El estudio del conocimiento especializado de dos profesores de álgebra lineal

Vasco, D. y Climent N. (2018). El estudio del conocimiento especializado de dos profesores de Álgebra Lineal. PNA, 12(3), 129-146. ! EL ESTUDIO DEL CONOCIMIENTO ESPECIALIZADO DE DOS PROFESORES DE ÁLGEBRA LINEAL Diana Vasco y Nuria Climent Con el modelo Mathematics teacher’s specialised knowledge (MTSK), y mediante un estudio de caso, analizamos episodios de clases sobre matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales de dos profesores universitarios de álgebra lineal, con la finalidad de comprender el conocimiento que sustenta su práctica. Observamos un énfasis conceptual y procedimental con evidencias de conocimiento de los temas (KoT), relativo a procedimientos, fenomenología y aplicaciones, registros de representación, definiciones y propiedades; conocimiento de las características del aprendizaje de las matemáticas (KFLM), referente a dificultades de los estudiantes; y conocimiento de la enseñanza de las matemáticas (KMT), sobre ejemplos para la enseñanza. Términos clave: Estudio de caso; Matrices; Profesor universitario; Sistemas de ecuaciones lineales The Study of the Specialized Knowledge of two Linear Algebra Lecturers With the Mathematics teacher's specialised knowledge (MTSK) model, and through a case study, we analyze episodes of classes on matrices, determinants and systems of linear equations of two Linear Algebra university lecturers, in order to understand the knowledge that supports their practice. We notice a conceptual and procedural emphasis with evidences of knowledge of the topics (KoT), concerning procedures, phenomenology and applications, representations, definitions and properties; knowledge of features of learning mathematics (KFLM), referring to students’ difficulties; and knowledge of mathematics teaching (KMT), on teaching examples. Keywords: Case study; Matrix; Systems of linear equations; University lecturer D. Vasco y N. Climent 130 PNA 12(3) Las explicaciones del profesor aclaran la materia e influyen potencialmente en los conocimientos matemáticos que desarrollan los estudiantes (Charalambous, 2009). De las matemáticas impartidas a nivel universitario, uno de los principales cursos es el de Álgebra Lineal, que es importante por sus amplias aplicaciones. Al respecto, Ortega (2002) sostiene que el Álgebra Lineal es “una de las ramas más importantes del álgebra moderna y que más aplicaciones encuentra en otras parcelas de la ciencia como la física, la estadística, la ingeniería, el análisis numérico y las ciencias sociales” (p. 73). Ya en el campo de la educación de profesores de matemáticas, sabemos que la investigación sobre el conocimiento de los profesores continúa siendo un tema central, y que existe una importante distinción entre saber cómo resolver problemas matemáticos y saber matemáticas de maneras que permitan su uso en la enseñanza (Ponte y Chapman, 2016). De este modo, el conocimiento profesional del profesor reconoce la necesidad de que el profesor conozca el contenido de una forma especializada en relación con la enseñanza (Ball, Thames y Phelps, 2008) y conozca, a su vez, aspectos referidos a su enseñanza y aprendizaje (Shulman, 1987). El profesor universitario de matemáticas tiene, en general, preparación en relación con la disciplina y no ha recibido formación específica sobre esta como objeto de enseñanza y aprendizaje. Algunos autores asocian el desarrollo de conocimiento profesional a la reflexión asociada a la acción docente. Así, Bromme y Tillema (1995) mencionan que: Desde un punto de vista cognitivo, el conocimiento profesional es desarrollado como un producto de acción profesional, y se establece a través del trabajo y desempeño en la profesión, no solo a través de la acumulación de conocimientos teóricos, sino a través de la integración, ajuste y reestructuración del conocimiento teórico a las demandas de situaciones prácticas y limitaciones. (p. 262) El objetivo de nuestro estudio es identificar y describir qué conocimiento especializado (entendido como aquel conocimiento profesional directamente determinado por la matemática como objeto de enseñanza y aprendizaje) sustenta la práctica de enseñanza de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales de dos profesores universitarios de Álgebra Lineal. Con esta finalidad nos aproximamos a dicho conocimiento analizando episodios de clases bajo el modelo Mathematics teacher’s specialised knowledge (Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, 2013). ANTECEDENTES