y RECURSOS 3.1. Situaciones de recitado de la sucesión numérica Las variables didácticas a manipular a la hora de proponer tareas de recitado y los valores entre los que varían, son los siguientes: Tipo de sucesión oral: Cardinal u ordinal. Números de comienzo y final del recitado: Cualquier número natural. Sentido del recitado: Hacia delante o hacia atrás. Número de términos del recitado: Con o sin control del número de términos que se recitan. Salto: De uno en uno, de dos en dos (por pares e impares), de cinco en cinco (por los múltiplos de cinco), de diez en diez, de veinticinco en veinticinco (por los múltiplos de veinticinco), de cincuenta en cincuenta (por los múltiplos de cincuenta), de cien en cien, de doscientos cincuenta en doscientos cincuenta (por los múltiplos de doscientos cincuenta), de 7 El término situación lo usamos con dos sentidos diferentes, como tarea o actividad matemática a realizar, y como situación didáctica. En este último caso, además de la tarea matemática propiamente dicha, se incluyen las intervenciones del profesor, las interacciones entre alumnos, el tiempo asignado y demás recursos utilizados en el estudio. Números naturales. Sistemas de numeración 217 Material utilizado: Todo tipo de objetos que se puedan contar, cubitos encajables, manos, cartas de la baraja, regletas Cuisenaire, ábaco, dinero ficticio; cajas, sobres, bolsitas para guardar objetos, etc. Estimación del resultado: Con o sin exigencia previa de estimación del resultado. Escritura del cardinal: Con o sin escritura del cardinal. Situaciones de comunicación escrita de números de más de una cifra Son situaciones similares a las de comunicación escrita de números de una cifra, la novedad es que se añade el tema del calendario. Para ello, cada comienzo de mes se colocara en la clase un cuadro con las casillas vacías correspondientes a los distintos días del mes. Se apuntarán las efemérides (cumpleaños de los niños, días de fiesta, etc.), contando las casillas desde el principio hasta llegar a la que interesa. Después, cada día se pondrá una pegatina con su fecha. Las variables didácticas a tener en cuenta serían las siguientes: Significado del número: Cardinal u ordinal. Tamaño del número: De 10 en adelante. Tipo de situación: De petición, recuerdo o calendario. Tipo de codificación: Lectura (pasar del escrito al oral), escritura (pasar del oral al escrito) o las dos. Material utilizado: Todo tipo de objetos que se puedan contar, regletas Cuisenaire, ábaco, dinero ficticio, papel y lápiz, cuadro en el que aparezcan escritos los cien primeros números en orden (cuadro numérico), cajas o sobres para guardar objetos, etc. Un apoyo importante para escribir números de dos cifras es la representación de esos mismos números en el ábaco. Esto permite al profesor corregir con rapidez los errores de inversión del orden de las cifras. Ante un niño que escribe el treinta y cinco como 53, es relativamente rápido pedirle que represente el número en el ábaco y decirle que ponga primero el número de decenas y después el de unidades. En el caso de las centenas se pueden utilizar varios ábacos o billetes que imitan dinero. Ejercicios: 11. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 1er curso en las qu e se incluyan una muestra de valores de las variables didácticas identificadas en el estudio de la lectura y escritura de números. 12. Analizar en un libro de texto de primaria si se incluyen o no, tareas o actividades de lectura y escritura de números y los valores de las variables didácticas tenidas en cuenta. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 218 3.7. Materiales para el estudio de la numeración Las actividades manipulativas con material concreto son esenciales para la comprensión del valor de posición de las cifras en el sistema de numeración. El uso de materiales concretos en sus diversas modalidades es una variable de las situaciones que hemos indicado en las secciones anteriores. Aquí describimos algunos de los materiales más frecuentemente utilizados. En la figura 1.1 se muestran algunos ejemplos de materiales mediante los cuales se expresa el número 123. El interés de usar distintos materiales es para que el niño no asocie el valor posicional con un modelo particular. Con el uso de materiales concretos diversos no se trata de que los alumnos abstraigan algo que tuvieran en común dichos modelos, como si los conceptos a construir tuvieran una naturaleza empírica. El fin esencial será lograr que la comprensión de las reglas del sistema de numeración posicional decimal sea independiente de los modelos físicos utilizables. Estos modelos pueden ser proporcionales o no proporcionales: • En los proporcionales de base 10, como los bloques multibase, haces de palillos, etc., el material que expresa la decena es diez veces mayor en tamaño que el que expresa la unidad; la representación de la centena es diez veces mayor que la decena, etc. Los instrumentos de medida también pueden usarse como modelos proporcionales de la numeración: las bandas o cintas de metros, decímetros y centímetros se pueden usar como modelos de cualquier número de tres cifras. • Los modelos no proporcionales, tales como el dinero, el ábaco, etc. no mantienen ninguna relación de tamaño entre las distintas piezas que representan los números. Por ejemplo, una moneda de 1 euro no es cien veces mayor en tamaño que la que representa un céntimo. Números naturales. Sistemas de numeración 219 Modelos proporcionales Modelos no proporcionales placas barras unidades Bloques multibase ábaco Vainas de guisantes Dinero Palillos Fichas de colores Figura 1.1: Expresión del número123 Entre los materiales manipulativos más utilizados en el estudio de la numeración y las operaciones aritméticas están los ábacos, los bloques multibase y los números en color. Ábacos Son juegos de varillas insertadas en un bastidor sobre las que se deslizan bolas o fichas como en un collar. Reproducen físicamente las características de los sistemas de numeración posicionales ordenados ya que las bolas representan un valor numérico diferente según la posición de la varilla en están colocadas. Ábaco chino Ábaco japonés Ábaco ruso En el ábaco decimal cada bola representa una unidad, pero bolas situadas en varillas diferentes representan unidades de distintos órdenes; sobre cada varilla se tiene una potencia de la base. En cada varilla habrá 9 bolas como máximo ya que al añadir otra más se sustituyen por una bola colocada en la varilla de la izquierda. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 220 Ábacos no proporcionales. Antes de utilizar los ábacos no proporcionales se recomienda usar variantes en los cuales no se usa el convenio del valor de posición, de modo que, por ejemplo, el número 23 queda expresado con dos hileras de 10 bolas y otra de tres. En cada hilera, que se coloca horizontalmente, que ponen 10 bolas, 5 de un color y 5 de otro. Bloques multibase Los bloques multibase se presentan en cajas, una para cada base de numeración. En cada caja existen piezas (generalmente de madera o material plástico) de cuatro tipos: cubos, barras, placas y bloques. Los cubos representan las unidades simples o de primer orden, las barras las unidades de segundo orden, las placas las de tercero y los bloques las de cuarto orden. Forman un sistema de numeración por agrupamiento múltiple. Cada pieza corresponde a una potencia de la base. La representación de un número se corresponde con el tamaño de la cantidad ya que van arrastrando todas las unidades.Palillos, cordones, o cualquier otro material cotidiano, enlazados o distribuidos en cajas, haciendo grupos de diez unidades, reproducen las características de los bloques. Números en color Los números en color, también llamados regletas de Cuisenaire, son una colección de varillas coloreadas de longitudes que van desde 1cm (unidades) a 10 cm (decenas) que permiten reproducir las características de los sistemas de numeración de agrupamiento simple. Las varillas tienen forma de prisma cuadrangular de un centímetro cuadrado de sección y sus longitudes varían de centímetro en centímetro desde uno hasta diez. Las regletas que tienen el mismo color tienen también la misma longitud. Los distintos tamaños permiten ordenar las regletas, formando escaleras; uniéndolas por los extremos se pueden obtener distintas longitudes que representarán números diferentes y las operaciones aritméticas. Bloque multibase de base 10 Regletas de Cuisenaire Números naturales. Sistemas de numeración 221 3.8. Recursos en Internet Vamos a contar: http://math.rice.edu/~lanius/counting/spcount.html Descripción: Este conjunto de lecciones animadas para niños de preescolar o primer curso de primaria sobre los números se presenta también en castellano. Incluye orientaciones para los maestros. Es parte de un conjunto de recursos más amplio para el aula de matemáticas. Los principales objetivos son: − Contar un pequeño número de objetos − Comprender el significado cardinal y ordinal de los números al cuantificar e identificar el orden de objetos − Conectar números y palabras con las cantidades que representan − Desarrollar la comprensión del tamaño relativo de los números y hacer conexiones entre el cardinal y orden dentro de una secuencia. − Adquirir diferentes significados para la adición y substracción de números naturales y relacionar estas dos operaciones. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 222 Ejercicio 15: 1. Explorar las diferentes opciones del programa. 2. Indicar los niveles y partes del currículo de primaria en que se pueden usar las distintas opciones. 3. Identificar las variables didácticas de las diversas tareas propuestas en el programa y los valores particulares implementados de dichas variables. ¿Existe algún tipo de control de los valores por parte del usuario? 4. Comparar los tipos de actividades que se pueden realizar usando el programa respecto a las que se hacen habitualmente con papel y lápiz. - ¿Se pueden hacer actividades que no se puedan realizar sin este recurso? - ¿Cómo cambian las técnicas de solución? 5. Después que los alumnos han explorado el programa y realizado las actividades, ¿Qué tipo de explicaciones podría dar el profesor para sistematizar los conocimientos puestos en juego? 4. TALLER DE DIDÁCTICA 4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 1er ciclo de primaria (recomendamos buscar los libros que utilizaste personalmente, o bien los de algún familiar o amigo). 1. Busca ejemplos y ejercicios relacionados con las ideas de número y numeración. 2. Identifica aspectos del desarrollo del tema en los manuales escolares que consideres potencialmente conflictivos. 3. Describe los cambios que introducirías en el diseño las lecciones propuestas para los cursos 1º y 2º de primaria. 4.2. Diseño de actividades11 1. Actividades basadas en configuraciones puntuales La figura adjunta muestra una colección de tarjetas en las cuales hay representadas distintas cantidades de puntos dispuestos según diversos patrones. Propón una colección de tareas que permitan pensar a los alumnos sobre los números y sus composiciones. 2. La tabla 100 A continuación se muestra una disposición de los números del 0 al 99 que se conoce como la “tabla 100”; una variante puede ser comenzar 11 Van de Walle (2001) Números naturales. Sistemas de numeración 223 desde 1. Plantea actividades útiles para el aprendizaje de la serie numérica, ligadas al descubrimiento de patrones o regularidades en la disposición de los números. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 4.3. Análisis didáctico de tareas escolares12 Numeración En una clase de primaria, antes de comenzar el primer período de trabajo sobre estudio de los números, particularmente de los números de tres cifras, el maestro procede a realizar la evaluación inicial incluida en el Anexo. a) ¿Cuál es la función de una evaluación de este tipo y qué consecuencias tiene respecto a la organización de la clase? b) Indicar para cada ejercicio qué competencias del alumno se propone verificar el maestro. c) Para los alumnos que no han tenido éxito en el ejercicio nº 4, ¿qué material de ayuda propondrías? (describe el material) Anexo: Conocimientos sobre numeración 1.¿Cuántos puntos hay marcados en este cuadro? 12 Brousseau y cols (1995) * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 224 2. Observa y comple: 226 227 228 .... 345 ..... .... 603 ..... .... 230 ..... .... 139 ..... .... 200 ..... .... 99 ..... .... 501 ..... .... ..... 3. El maestro dicta los números: 246 - 120 - 500 - 63 - 275 895 - 709 - 314 4. Escribe estos números ordenados de menor a mayor, 326 - 157 - 609 - 98 - 328 - 700 240 - 620 5. Observa los ejemplos y completa: En 387, la cifra de las decenas es ____ En 246, la cifra de las centenas es ___ En 253, la cifra de las unidades es ___ En 387, la cifra de las decenas es ____ En 246, el número de centenas es ___ En 253, el número de unidades es ___ 6. Observa y continúa: 160 - 162 - 164 - - - - 275 - 280 - 285 - - - - 90 - 92 - 94 - - - - 360 - 370 - 380 - - - - 4.4. Diagnóstico de la comprensión de la numeración decimal13 Utilizar las siguientes tareas con una pequeña muestra de alumnos de primer curso para evaluar su comprensión y competencia en el numeración decimal. Destrezas de recuento Actividad 1. Contar hacia adelante, a partir de 77. Actividad 2. Contar hacia atrás, a partir de 55. Actividad 3. Contar de diez en diez. Actividad 4. Contar por decenas, comenzando en 34. Actividad 5. Contar hacia atrás por decenas, comenzando en 130. 13 Reys et. al. (2001), p. 168. Números naturales. Sistemas de numeración 225 Actividad 6. Escribir el número 342. Pedir al niño que lea ese número. A continuación que escriba, o el número siguiente a 342; o el número que resulta de añadirle 10 unidades más; o el número anterior; o el número que resulta de quitarle 10 unidades. Correspondencia entre dígitos y cardinales Actividad 7. Mostrar al niño una colección de 36 fichas (o cualquier otro material). Pedir que cuente la cantidad de fichas y que escriba el número resultante. Señalar el 6 en el 36 y preguntar, “¿Qué quiere decir este 6 en relación a la cantidad de piezas que hay? Después señale el 3 y repetir la pregunta. Uso de las decenas Actividad 8. Tomar 47 fichas y hacer que el niño las cuente. A continuación mostrar al niño 10 tarjetas con casilleros decimales marcados (figura adjunta). Preguntar: Si queremos poner estas fichas en los espacios de estas tarjetas, ¿cuántas tarjetas podemos llenar? Usar grupos de 10 Actividad 9. Preparar tarjetas con semillas u otras piezas pegadas en las tarjetas dispuestas en hileras de 10. Proporcionar al menos 10 tarjetas con una cantidad grande de semillas. Después de asegurarnos que el niño ha contado varias tarjetas de semillas y sabe que hay 10 en cada una de ellas, pedir que muestre 34 semillas. (¿Cuenta las semillas individualmente, o usa las tarjetas con decenas de semillas?). Esta actividad se puede hacer también con centenas. BIBLIOGRAFÍA Brissiaud, R. (1993). El aprendizaje del cálculo. Madrid: Visor. Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995). Thèmes mathématiques pour la préparation du concours CRPE. Talence: Irem D’Aquitaine. Castro, Enr, y Castro, E. (2001). Primeros conceptos numéricos. En Enr. Castro (Ed.), Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria (p. 123-150). Madrid: Síntesis. Castro, E., Rico, L. y Castro, Enr. (1987). Números y operaciones. Madrid: Síntesis. Gómez, B. (1988). Numeración y cálculo. Madrid: Síntesis. Ifrah, G. (1985).Las cifras. Historia de una gran invención. Madrid: Alianza Editorial, 1987. Llinares, S. (2001). El sentido numérico y la representación de los números naturales. En Enr. Castro (Ed.), Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria (p. 151-176). Madrid: Síntesis. Puig, L. y Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos. Madrid: Síntesis. Reys, R. E., Lindquist, M. M., Lambdin, D. V., Smith, N. L. y Suydam, M. N. (2001). Helping children learn mathematics (Sixth edit.). New York: John Wiley. Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. Teaching developmentally (4ª ed.). New York: Longman. Varela, A. y cols (2000). Matemáticas (1º y 2º Primaria). Madrid: Anaya. