Teorema de representación de Riesz para C ₀ ₀ (R)* y aplicaciones a EDPs

Facultad de Ciencias Grado en Matemáticas trabajo de fin de grado Teorema de representación de Riesz para C00(R)∗y aplicaciones a EDPs Presentado por: Anabel Galindo Pérez Tutor: Juan José Nieto Muñoz Departamento de Matemática Aplicada Óscar Sánchez Romero Departamento de Matemática Aplicada Curso académico 2021-2022 Teorema de representación de Riesz para C00(R)∗y aplicaciones a EDPs Anabel Galindo Pérez Anabel Galindo Pérez Teorema de representación de Riesz para C00(R)∗ y aplicaciones a EDPs . Trabajo de fin de Grado. Curso académico 2021-2022. Responsables de tutorización Juan José Nieto Muñoz Departamento de Matemática Aplicada Óscar Sánchez Romero Departamento de Matemática Aplicada Grado en Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de Granada Declaración de originalidad D./Dña. Anabel Galindo Pérez Declaro explícitamente que el trabajo presentado como Trabajo de Fin de Grado (TFG), correspondiente al curso académico 2021-2022, es original, entendida esta, en el sentido de que no ha utilizado para la elaboración del trabajo fuentes sin citarlas debidamente. En Granada a 7de julio de 2022 Fdo: Anabel Galindo Pérez A mis tres hombres Índice general Summary XI Introducción XIII 1 Funciones, medidas y compacidad 1 1.1Resultados básicos de la Teoría de la Medida ............... 1 1.1.1Espacios y conjuntos medibles; medidas en [0, ∞]........ 1 1.1.2Medidas signadas .......................... 3 1.2Espacios L1yL1................................ 10 1.2.1Funciones e integrales ........................ 10 1.2.2Operadores lineales y dualidad ................... 14 1.3Otros resultados de Análisis Funcional .................. 16 1.3.1Teorema de Banach-Alaouglu-Bourbaki .............. 16 1.3.2Inclusión isométrica de L1en Mr(R,B(R),R).......... 17 1.4Hacia el teorema de representación de Riesz ............... 19 1.4.1Funciones vistas como medidas: integral de producto ..... 19 1.4.2Teorema de representación de Riesz ................ 22 2 Aplicación: ecuaciones diferenciales 29 2.1Leyes de conservación ............................ 29 2.2Ecuación a estudiar: un modelo de drift-difusión no lineal ....... 32 2.2.1Continuidad de las soluciones ................... 33 2.2.2Formulación débil .......................... 34 2.2.3Reformulación de la no linealidad ................. 35 2.3Comportamiento asintótico cuando ε→0................. 36 2.3.1Conservación implica compacidad ................. 36 2.3.1.1La unicidad ayuda a la convergencia .......... 38 2.3.2Parte “fácil”: límite de las partes lineales ............. 38 2.3.3Límite de la parte no lineal ..................... 39 2.3.3.1Acotación del momento ................. 39 2.3.3.2Paso al límite ........................ 41 Bibliografía 45 IX 1Funciones, medidas y compacidad Al par ( Ω,A) se le denomina espacio medible y a cada subconjunto A⊂Ω que esté en Ase denomina conjunto medible. Un ejemplo de σ -álgebra es el conjunto P(Ω) formado por todos los subconjuntos de Ω . ¿Cómo se pueden construir otras σ -álgebras? Por ejemplo, aprovechando que la intersección de conjuntos mantiene las tres propiedades anteriores, es fácil observar que la intersección de σ -álgebras vuelve a ser una nueva σ -álgebra. Con esta propiedad en mente y dada S ⊆ P(Ω) una familia cualquiera de subconjuntos de Ω, se puede construir la menor σ-álgebra conteniendo a Scomo \ A∈σSAdonde σS={A es una σ-álgebra y S ⊆ A}. Al resultado se denomina la σ-álgebra engendrada por S. El ejemplo más representativo de esta construcción es la llamada σ -álgebra de Borel, B(Ω) que no es otra cosa que la σ -álgebra engendrada por la familia de todos los conjuntos abiertos de Ω . Una vez introducidos los conjuntos medibles (aquellos que, como su nombre indica, pretendemos medir), recordamos que el siguiente paso es asignarles una medida. En principio, admitiremos que la medida pueda tomar el valor infinito, pero las que usaremos en esta memoria serán las medidas finitas. Por tanto, antes de dar una definición general de medida necesitaremos hacer algunas consideraciones sobre el conjunto [0, ∞]:=R+ 0∪{∞}. Este conjunto se considera ordenado totalmente, extendiendo el orden usual de R+ 0, y añadiendo el convenio x≤∞para todo xen [0, ∞], para ordenar el elemento restante: ∞. También podemos extender a este conjunto la operación suma mediante la regla x+∞=∞+x:=∞para todo xen [0, ∞], y también el producto, mediante el convenio siguiente: x×∞=∞×x:=∞con xen ]0, ∞]. 0×∞=∞×0 :=0. Por último, diremos que una sucesión {xn} en [0, ∞] converge a ∞ si para todo M>0, existe n0tal que si n≥n0entonces xn≥M. Una vez hechas estas consideraciones podemos pasar a recordar el concepto de 2 1.1Resultados básicos de la Teoría de la Medida medida que ya se estudió en varias asignaturas del grado. Definición 1.2.Sea ( Ω,A ) un espacio medible y una aplicación µ:A → [0, ∞] . Se dice que µes una medida (positiva) sobre Asi verifica las siguientes propiedades: 1.µ(∅) = 0. 2. Si { An } es una sucesión de elementos de A disjuntos dos a dos ( Ai∩Aj=∅ si j=i), entonces µ( ∞ S n=1An) = ∑∞ n=1µ(An)(propiedad de σ-aditividad). A la terna (Ω,A,µ) se le denomina espacio de medida. 1.1.2. Medidas signadas Al concepto de medida que previamente hemos recordado, podemos eliminarle el requisito de la no negatividad, de este modo obtendríamos las llamadas medidas signadas, que incluyen el concepto de medida clásico. Al igual que antes, aunque necesitaremos solamente las medidas signadas finitas, daremos una definición general. Consideraremos que una medida signada pueda tomar valores infinitos, donde usaremos la aritmética del infinito que hemos visto anteriormente. Definición 1.3.Sea (Ω,A) un espacio medible y sea µ una función en A con valores en R∪{−∞,∞}. Si µes σ-aditiva y µ(∅) = 0 entonces µes una medida signada. Las que nos interesarán serán las medidas signadas finitas, es decir, ni +∞ ni −∞ se encuentran entre sus valores, solo toman valores en R. Para dar generalidad, los siguientes resultados los veremos para medidas signadas cualesquiera, aunque luego usaremos aplicándolos a las medidas que realmente nos conciernen. Proposición 1.1.En una medida signada no puede encontrarse entre sus valores +∞ y −∞ simultáneamente. Como consecuencia, una medida signada es finita o alcanza el valor +∞ o −∞, pero no los dos. Demostración. Sea µ una medida signada en el espacio medible (Ω,A) . Supongamos que existe un conjunto A en A tal que µ(A)=+∞ y un conjunto B en A tal que µ(B) = −∞ . Como la suma µ(A) + µ(Ac) debe estar definida (es decir, no puede ser de la forma +∞+ (−∞) ni −∞+∞ ) y debe ser igual a µ(Ω) por la propiedad de σ-aditividad, tenemos que µ(A) + µ(Ac) = +∞=µ(Ω). Por un razonamiento análogo obtenemos que µ(B) + µ(Bc) = −∞=µ(Ω). 