Ejercicios resueltos de Matemáticas I, Grado en Óptica y Optometría (23-11-2021)

´ Optica y Optometr´ ıa: curso 10-A, Asignatura: Matem´ aticas I Fecha: 23 de noviembre de 2021 Actualizaci´ on: 24/11/2021, hora: 16:57:26 Resolvemos un sistema de ecuaciones sin “par´ ametros”. Ejercicio resuelto 1. Discutir y resolver el siguiente sistema x+y+z=1 x+y+3z=5 Soluci´ on. La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada: A=1 1 1 1 1 3 ,A|b=1 1 1 1 1 1 3 5  Resolvemos el sistema por dos m´ etodos, aunque se pueden “mezclar”. 1. M´ etodo por menores/determinantes. El rango de Aes como m´ ınimo 1 cogiendo el menor del lugar (1,1). A˜ nadimos la segunda fila (la ´ unica) y la segunda columna:  1 1 1 1  =0. Esto no nos dice nada, luego tenemos que seguir cogiendo el otro menor con la tercera columna:  1 1 1 3  =26=0. Por tanto el rango es 2. Como A|bes una matriz con 2 filas, su rango es como mucho 2, y tiene dentro Aque es de rango 2, entonces r(A|b) = 2. El sistema es compatible indeterminado con 3 −2=1 par´ ametros. Cogemos las ecuaciones donde est´ a el menor, es decir, las dos que ten´ ıamos, cogemos como inc´ ognitas las del menor, es decir, yyzy tomamos como par´ ametros las inc´ ognitas que no est´ an en el menor, x=λ, que pasamos al t´ ermino independiente y resolvemos por Cramer: y+z=1−λ y+3z=5−λ y= 1−λ1 5−λ3  1 1 1 3  =−2λ−2 2=−1−λ,z= 1 1 −λ 1 5 −λ  1 1 1 3  =4 2=2. Las soluciones son:    x=λ,λ∈R y=−1−λ z=−1. 1 2. Por el m´ etodo de Gauss. Hacemos matriz escalonada a la matriz ampliada, 1 1 1 1 1 1 3 5 F21(−1) →A|b=1 1 1 1 0 0 2 4 . Ya est´ a escalonada Ay la matriz A|b. Ambas tienen dos pivotes, luego el rango en ambas es 2: sistema compatible indeterminado. Tomamos como ecuaciones las ecuaciones donde est´ an los pivotes (las dos que ten´ ıamos desde el principio), tomamos como inc´ ognitas, las de los pivotes, es decir, xyz, y tomamos como par´ ametros las inc´ ognitas que no est´ an en los pivotes que pasan al t´ ermino independiente. Aqu´ ıy=λ, luego 1 1 |1−λ 0 2 |4. Resolvemos desde abajo hacia arriba: z=4 2=2, x= (1−λ)−2=−1−λ y acabamos    x=−1−λ y=λ, , λ∈R z=−1.  Ejercicio resuelto 2. Seg´ un el par´ ametro a, discutir y resolver el siguiente sistema    x−y=a x+y=a ax +y=0 Soluci´ on. La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada: A=  1−1 1 1 a1  ,A|b=  1−1a 1 1 a a1 0   Resolvemos el sistema por dos m´ etodos, aunque se pueden “mezclar”. 1. M´ etodo por menores/determinantes. El rango de Aes como m´ ınimo 1 cogiendo el menor del lugar (1,1). A˜ nadimos la segunda fila y la segunda columna (la ´ unica):  1−1 1 1  =26=0. Por tanto el rango de Aes 2 (es una matriz con 2 columnas). 