Y MARCO TEÓRICO Teniendo como base las componentes propuestas por Shulman en relación con el conocimiento del profesor (1986, 1987), como son el conocimiento pedagógico y el conocimiento del contenido (PK y SMK, por sus siglas en inglés), El estudio del conocimiento especializado… 131 PNA 12(3) ! investigadores relacionados con la educación matemática (Ball, Thames y Phelps, 2008; Fennema y Franke, 1992; Rowland, Huckstep y Twaites, 2005) han hecho avances significativos en la última década, tanto en la conceptualización como en la caracterización del conocimiento que necesita el profesor para enseñar matemáticas (Charalambous y Pitta-Pantazi, 2016). Asimismo, han surgido modelos relacionados con el conocimiento del profesor en asignaturas específicas como el álgebra, tal es el caso del modelo de McCrory, Floden, Ferrini-Mundy, Reckase y Senk (2012), quienes para el estudio del conocimiento para la enseñanza de profesores de álgebra de secundaria establecen dos dimensiones knowledge of algebra for teaching y mathematical uses of knowledge in teaching (o teaching practices). Cada una de ellas incluye categorías; en la primera, referidas a conocimiento y en la segunda, a acciones de enseñanza. En las categorías referidas a conocimiento se reconoce la necesidad de conocer el contenido comúnmente incluido en el currículo (knowledge of school algebra); un conocimiento avanzado, ligado quizás al establecimiento de relaciones entre contenidos (knowledge of advanced mathematics), y un conocimiento en el que se podrían identificar elementos de conocimiento pedagógico del contenido y conocimiento del contenido específico para la enseñanza (teaching knowledge). Por su parte, Artigue, Assude, Grugeon y Lenfant (2001) distinguen tres dimensiones del conocimiento del álgebra: epistemológica, cognitiva y didáctica, que pueden considerarse como un modelo amplio para caracterizar el conocimiento del profesor. La dimensión epistemológica abarca el conocimiento del profesor sobre el contenido y estructura del álgebra, y las conexiones entre esta y otras áreas de las matemáticas. La dimensión cognitiva comprende el conocimiento del profesor en relación al aprendizaje de álgebra. Finalmente, la dimensión didáctica incluye el conocimiento del profesor sobre la enseñanza del álgebra. El grupo SIDM1 de la Universidad de Huelva (España) ha desarrollado un modelo de conocimiento especializado del profesor de matemáticas denominado Mathematics teacher’s specialised knowledge (MTSK) (Carrillo et al., 2013). Este modelo se considera una propuesta teórica y herramienta metodológica que permite analizar la práctica de un profesor de matemáticas (Carrillo, Montes, Contreras y Climent, 2017); surge con base en nuestras experiencias usando el modelo Mathematical knowledge for teaching (MKT) (Ball et al., 2008) y ante las dificultades encontradas en la caracterización y delimitación de distintos subdominios (eg. conocimiento común del contenido y conocimiento especializado del contenido) de cara a la aplicación de estos en la investigación !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 El SIDM es el Seminario de Investigación en Didáctica de la Matemática. Tiene su sede en la Universidad de Huelva, España. En el grupo participan investigadores de universidades de España, Portugal, México, Chile, Perú, Ecuador y Brasil, entre los que se encuentran las autoras de este estudio. D. Vasco y N. Climent 132 PNA 12(3) sobre el conocimiento de profesores (Flores-Medrano, Escudero-Ávila y Carrillo, 2013). De ahí nuestra apuesta por utilizar el MTSK, ya que a diferencia del MKT contempla la especialización del conocimiento del profesor de matemáticas en su conjunto, es decir, consideramos como conocimiento especializado del profesor de matemáticas el conjunto de los subdominios del modelo. Además, el MTSK es considerado un marco útil para pensar sobre el conocimiento matemático especializado de un profesor, tomando en cuenta que es un conocimiento bastante diferente del conocimiento matemático necesario y utilizado por un ciudadano común, un profesional de otro campo o incluso en investigación matemática (Kilpatrick y Spangler, 2016). Por otra parte, las categorías de análisis desarrolladas en el MTSK (que a continuación describiremos) nos permiten realizar un análisis más pormenorizado del conocimiento de los profesores de nuestro estudio que con los marcos antes descritos para el estudio del conocimiento del profesor de álgebra. El MTSK propone los dominios conocimiento matemático, conocimiento didáctico