3 1Funciones, medidas y compacidad Entonces, por contradicción, llegamos a que efectivamente no hay dos conjuntos cuyas imágenes por µsean +∞y−∞respectivamente. A modo de ejemplo, veamos como crear una medida signada a partir de una función como sigue: Ejemplo 1.1.Sean M la σ -álgebra de Lebesgue 1 y λ la medida de Lebesgue de R . Representaremos por L(R) al espacio formado por las funciones medibles que son integrables en R, esto es, L(R) = f:R→Rmedible tal que ZR|f|dx <∞. Pues bien, a partir de una función f en L(R) , podemos crear la medida µf:M → R como sigue A∈ M 7→ µf(A):=ZAf(x)dx, que será una medida signada y finita, veámoslo. 1.µf(∅) = Z∅f(x)dx =0. 2. Sea {An}∈B(Ω) disjuntos dos a dos. Usando propiedades de la integral de Lebesgue estudiadas en Análisis Numérico II, obtenemos que µf( ∞ [ n=1 An) = Z∞ S n=1An f(x)dx = ∞ ∑ n=1ZAn f(x)dx = ∞ ∑ n=1 µ(An). Por tanto, obtenemos que efectivamente es una medida signada. Para ver que es finita consideremos E∈ M . Como E⊂R y usando propiedades de la integral de Lebesgue obtenemos |µf(E)|=ZEf(x)dx≤ZE|f(x)|dx ≤ZR|f(x)|dx. Como f∈ L(R) , obtenemos que la integral es finita y, por tanto, |µf(E)|<∞ para todo E∈ M. Nuestro próximo objetivo será identificar como espacio vectorial el conjunto de todas estas medidas signadas finitas sobre un mismo espacio medible y dotarlo de una norma; este espacio será uno de los pilares de nuestro objetivo: el Teorema de representación de Riesz. Para ello, necesitaremos algunos resultados previos. El 1 Hemos usado el concepto de medible e integrable respecto a la medida usual de Lebesgue, como se vio en la asignatura de Análisis Numérico II. Más adelante generalizaremos estos conceptos para poder aplicarlos a otros tipos de medidas. 4 1.1Resultados básicos de la Teoría de la Medida primero de ellos, que presentaremos en seguida, permite dividir el conjunto Ω en dos zonas relacionadas con el signo que una medida µ toma en los subconjuntos de cada una de ellas. Comenzamos con un concepto asociado a este hecho. Definición 1.4.Sea µ una medida signada en un espacio medible (Ω,A) . Un subconjunto A de Ω es un conjunto positivo para µ si A∈ A y cada subconjunto medible E⊆A satisface µ(E)≥0 . Igualmente, A es un conjunto negativo para µ si A∈ A y cada subconjunto medible Ede Asatisface µ(E)≤0. Una vez definidos los conjuntos positivos y negativos para una medida signada, podemos descomponer el espacio medible en un subconjunto positivo y otro negativo disjuntos, los cuales usaremos para definir la norma en el espacio de medidas regulares finitas. Formalicemos este resultado en modo de teorema cuya demostración no tiene mayor dificultad, pero necesita algunos resultados previos que se alejan del propósito de esta memoria, puede consultarse en [Coh97, capítulo 4]. Teorema 1.1.(Descomposición de Hahn). Sea µ una medida signada en un espacio medible (Ω,A) . Existen subconjuntos disjuntos Ω+ y Ω− en Ω , con Ω+ un conjunto positivo para µ y Ω− un conjunto negativo para µ , tal que Ω=Ω+∪Ω−. Al par (Ω+,Ω−) se le denomina descomposición de Hahn para una medida signada µ. Observación 1.1.Una medida signada puede tener varias descomposiciones de Hahn. Constatemos este hecho usando la medida asociada a una función que hemos introducido en el Ejemplo 1.1. Recordemos que, a partir de una función g en L(R) , definíamos µg(A):=ZAg(x)dx, para conjunto cada A Lebesgue-medible. Entonces, en este caso es fácil observar que Ω+ 1={x∈R:g(x)≥0}yΩ− 1={x∈R:g(x)<0}, Ω+ 2={x∈R:g(x)>0}yΩ− 2={x∈R:g(x)≤0}, son sendas descomposiciones de Hahn que, en cuanto la función g se anule en algún punto, son distintas. El siguiente resultado nos permitirá descomponer, gracias al teorema anterior, cada medida signada en dos medidas positivas, las cuales usaremos para crear la norma que estábamos buscando. Concretemos este resultado así como su demostración que es constructiva. Corolario 1.1.(Descomposición de Jordan). Cada medida signada es la diferencia de dos medidas positivas, con al menos una de ellas finita. Demostración. Sea µ una medida signada en el espacio medible (Ω,A) y elegimos una descomposición de Hahn (Ω+,Ω−) para µ. 5 1Funciones, medidas y compacidad Definimos entonces las medidas µ+yµ−como sigue: dado A∈ A, µ+(A):=µ(A∩Ω+), µ−(A):=−µ(A∩Ω−). Usando que Ω+ y Ω− constituyen una descomposición de Hahn, es claro que µ+ y µ−son medidas positivas y además: A= (A∩Ω+)∪(A∩Ω−)⇒µ(A) = µ(A∩Ω+) + µ(A∩Ω−) = µ+(A)−µ−(A). Además, como hemos visto en la Proposición 1.1, +∞ y −∞ no pueden estar ambos entre los valores de µ , por lo que al menos uno de los valores µ(Ω+) o µ(Ω−) debe ser finito. Por tanto, al menos una de las medidas µ+oµ−debe ser finita. Veamos que esta descomposición de Jordan de una medida no depende en realidad de la descomposición de Hahn que hayamos usado para su construcción. Sea (Ω+,Ω−) una descomposición de Hahn para la medida signada µ, sean µ+yµ−las medidas construidas para ( Ω+,Ω− ) en la demostración del Corolario 1.1y supongamos que A pertenece a A . Entonces tenemos que cada subconjunto medible B de A satisface µ(B) = µ+(B)−µ−(B)≤µ+(B)≤µ+(A). Por lo tanto, µ+(A)≥sup {µ(B):B∈ A yB⊆A}, pero tomando B=A∩Ω+⊆A y usando que µ+(A):=µ(A∩Ω+) = µ(B) , se alcanza el supremo (de hecho, es un máximo) y µ+(A) = sup {µ(B):B∈ A yB⊆A}. De forma análoga, la medida µ−satisface µ−(A) = sup {−µ(B):B∈ A yB⊆A}. Por lo tanto, µ+ y µ− no dependen de la descomposición de Hahn particular utilizada en su construcción. Las medidas µ+ y µ− son llamadas la parte positiva y parte negativa respectivamente de µ y la representación µ=µ+−µ− se llama la descomposición de Jordan de µ. A modo de ejemplo, usemos de nuevo una medida signada µg en (R,M) creada a partir de una función g∈ L(R). 