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 226 Adición y sustracción 233 Tipo 4: Transformación -Transformación -Transformación (TTT ) Es una situación parte-todo en la que el objeto sufre una primera y después una segunda transformación. Las cantidades tp1 y tp2 se refieren a estas transformaciones y la cantidad tt indica la transformación total. La situación se representa mediante el diagrama: Ejemplos: • Pedro gana 5 canicas por la mañana. Pierde 9 por la tarde. ¿Cuántas ha ganado o perdido en total? • A María le dan 200 ptas. por la mañana. Le vuelven a dar 500 ptas. más por la tarde. ¿Cuánto dinero le han dado en total ? Tipo 5: Comparación -Transformación -Comparación (CTC) Situación en la que se establece una comparación inicial ci entre dos cantidades, posteriormente una de las cantidades sufre una transformación t y, por último, cf representa la comparación entre las cantidades finales. La situación se representa mediante el diagrama: Ejemplos: • Pedro tiene 6 caramelos más que Juan. A Juan le dan algunos más y ahora tiene un caramelo más que Pedro. ¿Cuántos caramelos le han dado a Juan? • Pedro tiene 5 caramelos menos que Juan. A Juan le dan dos. ¿Quién tiene ahora menos caramelos? ¿ Cuántos menos? Tipo 6: Comparación -Comparación -Comparación (CCC) Situación parte-todo en la que cp1 expresa la comparación entre una primera y una segunda cantidad, cp2 indica la comparación entre la segunda y una tercera cantidad y ct establece la comparación entre la primera y la tercera cantidad. La situación se representa mediante el diagrama tt tp1 tp2 c i c f t cp1 c t c p2 E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 234 Ejemplos: • Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 3 más que Juan. ¿Quién tiene más, Pedro o Juan? ¿Cuántos más? • Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 5 menos que Juan. ¿Quién tiene más, Pedro o Juan? ¿Cuántos más? En los seis tipos de situaciones nos encontramos con dos datos (cantidades conocidas) y una incógnita (cantidad desconocida que hay que encontrar a partir de los datos). Ahora bien, un simple examen de los ejemplos propuestos nos hace ver que dentro de cada tipo existe un gran abanico de situaciones posibles con diferencias sustanciales. Esas diferencias se deben a los distintos valores que pueden tomar las variables de las que hablamos a continuación. Además, el que la incógnita se obtenga mediante una suma o una resta de los datos depende de la posición que ocupa dentro de la situación y del sentido de las transformaciones o comparaciones que intervienen. Por ejemplo, en los problemas de tipo 2 (estado - transformación - estado) obtenemos seis subtipos de problemas al considerar como dato o incógnita cada una de las tres cantidades que intervienen y si la cantidad inicial crece o disminuye, como se indica en la tabla siguiente: ei t ef Crece Decrece Caso 1 Dato Dato Incógnita * Caso 2 D D I * Caso 3 D I D * Caso 4 D I D * Caso 5 I D D * Caso 6 I D D * Las variables que intervienen en las situaciones aditivas son las siguientes: • Significado de los números: que pueden ser cardinales, ordinales o medidas. • Papel de los números en la situación: pueden ser estados, transformaciones o comparaciones. • Posición de la incógnita: la incógnita puede ser el total o una de sus partes (en las situaciones parte-todo) o bien, el término inicial, medio o final (en las demás situaciones). • Sentido del término medio (situaciones II, III y V): puede indicar un aumento o una disminución del término inicial (si se trata de una transformación) o bien, puede indicar que el término inicial es mayor igual o menor que el término final (si es una comparación). Ejercicios 1. Resolver oralmente e indicar el tipo de cada uno de los siguientes problemas según la clasificación de acuerdo con la estructura lógica y semántica de los problemas aditivos. a) Pedro tiene 37 bolas, juega una partida y pierde 18 bolas, ¿cuántas bolas tiene después de la partida? b) Bernardo juega una partida de bolas y pierde 17 bolas; después de la partida tiene 21 bolas. ¿Cuántas bolas tenía antes de jugar la partida? c) Claudio tiene 19 bolas y juega una partida. Después de la partida tiene 35 bolas. ¿Qué ha pasado en la partida jugada? d) Pablo juega dos partidas; en la primera gana 37 bolas y en la segunda pierde 18. ¿Cuántas bolas tiene al final? Adición y sustracción 235 e) Bruno juega dos partidas de bolas, una después de otra. En la segunda pierde 17 bolas. Al final de las dos partidas ha ganado 21 bolas. ¿Qué ocurrió en la primera partida? f) Carlos juega dos partidas de bolas. En la primera partida gana 19 bolas. Juega una segunda partida. Después de estas dos partidas,ganó en total 35 bolas. ¿Qué ha pasado en segunda partida? 2. FORMALIZACIÓN DE LA OPERACIÓN DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES 2.1. La adición de números naturales En las situaciones y problemas anteriores hemos introducido la adición y substracción en el conjunto de los números naturales. Puesto que siempre que sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural, decimos que la suma es una operación en el conjunto de los números naturales. La substracción no es una operación en el conjunto de números naturales, pero si en el de los números enteros (que incluye los números negativos). Estas operaciones se pueden dotar de diversos significados a partir de los cuales los niños pueden comprender sus propiedades básicas, lo que los preparará para el aprendizaje y la comprensión de los algoritmos de cálculo. También se han formalizado desde el punto de vista matemático. A continuación introducimos diversas formalizaciones de estas operaciones conectándolas cuando sea posible con las situaciones concretas en que se apoyan. Definición recursiva de adición (basada en los axiomas de Peano) Esta manera de definir la suma corresponde a uno de los aspectos del aprendizaje de la noción de adición por los niños: "el seguir contando". En la práctica se puede decir que "Sumar es seguir contando", mientras que restar consiste en "contar hacia atrás" (descontar). Al estudiar los números naturales vimos como se podían definir estos números a partir de los axiomas dados por Peano. A partir de ellos es posible definir la adición en forma recursiva, partiendo de un número p cualquiera y de su siguiente sig(p). Esta es la definición: • p+ 0 = p para todo número natural p. • p + sig(n) = sig(p+n), para todo n diferente de cero. En consecuencia, procedemos como sigue: - Para sumar 1 a un número p se toma el sucesor del número p: sig(p) = p+1 - Para sumar 2 se toma el sucesor del sucesor, etc. - Se supone que se sabe sumar n al número p y para sumar (n+1) se toma el sucesor de n+p, o sea, p + (n+1) = sig(p+n) = (p+n) +1. Podemos comprobar cómo con esta definición encontramos la suma de dos números cualquiera. Por ejemplo: 4+3 = 4+ sig(2) = sig(4+2) = sig (4+sig (1)) = sig(sig (4+1)) = sig (sig (4+sig (0)) = = sig (sig (sig (4+0))) = sig(sig (sig (4))) = sig(sig(5)) = sig(6) = 7. Es decir, 4 + 3 es el número que obtienes al empezar a contar desde cuatro y hallar los tres números siguientes. Definición conjuntista: E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 236 En el modelo de conjuntos partimos de la idea de cardinal, que responde a la pregunta básica: ¿cuántos hay? La adición se interpreta como el cardinal obtenido al unir dos conjuntos, como mostramos en el siguiente esquema: Definición: Dados dos números naturales a, b, se llama suma a+b al cardinal del conjunto A∪B, siendo A y B dos conjuntos disjuntos cuyo cardinal es a y b, respectivamente. Esta definición pone en juego dos operaciones bien distintas: Por una parte la operación que se hace sobre los conjuntos (se reunen dos colecciones que no tienen ningún elemento en común para formar una nueva colección con la totalidad de los elementos que pertenecen a cada uno de ellos. Por otra parte la operación que resulta al nivel de los números de elementos (cardinales) que contienen, operación que es la adición de dichos cardinales. Propiedades: - Clausura: La suma de dos números naturales es otro número natural. - Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c) - Commutativa: a+b = b+a - Existencia de elemento neutro: el natural 0; a+0=0+a = a, ∀ a ∈ N Al tener la propiedad de clausura, la adición es una ley de composición interna en N. Esto quiere decir que a cada par de números naturales se le hace corresponder otro número natural, que suele llamarse la suma de ambos números. También se usa el término operación, que se define de una manera menos estricta y más general que la noción de ley de composición interna. Designa a cualquier procedimiento que da lugar a algoritmos de cálculo. Se habla frecuentemente de las cuatro operaciones en N: la adición, la sustracción, la multplicación y la división entera. 2.2. La sustracción de números naturales Todas las operaciones de N no son leyes de composición interna en N: por ejemplo, la diferencia (3-5) no es un resultado en N: se dice que su cálculo es imposible, por lo que la sustracción no es una operación interna en N. Igual ocurre con la división entera, la cual a un par de números naturales hace corresponder un par de números bajo la forma de un cociente y un resto. A continuación presentamos algunos modelos y formalizaciones de la substracción. A B n(A) =3 n(B)=5 A ÈB n(AÈB)=n(A) +n(B)=3+5= 8 a b c a b e f c g h i e f g h i Adición y sustracción 237 Definición conjuntista: En el caso de la substracción y si el substraendo es menor que el minuendo, se puede representar mediante la operación conjuntista de complementación. En este caso tenemos un conjunto A con a elementos, un subconjunto propio B con b elementos y la diferencia entre a y b será el cardinal del complementario de A, es decir del conjunto A-B, como mostramos en el siguiente esquema: A B Card(A) =8 Card(B)=5 B’=A -B Card(A-B) = Card(A)-Card(B) = 8-5 = 3 Definición "sumando desconocido" En esta definición se parte de la operación de adición. La adición es la operación inversa a la misma. Si a < b, de modo que a + 1 = b tiene como solución un número natural, entonces b-a es el "sumando desconocido" en esa ecuación: a + 1 = b. Ejemplo: Hoy es 17, mi cumpleaños es el el dia 25, ¿cuántos días faltan? Definición por comparación: En esta definición se nuevo se parte de la idea de conjunto, pero no se requiere que uno de los conjuntos con los que se opera sea subconjunto propio del otro, basta con que pueda establecerse una correspondencia del primero con un subconjunto del segundo: Dados a < b, de modo que un conjunto A con a elementos se puede poner en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio A1 de un conjunto B con b elementos, entonces b-a = Card(A'1) Ejemplo: En una reunión hay 87 chicos y 54 chicas. ¿Cuántos chicos hay más que chicas? Dados b < a, de modo que hay un subconjunto propio B de b elementos en un conjunto A de a elementos, entonces a-b = Card (B'), donde B' es el conjunto complementario de B respecto del conjunto A. Ejemplo: Tengo 427 ovejas,vendo 123, ¿Cuántas me quedan? B a b c a b e f c g h i e f g h i A E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 238 Definiciones de la suma y diferencia basadas en desplazamientos en la recta numérica En este modelo los números naturales se interpretan geométricamente como distancias y la suma puede interpretarse como la distancia total cuando se combinan dos tramos consecutivos. Este modelo se encuentra con frecuencia en los libros de texto de Primaria, como en el ejemplo que reproducimos a continuación: Tambièn podemos utilizar este modelo para la substracción, si a partir del primer término, en lugar de avanzar en la recta numérica se retrocede. Dados a < b, para calcular la diferencia b-a se representa el número b sobre la recta numérica y se desplaza dicha posición hacia la izquierda a posiciones. La posición final alcanzada es el valor de b-a. Se puede decir que "restar es contar hacia atrás", o simplemente "descontar". Propiedades de la sustracción en N Las propiedades de la substracción no son las mismas que la de la adición, aunque los alumnos con frecuencia las confunden. A continuación analizamos estas propiedades. - No es una ley de composición interna en N, ya que algunas “diferencias” como 2-5 no existen en N (a-b da un resultado negativo cuando a<b). Sin embargo, sí podemos decir que la sustracción es una operación en N ya que es un medio que permite calcular ciertas diferencias. - No es commutativa, puesto que si a-b existe, b-a no existe en N, salvo si a = b, lo que sólo ocurre cuando a-b = b-a = 0. En una sustracción los dos términos de la diferencia no juegan el mismo papel: el primero, minuendo, es “pasivo” (sufre la sustracción); el segundo, sustraendo, es “activo”, es lo que se sustrae. - No es asociativa, es decir que en un encadenamiento de dos sustracción, el orden en el cual se efectúa las sustracciones -siempre que sean posiblesinfluye en el resultado final. Vemos que la sustracción no posee algunas propiedades “agradables” de la adición que proporcionan una gran libertad en los cálculos de las sumas. Sin embargo, tiene algunas propiedades que son útiles en el cálculo mental: a) Cualesquiera que sean los naturales a, b, c, siempre que a>b+c se tiene siempre que: a-(b+c) = (a-b)-c. Es decir que para restar una suma a un número, se puede restar sucesivamente al número cada término de esta suma. Ejemplo: 38-16 = (38 – 6) – 10 = 32-10=22. b) Cualquiera que sean los naturales a, b, c, si a > b se cumple siempre: (a+c) – (b+c) = a-b; Y siempre que a>b>c, se tiene también: (a-c) – (b-c) = a-b. a veces 0 b-a __ __ __ .... __ b Adición y sustracción 239 Esto se puede enunciar diciendo que una difererencia no cambia si se suma, o bien se resta, un mismo número a cada uno de sus términos. Esta propiedad es muy útil en el cálculo mental, sobre todo cuando el cálculo de la diferencia pone en juego “una llevada”, ya que permite redondear el segundo término de la diferencia, lo que hace el cálculo más simple: Ejemplo: 35-18 = (35+2) –(18+2) = 37-20=17. Esta propiedad interviene también en el algoritmo de cálculo en columnas de las diferencias. 3. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE SUMAS Y RESTAS 3.1. Estrategias de obtención de sumas y restas básicas En nuestro ámbito cultural aprendemos la tabla de sumar, y al preguntar "ocho más siete" o "nueve menos tres" respondemos de inmediato y de forma automática. Otras personas o los niños no tienen las respuestas totalmente memorizadas y recurren a estrategias intermedias para obtenerlas, como las siguientes: • Permutar términos. Preguntan "seis más cinco" y contestamos "cinco más seis, once". • Buscar los dobles. Preguntan "seis más siete" y pensamos "seis más seis, doce, más uno, trece" o "siete y siete, catorce, menos uno, trece". • Completar a diez o cinco. Preguntan "ocho y seis" y pensamos "ocho y dos, diez, y cuatro, catorce"; o preguntan "trece menos siete" y pensamos "trece menos tres, diez, menos cuatro, seis"; o preguntan "'siete menos tres" y hacemos "siete menos dos, cinco, menos uno, cuatro”. • Sumar en vez de restar. Preguntan "trece menos seis" y pensamos "seis y siete, trece, siete" . 3.2. Técnicas orales (o mentales) de suma y resta El cálculo mental, es decir, el que se hace sin herramientas tales como calculadoras o algoritmos escritos, se recomienda en las orientaciones curriculares y libros para profesores, por dos razones principales2: La primera es que durante el período de la llamada "matemática moderna", se puso el acento en la justificación de los algoritmos, asimilando la construcción y comprensión de una noción matemática, y privilegiando el estudio del objeto matemático y sus propiedades, suponiendo que el resto de destrezas se adquiría por "añadidura". El cálculo mental, y los problemas de aplicación, se consideraban como vestigios de una pedagogía obsoleta. En la actualidad se considera que en lugar de presentar directamente muchos conceptos y propiedades, pueden ser utilizados y experimentados por los niños, por medio de actividades tradicionalmente llamadas de "cálculo mental". De este modo, los diferentes pasos del algoritmo, y las propiedades de las operaciones, se pueden introducir e interpretar durante los ejercicios de cálculo mental. Suponemos también que las sesiones en clase no son para lucimiento de los alumnos dotados, sino se plantean discusiones, comparaciones, validaciones de los diferentes métodos ensayados por los niños, esto es, de reflexiones sobre las justificaciones de estos métodos. Por este motivo el calculo mental se suele llamar también cálculo reflexivo o razonado. 2 Maurin y Johsua (1993, p.38-39) E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 240 La segunda razón, es que, lejos de entrar en competencia con la calculadora, el cálculo mental, asociado al aprendizaje de la estimación, es un auxiliar recomendado, para prever y anticipar un resultado numérico complejo, es el medio de control privilegiado de errores de tecleo en la calculadora. El cálculo mental se puede poner en práctica: • En las sesiones de control para verificar el conocimiento de las tablas, propiedades de las operaciones, 9 + 3 y 3 + 9; 0 x 8'7 + ? = 10; 10 - 7 = ?; ... • Como puesta en funcionamiento y apoyo para la introducción de cálculos escritos más complejos, o para justificar y mostrar los mecanismos del algoritmo escrito; • Como anticipación o verificación de un resultado, durante un cálculo automático; • Finalmente, puede ser ocasión de uso en sesiones especiales de solución de "problemas abiertos", en el curso de las cuales se efectuará la puesta en común de las soluciones mediante la explicitación de los diferentes métodos realizados por los niños. La existencia de dos sistemas de numeración, uno oral y otro escrito, que tienen características diferentes, da lugar a que las técnicas de cálculo asociadas a cada uno de ellos sean también distintas y deban ser estudiadas por separado. Las técnicas orales se basan en la retención en memoria de los números que se operan, así como de los resultados de dichas operaciones. Las limitaciones de nuestra memoria exige técnicas basadas en números sencillos, que son más fáciles de recordar y operar. Por tanto, el objetivo de dichas técnicas es "redondear", es decir, conseguir números intermedios "redondos" que faciliten las operaciones y la retención en memoria. Son las siguientes: • Permutar términos. Consiste en intercambiar el orden de sumandos o sustraendos3. Por ejemplo, en "veintitres más treinta y seis menos trece" decimos "veintitres menos trece, diez, diez más treinta y seis, cuarenta y seis". • Suprimir o añadir ceros. Se prescinde de los ceros finales que se vuelven a añadir posteriormente. Por ejemplo, en "ciento cincuenta más ochenta" podemos decir "quince más ocho, veintitres, doscientos treinta". • Descomponer términos. Se descompone uno o varios términos en sumandos o sustraendos. Por ejemplo, en "quinientos ochenta y cinco menos cuatrocientos veintitres" decimos "quinientos ochenta y cinco menos cuatrocientos, ciento ochenta y cinco, menos veinte, ciento sesenta y cinco, menos tres, ciento sesenta y dos". También en "ciento noventa y seis más veintisiete" podemos decir "veintisiete es veintitres más cuatro, ciento noventa y seis más cuatro, doscientos, doscientos veintitres". • Compensar términos. En una suma, sumar a un sumando lo que se substrae a otro. En una resta, sumar o restar la misma cantidad a los dos términos. Por ejemplo, "treinta y ocho más cincuenta y cuatro es lo mismo que cuarenta más