Ejercicios resueltos de Matemáticas I, Grado en Óptica y Optometría (28-09-2021)

´ Optica y Optometr´ ıa: curso 10-A, Asignatura: Matem´ aticas I Fecha: 28 de septiembre de 2021 Actualizaci´ on: 28/09/2021, hora: 23:59:00 Ejercicio resuelto 1. Hallar los intervalos de monoton´ ıa, extremos relativos y as´ ıntotas de la funci´ on f(x) = (x+3)e−x. Soluci´ on. La funci´ on se puede ver (y conveniente) como un cociente de funciones: f(x) = x+3 ex. 1. Hallamos la primera derivada. Como es un cociente, f0(x) = 1·ex−ex(x+3) (ex)2=−x−2 ex. Igualamos a cero, es decir, el numerador, luego x=−2. Los intervalos de crecimientos son (−∞,−2)y(−2,∞). Damos valores, por ejemplo x=−3, que sale positivo, y x=0, que es negativo. Por tanto, a) En (−∞,−2), es creciente. b) En (−2,∞), es decreciente. 2. Por tanto, x=−2 es un m´ ınimo relativo. a) As´ ıntota vertical no tiene porque el dominio de la funci´ on es todo R. b) Para la as´ ıntota horizontal, l´ ım x→±∞ (x+3)e−x=l´ ım x→+∞ x+3 ex= ∞ ∞ . Usamos la regla de L’Hˆ opital: l´ ım x→+∞ x+3 ex= ∞ ∞ =l´ ım x→±∞ 1 ex=0. l´ ım x→−∞ (x+3)e−x=l´ ım x→−∞ x+3 ex=−∞ 0+=−∞. Luego la as´ ıntota horizontal por la derecha es y=0 y por la izquierda no tiene. c) Al tener as´ ıntota horizontal por la derecha, no tiene oblicua. Por la izquierda: m=l´ ım x→−∞ x+3 xex=l´ ım x→−∞ x+3 x ex=1 0=∞ luego no tiene. 1 -4-2 2 4 -5 5 Figura 1: La funci´ on f(x) = (x+3)e−x. Ejercicio resuelto 2. Para la funci´ on f(x) = ex x−1, hallar los intervalos de monoton´ ıa, convexidad, extremos relativos y as´ ıntotas. Soluci´ on. El dominio de la funci´ on es todo Rexcepto x=1. 1. Se halla la primera derivada y se iguala a cero: f0(x) = e2(x−2) (x−1)2→x−2=0⇒x=2. Ahora en los intervalos de monoton´ ıa, no s´ olo hay que tener en cuenta el punto x=2, sino tambi´ en x=1, luego hay cuatro intervalos de monoton´ ıa. Por tanto s´ olo x=2 es un m´ ınimo (−∞,1) (1,2) (2,∞) signo f0- - + funci´ on decreciente decreciente creciente relativo. 2. a) Usando la regla de L’Hˆ opital, l´ ım x→±∞ ex x−1=l´ ım x→±∞ ex 1=∞,en +∞ 0,en −∞. se concluye que hay as´ ıntota horizontal por la izquierda, pero no por la derecha. b) Sabemos que no tiene as´ ıntota oblicua por la izquierda. Vemos qu´ e pasa a la derecha. l´ ım x→+∞ ex x−1 x=l´ ım x→+∞ ex x2−x. 2 Aplicamos dos veces L’Hˆ opital, : l´ ım x→+∞ ex x2−x=l´ ım x→+∞ ex 2x−1=l´ ım x→+∞ ex 2=∞. Por tanto no tiene as´ ıntota oblicua por la derecha. -2-1 1234 -20 -10 10 20 30 Figura 2: La funci´ on f(x) = ex x−1. Ejercicio resuelto 3. Hallar las as´ ıntotas de f(x) = x3 (x+1)2. Soluci´ on. 1. Como la funci´ on no est´ a definida en x=−1 y l´ ım x→1 x3 (x+1)2=1 0=∞, concluimos que x=−1 es una as´ ıntota vertical. 2. Para la horizontal, l´ ım x→±∞ x3 (x+1)2=∞, entonces no hay. 3. Si y=mx +nes una as´ ıntota oblicua, m=l´ ım x→∞ x3 (x+1)2 x=l´ ım x→∞ x3 x(x+1)2=1. Por otro lado, n=l´ ım x→∞ x3 (x+1)2−x=l´ ım x→∞ −2x2−x x2+2x+1=−2. Por tanto, y=x−2 es la as´ ıntota oblicua. 3 -4-3-2-1 1 2 3 -15 -10 -5 Figura 3: La funci´ on f(x) = x3 (x+1)2. 4