6 1.1Resultados básicos de la Teoría de la Medida Ejemplo 1.2.Como acabamos de ver, µ+ g y µ− g no dependen de la descomposición de Hahn utilizada, por lo que podemos usar la que hemos introducido hace un momento: Ω+={x∈R:g(x)≥0} y Ω−={x∈R:g(x)<0} en la página 5. Por tanto, para cada A∈ M: µ+ g(A) = µ(A∩Ω+) = ZA∩{x∈R:g(x)≥0}g(x)dx =ZAg+(x)dx =µg+(A), donde g+:=max {g,0} es la parte positiva de g . De forma análoga, obtenemos que µ− g(A) = µg−(A) con g−=max {−g,0}, lo que resulta bastante natural, esto es, la parte positiva (resp. negativa) de la medida asociada a una función resulta ser la medida asociada a la parte positiva (resp. negativa) de dicha función. A partir del resultado que acabamos de ver, podemos crear una nueva medida positiva que será crucial para crear una norma en el espacio de medidas que nos interesan, la cual llamaremos variación total. Definición 1.5.Llamaremos variación de una medida signada µ en el espacio medible (Ω,A)a la medida positiva |µ|definida por |µ|=µ++µ−. Usando esta nueva medida positiva, podemos finalmente definir la variación total de la medida signada µcomo ||µ|| =:|µ|(Ω) = µ+(Ω) + µ−(Ω) = µ(Ω+)−µ(Ω−). Ejemplo 1.3.Para el caso de una medida signada que proviene de una función, tenemos que su variación total es |µg|=µg++µg− , como hemos visto en el ejemplo anterior. Con lo cual, para Aen M, obtenemos que |µg|(A) = ZAg+(x)dx +ZAg−(x)dx =ZAg+(x) + g−(x)dx, dado que |g|=g++g−, llegamos a que |µg|(A) = ZA|g|(x)dx, es decir |µg|=µ|g|. Sea (Ω,A) un espacio medible. Representaremos por M(Ω,A,R) al espacio de todas las medidas signadas finitas en (Ω,A) . Es fácil ver que M(Ω,A,R) es un espacio vectorial sobre R . Veamos que, además, la variación total es una norma es este espacio. Sea µ∈M(Ω,A,R). Es claro que ||µ|| ≥ 0 puesto que ||µ|| =|µ|(Ω) , donde |µ| es una medida positiva, con lo cual, solo tomará valores no negativos finitos, por ser µfinita. Si µ es la medida cero, es claro que ||µ|| =0 . Recíprocramente, si tenemos ||µ|| =0 , implica que |µ|(Ω) = 0 , podría ser que Ω fuese un conjunto nulo 7 1Funciones, medidas y compacidad para la medida |µ| , pero en ese caso |µ| aplicado a cualquier subconjunto de Ω sería 0, por lo que |µ|sería la medida cero al igual que µ. Sea ken R,||kµ|| =|kµ|(Ω) = (kµ)+(Ω) + (kµ)−(Ω). En el caso de kpositivo, es claro que (kµ)+(Ω) = kµ+(Ω)y(kµ)−(Ω) = kµ−(Ω). Para el caso k negativo podemos usar la caracterización de la página 5para la descomposición de Jordan: (kµ)+(Ω) = sup {−|k|µ(B):B∈ A yB⊂Ω}=|k|µ−(Ω). (kµ)−(Ω) = sup {|k|µ(B):B∈ A yB⊂Ω}=|k|µ+(Ω). Con lo cual, obtenemos que ||kµ|| =|k|(µ+(Ω) + µ−(Ω)) = |k|||µ||. Por último, dadas sendas medidas µ,λ∈ M(Ω,A,R) y usando la misma caracterización de |µ+λ|(Ω) en forma de supremos, teniendo en cuanta únicamente que el supremo de una suma es menor que la suma de los supremos, llegamos fácilmente a que ||µ+λ|| ≤ ||µ||+||λ||. Una vez definidas las medidas signadas finitas, concretemos a las que son, además, medidas regulares de Borel, que son las que realmente buscamos. Definición 1.6.Sea Ω un espacio topológico de Hausdorff. Una medida de Borel en Ω es una medida (positiva) µ cuyo dominio es B(Ω ), es decir, una medida definida en la σ-álgebra de Borel de Ω. Además, diremos que esta medida es regular sii: 1. (finita en compactos) para cada compacto Kde Ωse satisface µ(K) <∞; 2. (regularidad exterior) para cada subconjunto Een B(Ω)se satisface: µ(E) = ínf{µ(U):Uabierto, E⊆U⊆Ω}; 3. (regularidad interior) para cada subconjunto abierto Ude Ωse satisface µ(U) = sup{µ(K):Kcompacto, K⊆U⊆Ω}. En el caso de que µ sea una medida signada definida en B(Ω) , se dirá que es una medida signada de Borel regular si su variación |µ| es regular y denotaremos por 8 1.1Resultados básicos de la Teoría de la Medida Mr(R,B(R),R) al espacio de todas las medidas signadas finitas de Borel regulares en el espacio medible (Ω,B(Ω)). Ejemplo 1.4.Veamos que en el caso de una medida signada µg , creada a partir de una función g, es también regular en el caso de que gsea integrable. Como ya habíamos visto en el Ejemplo 1.3, |µg|=µg++µg− y para A∈ M , |µg|(A) = ZA|g|(x)dx. Con lo cual, Sea Kun compacto de R, por ser g∈ L(R)es claro que |µg|(K)<∞. Sea E⊂ M , comprobemos que |µg|(E) = inf |µg|(U):Uabierto, E⊆U. Consideramos la siguiente sucesión decreciente de abiertos que recubren el conjunto E: Un=[ x∈E B(x,1 n)con n∈N y definimos las siguientes funciones: h(x) = |g(x)|si x∈E, 0 si x=E,hn(x) = |g(x)|si x∈Un, 0 si x=Un. Veamos que hn cumple las hipótesis para poder aplicar el teorema de la convergencia dominada. Se trata de una sucesión de funciones integrables (por ser g integrable en R ) con |hn|≤|g| . Además, por construcción, hn converge puntualmente a la función h(x). Con lo cual obtenemos lo siguiente: |µg|(Un)=ZUn|g(x)|dx=ZR hn(x)dx n→∞ −→ ZR h(x)dx =ZE|g(x)|dx =|µg|(E). Sea ahora U⊂R abierto y veamos la regularidad interior, esto es: |µg|(U) = sup |µg|(K):Kcompacto , K⊂U. Para ello, consideramos los conjuntos Kn=x∈R:dist(x,Uc)≥1 n∩B(0, n)⊂U, que claramente son compactos (acotados y cerrados) y ∞ S n=1Kn⊆U . Para ver la otra inclusión tomamos x0∈U . Por lo tanto, dist(x0,Uc)>0 y, de hecho, existe un natural n0 tal que dist(x0,Uc)≥1 n0 y |x0| ≤ n0 , por lo que x0∈Kn0 . Hacemos entonces una construcción similar a la del apartado anterior: h(x) = |g(x)|si x∈U, 0 si x=U.hn(x) = |g(x)|si x∈Kn, 0 si x=Kn, que, de nuevo, cumple las hipótesis del teorema de la convergencia dominada, ya que como Kn⊂Kn+1 nos proporciona la convergencia puntual de hn a h . 9 1Funciones, medidas y compacidad Entonces, finalmente: |µg|(Kn)=ZKn|g(x)|dx=ZR hn(x)dx n→∞ −→ ZR h(x)dx =ZU|g(x)|dx =|µg|(U). 1.2. Espacios L1yL1 En esta apartado recuperaremos tanto los espacios L1 y L1 , que ya vimos en la asignatura de Análisis Funcional, como los conceptos previos para llegar a su definición, los cuales también nos servirán para enunciar el teorema de representación de Riesz. 1.2.1. Funciones e integrales Para poder hablar de los espacios tanto L1 como L1 necesitaremos conocer el concepto de función medible integrable, así como sus principales características. Definición 1.7.Sean ( Ω,A ) y ( Ω′,A′ ) espacios medibles. Una función f: Ω→Ω′ se dice que es medible si f−1(B)∈ A, para cada B ∈ A′. Como ejemplo de función medible, tal como vimos en Análisis Matemático II, valdría cualquier función continua (en sentido clásico). Nuestro siguiente objetivo será definir la integral de una función respecto de una medida signada, ya que esto nos permitirá crear un isomorfismo isométrico en el teorema de representación de Riesz y conseguir el objetivo que vamos buscando. Para ello, debemos conocer primero el concepto de integral para medidas, que también nos será útil en la siguiente sección para ver la inclusión isométrica de determinados L1en Mr(R,B(R),R). Definición 1.8.Sea (Ω,A,µ) un espacio de medida. Definimos una función simple posible como una función s:Ω→[0, ∞) medible que solo toma un número finito de valores. En particular, se puede representar por s:= n ∑ k=1 αkχAk, donde los valores son {0≤α1<α2<... <αn} y los conjuntos Ak∈ A son disjuntos