cincuenta y dos, noventa y dos". Otro ejemplo, "noventa y nueve menos cuarenta y seis, cien menos cuarenta y siete, cincuenta y tres". Otras técnicas orales más particulares, como, • las técnicas de sumar (o restar) 9: se suma (resta) una unidad a las decenas y se resta (suma) una unidad a las unidades; • la de sumar (o restar) 11: se suma (resta) una unidad a las decenas y otra a las unidades, etc. 3 A los términos de una suma se les llama sumandos. En una resta, al primer término se le llama minuendo y al segundo sustraendo. Adición y sustracción 241 3.3. Técnicas escritas de suma y resta Las técnicas escritas o algoritmos de suma y resta se construyen a partir de nuestro sistema de numeración escrito. Un algoritmo es una sucesión de reglas a aplicar, en un determinado orden, a un número finito de datos para llegar con certeza en un número finito de etapas a cierto resultado. No exigen una toma de decisiones sino simplemente la puesta en marcha de un proceso que se compone de una sucesión de ordenes inequívocas. Las reglas que constituyen el algoritmo de la suma para dos o más sumandos son: • Se escriben los sumandos uno debajo de otro de manera que las unidades de un mismo orden de los diferentes números queden situadas en la misma columna. • Se traza una raya horizontal debajo del último sumando. • Se suman las cifras que se encuentran en la columna de la derecha. • Si el resultado de la suma es menor que 10 se escribe en dicha columna debajo de la raya y se pasa a sumar la columna siguiente. • Si el resultado de la suma es mayor o igual que 10 se escriben las unidades en la columna y la cifra de las decenas se añade a la suma de la columna siguiente. • Se continúa el procedimiento hasta llegar a la última columna. El resultado de sumar la última columna se escribe íntegro debajo de la raya. • El número que aparece bajo la raya es la suma de dichos sumandos. Ejercicio 2. Escribe la tabla de sumar en base cinco y utilízala para realizar la siguiente suma: 135(5 + 431(5 . Justifica el algoritmo indicando las propiedades de la adición y las reglas del sistema de numeración usadas. Las reglas que definen el algoritmo de la resta son: • Se escribe el minuendo y debajo el sustraendo de manera que las unidades de un mismo orden de los dos números queden situadas en la misma columna. • Se traza una raya horizontal debajo del sustraendo. • En la columna de la derecha, si la cifra del minuendo es mayor o igual que la del sustraendo se restan y el resultado se escribe en dicha columna debajo de la raya y se pasa a restar las cifras de la columna siguiente. • Si la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo se le suman a la primera diez unidades, se efectúa la resta, se escribe el resultado en dicha columna debajo de la raya y se aumenta en una unidad la cifra del sustraendo situada en la columna siguiente. Se pasa a restar las cifras de la columna siguiente. • Se continúa el procedimiento hasta llegar a la última columna. • El número que aparece bajo la raya es la resta de los dos números dados. Ejercicios 3. Realiza la siguiente operación y explica el procedimiento seguido utilizando dibujos que simbolicen los distintos agrupamientos (representaciones gráficas simulando el uso de los bloques multibase y el ábaco): 641(8 – 227(8 E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 242 4. Calcula la siguiente suma de números expresados en base 12, indicando las propiedades de la adición y las reglas del sistema de numeración usadas: 9A57(12 +38B4(12 5. Efectúa la siguiente sustracción de números naturales expresados en base 8, usando el algoritmo tradicional de "restar llevando", indicando las propiedades de la resta y del sistema de numeración correspondiente: 7452(8 - 6103(8 Estos algoritmos se complementan con una "cantinela" oral. En el caso de la suma de 457 y 895 decimos, por ejemplo: "siete y cinco, doce, llevo una, nueve y una, diez, y cinco, quince, llevo una, cuatro y una, cinco, y ocho, trece". Y en el caso de la resta 435277 decimos: "del siete al quince, ocho, llevo una (o bajo una), siete y una, ocho, del ocho al trece, cinco, llevo una, dos y una, tres, del tres al cuatro, una". 3.4. Justificación de las técnicas escritas de suma y resta La justificación de los algoritmos escritos se basa en propiedades de la suma y resta de números naturales y del sistema de numeración escrito. En el caso de la suma, la posibilidad de descomponer los números en unidades y la utilización conjunta de las propiedades asociativa y conmutativa, permite transformarla en sumas parciales de unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc. Cuando en una de esas sumas parciales obtenemos un resultado de dos cifras quiere decir qur esa unidad se compone de diez o más elementos y, por tanto, según las reglas de nuestro sistema de numeración escrito, todo lo que supera la decena debe ser trasladado a la unidad superior siguiente, lo que justifica la técnica de la llevada. En el caso de la resta, las propiedades que dicen que "restar una suma es lo mismo que restar cada uno de los sumandos" y que "sumar una cantidad y restar otra es equivalente a restar, en primer lugar, la segunda cantidad y sumar después la primera" son las que permiten descomponer la resta global en restas parciales de unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc. La justificación de la técnica de la llevada es aquí más compleja. Si en una columna nos encontramos con que la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo esa resta parcial, en principio, no se puede efectuar. Para salvar el escollo podemos tomar una unidad de la cifra del minuendo situada en la columna inmediatamente siguiente (hacia la izquierda) y trasladarla a la columna que estamos intentando restar. En esta columna esa unidad de orden superior se transforma en diez unidades que se suman a las ya existentes en la cifra del minuendo y permiten efectuar la resta. Pero ahora, al pasar a la columna siguiente nos encontramos con que a la cifra del minuendo hay que restarle una unidad que ya hemos consumido en la resta parcial anterior. El hecho de que, en vez de restarle una unidad a la cifra del minuendo, se la sumemos a la cifra del sustraendo se basa en una propiedad de la resta que dice que "en una resta restar un determinado número al minuendo equivale a sumar ese mismo número al sustraendo" . En cuanto a la parte oral de los algoritmos de suma y resta su justificación viene dada por la fluidez que producen en el desarrollo del algoritmo. En el algoritmo de la suma: • facilita la obtención de los hechos numéricos básicos; • ayuda a retener en memoria la llevada. Adición y sustracción 249 C: Conocimientos Didácticos 1. ORIENTACIONES CURRICULARES El dominio de los "hechos numéricos básicos" (las tablas de las operaciones aritméticas) implica que los niños puedan dar una respuesta rápida sin recurrir a medios no eficientes, como el recuento. Este aprendizaje, para el caso de la suma y la resta comienza desde el primer nivel, pero debe continuar en segundo curso y requiere, de parte del maestro: • Ayudar a los alumnos a desarrollar una sólida comprensión de las operaciones y de las relaciones entre los números. • Desarrollar técnicas eficientes de recuerdo de los hechos numéricos. • Proporcionar práctica suficiente en el uso y selección de dichas técnicas. El profesor deberá ser capaz de ayudar a los niños a conectar los diversos significados, interpretaciones y relaciones de las operaciones aritméticas (adición, sustracción), de manera que puedan usarlas de manera eficiente en los contextos de la vida real. Los problemas verbales y los modelos gráficos o tangibles (conjuntos de fichas y la recta numérica) son las dos herramientas básicas que tiene el maestro para ayudar a los niños a desarrollar el significado de las operaciones. Los problemas verbales proporcionan una oportunidad de examinar los diversos sentidos de cada operación. Su uso en la clase debe hacerse en un ambiente de indagación, permitiendo a los niños usar sus propias técnicas y justificar sus soluciones. En la actualidad la disponibilidad de calculadoras y ordenadores nos libera de la realización de cálculos penosos, pero al mismo tiempo lleva a conceder más importancia al desarrollo del sentido de la pertinencia y racionalidad de los resultados. Por ello la enseñanza de diversas estrategias de cálculo mental y de estimación figura como un objetivo en los diversos currículos de matemáticas básicas. El estudio de los algoritmos tradicionales de cálculos de las operaciones aritméticas, no debe ser un obstáculo para que los alumnos desarrollen sus propias estrategias. La enseñanza se debe apoyar en las estrategias inventadas por los propios alumnos por las siguientes razones: • Favorecen la comprensión del sistema de numeración decimal. • Se basan en la comprensión de los estudiantes. • Los alumnos comenten menos errores cuando usan sus propias estrategias. • Promueven el pensamiento matemático, ya que son un ejemplo del "hacer matemáticas" 1.1. Diseño Curricular Base del MEC El Decreto del MEC (BOE 26-6-91) por el que se establecen las enseñanzas mínimas del área de matemáticas en la educación primaria establece las siguientes indicaciones para el bloque temático de "Números y operaciones": Conceptos: 1. Las operaciones de suma, resta y sus algoritmos. 2. Reglas de uso de la calculadora Procedimientos 1. Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en la resolución de problemas numéricos u operatorios. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 250 2. Estimación del resultado de un cálculo y valoración de si una determinada respuestas numérica es o no razonable. 3. Elaboración de estrategias personales de cálculo mental con números sencillos. 4. Utilización de la calculadora de cuatro operaciones y decisión sobre la conveniencia o no de usarla atendiendo a la complejidad de los cálculos y a la exigencia de exactitud de los resultados. Actitudes 1. Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de estrategias personales de cálculo mental. 2. Gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados. Estas orientaciones curriculares se desarrollan en el DCB (Documento Curricular Base, MEC, 1989), donde se indica que, al finalizar la Educación Primaria, los alumnos habrán desarrollado la capacidad de: 1. Identificar en su vida cotidiana situaciones y problemas para cuyo tratamiento se requieren operaciones elementales de cálculo (suma, resta), discriminando la pertinencia de las mismas y utilizando los algoritmos correspondientes. 2. Utilizar instrumentos de cálculo (calculadora, ábaco, ... ) y medida (regla, compás, etc.) decidiendo, en cada caso, sobre la posible pertinencia y ventajas que implica su uso y sometiendo los resultados a una revisión sistemática. 3. Elaborar y utilizar estrategias personales de cálculo mental para la resolución de problemas sencillos a partir de su conocimiento de las propiedades de los sistemas de numeración y de los algoritmos de las cuatro operaciones básicas (suma, resta). En el desarrollo del bloque temático sobre "Números y operaciones" el DCB incluye las siguientes orientaciones curriculares: Hechos, conceptos y principios 3. Las operaciones de suma, resta. • Situaciones en las que intervienen estas operaciones: la suma como unión, incremento; la resta como disminución, comparación, complemento • La identificación de las operaciones inversas (suma y resta). • Símbolos de las operaciones 5. Algoritmos de las operaciones. • Algoritmos para efectuar las operaciones con números naturales. • Jerarquía de las operaciones y función de los paréntesis. • Algoritmos para aplicar la suma y resta al cálculo del tiempo y de ángulos. • Reglas de uso de la calculadora. Procedimientos 9. Utilización de diferentes estrategias para resolver problemas numéricos y operatorios (reducir una situación a otra con números más sencillos, aproximación mediante ensayo y error, considerar un mismo proceso en dos sentidos -hacia adelante y hacia atrásalternativamente, etc.). 10. Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en las resolución de problemas numéricos u operatorios. 11. Representación matemática de una situación utilizando sucesivamente diferentes lenguajes (verbal, gráfico y numérico) y estableciendo correspondencias entre los mismos. 12. Decisión sobre la conveniencia o no de hacer cálculos exactos o aproximados en determinadas situaciones valorando el grado de error admisible. Adición y sustracción 251 13. Estimación del resultado de un cálculo y valoración de si una determinada respuesta numérica es o no razonable. 14. Automatización de los algoritmos para efectuar las cuatro operaciones con números naturales. 15. Automatización de los algoritmos para efectuar las operaciones de suma y resta con números decimales de hasta dos cifras y con fracciones de igual denominador. 16. Elaboración de estrategias personales de cálculo mental • Suma, resta • Utilización de la composición y descomposición de números, de la asociatividad y de la conmutatividad para elaborar estrategias de cálculo mental. 17. Identificación de problemas de la vida cotidiana en los que intervienen una o varias operaciones, distinguiendo la posible pertinencia y aplicabilidad de cada una de ellas. 18. utilización de la calculadora de cuatro operaciones y decisión sobre la conveniencia o no de usarla atendiendo a la complejidad de los cálculos a realizar y a la exigencia de exactitud de los resultados. Actitudes, valores y normas 1. Rigor en la utilización precisa de los símbolos numéricos y de las reglas de los sistemas de numeración, e interés por conocer estrategias de cálculo distintas a las utilizadas habitualmente. 2. Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones a un problema. 3. Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de estrategias personales de cálculo mental. 4. Gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados. 5. Confianza y actitud crítica en el uso de la calculadora. 1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) Para los grados K-2 (Infantil y primer ciclo de primaria) el NCTM (2000) propone los estándares siguientes: - Comprender los significados de las operaciones y las relaciones entre ellas • Comprender las diversos significados de la adición y sustracción de números naturales y las relaciones ente las dos operaciones. • Comprender los efectos de la adición y susbracción de números naturales. • Comprender las situaciones que implican multiplicación y división, como son las de agrupamientos de colecciones de objetos de igual cardinal y reparto equitativo. - Calcular de manera fluida y hacer estimaciones razonables • Desarrollar y usar estrategias de cálculo con números naturales, particularmente sobre la adición y sustracción. • Dominar las tablas de sumar y restar • Usar una variedad de métodos y herramientas de cálculo, incluyendo objetos, cálculo mental, estimación, papel y lápiz y calculadoras. Ejercicio: 1.Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes respecto del estudio de los números naturales y la numeración, - Diseño Curricular Base del MEC - Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma - Principios y Estándares 2000 del NCTM. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 252 2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE El conocimiento de la suma y resta de números naturales debe organizarse alrededor de las siguientes facetas o componentes: • los hechos numéricos básicos (tablas de sumar y restar) • las técnicas orales de cálculo • las técnicas escritas de cálculo • las propiedades más importantes de dichas operaciones • las situaciones en las que el uso de dichas operaciones es pertinente. Por tanto, cualquier propuesta de enseñanza de la suma y la resta debe atender al desarrollo de estos aspectos del conocimiento. De esta manera, y a costa de almacenar más información en nuestro cerebro, podemos abreviar los procesos de recuento. Si tenemos que averiguar el cardinal de una colección de objetos que se compone de partes que ya están cuantificadas no será necesario efectuar un nuevo recuento, bastará con poner en acción nuestro conocimiento de los hechos numéricos de la suma, de las técnicas de cálculo asociadas a esa operación y del hecho de que esa operación es adecuada para resolver esa situación. La experiencia de que si una colección se compone de una parte de tres objetos y otra de cinco objetos, en total habrá ocho objetos, es la que permite decir que "tres más cinco son ocho" en determinadas culturas, en particular en la nuestra. Del mismo modo, la constatación continua de que el cardinal de un conjunto de tres elementos al que se le añaden dos es el mismo que el cardinal de un conjunto de dos elementos al que se le añaden tres, nos lleva a la propiedad conmutativa de la suma; etc. Posteriormente, el conocimiento de los hechos numéricos básicos de suma y resta así como de sus propiedades permite construir técnicas de cálculo formales desligadas de las situaciones que justifican dichos cálculos. 