Enfoque ontosemiótico en educación matemática

Enfoque ontosemiótico en educación matemática Fundamentos, herramientas y aplicaciones Enfoque ontosemiótico en educación matemática Fundamentos, herramientas y aplicaciones Juan Díaz Godino Enfoque ontosemiótico en educación matemática Fundamentos, herramientas y aplicaciones Primera edición: 2024 ISBN: 9788410066519 ISBN eBook: 9788410458567 Depósito legal: SE 1861-2024 © de los textos: Juan Díaz Godino Esta investigación ha sido realizada en el marco del Proyecto PID2022-139748NB-100 financiado por MICIU/AEI/10.13039/501100011033 y por FEDER, UE. La publicación digital en abierto de este libro ha sido realizada con el apoyo financiero del Grupo de Investigación FQM-126 Teoría de la Educación Matemática y Educación Estadística del Plan Andaluz de Investigación, Desarrollo e Innovación - PAIDI (Junta de Andalucía, España). © de esta edición: Editorial Aula Magna, 2024. McGraw-Hill Interamericana de España S.L. editorialaulamagna.com [email protected] Impreso en España – Printed in Spain Quedan prohibidos, dentro de los límites establecidos en la ley y bajo los apercibimientos legalmente previstos, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, ya sea electrónico o mecánico, el tratamiento informático, el alquiler o cualquier otra forma de cesión de la obra sin la autorización previa y por escrito de los titulares del copyright. Diríjase a [email protected] si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. Índice Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Capítulo 1 . Motivación y presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 1 .1 . Dilemas en la conceptualización de la educación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 1 .2 . Dilemas en la conceptualización del conocimiento matemático y su emergencia . . . . . . . . . . . . .27 1 .2 .1 . Ontología y epistemología de las matemáticas . . . . . . . . . . .28 1 .2 .2 . Semiótica de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 1 .2 .3 . Representaciones internas y externas . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 1 .3 . Dilemas en la conceptualización del aprendizaje . . . . .31 1 .3 .1 . Constructivismo radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 1 .3 .2 . Constructivismo social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 1 .3 .3 . Enactivismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1 .3 .4 . Aprendizaje discursivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1 .4 . Dilemas sobre la enseñanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 1 .4 .1 . Enseñanza centrada en el estudiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 1 .4 .2 . Enseñanza centrada en el profesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 1 .5 . Dilemas en la evaluación de los procesos educativos-instruccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 1 .6 . Dilemas en la formación del profesorado de matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 1 .7 . Emergencia y desarrollo del EOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 1 .8 . Estructura del libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 7 .4 . Uso del EOS como marco teórico de una investigación 410 7 .5 . Concordancias y complementariedades con otras teorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414 7 .5 .1 . Teoría de situaciones didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414 7 .5 .2 . Teoría antropológica en didáctica de las matemáticas . . .420 7 .5 .3 . Educación matemática realista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .424 7 .5 .4 . Teoría APOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430 7 .5 .5 . Teoría de la objetivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434 7 .5 .6 . Programa etnomatemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .440 7 .5 .7 . Comparación de teorías según la dualidad comprensión-uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444 7 .6 . Aplicaciones y difusión del EOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .446 7.7. Síntesis de los postulados filosóficos del EOS . . . . . . . .447 7 .8 . Síntesis del sistema teórico EOS y cuestiones abiertas . 451 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .456 Sobre el autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465 17 Prefacio La necesidad y utilidad de escribir este libro surge al constatar la gran cantidad de trabajos de investigación apoyados en el Enfoque Ontosemiótico (EOS) sobre el conocimiento y la instrucción matemáticos que se vienen publicando desde los primeros años de la década de los 90. Como se puede ver en el repositorio web disponible en la universidad de Granada http://enfoqueontosemiotic.ugr. es, tras la publicación en Recherches en Didactique des Mathématiques del artículo Significado institucional y personal de los objetos matemáticos (Godino y Batanero, 1994), el número de tesis doctorales y de artículos de investigación que usan las herramientas conceptuales y metodológicas del EOS ha aumentado sustancialmente. Estas herramientas teóricas han ido creciendo y refinándose, al tiempo que se han aplicado a la investigación sobre la didáctica de los diversos contenidos matemáticos y diferentes niveles educativos. Los sucesivos desarrollos del EOS han abarcado los diversos problemas implicados en los procesos de educación matemática, incluyendo cuestiones ontológicas, semióticas, epistemológicas específicas de las matemáticas educativas, y propias de la enseñanza y el aprendizaje en los distintos contextos y niveles educativos. Como resultado, se ha elaborado un sistema teórico en el que se trata de articular de manera coherente las distintas dimensiones involucradas en la investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y la formación de profesores de matemáticas. Transcurridos treinta años desde la publicación de los primeros trabajos sobre el EOS, es necesario realizar una revisión y sistemati- 18 zación que facilite su difusión, la cual se viene haciendo en múltiples cursos de posgrado, conferencias y proyectos de investigación. En consecuencia, el objetivo del libro es presentar los distintos módulos o teorías que componen el sistema teórico EOS, los supuestos básicos que las sustentan, la articulación entre las mismas, las conexiones con otras teorías y ejemplos de aplicación de las diversas herramientas conceptuales y metodológicas. El EOS aporta un sistema de nociones, principios y herramientas metodológicas para estudiar y comprender la naturaleza de la actividad matemática, el conocimiento matemático y los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Este componente científico (descriptivo, explicativo y predictivo) sobre la educación matemática se complementa con otro tecnológico (prescriptivo), formado por un sistema de criterios o normas para optimizar el diseño, implementación y evaluación de los procesos educativo-instruccionales y un modelo de desarrollo profesional docente. El sistema teórico EOS se presenta en este libro compuesto por cinco teorías articuladas: 1. Teoría ontosemiótica de la actividad matemática. Desarrolla una visión antropológica y pragmatista de las matemáticas, esto es, como actividad humana centrada en la resolución de problemas. Esta visión antropológica de la matemática se complementa y articula con otras dos concepciones: la matemática como sistema de objetos y procesos y la matemática como sistema de signos. 2. Teoría ontosemiótica del significado y la cognición matemática. Desarrolla una visión global del significado de los objetos matemáticos, articulando supuestos realistas y pragmáticos, como base de la cognición matemática, tanto desde el punto de vista individual (personal) como social (institucional). 3. Teoría del diseño educativo en matemáticas. Desarrolla supuestos y herramientas teóricas para la descripción y diseño de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas basados en la teoría específica sobre la actividad matemática y el significado de los objetos que propone el EOS. 19 4. Teoría de la idoneidad didáctica. Desarrolla un sistema de criterios para la optimización local del diseño, implementación y evaluación de los procesos educativos-instruccionales en matemáticas, basados en los supuestos y constructos del EOS. Se formulan criterios para las facetas epistémica, ecológica, mediacional, interaccional, cognitiva y afectiva que estructuran los procesos de enseñanza y aprendizaje. 5. Teoría del desarrollo profesional docente. Desarrolla un modelo de conocimientos y competencias del profesorado de matemáticas que tiene en cuenta las facetas, componentes y subcomponentes de los procesos educativos implicados en las actividades de fundamentación, diseño, planificación y evaluación de dichos procesos. Incluye también un sistema de principios o criterios de eficiencia de los programas formativos de profesores. Reconocimientos El desarrollo y aplicación del EOS está estrechamente apoyado en el trabajo realizado con la participación de otros investigadores, en particular C. Batanero, V. Font, A. Contreras, B. D’Amore, M. Rodríguez-Wilhelmi, T. Fernández, T. Neto, L. Pino-Fan, L. Aké, M. Burgos, M. Gea, B. Giacomone, P. Beltrán, a quieres expreso mi sincero reconocimiento. 21 Capítulo 1 Motivación y presentación Introducción Desde el nacimiento de la didáctica de las matemáticas en los años 70, la comunidad de investigadores viene elaborando diversas teorías que permiten describir y explicar los fenómenos relativos a los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, tratando de contribuir a la mejora de dichos procesos. La complejidad de estos fenómenos, los distintos factores que se deben tener en cuenta y la influencia de los diversos contextos culturales en los que se generan las teorías, explican su profusión y la aparición de diversos dilemas o controversias entre las mismas. Esta situación genera dificultades de comunicación y de uso eficiente de los conocimientos producidos en la actividad de investigación. En este libro presentamos el marco teórico del Enfoque Ontosemiótico (EOS) en educación matemática (Godino y Batanero, 1994; Godino, 2002; Godino et al., 2007; Font et al., 2013; Godino et al., 2020), cuyo objetivo es tratar de abordar de manera articulada los problemas de fundamentación, diseño, implementación y evaluación de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La estrategia de clarificación, comparación, hibridación y construcción modular de teorías, desde una aproximación ontológica y semiótica, está en la base del EOS. Se asume la pertinencia y potencial utilidad de avanzar hacia la construcción de un sistema teórico que permita abordar de manera articulada los problemas epistemológicos, ontoló- 22 gicos, semióticos, cognitivos y educativos implicados en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. En este primer capítulo motivamos la construcción del EOS al tratar de dar respuesta a diversos dilemas y contradicciones entre distintos paradigmas de investigación y teorías que se vienen usando en educación matemática. También presentamos los capítulos del libro en los que describimos los supuestos adoptados y las herramientas teóricas desarrolladas para abordar las cuestiones de fundamentación de la educación matemática como campo de investigación, y su aplicación al diseño educativo y la formación de profesores. En la Sección 1.1 analizamos la tensión entre teoría y práctica que se observa en las distintas maneras de concebir la educación matemática: como campo de investigación científica básica, o como campo de investigación tecnológica y de acción práctica. En la Sección 1.2 describimos diversas posiciones teóricas divergentes sobre cuestiones ontológicas y epistemológicas de las matemáticas, esto es, sobre naturaleza de los objetos matemáticos, la emergencia y desarrollo del conocimiento matemático y el papel de los lenguajes y sistemas de representación. En la Sección 1.3 detallamos diversos dilemas en la manera de conceptualizar el aprendizaje matemático, diversos tipos de constructivismo, enactivismo, psicología cultural y aprendizaje discursivo. Distintas maneras de conceptualizar la enseñanza de las matemáticas, bien centrada en el estudiante o centrada en el profesor, el papel de la indagación y la transmisión del conocimiento las describimos en la Sección 1.4. Sobre la evaluación del aprendizaje de los estudiantes y de los procesos educativos-instruccionales en su conjunto hay diversas posturas y puntos de vista que resumimos en la Sección 1.5. En la Sección 1.6 identificamos algunos dilemas entre diversas maneras de abordar la formación de profesores de matemáticas que motivan la elaboración de un modelo específico basado en el EOS. Finalmente, en la Sección 1.7, exponemos la estructura del libro en seis capítulos, además de este capítulo introductorio. Presentamos el EOS como un sistema teórico formado por cinco teorías parciales: Teoría ontosemiótica de la actividad matemática y objetos emergen- 23 tes; Teoría ontosemiótica del significado y la cognición matemática; Teoría del diseño educativo-instruccional; Teoría de la idoneidad didáctica y Teoría del desarrollo profesional docente, las tres últimas teorías basadas en los supuestos y herramientas ontológicas y semióticas descritas en los capítulos 2 y 3. 1.1. Dilemas en la conceptualización de la educación matemática El término educación tiene un uso más amplio que el de didáctica, por lo que podemos distinguir entre educación matemática y didáctica de las matemáticas. No obstante, en el mundo anglosajón se emplea la expresión mathematics education para describir el área de conocimiento que en la Europa continental se denomina «didáctica de las matemáticas». En este libro usamos ambas expresiones de manera indistinta, aunque, como afirma Steiner (1985), educación matemática, además de nombrar a la disciplina científica también puede referirse al sistema social interactivo que comprende teoría, desarrollo y práctica. La reflexión filosófica sobre la naturaleza de la educación matemática como campo de conocimiento es esencial para orientar adecuadamente la investigación, ya que condiciona la formulación de las cuestiones centrales de la misma. ¿Es la educación matemática una disciplina, un campo de investigación, un área interdisciplinar, un ámbito de aplicaciones extradisciplinares u otra cosa? ¿Es una rama de la matemática aplicada o una parte especial de la teoría de la educación? ¿Es una ciencia, una ciencia social, artística o humanista, o ninguna de ellas o todas? (Kilpatrick, 2008). ¿Cuál es su relación con otras disciplinas como la filosofía, las matemáticas, la sociología, la psicología, la lingüística, la antropología, etc.? (Ernest, 2018, p. 22) Entre los autores que han reflexionado sobre la naturaleza de la educación matemática destacan Steiner (1985) y Brousseau (1989), en un ensayo con el significativo título, La torre de Babel. Ante la extrema 24 complejidad de los problemas de la educación matemática, Steiner (1985, p. 11) indica que se producen dos reacciones extremas: • Los autores que afirman que la educación matemática no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y, por tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte. • Los que, pensando que es posible la existencia de la educación matemática como ciencia, reducen la complejidad de sus problemas seleccionando solo un aspecto parcial de los mismos (por ejemplo, el análisis del contenido a enseñar, la construcción del currículo, la mejora de los métodos de enseñanza, el desarrollo de destrezas en el alumno, la interacción en el aula, etc.), al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la educación matemática. De manera parecida se expresa Brousseau (1989), aunque en su caso hablando de la didáctica de las matemáticas. Menciona que una primera concepción de la didáctica de la matemática la identifica como el arte de enseñar, esto es, el conjunto de medios y procedimientos que tienden a hacer conocer, en nuestro caso, la matemática. Además, distingue dos concepciones de carácter científico: una pluridisciplinar aplicada y otra autónoma (calificada por el mismo Brousseau como fundamental o matemática). Como bisagra entre estas dos visiones distingue también una concepción tecnicista, en la que la didáctica sería el conjunto de técnicas de enseñanza, esto es, la invención, descripción, estudio, producción y control de medios nuevos para la enseñanza: currículo, objetivos, medios de evaluación, materiales, manuales, logiciales, etc. En la concepción pluridisciplinar, que surgiría con la segunda tendencia señalada por Steiner, la didáctica aparece como una etiqueta para designar las enseñanzas necesarias para la formación técnica y profesional de los profesores. Steiner (1990) identifica diversas disciplinas relacionadas con la educación matemática, como las matemáticas, epistemología y filosofía de las matemáticas, historia de las matemáticas, psicología, sociología o pedagogía. La actividad de teorización o fundamentación es vista por Steiner como un compo- 25 nente de la educación matemática, y esta como un campo académico y un dominio de interacción entre la investigación, el desarrollo y la práctica. Lesh y Sriramn (2010) reflexionan también sobre la naturaleza de la educación matemática como campo de investigación, planteando las siguientes preguntas: ¿Deberían los educadores matemáticos verse a sí mismos como psicólogos educativos aplicados, psicólogos cognitivos aplicados, o científicos sociales aplicados? ¿Se deberían considerar semejantes a los científicos en el campo de la física, o de otras ciencias puras? ¿O más bien como ingenieros u otros técnicos orientados al diseño, cuya investigación se apoya sobre múltiples perspectivas prácticas y disciplinares, y cuyo trabajo está guiado por la necesidad de resolver problemas reales y también por la necesidad de elaborar teorías relevantes? Estos autores proponen considerar la educación matemática en este último sentido, o sea, como una ciencia orientada al diseño de procesos y recursos para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Como vemos, existe cierta controversia entre aquellos que enfatizan el carácter de ciencia de la educación matemática (Gascón y Nicolás, 2017), cuyo objetivo es la comprensión de los fenómenos educativos y aquellos que consideran la educación como un sociotecnología (Bunge, 1998) y enfatizan el componente de intervención sobre la práctica para su mejora. En el EOS consideramos necesario articular una visión que reconozca la complementariedad del componente científico y tecnológico de la didáctica. Esto quiere decir que, por una parte, se deben abordar problemas teóricos de clarificación ontológica, epistemológica y semiótica sobre el conocimiento matemático, en cuanto tales problemas tienen relación con los procesos de enseñanza y aprendizaje (componente científico, descriptivo, explicativo y predictivo). Por otra parte, se debe intervenir en dichos procesos para hacerlos lo más idóneos posible (componente tecnológico-prescriptivo). Se entiende que la descripción, explicación y predicción, son los fines de la actividad científica, mientras que la prescripción y valoración, son los 32 1.3.1. Constructivismo radical En la versión radical del constructivismo se añade un segundo principio: «la función de la cognición es adaptativa y sirve a la organización del mundo experiencial, no al descubrimiento de una realidad ontológica» (von Glasersfeld, 1989, p. 182). En conjunto, el constructivismo radical es neutral en su ontología, no haciendo ninguna suposición sobre la existencia del mundo tras el dominio subjetivo de experiencia. «La epistemología es decididamente falibilista, escéptica y antiobjetivista» (Ernest, 1994, p. 6). El hecho de que no haya un último conocimiento verdadero posible sobre el estado de las cosas en el mundo, o sobre dominios como las matemáticas, es consecuencia del segundo principio, que es propio de la relatividad epistemológica. Como su nombre indica, la teoría del aprendizaje es radicalmente constructivista, todo conocimiento se construye por el individuo sobre la base de sus procesos cognitivos en diálogo con su mundo experiencial. 1.3.2. Constructivismo social La versión social del constructivismo considera al sujeto individual y el dominio de lo social como indisolublemente interconectados (Ernest, 1994). Las personas están formadas mediante sus interacciones con los demás (así como por sus procesos individuales). Ciertamente, la metáfora subyacente corresponde a la de las personas en conversación, abarcando la interacción lingüística y extralingüística significativas. La mente se ve como parte de un contexto más amplio, la «construcción social del significado». De igual modo, el modelo constructivista social del mundo se corresponde con un mundo socialmente construido que crea (y es constreñido por) la experiencia compartida de la realidad física subyacente. En resumen, el paradigma de investigación del constructivismo social adopta una ontología relativista modificada (hay un mundo exterior soportando las apariencias a las que tenemos un acceso compartido, pero no tenemos un conocimiento seguro de él). Se basa en una epistemología falibilista que considera el ‘conocimiento conven- 33 cional’ como aquel que es «vivido» y aceptado socialmente. La teoría del aprendizaje asociada es constructiva (en el sentido compartido por sociólogos tales como Schutz, Berger y Luckman, así como los constructivistas), con un énfasis en la naturaleza esencial y constitutiva del lenguaje y la interacción social (Ernest, 1994). El constructivismo Piagetiano enfatiza los procesos cognitivos internos a expensas de la interacción social en la construcción del conocimiento por el aprendiz. Sin embargo, el constructivismo tiene necesidad de acomodar la complementariedad entre la construcción individual y la interacción social. 1.3.3. Enactivismo El enactivismo se ha convertido en una teoría del aprendizaje con una cierta importancia entre los investigadores en educación matemática. Según esta teoría de la cognición, «el individuo no es un simple observador del mundo, sino que está corporalmente inmerso en el mundo y está conformado, cognitivamente y como organismo físico completo, por su interacción con el mundo» (Ernest, 2010, p. 42). Otra fuente del enactivismo se encuentra en la teoría sobre la base corporal del pensamiento, vía el papel de las metáforas, de acuerdo con los trabajos de Lakoff y Johnson (1980) y Johnson (1987). Según estos autores, toda la comprensión humana, incluyendo el significado, la imaginación y la razón, está basada sobre esquemas del movimiento corporal y de su percepción. Estos esquemas se extienden vía el uso de metáforas, las cuales proporcionan la base de cualquier comprensión, pensamiento y comunicación humana. En el libro de Lakoff y Núñez (2000) se desarrolla y aplica esta idea al caso de las matemáticas. 1.3.4. Aprendizaje discursivo En la literatura de investigación predomina el uso de nociones cognitivas tales como esquemas mentales, concepciones o conflictos cognitivos, pero se observa la progresiva introducción de otras, como actividad, patrones de interacción o fallo de comunicación (Kieran et 34 al., 2001). El aprendizaje, concebido como adquisición personal, está siendo complementado por una nueva visión como proceso de participación en un hacer colectivo. Lo importante no es el cambio en el aprendiz individual, sino el cambio en los modos de comunicarse con los demás. El nuevo marco de investigación comienza a designarse como discursivo o comunicacional por el énfasis que le atribuyen las investigaciones al lenguaje y a la comunicación, siendo una de las diversas implementaciones posibles del enfoque sociocultural, ligado a la escuela de pensamiento de Vygotsky y a la filosofía de Wittgenstein. Esta aproximación propone una visión del pensamiento humano como algo esencialmente social en sus orígenes y dependiente de factores históricos, culturales y situacionales de manera compleja. Según Sfard (2001) la aproximación comunicacional a la cognición se basa en el principio teórico de que «la comunicación no debería considerarse como una mera ayuda al pensamiento sino casi como equivalente al mismo pensamiento» (p. 13). El pensamiento se concibe como un caso especial de actividad de comunicación y «el aprendizaje matemático significa llegar a dominar un discurso que sea reconocido como matemático por interlocutores expertos» (Kieran et al., 2001, p. 5). El aprendizaje se concibe en términos de discurso, actividad, cultura, práctica, y su desarrollo se centra en las interacciones interpersonales. En el enfoque comunicacional o discursivo la dicotomía entre pensamiento y lenguaje prácticamente desaparece; el lenguaje deja de ser una mera «ventana de la mente», esto es una actividad secundaria del pensamiento que expresa algo ya disponible. Aunque pensamiento y lenguaje se deban considerar como dos entidades diferentes, «ambas se tienen que comprender básicamente como aspectos de un mismo fenómeno, sin que ninguno de ellos sea anterior al otro» (Sfard, 2001, p. 27). 1.4. Dilemas sobre la enseñanza La enseñanza en las distintas áreas disciplinares, y en particular en las matemáticas, plantea diversos dilemas sobre los cuales los profesores deben tomar decisiones: 35 • Individualización vs. estandarización: Adaptar la enseñanza a las necesidades e intereses de cada estudiante, respetando su ritmo de aprendizaje o asegurar que todos los estudiantes progresen al mismo al mismo tiempo, utilizando un currículo y evaluación uniformes. • Teoría vs. práctica: Enfatizar la comprensión de los conceptos y principios matemáticos o priorizar la aplicación de los conocimientos a situaciones reales y la resolución de problemas. • Rigor vs. creatividad: Primar la exactitud y el rigor académico en la enseñanza de las matemáticas o fomentar la creatividad y la exploración en los estudiantes. Seguidamente desarrollamos otros dos dilemas sobre los cuales encontramos fuertes controversias: enseñanza centrada en el estudiante o en el profesor. 1.4.1. Enseñanza centrada en el estudiante La familia de teorías instruccionales basadas en la indagación; «Educación basada en la indagación» (Inquiry-Based Education, IBE), «Aprendizaje basado en la indagación» (Inquiry-Based Learning, IBL) y «Aprendizaje basado en problemas» (Problem-Based Learning, PBL), designan modelos teóricos de instrucción, desarrollados desde diversas disciplinas curriculares. En ellos se atribuye un papel clave a la resolución de problemas «auténticos», bajo un planteamiento constructivista. En algunas aplicaciones al campo de la educación matemática se asume que los estudiantes pueden construir el conocimiento siguiendo las pautas de trabajo de los propios profesionales matemáticos y científicos. El matemático se enfrenta a problemas no rutinarios, explora, busca información, hace conjeturas, justifica y comunica sus resultados a la comunidad científica; el estudio de las matemáticas debería seguir unas pautas similares. En estas teorías se considera esencial el uso de situaciones-problemas (aplicaciones a la vida cotidiana, a otros campos del saber, o problemas internos a la propia disciplina) para que los estudiantes 36 puedan dar sentido a las estructuras conceptuales que configuran la matemática o la ciencia como una realidad cultural. La formulación de situaciones-problemas «ricas» que requieren del análisis y reflexión sobre la estructura matemática implicada, su solución y comunicación son claves en el desarrollo de la competencia matemática de los estudiantes. Este es el objetivo principal de la tradición denominada problem solving (Schoenfeld, 1992), cuyo énfasis se centra en la identificación de heurísticas y estrategias metacognitivas; también de otros modelos teóricos como la Educación Matemática Realista (Freudenthal, 1973; 1991) y la Teoría de Situaciones Didácticas (Brousseau, 2002). English y Sriraman (2010) informan de diversas reflexiones y evaluaciones de la eficacia de las investigaciones sobre resolución de problemas concluyendo sobre su escasa presencia en la práctica escolar. Estos autores consideran que «Desafortunadamente, faltan estudios que aborden el desarrollo conceptual basado en resolución de problemas en interacción con el desarrollo de competencias de resolución de problemas» (English y Sriraman, 2010, p. 267). 