Análisis de vigas continuas sobre apoyos

10 VIGAS CONTINUAS PROYECTO DE ESTRUCTURAS 6 FASES: 1) Diseño: elección del sistema y definición geométrica 2) Modelización: elaboración de modelo físico 3) Análisis: cálculo de solicitaciones y deformaciones de los elementos 4) Dimensionado: elección de secciones que satisfagan requisitos 5) Representación 6) Ejecución PROYECTO DE ESTRUCTURAS 6 FASES: 1) Diseño: elección del sistema y definición geométrica 2) Modelización: elaboración de modelo físico 3) Análisis: cálculo de solicitaciones y deformaciones de los elementos 4) Dimensionado: elección de secciones que satisfagan requisitos 5) Representación 6) Ejecución YA SABEMOS CALCULAR HIPERESTÁTICAS ADEMÁS DE ISOSTÁTICAS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS El análisis de estructuras hiperestáticas consiste en el cálculo de reacciones incluyendo las sobreabundantes, y sucesivamente cálculo de solicitaciones y deformaciones. En general, el cálculo de reacciones requiere de añadir, a las 3 ecuaciones de la estática, tantas ecuaciones de compatibilidad como reacciones sobreabundantes existan. Existen dos tipos de métodos de resolución de hiperestáticas: •Métodos genéricos, válidos para cualquier tipo de estructura hiperestática: - Método de superposición de estados - Método matricial (también válido para isostáticas) •Métodos particulares, más sencillos pero solo aplicables a tipos específicos de hiperestáticas: - Ecuaciones de los 2 y 3 momentos, solo válido para vigas continuas -Simetría/antimetría, solo para estructuras simétricas de forma CONCEPTO DE VIGA CONTINUA Viga continua: estructura trabajando a flexión formada por barras rectas alineadas, unidas rígidamente entre sí en nudos interiores que están simplemente apoyados en el exterior (comúnmente llamados apoyos pasantes) y cuyos enlaces extremos pueden ser apoyos o empotramientos. Que la viga sea pasante sobre los apoyos, sin ninguna coacción al giro, provoca inclinaciones sobre los apoyos. Pero como la viga es rígida en su totalidad, la deformada es continua y no se generan “picos”; es decir: sobre cualquier nudo, el ángulo (inclinación) de la viga es el mismo por la izquierda que por la derecha. CONCEPTO DE VIGA CONTINUA En el ámbito de edificación, este modelo físico se utiliza para vigas que en la realidad tienen unas condiciones de contorno más complejas, principalmente porque los apoyos no son de giro y deslizamiento totalmente libre (por su unión con pilares o por rozamiento sobre otras vigas sobre las que son pasantes). Sin embargo, dichas vigas se pueden modelizar como continuas porque su dimensionado suele quedar del lado de la seguridad (no así el de los pilares o vigas sobre los que se apoyan, aunque la estructura global suele quedar con mayor coeficiente global de seguridad). CONCEPTO DE VIGA CONTINUA El modelo de viga continua es muy preciso para representar viguetas pasantes sobre vigas con poca resistencia a torsión, como en el caso de perfiles metálicos de sección abierta. También las chapas sobre viguetas responden a este modelo. CONCEPTO DE VIGA CONTINUA También en puentes u otras infraestructuras se observan vigas continuas puras, dado que se suelen utilizar apoyos más complejos que permiten un giro sin rozamiento. VIGAS CONTINUAS HIPERESTÁTICAS ÁNÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS ÁNÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS ÁNÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS ÁNÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS ÁNÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS ÁNÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS ECUACIÓN DE LOS DOS MOMENTOS Y DE LOS TRES MOMENTOS A fin de obtener las n incógnitas hiperestáticas (momentos negativos en nudos), se establecen relaciones conocidas entre los momentos negativos contiguos, de tal manera que se obtiene un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Dichas relaciones son: - Ecuación de los dos momentos →vanos extremos, si hay empotramiento - Ecuación de los tres momentos →resto de los vanos E2M E3M E3M E3M ECUACIÓN DE LOS DOS MOMENTOS La primera ecuación, en el caso de que exista un empotramiento en el extremo (nudo 0), es una relación entre M0y M1. Aplicando el 2º Teorema de Mohr entre la tangente (horizontal) por el nudo 0 y la vertical por el nudo 1, se obtiene el desplazamiento vertical (nulo) del nudo 1. La ley de momentos se descompone en tres sumandos, correspondientes a la ley de momentos isostática e hiperestáticas. M0y M1 se toman negativos; L1es la luz del tramo, Ω1es el área de momentos isostáticos, G1el baricentro de dicha área, y D1y d1las distancias desde el baricentro a los extremos. ECUACIÓN DE LOS DOS MOMENTOS Ecuación de los dos momentos 0 1 1 1 0 1 1 1 1 22 11 1 1 0 1 201 1 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 3 0 36 2 6  = =  + + =   + + =  +   = −    d L M L L M L EI LL d M M MM Ld 01 11 2 1 26   + = − d L MM ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Las restantes ecuaciones, correspondientes a nudos interiores m, relacionan el momento en ese nudo (Mm) y sus dos adyacentes (Mm-1 y Mm+1). Se descompone la estructura en dos estados isostáticos (el primero sólo con la carga y el segundo con los momentos hiperestáticos). Las áreas trapeciales de momento en el segundo estado se pueden descomponer en triángulos ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Análogamente para el segundo estado, giro derecho: ( ) 1 11 1 11 11 1 23 2 23 2 6 + ++ + ++ ++  =   +   =  +   =+ d m mm m mm m mmm EIL LM L LM L LMM EI ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Interpretando el signo de los giros (asumiendo momentos hiperestáticos negativos): ( ) ( ) 1 11 2 6 2 6 − ++  = +  = − + m i m m m d m m LMM EI LMM EI ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Igualando giros: Ecuación de los tres momentos ( ) ( ) 1 1 1 11 1 22 66 + + + −+ +  + =  +    + + = − − + i i d d m m m m m m m m m m mm D L d L M M M M EIL EI EIL EI ( ) 11 11 1 11 26 −+ ++ ++ +    + + + = − +   m m m m m m m m m m m mm Dd L L LMLL MM L RESUMEN DE DEMOSTRACIONES DE LAS ECUACIONES DE 2 Y 3 MOMENTOS Ecuación de los dos momentos Ecuación de los tres momentos ( ) 1 1111 1 1 26 ++ ++ + −+   + + + = − +   m m m m m m m m m m m mm Dd L L L ML MLML 12 01 1 1 26  + = − d ML M