2.1. Desarrollo de las técnicas de recuento abreviado Los niños van dando significado a la suma y la resta a través del planteamiento y resolución de las situaciones aditivas. Pero en un primer momento, el desconocimiento de la tabla de sumar y restar impide a los alumnos resolver estas situaciones mediante sumas o restas, necesitando recurrir al recuento. El hecho, constatado una y otra vez por medio del recuento, de que si tenemos tres objetos y añadimos dos más tendremos cinco objetos en total es lo que permite decir al niño, en una fase posterior y sin necesidad de recuento, que tres más dos son cinco. Ahora bien, el paso del recuento al conocimiento de las tablas no es inmediato, sino que es un proceso paulatino con etapas intermedias que en el caso de la suma, detallamos a continuación: • Recuento de todos. El niño representa las dos colecciones de objetos de las que habla la situación mediante algún tipo de material (dedos, palotes, fichas, objetos diversos), las junta y lo vuelve a contar todo de nuevo. • Recuento de todos haciendo énfasis en el primer sumando. El niño recita los números hasta llegar al primer sumando (sin construir una colección de objetos que represente ese sumando) y continúa contando la colección de objetos que representa al segundo sumando. • Recuento de todos haciendo énfasis en el sumando mayor. Lo mismo que en el caso anterior, pero eligiendo como primer sumando el sumando mayor . Adición y sustracción 253 • Recuento a partir del sumando mayor. El niño construye una colección de objetos que representa el sumando menor y la cuenta partiendo del sumando mayor . En el caso de la resta no nos encontramos con una secuencia de estrategias de recuento que evolucionan en el tiempo, pasándose de unas a otras, sino con estrategias de recuento diferentes en función de la situación que se propone y que pueden ser simultáneas: • Recuento de lo que queda. Se utiliza en situaciones de ETE (estado, transformación, estado) en las que al conjunto inicial se le quitan elementos. Consiste en representar mediante objetos el conjunto inicial, quitar los elementos que indica la transformación y volver a contar lo que queda. • Recuento hacia atrás. Se utiliza en las mismas situaciones que el caso anterior y consiste en contar hacia atrás desde el minuendo tantas veces como indica el sustraendo (representado mediante una colección de objetos, frecuentemente dedos). Esta técnica se utiliza poco por la dificultad que supone para los niños contar hacia atrás. • Recuento de la diferencia. En las situaciones de ECE (estado, comparación, estado) en las que la incógnita es el término de comparación, se construyen los dos conjuntos, se emparejan y se cuentan los objetos que quedan sin pareja. • Recuento desde el sustraendo hasta el minuendo. Se usa en las mismas situaciones que el caso anterior y consiste en contar desde el sustraendo hasta el minuendo llevando la cuenta con una colección de objetos (generalmente dedos) de las palabras que se dicen. Posteriormente, se cuenta la colección de objetos. Estas estrategias se superan cuando el niño memoriza las tablas o desarrolla técnicas mentales (cálculo de dobles, complemento a cinco o a diez, sumar en vez de restar, etc.) para obtenerlas con rapidez. 2.2. Desarrollo de la comprensión de situaciones aditivas Con respecto a la estructura lógica de la situación Se observa que las dificultades de los niños a la hora de afrontar una situación aditiva dependen en gran medida de la estructura lógica de la situación y de la posición de la incógnita. Una gradación de menor a mayor dificultad podría ser la siguiente: - EEE (con la incógnita en el estado final o en uno de los parciales) y ETE (con la incógnita en el estado final o la transformación). - ECE (con la incógnita en la transformación o en el primer término de la comparación). - ETE (con la incógnita en el estado inicial y ECE (con la incógnita en el segundo término de la comparación). - TTT (cuando las tres transformaciones tienen el mismo sentido). - TTT (cuando las transformaciones tienen diferente sentido) - CTC y CCC. Con respecto al grado de contextualización de la situación Se observa que los niños entienden mejor las situaciones aditivas cuanto más contextualizadas están. La clasificación de las situaciones en función de un mayor a menor grado de comprensión de las mismas y, por consiguiente, de una mayor a menor capacidad de resolver con éxito, sería la siguiente: • Situación que se refiere a materiales presentes en el aula y con el niño como actor. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 254 • Situación hipotética contextualizada, con material a disposición del niño para que pueda efectuar una representación simbólica. • Situación hipotética contextualizada, sin material a disposición del niño. En una primera fase el niño recurre a los dedos o al dibujo de palotes para efectuar los recuentos necesarios. En una segunda fase recurre a técnicas de cálculo orales o escritas. • Situación formal, es decir, situación en la que se pregunta sin más por el resultado de una suma o resta sin referirlo a ningún contexto físico o social. Los tres primeros tipos de situaciones se engloban en la categoría de situaciones concretas -situaciones con un mayor o menor grado de contextualización-, en oposición a las situaciones formales o no contextualizadas. Con respecto al tamaño de los datos A los niños les resulta más difícil interpretar correctamente una situación aditiva cuanto mayor es el tamaño de los números que intervienen en ella. Se han realizado experiencias en las que se ha pedido a grupos de niños que resuelvan la misma situación, una vez con números pequeños y otra con números grandes, observándose que el porcentaje de resoluciones correctas disminuye sensiblemente en el segundo caso. 2.3. Errores en la ejecución de los algoritmos escritos de suma y resta Los errores más frecuentes que cometen los niños al realizar los algoritmos son los siguientes: a) De colocación de los números. Justifican los números a derecha en vez de hacerlo a izquierda o no hacen coincidir las columnas de las cifras del primer número con las columnas del segundo. 2 3 2 + 4 5 6 8 2 b) De orden de obtención de los hechos numéricos básicos. Empiezan a sumar o restar por la columna de la izquierda y avanzan hacia la derecha. Este error viene favorecido por la tradición de enseñar primero el algoritmo sin llevadas, dejando la introducción de las llevadas para una segunda fase. c) De obtención de los hechos numéricos básicos. Se equivocan en los resultados de la tabla de sumar o restar. d) De resta de la cifra menor de la mayor. Restan la cifra menor de la mayor sin fijarse si corresponde al minuendo o al sustraendo. 5 4 2 – 3 7 8 2 3 6 e) De colocación de un cero. Cuando la cifra del minuendo es menor que la cifra del sustraendo ponen como resultado el número cero. 5 4 6 – 3 7 3 2 0 3 Adición y sustracción 255 f) De lugar vacío. Ante un lugar vacío, no completan la operación u olvidan la llevada. 5 8 6 5 4 6 – 5 4 – 5 4 3 2 5 9 2 g) De olvido de la llevada. No incorporan la llevada a la columna siguiente. h) De escritura del resultado completo. Cuando al operar una columna obtienen un número de dos cifras lo escriben completo en el resultado. 3 6 + 5 6 8 1 2 Ejercicio 2: Diagnóstico de competencias en la realización de sumas y restas formales orales En la tabla siguiente se incluye una relación de tareas aditivas que se pueden usar para el diagnóstico de las competencias de los alumnos de 1er curso de primaria en la realización oral de sumas y restas formales. Utiliza esta pauta con algún niño de dicho nivel e identifica las tareas que supongan mayor dificultad. Cada una de las operaciones siguientes puede plantearse como una suma (3+5= ), una resta (8-5= ), la inversa de una suma (3+ =8), la inversa de una resta (8- =3), una descomposición en suma (8=3+ ), o una descomposición en resta (5=8- ). Deben resolverse utilizando fichas, el ábaco u otro material, salvo cuando los niños son capaces de dar el resultado mentalmente y en poco tiempo. 1. Operaciones con términos y resultado menor o igual que cinco (operaciones que se abarcan con una sola mano) 1+1=2; 1+2=3; 1+3=4; 1+4=5; 2+2=4; 2+3=5. 2. Operaciones con términos y resultado menor o igual que diez (operaciones que se abarcan con las dos manos) - De dobles: 1+1=2; 2+2=4; 3+3=6; 4+4=8; 5+5=10. - De complementos a cinco por defecto o exceso: 1+4=5; 2+3=5; 5+1=6; etc. - De complemento a diez por defecto: 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10. - De operaciones en general: 1+6=7; 1+7=8; 1+8=9; 2+4=6; 2+6=8; 2+7=9; 3+4=7; 3+6=9. 3. Operaciones con términos y resultado menor o igual que 20: - De dobles: 6+6=12; 7+7=14; 8+8=16; 9+9=18; 10+10=20. - De complementos a diez por exceso: 10+1=11; 10+2=12; 10+3=13; 10+4=14; etc. - De complementos a quince por defecto o exceso: 14+1 =15; 13+2=15; 12+3=15, 11+4=15; etc. - De complementos a 20 por defecto: 19+1=20; 18+2=20; 17+3=20; etc. - De operaciones en general: 1+11=12; 1+12=13; ...; 8+11=19. 4. Operaciones con términos y resultado menor o igual que cien: - De decenas con unidades: 20+7)27; 60+2=62=; 30-4=26; 50-1=49, etc. - De decenas con decenas: 30+40=70; 60-50=10; etc. o Dobles: 10+10=20; 20+20=40; 60-30=30; etc. o Complementos a 100: 10+90=100; 20+80=100; 30+70=100; etc. - De decenas y unidades con decenas: 47+20=67; 55-10=45; 40-13=27; etc. - Restar todas las decenas: 32-30= 2; etc. - De decenas y unidades con unidades: - que no sopresan la decena: 45+3=48; 45-3=42; etc. - que sobrepasan la decena: 45+7=52; 45-7=38; etc. - De decenas y unidades con decenas y unidades: E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 256 - Dobles: 11+11=22; 12+12=24; 25+25=50; etc. 5. Operaciones con términos menores o iguales que cien y resultado mayor que cien: - De decenas con decenas: 60+70= 130; etc. - Dobles: 60+60=120; 70+70=140; etc. - De decenas y unidades con decenas: 77+50=127, etc. - De decenas y unidades con unidades: 98+6=104; etc. - De decenas y unidades con decenas y unidades. 6. Operaciones con términos menores o iguales que mil. 3. SITUACIONES Y RECURSOS En concordancia con el apartado anterior, haremos una propuesta de enseñanza con dos secuencias didácticas paralelas: la vía de las situaciones aditivas concretas y la de las situaciones aditivas formales. La primera es necesaria para establecer el sentido o significado de las operaciones, que viene asociado a las situaciones que resuelve, y también para justificar los hechos numéricos básicos y las técnicas de cálculo. La segunda es necesaria para consolidar la memorización de las tablas y las técnicas orales y escritas. 3.1. Secuencia didáctica de introducción de la suma y resta de números naturales Para conseguir los objetivos didácticos, tendremos que plantear a los niños diferentes situaciones aditivas para que, a través de los recuentos, vayan construyendo las operaciones de suma y resta. Estas situaciones deben variarse recorriendo los problemas de combinación, cambio y comparación, así como las diferentes posiciones posibles de la incógnita. Si no se usase esta variedad de problemas, los niños decidirían que la operación que resuelve el problema es una suma porque aparece la palabra 'total' o la palabra 'más' o porque en el enunciado se habla de 'me dan', 'me regalan', etc.; o una resta porque se pregunta 'cuánto queda', o aparece la palabra 'menos', o se habla de 'quitar', etc. Es también necesario plantear sumas y restas formales, es decir, descontextualizadas (por ejemplo, 5 + 9, 14 - 5, 25 + 2, etc. ), para que los niños adquieran técnicas orales (y posteriormente, escritas) de suma y resta. Es la posesión de estas técnicas lo que convierte en interesante la decisión sobre cuál es la operación que resuelve un problema. Decidir si un problema se resuelve mediante la suma 47 + 10 o la resta 47 - 10 es una cuestión difícil que exige tomar en consideración diferentes aspectos de la situación. A un niño no le merece la pena plantearse una cuestión tan compleja si no tiene una técnica que le permita efectuar con rapidez la operación elegida. En ese caso es más cómodo representarse la situación con algún tipo de material y hacer directamente los recuentos necesarios. En el primer caso, el niño tiene que resolver los problemas de manera autónoma, recurriendo, en un principio, a la representación con materiales y el recuento. La finalidad de estas tareas es que las estrategias iniciales de recuento evolucionen (al ritmo del niño) y que, a medida que se consolidan las técnicas de suma y resta, la base experiencial adquirida por el alumno en la resolución de esas situaciones le permita decidir qué operaciones resuelven el problema. En el segundo caso, se trata de efectuar sumas y restas que inicialmente se resolverán por medio de recuentos. Pero conviene hacerles evolucionar cuanto antes hacia estrategias más rápidas. Para ello, se debe trabajar con distintos materiales estructurados (dedos de la mano, regletas Cuisenaire, ábaco, etc.) que permitan obviar los recuentos y proporcionen, por medio Adición y sustracción 257 del aprendizaje de distintas configuraciones numéricas, el entramado necesario para establecer las técnicas orales de suma y resta. Las dos vías: situaciones aditivas concretas y situaciones aditivas formales, deben desarrollarse a la vez. Una posible forma de hacerlo sería la siguiente: • Se comienza trabajando las situaciones concretas de EEE, ETE, y ECE en el tramo numérico de 0 a 20, con materiales presentes en el aula y con el niño como actor. Al mismo tiempo los niños deben familiarizarse con los materiales estructurados y trabajar, mediante situaciones formales, la memorización de las operaciones que caben en una mano, de los dobles de una cifra (5 + 5, 6 + 6, etc.) y de los complementos a 10 (3 + 7, 6 + 4, etc.). • Se prosiguen las situaciones concretas en el tramo 0 a 50, con casos en los que no haya posibilidad de recontar los dos términos para forzar la evolución de las técnicas de recuento y con presentación de situaciones hipotéticas contextualizadas referentes a números entre 0 y 20. Mientras tanto, a nivel formal, se continúa con la consolidación de la tabla de sumar y restar y de las operaciones con términos y resultado menor que 20. • Se introduce el material estructurado en situaciones concretas con términos entre 0 y 100. Las situaciones hipotéticas contextualizadas con material a disposición del niño se trabajan entre 0 y 50. Además se trabajarán situaciones hipotéticas contextualizadas sin material entre 0 y 20, tratando que, en ese caso, los niños empiecen a expresar las soluciones en términos de sumas o restas. En la vía de operaciones formales se continúa con las sumas y restas de términos menores o iguales que 100 en forma oral. • Se introducen tramos cada vez más altos de la sucesión numérica, siguiendo unas pautas similares a las comentadas en los items anteriores e introduciendo las técnicas escritas de cálculo. 3.2. Situaciones aditivas concretas Recomendamos una secuencia de situaciones aditivas concretas, que el alumno debe resolver por sí mismo. El profesor debe controlar que el niño entiende el enunciado, pidiéndole que lo explique con sus propias palabras y animándole a que encuentre una estrategia de resolución. Es decir, se trata, básicamente, de situaciones a-didácticas 5. Estas situaciones deben plantearse antes de hablar de sumas y de restas sin forzar al niño a decidir cuál es la operación que resuelve el problema, aun cuando ya domine las técnicas de sumar o restar. En un primer momento deben elegirse números pequeños, pero más adelante hay que utilizar números grandes y recurrir a recuentos abreviados y material estructurado. Aun cuando al principio se permita al niño representar los dos datos de la situación, en momentos posteriores hay que imposibilitarle el recuento de alguno de los términos para forzarlo a pasar de las técnicas iniciales de "recuento de todo" y "recuento de lo que queda o de la diferencia" a estrategias más elaboradas, paso que muchos de los niños realizan espontáneamente. Las variables didácticas de las situaciones aditivas concretas son las siguientes: • Significado de los números: Cardinal, ordinal o medida. • Tamaño de los términos y resultado de la operación: De 0 a 10, de 10 a 20, de 20 a 50, de 50 a 100, de 100 a 1.000, de 1.000 a 10.000, de 10.000 a 100.000, de 100.000 a 1.000.000, de 1.000.000 en adelante. 5 Situación a-didáctica, aquél momento del proceso de enseñanza-aprendizaje en que el alumno está comprometido con la resolución de una tarea problemática que asume como propia. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 258 • Estructura lógica de la situación: Situaciones aditivas del tipo EEE, ETE, ECE, TTT , CTC o CCC. • Posición de la incógnita: En el primer término, el término inicial o uno de los términos parciales; en el término medio de transformación o comparación; en el segundo término, el término final o el término total. • Sentido del término medio (sólo en las situaciones ETE, ECE o CTC ): creciente o decreciente; positivo o negativo. • Posibilidad de recuento de los términos: Con posibilidad de recuento de los dos términos o de uno solo. • Grado de contextualización de la situación: Situación que se refiere a materiales presentes en el aula y con el niño como actor; Situación hipotética contextualizada con material a disposición del niño para que pueda efectuar una representación simbólica; Situación hipotética contextualizada sin material a disposición del niño. • Tipo de material utilizado: Estructurado o no estructurado • Número de datos: Dos, tres o más. Ejercicios: 3. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 2º curso en las que se incluyan una muestra de valores de las variables didácticas para las situaciones aditivas concretas. 4. Analizar en un libro de texto de 2º curso las situaciones aditivas concretas que se incluyan, identificando los valores de las variables didácticas mencionadas en este apartado. 5 . Indicar los valores particulares de las variables didácticas que intervienen en las tareas siguientes. Clasificar estas tareas según la estructura lógica descrita en la sección 1.2 265 Proyecto Edumat-Maestros Director: Juan D. Godino http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ SISTEMAS NUMÉRICOS Y SU DIDÁCTICA PARA MAESTROS Capítulo 3: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ENTERA E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 266 Multiplicación y división 267 A: Contextualización Profesional ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMARIA Consigna: A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos: 1) Resuelve los problemas propuestos. 2) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la solución. 3) Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. 4) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil. 5) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos. 6) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian. Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria: 1. Calcula y descubre un truco para recordar la tabla: 4x1 4x2 4x3 4x4 4x5 4x6 4x7 4x8 4x9 4x10 4 2. Coloca en vertical y calcula: 34x2, 22x3, 71x4, 41x6 3. Expresa en forma de multiplicación y calcula: 557+557+557+557. 4. Copia y completa, como en el ejemplo: (5+8)x4= 5x4+8x4=20+32=52 (9-6)x3= (7-5)x6= 5. En esta división hay algunos errores. 1526 23 Encuéntralos y corrígelos -132 43 203 -198 006 6. Queremos vaciar un depósito que contiene 54 litros de agua utilizando un cubo en el que caben 9 litros. ¿Cuántos viajes tendremos que hacer? E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 268 7. Un objeto A pesa 18 quilos y un objeto B pesa tres veces menos que el A. ¿Cuánto pesa el objeto B? 8. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyos lados miden 8 y 6 cm, respectivamente?. 9. ¿Cuántas celdas tiene una tabla de 5 columnas y 3 filas? 10. Para celebrar un cumpleaños se han hecho varias bolsas. En cada una de ellas hay 5 paquetes de caramelos. Cada paquete tiene 6 caramelos. ¿Cuántos caramelos hay en cada bolsa? 11. Juan tiene una cantidad de dinero. Ignacio tiene 6 veces el dinero de Juan. Paco tiene la mitad del dinero de Ignacio. ¿Cuántas veces tiene Paco el dinero de Juan? 12. Dos automóviles han dado respectivamente cuatro y ocho vueltas a un circuito. El segundo recorrió 24.800 metros. ¿Cuál es la longitud del circuito? ¿Cuánto recorrió el primer coche? 13. Escribe todos los números múltiplos de 6 que sean menores que 100. 14. Expresa estos productos en forma de potencia: 7x7x7x7x7, 9x9x9 15. Escribe estos números en forma de potencia: 100.000, 1.000.000 16. Escribe los números entre 100 y 200 que tengan raiz cuadrada exacta. 17. Calcula: Ö1225, Ö2025 18. Calcula el valor aproximado de : 83x39, 31x51, 616x181, 624x38, 494x72, 72x48 Multiplicación y división 269 B: Conocimientos Matemáticos 1. ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS DE UNA OPERACIÓN 1.1. Situación introductoria A continuación presentamos una colección de problemas en cuya solución interviene la operación de dividir 20/3: a) Resuelve los problemas b) Explica las semejanzas y diferencias que encuentras entre estos problemas. Indica la clase de números que intervienen, las cantidades, operaciones y relaciones que se establecen entre estos elementos. Problemas: 1) Disponemos de 20 pájaros a repartir en tres jaulas. ¿Cuántos pájaros se meterán en cada jaula? 2) Una pieza de 20 metros de tela se corta en trozos de 3 metros ¿Cuántos trozos resultan? 3) Repartimos una pieza de 20 metros de tela a tres modistas ¿Cuánta tela le corresponde a cada una? 4) Un camión de 3 toneladas de carga útil debe transportar 20 toneladas de carga ¿Cuántos viajes deberá hacer? 5) Si repartimos 20 pasteles entre 3 niños, ¿cuánto le toca a cada uno? 6) Pedro tiene 20 millones en acciones. Si el valor de la cotización en bolsa se reduce a la tercera parte, ¿cuánto dinero le queda? 7) Juan tiene una terraza rectangular de 20 m2. Si el ancho es de 3m, ¿cuál es el largo de la terraza? 1.2. Clasificación de los problemas multiplicativos Así como las operaciones aritméticas de suma y resta se construyen inicialmente para abreviar los recuentos o procesos de medida, la multiplicación y división entera son un medio de abreviar los procesos de sumar (o restar) repetidamente una misma cantidad o repartir equitativamente una cantidad entre cierto número de seres u objetos. Por ejemplo, en lugar de sumar el número 6 nueve veces, decimos directamente que el resultado es 54, sin necesidad de efectuar las sumas repetidas, porque “sabemos multiplicar”. Las situaciones que dan sentido a la multiplicación y división entera (situaciones multiplicativas de una sola operación) se puede clasificar atendiendo al papel que juegan los números que intervienen en ellas que pueden ser: • estado, cuando expresan el cardinal de un conjunto, el ordinal de un elemento o la medida de una cantidad de magnitud; E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 270 • razón, cuando expresan un cociente entre cantidades de magnitudes diferentes; • comparación, cuando indican el número de veces que una cantidad de magnitud está contenida en otra cantidad de la misma magnitud. Basándonos en esto, las situaciones multiplicativas de una sola operación se clasifican en: Situación multiplicativa de razón (ERE): Situación en la que intervienen dos estados E1 y E2 que hacen referencia a magnitudes distintas y una razón R que expresa el cociente de E2 respecto a E1. Cuando la incógnita está en la razón R podemos interpretar la situación en términos de reparto equitativo y cuando está en el estado E1 en términos de agrupamiento o descomposición en partes iguales. Ejemplos: • Juan compra 3 paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta 25 pesetas. ¿Cuánto ha pagado en total? • Un coche recorre 180 km. en dos horas. ¿Cuál ha sido su velocidad media? Situación multiplicativa de comparación (ECE): Intervienen dos estados E1 y E2 que hacen referencia a una misma magnitud y una comparación C que indica el número de veces que hay que repetir uno de los estados para igualarlo al otro. Ejemplos: • Maria tiene 25 pesetas y su hermana Soledad 100. ¿Cuántas veces más dinero tiene Soledad que María? • La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 7 veces más que la A. ¿Cuánto mide la varilla B? Situación multiplicativa de combinación (EEE): Intervienen dos estados E1 y E2 que expresan los cardinales de dos conjuntos o las medidas de cantidades de dos magnitudes y un tercer estado Ef que indica el cardinal del producto cartesiano de esos dos conjuntos o la medida de la cantidad de magnitud producto. Ejemplos: • En un baile hay 3 chicos y algunas chicas. Se pueden formar 6 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántas chicas hay en el baile? • En un ortoedro el área de la base es de 9 m2 y la altura de 6 m. ¿Cuál es su volumen? Situación multiplicativa de doble comparación (CCC): Situación en la que C12 expresa el número de veces que la primera cantidad de magnitud está contenida en la segunda, C23 indica el número de veces que la segunda cantidad de magnitud está contenida en la tercera y C13 establece el número de veces que la primera cantidad de magnitud está contenida en la tercera. Ejemplo: • Juan tiene un dinero. Ignacio tiene 4 veces el dinero de Juan. Paco tiene 5 veces el dinero de Ignacio. ¿Cuántas veces tiene Paco el dinero de Juan? Las variables de los problemas multiplicativos, y los valores que pueden tomar, son los siguientes: • Significado de los números: pueden ser cardinales, ordinales o medidas de cantidades de magnitud Multiplicación y división 271 • Papel de los números en la situación: pueden ser 'estados', 'razones' o 'comparaciones' (ya definidos al comienzo del apartado). • Posición de la incógnita: puede ocupar uno cualquiera de los papeles adjudicados a las cantidades en la situación. • Sentido de la comparación: indica si el primer término de la comparación es varias veces mayor o menor que el segundo término. 1.3. Construcción de las operaciones de multiplicación y división entera de números naturales La experiencia acumulada en las situaciones anteriores permite construir la multiplicación y la división entera a partir de: • la definición de los hechos numéricos básicos (tabla de multiplicar); • el establecimiento de las propiedades de dichas operaciones; • la invención de técnicas de cálculo eficaces (orales y escritas); • la discriminación de las situaciones en las que el uso de dichas operaciones es pertinente. Al igual que en el caso de la suma y la resta, esto supone un coste de memoria. También hay que advertir que así como, en la suma, resta y multiplicación a cada par de números les corresponde un único número, que es el resultado de la operación, en la división entera, dados dos números, el dividendo y el divisor, obtenemos como resultado otros dos números, el cociente y el resto1. Por tanto, la división entera es la técnica mediante la cual, dados dos números, D y d, podemos encontrar otros dos, q y r, tales que D = dq + r y r < d. Ejercicios: 2. Determina el menor número natural que multiplicado por 7 nos da un número natural que se escribe usando únicamente la cifra 1. ¿Y únicamente la cifra 2? 3. Expresa los números del uno al diez como resultado de operaciones entre números en las que, en total, intervengan cuatro treses. 4. Suponemos que los números naturales D y q son tales que D<4500, y q=82. La división entera del número D por d da como cociente q = 82, y resto r = 45. Buscar, justificando la respuesta, el conjunto de pares (D, d) que cumple dicha condición. 5. Resolver el problema anterior para r = 112. Discutir la existencia de soluciones según los valores del resto r. 6. Se resta de 3 en 3 a partir de 50 hasta que se obtiene el menor número natural posible: "50, 47, 44, 41, ..." ¿En qué número termina esta serie? 7. Se resta de 3 en 3 hasta obtener el menor número natural posible, pero a partir de 8932: "8932, 8929, 8926, ..." ¿En qué número termina esta serie? ¿Cuántos términos tie ne esa secuencia de sustracciones? ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 100? 8. Sabiendo que 8562 = (34 x 251) +28 1 Los términos de un producto se llaman factores. El primer término se llama también multiplicando y el segundo término multiplicador. Los términos de una división entera son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. Cuando en una división el resto es cero se dice que la división es exacta. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 272 a) ¿Cuáles son el cociente y el resto de la división entera de 8562 por 34? b) ¿Cuáles son el cociente y el resto en la división de 8562 por 251? 9. Sabiendo ahora que 18846610 = (4973 x 3789) + 3913 c) ¿Cuáles son el cociente y el resto en la división entera de 18846610 por 4973? d) ¿Cuáles son el cociente y el resto en la división entera de 18846610 por 3789? 10. Sabiendo que 1261541 = (4897 x 257) + 3012. ¿Cuáles son los cociente y el resto en la división entera de 126154100 por 489700? 2. FORMALIZACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES En las situaciones y problemas anteriores hemos introducido la multiplicación y división entera en el conjunto de los números naturales. Puesto que siempre que multiplicamos dos números naturales obtenemos otro número natural, decimos que la multiplicación es una operación en el conjunto de los números naturales. La división no es una operación en el conjunto de números naturales, pero si en el de los números racionales (que incluye los números negativos). Estas operaciones se pueden dotar de diversos significados a partir de los cuales los niños pueden comprender sus propiedades básicas, lo que los preparará para el aprendizaje y la comprensión de los algoritmos de cálculo. También se han formalizado desde el punto de vista matemático. A continuación introducimos diversas formalizaciones de estas operaciones conectándola cuando sea posible con los modelos concretos en que se apoyan. Definición conjuntista de multiplicación En esta definición se parte de la idea de producto cartesianos de conjunto. La multiplicación corresponde a la idea de repetición, pues al formar un producto cartesiano se repite cada elemento del primer conjunto junto a cada elemento del segundo. Recoge especialmente los problemas de combinación, como visualizamos en el siguiente esquema: A B Card(A)=3 Card (B)=2 Card (AxB) = Card (A) x Card (B) a b c c e f ae af be bf ce cf AxB Multiplicación y división 273 Definición: Dados dos números naturales a, b, se llama multiplicación axb al cardinal del conjunto producto cartesiano AxB, siendo A y B dos conjuntos cuyo cardinal es a y b, respectivamente. Esta definición pone en juego dos operaciones bien distintas: Por una parte la operación que se hace sobre los conjuntos (se combinan entre si dos colecciones formar una nueva colección con la totalidad de los elementos que pertenecen a cada uno de ellos; cada elemento de la nueva colección es un par (ab) donde a es un elemento del primer conjunto y b uno del segundo). Por otra parte la operación que resulta al nivel de los números de elementos (cardinales) que contienen, operación que es la multiplicación de dichos cardinales. Propiedades: - Clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural. - Asociativa: (axb)xc = ax (bxc) - Commutativa: axb = bxa - Existencia de elemento neutro: el natural 1; ax1=1xa = a, ∀ a ∈ N - Distributiva respecto a la adición: ax(b+c) 0 axb+axc para cualquieras números a, b y c. Al tener la propiedad de clausura, la multiplicación es una ley de composición interna en N. Esto quiere decir que a cada par de números naturales se le hace corresponder otro número natural, que suele llamarse la suma de ambos números. Definición recursiva de la multiplicación (basada en los axiomas de Peano) Esta manera de definir la suma corresponder a uno de los aspectos del aprendizaje de la noción de adición por los niños: "repetir varias veces un mismo sumando”. Al estudiar los números naturales vimos como se podían definir estos números a partir de los axiomas dados por Peano. A partir de ellos es posible definir la multiplicación en forma recursiva, partiendo de un número p cualquiera y de su siguiente sig(p). Esta es la definición: • px 1 = p para todo número natural p • p x sig(n) = pxn+n, para todo n diferente de cero. En consecuencia, procedemos como sigue: - Como 2 es el siguiente de 1, p x2= pxsig (1)= px1+p= p+p; se suma dos veces el número p - Para multiplicar el número por 3, como 3 el siguiente de 2, p x3= pxsig (2)= px2+p= p+p+p; se suma tres veces el número p - Así sucesivamente Podemos comprobar como con esta definición podemos encontrar el producto de dos números cualquiera. Por ejemplo: 4x3= 4x S(2)= (4x2)+4 = (4xS(1))+4 = (4x1+4)+4=4+4+4 Es decir, 4 x 3 es el número que obtienes al repetir cuatro tres veces. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 274 Definición conjuntista de división con resto Dados dos naturales n y d, dividir n por d es repartir un conjunto de n elementos en tantos subconjuntos de d elementos como sea posible. El número de subconjuntos formados es el cociente y los elementos que quedan es el resto. Este proceso se puede ver como una repetición de la sustracción. Ejemplo: 27-5 = 22; 22-5=18; 18-5=13; ... Definición aritmética de división entera: Dados dos números naturales n y d, d ≠0 y n ≥ d, dividir n por d significa encontrar otros dos números naturales q y r tales que n = d.q + r, siendo r < d. Una condición para q y r equivalente a la anterior es la siguiente: q.b ≤ a < (q+1).b; r = a-q.b Si el resto es cero se dice que la división es exacta. En este caso la división se puede considerar como la operación inversa de la multiplicación, esto es, "calcular el número que multiplicado por d dé como resultado n (repartir un conjunto de n elemento en subconjuntos de d elemetos). La división no es una ley de composición interna en N ya que a dos naturales, el dividendo y el divisor, se le hace corresponder no uno sino dos números naturales: El cociente y el resto. Se considera, sin embargo, como una de las operaciones aritméticas en N. Una propiedad útil de la división entera: Si se multiplica el dividendo y el divisor de una división por un mismo número n, no se modifica el cociente de la división, pero cambia el resto, que queda también multiplicado por n. Aplicando esta propiedad obtenemos que 61000 dividido por 9000 da como cociente 7 y resto 7000, ya que 61 divido por 9 da como cociente 7 y resto 7, lo que se puede hacer mentalmente. 3. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ENTERA 3.1. Estrategias de obtención multiplicaciones y divisiones enteras básicas Ejercicios 11.¿Cuánto es veinticinco por doce? ¿Cómo obtienes la respuesta sin usar papel y lápiz? 12 . Calcula el cociente y el resto de la siguiente división entera 345678 : 23, restando múltiplos del divisor. El uso de estrategias intermedias para obtener multiplicaciones y divisiones básicas es mucho menos frecuentes que en la suma y resta debido a que la escuela ejerce una fuerte presión para que los niños memoricen la tabla de multiplicar. Las estrategias más frecuentes para obtener alguno resultados de dicha tabla son: • Sumar reiteradamente. Se multiplica sumando el multiplicando tantas veces como indique el multiplicador. Por ejemplo; "ocho por tres es ocho más ocho, dieciseis, más ocho, Multiplicación y división 281 primera columna cuya suma no sobrepase el dividendo. La suma de los términos correspondientes de la segunda columna nos da el cociente. El resto será 457 -430 = 27. d) Multiplicación por doble y mitad Ha sido un algoritmo habitual en sociedades iletradas donde el conocimiento de la tabla de multiplicar se sustituía por técnicas de calcular dobles y mitades. Para multiplicar 457 x 86 se escriben los dos números y mientras el primero se dobla el segundo se divide por dos, prescindiendo de decimales, hasta llegar a la unidad. Al final se suman todos los términos de la primera columna que corresponden a números impares de la segunda columna. e) Multiplicación en "celosía" Se trata de un algoritmo de multiplicación usado en Europa hasta el siglo XVI en el que fue sustituido por el actual. Es un buen algoritmo y se supone que las razones de su sustitución fueron de orden tipográfico. El multiplicando se escribe encima de la rejilla y el multiplicador a la derecha. En cada casilla se escribe el resultado de multiplicar las correspondientes cifras de multiplicando y multiplicador. Finalmente se suma en diagonales y el resultado del producto aparece debajo y a la izquierda de la rejilla. f) División en "galera" Fue usada hasta el siglo XVII en que se sustituyó por la técnica actual. Equivale a un algoritmo de división extendido pero la colocación de los números es distinta. Para dividir 44977 : 382 se seguían los pasos que reproducimos en la figura. El cociente es 117 y el resto 283. Ejercicios 15. Construye la tabla de multiplicar números naturales en base 6. Calcula el producto de los siguientes números que están expresados en base 6, haciendo los cálculos en base 6: 34521(6 x 123(6. Justifica con este ejemplo el algoritmo tradicional (disposición en colunmas de los resultados parciales) indicando las propiedades del sistema de numeración posicional y de las operaciones aritméticas requeridas. 