del contenido y las creencias del profesor sobre las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje, vistas estas últimas como elementos que permean el conocimiento. A continuación describimos los dominios, subdominios y categorías que componen el MTSK, siendo a través de este modelo que analizamos la práctica de aula de los profesores participantes en esta investigación. El dominio del conocimiento matemático abarca el conocimiento sobre el universo de las matemáticas, los conceptos y procedimientos, la estructuración de las ideas, las conexiones entre los conceptos, la razón y el origen de los procedimientos, así como los medios de prueba y cualquier forma de proceder en matemáticas, considerando además, conocimiento del lenguaje matemático y su precisión (Carrillo et al., 2013). Incluye los subdominios conocimiento de los temas, conocimiento de la estructura de la matemática, y conocimiento de la práctica matemática, que detallamos en las siguientes líneas. El conocimiento de los temas se define como un conocimiento profundo y fundamentado, propio de los profesores de matemáticas y de su labor de enseñar. Se compone este subdominio de cuatro categorías: procedimientos, que comprende el conocimiento del profesor sobre algoritmos convencionales y alternativos (¿cómo se hace?), las condiciones suficientes y necesarias para proceder (¿cuándo se puede hacer?), fundamentos de los algoritmos (¿por qué se hace así?), y las características que tendrá el objeto matemático resultante asociadas a un tema (características del resultado); fenomenología y aplicaciones, entendida como el conocimiento de fenómenos o situaciones atribuibles a los significados de un tema matemático, y de los usos y aplicaciones de dicho tema; definiciones, propiedades y sus fundamentos, que se refiere al conocimiento para describir o caracterizar un concepto (incluyendo ejemplos e imágenes asociados), las propiedades de un objeto matemático o aquellas necesarias para llevar a cabo El estudio del conocimiento especializado… 133 PNA 12(3) ! un proceso, así como las bases, cimientos o exhaustividad del empleo de una propiedad, ligado al tema a estudiar; y registros de representación, es el conocimiento sobre las diferentes formas en que un tema puede ser representado, que incluye la notación y el lenguaje matemático asociado a dichas representaciones. El conocimiento de la estructura de la matemática comprende el conocimiento de conexiones de contenidos matemáticos con otros contenidos; cómo se interconectan internamente las matemáticas. Se distinguen las categorías: conexiones de complejización, definida como el conocimiento para relacionar los contenidos enseñados con contenidos posteriores; conexiones de simplificación, es el conocimiento del profesor para relacionar los contenidos enseñados con contenidos anteriores; conexiones transversales, referidas a ideas matemáticas subyacentes a distintos contenidos matemáticos; y conexiones auxiliares, consideradas cuando un contenido o tema diferente al que se está tratando, sirve como herramienta en el desarrollo de algún aspecto del contenido tratado. El conocimiento de la práctica matemática contempla el conocimiento de las formas de proceder características del trabajo matemático. Incluye la jerarquización y planificación como forma de proceder en la resolución de problemas matemáticos, formas de validación y demostración, papel de los símbolos y uso del lenguaje formal, procesos asociados a la resolución de problemas como forma de producir matemáticas, prácticas particulares del quehacer matemático (por ejemplo, la modelización), y condiciones necesarias y suficientes para generar definiciones. El dominio del conocimiento didáctico del contenido está relacionado con el conocimiento del profesor sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Se enfatiza la consideración de conocimientos en donde el contenido matemático condicione la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, excluyendo así los conocimientos pedagógicos generales en contextos de actividades matemáticas (Escudero-Ávila et al., 2015). Los subdominios que comprende son conocimiento de la enseñanza de las matemáticas, conocimiento de las características del aprendizaje de las matemáticas, y conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas. El conocimiento de la enseñanza de las matemáticas es un subdominio que considera el conocimiento específico sobre cómo enseñar contenidos matemáticos, donde se incluyen las categorías: teorías de enseñanza específicas de la