1.4.2. Enseñanza centrada en el profesor Consideramos como modelos basados en la transmisión del conocimiento las diversas formas de intervención educativa en las cuales prima la instrucción directa y explícita. «Cuando se trata con información nueva, se debería mostrar a los aprendices qué hacer y cómo hacerlo» (Kirschner et al., 2006, p. 79). El uso de ejemplos resueltos constituye un rasgo característico de la instrucción fuertemente guiada, mientras que el descubrimiento de la solución a un problema en un entorno rico en información constituye similarmente el compendio del aprendizaje por descubrimiento mínimamente guiado. La adopción acrítica de modelos pedagógicos constructivistas puede estar motivada por la observación de la gran cantidad de conocimientos y competencias que el sujeto aprende por descubrimiento o inmersión en un contexto, en particular los conceptos de la vida cotidiana. Sin embargo, Sweller et al. (2007) afirman que: 37 No hay ninguna razón para suponer o evidencia empírica que apoye la noción de que los procedimientos de la enseñanza constructivista basados en la manera en que los humanos adquieren información biológicamente primaria serán efectivos para adquirir la información biológicamente secundaria requerida por los ciudadanos de una sociedad intelectualmente avanzada. Esa información requiere instrucción directa y explícita. (p. 121) Esta posición concuerda con la tesis sostenida por Vygotsky, de que los conceptos científicos no se desarrollan de la misma manera que los conceptos cotidianos (Vygotsky, 1934). Sweller et al. (2007) consideran que proporcionar a los estudiantes un ejemplo completamente resuelto de un problema o tarea, y la información relativa al proceso usado para alcanzar la solución es necesario para el diseño de tareas de aprendizaje idóneas. Estos autores afirman que la investigación empírica del último medio siglo sobre este problema proporciona una abrumadora y clara evidencia de que una mínima guía durante la instrucción es significativamente menos efectiva y eficiente que una guía específicamente diseñada para apoyar el procesamiento cognitivo necesario para el aprendizaje. Resultados similares se reflejan en el metaanálisis de Alfieri et al. (2011). Según Kischner et al. (2006): tenemos destreza en un área porque nuestra memoria a largo plazo contiene cantidades enormes de información relativa al área. Esa información nos permite reconocer rápidamente las características de una situación y nos indica, a menudo inconscientemente, qué hacer y cuando hacerlo. (p. 76) 1.5. Dilemas en la evaluación de los procesos educativos-instruccionales El problema de la evaluación de los conocimientos matemáticos es planteado por Wheeler (1993) desde su dimensión epistemológica. Si necesitamos evaluar el conocimiento matemático de los estudiantes para una multiplicidad de fines, la primera cuestión que debe diluci- 38 darse es la naturaleza del propio conocimiento. La razón que da este autor parece obvia: «¿Cómo podemos evaluar lo que no conocemos?» (p. 87). Existen tensiones entre la evaluación formativa y la sumativa, en la evaluación del aprendizaje a nivel local (interno al aula) y global (externo) (Stufflebeam et al., 2002). La evaluación sumativa requiere desarrollar instrumentos de medida objetivos que permitan realizar comparaciones entre grupos, escuelas y países para tomar decisiones a nivel macro. Esta evaluación conduce a una reducción de la complejidad, prescindiendo de detalles contextuales, que pueden ser esenciales desde el punto de vista educativo. El uso de pruebas estandarizadas para evaluar el aprendizaje matemático de los estudiantes se ha generalizado en muchos países. Esto supone imponer una presión sobre las escuelas y profesores para que los estudiantes obtengan altas calificaciones en estos exámenes, implicando una serie de perjuicios ampliamente catalogados. Según Ralston: Tres de los peores son la enseñanza para el examen, el énfasis en las matemáticas rutinarias a expensas de los temas avanzados y la resolución de problemas, y la desmesurada cantidad de tiempo que se dedica a preparar estos exámenes, que no solo expulsa las matemáticas importantes de las aulas, sino que a menudo implica una menor atención a las ciencias, la historia y las artes en general. (Ralston, 2006, p. 1651) La visión del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas ha variado sustancialmente con la incorporación de diferentes enfoques tanto del contenido como de las actividades, y los modos de interacción. Esta visión ampliada debe implicar cambios en los modos de evaluación de los resultados del aprendizaje. Una visión compleja de las matemáticas, del aprendizaje y la enseñanza requiere nuevos enfoques de la evaluación, sobre todo de la formativa realizada por el profesor para intervenir con fundamento en la organización de la enseñanza. Niss (1993) identifica y discute cuestiones cruciales sobre la evaluación de los aprendizajes de los estudiantes (assessment) en educación matemática y las diferentes posiciones hacia ellas de varios 39 educadores matemáticos. Reconoce que la evaluación implica una multitud de profundos y difíciles problemas teóricos y prácticos, teniendo un fuerte impacto en los sujetos evaluados. Reconoce, además que lo que no se evalúa en educación se vuelve invisible o carece de importancia. Concluye formulando el siguiente dilema general sobre la evaluación en educación matemática: «¿Cómo podemos evaluar los componentes esenciales del conocimiento matemático, la comprensión, el pensamiento, la creatividad, la resolución de problemas y la capacidad general sin distorsionarlos gravemente?» (Niss, 1993, p. 27). 1.6. Dilemas en la formación del profesorado de matemáticas En el campo de investigación sobre la formación y el pensamiento del profesor de matemáticas (Blömeke y Kaiser, 2017; Chapman, 2020; Ponte y Chapman, 2016; Wood, 2008) encontramos diversos modelos teóricos que describen los tipos de conocimientos que los profesores deben poner en juego para favorecer el aprendizaje de los estudiantes. Estos modelos son necesarios para organizar los programas de formación, inicial o permanente, y para evaluar su eficacia. Aunque hay un consenso general en que los profesores deben dominar los contenidos disciplinares correspondientes, no hay un acuerdo similar sobre la manera en que se debe lograr dicho dominio. Se suele reconocer que el conocimiento disciplinar no es suficiente para asegurar competencia profesional, siendo necesarios otros conocimientos de índole psicológica (cómo aprenden los estudiantes, cuáles son las dificultades y errores característicos, sus emociones y actitudes…). Los profesores deberían ser capaces también de organizar la enseñanza, diseñar tareas de aprendizaje significativas, usar los recursos adecuados, y comprender los factores que condicionan los procesos educativos-instruccionales. El trabajo de Shulman (1986) fue pionero en llamar la atención sobre el carácter específico del conocimiento del contenido para la enseñanza. Introdujo el constructo «conocimiento pedagógico del con- 40 tenido» (Pedagogical Content Knowledge, PCK), siendo aceptado ampliamente como relevante para la formación de profesores. El PCK ha sido interpretado y adaptado al caso de las matemáticas por diversos autores (Scheiner et al., 2019). La noción de «conocimiento matemático para la enseñanza» elaborada en diversos trabajos de Ball y colaboradores (Ball, 2000; Ball et al., 2001) asume y desarrolla el trabajo de Shulman a partir de la observación del trabajo de los profesores en el aula de matemáticas. No obstante, como afirman Graeber y Tirosh (2008, p. 124): «El hecho de que muchos investigadores no ofrecen una descripción precisa y compartida del PCK (conocimiento pedagógico del contenido) sino más bien intentan caracterizarlo con listas o ejemplos es una indicación de que el concepto está aún mal definido». Similares limitaciones encuentran Silverman y Thompson (2008) para la noción de MKT (conocimiento matemático para la enseñanza): Aunque el conocimiento matemático para la enseñanza ha comenzado a ganar atención como un concepto importante en la comunidad de investigación sobre formación de profesores, hay una comprensión limitada de lo que sea, cómo se puede reconocer, y cómo se puede desarrollar en la mente de los profesores. (p. 499) La búsqueda de lo que significa el carácter especializado del conocimiento del profesor de matemáticas continúa siendo un tema importante en este campo de investigación (Scheiner et al., 2019). Desde nuestro punto de vista, los modelos de «conocimiento matemático para la enseñanza» elaborados desde las investigaciones en educación matemática, incluyen categorías muy generales. Consideramos que sería útil disponer de modelos que permitan un análisis más detallado de cada uno de los tipos de conocimientos que se ponen en juego en una enseñanza efectiva de las matemáticas. Ello permitiría orientar el diseño de acciones formativas y la elaboración de instrumentos de evaluación de los conocimientos del profesor de matemáticas. En estudios internacionales (Even y Ball, 2009) se concluye que la formación de los profesores de matemáticas debería estar relacionada con la práctica de la enseñanza. Sugerimos a continuación tres cuestiones principales que podrían beneficiarse de unas conexiones 41 internacionales más fuertes y sistemáticas centradas en la mejora de la formación y el desarrollo profesional de los profesores. El primero es la necesidad de centrar la formación de los profesores en la práctica, y el problema de hacerlo con eficacia (Ball y Even, 2009, p. 255), en particular, articular las visiones personales de los profesores provenientes de su experiencia práctica con los enfoques derivados de la investigación (Potari, 2013). Las otras dos áreas problemáticas que mencionan Ball y Even son el problema de la formación de formadores de profesores y el desarrollo de instrumentos válidos para evaluar el aprendizaje de los profesores. Para abordar estos problemas es necesario elaborar modelos teóricos que tengan en cuenta la especificidad y complejidad de facetas y componentes que intervienen en los procesos educativos-instruccionales, tanto referidos al contenido matemático como al contenido didáctico-matemático que deben conocer y dominar los profesores, y en consecuencia los formadores de profesores. 1.7. Emergencia y desarrollo del EOS A comienzo de la década de los 90 y en el contexto de un curso de «Teoría de la Educación Matemática» de un programa de doctorado de la Universidad de Granada, tomamos conciencia de la necesidad de clarificar nociones fundamentales del área para estudiar los fenómenos cognitivos que se describían con diferentes modelos: conocimientos, saberes, concepciones, conceptos, esquemas, invariantes operatorios, significados, praxeologías, etc. El reconocimiento de la disparidad de dichos constructos, formulados en teorías tales como Teoría de las Situaciones Didácticas (Brousseau, 2002); Campos Conceptuales (Vergnaud, 1990), Registros de Representación Semiótica (Duval, 1995) y Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1992), motivaron las indagaciones que dieron lugar a los primeros trabajos del EOS. El problema que originó una primera etapa en la elaboración del EOS fue la clarificación de la noción de significado de un objeto 48 Ball, D. 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Pero esta clarificación es insuficiente, ya que el estudio de los procesos de aprendizaje y difusión de las matemáticas requiere tener en cuenta aspectos psicológicos, pedagógicos, sociológicos, entre otros. En consecuencia, parece necesario adoptar una perspectiva transdisciplinar para la educación matemática (Arboledas y Castrillón, 2007; Steiner, 1985). 56 La diversidad de teorías, así como los dilemas y contradicciones existentes entre las mismas constituye el trasfondo en el que el EOS ha generado una nueva visión sobre el conocimiento matemático, adaptada al contexto educativo y con rasgos transdisciplinares. En el EOS se asume que para poder comprender e intervenir de manera fundamentada en los procesos educativos-instruccionales es necesario ocuparse de problemas empíricos que son propios de la psicología y pedagogía de las matemáticas, tales como, ¿cómo aprendemos las ideas matemáticas y cómo podemos ayudar a aprenderlas? Pero estas cuestiones deben ser abordadas de manera integrada con otras propiamente filosóficas como, ¿cuál es la naturaleza de los objetos matemáticos y en qué se diferencian de los objetos materiales?, ¿cómo existen los objetos matemáticos?, ¿qué es la verdad matemática?, ¿qué es la demostración matemática? En definitiva, qué es y cómo surge el conocimiento matemático (Leng et al., 2007; Shapiro, 2004). En este capítulo describimos las herramientas teóricas desarrolladas en el EOS para abordar el análisis de la actividad matemática y los objetos que intervienen y emergen en dicha actividad, indicando las corrientes en filosofía de las matemáticas y otras disciplinas en que se apoyan. Previamente, en la Sección 2.1, introducimos el constructo matemática educativa, para distinguir, sin separarlas, las matemáticas puras y las aplicadas cuando se aborda el estudio de la educación matemática. Reconocer las características específicas de la matemática educativa como una variedad ecológica de matemáticas, en la que el razonamiento formal convive de manera simbiótica con el empírico-intuitivo, es importante para comprender los procesos de aprendizaje y diseñar intervenciones educativas fundamentadas. Seguidamente, en la Sección 2.2 sintetizamos las principales escuelas de filosofía de las matemáticas sobre las cuales proyectaremos la aproximación ontosemiótica a la actividad matemática y los objetos emergentes. En la Sección 2.3 mostraremos que el constructo configuración de prácticas, objetos y procesos (configuración ontosemiótica) permite articular de manera coherente elementos básicos de una filosofía de la matemática educativa, imbricada con una psicología y sociología. 57 La configuración ontosemiótica condensa la visión que propone el EOS de la matemática como actividad (Sección 2.4), como sistema de objetos y procesos (Sección 2.5) y como sistema de signos (Sección 2.6). Los procesos de idealización, generalización y objetivación que abordamos en la Sección 2.7, son usados para caracterizar la abstracción matemática en el marco del EOS (Sección 2.8). En la Sección 2.9 describimos concordancias y complementariedades de la teoría ontosemiótica de la actividad matemática con otros marcos teóricos usados en educación matemática. Seguidamente, en la Sección 2.10 describimos un ejemplo de aplicación de la teoría: el modelo de niveles de razonamiento algebraico basado en EOS. En la Sección 2.11 incluimos una síntesis de la teoría ontosemiótica de la actividad matemática siguiendo la guía (adaptada) para la descripción de teorías en ciencias sociales y del comportamiento que proponen Michie et al. (2014). 2.1. Caracterización de la matemática educativa1 Para abordar de manera fundamentada los problemas de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas es esencial clarificar las características específicas de las matemáticas puras y aplicadas, así como de las relaciones entre las mismas. Este análisis revela la emergencia de una variedad ecológica de matemáticas (Godino, 1994) que designamos como matemática educativa. Es necesario distinguir entre la dimensión formal (teórica) y la factual (empírica) de la matemática educativa, lo cual no implica considerarlas como separadas, sino reconocer que mantienen estrechas relaciones simbióticas cuando estamos interesados en los procesos de generación y aprendizaje del conocimiento matemático. Por ello, el significado que atribuimos a «matemática educativa» difiere sustancialmente de su uso en algunas comunidades de educación matemática, en las que se considera como 1 El contenido de esta sección 2.1 y la siguiente 2.2 está basado en el artículo Godino (2023). 64 axiomas, definiciones y algoritmos, calcular, comparar construcciones, hacer consideraciones matemáticas, etc. —todo ello utilizando la intuición, la analogía, la inducción y la deducción» (Bunge, 1985, p. 131). Una filosofía de las matemáticas coherente con su sistema filosófico general reúne, entre otras, las siguientes características, • Reconoce la naturaleza puramente conceptual de los objetos y métodos matemáticos, al tiempo que acepta el origen empírico o intuitivo de algunos de ellos. • Los constructos matemáticos son impersonales y universales, al tiempo que son producto de procesos cerebrales. • Tiene en cuenta las diferencias entre proposiciones formales y fácticas, así como entre demostración matemática y validación empírica. • No requiere introducir ni objetos míticos, como las ideas platónicas auto existentes, ni facultades no racionales, como la intuición (salvo como ayuda heurística). Además de las filosofías clásicas incluidas en la Tabla 2.1, existen otras contribuciones relevantes para la filosofía de la matemática educativa, como son las posiciones filosóficas sobre las matemáticas de Wittgenstein y Lakatos. Wittgenstein (1976) se ocupó sobre todo de cuestiones de aprendizaje, comprensión, invención, utilizando ideas matemáticas elementales. La filosofía de las matemáticas de Wittgenstein se sitúa en el extremo opuesto de las corrientes de tipo platónico-idealista y también de los enfoques psicologistas. Plantea el reto de superar el platonismo dominante, y, por tanto, dejar de hablar de objetos matemáticos como entidades ideales que se descubren, y de considerar las proposiciones matemáticas como descripción de las propiedades de tales objetos. Nos propone una visión alternativa: las proposiciones matemáticas deben verse como instrumentos, como reglas de transformación de proposiciones empíricas. Por ejemplo, los teoremas de la geometría son reglas para encuadrar descripciones de formas y tamaños de objetos, de sus relaciones espaciales y para hacer inferencias sobre ellas. La visión de Wittgenstein del lenguaje mate- 65 mático como herramienta es también relevante para la matemática educativa. Argumentó que deberíamos considerar las palabras como herramientas y clarificar sus usos en nuestros juegos de lenguaje. Por ejemplo, no debemos perder de vista el hecho de que las palabras-numéricas son instrumentos para contar y medir, y que los fundamentos de la aritmética elemental, esto es, el dominio de la serie de números naturales se basa en el entrenamiento en el recuento. Las ideas de Lakatos sobre las matemáticas (Lakatos, 1976) se resumen en las siguientes tesis (Bunge, 1985). En primer lugar, la investigación matemática no es esencialmente diferente de la investigación científica, ya que también implica la formulación de conjeturas y la búsqueda de contraejemplos a las mismas. En segundo lugar, dado que a menudo se parte de conceptos inexactos y se pueden cometer errores al demostrar teoremas, hay que adoptar una epistemología falibilista de las matemáticas. En tercer lugar, el formalismo no representa fielmente el trabajo real del matemático, que implica procedimientos no deductivos. En opinión de Bunge, estas tres tesis son razonables, pero no constituyen una filosofía de las matemáticas. Por un lado, Lakatos no expresa ideas claras sobre la naturaleza de los objetos matemáticos: está más interesado en la historia que en la ontología o la semántica de las matemáticas. Como cualquier otra persona que trata de resolver un problema, el matemático profesional está obligado a utilizar la analogía y la inducción, y a probar conjeturas hasta dar con la solución correcta, usando incluso herramientas materiales. Sin embargo, la lógica del descubrimiento matemático y los procedimientos heurísticos en la solución de problemas que describe Lakatos aportan elementos importantes para la filosofía de la matemática educativa. El progresivo crecimiento matemático, tanto desde el punto de vista cognitivo como histórico-cultural, no tiene por qué estar ligado a un estilo deductivista, sino seguir los pasos de la heurística descrita en el libro Pruebas y refutaciones. Pero esto no significa que la matemática pura, como una formación epistemológica específica, no sea fundamentalmente diferente de las ciencias fácticas. 66 En el campo de la educación matemática encontramos autores que abordan cuestiones propias de la filosofía de la matemática educativa. Tal es el caso de Sfard (2000; 2008) cuando analiza las relaciones entre los símbolos y los objetos matemáticos. El problema que aborda, expresado en términos semióticos, es: «Los símbolos matemáticos refieren a algo —Pero ¿a qué?... ¿Cuál es el estatuto ontológico de estas entidades? ¿De dónde vienen? ¿Cómo podemos acceder a ellas (o construirlas)?» (p. 43). Sfard rechaza la concepción que propone los signos y los significados como entidades independientes y adopta la visión de psicólogos como Vygotsky y semióticos como Peirce, de que los signos (el lenguaje en general) tienen un papel constitutivo de los objetos de pensamiento y no meramente representacional. La tesis central que defiende Sfard es que el discurso matemático y sus objetos son mutuamente constitutivos: la actividad discursiva, incluyendo la producción continua de símbolos, es la que crea la necesidad de los objetos matemáticos; y son los objetos matemáticos (o mejor el uso de símbolos mediado por los objetos) los que, a su vez, influyen en el discurso y le lleva hacia nuevas direcciones. (Sfard, 2000, p. 47) En Font et al. (2013) se argumenta que la forma en que se enseñan las matemáticas en las escuelas lleva a los alumnos a desarrollar, aunque sea implícitamente, una visión realista de la naturaleza de los objetos matemáticos. Esta visión supone que los enunciados matemáticos son una descripción de la realidad, y que los objetos matemáticos descritos por dichos enunciados forman parte de esta realidad. En el proceso de enseñanza esta «realidad» a la que pertenecen los objetos matemáticos se sitúa en un punto intermedio entre lo que, en filosofía de las matemáticas, se denominan posiciones platónica y empirista, aunque dependiendo del proceso de enseñanza considerado se puede observar una clara preferencia por uno u otro de estos dos puntos de vista, por ejemplo, en la enseñanza contextualizada o en la matemática realista. (Font et al., 2013, p. 99) El análisis que hacemos en este capítulo de las relaciones entre la matemática pura y aplicada aporta una explicación complementaria a 67 este fenómeno educativo. Se trata de que los profesores y educadores matemáticos en general no discriminan las diferencias sustanciales entre las matemáticas aplicadas y las formales, y la necesidad que tiene la matemática educativa de identificar los conflictos y obstáculos que se generan en los procesos de aprendizaje cuando no se tienen en cuenta dichas diferencias. 2.3. La configuración ontosemiótica como herramienta de análisis de la actividad matemática2 Los dilemas existentes en las diversas teorías filosóficas y psicológicas sobre la naturaleza y origen del conocimiento matemático motivaron la elaboración de un marco que ayudase a comprender y actuar de manera fundamentada en los procesos educativos-instruccionales. Con dicho fin, consideramos necesario elaborar una teoría de la actividad matemática y de los objetos emergentes que sirviese de base para una teoría del significado y de la cognición matemática. Este proyecto lo iniciamos con la publicación del artículo «Significado personal e institucional de los objetos matemáticos» (Godino y Batanero,1994) que consideramos como el punto de partida del EOS. Compartiendo el punto de vista de la Didáctica fundamental (Gascón, 1998), en el EOS se considera necesario problematizar el tipo de matemáticas cuyo estudio se realiza en los sistemas educativos. Asume que la matemática educativa debe adoptar una visión específica sobre las matemáticas, adaptada a la problemática del aprendizaje y la enseñanza. Esta visión debe complementar la visión lógica-formal, propia de los contextos de creación y justificación del conocimiento matemático, con la visión empirista-factual ligada a los contextos de aplicación. Considera esencial distinguir entre la matemática pura o formal, la matemática aplicada y la matemática educativa, la cual es 2 El contenido de las secciones 2.3 a 2.7 está basado en los artículos Godino y Batanero (1994), Godino (2002), Godino, Batanero y Font (2007) y Font, Godino y Gallardo (2013). 68 el resultado de procesos ecológicos de adaptación de las otras matemáticas a los distintos entornos y niveles educativos. En consecuencia, es necesario elaborar una filosofía de la matemática educativa que aborde los problemas epistemológicos (emergencia y desarrollo del conocimiento matemático), ontológicos (naturaleza y tipos de los objetos matemáticos) y semióticos (sintácticos, semánticos y pragmáticos) específicos de esta variedad de matemáticas. El entorno educativo requiere, además, articular los problemas filosóficos de las matemáticas con cuestiones relativas a los procesos cognitivos implicados en el aprendizaje, el cual tiene lugar en contextos histórico-culturales que los condicionan y soportan. En los siguientes apartados de este capítulo describimos los supuestos y constructos teóricos elaborados en el EOS para describir la actividad matemática y los objetos emergentes de dicha actividad. Estos supuestos fundamentan la teoría del significado de los objetos matemáticos y el modelo de cognición institucional y personal que presentamos después en el capítulo 3. Los constructos teóricos elaborados en el EOS que abordan cuestiones centrales de la filosofía, la psicología y la sociología de la matemática educativa son: • Prácticas matemáticas. • Objetos y procesos matemáticos. • Atributos contextuales de las prácticas y objetos. Estos constructos teóricos se articulan en la herramienta configuración ontosemiótica de prácticas, objetos y procesos (Figura 2.1), en cuya parte central se indica, además de las prácticas, los seis tipos de objetos matemáticos considerados como primarios en la ontología del EOS: • Problemas (intra o extra matemáticos). • Lenguajes (términos, expresiones, notaciones, gráficos) en sus diversos registros (escrito, oral, gestual, etc.). • Conceptos (introducidos mediante definiciones o descripciones, como, recta, punto, número, media, función). • Proposiciones (enunciados sobre conceptos). • Procedimientos (algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo). 69 • Argumentos (enunciados usados para explicar y validar las proposiciones y procedimientos, deductivos o de otro tipo). Los objetos primarios pueden ser contemplados desde cinco pares de puntos de vista o dualidades (atributos contextuales), por lo que cada uno de ellos da lugar a diez variedades de objetos secundarios: • Personales (relativos a sujetos individuales), institucionales (compartidos en una institución o comunidad de prácticas). • Objetos ostensivos (materiales, perceptibles) y objetos no ostensivos (abstractos, ideales, inmateriales). • Objetos extensivos (particulares), objetos intensivos (generales). • Significantes o significados (antecedentes o consecuentes de una función semiótica). • Unitarios (objetos considerados globalmente como un todo) y sistémicos (considerados como sistemas formados por componentes estructurados). Figura 2.1. Configuración ontosemiótica de prácticas, objetos y procesos 70 Tanto los objetos primarios como los secundarios (derivados de la aplicación de las dualidades) se pueden considerar desde la perspectiva proceso-producto, esto es, un objeto es un emergente (producto) de secuencias de prácticas (proceso). Esta visión proporciona criterios para distinguir tipos de procesos matemáticos primarios y secundarios. En consecuencia, se tienen procesos de problematización, definición, enunciación, argumentación, particularización-generalización, representación-significación, etc. Los distintos elementos del diagrama sintetizan los supuestos del EOS sobre el papel central de la resolución de problemas en la actividad matemática, los tipos de objetos y procesos que intervienen y los puntos de vista complementarios desde los cuales se pueden contemplar las prácticas, los objetos y los procesos. Estos supuestos y elementos reflejan la posición del EOS sobre algunos dilemas o controversias sobre los fundamentos de la educación matemática referidos a la naturaleza de los objetos, su emergencia, el significado y el conocimiento matemático. En los siguientes apartados explicamos con más detalle la herramienta configuración ontosemiótica que sintetiza la visión que propone el EOS de las matemáticas, como actividad humana, sistema de objetos y procesos y sistema de signos. La inclusión de las dualidades ostensivo-no ostensivo, extensivo-intensivo, unitario-sistémico y los correspondientes procesos de idealización-materialización, particularización-generalización, unitarización-descomposición permiten elaborar una interpretación ontosemiótica de la abstracción matemática (sección 2.8). 