dos a dos y verifican n S k=1Ak=Ω . Aquí, χA es la función característica de un conjunto A∈ A. Además, se puede definir la integral de srespecto de µcomo: ZΩs dµ= n ∑ k=1 αkµ(Ak), 10 1.2Espacios L1y L1 y si no hay confusión con el dominio Ω, escribiremos simplemente Zs dµ. Veamos que la expresión que define a s es única y, por lo tanto, su integral está bien definida. Supongamos que stambién viene dada por una segunda expresión: s= m ∑ j=1 βjχBj. Tomemos uno de los Ak y un punto suyo x∈Ak . Como m [ j=0 Bj=Ω , entonces existirá un Bjtal que x∈Bj. Dado que los conjuntos AkyBjse pueden caracterizar por Ak:={x∈Ω:s(x) = αk},Bj:={x∈Ω:s(x) = βj}, entonces, dado que x∈Ak∩Bj , tenemos αk=s(x) = βj y, por lo tanto, αk=βj y Ak=Bj . Aplicando este proceso a todos los Ak obtenemos que las dos expresiones son las mismas, como queríamos. Definición 1.9.Sea (Ω,A,µ) un espacio de medida y sea f : Ω→[0, +∞) una función medible. Definimos la integral de frespecto µcomo Zf dµ=sup Zs dµ:ssimple positiva y s≤f. En el caso de que el conjunto no esté acotado superiormente, diremos que Zf dµ= +∞. La integral respecto a una medida también la podemos denotar como sigue cuando no haya lugar a confusión: Zf dµ:=Zf(x)µ(x)dx Sea una función f:Ω→R, de la cual sabemos que admite la descomposición f=f+−f−, con f+=max{f, 0}yf−=max{−f, 0}. Si al menos uno de los términos Rf+dµoRf−dµ es finito, definimos su integral respecto µcomo la diferencia: Zf dµ=Zf+dµ−Zf−dµ, en caso contrario, diremos que la integral de f no existe. Diremos que f es integrable si ambos términos son finitos. 11 1Funciones, medidas y compacidad Teorema 1.4.Sea g en L1(R,B(R),λ) , con λ la medida de Lebesgue. Entonces, la construcción del Ejemplo 1.1define una aplicación Ψ:L1(R,B(R),λ),→Mr(R,B(R),R) g7→ µg,con µg(E):=ZEg(x)dx,∀E∈ B(R), que resulta ser una isometría inyectiva, esto es: ∥µg∥=∥g∥=ZR|g(x)|dx. Demostración. En primer lugar, debemos ver que está bien definida. Como ya habíamos comentado en la página 14, los elementos de L1(R,B(R),λ) se tratan de clases de funciones, con lo cual, las funciones de la misma clase tendrán que tener la misma imagen. Este hecho se deduce de que la integral de dos funciones iguales casi por doquier respecto a la medida de Lebesgue es la misma. Además, debemos de probar que µg es una medida signada finita regular para que la aplicación esté bien definida. En el Ejemplo 1.1ya habíamos visto que se trataba de una medida signada finita y el Ejemplo 1.4nos daba la regularidad. Por tanto, podemos pasar directamente a ver que es una isometría. En realidad, esto es exactamente lo que hicimos en el ejemplo 1.3, donde vimos que: ||µg|| =|µg|(R) = ZR|g|(x)dx =||g||L1(R,λ). Una vez probemos la inyectividad habremos acabado. Como nuestra aplicación es lineal, basta ver que su núcleo está constituido únicamente por la función nula en L1 , lo que se sigue fácilmente del hecho de ser una isometría: µg=0⇔ ∥µg∥=∥g∥L1(R,λ)=0⇔g=0 c.p.d. Podríamos extender este resultado al caso en el de que estemos en un espacio, Ω , de Hausdorff localmente compacto con µ una medida de Borel regular en Ω . Para cada f en L1(Ω,B(Ω),µ) , la medida creada a partir de la integral de f respecto a µ nos permitirá crear una isometría de L1(Ω,B(Ω),µ) dentro de Mr(Ω,B(Ω),R) . Tanto el resultado como su demostración puede consultarse en [ Coh97 , Capítulo 7], la cual no incluiremos en esta memoria, ya que el que realmente nos interesa y utilizaremos en las aplicaciones del capítulo 2es el probado anteriormente. Observación 1.3.Hemos encontrado una isometría inyectiva; sin embargo, no es una biyección, es decir, hay medidas que no provienen de ninguna función integrable. Como ejemplo, podemos ver que la medida delta de Dirac,δ0, definida como: δ0(A) = (1 si 0 ∈A, 0 si 0 /∈A, 18 1.4Hacia el teorema de representación de Riesz para cada boreliano A∈B(R) . Es fácil ver que δ0∈Mr(R,B(R),R) , pero tal vez no sea tan obvio que no es imagen por la isometría anterior de ninguna función. Para verlo, razonaremos por reducción al absurdo: supongamos que existe una función g en L1 tal que µg=δ0. Tomamos A={0},B= [0, 1]yC= (0,1] . Es claro que B=A˙ ∪C, por tanto, por la propiedad de σ-aditividad: δ0(B) = δ0(A) + δ0(C) =⇒δ0(A) = δ0(B)−δ0(C). Sin embargo, como hemos supuesto que la delta de Dirac proviene de una función, tendríamos que: 1=δ0(A) = µg(B)−µg(C) = ZBg(x)dx −ZCg(x)dx =0, puesto que B y C difieren solo en un punto, es decir, en un conjunto de medida (de Lebesgue) cero. 1.4. Hacia el teorema de representación de Riesz Una vez hechos los preámbulos necesarios, podemos presentar el teorema que da título a esta memoria, el cual nos permitirá identificar de forma concreta el dual topológico del espacio C00(Ω) , formado por las funciones continuas con soporte compacto, el cual es un espacio normado considerando la norma del máximo. En el caso de que Ω sea un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto, cada funcional Φ que pertenezca al dual de C00(Ω) vendrá asociado a una única medida signada µ , de forma que la actuación de este funcional sobre una función será la integral de la función con respecto a la medida µ. 1.4.1. Funciones vistas como medidas: integral de producto Antes de pasar al Teorema de Riesz, vamos a poner en valor el ejemplo que hemos ido estudiando a lo largo de esta memoria y que nos va a ser de gran utilidad; es el caso de medidas que provienen de una función integrable. La clave es que esa medida, si se ve como un operador sobre C00(Ω) , la podremos reescribir como la integral del producto. Este resultado podremos relacionarlo más adelante tanto con la convergencia débil-* de las soluciones de ecuaciones que estudiaremos en el capítulo 2, como con la formulación débil de las mismas. Pasemos a enunciarlo y demostrarlo. Proposición 1.7.Sea Ω⊂R y g∈L1(Ω,B(Ω),λ) . Ya sabemos que podemos construir una medida µg regular y, siguiendo la definición 1.9, podemos también construir un operador 19 1Funciones, medidas y compacidad sobre C00(Ω)como sigue: gop :C00 →R f7→ ⟨gop,f⟩:=ZΩf dµg. Entonces, este operador también se puede escribir como la integral del producto, esto es: ⟨gop,f⟩=ZΩg(x)f(x)dx y, por lo tanto, notaremos simplemente ⟨g,f⟩. Demostración. Primero veamos el caso en el que f=s= n ∑ k=1 αkχAk sea un funcional simple positivo en C00(Ω) . Por las definiciones dadas en el apartado 1.2.1y usando el Ejemplo 1.2, ya que µges una medida signada, ZΩs dµg=ZΩs dµg+−ZΩs dµg−= n ∑ k=1 αkµg+(Ak)− n ∑ k=1 αkµg−(Ak). Por como hemos definido una medida creada a partir de una función