educación matemática; recursos materiales y virtuales, es decir, el conocimiento de, por ejemplo, libros de texto, software, pizarras convencionales y electrónicas, como herramientas para enseñar matemáticas; y estrategias, técnicas, tareas y ejemplos, que implica el conocimiento de su potencialidad, de acuerdo al tema tratado. El conocimiento de las características del aprendizaje de las matemáticas hace referencia al conocimiento del profesor sobre cómo se aprende un contenido D. Vasco y N. Climent 134 PNA 12(3) matemático. Las categorías de este subdominio son: teorías de aprendizaje, que incluye el conocimiento de elaboraciones teóricas sobre la construcción del conocimiento matemático por parte de los estudiantes; fortalezas y dificultades, aquellas que podría tener el alumno con relación a un cierto tema matemático; formas de interacción con un contenido matemático, relacionada con el conocimiento del profesor sobre estrategias habituales y no habituales de los estudiantes; e intereses y expectativas, de los estudiantes con relación a un contenido matemático. El conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas contempla aspectos del conocimiento del profesor sobre lo que es esperable que el alumno aprenda en un nivel determinado, derivados de revistas científicas, grupos de investigación y asociaciones profesionales, así como los contenidos propuestos en las normativas curriculares. Sus categorías son: expectativas de aprendizaje, conocimiento del profesor de lo esperable de acuerdo al grado escolar en que imparte sus clases; nivel de desarrollo conceptual o procedimental esperado; relacionado con un tema matemático en un determinado momento escolar; y secuenciación con temas anteriores y posteriores, ya sea en el mismo curso escolar, en anteriores o en posteriores. METODOLOGÍA Esta investigación, de tipo cualitativa e interpretativa fue desarrollada bajo un diseño de estudio de caso (Yin, 2003) instrumental (Stake, 2008), por cuanto procuramos una mayor comprensión del conocimiento especializado sobre un contenido matemático a través de la observación de la práctica y entrevistas de dos profesores (casos) que imparten un módulo de Álgebra Lineal en una carrera de Ingeniería en una universidad de Ecuador, y a los que en adelante llamaremos Jordy y Carlos. Ambos profesores cuentan con experiencia en la enseñanza de matemáticas; Jordy es licenciado en Ciencias de la Educación, con 22 años de experiencia en la enseñanza de matemáticas en secundaria y 9 años en nivel universitario; mientras que Carlos es geólogo y tiene 17 años de experiencia en la enseñanza de matemáticas en la universidad. En cuanto a su experiencia en la enseñanza de álgebra lineal, es de 4 años para el primer profesor y de 3 años para el segundo, respectivamente. Los profesores fueron elegidos sobre la base de su predisposición para colaborar en esta investigación, y debido a que forman parte de la población de profesores donde la primera autora de este estudio se desempeña como docente. Además, porque se pretende intervenir a posteriori con una propuesta de implementación de actividades didácticas elaboradas con la participación del grupo de profesores de matemáticas de la carrera, para lo cual creemos necesario indagar en primera instancia sobre el conocimiento del contenido y didáctico del El estudio del conocimiento especializado… 135 PNA 12(3) ! contenido (dominios del conocimiento matemático especializado) de los profesores. El programa de estudios de la asignatura está previamente establecido y el módulo de Álgebra Lineal tiene una duración de 16 semanas con un promedio de 20 estudiantes por curso, siendo el tema de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales el que se eligió observar para este estudio, ya que constituye la base de las temáticas que se abordan en el desarrollo del módulo de Álgebra Lineal. La recopilación de los datos se realizó durante dos períodos lectivos consecutivos: desde noviembre de 2011 hasta enero de 2012 (año 1) y desde noviembre de 2012 hasta enero de 2013 (año 2), a través de grabaciones en vídeo (observaciones de aula no participantes) durante el desarrollo de las sesiones de clases referentes a matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. La observación de las clases durante dos períodos lectivos obedece a la posibilidad de extraer la mayor información posible para profundizar en el conocimiento especializado de los profesores, ya que estos datos forman parte de una investigación más amplia (Vasco, 2015; Vasco, Climent, Escudero-Ávila