2.4. La matemática como actividad Como se representa en el Figura 2.1, la actividad de las personas para resolver problemas en un contexto ecológico (físico, biológico y social) determinado se considera el elemento central en la construcción del conocimiento matemático. Esta manera de abordar el problema epistemológico de la génesis del conocimiento se hace 71 operativa en el EOS con la noción de práctica matemática entendida como «toda actuación o expresión (verbal, gráfica, etc.) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución obtenida, validarla o generalizarla a otros contextos y problemas» (Godino y Batanero, 1994, p. 334). Para resolver un problema el sujeto realiza una secuencia organizada de diversos tipos de prácticas operativas y discursivas con la intención de dar una respuesta al problema. A la cuestión epistemológica de cómo emerge y se desarrollan las matemáticas se da respuesta, por tanto, asumiendo una visión antropológica3 (Wittgenstein, 1953; 1976) y pragmatista (Peirce, 1958) de las matemáticas. Un mismo tipo de problemas se resuelve con sistemas de prácticas que dependen de los contextos institucionales en que tienen lugar, por ejemplo, en el seno de comunidades de profesionales de las matemáticas, de personas que desarrollan nuevos conocimientos matemáticos o los aplican, así como en diversos contextos educativos. La relatividad de las prácticas respecto del contexto institucional y temporal añade una dimensión sociológica e histórica a la epistemología que asume el EOS. Una institución está constituida por las personas involucradas en una misma clase de situaciones problemáticas. El compromiso mutuo con la misma problemática conlleva la realización de unas prácticas sociales compartidas, las cuales están, asimismo, ligadas a la institución a cuya caracterización contribuyen. (Godino y Batanero, 1994, p. 336) Los problemas, que son el origen o motivo de la actividad matemática, pueden ser extramatemáticos, implicando por tanto cosas, objetos y hechos materiales, o bien intramatemáticos, en los que intervienen objetos de razón, no materiales o ideales. En la matemática educativa, sobre todo en los primeros niveles, se parte de problemas extramatemáticos, relacionados con el entorno y la vida cotidiana, y, por tanto, los objetos que intervienen en las prácticas pueden ser 3 La Teoría Antropológica de lo Didáctico elaborada por Chevallard para la didáctica de las matemáticas propone también una visión de las matemáticas como actividad humana (Chevallard, 1992; 2019). 72 artefactos materiales y abstracciones, tanto empíricas, como formales o teóricas. Desde el punto de vista educativo es importante postular que la actividad matemática que se realiza para aprender matemáticas es de naturaleza diferente a la actividad de los profesionales de las matemáticas, mediante la cual se construyen nuevos conocimientos. En el primer caso, el aprendiz reconstruye o reinventa conocimiento, que ya tiene una existencia histórica-cultural, mientras que, en el segundo, se inventan nuevos postulados y se descubren nuevas relaciones derivadas de los conocimientos previamente elaborados. La dualidad personal-institucional La articulación de las facetas epistémica y cognitiva del conocimiento matemático se logra en EOS atribuyendo a las prácticas matemáticas un doble carácter, personal (individual) o institucional (social). Las prácticas matemáticas pueden ser idiosincrásicas de una persona o compartidas en el seno de una institución o comunidad de prácticas. No hay instituciones sin personas, ni personas desligadas de las diversas instituciones de las que forman parte (familia, escuela, etc.). La distinción entre prácticas personales e institucionales permite tomar conciencia de las relaciones dialécticas entre las mismas; por una parte, las personas están sujetas a los modos de actuación compartidos en el seno de las instituciones de las que forman parte; por otra, las instituciones están abiertas a la iniciativa y creatividad de sus miembros. Con este postulado se articula la dimensión cognitiva (psicológica) con la dimensión epistemológica y sociológica del conocimiento matemático. Las matemáticas, además de la dimensión lógico-formal tienen otra dimensión fáctica que da cuenta de los procesos de creación de los objetos matemáticos, como emergentes de las prácticas, no como existentes ideales platónicos que se descubren. Desde el punto de vista personal, los objetos matemáticos tienen una existencia mental/neuronal, mientras que desde el punto de vista institucional su modo de existencia es cultural. 73 La realización de las prácticas por parte del sujeto individual tiene lugar en el seno de un contexto ecológico (marcos institucionales o comunidades de prácticas) que apoya y condiciona su realización, y por tanto la apropiación del conocimiento por parte del sujeto. Se asume de este modo el postulado Vygotskiano de relación entre ontogénesis y filogénesis, entre el pensamiento y la cultura: Cualquier función en el desarrollo cultural del niño aparece dos veces, o en dos planos. Primero aparece en el plano social y luego en el psicológico. Primero aparece entre las personas como una categoría interpsicológica, y después dentro del niño como una categoría intrapsicológica. (Vygotsky, 1978, p. 57) 2.5. Las matemáticas como sistema de objetos y procesos Las matemáticas no pueden ser comprendidas simplemente como una actividad de las personas sino también como un sistema de objetos culturalmente compartidos, emergentes de dicha actividad. Por ello, se debe abordar el problema ontológico, esto es, clarificar qué es un objeto matemático, qué tipos de objetos intervienen en la actividad matemática, cuál es el modo de ser de los objetos matemáticos, en qué sentido las matemáticas hablan de objetos (Parson, 2008). En el EOS, las prácticas matemáticas, esto es, las acciones realizadas por las personas ante cierto tipo de situaciones problemas, son el origen y razón de ser de las abstracciones, ideas u objetos matemáticos (Godino y Batanero, 1994). Se postula que objeto matemático es cualquier entidad material o inmaterial que interviene en la práctica matemática, apoyando o regulando su realización. Se trata de un uso metafórico del término objeto, puesto que un concepto matemático se concibe usualmente como una entidad ideal o abstracta, y no como algo tangible, como una roca, un dibujo o un artefacto manipulativo. Esta idea general de objeto, consistente con la propuesta en el interaccionismo simbólico (Blumer, 1969; Cobb y Bauersfeld, 1995), es útil cuando se complementa con una tipología de objetos matemáticos al tener en cuenta sus diferentes roles en la actividad matemática. 80 mientos, argumentos, incluso los problemas, pueden ser también antecedentes de las funciones semióticas. Por ejemplo, tiene sentido y es necesario, preguntarse tanto por el significado del concepto de número, como por el significado de las proposiciones, procedimientos, argumentos, situaciones y representaciones que intervienen en las prácticas numéricas. Los funtivos en la función semiótica también pueden ser entidades unitarias o sistémicas, particulares o generales, materiales o inmateriales, personales o institucionales. Se genera de este modo una variedad de tipos de significados, por tanto, de conocimientos y comprensiones, que orienta y apoya la realización de análisis ontosemióticos de la actividad matemática a nivel macro y micro, tanto desde el punto de vista socioepistémico (institucional) como cognitivo (personal) (Godino et al., 2021). De este modo, la cognición, entendida en los términos semióticos del EOS, es pragmatista, pero también empirista y racionalista. La acción es fuente de conocimiento, pero también lo es la percepción y la razón. Como objeto primario de las configuraciones ontosemióticas (Figura 2.1) se incluye el lenguaje en sus diferentes registros (oral, escrito, gestual, icónico, simbólico) y el correspondiente proceso de comunicación, tanto interpersonal como intrapersonal. El lenguaje interviene en las prácticas discursivas como medio de expresión de las restantes entidades primarias (problemas, definiciones, proposiciones, procedimientos y argumentos) y como instrumento para la realización de las prácticas operativas. Con el lenguaje se dice y hacen cosas, teniendo, por tanto, valencia representacional y operacional. Las definiciones, proposiciones y procedimientos son entendidos como reglas gramaticales de los lenguajes usados para describir los problemas y apoyar la realización de las prácticas argumentativas que justifican las proposiciones y procedimientos. Se trata de entidades intradiscursivas, que no tienen una existencia independiente del lenguaje; son emergentes de las prácticas operativas y discursivas. Se postula su existencia metafórica como objetos para distinguir entre una regla y sus diversas formulaciones lingüísticas, y en consecuencia para discernir entre el mundo del pensamiento 81 y la cultura de la realidad ostensiva, sean sonidos, imágenes o artefactos materiales. 2.7. Idealización, generalización y unitarización Para dar cuenta de los procesos de idealización, generalización y unitarización (y sus duales, materialización, particularización, descomposición) se han introducido en la ontología del EOS tres pares de atributos contextuales desde los cuales se pueden considerar las prácticas y los objetos primarios: ostensivo-no ostensivo (material, inmaterial), extensivo-intensivo (particular-general; ejemplar-tipo) y sistémico-unitario (proceso-objeto) (Figura 2.1). Estos constructos permiten describir los tipos de abstracción (empírica y formal) que se ponen en juego en la actividad matemática, así como los objetos que intervienen y emergen en esos procesos. Así mismo, ayudan a comprender la imbricación entre las matemáticas puras y aplicadas, entre constructos y cosas, lo cual es necesario en la matemática educativa, ya que, en los procesos de aprendizaje, al menos en los primeros niveles, es necesario partir de la realidad tangible para acceder a la realidad virtual de las matemáticas formales. 2.7.1. Dualidad ostensivo-no ostensivo En el EOS se entiende por ostensivo cualquier objeto que es perceptible y que, por tanto, se puede mostrar directamente a otros. Los símbolos, notaciones, gestos, representaciones gráficas, artefactos materiales tienen ese carácter; son objetos reales o concretos. Los conceptos, proposiciones, procedimientos, argumentos son constructos, creaciones discursivas de la actividad humana, esto es, objetos no-ostensivos; dependen de los sujetos, de sus acciones y artefactos reales para su existencia. Pueden ser objetos mentales (cuando intervienen en las prácticas personales), u objetos institucionales (cuando intervienen en las prácticas compartidas). No obstante, la comunicación interpersonal de los objetos no-ostensivos requiere que sean 82 materializados mediante representaciones ostensivas. En ambos casos los objetos no-ostensivos regulan la actividad matemática, mientras que sus representaciones ostensivas sirven de soporte o facilitan la realización de dicho trabajo. La distinción entre objeto ostensivo y no-ostensivo depende del juego de lenguaje en el que participan. Los objetos ostensivos también pueden ser pensados, imaginados por un sujeto o estar implícitos en el discurso matemático (por ejemplo, el signo de multiplicación en notación algebraica); en estos casos, funcionan como objetos no-ostensivos. Esta dualidad permite dar cuenta de los procesos duales de idealización (creación de objetos no-ostensivos) y materialización (creación de objetos ostensivos que materializan los objetos no-ostensivos) en la actividad matemática. Por ejemplo, el número cinco se materializa al mostrar los cinco dedos de la mano como una de sus aplicaciones. El número cinco como la clase de todos los conjuntos equipotentes a los cinco dedos de una mano es una idealización. 2.7.2. Dualidad unitario-sistémico En algunas circunstancias los objetos matemáticos participan como entidades unitarias (que se supone, son conocidas previamente), mientras que otras intervienen como sistemas que se deben descomponer para su análisis. «Un mismo objeto se puede considerar ora un individuo, ora un conjunto (o una colección concreta). No hay nada definitivo en ser un individuo» (Bunge, 2011, p. 145). Por ejemplo, en el estudio de la adición y sustracción, en los últimos niveles de educación primaria, el sistema de numeración decimal (decenas, centenas, etc.) se considera como algo conocido, como entidades unitarias que no requieren ser desplegadas en entidades más elementales. Estos mismos objetos, en el primer curso tienen que ser considerados de manera sistémica para su aprendizaje. Tanto las configuraciones ontosemióticas (en su versión socioepistémica o cognitiva) como los objetos primarios que las componen pueden considerarse desde las perspectivas unitaria o sistémica, dependiendo del juego de lenguaje en que participen. En el primer caso tienen lugar procesos de uni- 83 tarización (síntesis) y en el segundo de descomposición (análisis) del sistema en sus componentes. La dualidad unitario-sistémico permite reformular la visión «ingenua» de que «hay un mismo objeto matemático (p. e., la media aritmética) con distintas representaciones». Como afirman Rondero y Font: Lo que hay es un sistema complejo de prácticas que permiten resolver problemas, en las que el objeto matemático «media aritmética» no aparece directamente, lo que sí aparece son representaciones de la media aritmética, diferentes definiciones de la media aritmética, proposiciones y propiedades de esta, procedimientos y técnicas que se aplican a la media aritmética y argumentos sobre ella. Dicho de otra manera, a lo largo de la historia se han ido generando diferentes configuraciones epistémicas para el estudio de la media aritmética, algunas de las cuales han servido para generalizar las preexistentes. (Rondero y Font, 2015, p. 33) El proceso de unitarización se relaciona con la emergencia de nuevos objetos matemáticos. Decimos que los objetos matemáticos regulativos (definiciones, proposiciones, procedimientos, argumentos) emergen de sistemas de prácticas operativas y discursivas. También se puede decir que son invariantes operatorios y discursivos. En todo caso, se parte de conjuntos estructurados de acciones o de otros objetos (entidad sistémica), que por razones de eficiencia operatoria o discursiva se consideran formando una nueva unidad. Este proceso lo hemos venido llamando en EOS proceso de unitarización, formación de un nuevo objeto visto como una entidad unitaria, por lo que también se puede llamar proceso de objetivación. En algunas circunstancias o juegos de lenguaje tiene lugar el proceso inverso de considerar una entidad sistémica en términos de sus componentes, lo que en EOS se llama proceso de descomposición. La interpretación del proceso de unitarización en términos de la teoría discursiva del pensamiento de Sfard (2008) permite obtener un desglose operativo y coherente de la dualidad unitario-sistémico. Sfard (2008) identifica tres mecanismos (dispositivos discursivos) que 84 producen la emergencia de nuevos objetos (no-ostensivos o constructos): asimilación (saming), encapsulación y reificación. • Asimilación (saming), es decir, dar un nombre común a cosas que, aunque aparentemente no están relacionadas, pueden verse en determinados contextos como equivalentes (es lo que ocurre, por ejemplo, cuando se introduce el término función cuadrática para referir simultáneamente a cosas tan diferentes como la expresión x2, cierta curva llamada parábola, el conjunto de números emparejados con sus cuadrados, etc.). • Encapsulación, es decir, sustituir el discurso sobre objetos separados por el discurso sobre una entidad única (esto ocurre, cuando se hace referencia a varios objetos colectivamente como un conjunto único; por ejemplo, cuando se afirma que numerosos pares ordenados de elementos constituyen una función). • Reificación, es decir, convertir el discurso sobre un proceso matemático por el discurso sobre un objeto (este es el caso, por ejemplo, cuando sustituimos «Cuando sumo 5 a 7, obtengo 12» por «la suma de 5 y 7 es 12»). Una vez que se introduce un nuevo nombre sustantivo de una o varias de estas tres formas, se produce gradualmente la alienación del nuevo objeto: el sustantivo acaba utilizándose en narraciones impersonales, lo que implica que su referente existe independientemente del discurso. El constructo discursivo así creado se convierte en objeto de exploraciones matemáticas, como resultado de las cuales acabarán surgiendo nuevas narrativas matemáticas. La alienación, como aspecto complementario de la reificación, termina el proceso de objetivación, o sea, la emergencia del objeto al ser totalmente disociado, o alienado, del actor. Con los últimos rastros de la agencia de las personas cuidadosamente borrados, incluso la proposición aritmética más común, como la frase «dos más tres son cinco» transmite el mensaje de la existencia independiente de la mente del objeto matemático. Una vez reificados y puestos en frases impersonales, los números parecen tener «vida propia» (Sfard, 2008, p. 50). 85 Las descripciones de los procesos de asimilación, encapsulación y reificación muestran que en los tres casos se pasa de colecciones de cosas a una única cosa, esto es, tiene lugar el proceso de unitarización, constituyendo, por tanto, un desglose de dicho proceso. 2.7.3. Dualidad extensivo-intensivo Un rasgo característico de la actividad matemática es generalizar los tipos de problemas que se abordan, los procedimientos de solución, las definiciones, proposiciones y justificaciones. Las soluciones se organizan y justifican en estructuras progresivamente más generales. No obstante, en los procesos de instrucción se comienza a estudiar modelos particulares de dichas estructuras generales, aunque poco a poco con el avance del estudio del tema se va generalizando progresivamente. El análisis de la actividad matemática requiere, por tanto, tener en cuenta ambos procesos, particularización y generalización, y los objetos que intervienen en dichos procesos. El proceso de generalización consiste en encontrar o conjeturar un patrón o regularidad a partir de casos similares, mientras que la particularización en generar o mostrar ejemplares individuales que siguen un patrón. En el EOS se ha introducido el atributo contextual extensivo-intensivo (ejemplar-tipo), aplicable a las prácticas y objetos primarios, para analizar la dialéctica entre particularización y generalización. Según la situación que se trabaje un objeto puede ser un ejemplar (extensivo) si interviene por sí mismo, o un tipo (intensivo) si interviene como representante de una clase más amplia. Un objeto extensivo se utiliza como un caso particular (un ejemplo específico, p. e, la función y = 2x + 1), de una clase más general (p. e., la familia de funciones y= mx + n), que es un objeto intensivo. Los términos extensivo e intensivo vienen sugeridos por las dos formas de definir un conjunto, por extensión (un extensivo es uno de los miembros del conjunto) y por intensión (se consideran todos los elementos a la vez). Por extensivo entendemos un objeto particularizado (individualizado) y por intensivo, una clase o conjunto de objetos. (Font et al., 2008, p. 169) 86 Por ejemplo, Font y Contreras (2008) realizan un análisis microscópico de los objetos, procesos y funciones semióticas que se ponen en juego en la definición del concepto de derivada de una función. La aplicación de las dualidades ostensivo-no ostensivo, extensivo-intensivo, expresión-contenido les permite explicar los conflictos semióticos que plantea la dialéctica entre lo particular y lo general en educación matemática. 2.8. Procesos de abstracción y objetos abstractos en el EOS En una primera aproximación podemos decir que la dualidad ostensivo-no ostensivo, y los procesos asociados de materialización e idealización dan cuenta de los objetos concretos (ostensivos) y abstractos (ideales) usualmente considerados en el lenguaje cotidiano. Pero el análisis de la actividad matemática, tanto desde un punto de vista profesional como educativo, requiere profundizar en la naturaleza del proceso de abstracción y de los objetos abstractos emergentes, así como en el proceso inverso de interpretación. Por esta razón, se propone en el EOS complementar la dualidad ostensivo-no ostensivo con las dualidades unitario-sistémico y ejemplar-tipo, con lo cual el objeto abstracto matemático no es solo un ente ideal (no ostensivo) sino también una generalidad, considerada como un todo unitario o como un sistema, según el juego de lenguaje en que participe. Además, dado que los objetos unitarios son representados simbólicamente para intervenir en nuevos sistemas de prácticas, en el proceso de abstracción también interviene la dualidad expresión-contenido y los procesos de representación y significación. La abstracción matemática involucra diversas facetas, incluye distintos componentes y tiene lugar según distintos niveles (Figura 2.2). Además, se puede ver como formas del acto subjetivo de conocer y también como característica del conocimiento como producto histórico y objetivo de la actividad colectiva (dimensión personal e institucional). Como afirma Sinaceur desde una perspectiva filosófica: 87 «La abstracción matemática es un proceso polifacético y multinivel que conduce a una jerarquía sofisticada y ramificada de conceptos y operaciones matemáticas» (Sinaceur, 2014, p. 100). La abstracción es una característica graduable de los objetos, esto es, una cuestión de más o menos, en lugar de presencia o ausencia. La graduación de la abstracción comienza con una categorización directa sobre objetos perceptivos y continúa a niveles cada vez más altos sobre objetos cada vez más abstractos. Un concepto F puede ser más abstracto (intensivo) que un concepto G, que a su vez puede ser abstracto, pero menos abstracto, es decir, más concreto (extensivo) que F. Figura 2.2. Facetas, componentes y niveles de abstracción en matemáticas Por ejemplo, en el análisis epistémico del concepto de función se deben identificar, además de las definiciones que se han usado, los distintos elementos representados en la Figura 2.1, que se movilizan 88 para dar respuesta a los problemas en las cuales el objeto función participa de manera determinante, aunque puede que sea de manera implícita en las primeras etapas de su emergencia. Cada una de estas configuraciones se interpreta como un significado pragmático parcial del objeto función que refleja y sintetiza la actividad matemática que se realiza para resolver determinados problemas en ciertos contextos o etapas históricas. La evolución del concepto implica una secuencia de configuraciones, progresivamente más abstractas, mediante las cuales se generalizan las definiciones, procedimientos, propiedades y argumentos, pasando del uso del lenguaje ordinario, tabular y gráfico al lenguaje alfanumérico, y pasando del cálculo aritmético al algebraico y analítico. La creación de objetos matemáticos progresivamente más abstractos está fundamentada en la tendencia natural del trabajo del matemático y del científico en general a organizar la experiencia con la ayuda de patrones y estructuras unificadoras, esto es, para producir generalizaciones útiles. En consecuencia, no se puede evitar el constructo abstracción en el análisis de la actividad matemática, tanto desde el punto de vista filosófico como educativo. Pretender organizar los procesos de aprendizaje imponiendo de entrada unas matemáticas con niveles elevados de abstracción, prescindiendo de los niveles previos y de los procesos de particularización y contextualización, estarán condenados al fracaso. Analizamos, a continuación, el enunciado y solución de una secuencia de problemas con la herramienta configuración ontosemiótica, identificando los procesos de abstracción que tienen lugar, y asignando grados de intensión (o generalidad) a los objetos emergentes. Los distintos niveles de abstracción los hacemos depender de los grados de generalidad. No hay por un lado niveles de abstracción y por otro grados o capas de generalización, sino que los niveles de abstracción son heredados de los grados de generalidad de los objetos. 89 Ejemplos de procesos de abstracción y sus niveles Problema 1: Número concreto y número abstracto (primer nivel de abstracción). Enunciado: ¿Cuántas manzanas hay en la figura? ¿Hay más o menos cerezas que manzanas? Justifica tu respuesta. Solución: Decimos que hay tres manzanas y tres cerezas. Hay el mismo número de manzanas que cerezas. He contado el número de manzanas poniendo en correspondencia cada una de las manzanas con la serie de palabras numéricas uno, dos, tres, etc., y la última palabra nombrada ha sido tres manzanas. Igual con las cerezas. Luego hay el mismo número de manzanas que cerezas. Análisis ontosemiótico En la situación planteada como problema 1 y las prácticas operativas y discursivas que le acompañan como solución intervienen diversos tipos de objetos y relaciones. En la figura se representan una manzana verde, amarilla y roja. Mediante una abstracción empírica se prescinde del color y del tamaño y se dice que hay tres manzanas. También se prescinde de la posición que ocupan en la figura. Igual ocurre con las cerezas. En la solución se menciona la serie de palabras numéricas uno, dos, tres, etc., sugiriendo que es una serie ilimitada. Los tres primeros términos de esta serie son usados para contar, procedimiento mediante el que se pone en correspondencia uno a uno cada palabra numérica con cada objeto material (representado), respetando los principios 96 realizaciones particulares que elabora el sujeto de los objetos culturales como resultado del proceso de objetivación a través del aprendizaje escolar. «El aprendizaje surge de la conciencia sensual y conceptual que resulta de la realización del objeto de conocimiento (por ejemplo, cascar nueces, resolver ecuaciones lineales) en su realización concreta o individualización» (Radford, 2015, p. 139). El concepto se constituye a partir de lo que realmente se ha convertido en objeto de conciencia para los estudiantes en el curso de su trabajo conjunto con los profesores: la forma sensual y real de pensar y hacer tal como la encuentran y la conocen los estudiantes. La objetivación es el proceso social cotransformativo y sensual de creación de sentido a través del cual los estudiantes gradualmente se familiarizan críticamente con significados culturales históricamente constituidos y formas de pensamiento y acción. (p. 139) Mediante los procesos de objetivación incrustados en la actividad que media entre lo potencial y lo real, los objetos de conocimiento culturales se convierten en objetos de conciencia y pensamiento. En la TO, al igual que en el EOS, se asumen unos principios epistemológicos y ontológicos sobre el conocimiento matemático y su aprendizaje que son compartidos por las aproximaciones socioculturales: p1: el conocimiento es históricamente generado durante el curso de la actividad matemática de los individuos. p2: la producción del conocimiento no responde a un pilotaje adaptativo, sino que está inmerso en formas culturales de pensamiento imbricadas con una realidad simbólica y material que proporciona la base para interpretar, comprender y transformar el mundo de los individuos y los conceptos e ideas que se forman de ellas. (Radford, 2018, pp. 4066-4067) El postulado de considerar la matemática como una actividad humana, como un trabajo con un componente social, comunitario, subyace a la emergencia de objetos de conocimiento, o sea, los constructos (entidades abstractas o generales), tanto en la TO como en el EOS. 97 Nos parece que el proceso de objetivación viene a ser equivalente en términos cognitivos y educativos al proceso de personalización de los significados institucionales /culturales por parte de los estudiantes que propone el EOS. Además, la consideración de los objetos conceptuales en su versión unitaria como reglas convenidas socialmente y referidas a cómo se deben usar los lenguajes y artefactos, ayuda a comprender las dos fuentes de aprendizaje que propone la TO: el contacto con el mundo material, el mundo de los artefactos culturales que nos rodean (objetos, instrumentos, etc.), y la interacción social. Lo que hay que aprender son las reglas de uso de los artefactos convenidas socialmente. El modelo epistemológico propuesto por el EOS es concordante, en líneas generales, con el correspondiente a la TO. Ambas teorías comparten supuestos antropológicos similares sobre la actividad matemática y sobre los procesos y productos socioculturales emergentes. El EOS, no obstante, incorpora en su concepción de las matemáticas, de manera explícita, los elementos básicos del giro lingüístico introducido por Wittgenstein en la filosofía de las matemáticas y los aportes de la semiótica Peirceana, para describir y explicar los procesos de comunicación e interpretación matemática. El cambio antropológico y sociocultural en la manera de concebir las matemáticas que asumen ambas teorías no ha supuesto el olvido de la dimensión cognitiva, esto es, del papel del sujeto que aprende matemáticas y se forma como persona. Por esta razón, el EOS introduce, junto a un modelo de cognición institucional otro modelo de cognición individual, construido sobre sus mismas bases pragmáticas, antropológicas y semióticas. Se observa una diferencia relevante entre ambas teorías, que consiste en el desarrollo desigual de las dimensiones institucional/cultural y personal del conocimiento matemático. Nos parece que la TO ha centrado la atención de manera preferente en la dimensión cognitiva (personal) y los procesos de aprendizaje, mientras que el EOS ha desarrollado herramientas que atienden tanto a la dimensión institucional como personal del conocimiento. La herramienta configuración ontosemiótica (en su doble versión, epistémica y cognitiva) permite hacer un análisis detallado de la actividad matemática y los objetos 98 implicados, que no se reducen a los objetos conceptuales o abstractos. El reconocimiento de la trama compleja de los objetos y procesos que se ponen en juego en la resolución de situaciones-problemas es un factor explicativo de las dificultades de aprendizaje y de enseñanza, y un paso necesario para una gestión idónea de los procesos educativos-instruccionales. El análisis a priori de posibles soluciones de las actividades y el reconocimiento de prácticas, objetos y procesos, es un análisis epistémico o institucional al referirse a un sujeto epistémico o ideal. Este análisis a priori se considera útil, incluso necesario, para comprender y gestionar el proceso de aprendizaje que tiene lugar con sujetos individuales reales. Ese aprendizaje se puede describir mediante la herramienta configuración ontosemiótica en su versión cognitiva, aplicada a las respuestas y diálogos de los estudiantes7. 