16. Realiza la multiplicación y la división entera de 227 por 41 utilizando el algoritmo de duplicación. 86 172 344 1 2 4 430 5 4 5 7 9 1 4 1 8 2 8 3 6 5 6 7 3 1 2 1 4 6 2 4 2 9 2 4 8 87 43 21 10 5 2 1 3 9 3 0 2 4 3 4 x 1 2 9 1 2 3 2 4 1 8 2 4 6 1 5 6 2 4 382  67 44977 382  1 382  29 675 44977 3822 38  11 382  2 298 6753 44977 38224 387 26  117 E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 282 71. Utiliza el algoritmo de resta sin llevadas para restar 17829 de 34234 y el algoritmo de multiplicación en celosía para multiplicar 258 por 3489. 3.7. Diferencias entre las técnicas orales y escritas • Las técnicas orales se organizan en torno a nuestro sistema de numeración oral. En cambio, las técnicas escritas se basan en nuestro sistema de numeración escrito. • Las técnicas escritas, salvo la de la división, son algorítmicas, mientras que las técnicas orales exigen una toma de decisiones que permita encontrar números "redondos" intermedios. • Las técnicas orales manejan los números globalmente frente a las técnicas escritas que son analíticas, es decir, manejan los números descompuestos en dígitos. • En las técnicas orales los números se trabajan de izquierda a derecha y en las escritas de derecha a izquierda, salvo en la división. • No son técnicas independientes. Los algoritmos escritos necesitan un apoyo oral y con frecuencia las técnicas orales van acompañadas de un refuerzo escrito que permita mantener los números en la memoria. 3.8. Operaciones con calculadora Actualmente, existe la posibilidad de realizar las operaciones con calculadora. Para ello necesitamos apretar las secuencias de teclas apropiadas para cada operación. Para obtener la suma, resta o multiplicación de los números 3489 y 276 se aprietan las teclas siguientes2: Una vez apretadas las teclas correspondientes el resultado de la operación aparece en la pantalla. Resulta un poco más complicado el caso de la división entera. En las calculadoras ordinarias al apretar la secuencia de teclas siguiente: 3489:276 = no se obtiene el cociente y resto correspondientes a la división entera, sino el cociente correspondiente a la división decimal. Es decir, aparece en pantalla el número decimal 12.641304 (en las calculadoras el punto equivale a nuestra coma decimal). Esto nos permite saber que el cociente de la división entera es 12. Para reconstruir el resto a partir de ese resultado, se le resta el cociente entero 12 al número que está en pantalla, se obtendrá 0.6413043; se multiplica ese resultado por el divisor 276 y el número natural 177 que aparece en pantalla será el resto de la división entera. Si el número que aparece es un decimal se redondea al entero más próximo. 2 Esta secuencia no sirve para las Hewlett-Packard que usan el sistema de notación polaco. 3489276 3489276 3489276x += −= = Multiplicación y división 283 Ejercicios: 18. Usando la función constante de la calculadora calcula el valor de 9x9x9x9x9x9x9x9, o sea, 98 19. El producto de dos números consecutivos es 2070. ¿Qué números son? 20. Si la tecla de multiplicar está estropeada indica cómo se puede calcular el producto, 1234 x 596 21. Calcula el valor exacto de la siguiente multiplicación: 9765432156 x 132547965 22. Utiliza la memoria de la calculadora [M+] para calcular la expresión: (7984739 + 947326) : (3 x 5287710 - 603683) 23. Comprueba con la calculadora los siguientes patrones y complétalos hasta que puedas decir algo sobre su campo de validez. 1 . 8 + 1 = 9 12 . 8 + 2 = 98 123 . 8 + 3 = 987 1234 . 8 + 4 = 9876 9 . 9 + 7 = 88 98 . 9 + 6 = 888 986 . 9 + 5 = 8888 9876 . 9 + 4 = 88888 652 - 562 = 332 65652 – 56562 = 33332 6565652 – 5656562 = 3333332 3.9. Potencias, raíces y logaritmos Además de las operaciones anteriormente citadas, se construye también en el conjunto de los números naturales una nueva operación, la potencia, para indicar productos repetidos. La consideración de esta operación no nos ahorra cálculos, ya que el cálculo de una potencia exige efectuar los productos repetidos, pero sí que permite escribir de forma abreviada dichos productos repetidos. • Así, en vez de escribir 3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 escribimos 310 y esto quiere decir que tenemos que multiplicar el número 3 por sí mismo 10 veces. En una potencia c = ab se dice que a es la base y b el exponente. • En la igualdad 53 = 125 decimos que 125 es el cubo de 5 pero también podemos decir que 5 es la raíz cúbica de 125 y que 3 es el logaritmo en base 5 de 125. • En general, si c = ab entonces b ac = y b = logac. El logaritmo y la raíz pueden considerarse como operaciones inversas de la potencia que nos permiten encontrar un exponente conocida una potencia y su base o encontrar la base conocida la potencia y el exponente. Ejercicios 24. Antes de que se hicieran habituales las calculadoras, había muchas reglas para aligerar los cálculos. Una de ellas servía para calcular el cuadrado de un número terminado en 5. El resultado es un número terminado en 25, delante del cual se ponía el resultado de multiplicar el número que precede a 5 por ese mismo número aumentado en una unidad. Por ejemplo, 352 = (3.4)25 = 1225, 752 = (7. 8)25 = 5625. ¿Cuál es la justificación de esta regla? 25. Justifica si es cierta o falsa la siguiente regla: "Piénsese en dos números naturales consecutivos. Multiplíquense. El resultado multiplíquese por 4. Al resultado súmesele 1. Extráigase la raíz cuadrada del resultado. El número que resulta es la suma de los dos que se pensaron inicialmente. 26. Halla un cuadrado perfecto de la forma AABB. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 284 4. MODELIZACIÓN ARITMÉTICA DE SITUACIONES FÍSICAS O SOCIALES Como ya hemos visto, las operaciones aritméticas son útiles conceptuales que el hombre inventó para resolver ciertas situaciones físicas o sociales problemáticas. Pero, aunque al principio, dichas operaciones estaban directamente ligadas a determinadas acciones físicas, poco a poco, se abstrayeron y se pasó a considerarlas un dispositivo que asocia a dos números dados un tercer número siguiendo determinadas reglas. Además, el número creciente de aplicaciones diferentes de las operaciones aritméticas hace que ya no se asocien a un problema particular. Se produce, por tanto, una disociación entre las operaciones y las situaciones que les dieron origen, convirtiéndose en un conocimiento separado de los problemas que resuelve. De modo paralelo, se desarrolló el concepto abstracto de número entendido como un elemento de un conjunto en el que están definidas unas operaciones que cumplen determinadas propiedades y desligado de las técnicas sociales de recuento y medida. Este proceso de progresiva abstracción del número y las operaciones aritméticas es la base del desarrollo matemático occidental. Por otro lado, lo matemático se separa de lo matematizado. El conocimiento de las operaciones aritméticas, de sus propiedades y de las técnicas orales y escritas de cálculo nos proporciona una herramienta muy poderosa pero nos exige saber cuándo y dónde utilizarla. Aparece así una nueva problemática: la necesidad de relacionar las acciones, situaciones y datos con las operaciones aritméticas; es necesario decidir, por ejemplo, si el problema es "de sumar o de restar". La traducción de las acciones y datos de la situación a números y operaciones recibe el nombre de modelización aritmética de la situación. En la escuela, las situaciones y problemas planteados no son situaciones "vividas" sino situaciones "narradas", que se presentan a través de un texto escrito o de una narración oral, son los problemas aritméticos escolares3. Esto añade una nueva dificultad: la relación entre acción y verbo ya que un mismo verbo puede describir varias acciones y una misma acción se puede nombrar mediante varios verbos distintos. Problemas aritméticos de varias etapas La estructura de los problemas que se modelizan por medio de varias operaciones combinadas es muy compleja y no admite clasificaciones simples como las que existen para las situaciones que se resuelven con una sola operación. En los problemas de varias etapas hay que tomar decisiones respecto a qué operaciones hay que realizar , entre qué datos y en qué orden, es decir, hay que encontrar un camino que una los datos del problema, lo que se da, con las incógnitas del problema, lo que se pide. Cuando el camino se recorre desde las incógnitas hacia los datos se le llama "análisis" y cuando se recorre desde los datos hacia las incógnitas se le llama "síntesis" . En general, el método de resolución de los problemas aritméticos es un método mixto de "análisis-síntesis": se parte de las incógnitas estableciendo las relaciones que existen entre ellas y los datos y definiendo, si es preciso, incógnitas intermedias, lo que proporciona el plan de solución del problema y después se ejecuta dicho plan desde los datos hasta las incógnitas, lo que proporciona la solución del mismo. Se puede construir un diagrama de estructura del problema que ponga de manifiesto qué operaciones hay que realizar, entre qué datos y en qué orden y el recorrido del diagrama en uno u otro sentido nos mostrará la doble vía del análisissíntesis. 3 Resolver un problema aritmético significa traducirlo en términos de números y operaciones a efectuar entre ellos, es decir, modelizar aritméticamente la situación a que hace referencia el texto, y ejecutar, finalmente las operaciones para obtener un resultado. Multiplicación y división 285 Ejemplo: Juan y María son hermanos. Juan compra 3 lápices a 15 ptas cada uno y María 2 cuadernos a 25 ptas cada uno. Pagan con 1000 ptas. ¿Cuánto les devuelven? El diagrama de estructura de este problemq, que nos muestra el camino que hay que recorrer para llegar de la incógnita a los datos o viceversa será el siguiente: Ejercicios 27. Unos granjeros almacenaron heno para 57 días, pero como el heno era de mejor calidad de lo que pensaban, ahorraron 112 kg. por día, con lo que tuvieron heno para 73 días. ¿Cuántos kilos de heno almacenaron? 28. En un taller de confección disponen de 4 piezas de tela de 50 m cada una. Con ellas se van a confeccionar 20 trajes que necesitan 3 m de tela cada uno. Con el resto de la tela piensan hacer abrigos que necesitan 4 m cada uno. ¿Cuántos abrigos pueden hacerse ? 29. Un aeroplano recorrió 1940 km el primer día, el segundo recorrió 340 km más que el primero y el tercero 890 km menos que entre los dos anteriores. ¿Cuántos kilómetros recorrió el aeroplano en total? 30. Un comerciante compró 23 resmas de papel a 5500 ptas cada una y las vendió, convertidas en cuartillas, a 830 ptas el millar. Sabiendo que el comerciante ganó 26220 ptas en la venta de todo el papel comprado y que una resma tiene 500 pliegos ¿cuántas cuartillas salen de cada pliego? 31. Un automóvil parte de un punto A con velocidad uniforme de 40 km/h hacia otro punto E. Dos horas después sale de A hacia E otro automóvil con velocidad uniforme de 60 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán los dos automóviles? 5. LA ESTIMACIÓN EN EL CÁLCULO ARITMÉTICO Estimar el resultado de una operación o el de una medida de una cantidad es hacer una valoración aproximada del mismo. Por ejemplo, para estimar el resultado de 23x19, realizamos el producto 20x20=400. Algunas características de la estimación en el cálculo son las siguientes: • La valoración se realiza, por lo general, de forma mental. • Se hace con rapidez y empleando números sencillos. • El valor obtenido no tiene que ser exacto, pero sí adecuado para tomar decisiones. _ 1000 + x x 15 3 25 2 ? ? ? ? E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 286 • El resultado admite soluciones diferentes dependiendo de la persona que lo realiza. La estimación del resultado de los cálculos aritméticos es de utilidad en casos como los siguientes: • Cuando no es posible conocer las cantidades implicadas en una operación de manera exacta. Por ejemplo, si queremos determinar la superficie de una pared y no podemos medir su altura; al elaborar un presupueto para un viaje; etc. • Cuando un cálculo es difícil y nos interesa sólo una aproximación del resultado. Ejemplo: Si queremos saber el precio de una prenda de vestir cuyo precio está rebajado en un 15 por ciento. • Cuando queremos comprobar si una operación realizada de forma exacta no tiene un gran error; por ejemplo, al revisar la cuenta de una compra, o la solución de un problema. • Cuando se necesita expresar una información numérica de manera más clara; por ejemplo, el coche vale dos millones y medios de pesetas, en lugar de 2.495.000. Por último, la estimación es útil ya que su práctica implica un dominio del sistema de numeración, de las relaciones numéricas y de las operaciones aritméticas, completando el dominio automatizado de los algoritmos de cálculo escrito. Procesos de estimación en cálculo Los procesos de estimación en cálculo consisten en modificar los datos de una operación para hacerla más sencilla. Esta modificación se lleva a cabo mediante las técnicas de redondeo, truncamiento o sustitución. a) Redondeo. Redondear consiste en suprimir cifras de la derecha de un número y sustituirlas por ceros con el siguiente criterio: Si la cifra que se suprime es mayor o igual a 5 la que va a continuación se aumenta en una unidad; en otro caso se deja igual. Ejemplos: • 2346, redondeado a decenas sería 2350, y redondeado a las centenas sería 2300. • la operación, 1281 + 3436 + 2794, redondeada a los millares sería • 1000 + 3000 + 3000, y redondeada a las centenas sería: 1300 + 3400 + 2800. En el primer caso el error es inferior a 1500, y en el segundo es inferiror a 150. Ejercicios 36. Valorar el error que se comete en la resta 27478 - 19824 dependiendo del tipo de redondeo que se realice. 37. Estimar los resultados de las siguientes operaciones: 1249 + 3684 + 6936 + 2368; 6248 - 1794 489 + 654 + 160 + 346 + 127; 149 x 151 1342 x 104; 997 x 364; 17484 x 1016; 104697:50 Multiplicación y división 287 b) Trucamiento. Truncar consiste en suprimir dígitos de un número, a partir de un determinado orden de uniddes, y sustituirlos por ceros. Ejemplo: 2400 es un truncamiento de 2469. Ejercicio 38. Resolver los ejercicios anteriores mediante truncamiento y comparar los resultados. c) Sustitución. Este proceso consiste en sustituir los datos por otros próximos a ellos pero "compatibles" en el sentido de que la operación resulte sencilla. Ejemplo: 368:7 ≈ 350:7; 29 x 32 ≈ 30 x 30. 6. DIVISIBILIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES 6.1. Definición de divisor y múltiplo. Notaciones y propiedades Ejercicio 39. Imagínate una tabla de multiplicar que, en vez de tener diez filas y diez columnas, tuviera infinitas filas e infinitas columnas. ¿Cuántas veces aparecería en los resultados de la tabla el número 360? Primera definición de divisor: Dados dos números naturales a y b decimos que a es un divisor de b si existe un número natural n que multiplicado por a es igual a b, na = b. Segunda definición de divisor: Dados dos números naturales a≠ 0 y b decimos que a es un divisor de b si al efectuar la división entera de b por a se obtiene resto cero. Estas dos definiciones son equivalentes en el caso de ser a≠ 0. En efecto, si se cumple la primera, al dividir b entre a obtendremos cociente n y resto cero. Por otra parte, si se cumple la segunda, b tendrá que ser igual al divisor a por el cociente q y ya hemos encontrado un número natural que multiplicado por a da b. Definición de múltiplo: Se dice que a es múltiplo de b si existe un número natural n que multiplicado por b es igual a a, a = nb. Las siguientes expresiones son equivalentes: a es un divisor de b, b es un múltiplo de a, a divide a b, b es divisible por a. Para indicar que a es divisor de b se utiliza la notación a | b y para indicar que b es un múltiplo de a, . a b = Notaciones algebraicas Indicaremos los números naturales con letras cualesquiera: a, b, c, n, m, etc. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 288 Si dividimos los números naturales por dos obtenemos una partición en dos subconjuntos: el conjunto formado por los números que son divisibles por dos, los números pares, y el conjunto formado por los números que dan resto uno, los números impares. Indicaremos un número par cualquiera con las expresiones: 2a, 2n, etc. y un número impar con: 2a + 1, 2n -1, 2m + 3, etc. Si dividimos los números naturales por tres obtenemos tres subconjuntos: los números divisibles por tres, los que tienen resto uno y los que tienen resto dos. Los denotaremos por: 3n, 3p, ..., 3n + 1, 3m -2, ..., 3n + 2, 3a + 5, ..., respectivamente. De modo análogo se denotan los números que se obtienen al dividir por cuatro, cinco, etc. Propiedades de la divisibilidad La relación de divisibilidad tiene las siguientes propiedades: a) Si un número es divisor de otros dos entonces es divisor de su suma. b) Si un número es divisor de otros dos entonces es divisor de su diferencia. c) Si un número es divisor de otro entonces es divisor de cualquiera de sus múltiplos. d) Si un número es divisor de otro y multiplicamos los dos números por una misma cantidad la relación de divisibilidad se sigue conservando. e) Si un número es divisor de otros dos entonces es divisor de su producto. f) Si un número es divisor de otro entonces es divisor de cualquiera de sus potencias de exponente natural mayor o igual que uno. g) La unidad es divisor de todos los números naturales. h) Todo número natural es divisor de sí mismo. i) Todo número natural es divisor de cero. j) Cero sólo es divisor de si mismo. Ejercicios 39. Escribe todos los divisores de los números: 1800, 5491 y 2187. 