y Flores-Medrano, 2015; Vasco, Climent, Escudero-Ávila, Montes y Ribeiro, 2016) en la que estudiamos el conocimiento del profesor y la relación con sus concepciones sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Cada sesión de clases tuvo una duración aproximada de hora y media. En los dos períodos lectivos (años 1 y 2) se realizaron videograbaciones de un total de trece sesiones de clases en el caso de Jordy, y siete sesiones en el caso de Carlos. En este estudio hemos analizado la tercera sesión de clases de Jordy correspondiente al año 1 y la tercera sesión de clases de Carlos correspondiente al año 2. Además, se hicieron entrevistas semiestructuradas a estos profesores. El análisis de los datos se realizó atendiendo a un análisis de contenido (Bardin, 1986), buscando evidencias en la acción y declaraciones (extrayendo unidades de información2 ) de los profesores que aludieran a los subdominios y categorías del MTSK. Las entrevistas semiestructuradas fueron realizadas posterior al análisis de las grabaciones en vídeo; el guión estuvo conformado por preguntas abiertas, a través de las cuales se pretendía recabar información adicional a la obtenida mediante las observaciones, que nos permitiera profundizar en la caracterización y comprensión del conocimiento de los dos profesores, y a su vez, validar algunas de las interpretaciones hechas por el investigador en el análisis de conocimiento. El guión de las entrevistas fue realizado inicialmente por uno de los investigadores, que había analizado las !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2 La denominación de unidad de información la adaptamos de la investigación de Carrillo (1998) y, en esta investigación es una parte de la transcripción de las sesiones de clases y/o respuestas de los profesores obtenidas en las entrevistas, que tiene significado en sí mismo y, que puede estar asociada a uno o varios indicadores de las categorías del instrumento de análisis. D. Vasco y N. Climent 136 PNA 12(3) videograbaciones, y validado después con el otro coinvestigador (con el que se contrastó también el análisis de las video grabaciones). El objetivo de nuestro estudio es identificar y describir el conocimiento que sustenta la enseñanza de dos profesores de álgebra lineal, en el nivel y contexto en que ellos se sitúan, es decir, dar respuesta a la pregunta de investigación ¿Qué conocimiento especializado se pone en juego en la práctica de dos profesores que imparten el tema de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales en el nivel universitario? RESULTADOS A continuación presentamos episodios3 de clases y extractos de entrevistas semiestructuradas de Jordy y Carlos, a través de los cuales explicamos el MTSK evidenciado por los dos profesores de álgebra lineal. En un estudio más amplio (Vasco, 2015) analizamos todas las sesiones de clase videograbadas en los dos cursos escolares mencionados. Esto nos permitió extraer un mapa del conocimiento que sustenta la práctica de ambos profesores en el tema estudiado (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales) y vislumbrar cómo intervenía su conocimiento como herramienta en su práctica. En ambos profesores se observan regularidades en cuanto al conocimiento que ponen en juego en las sesiones, evidenciando determinadas categorías de MTSK. Los dos episodios que hemos elegido para este artículo son representativos de las categorías que se evidencian en cada caso, relacionadas con el modo de abordar cada profesor la enseñanza del tema. El primer episodio analizado corresponde a Jordy cuando explica las matrices escalonadas, y el segundo episodio analizado es de Carlos, cuando explica la resolución de sistemas de ecuaciones lineales calculando el determinante y la matriz inversa. De acuerdo a los subdominios del MTSK, en estos episodios encontramos evidencias de conocimiento de los temas (KoT), de la enseñanza de las matemáticas (KMT) y de las características del aprendizaje de las matemáticas (KFLM). A continuación, explicamos el conocimiento especializado observado en cada uno de los profesores participantes en este estudio. Conocimiento especializado de Jordy La sesión de clases a la cual pertenece el episodio analizado es la tercera (año 1 de observaciones de clases) en lo que respecta al desarrollo del tema de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. En las dos sesiones previas, Jordy trabajó definiciones, operaciones con matrices y álgebra de matrices. Esta tercera sesión de clases fue dividida por el profesor en dos partes: en la primera parte, el profesor aborda el cálculo de la inversa de una matriz a través de !