2.9.3. Otros marcos relacionados Diversos autores han elaborado constructos y teorías para responder a los problemas epistemológicos, ontológicos y semiótico-cognitivos descritos en este capítulo como propios de la matemática educativa. El estudio de las concordancias y complementariedades del modelo propuesto por el EOS para estas cuestiones se ha abordado en diversos trabajos previos. En particular, el EOS se confronta en D’Amore y Godino (2007) con la Teoría antropológica de lo didáctico (Chevallard, 1992), en Font et al. (2015) con la teoría APOS (Dubinsky y McDonald, 2001), en Godino et al. (2016) con la Teoría de los registros de representación semiótica (Duval, 1995). Manolino et al. (2023) comparan el EOS con la Teoría de los haces semióticos (Arzarello et al., 2009). 7 En Godino et al. (2020) hacemos un estudio más amplio de las concordancia y complementariedades entre EOS y TO incluyendo un ejemplo de uso de las respectivas herramientas al análisis de una experiencia de enseñanza sobre interpretación de gráficas cartesianas que representan el movimiento relativo de dos estudiantes. 99 2.10. Ejemplos de aplicación de la teoría ontosemiótica de la actividad matemática El análisis de las prácticas, objetos y procesos que caracterizan la actividad matemática se ha aplicado en diferentes investigaciones como un componente del análisis didáctico. Por ejemplo, Rondero y Font (2015) utilizan las configuraciones ontosemióticas para estudiar la complejidad de la media aritmética. Elaboran una visión integrada de las articulaciones de objetos y configuraciones (niveles de generalización, proyecciones metafóricas y tramas de funciones semióticas) mediante los cuales se construye una visión unitaria de la media aritmética. Molina et al. (2019) identifican las configuraciones ontosemióticas en procesos de argumentación por analogía, complementando el análisis de la argumentación según el modelo de Toulmin. Este modelo permite destacar y describir argumentos abductivos y analógicos producidos por los estudiantes, mientras que la herramienta configuración ontosemiótica permite concretar cómo los objetos matemáticos activados en las prácticas fueron articulados por los procesos argumentativos asociados. Burgos et al. (2021) realizan un análisis microscópico de dos presentaciones de la integral definida, una de carácter informal/intuitivo y otra formal, orientadas al reconocimiento explícito de los objetos que intervienen y emergen en las prácticas matemáticas correspondientes. También identifican los procesos (interpretación/ significación, representación, argumentación, generalización, etc.) que se ponen en juego en dichas prácticas, considerando que estos análisis permiten explicar las dificultades de aprendizaje y ayudar en la toma de decisiones fundamentadas sobre la enseñanza de la integral definida. En los siguientes apartados incluimos una síntesis más amplia de dos trabajos que usan la teoría ontosemiótica de la actividad matemática, uno caracterizando la visualización en educación matemática y otro elaborando un modelo de niveles de razonamiento algebraico. 100 2.10.1. Aproximación ontosemiótica de la visualización en educación matemática La visualización ha recibido mucha atención como tema de investigación en educación matemática (Bishop, 1989; Clements, 2014; Rivera, 2011), especialmente en geometría, donde se ha enfocado en evaluar los procesos y capacidades de los sujetos para realizar tareas que requieren «ver» o «imaginar» mentalmente los objetos geométricos espaciales. El interés por el tema también se aprecia desde el punto de vista del propio trabajo del matemático, al abordar la resolución de problemas, formulación de conjeturas, y en otras áreas diferentes de la geometría (Guzmán, 1996). Presmeg (2006) plantea, entre otras, las siguientes cuestiones relacionadas con la visualización en educación matemática: «¿Cómo se puede aprovechar la visualización para promover la abstracción matemática y la generalización?… ¿Cuál es la estructura y cuáles son los componentes de una teoría general de la visualización para la educación matemática?» (Presmeg, 2006, p. 227). En Godino et al. (2012) elaboramos un modelo de análisis sobre la naturaleza y componentes de la visualización y su relación con otros procesos implicados en la actividad matemática, usando el EOS para comprender la trama de objetos matemáticos que intervienen en los procesos de visualización. En dicho trabajo consideramos que un aspecto clave de la elaboración de una teoría de la visualización debe incluir el estudio de sus relaciones con otras modalidades de expresión ostensiva (lenguajes analíticos o secuenciales), y, sobre todo, su relación con los objetos matemáticos no ostensivos (sean mentales, formales, o ideales). El análisis de la actividad matemática y los objetos y procesos que intervienen en la misma centra su atención inicial en las prácticas que realizan las personas implicadas en la solución de determinadas situaciones-problemas matemáticos. Dicho análisis de la visualización nos lleva a distinguir entre prácticas visuales y no visuales o simbólico/analíticas. Con dicho fin fijamos la atención en los tipos de objetos lingüísticos y artefactos visuales que intervienen en una práctica, ya que ponen en juego la percepción visual. Aunque las re- 101 presentaciones simbólicas (lengua natural o lenguajes formales) son visibles, no consideramos dichas inscripciones como visuales, sino como analíticas o sentenciales. En Godino et al. (2012) se analiza la visualización, en primer lugar, desde el punto de vista de los objetos primarios que en ella participan, esto es, los tipos de situaciones-problemas (tareas), elementos lingüísticos y materiales, conceptos, proposiciones, procedimientos y argumentos en los cuales hay visualización. Usualmente los objetos visuales participan en las prácticas matemáticas junto con otros objetos no visuales (analíticos o de otro tipo). La visualización en matemáticas no se reduce a ver, sino que también conlleva interpretación, acción y relación. En segundo lugar, la visualización se analiza aplicando las dualidades o modalidades contextuales desde las cuales se pueden considerar los objetos visuales previamente identificados. Es decir, se introducen las distinciones entre objetos visuales personales (cognitivos), e institucionales (socio-epistémicos); particulares (extensivos) y generales (intensivos); ostensivos (materiales) y no-ostensivos (mentales, ideales, inmateriales); unitarios (usados como un todo global) y sistémicos (formados por un sistema de elementos estructurados). Finalmente, los objetos visuales son considerados como antecedentes o consecuentes de funciones semióticas (dualidad expresión y contenido). El modelo de visualización elaborado se aplica al análisis de dos problemas: 1) la demostración algebraica y visual de que la suma de los n primeros números impares es n2; 2) la demostración de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es un ángulo llano. El análisis se centra en mostrar la trama de objetos visuales y no visuales que se ponen en juego, y las relaciones que se establecen entre los mismos, o sea, el sistema semiótico que forman. En síntesis, se trata de desvelar los conocimientos que se aplican en la resolución de los problemas y la sinergia que se establece entre los objetos visuales y analíticos. La aplicación de la dualidad ostensivo-no ostensivo a los distintos tipos de objetos matemáticos primarios (problemas, lenguajes, conceptos, proposiciones, procedimientos y argumentos) proporciona un punto de vista nuevo sobre el papel de la visualización en la práctica 102 matemática. En un primer paso se asume la distinción Peircena de los tipos de signos para distinguir entre lenguajes visuales, caracterizados por la presencia de índices, iconos y diagramas, y lenguajes analíticos, basados en el uso de símbolos. Seguidamente se diferencia entre problemas/tareas visuales de las no visuales o analíticas; las primeras refieren a situaciones en las que intervienen objetos del mundo sensible (cuerpos físicos, relaciones espaciales y representaciones visuales); en las segundas intervienen esencialmente entidades lógicas, numéricas, analíticas. Estas distinciones se trasladan también al resto de las entidades primarias (reglas y justificaciones). Se concluye que la visualización penetra en todas las ramas de las matemáticas (no solo en la geometría), en coordinación con otras formas de expresión, en particular los lenguajes analíticos/secuenciales. También está presente en los diversos niveles de estudio matemático, elemental, superior o profesional. No obstante, el papel de la visualización en el trabajo matemático, profesional o escolar es complejo, ya que está frecuentemente imbricado con el uso de inscripciones simbólicas, que, aunque «se vean», tienen una significación puramente convencional. El problema tiene relevancia incluso cuando la visualización se refiere al uso de objetos visuales, los cuales interaccionan no solo con las inscripciones simbólicas, sino también y principalmente con el entramado de objetos conceptuales, procedimentales, proposicionales y argumentativos que se ponen en juego en las correspondientes configuraciones ontosemióticas. 2.10.2. Elaboración de un modelo de niveles de razonamiento algebraico Como se verá en los capítulos 3 a 6, la teoría ontosemiótica de la actividad matemática sirve de base para elaborar las restantes teorías que componen el EOS: teoría de los significados y la cognición matemática, teoría del diseño educativo-instruccional, teoría de la idoneidad didáctica y teoría del desarrollo profesional docente. Además, los supuestos sobre la actividad matemática, los tipos de objetos y procesos matemáticos han permitido elaborar un modelo de niveles de razona- 103 miento algebraico elemental (Godino et al., 2014; 2015) que referimos seguidamente como un ejemplo de aplicación de la herramienta configuración ontosemiótica. En este caso, además del grado de generalidad de los objetos que intervienen en las prácticas matemáticas, se tienen en cuenta los lenguajes usados (natural, gestual, simbólico) y el tipo de cálculo que se realiza con los objetos representados. De este modo se amplía para el razonamiento algebraico el modelo de niveles de abstracción descrito en la sección 2.8. Una práctica matemática se considera algebraica si presenta cierto tipo de objetos y procesos, usualmente considerados en la literatura como «algebraicos». Son tipos de objetos algebraicos los siguientes: 1. Relaciones binarias —de equivalencia o de orden— y sus respectivas propiedades (reflexiva, transitiva y simétrica o antisimétrica). Estas relaciones son usadas para definir nuevos conceptos matemáticos. 2. Operaciones y sus propiedades, realizadas sobre los elementos de conjuntos de objetos diversos (números, transformaciones geométricas, etc.). El denominado «cálculo algebraico» se caracteriza por la aplicación de propiedades tales como: asociativa, conmutativa, distributiva, existencia de elemento neutro y de un inverso. Asimismo, pueden intervenir también otros conceptos como ecuación, inecuación e incógnita, y procedimientos tales como: eliminación, trasposición de términos, factorización, desarrollo de términos, entre otros. 3. Funciones. Es necesario considerar los distintos tipos de funciones y álgebra asociada a ellos, es decir, las operaciones y sus propiedades. Asimismo, es preciso distinguir los diferentes objetos involucrados: funciones; variables, fórmulas, parámetros, etc., y contemplar las distintas representaciones de una función: tabular, gráfica, como fórmula, analítica. 4. Estructuras, sus tipos y propiedades (semigrupo, monoide, semimódulo, grupo, módulo, anillo, cuerpo, espacio vectorial, etc.) características del álgebra superior o abstracta. 104 En el caso de la práctica o actividad algebraica los procesos de particularización-generalización tienen una importancia especial, dado el papel de la generalización como uno de los rasgos característicos del razonamiento algebraico (Carraher et al., 2008; Cooper y Warren, 2008; Mason y Pimm, 1984). Así, para el análisis de los niveles de algebrización de la actividad matemática es útil fijar la atención en los objetos resultantes de los procesos de generalización, y del proceso dual de particularización. Como resultado de un proceso de generalización obtenemos un tipo de objeto matemático que en el EOS denominamos objeto intensivo, que viene a ser la regla que genera la clase, el tipo o generalidad implicada. Mediante el proceso inverso de particularización se obtienen objetos que denominamos extensivos, esto es, objetos particulares. El objeto intensivo puede ser visto como la regla que genera los elementos que componen una colección o conjunto, sea finito o infinito. Una colección finita simplemente enumerada no se considera como un intensivo hasta el momento en que el sujeto muestra el criterio o regla que se aplica para delimitar los elementos constituyentes del conjunto. Entonces el conjunto pasa a ser algo nuevo, diferente de los elementos que lo constituyen, como una entidad unitaria emergente del sistema. Por tanto, además de la generalización que da lugar al conjunto, hay un proceso de unitarización. Por otra parte, la nueva entidad unitaria tiene que ser hecha ostensiva o materializada mediante un nombre, icono, gesto o un símbolo, a fin de que pueda participar de otras prácticas, procesos y operaciones. El objeto ostensivo que materializa al objeto unitario emergente de la generalización es otro objeto que refiere a la nueva entidad intensiva, por lo que tiene lugar un proceso de representación que acompaña a la generalización y materialización. Finalmente, el símbolo se desprende de los referentes a los cuales representa/ sustituye para convertirse en objeto sobre el cual se realizan acciones. Estos símbolos-objetos forman nuevos conjuntos sobre los cuales 105 se definen operaciones, propiedades y estructuras, esto es, sobre los cuales se opera de manera sintáctica, analítica o formal. El triple proceso de reconocimiento o inferencia de la generalidad, unitarización y materialización permite definir dos niveles primarios del pensamiento algebraico, distinguibles de un nivel más avanzado en el que el objeto intensivo es visto como una nueva entidad representada con lenguaje alfanumérico. Remitimos a Godino et al. (2014), donde describimos con detalle los criterios para discriminar estos tres niveles de algebrización de la actividad matemática propia de la educación primaria. El uso de parámetros y su tratamiento es el criterio usado para delimitar niveles superiores de algebrización, ya que está ligado a la presencia de familias de ecuaciones y funciones, y, por tanto, implica nuevas «capas» o grados de generalidad (Radford, 2011). El primer encuentro con los parámetros lo asociamos a un cuarto nivel de algebrización y la realización de cálculos o tratamientos combinados de parámetros y variables a un quinto nivel. El estudio de estructuras algebraicas específicas lleva a reconocer un sexto nivel de algebrización de la actividad matemática (Godino et al., 2015). 2.11. Síntesis de la teoría ontosemiótica de la actividad matemática Para resumir lo expuesto en el capítulo, en la Tabla 2.2 incluimos una síntesis de la teoría de la actividad matemática presentada en este capítulo, siguiendo la guía (adaptada) para la descripción de teorías que proponen Michie et al. (2014) para el campo de las ciencias sociales y del comportamiento. 112 Linnebo, Ø. (2009). Platonism in the philosophy of mathematics. En E. N. Zalta (Ed.). The Stanford encyclopedia of philosophy. Retrieved 02/01/2023 from https://plato.stanford.edu/entries/platonism-mathematics/ Maddy, P. (1997). Naturalism in mathematics. Oxford University Press. Manolino, C., Giacomone, B., y Beltrán-Pellicer, P. (2023). Semiotic bundle approach and Onto-Semiotic Approach: a dialogue between two theories on an arithmetic-algebraic problem. 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Alianza. 115 Capítulo 3 Teoría ontosemiótica del significado y la cognición matemática Introducción El término «significado», vinculado al de «comprensión», se utiliza insistentemente en la investigación y la práctica de la educación matemática, ya que es fundamental que los alumnos adquieran el significado de los términos, expresiones y representaciones matemáticas, es decir, que comprendan a qué se refiere el lenguaje matemático en sus diferentes registros. La importancia de la semiosis para la educación matemática radica en el uso de los signos, que es omnipresente en todas las ramas de las matemáticas. No podía ser de otra manera, ya que los objetos de las matemáticas son ideales, de carácter general, y para representarlos y trabajar con ellos, es necesario emplear vehículos de signos, que no son los objetos matemáticos en sí mismos, sino que los representan de alguna manera (Presmeg et al., 2018). Los términos significado y sentido se utilizan persistentemente en los documentos curriculares relacionados con la comprensión de las matemáticas. En los Principios y Estándares (NCTM, 2000), el estándar «comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan entre sí» se incluyó en todos los grados desde P-K2 hasta 9-12. Estuvo relacionado con el significado de los conceptos y las operaciones 116 (número, numerales, fracción, signo igual, sumar, multiplicar, etc.); los significados y usos de las variables, ecuaciones, inecuaciones, relaciones; el significado de las formas equivalentes de las expresiones, la semejanza, etc. La noción de sentido también jugó un papel importante en el NCTM (2000), donde se utilizó como sinónimo de significado, en expresiones como «Desarrollar el sentido de los números enteros»; «Dar sentido a las ideas matemáticas»; «Las matemáticas deben tener sentido para los estudiantes», etc. El currículo español de matemáticas (MEFP, 2022) también se estructura en torno al concepto de sentido matemático, y se organiza en dos dimensiones: cognitiva y afectiva. Los sentidos se entienden como el conjunto de destrezas relacionadas con el dominio de contenidos numéricos, métricos, geométricos, algebraicos, estocásticos y socioafectivos. Una autora que considera la idea de significado fundamental para la educación matemática es Sierpinska (1990), quien, a su vez, la relaciona íntimamente con la comprensión: La comprensión del concepto se concebirá entonces como el acto de captar su significado. Este acto será probablemente un acto de generalización y síntesis de significados relacionados con elementos particulares de la «estructura» del concepto (siendo la «estructura» la red de sentidos de las frases que hemos considerado). Estos significados particulares también tienen que ser captados en actos de comprensión. (Sierpinska, 1990, p. 27) Sin embargo, el término «significado» «es uno de los más ambiguos y controvertidos en la teoría del lenguaje» (Ullmann, 1962, p. 62). Por ejemplo, Speaks (2014, p. 1) sugiere que: «El término “teoría del significado” ha figurado, de un modo u otro, en un gran número de disputas filosóficas durante el último siglo. Por desgracia, este término también se ha utilizado para significar un gran número de cosas diferentes». En el texto clásico The meaning of meaning, Ogden y Richards (1923) recogieron nada menos que diecisiete definiciones de significado, a las que se han añadido desde entonces nuevos usos, implícitos o explícitos, aumentando así su ambigüedad. En el caso de la educación 117 matemática, Pimm (1995) también señala la falta de claridad en el uso de los términos comprensión y significado: Lo que entendemos por «comprensión» y lo que queremos decir por «significado» dista mucho de ser obvio o claro, a pesar de ser dos términos centrales en cualquier discusión sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas a cualquier nivel. (Pimm, 1995, p. 3) La complejidad de la problemática lingüística semántica aumenta en el caso de las matemáticas, debido a la variedad de registros semióticos (lenguaje ordinario, oral y escrito, símbolos específicos, gráficos y tablas, objetos materiales, etc.) utilizados en la práctica matemática. Además, no solo nos interesa analizar el significado de los elementos lingüísticos matemáticos, sino también el de los diversos objetos que intervienen en las prácticas matemáticas que realizan las personas al resolver situaciones-problema (lenguajes, conceptos, procedimientos, proposiciones, argumentos). Dichos objetos requieren una interpretación y un uso competente por parte de los profesores e investigadores cuando se interesan por su enseñanza y aprendizaje. El problema de si es posible desarrollar una teoría del significado específica para la educación matemática sigue abierto. Esta teoría debería tener en cuenta tanto las posiciones realistas/referenciales como las pragmáticas/operacionales sobre el significado, y también servir de base para abordar los problemas epistemológicos, semióticos, cognitivos y socioculturales implicados en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. El objetivo de este capítulo es sistematizar y profundizar en las características de la teoría del significado propuesta por el EOS y su uso para elaborar una teoría del conocimiento matemático basada en la misma. También describimos las teorías generales del significado en lingüística, semiótica y filosofía que sirven de base al EOS, en particular las de Hjelmslev (1943), Peirce (1931-58) y Wittgenstein (1953; 1956), así como las concordancias y complementariedades con tres modelos semióticos que tienen cierta incidencia en la educación matemática, Frege (1891; 1892), Vergnaud (1990; 2009) y Steinbring (1997; 2006). De este modo, ofrecemos una primera respuesta al pro- 118 blema de la clarificación y comparación de las teorías semióticas utilizadas en la educación matemática. En la Sección 3.1, presentamos una síntesis de las teorías generales sobre el significado, con énfasis en tres autores: Hjelmslev, Peirce y Wittgenstein, seleccionados porque la perspectiva ontosemiótica del significado toma nociones y supuestos básicos de estos autores. En particular, el EOS interpreta y asume la noción de función semiótica de Hjelmslev, la tríada semiótica de Peirce, la máxima pragmática, y las nociones de significado como uso, juego de lenguaje y forma de vida de Wittgenstein. En la Sección 3.2 describimos tres teorías con un fuerte impacto en la educación matemática: Frege introduce una distinción clave entre sentido y referencia; Vergnaud propone una interpretación cognitiva del significado, y Steinbring enfatiza una interpretación epistemológica del mismo. En la Sección 3.3 presentamos la teoría ontosemiótica del significado, como una aproximación holística a las cuestiones de significado y sentido, así como a las de objeto y signo. Basándonos en una concepción antropológica (Wittgenstein) y pragmatista (Peirce) de la actividad matemática desarrollada en el Capítulo 2, y adoptando el constructo lingüístico de función semiótica (Hjelmslev), elaboramos una semiótica que tiene en cuenta las teorías referenciales, operacionales, cognitivas y culturales del significado. En la Sección 3.4 introducimos la noción de conocimiento individual y social basado en la ontosemiótica y en la 3.5 elaboramos la ecología de significados como marco para estudiar las adaptaciones y transformaciones de las matemáticas para su estudio en los contextos educativos. En la sección 3.6 incluimos un ejemplo de articulación de la noción de significado pragmático con la herramienta configuración ontosemiótica. La identificación de concordancias y complementariedades entre teorías semióticas las estudiamos en la sección 3.7. Para mostrar la utilidad del análisis ontosemiótico de la cognición matemática, en la Sección 3.8 incluimos ejemplos de aplicación al estudio de los números naturales como objetos culturales y personales y una síntesis de los significados del concepto de función. El marco del EOS ha sido usado para elaborar un modelo de 119 análisis de la dimensión afectiva en educación matemática y de sus relaciones con las dimensiones cognitiva y epistémica; en la Sección 3.9 incluimos un resumen de dicho modelo sobre la afectividad. Finalizamos el capítulo con una síntesis de la teoría ontosemiótica del significado y la cognición matemática respondiendo a las cuestiones que proponen Michie et al. (2014) en su modelo de análisis de las teorías en el campo de las ciencias sociales y del comportamiento. 3.1. Teorías del significado8 En términos generales hay dos escuelas de pensamiento que abordan la cuestión del significado desde puntos de vista diferentes: la tendencia analítica o referencial, que intenta apresar la esencia del significado, identificando sus componentes principales, y la tendencia operacional o pragmática, que estudia las palabras en acción y se interesa menos por qué es el significado que por cómo opera, cómo se usan los medios de expresión y comunicación. 3.1.1. Teorías realistas o analíticas del significado De acuerdo con Kutschera (1975), las teorías del significado pueden agruparse en dos categorías: realistas y pragmáticas. Las teorías realistas (o referenciales) conciben el significado como una relación convencional entre signos y entidades concretas o ideales, que existen independientemente de los signos lingüísticos; en consecuencia, suponen un realismo conceptual. Según esta concepción, «el significado de una expresión lingüística no depende de su uso en situaciones concretas, sino que el uso se rige por el significado, siendo posible una división tajante entre semántica y pragmática» (Kutschera, 1975, p. 34). Una palabra se hace significativa cuando se le asigna un objeto (concepto o proposición) como su significado. De esta forma, hay entidades, no necesariamente concretas, aunque 8 El contenido de esta sección 3.1 y las secciones 3.2, 3.3 y 3.6 está basado en el artículo Godino et al. (2022). 120 siempre objetivamente dadas con anterioridad a las palabras, que son sus significados. La forma más simple de la semántica realista se presenta en los autores que atribuyen a las expresiones lingüísticas solo una función semántica, consistente en designar (en virtud de unas convenciones) ciertas entidades. Por tanto, en las teorías realistas (como las defendidas por Frege, Carnap, o que la aparece en los escritos del Tractatus de Wittgenstein), las expresiones lingüísticas tienen una relación de atribución con ciertas entidades (objetos, atributos, hechos). La función semántica de las expresiones consiste simplemente en esa relación convencional, designada como relación nominal. 