40. El número 12 tiene seis divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Cuatro de ellos son pares y tres son impares. a) Describe la sucesión de números cuyos divisores sean todos, excepto el 1, pares. b) Describe la sucesión de números que tengan exactamente la mitad de sus divisores pares. 41. ¿Cuál es el menor número natural que al emplearlo como divisor de 68130 y 107275 origina los restos 27 y 49 respectivamente? 6.2. Criterios de divisibilidad En general, para saber si un número es divisible por otro se efectúa la división entera y se comprueba si el resto es cero, pero, en algunos casos, existen reglas que permiten averiguar si un número es divisible por otro sin necesidad de efectuar la división. A estas reglas se les llama criterios de divisibilidad. Vamos a enunciar y justificar algunas de ellas. En lo que sigue suponemos que n es un número natural. a) Divisibilidad por 2, 5 o 10 Multiplicación y división 289 Si descomponemos el número n en decenas y unidades, n = 10b + a, se observa que el término 10b es siempre divisible por 2, 5 y 10. Por tanto, la divisibilidad de n por esos números depende de la de la cifra de las unidades, a, y, en general, podemos decir que: un número es divisible por 2, 5 o 10 si, y sólo si, la cifra de las unidades es divisible por 2, 5 o 10, respectivamente. O también, un número es divisible por 2 si la cifra de las unidades es par, es divisible por 5 si la cifra de las unidades es 0 o 5 y es divisible por 10 si la cifra de las unidades es 0. b) Divisibilidad por 4, 20, 25, 50 o 100 Si descomponemos el número n, supuesto de tres o más cifras, en centenas por un lado y decenas y unidades por el otro, n = 100c + ba, se observa que el término 100c es siempre divisible por 4, 20, 25, 50 y 100. Por tanto, la divisibilidad de n respecto a esos números depende de la divisibilidad de ba que representa las decenas y unidades de n. Podemos decir entonces que: un número es divisible por 4, 20, 25, 50 o 100 si, y sólo si, el número formado por la cifra de las decenas y la de las unidades es divisible por 4, 20, 25, 50 o 100, respectivamente. c) Divisibilidad por 8, 40, 125, 200, 250, 500 o 1000 Si descomponemos el número n, supuesto de cuatro o más cifras, en millares por un lado y centenas, decenas y unidades por el otro, n = 1000d + cba, se observa que el término 1000d es siempre divisible por 8, 40, 125, 200, 250, 500 y 1000. Por tanto, la divisibilidad de n respecto a esos números depende de la divisibilidad de cba que representa las centenas, decenas y unidades de n. Podemos decir entonces que: un número es divisible por 8, 40, 125, 200, 250, 500 o 1000 si, y sólo si, el número formado por las centenas, decenas y unidades es divisible por 8, 40, 125, 200, 250, 500 o 1000, respectivamente. d) Divisibilidad por 3 o 9 Si descomponemos en todas sus cifras un número n de, por ejemplo, 4 cifras, obtenemos n = 1000d + 100c + 10b + a = 999d + d + 99c + c + 9b + b + a = (999d + 99c + 9b) + (d + c + b + a) = 9(111d + 11c + b) + (d + c + b + a). Como el primer paréntesis va multiplicado por 9, ese término será siempre divisible por 3 y por 9 y, por tanto, la divisibilidad de n respecto a 3 o 9 depende de la divisibilidad de d + c + b + a. Esta demostración es generalizable a números con un número cualquiera de cifras. Por tanto, podremos decir que: un número es divisible por 3 o 9 si, y sólo si, la suma de sus cifras es divisible por 3 o 9, respectivamente. e) Divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11 si, y sólo si, sumando, por un lado, las cifras que ocupan lugar par y, por otro, las que ocupan lugar impar y restando el menor de los números obtenidos al mayor se obtiene un múltiplo de 11. Ejercicios 42. Algunos pares de números tienen la propiedad de que la suma de los divisores de cada uno de ellos, excluyendo los propios números, es el otro número. A estos números se les llama números amigos. Comprueba que los números 1184 y 1210 son amigos. 43. Determina las cifras x e y para que el número a) 2xy31 sea divisible por 9. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 290 b) 123xy sea divisible por 35 c) 28x75y sea divisible por 33. d) 2x45y sea divisible por 72. 44. Encuentra el mayor número natural que al emplearlo como divisor de 247, 367 y 427 origina en todos los casos resto 7. 45. Halla el menor número de 4 cifras que dividido por 4, 7 y 11 da de resto 3. 46. Halla el menor número natural que dividido por 11 tiene resto 6, dividido por 17 tiene resto 12 y dividido por 29 da 24 de resto. 6.3. Números primos y compuestos Cualquier número a se puede dividir por 1 y a, que se llaman divisores impropios de a. A los demás divisores que pudiera tener a se les llama divisores propios. Un número primo es un número natural distinto de 0 y de 1 que no tiene divisores propios. Un número compuesto es un número natural distinto de 0 y de 1 que tiene divisores propios. Hacemos notar que 0 y 1 no se consideran números primos ni compuestos. Teorema: Todo número compuesto se puede descomponer en un producto finito de factores primos y esta descomposición es única. 6.4. Técnicas para descomponer un número compuesto en factores primos Primera técnica: Se descompone el número en producto de otros varios. Si estos son primos el proceso se detiene. Si alguno de ellos es compuesto se vuelve a descomponer en factores hasta que todos los factores obtenidos son primos. Esta técnica se emplea cuando las descomposiciones son fáciles de obtener. Por ejemplo: 18000=18.10.10.10.=2.3.3.2.5.2.5.2.5=243253 Las sucesivas factorizaciones pueden también expresarse mediante un diagrama en árbol. Segunda técnica: Es una técnica algorítmica. Consiste en recorrer la sucesión de los números primos comprobando si son divisores o no del número que queremos descomponer. Cuando se encuentra un número primo que es divisor se efectúa la división y se continua el proceso con el cociente. Se sigue así hasta que se obtiene un cociente 1 momento en el que el proceso queda concluido. Por ejemplo, si queremos descomponer en factores el número 173.512 se emplea el dispositivo gráfico siguiente: 173512 86756 43378 21689 943 41 1 2 2 2 23 23 41 Multiplicación y división 297 C: Conocimientos Didácticos 1. ORIENTACIONES CURRICULARES 1.1. Diseño Curricular Base del MEC El Decreto del MEC (BOE 26-6-91) por el que se establecen las enseñanzas mínimas del área de matemáticas en la educación primaria establece las siguientes indicaciones para el bloque temático de "Números y operaciones": Conceptos: 1. Las operaciones de multiplicación y división y sus algoritmos. 2. Reglas de uso de la calculadora Procedimientos 1. Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en la resolución de problemas numéricos u operatorios. 2. Estimación del resultado de un cálculo y valoración de si una determinada respuesta numérica es o no razonable. 3. Elaboración de estrategias personales de cálculo mental con números sencillos. 4. Utilización de la calculadora de cuatro operaciones y decisión sobre la conveniencia o no de usarla atendiendo a la complejidad de los cálculos y a la exigencia de exactitud de los resultados. Actitudes 1. Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de estrategias personales de cálculo mental. 2. Gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados. Estas orientaciones curriculares fueron formuladas de manera más explícita en el DCB (Documento Curricular Base, MEC, 1989). Al finalizar la Educación Primaria, como resultado de los aprendizajes realizados en el área de Matemáticas, los alumnos habrán desarrollado la capacidad de: 1. Identificar en su vida cotidiana situaciones y problemas para cuyo tratamiento se requieren operaciones elementales de cálculo (multiplicación y división), discriminando la pertinencia de las mismas y utilizando los algoritmos correspondientes. 2. Elaborar y utilizar estrategias personales de cálculo mental para la resolución de problemas sencillos a partir de su conocimiento de las propiedades de los sistemas de numeración y de los algoritmos de las cuatro operaciones básicas (multiplicación y división). En el desarrollo del bloque temático sobre "Números y operaciones" el DCB incluye las siguientes orientaciones curriculares: Hechos, conceptos y principios 3. Las operaciones de multiplicación y división. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 298 • Situaciones en las que intervienen estas operaciones: la multiplicación como suma abreviada, proporcionalidad (doble, triple, etc.); la división como reparto, proporcionalidad (la mitad, la tercera parte, etc.). • Cuadrados y cubos. • La identificación de las operaciones inversas (multiplicación y división). • Símbolos de las operaciones 4. Correspondencias entre lenguaje verbal, representación gráfica y notación numérica. 5. Algoritmos de las operaciones. • Jerarquía de las cuatro operaciones y función de los paréntesis. • Reglas de uso de la calculadora. Procedimientos 1) Utilización de diferentes estrategias para resolver problemas numéricos y operatorios (reducir una situación a otra con números más sencillos, aproximación mediante ensayo y error, considerar un mismo proceso en dos sentidos -hacia adelante y hacia atrásalternativamente, etc.). 2) Explicación oral del proceso seguido en la realización de cálculos y en las resolución de problemas numéricos u operatorios. 3) Representación matemática de una situación utilizando sucesivamente diferentes lenguajes (verbal, gráfico y numérico) y estableciendo correspondencias entre los mismos. 4) Decisión sobre la conveniencia o no de hacer cálculos exactos o aproximados en determinadas situaciones valorando el grado de error admisible. 5) Estimación del resultado de un cálculo y valoración de si una determinada respuesta numérica es o no razonable. 6) Automatización de los algoritmos para efectuar las cuatro operaciones con números naturales. - Elaboración de estrategias personales de cálculo mental - Multiplicación y división con números de dos cifras en casos sencillos. 7) Identificación de problemas de la vida cotidiana en los que intervienen una o varias de las cuatro operaciones, distinguiendo la posible pertinencia y aplicabilidad de cada una de ellas. 8) utilización de la calculadora de cuatro operaciones y decisión sobre la conveniencia o no de usarla atendiendo a la complejidad de los cálculos a realizar y a la exigencia de exactitud de los resultados. Actitudes, valores y normas 1. Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones a un problema. 2. Confianza en las propias capacidades y gusto por la elaboración y uso de estrategias personales de cálculo mental. 3. Gusto por la presentación ordenada y clara de los cálculos y de sus resultados. 4. Confianza y actitud crítica en el uso de la calculadora. Multiplicación y división 299 1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) En relación al aprendizaje de la multiplicación y división, para los grados 3-5, el NCTM (2000) propone el logro de las siguientes expectativas: Comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan entre sí • Comprender los diversos significados de la multiplicación y división • Comprender los efectos de la multiplicación y división de números naturales. • Identificar y usar las relaciones entre las operaciones para resolver problemas, tales como la división como operación inversa de la multiplicación. • Comprender y usar las propiedades de las operaciones, tales como la distributividad de la multiplicación respecto de la adición. Calcular de manera fluida y hacer estimaciones razonables • Dominar las tablas de multiplicar y dividir y usar estas combinaciones básicas para calcular mentalmente hechos numéricos relacionados, como 30x50. • Adquirir fluidez en la realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales. • Desarrollar y usar estrategias de estimación de resultados de cálculos con números naturales y juzgar que son razonables. • Seleccionar métodos y herramientas apropiadas para hacer cálculos con números naturales incluyendo cálculo mental, estimación, calculadoras, papel y lápiz, según el contexto y naturaleza de los cálculos y usar el método o herramienta seleccionada. Ejercicio 1: Analizar las diferencias y semejanzas en las orientaciones curriculares siguientes respecto del estudio de la multiplicación y división: - Diseño Curricular Base del MEC - Las orientaciones curriculares de tu Comunidad Autónoma - Principios y Estándares 2000 del NCTM. 2. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE 2.1. Progresión en el estudio de la multiplicación y división Si bien la adición y la sustracción se comienzan a estudiar simultáneamente con el concepto de número, la multiplicación y la división son operaciones que requieren un cierto dominio de los números y de las operaciones de adición y sustracción. Esto es claro si tenemos en cuenta el significado de estas operaciones. La multiplicación está ligada a verbos de acción tales como, "juntar tantas veces, repetir tantas veces, añadir tantas veces, reunir tantas veces, reiterar, etc." Es conveniente, por tanto, tener E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 300 un cierto dominio de la suma que permita un cálculo seguro de los productos. Para no entorpecer el aprendizaje de la multiplicación con dificultades propias de la suma, es por lo que se suele dejar uno o dos cursos de diferencia entre el estudio de ambas operaciones. En un principio, las situaciones problemáticas deben resolverse tanto con la suma como con la multiplicación, hasta que el alumno observe que con la multiplicación y más con el uso de las tablas, es más rápido y seguro. Los dos términos de la multiplicación desempeñan funciones diferentes: uno de ellos es la cantidad que se repite (multiplicando). El otro factor nos dice las veces que se repite la cantidad inicial (el multiplicador); se refiere a un "objeto" (número de veces que se repite la acción) de naturaleza diferente que el multiplicando. En cuanto al aprendizaje de las técnicas operatorias habría que comenzar por el producto de un dígito por un dígito, respetando las fases manipulativas, gráficas (figurativas), esquemáticas y simbólicas. En el caso de la división se trata de, "repartir en partes iguales, hacer grupos iguales, restar reiteradamente, distribuir equitativamente, compartir, fraccionar, trocear, partir, etc." El dividendo es la cantidad a repartir, que hace, por tanto, referencia a cantidades de magnitudes discretas; por el contrario el divisor es el número de partes en que se reparte la cantidad expresada por el dividendo, siendo por tanto de naturaleza diferente. Los requisitos básicos para afrontar las técnicas escritas operatorias de la división son los siguientes: • Una correcta orientación espacial para las distintas direcciones que supone la técnica de la caja. Implica, simultáneamente, el manejo de las nociones de derecha, izquierda, antes, después, arriba, abajo. • Mecanización comprensiva de la suma, resta y multiplicación. • Práctica en la descomposición de números en órdenes de unidades (unidades, decenas, centenas, ...) El aprendizaje del cálculo de la división requerirá también tener en cuenta las fases manipulativa, gráfica (figurativa) y simbólica, y la siguiente secuenciación: • Una cifra en el dividendo y una en el divisor. • Dos cifras en el dividendo y una en el divisor: ab : c, distinguiendo los casos, a>c, y a<c. Se pueden presentar dificultades cuando exista un cero en el cociente (Por ejemplo, 81: 2) • Tres o más cifras en el dividendo y dos cifras en el divisor: abc:de. Los casos en que pueden surgir dificultades son: - Cuando hay que tomar tres cifras en el dividendo. - Cuando hay que colocar ceros en el cociente. 