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 En este estudio, un episodio se entiende como un fragmento de la clase en torno a un tema. El estudio del conocimiento especializado… 137 PNA 12(3) ! 𝐴·𝐴!!=𝐼 y en la segunda parte, introduce la forma escalonada de una matriz. Hemos analizado un episodio correspondiente a la segunda parte de la referida sesión de clases, cuyo objetivo es manejar operaciones elementales entre filas para escalonar una matriz. En el episodio que analizamos, Jordy (J) aborda el contenido de matrices escalonadas escribiendo tres matrices diferentes en la pizarra, a través de las cuales pretende hacer notar a los estudiantes (E) ciertas características importantes sobre el tema, y en lo posterior introducir las cuatro operaciones elementales entre filas que pueden ser empleadas para escalonar una matriz. J: Ahora quiero que miren acá a la pizarra 𝐴= 1234 0121 0003 , 𝐵= 1502 00−34 0000 y 𝐶= 0138 0002 0000 . ¿Qué pasa en la primera matriz, qué le ven de especial? Primero no son cuadradas, ¿qué tienen de especial? E: Varios ceros J: ¿Qué pasa con los ceros? E: Van aumentando J: Los ceros van aumentando a medida que usted va descendiendo en las filas. Fíjese que no interesa si por acá hay un cero, la cosa es que haya ceros antes de un elemento que sea diferente de cero en esa fila. Este tipo de matrices se llaman escalonadas, va como una escalera, y a medida que va descendiendo aumentan los ceros hasta encontrarse con un número diferente de cero o hasta tener todas las filas ceros. A estos elementos que son los primeros elementos en cada fila diferentes de cero se les conoce como elementos distinguidos de fila ¿Cuáles son los de la matriz 𝐵? E: 1 y -3 J: En 𝐶, ¿cuáles son los elementos distinguidos de fila? E: El 1 y el 2 J: Solamente habrá un elemento distinguido por fila, no importa si después hay ceros, ese sigue siendo el elemento distinguido, es el primer elemento diferente de cero En la unidad de información seleccionada se evidencia el conocimiento de Jordy sobre definiciones de matriz escalonada y elementos distinguidos de fila (KoT, relativo a la categoría definiciones, propiedades y sus fundamentos). El profesor aborda dichas definiciones apoyado en tres ejemplos y haciendo preguntas a los estudiantes para hacerles notar características relevantes de los objetos matemáticos correspondientes. El uso de estos ejemplos, muestra, además, su KMT, relacionado con la categoría estrategias, técnicas, tareas y ejemplos, considerando que los emplea en sus exposiciones con la finalidad de barrer D. Vasco y N. Climent 144 PNA 12(3) procedimental y ligado a la resolución de problemas relacionados con situaciones reales. Hemos de decir que no hemos indagado sobre el conocimiento de los profesores en situaciones ajenas a su práctica. Esto es, no le hemos preguntado a Jordy, por ejemplo, por posibles situaciones reales en las que se aplique el contenido y qué importancia les otorga en la enseñanza. Con esto no podemos afirmar que haya una correspondencia biunívoca entre el conocimiento especializado que poseen los profesores en relación con estos contenidos y su enseñanza de los mismos. Sin embargo, entendiendo, como citábamos al principio de este artículo, que el conocimiento especializado se desarrolla como producto de la acción profesional, incidir sobre el conocimiento especializado que se evidencia en la práctica de los profesores puede ser un modo de incidir en su práctica futura. REFERENCIAS Artigue, M., Assude, T., Grugeon, B. y Lenfant, A. (2001). Teaching and learning algebra: Approaching complexity through complementary perspectives. En H. Chick, K. Stacey y J. Vincent (Eds.), The future of the teaching and learning of algebra: The 12th ICMI study (pp. 21-32). Melbourne, Australia: The University of Melbourne. Ball, D. L., Thames, M. H. y Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching. What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407. Bardin, L. (1986). Análisis de contenido. Madrid, España: Ediciones Akal. Bromme, R. y Tillema, H. (1995). Fusing experience and theory: The structure of professional knowledge. 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Diana Vasco Mora Universidad Técnica Estatal de Quevedo Quevedo (Los Ríos, Ecuador) [email protected] Nuria Climent Rodríguez Universidad de Huelva Huelva (España) [email protected] Recibido: 10 de octubre de 2017. Aceptado: 23 de enero de 2018 Handle: *** ISSN: 1887-3987