3.1.2. Teorías operacionales o pragmáticas del significado Las dos ideas básicas de la categoría operacional o pragmática de las teorías del significado son las siguientes: • El significado de las expresiones lingüísticas depende del contexto en que se usan. • No es posible la observación científica, empírica e intersubjetiva de las entidades abstractas —como conceptos o proposiciones—, que es admitida implícitamente en las teorías realistas. Lo único accesible a la observación en estos casos en una investigación científica del lenguaje es el uso lingüístico. A partir de tal uso es como se debe inferir el significado de los objetos abstractos. El enfoque operacional tiene el mérito de definir el significado en términos contextuales, es decir, puramente empíricos, sin necesidad de recurrir a estados o procesos mentales vagos, intangibles y subjetivos. Una concepción pragmática u operacional del significado es abiertamente defendida por Wittgenstein (1953) en su obra Investigaciones filosóficas. En su formulación, una palabra se hace significativa por el hecho de desempeñar una determinada función en un juego lingüístico, por el hecho de ser usada en este juego de una manera determinada y para un fin concreto. Para que una palabra resulte significativa no es preciso, pues, que haya algo que sea el significado de esa palabra, en el sentido de las teorías realistas. 121 Para algunos autores, las visiones realista y operacional del significado son irreconciliables. Sin embargo, Ullman (1962) sugiere que las teorías pragmáticas (que denomina operacionales o contextuales) son un complemento válido y necesario de las teorías realistas (que denomina referenciales): El investigador debe comenzar por reunir una muestra adecuada de contextos y luego tratarlos con un espíritu abierto, permitiendo que el significado o los significados surjan de los propios contextos. Una vez completada esta fase, puede pasar con seguridad a la fase «referencial» e intentar formular el significado o los significados así identificados. (Ullmann, 1962, pp. 76-77) Esta observación de Ullmann es fundamental y sirve de apoyo al modelo de significado propuesto por la EOS (descrito en la Sección 3.3), donde el significado se concibe, en primer lugar, de forma pragmática, al relacionarse con las prácticas de resolución de problemas y los contextos de uso. Sin embargo, además, dado que dichas prácticas implican palabras, símbolos y diversos tipos de representaciones que refieren a otros objetos y sistemas, se pone en juego un significado de tipo referencial. 3.1.3. Semiótica y filosofía del lenguaje Debido a que los objetos matemáticos no se pueden aprehender directamente mediante los sentidos, su estatus ontológico requiere el uso de signos, como símbolos y diagramas. En consecuencia, la semiótica, entendida como el estudio sistemático de la naturaleza, propiedades y tipos de signos, está recibiendo gran atención en la investigación en educación matemática. «La semiótica ha sido una lente teórica fructífera usada por los investigadores interesados por diversas cuestiones de educación matemática en las décadas recientes» (Presmeg, 2014, p. 539). En nuestro caso, nos hemos interesado particularmente por la teoría del lenguaje del lingüista danés Hjelmslev (1943), al considerar que puede ser de utilidad para describir la actividad matemática y los procesos cognitivos implicados, tanto 128 Como explica Marrades (2014), la expresión forma de vida aparece siempre en conexión con el lenguaje y, más concretamente, con juegos de lenguaje particulares; además, en la mayoría de los ejemplos, la noción de forma de vida se caracteriza como un modo de actuar que está en la base del uso del lenguaje. Según este autor, el recurso a dicha noción se produce en un ámbito de problemas que conciernen a las condiciones conceptuales de la comprensión del lenguaje. Comprender el sentido de una expresión exige, no solo apelar a las reglas que rigen su uso, sino también ver dicho uso por referencia a una estructura existencial más amplia, de la cual forma parte el juego de lenguaje: Más concretamente, una forma de vida designa, para Wittgenstein, un entramado fáctico de relaciones entre conducta lingüística, conducta no lingüística y situaciones en el mundo, en cuyo marco se desarrolla un juego de lenguaje. […] Las formas de vida son siempre formas sociales de vida, prácticas sociales. (Marrades, 2014, p. 146) Los constructos, forma de vida y juego de lenguaje se incorporan a la noción de institución del EOS (Sección 3.3). Una institución o comunidad de prácticas comparte algunos tipos de problemas, formas específicas de abordar estos problemas, así como hábitos, normas, recursos materiales y lingüísticos, lo que equivale a decir que los miembros de la institución comparten formas de vida y juegos de lenguaje. Este es un postulado básico aceptado por cualquier enfoque sociocultural del conocimiento en general y del conocimiento matemático en particular. En el siguiente apartado, analizamos cómo el EOS se apoya en las nociones de función de signo (Hjelmslev) y de práctica matemática, lo que hace operativa la visión antropológica de la matemática de Wittgenstein y su relatividad respecto a los juegos de lenguaje y las formas de vida. Además, el EOS interpreta la tríada semiótica de Peirce en términos de la función o correspondencia entre dos términos, antecedente y consecuente, conectados por un criterio o regla de correspondencia. La máxima pragmática de Peirce se traduce también en el EOS en términos de sistemas de prácticas operativas y discursivas, que se utilizan para proponer una conceptualización del 129 significado pragmático de los objetos matemáticos, en contraposición a las visiones mentalistas o idealistas sobre los conceptos. 3.1.6. Semiótica cognitiva La semiótica cognitiva es un campo emergente de investigación que tiene el propósito de ...integrar métodos y teorías desarrollados en las disciplinas de la ciencia cognitiva con métodos y teorías elaboradas en la semiótica y las humanidades, con el objetivo último de aportar nuevos conocimientos sobre el ámbito de la significación humana y su manifestación en las prácticas culturales. (Zlatev, 2012, p. 2) La semiótica cognitiva no apareció realmente hasta mediados de los años noventa, siendo Daddesio (1995) el autor que establece un proyecto para mostrar tanto la viabilidad como la utilidad de un enfoque cognitivo de la semiosis, estableciendo una teoría cognitiva de los símbolos. Autores clásicos como Piaget (1962) y Vygotsky (1962, 1978) ya habían abordado esta cuestión, pero nuevos conceptos, métodos de investigación y una gran cantidad de datos la han convertido en un área muy fructífera (Zlatev, 2012, p. 4). Paulucci (2021) indica tres principios o dimensiones que fundamentan la semiótica cognitiva: 1. Enactivismo radical. Desde un punto de vista enactivo, toda cognición, percepción o pensamiento es el resultado de la interacción de un organismo vivo con su entorno. Desde la perspectiva de la semiótica cognitiva, este entorno no es «natural», sino un entorno semiótico repleto de objetos, normas, hábitos, instituciones y artefactos que dan forma a nuestras mentes. Otra fuente del enactivismo es la teoría de la base corporal del pensamiento, vía el papel de las metáforas, de acuerdo con los trabajos de Lakoff y Johnson (1980) y Johnson (1987). Según estos autores, toda la comprensión humana, incluyendo el significado, la imaginación y la razón, está sobre la base de esquemas del movimiento corporal y de su percepción. Estos esquemas se extienden mediante el uso de metáforas, las cuales proporcionan 130 la base de cualquier comprensión, pensamiento y comunicación humana. En Lakoff y Núñez (2000) se desarrolla y aplica esta idea al caso de las matemáticas. 2. Pragmatismo. La cognición no sirve para construir una representación verdadera del mundo, sino que es un medio para actuar en el mundo de manera eficaz. Para ello es necesario construir versiones del mundo que sean capaces de hacerlo surgir, no de representarlo. El significado se identifica con los hábitos y con la creación de sentido. El pragmatismo sitúa el criterio de verdad en la eficacia y valor del pensamiento para la vida. Se opone, por lo tanto, a la filosofía que sostiene que los conceptos humanos representan el significado real de las cosas. Para los pragmáticos, la relevancia de los datos surge de la interacción entre los organismos inteligentes y el ambiente. Esto lleva al rechazo de los significados invariables y de las verdades absolutas: las ideas, para el pragmatismo, son solo provisionales y pueden cambiar a partir de investigaciones futuras. 3. Teoría del compromiso material. La teoría del compromiso material (MET, Material Engagement Theory) (Malafouris, 2013) considera el papel de los objetos técnicos y los artefactos materiales como constitutivos de la cognición. Los artefactos son una parte del entorno en la que se delegan algunas funciones cognitivas, que no serían posible realizar dentro de la cabeza o el cuerpo biológico. Los textos, lenguajes y sistemas semióticos constituyen el andamiaje que permite a los seres humanos conocer el mundo y representan el trasfondo de nuestra percepción del entorno. Esta corriente de pensamiento considera que la mente está corporizada (embodied), extendida y distribuida, en lugar de estar ligada al cerebro o estar «toda en la cabeza». Este cambio de perspectiva plantea importantes cuestiones sobre la relación entre la cognición y la cultura material, y plantea grandes retos para la filosofía, la ciencia cognitiva, la arqueología y la antropología. Malafouris (2013) propone un marco analítico interdisciplinar para investigar el modo 131 en que las cosas se han convertido en extensiones cognitivas del cuerpo humano. Su teoría del compromiso material añade la materialidad —el mundo de las cosas, los artefactos y los signos materiales— a la ecuación cognitiva. 3.1.7. Semiótica cultural La semiótica cultural aborda el estudio del significado dentro del marco de la vida social y cultural. Se centra específicamente en las relaciones sistémicas y contextuales a través de las cuales se confiere el significado. Lotman (1984/2005; 1990) es el primero que habla de «semiótica de la cultura», enfocándose en el círculo cultural sistemático en el que está implicado todo texto. A pesar de partir de la semiótica textual adopta inmediatamente una nueva perspectiva: esencialmente, que el análisis de los textos está subordinado a la identificación del procesamiento y la transmisión cultural a escala general, y que cada texto es un lugar donde muchos códigos se entrecruzan, formando nuevas relaciones y estructuras. Para Lotman, el mecanismo de funcionamiento más pequeño, la unidad de semiosis, no es la lengua por separado, sino todo el espacio semiótico de la cultura en cuestión. Es el espacio que denomina semiosfera: el espacio semiótico necesario para la existencia y el funcionamiento de las lenguas; en cierto sentido, la semiosfera tiene una existencia previa y está en constante interacción con las lenguas. La semiosfera se caracteriza por su heterogeneidad. Los lenguajes que llenan el espacio semiótico son diversos y se relacionan entre sí a lo largo de un espectro que va desde la completa traducibilidad mutua hasta la igualmente completa intraducibilidad mutua. La heterogeneidad se define tanto por la diversidad de elementos como por sus diferentes funciones. (Lotman, 1990, p. 125) Eco (2000) adopta una perspectiva cultural de la semiótica; es decir, una semiótica cuyas raíces profundas y sentido residen en la interrogación y el análisis de los sistemas culturales. Para Eco el significado debe concebirse como una unidad cultural, siendo siempre un asunto de negociación pública e intersubjetiva. El universo semiótico 132 está constituido no tanto por signos, sino por unidades culturales, entidades que absorben y reflejan la influencia de la cultura en la que se encuentran. Los signos no son los lemas de un sistema rígido de organización de contenidos (un diccionario), sino los nodos de una red de significados que se puede recorrer en múltiples direcciones, según las inferencias y las conexiones de interpretación que se elijan: un universo semiótico que toma la forma de una enciclopedia. Considerar la cultura en su globalidad sub especie semiótica no quiere decir tampoco que la cultura en su totalidad sea solo comunicación y significación, sino que quiere decir que la cultura en su conjunto puede comprenderse mejor, si se la aborda desde un punto de vista semiótico. En resumen, quiere decir que los objetos, los comportamientos y los valores funcionan como tales porque obedecen a leyes semióticas. (Eco, 2000, p.51, versión española) 3.2. Teorías del significado en educación matemática La clarificación de las nociones de significado y sentido es un tema de interés para la educación matemática y se aborda desde diferentes perspectivas. En esta sección, describimos sintéticamente tres teorías semióticas orientadas específicamente al conocimiento matemático: La teoría lógico-semántica de Frege, la perspectiva cognitiva de Vergnaud y el enfoque epistemológico de Steinbring. Frege es un autor clásico que plantea la distinción entre sentido y referencia, que es un punto de partida para el triángulo epistemológico de Steinbring, un modelo desarrollado desde una posición explícita de la educación matemática. Vergnaud es el representante de las teorías del significado desde la perspectiva psicológica constructivista. En estas tres teorías hay un interés por relacionar la cuestión del significado de los términos y expresiones con el problema ontológico sobre la naturaleza de los conceptos matemáticos, que es una cuestión central en el EOS. En la Sección 3.6, analizamos algunas concordancias y complementariedades entre estas teorías semióticas y el EOS. 133 La preocupación por el significado de los términos y conceptos matemáticos lleva directamente a la indagación sobre la naturaleza de los objetos matemáticos, a la reflexión ontológica y epistemológica sobre la génesis personal y cultural del conocimiento matemático y su mutua interdependencia. Recíprocamente, detrás de toda teoría sobre la formación de conceptos, o más general, de toda teoría del aprendizaje, hay unos presupuestos ontológicos sobre la naturaleza de los conceptos y, por tanto, una teoría más o menos explícita del significado. 3.2.1. Sentido y referencia en Frege Distintos modelos triangulares se han propuesto para tratar con el problema de las relaciones entre los símbolos y los significados. Uno de ellos es el introducido por Frege (1892) en el artículo «Sobre sentido y referencia». Así pues, resulta natural pensar que en un signo (nombre, unión de palabras, signos escritos) está unido además de lo designado, lo que se podría llamar la referencia del signo, lo que me gustaría llamar el sentido del signo, donde está contenido el modo de presentación. (Frege, 1892, p. 85) Por ejemplo, sean, a, b, c los segmentos que unen los vértices de un triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. El punto de intersección de a y b es el mismo que el de intersección de b y c (baricentro). Así que tenemos diferentes designaciones para el mismo punto, y estos nombres («punto de intersección de a y b» y «punto de intersección de b y c») indican al mismo tiempo el modo de presentación; es por ello por lo que la proposición contiene conocimiento efectivo. Ambas expresiones tienen la misma referencia, pero diferentes sentidos. Al signo le corresponde un sentido determinado y a este, a su vez, una referencia determinada, mientras que a una referencia (a un objeto) no le pertenece solo un signo, ni tampoco un solo sentido. El mismo sentido tiene distintas expresiones en distintos lenguajes; puede ocurrir que una expresión tenga sentido, pero no una referen- 134 cia. Por ejemplo, «la expresión “la serie que converge más lentamente” tiene un sentido, pero se sabe que no tiene referente, ya que, para cada serie convergente se puede encontrar otra serie que converge, pero más lentamente. Al captar un sentido, no se está seguro de que haya un referente» (Frege, 1892 p. 87). Frege considera que hay que distinguir entre la referencia y el sentido de un signo respecto de la representación que se asocia a los mismos; la representación es algo interno a cada sujeto. Si la referencia de un signo es un objeto perceptible, entonces la representación que alguien tiene de él es una imagen originada a partir de recuerdos de impresiones sensoriales que ha tenido y de actividades, tanto internas como externas, que ha ejercitado. No siempre, ni siquiera en la misma persona, la misma representación está ligada con el mismo sentido. La representación es subjetiva: la representación de uno no es la del otro. El sentido de una expresión se supone que consiste en la manera en que determinamos su referencia: pero ocurre que, con frecuencia, no hay una única manera de determinar la referencia de una expresión, sino que diferentes personas pueden determinarla de diferentes modos, e incluso que lo que se toma en una ocasión como un modo aceptable de determinarlo puede después ser abandonado al no coincidir con los otros. Si es así, entonces lo que es objetivo sobre el empleo de una expresión, lo que es compartido por todos los hablantes de la lengua, es después de todo su referencia. (Dummett, 1973, p. 102) Inicialmente, la teoría del sentido y la referencia fue desarrollada para el caso de los nombres propios: La referencia de un nombre propio es el objeto mismo que designamos por medio de él; la representación que tenemos en este caso es completamente subjetiva; entre ambos está el sentido, que ciertamente ya no es subjetivo como la representación, pero que tampoco es el objeto mismo. (Frege, 1892, p. 213) Seguidamente, Frege amplía la teoría del sentido y referencia para las oraciones asertóricas, enunciados que afirman como verdadero o falso un juicio, y para los nombres comunes o conceptos. «Toda 135 oración asertórica, en la que importe la referencia de sus palabras, ha de concebirse por lo tanto como un nombre propio, y su referencia, en el caso de que la tenga, es lo verdadero o lo falso» (Frege, 1892, p. 216). Frege distingue entre objeto y concepto. La noción de concepto en lógica, que es el punto de vista que interesa a Frege, está estrechamente relacionada con la de función, para la que propone la definición, «por función de x se ha de entender una expresión de cálculo que contenga x, una fórmula que encierra la letra x» (Frege, 1891, p. 138). Para la noción de concepto afirma: «un concepto es una función cuyo valor es siempre un valor de verdad» (Frege, 1891, p. 146); los valores que se dan al argumento de la función son los objetos que caen bajo el concepto. En lógica, «podemos designar como extensión de un concepto al recorrido de una función cuyo valor para todo argumento es un valor de verdad» (Frege, 1891, p. 146). Sobre la noción de objeto Frege afirma: «objeto es todo lo que no es función, cuya expresión no conlleva, por lo tanto, un lugar vacío» (Frege, 1891, p. 147). Los recorridos de funciones son objetos, mientras que las funciones mismas no lo son. Así mismo, las extensiones de conceptos son también objetos, aunque los conceptos mismos no lo son. El modelo lógico-semántico de Frege distingue si un signo se refiere a un objeto o a un concepto, bajo una determinada modalidad o significado (signo, sentido, referencia). Se trata de un primer paso para aceptar que un concepto admite una pluralidad de posibles interpretaciones, usos o significados parciales. Solo hay un objeto/concepto, pero este objeto puede ser visto desde diferentes perspectivas: por ejemplo, el baricentro puede estar vinculado a las medianas a, b de un triángulo o a b y c. Aunque la filosofía de las matemáticas de Frege es indudablemente realista-platonista al asumir que un objeto matemático tiene una existencia propia e independiente, su teoría del sentido y la referencia de los signos, palabras y expresiones, abre una ventana al relativismo de las posiciones psicológicas y antropológicas. Una palabra designa o se refiere a un objeto o a un concepto, pero siempre va acompa- 136 ñada de un pensamiento, de un sentido o de una forma específica de ver el objeto o el concepto en el contexto en el que se produce la comunicación. Estos sentidos se consideran de forma intersubjetiva y, en consecuencia, se puede plantear el problema de identificar y caracterizar el posible universo de sentidos atribuibles al objeto. 3.2.2. La tripleta conceptual de Vergnaud Vergnaud (1982) considera que es un desafío científico promover el estudio del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas como un campo propio bien definido, no reducible a las matemáticas, psicología, lingüística, sociología u otras ciencias. Esto requiere el análisis de los diferentes contenidos matemáticos, en su especificidad, y el estudio empírico de su enseñanza y aprendizaje, de manera que se tenga en cuenta tanto el crecimiento del conocimiento a largo plazo en los niños y adolescentes, como el cambio de concepciones a corto plazo ante las nuevas situaciones que se encuentren. Con dicho fin ha elaborado la teoría de los campos conceptuales en la que propone una definición de concepto útil para abordar el estudio del desarrollo evolutivo del conocimiento matemático. Considera que un concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su aprendizaje y enseñanza (Vergnaud, 1990, p. 133). A través de las situaciones y de los problemas que se resuelven es como un concepto adquiere sentido para el niño. El estudio que hace Vergnaud del desarrollo y el funcionamiento de un concepto, en el curso del aprendizaje o durante su utilización, le lleva a considerar necesario distinguir tres planos o componentes, la tripleta (S, I, G), como constituyentes de un concepto C, donde: S: conjunto de situaciones que dan sentido al concepto (la referencia). I: conjunto de invariantes sobre los cuales reposa la operacionalidad de los esquemas (el significado). G: conjunto de las formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento (el significante). 137 No hay en general biyección entre significante y significado, ni entre invariante y situación. No se puede por tanto reducir el significado ni al significante, ni a la situación. La noción de sentido es entendida como una relación del sujeto a las situaciones y al significante. «Más precisamente, son los esquemas evocados en el sujeto individual por una situación o por un significante lo que constituye el sentido de esta situación o de este significante para este sujeto» (Vergnaud, 1990, p. 158). Por ejemplo, el sentido de la adición para un sujeto es el conjunto de esquemas que puede poner en obra para tratar las situaciones a las cuales el sujeto llega a estar confrontado, y que implican la idea de adición; es también el conjunto de esquemas que puede poner en juego para operar sobre los símbolos (numéricos, algebraicos, gráficos o lingüísticos) que representa la adición. Vergnaud (1982; 1990) va un paso más allá que Frege en la problematización del concepto matemático al abordar el problema del aprendizaje y la enseñanza: el concepto mismo es una entidad compleja y sistémica formada por la interacción entre tres tipos de objetos: los sistemas de representación, las situaciones problemáticas y las invariantes operatorios. 3.2.3. El triángulo epistemológico Steinbring (1997; 2006) interpreta el triángulo de Frege y el propuesto por Ogden y Richards (1923), adoptando una perspectiva epistemológica que ayude a comprender los procesos de interpretación, comunicación y construcción de significados que tienen lugar en la clase de matemáticas. El triángulo epistemológico que propone incluye los tres elementos (Figura 3.1): el signo o símbolo, el objeto o contexto de referencia, el concepto, entendido este último como concepto matemático ideal o abstracto. 144 suma de números naturales. Mediante las prácticas discursivas y operativas se evocan las reglas que fijan el significado de los conceptos y procedimientos, concluyendo con la práctica discursiva-normativa 7): Por tanto, las expresiones 2+3 y 5 son equivalentes. En la actividad matemática los conceptos, proposiciones y procedimientos pueden participar como entidades unitarias, que se describen mediante una definición o un enunciado que fija la regla de uso de tal objeto: por ejemplo, la definición de número natural dada en la práctica 2) de la demostración (Figura 3.3). Pero sabemos que es posible encontrar otras definiciones de número natural usando diferentes sistemas axiomáticos, o dependiendo de diferentes contextos o marcos institucionales en que se usan los números. Cada una de tales definiciones pone en juego diferentes prácticas operativas y discursivas involucrando además otros objetos y, por tanto, implican un significado pragmático diferente. Como hemos descrito en el Capítulo 2, el término «objeto» se utiliza en un sentido amplio para referirse a cualquier entidad que intervenga de algún modo en la práctica matemática y que pueda identificarse como una unidad. El uso de objeto es metafórico, ya que un concepto matemático, suele concebirse como una entidad ideal o abstracta, y no como algo tangible, como una piedra, un dibujo o un manipulativo. Esta idea general de objeto, coherente con la propuesta del interaccionismo simbólico (Blumer, 1969; Cobb y Bauersfeld, 1995), resulta útil a la hora de considerar una tipología de objetos matemáticos, al tener en cuenta sus diferentes roles y naturaleza en la actividad matemática. Los símbolos, las representaciones materiales externas y los manipulativos, intervienen en la actividad matemática escolar y profesional y, en consecuencia, se consideran objetos matemáticos, porque se utilizan en las prácticas matemáticas. Los conceptos de número, fracción, derivada, etc., son objetos matemáticos de naturaleza y función diferentes a las representaciones ostensivas; son objetos no ostensivos, mentales (cuando intervienen en las prácticas personales, 145 o individuales), o institucionales (cuando intervienen en las prácticas socioculturales compartidas). En ambos casos, regulan la actividad matemática, mientras que sus representaciones ostensivas apoyan o facilitan la realización de dicha actividad. Cada tipo de objeto puede ser considerado desde diferentes puntos de vista duales, como se indica en la Figura 3.411. En particular, un objeto puede ser considerado desde un punto de vista personal (sujeto individual) o institucional (social, compartido), teniendo así, una doble naturaleza, mental/cognitiva y cultural/epistémica. La dualidad personal-institucional se aplica a las prácticas, los objetos y los significados, lo que nos permite describir los procesos de semiosis (dualidad expresión-contenido) desde el punto de vista cognitivo y cultural. No hay objetos sin prácticas, ni prácticas sin objetos. Los conceptos, proposiciones, procedimientos, en su versión unitaria, son entendidos, como propone Wittgenstein, como reglas gramaticales de los lenguajes que se usan en las prácticas operativas y discursivas que se realizan para describir nuestros mundos y actuar ante las situaciones-problemas que nos plantean. Pero, además, desde el EOS, se contemplan los objetos matemáticos desde una perspectiva sistémica, mediante la cual se identifican y articulan los diversos significados parciales de los mismos12. Así mismo, cuando el análisis semiótico se hace sobre las prácticas que realizan sujetos individuales ante problemas que involucran un determinado objeto (números, probabilidad, etc.) se pueden identificar diversos significados personales sobre el mismo. 11 Versión complementaria de la configuración ontosemiótica descrita en el Capítulo 2. 12 En Godino et al. (2011) se describen diversos significados de los números naturales desde el punto de vista institucional. Batanero y Díaz (2007) identifica diversos significados de la probabilidad. 146 Figura 3.4. Objetos y procesos que intervienen en las prácticas matemáticas 3.3.2. Uso e intencionalidad de las prácticas En las teorías operacionales del significado las palabras, símbolos o expresiones no tienen por qué referir o estar en lugar de otras cosas, sino que se usan para hacer algo con ellas. Por ejemplo, los numerales son instrumentos para contar, ordenar y medir, y los enunciados sobre números tienen el papel de reglas para el uso de tales palabras. Según esto, 2+3=5 no es una propiedad que establece una relación entre entidades conceptuales, como podría ocurrir con la expresión «los leones son carnívoros», sino que es una regla sobre cómo se deben usar los símbolos 2, 3, 5, +, =, esto es, siempre que se tenga la expresión 2+3 se puede sustituir por 5, y viceversa. 