en la sección 1.3.2, obtenemos la siguiente igualdad: ZΩs dµg= n ∑ k=1 αkZAkg+(x)−g−(x)dx = n ∑ k=1 αkZΩg+(x)−g−(x)χAkdx. Usando que s(x) = n ∑ k=1 αkχAk(x) y g=g+−g− , obtenemos la igualdad que buscábamos: ZΩs dµg=ZΩs(x)g(x)dx. Para el caso en el que f∈C00(Ω)ygsean funciones positivas llegamos a: ZΩf dµg=sup ZΩs dµg: 0 ≤s≤f=sup ZΩs(x)g(x)dx : 0 ≤s≤f. Con el fin de aplicar el teorema de la convergencia dominada, definimos sn(x) = n2 ∑ j=0 j nχAj(x), con Aj=x∈R:j+1 n>f(x)≥j n. 20 1.4Hacia el teorema de representación de Riesz x y f Aj sn(x) 1/n 2/n 3/n j/n (j+1)/n 1=n/n n Es claro que {sn} es una sucesión de funciones integrables la cual converge puntualmente a la función f con 0≤sn≤f. Por tanto, sn(x)g(x) converge puntualmente a f(x)g(x) y está dominada: |sng|≤|f g| , que está en L1 y podemos aplicar el TCD para deducir: lim ZΩsn(x)g(x)dx=ZΩf(x)g(x)dx. Con lo cual, llegamos a la desigualdad sup ZΩs(x)g(x)dx : 0 ≤s≤f≥ZΩf(x)g(x)dx. Como habíamos supuesto gpositiva, la otra desigualdad queda clara. Por el contrario, si g=g+−g−puede tomar valores negativos obtenemos: ZΩf dµg=ZΩf dµg+−ZΩf dµg−= ZΩf(x)g+(x)dx −ZΩf(x)g−(x)dx =ZΩf(x)g(x)dx Para el caso general de que f∈C00(Ω) pueda tomar valores negativos, usando las definiciones de la sección 1.2.1y el caso anterior, es fácil ver la igualdad: ZΩf dµg=ZΩf+dµg−ZΩf−dµg =ZΩf+(x)g(x)dx −ZΩf−(x)g(x)dx =ZΩf(x)g(x)dx. Pasemos ahora a ver el enunciado completo del resultado que da título a la memoria. 21 1Funciones, medidas y compacidad 1.4.2. Teorema de representación de Riesz Teorema 1.5(Teorema de representación de Riesz para C00(Ω) ).Sea Ω un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto, Mr(Ω,B(Ω),R) el espacio de las medidas signadas finitas de Borel regulares y C00(Ω) el conjunto de las funciones continuas con soporte compacto. Para cada µ∈Mr(Ω,B(Ω),R)definimos ϕµ:C00(Ω)→Rpor: ⟨ϕµ,f⟩:=ZΩf dµ,(f∈C00), entonces la aplicación ϕ:Mr(Ω,B(Ω),R)→C00(Ω)∗ que a cada µ∈Mr(Ω,B(Ω),R) le hace corresponder ϕµes un isomorfismo isométrico. Demostración. Tenemos que ver las siguientes condiciones: 1.ϕestá bien definida. 2. Es una isometría, es decir, ||µ|| =||ϕµ|| ∀µ∈Mr(Ω,B(Ω),R). 3.ϕ es un isomorfismo, es decir, ϕ es un operador continuo, lineal, biyectivo y su inversa es continua. Paso 1: Comprobemos que ϕµ∈C00(Ω)∗ . Es fácil ver que ϕµ es una funcional lineal en C00(Ω) . Para ver la continuidad, si usamos la igualdad µ=µ+−µ− y la Proposición 1.3llegamos a |⟨ϕµ,f⟩| =ZΩf dµ≤ZΩ|f|dµ=ZΩ|f|dµ+−ZΩ|f|dµ− ≤ZΩ|f|dµ++ZΩ|f|dµ−≤ ||f||∞µ+(Ω) + µ−(Ω)=||f||∞||µ||, por lo que la Proposición 1.4nos proporciona no solo la continuidad de ϕµ sino una estimación de su norma, de hecho: ||ϕµ|| ≤ ||µ||. Paso 2: Para ver la conservación de la norma, en vista del paso 1, solo debemos comprobar la otra desigualdad ||µ|| ≤ ||ϕµ|| . Para ello, usaremos el Teorema de Lusin, cuya demostración puede consultarse en [ Fol99 ] y cuyo enunciado es el siguiente: Teorema 1.6(Teorema de Lusin).Sea µ una medida regular en el espacio medible (Ω,A) y sea f:Ω→R medible verificando: µ({x∈Ω:f(x)=0})≤∞. Entonces, para todo ε>0 existirá una función g∈C00(Ω) tal que f=g excepto en un conjunto de medida menor que ε. Además, si f está acotada, podemos encontrar g verificando ||g||∞≤ ||f||∞. 22 1.4Hacia el teorema de representación de Riesz Siguiendo con la demostración de la otra desigualdad ||µ|| ≤ ||ϕµ|| . dada µ∈ Mr(Ω,B(Ω),R) y (Ω+,Ω−) su descomposición de Hahn, definimos una función f cuya norma será 1, de la siguiente forma: f(x) = 1 si x∈Ω+, −1 si x∈Ω−. Esta función permite escribir la norma de µde forma operacional como ∥µ∥=ZΩ+1dµ−ZΩ−1dµ=ZΩf(x)dµ, pero como f no es necesariamente continua, necesitamos afinar. Dado ε>0 , aplicamos el Teorema 1.6de Lusin y encontramos una g continua muy parecida a f , concretamente g∈C00(Ω) con f(x) = g(x) excepto en un conjunto medible E , el cual |µ|(E)<ε 2 y ∥g∥∞≤ ∥f∥∞=1. Entonces, usando que g−f=0 en Ω\E , reescribimos ∥µ∥como ∥µ∥=ZΩf dµ=ZΩg dµ+ZΩ(f−g)dµ=⟨ϕµ,g⟩+ZE(f−g)dµ, ahora sí, es µ actuando sobre g como operador más un resto. Acotando finalmente la expresión de la derecha por su valor absoluto llegamos a la siguiente desigualdad: ∥µ∥ ≤ ⟨ϕµ,g⟩+∥f−g∥∞ZEd|µ| ≤ ||ϕµ||∥g∥∞+2|µ|(E)<||ϕµ||+ε. De aquí deducimos que ||ϕµ|| >∥µ∥−ε, y, dada la arbitrariedad de ε , la desigualdad buscada ∥µ∥ ≤ ||ϕµ|| y, por lo tanto, la igualdad. Paso 3. Al ser ϕ un operador lineal e isométrico, podemos garantizar trivialmente la inyectividad. Además, al tratarse de una isometría, tenemos también garantizas la existencia y continuidad de su inversa. Solo nos faltaría ver la sobreyectividad, que vamos a atacar enseguida (esta demostración puede encontrarse en [Fol99]). Veamos primero el caso en el que T sea un operador no negativo en el espacio C00(Ω)∗ , es decir, para cada función no negativa f∈C00 , ⟨T,f⟩ ≥ 0 . El objetivo será ver que existe una medida, µ∈Mr(Ω,B(Ω,R) tal que ⟨T,f⟩=ZΩf dµ , para cada f∈C00(Ω) . El primer paso será construir una medida que definiremos en los conjuntos abiertos de Ωcomo µ(U) = sup n⟨T,f⟩: 0 ≤f≤χU,f∈C00(Ω)ysop(f)⊂Uo. Intuitivamente (ver dibujo siguiente) cuando las funciones f se acercan por debajo a χU , su integral se acerca a la medida (que queremos construir) de U , por eso 23 1Funciones, medidas y compacidad 1f(x) U x se toma esta definición, puesto que queremos que ⟨T,f⟩ sean precisamente esas aproximaciones por debajo. Ahora, podemos extenderla a todos los conjuntos borelianos de Ωcomo sigue: µ∗(A) = inf{µ(U):Ues un abierto y A⊆U}, la cual tendrá sentido, ya que para los conjuntos abiertos U se cumple que µ∗ y µ coinciden y la medida µ=µ∗|B(Ω)será una medida de Borel regular. A continuación, pretendemos comprobar que efectivamente ∀f∈C00 , ⟨T,f⟩= Rf dµ para la µ que habíamos definido en el primer anterior. Por linealidad, basta ver la igualdad para f no negativa. Sea ε>0 y consideremos para cada n∈N la función fnque definiremos como: fn(x) =      0 si f(x)<(n−1)ε, f(x)−(n−1)εsi (n−1)ε≤f(x)<nε, εsi nε≤f(x). Además, definimos K0=sop(f) , y para cada n∈N , Kn={x∈Ω:f(x)≥nε} . Es (N+1)ε nε (n−1)ε ε f(x) fn(x) x Kn−1 sop(f) = K0 fácil ver que fn∈C00(Ω) , puesto que el soporte de fn está contenido en el conjunto Kn−1 y además, existirá un N>0 tal que fn=0 si n>N por pertenecer f al espacio C00(Ω). Por otro lado (ver dibujo), f= N ∑ n=1 fnyεχKn≤fn≤εχKn−1, 24 1.4Hacia el teorema de representación de Riesz luego, integrando respecto a µ, se mantienen las desigualdades: εµ(Kn)≤Zfndµ≤εµ(Kn−1). Debido a que µes regular exterior tendremos que para todo compacto K⊂Ω: µ(K) = inf {⟨T,f⟩:f∈C00(Ω),f≥χK}, usando esta propiedad y que εχKn≤fn, obtenemos: εµ(Kn)≤ ⟨T,fn⟩ Para cada g∈C00(Ω) con χKn−1≤g obtenemos fn≤εg ya que fn≤εχKn−1 y, por lo tanto, ⟨T,fn⟩ ≤ ε⟨T,g⟩ . Utilizando este resultado y la regularidad exterior de nuevo, obtenemos ⟨T,fn⟩ ≤ εµ(Kn−1). Sumando en ambas desigualdades, al ser f= N ∑ n=1 fnobtenemos: ε N ∑ n=1 µ(Kn)≤Zf dµ≤ε N−1 ∑ n=0 µ(Kn), ε N ∑ n=1 µ(Kn)≤ ⟨T,f⟩ ≤ ε N−1 ∑ n=0 µ(Kn), de donde se deduce: ⟨T,f⟩−Zf dµ≤ε(µ(K0)−µ(KN)) ≤εµ(K0) pues KN⊂K0 y entonces µ(KN)≤µ(K0) . Como ε es arbitrario, concluimos finalmente: ⟨T,f⟩=Zf dµ=⟨ϕµ,f⟩. Hemos probado que cada operador lineal continuo no negativo, T , en C00(Ω) es de la forma ϕµ . Para el caso general de que el operador pueda tomar valores en R , veamos que podemos descomponerlo en la diferencia de dos operadores no negativos y aplicando el caso anterior habríamos acabado la demostración. Para ello enunciemos y demostremos el siguiente resultado que nos dará esta descomposición. Lema 1.1.Sea Ω un espacio de Hausdorff localmente compacto. Entonces, para cada operador T∈C00(Ω)∗ , existen sendos operadores no negativos T+ y T− en C00(Ω)∗ tales que T=T+−T−. 25 1Funciones, medidas y compacidad Demostración. Para cada fno negativa en C00 definimos T+(f)como T+(f) = sup {T(g):g∈C00(Ω)y 0 ≤g≤f}. Usando que Tes continua y 0 ≤g≤f, obtenemos la siguiente desigualdad |T(g)|≤∥T∥∥g∥∞≤ ∥T∥∥f∥∞, de donde se deduce que el supremo dado en la definición de T+ es finito y la continuidad si fuese lineal (que lo será) y no negatividad de este: 0≤T+(f)≤ ∥T∥∥f∥∞. Además, para cada α≥0 , T+(αf) = αT+(f) . Para afirmar que T+∈C00(Ω)∗ , nos faltaría comprobar la propiedad aditiva de la linealidad. Pasemos a demostrarla. Sean f1 , f2 , g1 y g2 pertenecientes a C00(Ω) satisfaciendo 0≤g1≤f1 y 0≤g2≤f2 , luego 0 ≤g1+g2≤f1+f2, por tanto, T(g1) + T(g2) = T(g1+g2)≤T+(f1+f2), y tomando supremos llegamos a una de las desigualdades: T+(f1) + T+(f2)≤T+(f1+f2). Para ver la otra desigualdad, supongamos g perteneciente a C00(Ω) cumpliendo 0≤g≤f1+f2 , y definimos las funciones g1 y g2 como g1=min(g,f1) y g2=g−g1 . Luego, tanto g1 como g2 pertenecen a C00(Ω) y 0≤g1≤f1 y 0≤g2≤f2 , por tanto, T(g) = T(g1) + T(g2)≤T+(f1) + T+(f2), tomando supremos, obtenemos la otra desigualdad: T+(f1) + T+(f2)≥T+(f1+f2). Pasemos ahora a extender la definición de T+ a todo C00(Ω) . Para cada f∈C00(Ω) , consideramos f=f+−f−, definimos T+(f) = T+(f+)−T+(f−), el cual es fácil ver que será lineal y continuo al serlo para las funciones no negativas. Por último, definimos T−en C00(Ω)como T−=T+−T, 26 1.4Hacia el teorema de representación de Riesz la linealidad y continuidad de este operador son inmediatas y su no negatividad se deduce del hecho que T+(f)≥T(f) para cada función no negativa f∈C00(Ω). Luego T=T+−T− , con T+ y T− pertenecientes a C00(Ω)∗ no negativas, obteniendo el resultado buscado. Volviendo a la demostración de la sobreyectividad del teorema de Riesz, cualquier operador T perteneciente a C00(Ω)∗ podremos descomponerlo, usando el Lema 1.1, como la diferencia de dos operadores no negativos: T=T+−T− que pertenecen a C00(Ω)∗ y, como ya habíamos probado, cada uno de ellos, al ser no negativos, podemos expresarlos como T+=ϕµ1 y T−=ϕµ2 , con µ1,µ2∈M(Ω,B(Ω),R). Con lo cual, definiendo µ=µ1−µ2 , el operador inicial T será T=ϕµ1−ϕµ2=ϕµ como queríamos. 27 2Aplicación: ecuaciones diferenciales Por tanto, obtenemos cierta continuidad de ρ respecto de t (visto como operador sobre funciones ϕ∈C2 00(R) ); en realidad, con un poco más de trabajo es posible demostrar que ρε(t,x)∈C(0, T;M(R)-débil-∗) , para todo ε>0 finito, pero con esto ya nos basta para dar sentido a la condición inicial. 2.2.2. Formulación débil Aunque nuestras soluciones son regulares, vamos a trabajar con la formulación débil para poder hacer después el paso al límite. Por lo tanto, vamos a ver cuál es la formulación débil de nuestro problema. Consideremos un tiempo T>0 fijo, pero arbitrario, y la solución ρε(t,x) solución del sistema (2.2) . Con lo cual, ∀ϕ∈C∞ 00([0, T)×R) se cumplirá la siguiente igualdad: ZT 0ZR ϕ(t,x)∂tρε(t,x) + ∂xρε(t,x)Uε(t,x)−ε∂xρε(t,x)dx dt =0. (2.6) Reformulado ∂xρεUε−ε∂xρεcomo ∂xρεUε−ε∂2ρε ∂x2, podemos reescribir (2.6) como sigue: ZT 0ZRhϕ(t,x)∂tρε(t,x) + ϕ(t,x)∂xρε(t,x)Uε(t,x)−ϕ(t,x)ε∂2ρε ∂x2(t,x)idx dt =0. Para poder llegar a la formulación débil, trabajemos antes con cada sumando. En primer lugar, reescribimos la primera integral aplicando el teorema de Fubini e integración por partes obtenemos: ZT 0ZR ϕ(t,x)∂tρε(t,x)dx dt =ZRhϕ(t,x)ρε(t,x)iT 0dx −ZRZT 0ρε(t,x)∂tϕ(t,x)dt dx. Por ser ϕ∈C∞ 00([0, T)×R), sabemos que ϕ(T,x) = 0, con lo cual: ZT 0ZR ϕ(t,x)∂tρε(t,x)dx dt =−ZR ϕ(0, x)ρ0,ε(x)dx −ZRZT 0ρε(t,x)∂tϕ(t,x)dt dx. Pasemos a estudiar las integrales restantes. Volviendo a aplicar varias veces integración por partes y teniendo en cuenta que ϕes de soporte compacto obtenemos ZT 0ZR ϕ(t,x)∂xρε(t,x)Uε(t,x)=−ZT 0ZR ρε(t,x)Uε(t,x)∂xϕ(t,x)dx dt, y εZT 0ZR ϕ(t,x)∂2ρε ∂x2(t,x)dx dt =εZT 0ZR ρε(t,x)∂2ϕ ∂x2(t,x)dx dt. 34 2.2Ecuación a estudiar: un modelo de drift-difusión no lineal Por tanto, la ecuación (2.6) podemos reescribirla como ZT 0ZR ρε(t,x)∂tϕ(t,x)dx dt | {z } (FD1) +ZT 0ZR ρε(t,x)Uε(t,x)∂xϕ(t,x)dx dt | {z } (FD2) +εZT 0ZR ρε(t,x)∂2ϕ(t,x) ∂x2dx dt | {z } (FD3) =−ZR ϕ(0, x)ρ0,ε(x)dx | {z } (FD4) , (2.7) ∀ϕ∈C∞ 00([0, T)×R), que será la formulación débil de nuestro sistema (2.2). 2.2.3. Reformulación de la no linealidad (FD2) A la hora de tomar límites, los términos lineales no nos supondrán un problema, como veremos en la Subsección 2.3.2; sin embargo, el término (FD2) al no ser lineal, tendremos que proceder de otra manera. En este subapartado reescribiremos este término no lineal para luego así facilitarnos el trabajo en la convergencia. Usando que Uε(t,x) = 1 2 x |x|∗xρε(t,x), podemos reescribir (FD2)como (FD2) = ZT 0ZRZR 1 2 x−y |x−y|ρε(t,y)ρε(t,x)∂xϕ(t,x)dy dx dt. (2.8) Renombrando las variables como (x,y)→(y,x)y aplicando Fubini, obtenemos (FD2) = ZT 0ZRZR−1 2 x−y |x−y|ρε(t,x)ρε(t,y)∂xϕ(t,y)dy dx dt, (2.9) y notando finalmente que (FD2) = (2.8)=(2.9)=(2.8)+(2.9) 2obtenemos: (FD2) = 1 4ZT 0ZRZR x−y |x−y|ρε(t,x)ρε(t,y)∂xϕ(t,x)−∂xϕ(t,y)dy dx dt, (2.10) donde aparece el producto de funciones (medidas) ρε(t,y)ρε(t,x) , actuando como operadores sobre la función ψ(t,x,y) = 1 4 x−y |x−y|(∂xϕ(t,x)−∂xϕ(t,y)) que es continua y acotada (aunque con soporte no compacto). De este modo, como hicimos en la introducción de este capítulo, la expresión (2.10) permite reescribir el término (FD2) en la formulación débil y que se ajuste a la Definición 2.1que hemos dado, de modo que siga teniendo sentido incluso cuando ρsea solo una medida. 