2.2. Principales dificultades en el aprendizaje El aprendizaje de la multiplicación y división no está libre de obstáculos y dificultades. Indicamos algunas de estas dificultades sobre cuatro aspectos 4: a) Vocabulario y conceptos En situaciones de multiplicación los términos “cada”, “a cada uno”, “para cada uno”, etc. tienen un sentido que, normalmente, no ha sido trabajo por los niños con anterioridad. Otra dificultad puede ser el empleo de la palabra ‘producto’. En el lenguaje ordinario un producto 4 Martínez (1993, p. 141-142) Multiplicación y división 301 comercial es cualquier cosa que se compra, por lo que se debe prestar atención al nuevo significado que se le atribuye en la clase de matemáticas como resultado del cálculo con números. b) Nivel de abstracción Cuando el niño se enfrenta a la multiplicación lleva un cierto tiempo, normalmente, practicando con sumas y restas. Pero sumar y restar supone que los números que entran en esas operaciones funcionan todos dentro del mismo contexto, esto es, hacen referencia a cantidades que tienen el mismo significado en los dos sumandos y en el resultado. En algunas actividades es posible que se pida al niño que sume, por ejemplo, 3 peras y 2 kiwis para obtener 5 frutas; en este caso el niño debe entender que tanto las peras como los kiwis son “objetos” de la clase de las frutas, por lo que este problema planteará más dificultades que si la adición se refiere sólo a una clase de frutas. En el caso de la multiplicación, el multiplicando es un número que indica la medida de una cantidad de magnitud, es decir, es un estado, mientras que el multiplicador nos dice las veces que se repite la cantidad inicial (es una razón o una comparación). Para calcular el coste de 3 kg de peras a 2 euros el kilo, multiplicamos 3 x 2 = 6 y decimos que el resultado es 6 euros; 3 es la medida de la cantidad de peso de las peras y 2 el precio (medida del valor económico) por unidad de peso, es decir, la razón entre el valor económico y el peso. El resultado también puede ser una cantidad de una naturaleza diferente de los factores (área o volumen; mientras que los factores son longitudes o longitud y área). Todo esto supone un nivel de generalidad o abstracción superior y por tanto origen de dificultades en el proceso de estudio. En el caso de la división debemos tener en cuenta la existencia de dos sentidos bien distintos para esa operación: - según se considere como “resta sucesiva” de una cantidad fija d de otra D y lo que se debe hallar es el número de veces (q) que se puede restar hasta agotar D (la división como agrupamiento) - o bien el sentido de “reparto en partes iguales” de una cantidad D entre un número dado de “sujetos” d, donde lo que se debe hallar es a cuánto tocan (q) (la división como distribución o reparto). c) Dificultades en operaciones La primera dificultad que suele pasar desapercibida es que una simple multiplicación como 123 x 12 es, en realidad, un conjunto variado de multiplicaciones que se escalonan y se combinan de acuerdo con unas reglas específicas. Este proceso queda notablemente oscurecido en el algoritmo habitual al suprimir pasos intermedios, lo que sin duda es una fuente de dificultades y errores. Estas dificultades son mayores incluso en el cálculo de la división donde deben realizarse procesos de tanteo, aparte de aplicar de manera coordinada las operaciones de multiplicación, adición y sustracción. d) Solución de problemas El estudio de la estructura semántica de los problemas multiplicativos y el análisis de los tipos de cantidades que intervienen como factores muestra la gran complejidad de este campo conceptual cuyo estudio integral abarca un período bastante dilatado de tiempo. Según algunos estudios5, parece que a los niños les resulta más fácil identificar la operación correspondiente a un problema verbal cuando se trata de una división que cuando se trata de una multiplicación. Por otro lado, parece que resuelven mejor las situaciones 5 Puig y Cerdán (1988, p. 136) E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 302 multiplicativas de razón que las de comparación (salvo cuando en estas últimas la incógnita está en el primer término de la comparación), resultándoles las de combinación más difíciles de resolver que las otras. Dentro de las situaciones de razón, los problemas de reparto parecen ser más fáciles que los de agrupamiento.” Ejercicio 2: Evaluación de destrezas de cálculo A continuación incluimos algunos ítems de cálculo, junto con respuestas tipo dada por niños. Para cada respuesta evalúa los conocimientos que se ponen en juego, así como los posibles errores. Item 1 Multiplica 8x4 Respuestas: • 1x4=4, 2x4=8, 3x4=12, recita toda la tabla hasta 8x4=32, son 32 • seis veces cuatro son 24, siete veces cuatro son 28, ocho veces cuatro son 32 • Es lo mismo que sumar cuatro veces 8; son 32 • Creo que son 36 • Cuatro veces cuatro son 16; diez mas son 36 y 6 32; 32 Item 2: Calcula 805x4 Un niño obtiene como resultado 3260, ¿Cómo puedes explicar el error? Item 3: Calcula las siguientes divisiones: En los siguientes resultados, ¿Qué parte del algoritmo no ha entendido el niño? 85 5 702 3 436 4 85 5 11 436 4 19 702 3 20 3. SITUACIONES Y RECURSOS De acuerdo a los apartados anteriores, haremos una propuesta de enseñanza con dos secuencias didácticas paralelas: la vía de las situaciones multiplicativas concretas y la de las situaciones formales. La primera es necesaria para establecer el sentido o significado de las operaciones, que viene asociado a las situaciones que resuelve, y también para justificar los hechos numéricos básicos y las técnicas de cálculo. La segunda es necesaria para consolidar la memorización de las tablas y las técnicas orales y escritas. 3. 1. Situaciones multiplicativas concretas Recomendamos una secuencia de situaciones multiplicativa concretas que el alumno debe resolver por sí mismo. El profesor debe controlar que el niño entiende el enunciado, pidiéndole que lo explique con sus propias palabras y animándole a que encuentre una estrategia de resolución. Es decir, se trata, básicamente, de situaciones a-didácticas 6. 6 Situación a-didáctica, aquél momento del proceso de enseñanza-aprendizaje en que el alumno está comprometido con la resolución de una tarea problemática que asume como propia. Multiplicación y división 303 Se puede animar al niño a representar los datos del problema, usando alguno de los recursos que describimos en la sección 3.3. Las variables didácticas de las situaciones multiplicativas concretas son las siguientes: • Tamaño de los términos y resultado de la operación: De 0 a 50, de 50 a 100, de 100 a 1.000, de 1.000 a 10.000, etc. • Estructura lógica de la situación: Situaciones de razón, comparación, combinación y doble comparación. • Posición de la incógnita: En el primer estado, el segundo o la razón o comparación (en las situaciones de razón o comparación), o en los estados o comparaciones parciales o en el estado producto o comparación total (en las situaciones de combinación o doble comparación). • Sentido de la comparación: De tantas veces más o de tantas veces menos. • Grado de contextualización de la situación: Situación que se refiere a materiales presentes en el aula y con el niño como actor; situación hipotética contextualizada con material a disposición del niño para que pueda efectuar una representación simbólica; situación hipotética contextualizada sin material a disposición del niño. • Tipo de material utilizado: Estructurado o no estructurado, gráfico, manipulativo, etc. • Número de datos: Dos, tres o más. Ejercicios: 3. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 3º curso en las que se incluyan una muestra de valores de las variables didácticas para las situaciones multiplicativas concretas. 4. Analizar en un libro de texto de 3º curso las situaciones multiplicativas concretas que se incluyan, identificando los valores de las variables didácticas mencionadas en este apartado. 3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos En estas situaciones se presenta al alumno multiplicaciones y divisiones formales, es decir, ejercicios del tipo 12:5, 31x4, etc. En un primer momento se animará al niño a hallar sus propias estrategias, por ejemplo, sumando o restando, para dar sentido a las operaciones. Rápidamente se pasará a utilizar materiales estructurados (ábacos, bloques, regletas) para facilitar la comprensión y adquisición de técnicas orales. Para ello, dichos materiales han tenido que ser trabajados previamente, habiéndose familiarizado el niño con las distintas configuraciones numéricas. Las variables didácticas de las situaciones son las siguientes: • Tipo de operación: multiplicación o división; en el caso de la división, exacta o no exacta. • Dirección de la operación: Directa (por ejemplo, 12 x 5 = ? , 15 : 2 = ?), Inversa (por ejemplo, ? x 5 = 12, 16 - ? = 8), Descomposición, 12 = 4 x ?; 5= 15: ? E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 304 • Tamaño de los términos y del resultado de la operación: - Dobles o mitades de números de una cifra. - Operaciones de la tabla de multiplicar o dividir. - Operaciones con multiplicandos o dividendos de una cifra significativa y multiplicadores o divisores de una cifra. - Dobles o mitades de números de varias cifras significativas. - Operaciones con multiplicandos o dividendos de dos o más cifras significativas y multiplicadores o divisores de una cifra. - Operaciones con multiplicandos o dividendos de dos o más cifras significativas y multiplicadores o divisores de dos cifras significativas. - Operaciones con multiplicandos o dividendos de tres o más cifras significativas y multiplicadores o divisores de tres o más cifras significativas. • Existencia de llevadas: La operación implica o no llevadas. • Técnica de cálculo: Uso de material estructurado; técnica oral, técnica escrita, calculadora. • Tipo de material: Regletas Cuisinaire, ábaco, bloques multibase, representaciones gráficas. Ejercicios: 5. Preparar una secuencia de tareas para alumnos de 3º curso en las que se incluyan una muestra de valores de las variables didácticas para las situaciones multiplicativas formales. 6. Analizar en un libro de texto de 3º curso las situaciones multiplicativas formales que se incluyan, identificando los valores de las variables didácticas mencionadas en este apartado. Ejercicio 7: Enuncia problemas que correspondan a cada una de las representaciones gráficas siguientes. Identificar los valores de las variables que se ponen en juego y clasificar los problemas según el esquema dado en la sección 1.1 (parte B). a) b) + + + = c) õõ õõ õõ õõ õõ õõ õõõõõõ õõõõõõ Multiplicación y división 305 d) e) f) g) azul verde rojo camisa pantalón E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 306 3.3. Recursos en Internet Representación rectangular de la división entera http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_193_g_2_t_1.html Descripción: Este recurso permite representar la división entera en un diagrama rectangular mostrando el dividendo como un rectángulo cuya base y altura son el dividendo y cociente. El resto se representa como un rectángulo adosado de base unitaria. Permite probar el conocimiento de las tablas de multiplicar y la comprensión de las nociones de cociente y resto, planteando divisiones al alumno que él debe resolver. Ejercicio 7: 1. ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos que se suponen conocidos para usar este programa? ¿Qué conocimientos sobre el programa se deben aprender para usarlo como recurso didáctico? 2. ¿Cuáles son los nuevos conocimientos matemáticos pretendidos? ¿Cuál es su naturaleza? (adquisición de una destreza, reconocimiento de una propiedad y su justificación, etc.) 3. Describir un recurso didáctico alternativo para el estudio de los conocimientos pretendidos (p.e., uso de la calculadora, papel y lápiz, etc.). Indicar las ventajas relativas de cada recurso. 4. Diseñar una unidad didáctica para el estudio del contenido pretendido, apoyada en el uso de este recurso, indicando: - las consignas que se darán a los alumnos, - las explicaciones complementarias que se consideren necesarias sobre el uso del recurso y recuerdo de conocimientos previos, - uso de recursos complementarios, - posibles explicaciones finales para sistematizar los conocimientos pretendidos. Números positivos y negativos 409 3. Observa el gráfico y completa la tabla adjunta: Punto inicial Desplazamiento Punto final A = B= C= D= Ejercicio 2. Para cada una de las situaciones descritas en esta sección: a) Formula los objetivos que se pretenden con las situaciones b) Enumerar y describir los conocimientos que se ponen en juego c) Identificar las variables didácticas d) Enunciar variantes posibles de las situaciones cambiando los valores de las variables didácticas e) Identificar posibles técnicas de solución de los alumnos y dificultades previsibles f) Indicar las posibles explicaciones (institucionalización) que el profesor podría dar como síntesis final de la actividad realizada. g) Identificar las limitaciones de las situaciones cuando se proponen como modelos de la estructura algebraica de los números enteros. 3.2 Situación introductoria de la estructura aditiva de los números enteros Dado que la justificación de los números enteros viene dada por el cálculo algebraico, las situaciones introductorias deben ser situaciones aritméticas que exijan una resolución de tipo algebraico. Pero no entendemos por tal una resolución en términos de ecuaciones, pues ésta es compleja de desarrollar si no se manejan los números con signo; lo que proponemos es cambiar el objetivo de la resolución de problemas: ya no se trataría de buscar el número que soluciona el problema, sino la fórmula que lo soluciona15. Y para que esa actividad de búsqueda de fórmulas tenga sentido, es necesario que alguna de las cantidades que intervienen en el problema sea una variable a fijar en un momento posterior. Por ejemplo, el enunciado: En un tren viajan cierto número de personas. En la primera estación suben 13 viajeros y bajan 25, en la segunda estación suben 15 y bajan 43 y en la tercera estación suben 32 y bajan 17. Encuentra una fórmula que nos diga cuántos viajeros quedan en el tren después de abandonar la tercera estación. 15 Los alumnos de tercer ciclo de Primaria están familiarizados con la noción de ‘fórmula’ desde el momento que conocen las fórmulas de las áreas de las figuras geométricas. Se trataría de generalizar esa idea y hablar de la “fórmula de resolución” de determinados problemas. E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 410 exige nombrar el número de viajeros iniciales, v, y el número de viajeros finales, w, para establecer la fórmula w = v+13-25+15-43+32-17. La simplificación de esta fórmula en w = v-25 obliga a razonar en términos de sumandos y sustraendos y familiariza a los alumnos con la idea de manipular números precedidos de un signo + ó -. Tanto la búsqueda de fórmulas de resolución de problemas aritméticos como la transformación de esas fórmulas en expresiones más simples exige la consideración de las operaciones, no ya entre números, sino entre sumandos y sustraendos, lo que, en la práctica, significa poner de manifiesto la estructura aditiva de los números enteros. 3.3. Recursos en Internet Modelos de sumas y rectas en la recta numérica http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_107_g_1_t_1.html Descripción: Este recurso permite expresar las operaciones de suma y resta, tanto usando el lenguaje matemático, como mediante desplazamientos en la recta numérica. Permite la manipulación y visualización individualizada de las operaciones. Hay diferentes niveles de dificultad. Se usan números positivos y negativos. Ejercicio 3: 1. Explorar las diferentes opciones del programa. 2. Indicar los niveles y partes del currículo de primaria en que se pueden usar las distintas opciones. 3. Identificar las variables didácticas de las diversas tareas propuestas en el programa y los valores particulares de dichas variables implementados. ¿Existe algún tipo de control de los valores por parte del usuario? 4. Comparar los tipos de actividades que se pueden realizar usando el programa respecto a las Números positivos y negativos 411 que se hacen habitualmente con papel y lápiz. ¿Se pueden hacer actividades que no se puedan realizar sin este recurso? 5. ¿Cómo cambian las técnicas de solución? 6. Después que los alumnos han explorado el programa y realizado las actividades, ¿Qué tipo de explicaciones podría dar el profesor para sistematizar los conocimientos puestos en juego? 4. TALLER DE DIDÁCTICA 4.1. Análisis de textos escolares 1. En un libro de primaria encontramos la siguiente actividad: Observa la recta entera y calcula. • (+3) + (-2) = ... • (-2) + (-4) = ... • (+8) + (-5) = ... • (-4) + (-3) = ... • (+7) + (-8) = ... • (-5) + (-4) = ... a) Enuncia seis situaciones referidas a contextos cotidianos (temperaturas, niveles de altitudes, etc.) cuya resolución implique la realización de los cálculos pedidos. b) En el libro de texto encontramos la siguiente regla: “Para sumar a un número entero un número entero positivo, se avanza a la derecha, en la recta entera, a partir del primer número tantas unidades como indica el segundo”. ¿Qué tipo de experiencias pueden ayudar a que los niños “reinventen” por sí mismos esta regla? 2. En un libro de primaria encontramos la siguiente actividad: 1. Observa y escribe las coordenadas de cada punto. 2. Representa en la cuadrícula anterior los siguientes puntos. • J → (+4, +1) • K → (+1, -3) • L → (-1, +3) • M → (+3, -2) • N → (+5, +3) • Ñ → (-4, -1) • → (-4, +3) • P → (-5, -3) E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 412 a) ¿Crees que la información sobre el orden de escritura de los componentes del par de números que representan cada punto es suficiente para realizar la actividad? Completa el enunciado de las reglas de representación cartesiana de puntos del plano. b) Inventa un juego que permita contextualizar la tarea pedida (por ejemplo, referido a la búsqueda de un tesoro). 4.2. Diseño de unidades didácticas Consigue una colección de libros de texto de matemáticas de 3er ciclo de primaria (recomendamos buscar los libros que utilizastes personalmente, o bien los de algún familiar o amigo). • Estudia el desarrollo del tema de “Números enteros” en dichos niveles. • Indica en qué curso se inicia y cuando termina. • Busca algún tipo de problema o tarea que consideres no está representado en la muestra de problemas que hemos seleccionado en la parte A: Contextualización profesional de este capítulo. • Identifica aspectos del desarrollo del tema que consideres potencialmente conflictivos para los alumnos de dichos niveles. • Describe los cambios que introducirías en el diseño de las lecciones propuestas para los cursos 5º y 6º de primaria. Bibliografía Cid, E. (2002). Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos. Actas de las X Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (JAEM), ICE de la Universidad de Zaragoza. También puede encontrarse en Internet: http://www.unizar.es/galdeano/preprints/pre01.html Colectivo Periódica Pura (1982). Didáctica de los números enteros. Madrid: Nuestra Cultural. Ferrero, L. y cols (1999). Matemáticas (3º a 6ª Primaria). Madrid: Anaya. González, J. L. (2001). Relatividad aditiva y números enteros. En Enr. Castro (Ed.), Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria (pp. 257-283). Madrid: Síntesis. González, J. L. y cols (1990). Números enteros. Madrid: Síntesis. Rodríguez, M., Siles, I. y González, J. (1999). Matemáticas 6º. Madrid: Santillana.