147 La justificación de las proposiciones matemáticas se hace mediante una secuencia de prácticas operativas y discursivas (como las mostradas en la Figura 3.3) que tienen una intencionalidad determinada. Cada práctica elemental que se realiza para resolver un problema, que puede ser intramatemático, como la demostración de que 2+3=5, o involucrar un contexto extra matemático, desempeña un papel en el proceso resolutivo. La Tabla 3.1 resume el uso o significado operacional/ pragmatista de las prácticas requeridas en la demostración de la proposición 2+3=5 (Figura 3.3). Tabla 3.1. Uso e intencionalidad de las prácticas para demostrar 2+3=5 Secuencia de prácticas elementales Uso / intencionalidad 1. Los símbolos, 2, 3 y 5 representan números naturales. Atribuir significado a los símbolos 2, 3, 5 como números naturales. 2. Los números naturales son un conjunto de símbolos que satisface los axiomas de Peano, en particular, hay un primer elemento, 1, y está definida una función siguiente (sucesor), s:N→N, inyectiva. En dicho conjunto se define la suma, +, de manera recursiva como: n+1= s(n); n+s(m)= s(n+m). Evocar las reglas que definen los números naturales y su suma en el marco de una teoría axiomática específica. 3. En la secuencia, 2 es el sucesor de 1, 2=s(1)=1+1, 3 es el sucesor de 2, 3=s(2)=2+1, y 5 es el sucesor de 4 que es el siguiente de 3, 5= s(4)= s(s(3)) Interpretar el significado de los símbolos 2,3,5 en la teoría axiomática de Peano de los números naturales. 4. El signo = se usa para indicar la equivalencia de dos expresiones. Evocar el significado de la igualdad de números naturales como equivalencia de dos expresiones. 5. La expresión 2+3 representa la suma de los números naturales 2 y 3. Interpretar el significado de + como suma de números naturales. 6. Teniendo en cuenta la definición de suma de números naturales y de sucesor 2+3= 2+s(2)= s(2+2)= s(2+s(1))= s(s(2+1))= s(s(3))= s(4)= 5. Aplicar las reglas que definen la función siguiente (sucesor) y suma de números naturales. 7. Por tanto, las expresiones 2+3 y 5 son equivalentes. Fijar la nueva regla de uso de los símbolos numéricos (declarar la verdad de la proposición). 148 3.3.3. Significado y función semiótica Entre el símbolo 2 y el concepto de número 2, como también entre el concepto de número natural y el sistema de prácticas operativas y discursivas de donde emerge tal objeto matemático, se establece una relación que el EOS denomina función semiótica (Sección 3.1.3). La función semiótica se entiende como la correspondencia entre un objeto antecedente (expresión/ significante) y otro consecuente (contenido/ significado) establecida por un sujeto (persona o institución) según un criterio o regla de correspondencia. Con esta noción se pretende incluir cualquier uso que se dé al significado: el significado es el contenido de una función semiótica. Cada una de las prácticas elementales que componen el texto de la demostración de la proposición 2+3=5 (Figura 3.3) tiene una función o rol en el proceso argumentativo por lo que se puede asignar dicho papel como el significado operacional de las prácticas (Tabla 3.1). Pero en la realización de cada práctica, y en la conjunción de todas o una parte de ellas, interviene una trama de objetos (Tabla 3.2) cuya identificación es necesaria para comprender y gestionar los procesos de enseñanza y aprendizaje. Tabla 3.2. Objetos que intervienen en las prácticas para demostrar 2+3=5 Secuencia de prácticas elementales Objetos intervinientes 1. Los símbolos, 2, 3 y 5 representan números naturales. Lenguajes: simbólico; natural. Conceptos: números naturales. 2. Los números naturales son un conjunto de símbolos que satisface los axiomas de Peano, en particular, hay un primer elemento, 1, y está definida una función siguiente (sucesor), s:N→N inyectiva. En dicho conjunto se define la suma, +, de manera recursiva como: n+1= s(n); n+s(m)= s(n+m). Lenguaje: natural, simbólico. Conceptos: número natural; conjunto de símbolos; función siguiente inyectiva, primer elemento; sucesor, suma. Proposiciones: axiomas de Peano. 149 3. En la secuencia, 2 es el sucesor de 1, 2= s(1)= 1+1, 3 es el sucesor de 2, 3= s(2)= 2+1, y 5 es el sucesor de 4 que es el siguiente de 3, 5= s(4)= s(s(3)). Lenguajes: natural; simbólico. Conceptos: secuencia; sucesor, suma. Proposición: 2 es el sucesor de 1, 3 es el sucesor de 2 y 5 es el sucesor del sucesor de 3. Argumentos: convención basada en las propiedades de la función siguiente. 4. El signo = se usa para indicar la equivalencia de dos expresiones. Lenguajes: simbólico; natural. Conceptos: equivalencia de expresiones; igualdad. 5. La expresión 2+3 significa avanzar tres posiciones desde la posición 2. Lenguajes: natural y simbólico. Conceptos: suma de números naturales. 6. Teniendo en cuenta la definición de suma de números naturales y de sucesor. 2+3= 2+s(2)= s(2+2)= s(2+s(1))= s(s(2+1))= s(s(3))= s(4)= 5 Lenguajes: natural y simbólico. Proposición: 2+3= 5. Procedimiento: operaciones de suma y sucesor. Argumento: deductivo, basado en la definición de suma de números naturales y de la función siguiente. 7. Por tanto, las expresiones 2+3 y 5 son equivalentes. Lenguajes: natural y simbólico. Proposición: enunciado de la práctica 7). Argumento: secuencia deductiva de prácticas 1) a 6). La función semiótica se puede ver como una interpretación del signo Peirceano. Una representación es aquel carácter de una cosa en virtud de la cual, para la producción de un cierto efecto mental, se puede poner en lugar de otra cosa. La cosa que tiene ese carácter la llamo un representamen, el efecto mental, o pensamiento, su interpretante, la cosa en cuyo lugar se pone, su objeto. (Peirce, 1931-58, CP 1.564). En el EOS, el interpretante Peirceano se concibe como la regla (hábito, norma) de correspondencia entre el representamen y el objeto, establecida por una persona, o en el seno de una institución, en el correspondiente acto interpretativo (significados personales o institucionales). Cuando, por ejemplo, en la práctica 1) se afirma que 2 refiere al «concepto de número natural dos» (Figura 3.3), estamos si- 150 guiendo un convenio (hábito, regla) que se aprende en la comunidad de prácticas matemáticas escolares. Esto es, entre el signo 2 y el concepto dos hay un interpretante que no es otra cosa que un convenio cultural seguido por el sujeto que hace la interpretación. Además, en el EOS se asume que toda entidad que participa en un proceso de semiosis, interpretación, o juego de lenguaje, es objeto, pudiendo desempeñar el papel de expresión (significante), contenido (significado) o interpretante (regla que relaciona expresión y contenido). Los propios sistemas de prácticas operativas y discursivas son objetos y pueden ser componentes de la función semiótica. De este modo se modeliza cualquier uso que se pueda dar a la palabra significado. Es decir, la semiótica pragmatista/antropológica asumida por el EOS asume que los objetos que se ponen en correspondencia en las funciones semióticas (funtivos) no son solamente objetos lingüísticos ostensivos (palabras, símbolos, expresiones, diagramas etc.), sino que los conceptos, proposiciones, procedimientos, argumentos, incluso las situaciones-problemas, pueden ser también antecedentes de las funciones semióticas. Tiene sentido y es necesario, preguntarse tanto por el significado del concepto de número, como por el significado de las proposiciones, procedimientos, argumentos, situaciones y representaciones que intervienen en las prácticas numéricas. Los funtivos en la función semiótica también pueden ser entidades unitarias o sistémicas, particulares o generales, materiales o inmateriales, personales o institucionales. Se genera de este modo una variedad de tipos de significados que orienta y apoya la realización de análisis ontosemióticos de la actividad matemática a nivel macro y micro, tanto desde el punto de vista epistémico (institucional) como cognitivo (personal) (Font et al., 2013). 3.3.4. Relatividad de las prácticas, objetos y significados En el EOS se asume que las prácticas matemáticas se realizan en un trasfondo ecológico (material, biológico y social), lo que determina una relatividad institucional, personal y contextual de las prácticas, objetos y significados, respecto de los juegos de lenguaje y formas de 151 vida (Wittgenstein, 1953). Se asume, por tanto, una perspectiva sociocultural sobre la semiosis en la que se enfatiza la dimensión social, cultural, e histórica de los signos. «En estas perspectivas los signos son entendidos no como artefactos a los cuales recurren los individuos para representar o presentar el conocimiento, sino como artefactos de comunicación y significación» (Presmeg et al., 2018, p. 4). En el ejemplo descrito anteriormente (Figura 3.3), el contexto de la aritmética modular cambia el significado de 2+3, como también es diferente el significado del concepto de número natural si se cambia la axiomática, o se adopta la construcción conjuntista de los números. El significado de los números es diferente en las distintas comunidades de prácticas formadas por grupos culturales diversos o en distintos momentos históricos. En consecuencia, un objetivo del análisis didáctico-matemático debe ser caracterizar los diversos significados de los objetos y sus interrelaciones, construyendo de esa manera un significado global que sirva de referencia para el análisis de los procesos de instrucción matemática. Este sería un primer nivel de análisis ontosemiótico de la actividad matemática mediante el cual se toma conciencia de la pluralidad y relatividad de los significados de los objetos matemáticos. En este primer nivel se trata de identificar, clasificar y describir los tipos de situaciones-problemas en los que el objeto en cuestión interviene, así como las prácticas matemáticas (operativas y discursivas) mediante las cuales se da respuesta a dichos problemas. El contexto social, material y biológico (trasfondo ecológico), que sustenta y condiciona la actividad matemática, implica la relatividad de las prácticas, los objetos y significados. Tanto las prácticas como los objetos se pueden contemplar desde distintas polaridades. Además, tales prácticas son relativas a los diferentes marcos institucionales (histórico-culturales) y contextos de uso del objeto. Para la educación en general y para la educación matemática en particular, es necesaria una teoría holística del significado que incluya la dualidad personal-institucional para los significados. Se requiere tanto una semiótica cognitiva como una semiótica epistémica/cultural: los signifi- 152 cados se establecen entre personas individuales, en prácticas discursivas y operativas; pero también entre una persona y el conocimiento cultural cuyo aprendizaje se pretende. En la cultura matemática los términos, símbolos, conceptos, etc., tienen un significado cristalizado, socialmente compartido, formado en un proceso histórico-cultural, que es el resultado de múltiples prácticas discursivas y operativas entre sujetos individuales, mediadas por el uso de diferentes lenguajes y artefactos. Este enfoque es coherente con la semiótica cultural propuesta por Radford (2006) para el significado de los conceptos matemáticos: «los objetos matemáticos son formas conceptuales de actividad histórica, social y culturalmente encarnada, reflexiva y mediada» (Radford, 2006, p. 59). Desde el punto de vista de la educación, los significados no deben reducirse a objetos mentales, ni a objetos culturales; es necesario atribuirles una doble naturaleza personal e institucional, para dar cuenta de la relación dialéctica que se establece entre ellos en los procesos de enseñanza y aprendizaje. 3.4. Enfoque ontosemiótico de la cognición matemática El punto de partida del EOS fue la necesidad de clarificar el significado de los objetos matemáticos, desde el punto de vista personal (cognición individual) e institucional (cognición objetiva, cultural) (Godino y Batanero, 1994; 1998). O sea, ha sido una preocupación entender el origen y naturaleza del conocimiento matemático desde un punto de vista semiótico, el papel de los signos, de los lenguajes en la actividad matemática, los objetos emergentes y las relaciones entre los mismos. Este es un enfoque propio tanto de una semiótica cognitiva (Zlatev, 2012; Paulucci, 2021), como cultural (Eco,1976; Lotman, 1990). 3.4.1. Conocimiento y comprensión Como se puede ver en Godino y Batanero (1994), la teoría antropológica y pragmatista de las prácticas matemáticas, los objetos y significados se usa para proponer una manera de entender qué 153 es conocer/comprender el objeto en términos de acoplamiento de significados. Definición 10: Significado de un objeto OI para un sujeto p desde el punto de vista de la institución I: Es el subsistema de prácticas personales asociadas a un campo de problemas que son consideradas en I como adecuadas y características para resolver dichos problemas. En consecuencia, de un mismo campo de problemas C que en una institución I ha dado lugar a un objeto OI con significado S(OI), en una persona puede dar lugar a un objeto Op con significado personal S(Op). La intersección de estos dos sistemas de prácticas es lo que desde el punto de vista de la institución se consideran manifestaciones correctas, esto es, lo que la persona «conoce» o «comprende» del objeto OI desde el punto de vista de I. El resto de las prácticas personales serán consideradas «erróneas», desde el punto de vista de la institución. (Godino y Batanero, 1994, p. 342) En una situación ideal, y en una institución dada, decimos que un sujeto «comprende» el significado del objeto OI —o que ha «captado el significado» de un concepto— si es capaz de reconocer sus propiedades, justificarlas con argumentos válidos, usar las representaciones características, relacionarlo con los restantes objetos matemáticos y usar este objeto en toda la variedad de situaciones problemáticas prototípicas dentro de la institución correspondiente. La comprensión alcanzada por un sujeto en un momento dado difícilmente será total o nula, sino que abarcará aspectos parciales de los diversos componentes y niveles de abstracción posibles. Como síntesis, el modelo de cognición matemática que propone el EOS incluye las siguientes dimensiones: 1. Dimensión personal e institucional. Si aceptamos la concepción pragmática y relativista de las matemáticas subyacente al EOS, una teoría de la comprensión matemática que sea útil y eficaz para explicar los fenómenos de enseñanza y aprendizaje debe reconocer para la misma la dualidad dialéctica entre la faceta personal e institucional de la cognición. Puesto que cada persona nace en el seno de una familia y se desarrolla siendo 256 situación en la que tal pauta se proporciona. Consideran que la guía que se da contiene un extenso cuerpo de apoyo y al estar inmersa en situaciones de la vida real ayuda a los estudiantes a dar sentido al contenido científico. Para Zhang (2016) la tensión entre estas dos posiciones no es si una u otra es partidaria de presentar más o menos guía o apoyo a los estudiantes, sino entre presentar explícitamente las soluciones a los aprendices o dejar que ellos las descubran. «Para los partidarios de la instrucción directa, la presentación explícita de las soluciones y la demostración del proceso para lograr las soluciones son una guía esencial» (Zhang, 2016, p. 908). Pretender que los estudiantes descubran, exploren y encuentren las soluciones, según la «educación basada en la indagación», elimina la necesidad de presentar las soluciones. En las posiciones constructivistas, aunque se admita una cierta dosis de transmisión de información del profesor al estudiante, sigue siendo esencial ocultar una parte del contenido. Para los partidarios de la instrucción directa que asumen la teoría de la carga cognitiva con énfasis en los ejemplos trabajados, proporcionar las soluciones es esencial. Por ejemplo, en el campo del desarrollo del razonamiento proporcional, Bentley y Yates (2017) usaron el modelo didáctico de «ejemplos trabajados» para presentar la estrategia de reducción a la unidad, esto es, ayudar a los estudiantes a adoptar un análisis paso a paso de problemas de valor faltante mediante el cual reconocer fácilmente, en primer lugar, una unidad y después utilizarla para resolver el problema. En su investigación informan de resultados positivos cuando se aplica esta estrategia didáctica tanto para estudiantes con alto estatus socioeconómico como bajo. En el EOS se introduce una nueva variable en el debate de estos modelos. Se trata de reconocer la complejidad ontosemiótica del conocimiento matemático y científico, la cual debe ser tenida en cuenta en los procesos instruccionales para optimizar los aprendizajes de los estudiantes. Al asumir presupuestos antropológicos, semióticos y pragmatistas sobre el conocimiento matemático (o científico) se llega a la conclusión de que una parte esencial del conocimiento que 257 tienen que aprender los estudiantes son reglas conceptuales, proposicionales, procedimentales, convenidas en el seno de la comunidad de prácticas matemáticas (o científicas). Los estudiantes, para resolver los problemas que constituyen el objetivo educativo y desarrollar las capacidades de razonamiento matemático, parten de unos conocimientos previos, que en una parte central de los mismos son reglas, las cuales deben estar disponibles para comprender y abordar la tarea. Pretender que los estudiantes descubran esas reglas puede suponer un desafío excesivo para la mayoría de los estudiantes. Al tener en cuenta la complejidad ontosemiótica del conocimiento matemático, sin dejar de reconocer el papel central de la resolución de problemas como razón de ser de los contenidos, se derivan los presupuestos de un modelo educativo-instruccional mixto que se presenta como solución al dilema entre indagación y transmisión (Figura 4.5). 4.9.2. Investigaciones basadas en el diseño Para intentar salvar la brecha entre la investigación teórica y la práctica docente se han desarrollado las llamadas «investigaciones basadas en el diseño» (IBD) (Brown, 1992; Kelly et al., 2008), que constituyen una familia de aproximaciones metodológicas orientadas al estudio del aprendizaje en contexto. Utilizan el diseño instruccional y la investigación sistemática de estrategias y herramientas instruccionales, tratando que sean interdependientes, sobreentendiéndose que la investigación incluye no solo la fase de diseño, sino también la experimentación en contextos de clase y la evaluación de sus resultados. En educación matemática, las IBD se realizan aplicando diferentes teorías de base en los diseños e interpretación de los resultados. Así, Artigue (2015) describe la metodología de la ingeniería didáctica como un tipo de IBD, basada en la Teoría de situaciones didácticas, en la Teoría antropológica de la didáctica, y en otras teorías. La Ingeniería Didáctica (ID) (Artigue, 1989; 2011) se presenta usualmente con una doble faceta: como «metodología de investigación», y como conjunto de medios o recursos para la enseñanza de temas específicos, elaborados teniendo en cuenta los resultados de la investigación. «La 258 ingeniería didáctica surgió, así, como una metodología de investigación y desarrollo basada en realizaciones en el aula en forma de secuencias de lecciones, informadas por la teoría y poniendo a prueba las ideas teóricas» (Artigue, 2015, p. 469). Godino et al. (2013) analizan las características de la IBD y la ID y concluyen que, dado que la ID se puede basar en distintos marcos teóricos, la ID y el diseño instruccional describen el mismo tipo de investigaciones didácticas. Las investigaciones de diseño instruccional o de ingeniería didáctica, cualquiera que sea la teoría de base en la cual se apoyen, responden a cuestiones del tipo: ¿Qué resultados en términos de aprendizaje se obtienen si se realiza una intervención educativa específica en un contexto dado?, esto es, corresponden al esquema predictivo, Si X entonces Y. Puesto que se realizan en contextos educativos reales, tienen en cuenta la riqueza y complejidad de factores que condicionan la práctica docente. En consecuencia, los recursos elaborados y los conocimientos obtenidos de estas investigaciones pueden dar solución a problemas de dicha práctica, que se refieren usualmente a qué matemáticas enseñar y cómo. Sin embargo, dado que el conocimiento que aporta este tipo de investigación es predictivo, no se pueden derivar de ella valoraciones y normas de acción, como se requiere en la intervención eficiente sobre la práctica. La superación de la brecha existente entre el conocimiento científico y la práctica de la enseñanza precisa del desarrollo de teorías que expliciten el sistema de principios axiológicos y criterios valorativos y normativos sobre la acción educativa eficiente, derivados de la investigación teórica y aplicada. En el marco del EOS esta interfaz viene dada por la Teoría de la Idoneidad Didáctica que describimos en el Capítulo 5. El modelo de instrucción que se asume en el EOS está basado en los principios de la psicología cultural /discursiva (Lerman, 2001), que atribuye un papel clave a la «zona de desarrollo potencial» (Vigotsky, 1934). Contrariamente a los modelos constructivistas, la autonomía del estudiante en el proceso de aprendizaje es el resultado de dicho proceso y no un prerrequisito. No obstante, dado el papel central que la perspectiva antropológica del conocimiento da a los problemas y la ac- 259 tividad implicada en su resolución, la búsqueda, selección y adaptación de buenas situaciones problemas y la implicación de los estudiantes en su resolución es también un principio de la instrucción matemática significativa. Se deriva de este supuesto un modelo instruccional de tipo mixto, en el que la construcción y la transmisión del conocimiento se articulan de manera dialéctica (Godino y Burgos, 2020; Godino et al., 2020) y se resumen en los siguientes principios: • Se postula que el aprendizaje tiene como finalidad la apropiación por los estudiantes de los significados y objetos institucionales que le permitan afrontar la solución de determinados problemas y desarrollarse como persona. • El estudio de los significados personales de los estudiantes es un componente esencial de la problemática educativa, ya que la apropiación de los significados institucionales pretendidos está condicionada por los significados personales iniciales de los estudiantes. Los significados institucionales finalmente implementados en un proceso de instrucción pueden ser diferentes de los pretendidos y de referencia, debido a las restricciones impuestas por las posibilidades cognitivas de los estudiantes, los recursos disponibles y el contexto social y educativo. Se espera, no obstante, que los significados de los objetos institucionales pretendidos e implementados en un contexto educativo dado sean una muestra representativa del significado de referencia global. 4.10. Síntesis de la teoría de diseño educativo en matemáticas basada en el EOS En la Tabla 1 presentamos una síntesis de las características de la Teoría ontosemiótica del diseño educativo en matemáticas siguiendo la guía propuesta por Michie et al. (2014) con elementos para la descripción de teorías en el campo de las ciencias sociales y del comportamiento. 260 Tabla 4.1. Síntesis de la teoría de diseño educativo basada en EOS Elementos Descripción Breve resumen. ¿De qué trata la teoría y cuáles son sus principales proposiciones? La teoría ontosemiótica del diseño educativo en matemáticas aporta supuestos y herramientas teóricas para el diseño de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas basados en la teoría ontosemiótica de la actividad matemática y objetos emergentes y la teoría ontosemiótica del significado y de la cognición matemática que propone el EOS (Capítulos 2 y 3). Incluye un modelo de estructura y dinámica de los procesos educativos que tiene en cuenta las diversas facetas y componentes que caracterizan dichos procesos. Propone un modelo de categorías de las normas y metanormas, incluyendo criterios de idoneidad didáctica, que permite explicar fenómenos didácticos y da pautas para la optimización de los procesos educativos. Los constructos configuración y trayectoria didáctica permiten hacer análisis detallados (descriptivos y explicativos) del diseño e implementación de los procesos educativos. Complementados con el postulado de complejidad ontosemiótica del contenido y el constructo idoneidad didáctica, permiten elaborar un modelo didáctico mixto que resuelve el dilema entre los modelos constructivista (indagativos) y objetivistas (transmisivos) para optimizar el aprendizaje matemático. Ámbito/objetivo. ¿Qué fenómenos pretende explicar la teoría? El objetivo o motivo de la teoría del diseño educativo es comprender los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, los facetas, componentes e interacciones que intervienen en el diseño, implementación y evaluación y construir un sistema de criterios fundamentados en el EOS y resultados de las investigaciones didácticas para optimizar el desarrollo de dichos procesos. Incluye, por tanto, supuestos y herramientas para el componente científico (descriptivo, explicativo y predictivo), así como para el tecnológico (prescriptivo) de la educación matemática. Justificación. ¿Por qué es necesaria la teoría y cómo mejora las teorías anteriores? Esta teoría emerge al considerar que las teorías de diseño educativo existentes, incluso las específicas para las matemáticas, no están basadas en modelos explícitos sobre la naturaleza específica del conocimiento matemático. La teoría ontosemiótica de la actividad matemática permite tomar conciencia de la complejidad ontosemiótica de los contenidos de enseñanza y aporta herramientas para el análisis preliminar de los significados de los objetos matemático. El análisis a priori de las tareas, la identificación de hechos didácticos significativos y criterios de optimización de las trayectorias epistémica y cognitiva de los procesos educativos en matemáticas. 261 Hipótesis. ¿Qué hipótesis específicas plantea la teoría y en qué se diferencian de otras teorías? Postula que el diseño de procesos educativos debe ser fundamentado en teorías específicas sobre la naturaleza del contenido objeto del diseño. En el caso de las matemáticas, la teoría del diseño educativo en matemáticas asume los postulados ontológicos, semióticos y epistemológicos del EOS sobre la actividad matemática, así como sobre los procesos y objetos emergentes de dicha actividad. Se postula que en los momentos de primer encuentro de los estudiantes con nuevos contenidos las configuraciones didácticas de tipo colaborativo optimizan la idoneidad didáctica al permitir tener en cuenta la complejidad ontosemiótica del contenido objeto de estudio. La autonomía del estudiante es emergente de la actividad didáctica, no un prerrequisito como postulan los constructivismos. Constructos. ¿Cuáles son los elementos de la teoría? La teoría incluye los siguientes constructos: –Facetas, componentes, subcomponentes y elementos de un proceso educativo. –Dimensión normativa, metanormativa y criterios de idoneidad. –Configuración didáctica y subconfiguraciones epistémica-ecológica, instruccional (interaccional, mediacional), normativa y cognitiva-afectiva. –Trayectoria didáctica y subtrayectorias epistémica-ecológica, instruccional, normativa, cognitiva-afectiva. –Significados institucionales y personales. Ecología y complejidad de significados. –Conflictos semióticos (epistémicos, cognitivos, instruccionales). –Configuraciones didácticas de referencia. Modelo didáctico basado en EOS. –Idoneidad didáctica. Criterios e indicadores. Relaciones. ¿Cómo se relacionan entre sí los elementos de la teoría? El modelo de estructura de un proceso educativo es la base del análisis sistemático del diseño, implementación y evaluación permitiendo categorizar los tipos de configuraciones, trayectorias didácticas, normas y metanormas. Los significados institucionales y personales, entendidos de manera pragmática según el EOS, permite abordar el estudio de la reconstrucción y adaptación ecológica de los significados al contexto educativo en la fase de planificación de la enseñanza. La identificación de conflictos semióticos aporta explicaciones y criterios para el estudio de las interacciones en el aula. El constructo idoneidad didáctica, en las diferentes facetas y componentes, aporta criterios para la toma de decisiones en la fase de planificación e implementación, e indicadores de idoneidad en la fase de evaluación. El constructo complejidad ontosemiótica de significados y las configuraciones didácticas de referencia son la base del modelo didáctico mixto indagativo-transmisivo basado en EOS. 262 Procedencia. ¿En qué teorías se basa y cómo? La teoría del diseño educativo se basa en la teoría ontosemiótica de la actividad matemática y objetos emergentes al adoptar los tipos de objetos y procesos matemáticos que propone esta teoría como componentes y elementos de las facetas epistémica y cognitiva de los procesos educativos en matemáticas. El postulado de relatividad institucional y personal del significado de los objetos matemáticos respecto de los marcos institucionales y contexto de uso lleva a relacionar la teoría del diseño educativo con las teorías histórico-culturales en educación matemática, así como con las teorías de la cognición situada. Semejanza. ¿A qué teorías se parece más esta teoría? La teoría de diseño educativo basada en EOS tiene conexiones con la ingeniería didáctica (Artigue), basada en la Teoría de situaciones didácticas en matemáticas (Brousseau), así como la Teoría de momentos didácticos y su desarrollo en la Teoría de los recorridos de estudio e investigación (Chevallard). También hay concordancias con la Educación matemática realista (Freudenthal). Los supuestos ontosemióticos sobre el conocimiento matemático y los constructos específicos que están en la base de la teoría amplían el tipo de análisis que se puede realizar, las explicaciones de fenómenos didácticos, y especialmente el modelo didáctico indagativo-transmisivo basado en EOS. El sistema de criterios de idoneidad didáctica explicita y amplía los derivados de las teorías mencionadas. Complementariedad. ¿Con qué teorías puede complementarse? El EOS aspira a elaborar un sistema teórico integral para abordar los problemas ontológicos, semióticos, epistemológicos, educativos-instruccionales implicados en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, aplicando una estrategia de hibridación de teorías. Se puede complementar con teorías curriculares que aborden de manera explícita el desarrollo de las facetas afectiva y ecológica de los procesos educativos-instruccionales, como la educación matemática crítica e inclusiva (papel de las matemáticas en la sociedad, justicia social, equidad). Operacionalización. ¿Cómo se miden o identifican los constructos? Los constructos de la teoría no son rasgos medibles o graduables excepto la idoneidad didáctica. Se trata de categorías descriptivas de los diferentes aspectos de un proceso educativo, entendido como un constructo multidimensional o multifacético. En las secciones 4.1 a 4.8 se describen los diferentes constructos que configuran la teoría. Usos. ¿Para qué puede utilizarse la teoría? La teoría de diseño educativo basada en EOS se puede usar para planificar, implementar y evaluar procesos educativos en matemáticas a nivel micro (lecciones), meso (temas) y macro (programas). También puede servir de instrumento para describir, explicar y valorar procesos educativos diseñados con otras perspectivas teóricas, ayudando a identificar aspectos que pueden ser mejorables. Es, por tanto, un recurso para la investigación de diseño y la reflexión de los profesores sobre su propia práctica. 