2 Como A|bes una matriz de orden 3 tiene como mucho rango 3. Dentro tiene Aque tiene rango 2, luego seguimos a˜ nadiendo filas y columnas al menor de orden 2 anterior. A˜ nadimos la tercera fila (la ´ unica) y la tercera columna (la ´ unica), qued´ andonos el determinante de A|b. Dicho determinante es −2a2. Si −2a2=0, entonces el rango es 2, y si no, es 3. Esto ocurre para a=0. Por tanto, para que el sistema sea compatible, hace falta que el rango sea 2, es decir, que a=0. En tal caso el sistema es compatible determinado. Cogemos las ecuaciones donde est´ a el menor, es decir, las dos primera (ahora no hay par´ ametros) y resolvemos por Cramer: x−y=0 x+y=0 x= 0−1 0 1   1−1 1 1  =0,y= 1 0 1 0   1−1 1 1  =0. Las soluciones son: x=0 y=0 2. Por el m´ etodo de Gauss. Hacemos matriz escalonada a la matriz ampliada,   1−1a 1 1 a a1 0   F21(−1),F31(−1) →A|b=  1−1a 0 2 0 0 1 +a−a2   F32(1+a −2) →A|b=  1−1a 0 2 0 0 0 −a2  . Ya est´ an escalonada Ay la matriz A|b. La matriz Atiene dos pivotes, luego su rango es 2. La matriz ampliada tiene tres pivotes si −a26=0 y tiene 2 si −a2=0. Por tanto el sistema es compatible si y s´ olo si a=0, y en tal caso, es determinado. Tomamos como ecuaciones las ecuaciones donde est´ an los pivotes, es decir, las dos primera. Ahora no hay par´ ametros, luego 1−1|0 0 2 |0. Resolvemos desde abajo hacia arriba: 2z=0⇒z=0, y=z=0 y acabamos como antes.  Ejercicio resuelto 3. Seg´ un el par´ ametro a, discutir y resolver en su caso el sistema    ax −y+z=0 −x+ay +z=1 2x+ay =0 3 Soluci´ on. La matriz de los coeficientes y ampliadas son: A=  a−1 1 −1a1 2a0  ,A|b=  a−1 1 0 −1a1 1 2a0 0  . Hallamos el rango de Apor menores en empezamos por el menor de orden 1 del lugar (1,3): |1|=16=0, luego r(A)≥1. A˜ nadimos la fila 2 y columna 2:  −1 1 a1 =−1−a. 1. Caso −1−a=0, es decir, a=−1. No nos dice nada y tenemos que seguir con otros menores. Antes de ellos, sustituimos por a=−1. A˜ nadimos al menor de orden 1 la fila 3 y la segunda columna:  −1 1 −1 0  =16=0, luego r(A)≥2. A˜ nadimos filas (la segunda) y columnas (la primera), y hallamos el menor:  −1−1 1 −1−1 1 2−1 0  =0. Por tanto, el rango de Aes 2. Hallamos el rango de la matriz ampliada. Al menor de orden 2 que nos da el rango de A, a˜ nadimos filas (s´ olo hay una, la segunda) y columnas (s´ olo hay una, la cuarta), obteniendo:  −1 1 0 −1 1 1 −1 0 0  =−1. Por tanto el rango de la matriz ampliada es 3, luego el sistema es incompatible. 2. Caso a6=−1. Entonces el rango de Aes al menos 2. A˜ nadimos filas (s´ olo hay una, la tercera) y columnas (s´ olo hay una, la primera), obteniendo:  a−1 1 −1a1 2a0  =−a2−3a−2. Igualamos a 0, sabiendo que en tal caso, el rango de Aes 2 y en caso contrario, es 3. La soluci´ on de −a2−3a−2=0 es a=−2 y a=−1. ´ Este ´ ultimo caso no es posible porque se est´ a descartando. Por tanto, 4 a) Caso a=−2. El rango de Aes 2. Sustituimos y hallamos el rango de la ampliada. Al menor de orden 2 le a˜ nadimos la ´ unica fila que queda, la tercera, y la ´ unica columna que queda, la cuarta, quedando  −1−1 0 −2 1 1 −2 0 0  =26=0, luego el rango de A|bes 3: sistema incompatible. b) Caso a6=−2. El rango de Aes 3. Como la matriz ampliada contiene a A, su rango es al menos 3, pero como es una matriz de 3 filas, su rango es como mucho 3. Definitivamente, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado. Resolvemos por Cramer. x=  0−1 1 1a1 0a0  |A|=a −a2−3a−2 y=  a0 1 −111 2 0 0  |A|=−2 −a2−3a−2 z=  a−1 0 −1a1 2a0  |A|=−a2−2 −a2−3a−2. 5