35 2Aplicación: ecuaciones diferenciales 2.3. Comportamiento asintótico cuando ε→0 En general, si tenemos una sucesión acotada de funciones en L1 no tenemos garantizada la existencia de una parcial que tenga que converger en L1 . Como ejemplo podemos considerar la solución fundamental del calor: x y ϕt(x) = 1 (4πt)1 2 e−|x|2 4t √t t=0,125 t=0,5 t=1 Como se estudió en la asignatura de modelos matemáticos II, la norma L1 de la solución fundamental de la ecuación del calor es 1 . Además, como se puede apreciar en el dibujo, la función ϕt converge puntualmente a la función 0 c.p.d. cuando t→0 . Sin embargo, en norma 1=∥ϕt−0∥no puede converger a 0. De hecho, que ϕt sea la solución de la ecuación del calor ∂tϕ−∂2 xxϕ=0 , significa que su condición inicial el t=0 es (en cierto sentido) una delta de Dirac, con lo que la convergencia cuando t→0 es precisamente la continuidad de la que hablamos en la Subsección 2.2.1, y no será en L1 , aunque sí en un cierto sentido operacional (o débil), ¡como medida! 2.3.1. Conservación implica compacidad Al principio de la sección ya habíamos visto que las soluciones del sistema (2.2) , a causa de a la conservación de la masa, estaban acotadas en L1 , en particular, ρε∈L∞(0, T;L1(R)) ; sin embargo, como hemos comprobado en el ejemplo anterior, este hecho no nos asegura la convergencia. No obstante, usando las herramientas presentadas en el Capítulo 1, podemos llegar a obtener un tipo de convergencia de estas soluciones acotadas como sigue: Debido a la inclusión isométrica de L1(R) en Mr(R,B(R),R) , comentada en la Subsección 1.3.2, podemos ver {ρε(t,x)}ε>0 como una sucesión de medidas en el espacio L∞(0, T;Mr) , el cual, a su vez, podemos identificarlo como el dual de alguien: Gracias al teorema de representación de Riesz de la Sección 1.4, que nos daba el 36 2.3Comportamiento asintótico cuando ε→0 isomorfismo isométrico C00(R)∗≡Mr(R,B(R),R) y a que, como vimos en la asignatura de Análisis Funcional, L∞(R)≡L1(R)∗, obtenemos que L∞(0, T;Mr)≡L1(0, T;C00(R))∗. Por tanto, podemos identificar nuestra sucesión original {ρε(t,x)}ε>0 con una sucesión acotada en el dual del espacio L1(0, T;C00(R)). Con el fin de aplicar el Teorema 1.3, veamos que el espacio L1(0, T;C00(R)) es separable. Para ello, utilizaremos un resultado extraído de [ Hyt16 ], el cual asegura que si tanto L1(0, T) como C00(R) son separables, entonces nuestro espacio inicial también. Este hecho se cumple, ya que, como se ha visto en la asignatura de análisis funcional, L1(0, T) es separable y C00(R) también, como hemos comentado en la Subsección 1.3.1. Por consiguiente, aplicando el Teorema 1.3, consecuencia del Teorema de BanachAlaouglu, existirá una sucesión parcial de {ρε}ε>0 que converge como medida con la topología débil-*, es decir, ∃ρ∈L∞(0, T;Mr) y una parcial (que denotaremos igual) tal que, siguiendo con la Definición 1.11, {⟨ρε,ϕ⟩} → ⟨ρ,ϕ⟩ ∀ϕ∈L1(0, T;C00(R)). Para poder relacionar este concepto con la formulación débil de Subsección 2.2.2y nos sea más manejable a la hora de trabajar con este tipo de convergencia, consideremos la aplicación Ψ del Subsección 1.3.2, la que nos da la inclusión de L1(R,B(R),λ) en Mr(R,B(R),R) , y Φ , la que hemos usado para el teorema de representación de Riesz (Sección 1.4), que nos daba la identificación de Mr(R,B(R),R) en el dual de C00. A modo de esquema, juntando estos resultados, tenemos: L1(R,B(R),λ)Ψ ,→Mr(R,B(R),R)Φ →C00(R)∗ g7→ µg7→ ϕµg. Al tener µg su origen de una función g∈L1(R,B(R),λ) , en la Proposición 1.7 ya vimos que ⟨ϕµg,f⟩ , con f∈C00(R) , podíamos reescribirlo como Zg(x)f(x)dx. Con ello, podemos aplicar esta composición de funciones a nuestra sucesión {ρε} , pudiendo escribir ⟨ρε,f⟩como: ⟨ρε,f⟩=ZT 0ZR ρε(t,x)f(t,x)dx, para toda f∈L1(0, T;C00(R)), que es como aparece en la formulación débil (al menos en los términos lineales). De hecho, la convergencia obtenida {ρϵ(t,x)}ε>0ε→0 −−⇀ρ(t,x) , con ρ(t,x)∈L∞(0, T;Mr) 37 2Aplicación: ecuaciones diferenciales nos dice que ZT 0ZR ρϵ(t,x)f(t,x)dx dt → ⟨ρ,f⟩:=ZT 0ZR ρ(t,x)f(t,x)dx dt, para cada f∈L1(0, T;C00(R)) , y en particular, para cada f∈C∞ 00([0, T)×R). Notemos que esta última expresión es técnicamente incorrecta, pues ρ(t,·) es una medida para cada t>0 , y en rigor habría que escribir ⟨ρ,f⟩=ZT 0ZR f(t,x)dρ(t,·)dt, pero como esta forma tiene una complejidad excesiva que no ayuda a su comprensión, optamos por la anterior, que claramente generaliza el caso regular y es la que nos aparecerá en la formulación débil de forma natural. 2.3.1.1. La unicidad ayuda a la convergencia Antes de seguir, dedicamos este breve espacio al hecho (aparente) de no dar importancia a las sucesiones parciales, ya que, anteriormente y en lo que sigue, denotamos a las sucesiones parciales de {ρε(t,x)}ε>0 convergentes de igual forma que la sucesión completa, y además sin tener en cuenta cómo se acerca ε a cero, sin hacer distinciones entre ellas. Esto es porque, como vamos a ver a continuación, a posteriori es posible comprobar que la sucesión completa es la que converge. De hecho, esto es consecuencia de la unicidad de solución de la ecuación límite que se garantiza en [Nie03], y del lema que vamos a enunciar a continuación. Lema 2.1.Sea {xn} ∈ X , con X un espacio topológico de Hausdorff y x∈X fijo. Si ∀σ(n)∃τ(σ(n)) tal que xτ(σ(n)) converge a x con n tendiendo a infinito, entonces xn también convergerá a x en X. Demostración. Supongamos que xn no converge a x . Entonces, existirá ε0>0 y σ(n) tal que |xσ(n)−x|>ε0,∀n>0. Pero entonces, por la hipótesis del lema, existirá τ(σ(n)) yn0>0 tal que |xτ(σ(n)) −x| ≤ ε0,∀n≥n0, llegando así a una contradicción. 2.3.2. Parte “fácil”: límite de las partes lineales Por la propia definición de convergencia débil-* de ρε(t,x) , podemos pasar al límite directamente en los términos (FD1),(FD2) y (FD4) de la ecuación (2.7) al tratarse de expresiones lineales. 