263 Referencias Alfieri, L., Brooks P. J., Aldrich, N. J. y Tenenbaum, H. R. (2011). Does discovery-based instruction enhance learning? Journal of Educational Psychology, 103(1), 1-18. Artigue, M. (1989). Ingénierie didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 9 (3), 281-308. Artigue, M. (2011). L’ingénierie didactique: un essai de synthèse. En C. Margolinas, M. Abboud-Blanchard, L. Bueno-Ravel, N. Douek, A. Fluckiger, P. Gibel, F. 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Charalambous y Praetorius (2018) citan, entre otros, los proyectos, Elementary Mathematics Classroom Observation Form (Thompson y Davis, 2014), Instructional Quality Assessment (IQA, Matsumura et al. 2008), Mathematical Quality of Instruction (MQI, Hill et al., 2011) y Mathematics-Scan (M-Scan, Walkowiak et al., 2014). La mayoría de estos trabajos tratan de ofrecer información válida y fiable a las autoridades educativas para la toma de decisiones sobre los planes de reforma o procesos de acreditación y selección de profesores. Un rasgo distintivo de los estudios de calidad de la instrucción es la observación del trabajo de muestras de clases, escuelas, profesores y producciones de los estudiantes, para relacionar estadísticamente algunas variables de enseñanza con el aprendizaje. Se construyen protocolos de observación de clases y de los trabajos de los estudiantes, explicitando criterios para la asignación de puntuaciones por parte de evaluadores externos (Boston, 2012; Hill et al., 2011). Como conclusión se ofrecen recomendaciones sobre cómo mejorar la instrucción a nivel de escuelas o distritos. Usualmente los instrumentos de medida de la calidad de la instrucción evalúan aspectos de las prácticas educativas, que se asocian empíricamente con el aprendizaje de los estudiantes. Se persigue la viabilidad de los instrumentos y una calidad técnica que garantice un uso fiable a la hora de asignar puntuaciones a las observaciones de las clases y las producciones de los estudiantes. Estos requisitos de las mediciones pueden reducir la generalización de los resultados, ya que no se captan aspectos importantes de la instrucción (por ejemplo, las concepciones erróneas sobre las matemáticas o el papel asignado a los procesos matemáticos). Aunque la evaluación de unos pocos aspectos bien elegidos de la instrucción pueda proporcionar información útil para la mejora de la instrucción, un instrumento comprensivo puede ayudar a tomar conciencia de la complejidad de los procesos de educativos e identienlarged view of the quality of mathematics instruction. EURASIA Journal of Mathematics, Science and Technology Education, 19(6), em2270. 273 ficar variables significativas. Además, con frecuencia, la optimización de los procesos de enseñanza y aprendizaje requiere priorizar unos principios y dejar en un segundo plano otros, teniendo en cuenta las circunstancias específicas del contexto y los estudiantes. Estas decisiones corresponden esencialmente a los profesores, que pueden encontrarse desprovistos de herramientas que los orienten en esta compleja tarea. Es necesario desarrollar instrumentos para el análisis sistemático de las diferentes facetas y componentes del proceso de educativo-instruccional, que puedan usar los profesores para reflexionar sobre su práctica y tomar decisiones fundamentadas para su mejora progresiva. En la Teoría de la idoneidad didáctica basada en el EOS (TIDEOS), que describimos en este capítulo, tratamos de complementar los esfuerzos de la medida cuantitativa de la calidad con un enfoque cualitativo, que pone el foco en la iniciativa y responsabilidad de los profesores para tomar decisiones sobre sus propias prácticas docentes. Esa actividad de reflexión debe estar apoyada en instrumentos específicos que permitan revelar la complejidad de los procesos y la dificultad de lograr el equilibrio entre principios didácticos a veces contrapuestos. Los resultados de este trabajo tienen, por tanto, implicaciones en la investigación sobre formación de profesores, en particular, las interesadas por la reflexión del profesor y la toma de decisiones sobre la práctica (Karsenty y Arcavi, 2017; Tzur, 2001). 5.2. Conceptualización de la idoneidad didáctica En el EOS hemos desarrollado dos instrumentos de apoyo de la actividad de evaluación de los procesos educativo-instruccionales: 1. El modelo de estructura descrito en la Sección 4.1 (Capítulo 4) en el que proponemos distinguir seis facetas y sus respectivas interacciones: epistémica, ecológica, mediacional, interaccional, cognitiva y afectiva. Para cada faceta distinguimos diversos componentes y subcomponentes (Figura 4.1). 274 2. La teoría de la idoneidad didáctica en la que proponemos, además del constructo idoneidad didáctica, un sistema de criterios —principios o normas— de optimización de los procesos educativo-instruccionales en sus diferentes facetas y componentes. La formulación de los criterios, descritos en la Sección 5.3, está basada en los supuestos y constructos del EOS, aunque como se explica en dicha sección, los criterios son usualmente compartidos por otras teorías, orientaciones curriculares y escuelas de pensamiento. 5.2.1. Definición y estructura de la idoneidad didáctica En Godino et al. (2006) comenzamos a hablar de la idoneidad didáctica de un proceso de instrucción ante el reto de pasar del análisis y descripción de los procesos a la ingeniería didáctica, entendida como la disciplina que orienta el diseño, implementación y evaluación de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Concretamente nos preguntamos: «¿Qué criterios de idoneidad de las configuraciones y trayectorias didácticas se pueden derivar del enfoque ontológico-semiótico de la cognición matemática?». En dicho trabajo consideramos que la idoneidad global de una configuración didáctica, y de una trayectoria didáctica, se debe valorar teniendo en cuenta las diversas facetas o dimensiones. Para las configuraciones docente y discentes propusimos valorar la idoneidad teniendo en cuenta las posibilidades de identificación de conflictos y negociación de significados. Esta herramienta teórica ha sido ampliamente utilizada en diversos trabajos de investigación, como describen Malet et al. (2021), pudiéndose apreciar su progresivo refinamiento y cambios en la formulación de los criterios e indicadores de idoneidad (Breda et al., 2018; Godino, 2013). En Godino et al. (2023) proponemos la siguiente conceptualización de la idoneidad didáctica: La idoneidad didáctica de un proceso de instrucción se define como el grado en que dicho proceso (o una parte) reúne ciertas características que permiten calificarlo como óptimo o adecuado para con- 275 seguir la adaptación entre los significados personales logrados por los estudiantes (aprendizaje) y los significados institucionales pretendidos o implementados (enseñanza), teniendo en cuenta las circunstancias y recursos disponibles (entorno). Dichos significados institucionales son representativos, así mismo, del significado global de referencia. (Godino et al., 2023, p. 4) Este enunciado describe las condiciones que debe reunir un proceso instruccional para que se le atribuya el valor de idoneidad, que se liga inicialmente a la optimización o adecuación del acoplamiento entre las actividades de enseñanza y aprendizaje y la implementación de unas matemáticas ricas, teniendo en cuenta los múltiples factores que intervienen en dichos procesos. De aquí se puede pasar a enunciar un criterio (principio) global de idoneidad didáctica: «Se debería conseguir que los estudiantes aprendan las matemáticas que se pretende enseñar, siendo dichas matemáticas representativas del significado global de las mismas y teniendo en cuenta las circunstancias personales, contextuales y temporales». Figura 5.1. Idoneidad didáctica. Facetas y criterios generales (Godino, 2013, p. 116) 276 Esta formulación incorpora valores sociales de la enseñanza de las matemáticas, como son evitar el fracaso escolar y hacer un uso eficiente de los recursos disponibles. La idoneidad didáctica es un rasgo graduable de los procesos educativos que supone la articulación coherente de seis idoneidades parciales relativas a las facetas y componentes (Figura 5.1). La descripción detallada de los criterios parciales para facetas y componentes se describe en la Sección 5.3. Partimos de la base de que en las ciencias sociales y educativas es posible formular criterios de idoneidad, en la forma de juicios de valor, en aquellas circunstancias en que dichos juicios tienen carácter social y es posible fundamentar su formulación. Tales juicios conllevan una racionalidad, por lo que pueden ser objeto de escrutinio científico (Bunge, 1999; Lacey, 1999; Rugina, 1998). Los criterios de idoneidad parciales de cada faceta pueden ser refinados a partir de los componentes que proporcionan las diversas herramientas del EOS. Así, por ejemplo, la idoneidad epistémica se refiere al grado en que los significados institucionales del contenido y las configuraciones de objetos y procesos implementados representan al significado global de referencia, teniendo en cuenta las circunstancias contextuales y personales de los sujetos implicados. La idoneidad cognitiva se refiere al grado en que los objetivos de aprendizaje son un reto cognitivo alcanzable para los estudiantes, y los significados personales logrados concuerdan con los significados institucionales planificados, teniendo en cuenta sus circunstancias personales y contextuales. La optimización conjunta de las idoneidades parciales puede ser conflictiva en un contexto y circunstancias específicas: lo cual conlleva, primero, a tratar los criterios de idoneidad de manera conjunta (y no como criterios independientes como frecuentemente se hace en el caso de la calidad) y, segundo, a cuestionar o relativizar la validez de un determinado criterio en un contexto específico, lo cual lleva a dar pesos relativos diferentes a cada criterio en función del contexto. De esta manera, el peso relativo de cada criterio de idoneidad parcial ya no depende solo de factores externos (la existencia de un consenso previo en la comunidad), sino, en mayor medida, de 277 factores internos (el conflicto que genere el criterio de idoneidad con el contexto y con los otros criterios). (Breda et al., 2018, p. 265) Un segundo nivel de análisis de la idoneidad (Figura 4.1, Capítulo 4) vendría determinado por los componentes (en cantidad variable) de cada faceta, siendo algunos aplicables a cualquier disciplina, mientras que otros son específicos de las matemáticas. Para las facetas epistémica y cognitiva es posible y conveniente proponer un Nivel III de análisis, distinguiendo subcomponentes determinados por los elementos que caracterizan el conocimiento matemático según el EOS. Cuando el proceso educativo-instruccional que se analiza refiere a contenidos específicos, por ejemplo, la probabilidad, es posible definir un Nivel IV de análisis en las facetas epistémica y cognitiva, teniendo en cuenta aspectos propios de la enseñanza y aprendizaje de dicho contenido (Beltrán-Pellicer et al., 2018). Las acciones y recursos utilizados en las facetas epistémica, ecológica, interaccional y mediacional tienen como objetivo el aprendizaje de los estudiantes, en el cual se contemplan tanto los aspectos cognitivos como afectivos. Existen interacciones complejas entre las diferentes facetas, ya que los procesos educativos-instruccionales acontecen en el seno de sistemas sociales recursivos y abiertos en los que las interacciones entre los elementos se basan en la interpretación y negociación de significados, así como en una compleja trama de valores entrelazados. Los sistemas sociales suelen ser sistemas semióticos en el sentido de que las interacciones entre los elementos no se basan en la fuerza física sino en el significado y la interpretación. En estos términos, la educación puede caracterizarse como un sistema semiótico recursivo abierto. Es un sistema semiótico porque los intercambios entre profesores y alumnos no son intercambios a nivel de fuerza física sino a nivel de significado. El sistema funciona como un sistema recursivo porque los profesores y los alumnos actúan sobre la base de sus interpretaciones y comprensiones. Los sistemas educativos son generalmente sistemas abiertos porque interactúan con su entorno (aunque en condiciones de reducción de la complejidad). (Biesta, 2010, p. 497) 278 En la TID-EOS se explicitan y estructuran los principios axiológicos y criterios de optimización de los procesos de enseñanza y aprendizaje asumidos en la comunidad de investigación, incorporando algunos propios, derivados de los supuestos ontosemióticos sobre el conocimiento matemático. Esta teoría aporta una visión ampliada de los estudios sobre calidad de la instrucción matemática (Charalambous y Praetorius, 2018), enfatizando una aproximación interpretativa de la trama de valores que se ponen en juego en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Se manifiesta la complejidad de optimizar dichos procesos, ya que es necesario lograr un equilibrio en la implementación de principios relativos a las diferentes facetas y componentes, que tienen un fuerte componente local. Ese equilibrio axiológico tiene que ser gestionado por el profesor, ponderando la importancia relativa de cada aspecto según las circunstancias de las personas y el contexto. El cumplimiento de los criterios de idoneidad lleva asociado diversos indicadores empíricos. Por ejemplo, se asume que la comprensión y competencia matemática de los estudiantes está ligada al uso de diversas representaciones, su tratamiento y conversión. En consecuencia, un proceso de instrucción deberá procurar que los estudiantes tengan oportunidades de usar diferentes sistemas de representación, su conversión y tratamiento. Un juicio sobre la mayor o menor idoneidad de un proceso instruccional específico se basará en la observación de indicadores empíricos sobre el uso de los sistemas de representación. El criterio es una norma (en unos casos usada como principio, en otros como regla) que se debería seguir para lograr que un proceso de instrucción tenga una alta idoneidad; el indicador es la manifestación observable de la aplicación del criterio; los criterios se agrupan o categorizan según las facetas y componentes. 5.2.2. Una visión ampliada de la idoneidad Los criterios de idoneidad didáctica se pueden ver como principios heurísticos que sintetizan los resultados de las investigaciones en educación matemática. La mayoría de estos criterios son compartidos 279 por diversas teorías, como se indica en Godino (2013) y en Godino (2021). Se ofrecen como una herramienta de apoyo de la indagación individual o colaborativa del profesional de la educación, que deberá interpretar y adaptar a sus circunstancias particulares los criterios globales y específicos para cada componente del proceso instruccional, ponderando su peso relativo. La noción de idoneidad se puede aplicar, no solo a la actividad didáctica, sino a cualquier actividad humana, estableciendo un nexo entre la investigación científica-tecnológica y la práctica reflexiva. Esto ayuda en la toma de decisiones para abordar la triple dialéctica entre Fines, Valores y Medios, que recae en el práctico reflexivo. Los juicios de valor se pueden analizar, comparar, articular de manera racional. Toda actividad humana, incluso la matemática, incorpora principios de eficiencia; por ello, la idoneidad didáctica se puede ampliar a idoneidad matemática, idoneidad económica, etc. Con esta visión general, una Teoría de la Actividad Idónea será un sistema de juicios de valor —se debería hacer esto y no aquello— sobre cómo proceder para realizar una actividad de la mejor manera posible, teniendo en cuenta el contexto y circunstanciales específicas. Estas teorías pueden ser implícitas o explícitas, personales o sociales, espontáneas o fundamentadas en resultados de investigaciones básicas o aplicadas, así como de la práctica reflexiva de los agentes implicados. Para la actividad didáctica (enseñanza y aprendizaje) cada profesor tendrá su propia «teoría de lo que puede ser mejor» dependiendo de sus conocimientos, creencias y valores personales. 5.3. Sistema de criterios de idoneidad didáctica En esta sección describimos el criterio general de idoneidad para las diferentes facetas, justificando su racionalidad en los supuestos del EOS y las concordancias con otras teorías educativas generales 280 o específicas de educación matemática. El sistema completo de criterios de idoneidad didáctica para las facetas y componentes configura el instrumento Guía de Análisis de la Idoneidad Didáctica de Procesos de Instrucción Matemática (GAID-PIM) formado por el conjunto de tablas incluidas en los diferentes apartados de esta sección. Los criterios de idoneidad deben entenderse como principios a seguir para que el proceso instruccional sea idóneo en cada una de sus facetas, atendiendo a sus componentes. En trabajos previos (Godino, 2013; Breda et al., 2018) se formularon indicadores de idoneidad para dichas componentes, entendidos como rasgos que se deberían observar en un proceso instruccional idóneo. Para poder asignar un mayor o menor grado de idoneidad sería necesario desarrollar rúbricas con reglas de asignación de valores numéricos al grado de cumplimiento de cada indicador. Esta orientación cuantitativa en la valoración de la idoneidad no se ha desarrollado en la TID-EOS, ya que el uso prioritario de versiones previas del instrumento GAID-PIM ha sido principalmente el desarrollo profesional docente, y no la comparación y ordenación de la calidad de lecciones o profesores. 5.3.1. Faceta epistémica Para la TID-EOS, es esencial valorar la calidad del contenido que se enseña y aprende, por lo que la faceta epistémica tiene un lugar destacado en el nivel I y en los niveles II y III de análisis (Figura 4.1, Capítulo 4) mostrando la complejidad que supone medir la calidad de los conocimientos matemáticos institucionales. En la Tabla 5.1A formulamos el criterio general de idoneidad epistémica y sus componentes. 281 Tabla 5.1A. Criterios de idoneidad para la faceta epistémica y sus componentes Criterio general de la faceta epistémica Criterios específicos según componentes El sistema de significados institucionales parciales del contenido y las configuraciones de objetos y procesos ligadas a cada significado, implementado a lo largo del proceso instruccional, debería estar articulado, ser representativo del significado global de referencia y tener en cuenta las circunstancias contextuales y personales de los sujetos implicados. Significados –Seleccionar los significados parciales cuyo estudio se adapta a las circunstancias contextuales y personales de los estudiantes, contextualizándolos mediante situaciones-problemas comprensibles para los mismos. –Tener en cuenta una muestra representativa de los objetos primarios implicados en la actividad matemática (situaciones, lenguajes, conceptos y propiedades, procedimientos y argumentos) que intervienen en los significados parciales del contenido. Relaciones (conexiones) –Relacionar entre sí los significados parciales estudiados y los objetos que intervienen en las prácticas correspondientes, así como con el contenido de otros temas que el estudiante ya conoce. Procesos –Tener en cuenta la diversidad de procesos de los cuales emergen los objetos que intervienen en las prácticas matemáticas (problematización, representación, definición, generalización, modelización…). El contenido matemático implementado debe reunir ciertas características para que el proceso instruccional tenga idoneidad epistémica, esto es, que incluya unas matemáticas ricas, óptimas o adecuadas, según las circunstancias contextuales y personales de los estudiantes (faceta ecológica y cognitiva). El modelo ontosemiótico de conocimiento matemático aporta elementos para caracterizar dichas matemáticas, en los diferentes componentes y subcomponentes de la faceta epistémica (Capítulo 2). Un proceso de instrucción específico tiene lugar en un entorno particular y se realiza en un intervalo de tiempo acotado, por lo que es inevitable seleccionar algunos significados parciales del objeto en cuestión y, por tanto, las configuraciones de objetos y procesos asociadas a los significados seleccionados, pero 288 En las últimas décadas se ha creado un amplio consenso en educación matemática sobre el uso de materiales manipulativos y recursos virtuales como apoyo para la enseñanza y el aprendizaje al considerar que permiten «concretizar y visualizar» los conceptos matemáticos. «La tecnología es esencial en el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. Este medio puede influenciar positivamente en lo que se enseña y, a su vez, incrementar el aprendizaje de los estudiantes» (NCTM, 2000, p. 24). Esta organización profesional considera, así mismo, que las calculadoras y demás herramientas tecnológicas, como sistemas de cálculo algebraico, software de geometría dinámica, applets, hojas de cálculo y dispositivos de presentación interactiva, son componentes vitales de una educación matemática de alta calidad. Pero también hay estudios (por ejemplo, McNeil y Jarvin, 2007; Uttal et al., 1997) que tienen un enfoque más crítico sobre el uso de los manipulativos. Uttal et al. (1997) consideran que la distinción tajante entre formas concretas y simbólicas de expresión matemática no es útil. No hay garantía de que los alumnos establezcan las conexiones necesarias entre los manipulativos y las expresiones matemáticas más tradicionales, ya que, en última instancia, el manipulativo pretende representar algo diferente, o sea, es también un símbolo. Un manipulativo concreto puede ser interesante para los niños pequeños, pero esto no es suficiente para que avancen en su conocimiento de las matemáticas o de los conceptos. Para aprender matemáticas a partir de los manipulativos, los niños necesitan percibir y comprender las relaciones entre los manipulativos y otras formas de expresión matemática. (Uttal et al., 1997, p. 38) En el EOS, como ya hemos mencionado, se considera que las relaciones entre las representaciones materiales y visualizaciones (objetos ostensivos) de los conceptos, proposiciones y procedimientos matemáticos son complejas, ya que estos tienen naturaleza regulativa (objetos no ostensivos) y no se deben confundir con sus representaciones(Godino et al., 2007; Font et al., 2013). Por ejemplo, el número racional«un tercio» puede ser referido, y participar en las prácticas matemáticas, mediante la expresión simbólica 1/3. También puede 289 ser representado por un diagrama de sectores en el que el disco unidad se divide en tres partes iguales y se aparta una de las porciones, que es un tercio del todo unitario. Pero cualquier fracción equivalente a 1/3 también representa al racional un tercio. El progreso en la comprensión matemática requiere, por tanto, distinguir el objeto matemático de sus representaciones ostensivas (sean visuales o manipulativas), que materializan de manera icónica o indexical al objeto matemático. También es necesario reconocer la distinta eficiencia de las representaciones simbólicas frente a las icónicas e indexicales para los procesos de cálculo, generalización y demostración. La actividad matemática se realiza usualmente con el apoyo de medios de expresión y cálculo cuya naturaleza puede ser tangible o manipulativa (ábaco, geoplano…), visual-diagramática (gráficas cartesianas, simuladores probabilísticos…), o con medios simbólicos alfanuméricos.Cualquiera de estos medios de expresión está dialécticamente relacionado con objetos matemáticos no-ostensivos que regulan el desarrollo de las prácticas matemáticas operativas y discursivas, para dar respuestas a las situaciones-problemas. De estos postulados ontosemióticos se deriva un criterio de idoneidad específico del uso de recursos materiales en la instrucción matemática: «Se debería distinguir los objetos matemáticos (regulativos, no ostensivos) de sus respectivas representaciones concretas, visuales o simbólicas en las prácticas matemáticas y didácticas». Por otra parte, hay que tener en cuenta la dialéctica entre las configuraciones de objetos y procesos basadas en el uso de recursos manipulativos-visuales y las configuraciones analíticas, basadas en representaciones simbólicas. Entre estos dos tipos de configuraciones se establecen relaciones sinérgicas entrelazadas en las prácticas matemáticas. Las configuraciones basadas en representaciones concretas y visuales desempeñan un papel clave, no solo en el trabajo matemático escolar, sino en la generación de conjeturas, la inducción y explicación, mientras que las analíticas son esenciales en los procesos de generalización, cálculo y justificación. De aquí se deriva otro criterio 290 específico de idoneidad mediacional:«Se debería articular el uso de configuraciones de objetos y procesos basadas en representaciones alfanuméricas con las basadas en representaciones concretas para potenciar progresivamente los procesos de generalización, cálculo y demostración matemática». Bartolini yMartignone (2020) proponen distinguir entre manipulativos concretos y virtuales. Los primeros son artefactos físicos que pueden ser manipulados por los estudiantes y ofrecen experiencias tangibles en la actividad matemática escolar, mientras que los segundos son manipulados digitalmente y ofrecen experiencias visuales. Pero los símbolos alfanuméricos, que forman parte de la categoría lenguajes de la faceta epistémica, son también «manipulados», esto es, son objetos de tratamiento y conversión entre diferentes registros (Duval, 2006). La articulación del uso de estos medios de expresión simbólica con los recursos materiales, como señalan Uttal et al. (1997), nos lleva a considerar la utilidad de distinguir tres subcomponentes en la categoría de recursos materiales: manipulativos concretos, virtuales y simbólicos. Para los tres tipos de recursos existe una gran variedad de dispositivos o artefactos dependiendo de los contenidos matemáticos que se aborden: aritmética (ábaco, regletas, muro de fracciones…), geometría (geoplano, geogebra…), estadística (simuladores, graficadores…), álgebra (balanza algebraica...). Estos dispositivos configuran un Nivel IV de análisis para el componente recursos materiales de la faceta mediacional. 