38 2.3Comportamiento asintótico cuando ε→0 •En (FD1)obtenemos que: ZRZT 0ρε(t,x)∂tϕ(t,x)dt dx ε→0 −→ ZRZT 0ρ(t,x)∂tϕ(t,x)dt dx. •En (FD3): εZT 0ZR ρε(t,x)∂2ϕ(t,x) ∂x2dx dt ε→0 −→ 0×ZT 0ZR ρ(t,x)∂2ϕ(t,x) ∂x2dx dt =0 donde ZT 0ZR ρ(t,x)∂2ϕ(t,x) ∂x2dx dt está acotada por ser ϕ∈C00([0, T)×R). •En (FD4), como ρ0,ε(x)es una condición inicial que ponemos nosotros, imponemos que ρ0,ε(x)ε→0 −−⇀ρ0(x), con lo que tenemos: ZR ϕ(0, x)ρ0,ε(x)dx ε→0 −→ ZR ϕ(0, x)ρ0(x)dx. 2.3.3. Límite de la parte no lineal (FD2) Como ya habíamos adelantado, el límite en la parte no lineal (FD2) , incluso en su forma final (2.10), no parece tan sencillo como para los términos lineales. Sabemos que, en general, el producto de dos medidas no converge al producto de sus límites en la topología débil-*, pero en nuestro caso sí se obtiene la convergencia del producto, cuya demostración puede consultarse en [NPS01]. Por tanto, tenemos que ρε(t,x)ρε(t,y)ε→0 −−⇀ρ(t,x)ρ(t,y), en C(0, T;Mr(Rx×Ry)−débil*). Sin embargo, esto no es suficiente para pasar al límite directamente en (2.10) debido a que ψ no tiene soporte compacto, por lo que para poder tomar límites necesitaremos actuar de otra manera en la que necesitaremos que el primer momento de ρε esté acotado, como comprobaremos en el siguiente apartado. 2.3.3.1. Acotación del momento Veamos que efectivamente el primer momento está acotado para la solución ρε de nuestro sistema (2.2) . Para ello, definimos una función g∈C2(R) tal que g(x)≥ |x| en Ryg(x) = |x|para |x| ≥ 1; podemos imaginar algo así: x y 1-1 g(x) 39 2Aplicación: ecuaciones diferenciales y, para lo que nos ocupa, notemos que sus derivadas primera y segunda están acotadas. De hecho, cumplen: g′(x) = (x |x|, si |x| ≥ 1 acotada si |x| ≤ 1, g′′(x) = (0 si |x| ≥ 1 acotada si |x| ≤ 1. Entonces, usando que |x| ≤ g(x)y la regla de Barrow, escribimos |x|ρε(t,x)≤g(x)ρε(t,x) = Zt 0g(x)∂ρ ∂tρε(s,x)ds +g(x)ρε,0(x). Usando ahora la ecuación (2.2) e integrando en R, podemos escribir: ZR|x|ρε(t,x)dx ≤−Zt 0ZR ∂ ∂x(ρεUε)g(x)dx ds | {z } (P1) +εZt 0ZR ∂2 ∂x2ρεg(x)dx ds | {z } (P2) +ZR g(x)ρε,0(x)dx | {z } (P3) . Analizamos cada una de estas tres partes. Usando la regla de integración por partes y el decrecimiento en infinito, podemos desarrollar (P1) y (P2) como sigue: ZR ∂ ∂xρε(s,x)Uε(s,x)g(x)dx =−Zt 0ZR ρε(s,x)Uε(s,x)g′(x)dx, ZR ∂2 ∂x2ρε(s,x)g(x)dx =Zt 0ZR ρε(s,x)g′′(x)dx. Para (P3) simplemente usamos la forma de gpara |x| ≤ 1 y |x| ≥ 1, obteniendo: ZR g(x)ρε,0(x)dx =Z|x|≤1ρε,0(x)dx +Z|x|≥1|x|ρε,0(x)dx ≤ ∥ρ0,ε∥L1(R)+|x|∥ρ0,ε∥L1(R). Combinado los tres y gracias a la conservación de la masa (2.3) y a la estimación del campo (2.4), obtenemos finalmente ZR|x|ρε(t,x)dx ≤Zt 0∥ρε(s,·)∥L1(R)∥Uε(s,·)∥L∞(R)∥g′∥L∞(R)ds +εZt 0∥ρε(s,·)∥L1(R)∥g′′∥L∞(R)ds +∥ρ0,ε∥L1(R)+|x|∥ρ0,ε∥L1(R) ≤(Ct +1)1 2∥ρ0,ε∥2 L1(R)+∥ρ0,ε∥L1(R)+∥|x|ρ0,ε∥L1(R),∀t∈[0, T), donde C se puede tomar como C=∥g′∥L∞(R)+∥g′′∥L∞(R) . Notamos que esta cota final depende solo de la condición inicial ρ0,ε . Como el objetivo es hacer ε tender a 40 2.3Comportamiento asintótico cuando ε→0 0 , hemos tomado ε≤1 y además, como ρ0,ε es la condición inicial, la tomamos de manera que ZR|x|ρ0,ε(x)dx esté acotada por una cierta constante C1>0 . Con lo cual, obtenemos el resultado buscado, ZR|x|ρε(t,x)dx ≤C(T,ρ0,ε),∀t∈[0, T). 2.3.3.2. Paso al límite Una vez acotado el momento y teniendo en mente la convergencia del producto, podemos, por fin, pasar al límite: Proposición 2.1.El término no lineal FD2 de la ecuación (2.7) , reescrito en la forma (2.10) , esto es (FD2) = 1 4ZT 0ZRZR ρε(t,x)ρε(t,y)x−y |x−y|∂xϕ(t,x)−∂xϕ(t,y) 4 | {z } ψ(t,x,y)dy dx dt, converge a B:=ZT 0ZRZR ψ(t,x,y)ρ(t,x)ρ(t,y)dx dy dt cuando ε tiende a 0 . Notemos que, acorde con la Definición 2.1, B no es más que la forma correcta de describir el producto ρ(t,·)U(t,·)actuando sobre el test ∂xϕ(t,·). Demostración. En primer lugar, notemos que la función ψ , al ser continua y acotada, si tuviese soporte compacto podríamos tomar límite directamente en (2.10), ya que, como hemos comentado al principio de la subsección, el producto ρε(t,y)ρε(t,x) converge débil-*. Pero al no tenerlo no podemos pasar al límite de momento. De hecho, su soporte, en las variables x e y , podemos esbozarlo gráficamente como sigue: x y sop(ϕ(t,x)) sop(ϕ(t,y)) Para solventar este problema de soportes, definimos una función auxiliar de truncamiento µr(x,y)∈C∞ 00(R2)cumpliendo 41 2Aplicación: ecuaciones diferenciales        µr(x,y) = 1, si |x|+|y| ≤ r. µr(x,y) = 0, si |x|+|y|>2r. 0≤µr(x,y)≤1, si r<|x|+|y| ≤ 2r. r2rx µr=0 µr=1 y Usando que 1=µr+ (1−µr) , podemos descomponer (FD2) , usando (2.10) , como sigue: (2.10)=ZT 0ZRZR µr(x,y)ψ(t,x,y)ρε(t,x)ρε(t,y)dx dy dt +ZT 0ZRZR (1−µr(x,y))ψ(t,x,y)ρε(t,x)ρε(t,y)dx dy dt :=Ar,ε+Br,ε. (2.11) Además, definiendo Arcomo Ar:=ZT 0ZRZR µr(x,y)ψ(t,x,y)ρ(t,x)ρ(t,y)dx dy dt, podemos acotar la diferencia |(FD2)−B|=|Ar,ε+Br,ε−B|por la expresión: |(FD2)−B|≤|Br,ε|+|Ar,ε−Ar|+|Ar−B|. (2.12) Queremos ver que, fijado cualquier η>0 encontramos un radio r2>0 y un ε0>0 fijos para los cuales cada término de la expresión (2.12) sea menor que η/3 para todo 0<ε≤ε0 , que es exactamente la definición de convergencia de (FD2) al término B . Veamos en primer lugar que el primer término Br,ε de (2.12) tiende a 0 cuando r va a infinito uniformemente en ε . Por definición de µr , sabemos que 1−µr=0 para |x|+|y| ≤ r, por lo tanto, podemos estimar Br,εcomo sigue |Br,ε| ≤ZT 0ZRZR|(1−µr(x,y))ψ(t,x,y)ρε(t,x)ρε(t,y)|dx dy dt =ZT 0Z{|x|+|y|>r}|(1−µr(x,y))ψ(t,x,y)ρε(t,x)ρε(t,y)|dx dy dt. Ahora, usando que 1−µr≤1 , y que estamos en el conjunto |x|+|y|>r , podemos estimar parte del integrando como sigue: (1−µr)≤1=|x|+|y| |x|+|y|<|x|+|y| r, 42 2.3Comportamiento asintótico cuando ε→0 lo que, sustituyendo en la desigualdad anterior (nótese que ρε≥0), produce |Br,ε| ≤ ZT 0Z{|x|+|y|>r}|x|+|y| r|ψ(t,x,y)|ρε(t,x)ρε(t,y)dx dy dt ≤∥ψ∥L∞ rZT 0Z{|x|+|y|>r}(|x|+|y|)ρε(t,x)ρε(t,y)dx dy dt ≤∥ψ∥L∞ rZT 0ZR2|x|ρε(t,x)ρε(t,y)dx dy +ZR2|y|ρε(t,x)ρε(t,y)dx dydt =2∥ψ∥L∞ rZT 0ZR ρε(t,y)dyZR|x|ρε(t,x)dxdt. Como la masa está acotada independientemente de ε por las hipótesis del principio del capítulo y el primer momento también (Subsubsección 2.3.3.1), llegamos a que |Br,ε| ≤ 2∥ψ∥L∞ rZT 0masa(t)momento(t)dt ≤2CT r,∀ε>0, como queríamos demostrar. De hecho, podemos concluir que para cualquier η>0 , existe1un r0>> 0, suficientemente grande, tal que |Br,ε| ≤ η 3,∀r≥r0. El siguiente paso será estudiar el tercer término |Ar−B|de (2.12): |Ar−B| ≤ ZT 0Z{|x|+|y|>r}|1−µr(x,y)||ψ(t,x,y)||ρ(t,x)ρ(t,y)|dx dy dt ≤ZT 0||ψ||L∞ρρt({|x|+|y|>r})dt =||ψ||L∞ZT 0|ρρt(R2)−ρρt({|x|+|y| ≤ r})|dt, donde, para simplificar, hemos denotado por ρρt a la medida producto ρ(t,·)×ρ(t,·) en R2 . Gracias a que esta es una medida regular y que las bolas {|x|+|y| ≤ r} son compactas, podemos usar la regularidad interior para ver que este término converge aρρt(R2)cuando rtiende a infinito; es decir, para nuestro η>0, ∃r1>0 : ρρt(R2)−ρρt({|x|+|y| ≤ r})≤η 3T||ψ||L∞∀r≥r1, y, en particular, llegamos a que dado nuestro η>0, ∃r1>0 tal que |Ar−B|≤η 3,∀r≥r1. 1En nuestro caso particular, podemos tomar r0como 6CT η. 43