5.3.4. Faceta interaccional Aunque existe un debate entre el modelo de escuela que transmite conocimientos y aquella en que se construyen conocimientos (como mostramos en el Capítulo 4), el resultado parece inclinarse actualmente a favor del segundo. El marco de aprendizaje constructivista es un fundamento para la matemática de la reforma actual en los grados K-12. Muchos futuros profesores a lo largo de los Estados Unidos están siendo formados 291 en que esta es la manera en la que los estudiantes aprenden mejor. (Andrew, 2007, p. 157) Esta preferencia por los modelos didácticos centrados en el estudiante se puede observar en las orientaciones curriculares de diversos países, que adoptan marcos teóricos de tipo constructivista o socio-constructiva, como se observa en el NCTM: Los estudiantes aprenden más y mejor cuando ellos mismos toman el control de sus aprendizajes definiendo sus objetivos y controlando su progreso. Cuando son desafiados con tareas elegidas de manera apropiada, los estudiantes adquieren confianza en su habilidad para abordar problemas difíciles, desean resolver las cosas por sí mismos, muestran flexibilidad al explorar ideas matemáticas e intentar vías de solución alternativas, y disposición para perseverar. (NCTM, 2000, p. 20) Así mismo, la investigación educativa atribuye gran importancia al discurso, el diálogo, la conversación en la clase: La naturaleza del discurso matemático es una característica central de la práctica de la clase. Si aceptamos seriamente que los profesores necesitan oportunidades para aprender a partir de su práctica, el desarrollo de conversaciones matemáticas permite a los profesores aprender continuamente de sus estudiantes. Las conversaciones matemáticas que se centran sobre las ideas de los estudiantes pueden proporcionar a los profesores una ventana sobre el pensamiento de los estudiantes en modos que el trabajo individual de los estudiantes no lo permite. (Franke et al., 2007, p. 237) Estas tendencias justifican la propuesta en la TID-EOS del siguiente criterio general de idoneidad interaccional: «Los patrones de interacción deberían permitir identificar los conflictos semióticos potenciales, poner los medios adecuados para su resolución, favorecer la autonomía progresiva en el aprendizaje y el desarrollo de competencias comunicativas en los estudiantes». En la Tabla 5.4 incluimos criterios de idoneidad ligados a las interacciones entre el profesor y los estudiantes y entre los propios estudiantes. Teniendo en cuenta principios de aprendizaje socio-constructivista se valora positivamente la presencia de momentos en que 292 los estudiantes asumen la responsabilidad del aprendizaje. No obstante, al tomar conciencia de la complejidad ontosemiótica del conocimiento matemático, en la TID-EOS este principio constructivista se matiza en el sentido marcado por el siguiente criterio interaccional específico (Godino et al., 2020): Se deberían adaptar los modos de interacción profesor-estudiantes teniendo en cuenta los momentos del proceso de estudio, aplicando un formato dialógico-colaborativo en los momentos de primer encuentro con el contenido y atribuyendo autonomía al estudiante en los momentos de ejercitación y aplicación. La aceptación del principio de autonomía en el aprendizaje es un rasgo esencial de la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau (2002), en la que las situaciones de acción, comunicación y validación se conciben como momentos adidácticos de los procesos de estudio, esto es, situaciones en las que los alumnos son protagonistas en la construcción de los conocimientos pretendidos. Así mismo, en la Educación Matemática Realista (EMR) se asume un principio de interacción, según el cual, la enseñanza de las matemáticas es considerada una actividad social. La interacción entre los estudiantes y entre los estudiantes y el profesor puede provocar que cada uno reflexione a partir de lo que aportan los demás y así poder alcanzar niveles más altos de comprensión. Los estudiantes, en lugar de ser receptores de una matemática ya elaborada, son participantes activos del proceso de enseñanza-aprendizaje, en el que ellos mismos desarrollan herramientas y comprensiones, y comparten sus experiencias con otros. La negociación explícita, la intervención, la discusión, la cooperación y la evaluación son esenciales en un aprendizaje constructivo en el que las aproximaciones informales del aprendiz son una plataforma para alcanzar los métodos formales. En esta instrucción interactiva, los estudiantes son estimulados a explicar, justificar, convenir y discrepar, cuestionar alternativas y reflexionar (Van den Heuvel-Panhuizen y Wijers, 2005, p. 290). 293 Tabla 5.4. Criterios de idoneidad para la faceta interaccional y sus componentes Criterio general de la faceta interaccional Criterios específicos según componentes Los patrones de interacción deberían permitir identificar los conflictos semióticos potenciales, poner los medios adecuados para su resolución, favorecer la autonomía progresiva en el aprendizaje y el desarrollo de competencias comunicativas en los estudiantes. Interacciones docente-discente –Adaptar los modos de interacción teniendo en cuenta los momentos del proceso de estudio, aplicando un formato dialógico-colaborativo en los momentos de primer encuentro con el contenido y atribuyendo autonomía al estudiante en los momentos de ejercitación y aplicación. –Hacer una presentación adecuada del tema (presentación clara y bien organizada, no hablar demasiado rápido, enfatizar los conceptos clave del tema, etc.). –Reconocer y resolver los conflictos de los alumnos (se hacen preguntas y respuestas adecuadas, etc.). –Buscar llegar a consensos con base al mejor argumento. –Usar diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y captar la atención de los estudiantes. –Facilitar la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. –Potenciar la participación y el compromiso activo de todos los estudiantes. Interacciones entre estudiantes –Favorecer el diálogo y comunicación entre los estudiantes. –Favorecer la inclusión en el grupo y evitar la exclusión. Autonomía –Contemplar momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos). Evaluación formativa –Observar de manera sistemática el progreso cognitivo de los alumnos y usar la información obtenida para tomar decisiones sobre el desarrollo de la instrucción. 294 Un principio fundamental de Freudenthal (1991) es que se debe dar a los estudiantes una «oportunidad guiada» de «reinventar» las matemáticas. Esto implica que, en la EMR, tanto los profesores como los programas educativos tienen un papel fundamental en cómo los estudiantes adquieren los conocimientos. Ellos dirigen el proceso de aprendizaje, pero no de una manera fija mostrando lo que los estudiantes tienen que aprender. Esto estaría en contradicción con el principio de actividad (Van den Heuvel-Panhuizen y Wijers, 2005) y daría lugar a comprensiones falsas. Por el contrario, los estudiantes necesitan espacio y herramientas para la construcción de conocimientos matemáticos por sí mismos. Con el fin de alcanzar este estado deseado, los profesores tienen que proporcionar a los alumnos un ambiente de aprendizaje en el que el proceso de construcción pueda surgir. La toma de decisiones sobre la progresión del estudio, tanto por parte del docente como de los estudiantes, requiere la puesta en práctica de procedimientos de observación y encuesta para una evaluación formativa de los aprendizajes. 5.3.5. Faceta cognitiva Como ya hemos puesto de manifiesto, en el EOS se asume que el aprendizaje implica la apropiación por parte de los estudiantes de los significados institucionales planificados, lo que supone el reconocimiento e interrelación por su parte de los objetos que intervienen en las prácticas matemáticas que los determinan. El acoplamiento progresivo entre los significados personales iniciales de los estudiantes y los significados institucionales previstos o efectivamente implementados se logra mediante su participación en la comunidad de prácticas generada en la clase. En la Tabla 5.5A enunciamos el criterio general de la idoneidad cognitiva y los criterios específicos de sus componentes. 295 Tabla 5.5A. Criterios de idoneidad para la faceta cognitiva y sus componentes Criterio general de la faceta cognitiva Criterios específicos según componentes Los objetivos de aprendizaje deberían suponer un reto cognitivo alcanzable para los estudiantes, teniendo en cuenta sus circunstancias personales y contextuales. Además, los significados personales logrados por los estudiantes deberían ser concordantes con los significados institucionales planificados. La evaluación de los aprendizajes debería servir para mejorar el proceso instruccional. Significados personales –Promover la comprensión de las situaciones-problemas, representaciones, conceptos y propiedades. –Desarrollar la competencia comunicativa, procedimental y argumentativa. Relaciones (conexiones) –Promover que el aprendizaje sea de tipo relacional, de modo que los estudiantes sean capaces de comprender y relacionar los distintos significados incluidos en el proceso de enseñanza y los objetos implicados. Procesos –Promover el desarrollo de la competencia del estudiante para implementar procesos matemáticos específicos del contenido (modelización, generalización, planteamiento y resolución de problemas, prueba, representación…) y procesos metacognitivos (reflexión sobre los propios procesos de pensamiento matemático). Conocimientos previos –Tener en cuenta los conocimientos previos que tienen los estudiantes para abordar el estudio del contenido pretendido. Diferencias individuales –Apoyar el aprendizaje de los estudiantes teniendo en cuenta sus diferencias individuales en los conocimientos previos, estilos de aprendizaje y niveles de comprensión y competencia. Evaluación de los aprendizajes –Comprobar regularmente el progreso de los aprendizajes para tomar decisiones instruccionales de mejora (evaluación formativa). La idoneidad cognitiva se atribuye a un proceso instruccional como un rasgo graduable ligado al logro de unos objetivos de aprendizaje que demandan un esfuerzo alcanzable, acordes con unas matemáticas ricas y adaptadas a las circunstancias personales y contextuales. Este enunciado del criterio general de idoneidad cognitiva está inspirado en el concepto de zona de desarrollo próximo (Vygotsky, 1934), por lo que los objetivos de aprendizaje deben implicar el desarrollo de 296 conocimientos y competencias matemáticas valiosas que impliquen un esfuerzo alcanzable con el apoyo del profesor y los compañeros, teniendo en cuenta los conocimientos previos y capacidades individuales —principio de equidad (NCTM, 2000)—. Se asume un aprendizaje relacional y con comprensión de los significados institucionales. La evaluación de los aprendizajes logrados debería tener en cuenta las características personales de los estudiantes y los distintos niveles de comprensión y competencia que pueden alcanzar. En la Tabla 5.5B formulamos criterios específicos para los subcomponentes de la faceta cognitiva de nivel III. Tabla 5.5B. Criterios de idoneidad para subcomponentes de Nivel III de la faceta cognitiva Subcomponente Criterios específicos Comprensión situacional –Promover y evaluar la resolución correcta de situaciones-problemas y tareas de aprendizaje que supongan un reto alcanzable para los estudiantes. Competencia comunicativa –Promover y evaluar la competencia comunicativa con diferentes modos de expresión matemática correcta. Comprensión conceptual y proposicional; Competencia procedimental –Promover y evaluar la comprensión conceptual y proposicional correcta. –Promover y evaluar la competencia procedimental correcta. Competencia argumentativa –Promover y evaluar la competencia argumentativa. Tres de los seis principios formulados por el NCTM (2000) sobre la enseñanza de las matemáticas tienen relación con la idoneidad cognitiva. El principio de equidad indica: «La excelencia en la educación matemática requiere igualdad, grandes expectativas y un fuerte apoyo para todos los estudiantes» (p. 16). Se exige que se hagan adaptaciones razonables y apropiadas, y que sean incluidos contenidos motivadores para promover el acceso y el logro de todos los estudiantes. El principio de aprendizaje asume que «Los estudiantes deben aprender las matemáticas entendiéndolas, construyendo activamente el nuevo 297 conocimiento a partir de sus experiencias y conocimientos previos» (p. 16). Así mismo, el principio de evaluación afirma que, «La evaluación debe apoyar el aprendizaje de matemáticas relevantes y proveer de información útil tanto a profesores como estudiantes» (p. 16). 5.3.6. Faceta afectiva La resolución de cualquier problema matemático lleva asociada una situación afectiva para el sujeto implicado, quien pone en juego no solamente sus conocimientos para resolverlo, sino también moviliza emociones, actitudes, creencias y valores que condicionan en mayor o menor grado su respuesta. Se consideran los procesos afectivos como entidades psicológicas que describen estados o rasgos mentales más o menos estables, o disposiciones para la acción de los sujetos. Pero, desde el punto de vista didáctico, el logro de unos estados afectivos que interaccionen positivamente con el dominio cognitivo tiene que ser objeto de consideración por parte de las autoridades educativas y por el profesor (Gómez-Chacón, 2000) cuyo trabajo queda condicionado por normas institucionales de carácter afectivo. La mayor o menor idoneidad afectiva del proceso en cuestión se basa en el grado de implicación, interés, motivación, autoestima y disposición de los estudiantes. Las creencias sobre las matemáticas y su estudio también influyen en el aprendizaje y, por tanto, es necesario tenerlas en cuenta. La idoneidad afectiva se atribuye a un proceso instruccional como una característica graduable dependiente de rasgos del ámbito de las emociones, creencias y actitudes que se promueven y manifiestan en el mismo. En la Tabla 5.6 formulamos el criterio general de idoneidad afectiva y criterios particulares para los distintos componentes de esta faceta, que no son exclusivos de la instrucción matemática, esto es, tienen un carácter general. Estos criterios concuerdan con principios asumidos por diversas investigaciones acerca de las interacciones entre los dominios cognitivo y afectivo en el aprendizaje matemático (Beltrán-Pellicer y Godino, 2020; Gómez-Chacón, 2000; McLeod, 1992). 304 sos. En Beltrán-Pellicer et al. (2018) se elaboran indicadores específicos de idoneidad didáctica para el tema de la probabilidad. También se describe su uso por un profesor como instrumento de reflexión sobre una experiencia de enseñanza de la probabilidad en educación secundaria. 5.5. Ejemplo de aplicación de la teoría de la idoneidad didáctica. Reflexión sobre una experiencia de enseñanza de la proporcionalidad24 En este apartado incluimos un ejemplo de uso de la herramienta idoneidad didáctica descrito en Aroza et al. (2016). Se trata de una experiencia de enseñanza realizada en la fase de prácticas del máster de formación inicial de profesorado de secundaria en la especialidad de Matemáticas. 5.5.1. Descripción de la experiencia de enseñanza La unidad didáctica se impartió en un grupo de primer curso de educación secundaria (alumnos de 12-13 años). Se trataba de una clase de 30 alumnos, compuesta por 8 alumnas y 22 alumnos, en la que había un alto índice de alumnado inmigrante (40%, 9 nacionalidades de origen diferentes), lo que suponía cierta heterogeneidad y diversidad cultural. Era difícil mantener el ambiente adecuado, siendo necesario llamarles la atención a menudo. Más de la mitad de los alumnos presentaban actitudes negativas hacia el estudio y las matemáticas debido, en parte, al desajuste curricular que arrastraban 17 de ellos desde la etapa de primaria, con muchas dificultades de comprensión de conceptos matemáticos básicos y procedimentales. El resto de los alumnos mostraba motivación e interés por la asignatura. 24 El contenido de esta sección está basado en el artículo, Aroza, C. J., Godino, J. D. y Beltrán-Pellicer, P. (2016). Iniciación a la innovación e investigación educativa mediante el análisis de la idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza sobre proporcionalidad. Aires, 6(1), 1-29. 305 El proceso de estudio implementado seguía básicamente la orientación y contenidos propuestos en el libro de texto (Colera y Gaztelu, 2010) usado en el instituto. Siguiendo el libro de texto, la unidad didáctica se impartió en once sesiones donde, además de las explicaciones (nociones teóricas), se resolvieron tareas. La última sesión se reservó para una prueba de evaluación, para comprobar el nivel de comprensión de los alumnos y el nivel de aprendizaje en la resolución de los distintos tipos de tareas de proporcionalidad y porcentajes. Los autores del libro de texto enfatizaban una visión de las matemáticas como reglas o algoritmos a seguir, ilustradas con ejemplos de cómo interpretar tales reglas, seguidas de ejercitación procedimental para el dominio de su aplicación. Las sesiones solían comenzar corrigiendo las tareas que los alumnos llevaban propuestas para realizar en casa y con un recordatorio de lo que se estudió en la sesión anterior. Se les preguntaba a los estudiantes las dudas o dificultades que se les habían presentado, para hacer hincapié en los conceptos o procedimientos implicados y afianzar los conocimientos clave. Posteriormente, se comenzaba a explicar la materia nueva. La introducción de contenido nuevo de la unidad didáctica se procuraba realizar siempre a través de ejemplos sencillos en situaciones de la vida cotidiana, aumentando el nivel de dificultad de forma gradual. Además, durante la explicación, se iban haciendo preguntas de los contenidos que los alumnos ya habían adquirido, para que mantuvieran el nivel de atención y siguieran la explicación. Posteriormente, para desarrollar las explicaciones teóricas, se realizaban algunas tareas-ejemplos contextualizadas en situaciones de la vida real y se trataba de poner especial atención en los errores y dificultades que les podían surgir. Se hacía necesario enfatizar sobre los procedimientos y notaciones clave empleadas, tratando de justificarlos lo máximo posible. En esta fase de resolución de tareas, se fomentaba la participación del alumno en clase mediante preguntas frecuentes y salidas a la pizarra, para mantener su nivel de atención. En todo momento se siguió el orden y los contenidos del libro de texto, utilizándolo como guion, de modo que los alumnos pudieran 306 acceder con facilidad a la materia, aunque en algunos casos se aportaban ejemplos y tareas que no aparecían en el mismo. En cuanto a la manera de trabajar en clase, los alumnos realizaban de forma individualizada algunas tareas relacionadas con la explicación previamente impartida. No obstante, se les permitía comentar las dudas con el compañero de clase, mientras el profesor trataba de resolver otras dudas al resto de los alumnos de forma personalizada. Más tarde o en la sesión posterior, las tareas eran corregidas en la pizarra normalmente por el profesor, aunque, algunas veces, eran los propios alumnos quienes indicaban los pasos necesarios y el mismo profesor las escribía en la pizarra; en esporádicas ocasiones, se realizaban salidas de los alumnos a la pizarra para su resolución. En todas las correcciones de las tareas, se trataba de enfatizar mucho sobre los errores que se hacían para que, de este modo, aprendieran a no cometerlos en futuras situaciones. Al finalizar la unidad didáctica, los alumnos fueron examinados mediante una prueba de evaluación por escrito para comprobar si estos aprendieron los contenidos y alcanzaron los objetivos que se habían propuesto. El examen, que solo fue aprobado por el 57% de los alumnos, constaba de 10 tareas. En Aroza et al. (2016) se describen los tipos de tareas y explicaciones del libro de texto, la prueba de evaluación de los aprendizajes aplicada y los principales errores cometidos por los estudiantes. 5.5.2. Conocimientos didáctico-matemáticos sobre proporcionalidad y porcentajes El objetivo del proceso formativo descrito en Aroza et al. (2016) era conducir al futuro profesor a realizar un análisis de la idoneidad didáctica del proceso de enseñanza implementado, e identificar propuestas de cambio fundamentadas. Se utilizaron los criterios de idoneidad didáctica propuestos en Godino (2013) complementados con criterios derivados de una recopilación y síntesis de las principales investigaciones e innovaciones relacionadas sobre la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad y los porcentajes. Con ayuda del 307 tutor, se identificaron, sintetizaron y clasificaron, los conocimientos didáctico-matemáticos sobre la proporcionalidad, según las facetas epistémica, ecológica, mediacional, interaccional, cognitiva y afectiva. 5.5.3. Valoración de la idoneidad didáctica y propuestas de cambio La aplicación de la herramienta idoneidad didáctica lleva a plantear las siguientes cuestiones: a. ¿Cuál es el grado de idoneidad didáctica del proceso de enseñanza-aprendizaje sobre la proporcionalidad y porcentajes, vivido como observador participante durante el periodo de prácticas de enseñanza en primer curso de educación secundaria? b. ¿Qué cambios se podrían introducir en el diseño e implementación del proceso de estudio, para incrementar su idoneidad didáctica? Incluimos, a continuación, una síntesis del análisis y valoración del informe descrito en Aroza et al. (2016). 1. Facetas epistémica y ecológica El proceso de estudio implementado siguió básicamente los contenidos y orientaciones propuestas en el libro de texto (Colera y Gaztelu, 2010), que se usaba para 1º de ESO en el instituto en el que se realizó la práctica docente. En este, a lo largo de todo el desarrollo de la unidad didáctica, se plantea únicamente un enfoque «aritmético» de la proporcionalidad, faltando el enfoque o desarrollo geométrico y el algebraico, precedidos incluso por algunas actividades de carácter intuitivo y cualitativo. Además, el concepto de la proporcionalidad, desde este enfoque aritmético, se reduce básicamente a la transmisión de un algoritmo (la regla de tres), que hay que saber aplicar y operar en cada caso. Para desarrollar este método, el libro de texto reduce el concepto de «proporción» a un nuevo nombre para dos fracciones equivalentes y el de «la razón» a un nuevo nombre para la fracción, no contemplándose otro tratamiento o tareas que ayuden al alumno 308 a desarrollar el razonamiento proporcional mediante la reflexión. Desde el punto de vista de la estructuración del contenido, este algoritmo no se debería haber introducido hasta que el alumno tuviera un cierto dominio de otros métodos de comprobación y resolución más intuitivos. Resulta evidente que su contenido es básicamente procedimental, haciendo de la «regla de tres» el único método de resolución de los problemas de proporcionalidad, centrando al alumno en una actuación meramente mecánica, vacía de conceptos, razonamientos y reflexión sobre si los problemas que se plantean son o no de proporcionalidad. Ahora bien, debido a los contextos en los que se tratan los conceptos y sobre todo las tareas que se proponen a lo largo del desarrollo de la unidad didáctica, se vio enriquecido el estudio de algunos otros contenidos intradisciplinares, como los números racionales, la equivalencia de fracciones, los números decimales y el sistema métrico decimal; y otros contenidos interdisciplinares como la física, la química y la economía, reconociéndose y aplicándose en estos últimos, propiedades de la proporcionalidad y los porcentajes. Todo ello contribuyó a la formación sociocultural y profesional de los alumnos, destacándose en este sentido la parte del libro relativa a los porcentajes. En cuanto a la serie de tareas contenidas en el libro de texto y que se propusieron a los alumnos para su resolución, suponen una muestra representativa para ejercitar y aplicar el contenido pretendido, aunque se omiten actividades en las que los alumnos tengan que formular sus propios problemas de proporcionalidad y porcentajes, tal y como aconsejan los indicadores de idoneidad epistémica. En referencia al lenguaje matemático empleado, este fue el adecuado para un nivel educativo de primero de educación secundaria, aunque, tanto en la parte de tareas como en la parte de los desarrollos conceptuales, se pudo comprobar el empleo de una pobre tipología de expresiones y representaciones matemáticas, destacándose únicamente el empleo del lenguaje simbólico y numérico mediante tablas de valores. Esto es debido a la inexistencia de los tratamientos o 309 enfoques geométrico y algebraico de la proporcionalidad, que echan mano principalmente en sus desarrollos del lenguaje gráfico (función lineal) y manipulativo (construcción de figuras semejantes). Desde la perspectiva ecológica, la proporcionalidad es introducida en el libro mediante ejemplos, que llevan a definir cuándo existe proporcionalidad directa o inversa entre dos magnitudes, echándose en falta definiciones conceptuales fundamentales como son los de la «razón», la «proporción» y la «constante de proporcionalidad», que no son mencionadas en alguna sección del libro y que sí se recogen como conceptos clave en las orientaciones curriculares para este nivel educativo. En consecuencia, por las razones mencionadas anteriormente, se podría calificar la idoneidad epistémica y ecológica del proceso de enseñanza implementado como baja. 2. Facetas cognitiva y afectiva Uno de los errores y dificultades más significativos, detectados en algunos alumnos mediante los dos instrumentos de evaluación aplicados fue no saber distinguir entre la proporcionalidad directa e inversa, ni entre situaciones proporcionales y no proporcionales. El libro de texto dedicaba muy poco contenido a esta cuestión y hubiera sido conveniente dedicarle algo más de tiempo e incluso enfatizarlo aún más, dándole una mayor importancia a la proporcionalidad desde un tratamiento cualitativo para pasar después al aspecto cuantitativo. Respecto a la secuenciación temporal del contenido curricular, se justificó suficientemente, (apoyado por lo expuesto anteriormente en la parte de la faceta epistémica), retrasar el estudio de la proporcionalidad y porcentajes en la programación didáctica del centro, anteponiendo unidades didácticas relacionadas con la semejanza de figuras y con las funciones lineales, que sirvan como sustento a los diferentes tratamientos que requiere el tema. Desde el enfoque aritmético de la proporcionalidad que propone el libro de texto, los conocimientos previos que se requieren para el estudio de proporcionalidad y porcentajes son las fracciones y 310 su equivalencia, la resolución de problemas básicos de aritmética, las operaciones con números decimales y relaciones entre fracciones y números decimales. Todos estos contenidos se impartieron en unidades anteriores según la programación didáctica del centro. Sin embargo, los resultados obtenidos en las dos evaluaciones llevadas a cabo (corrección de tareas de clase y examen evaluativo formativo) no fueron muy satisfactorios, pese a que los contenidos impartidos de la proporcionalidad y porcentajes fueron de un nivel de dificultad accesible y acorde al de primer curso de secundaria. Muchos de los alumnos presentaron serias dificultades y errores a la hora de operar con números decimales y fracciones, por lo que se debería haber dedicado una sesión inicial al repaso de estos conocimientos previos. Uno de los aspectos positivos del libro de texto es que, en la sección de tareas, todas ellas venían marcadas con un código de triángulos, según el nivel de dificultad que presentaban, lo que simplificó el trabajo de adaptación curricular, proponiendo para algunos alumnos tareas de refuerzo y para otros, en el menor de los casos, tareas de ampliación. Gracias a ello, se facilitó el logro de los aprendizajes pretendidos de la unidad didáctica a todos los alumnos de la clase, que partían desde su propio y personal nivel de conocimiento. Para evaluar el ritmo y el nivel de aprendizaje de los alumnos sobre el contenido impartido, se utilizaron dos instrumentos de evaluación: la recogida y corrección de una serie representativa de tareas, a mitad de la unidad didáctica y un examen de evaluación formativa, al final de esta. Estos dos instrumentos tuvieron en cuenta en su calificación, los distintos niveles de adquisición del aprendizaje pretendido y, una vez corregidos, se repartieron entre los alumnos para que comprobasen y revisasen donde habían cometido los errores. Además, mediante el instrumento evaluativo aplicado a mitad de la unidad didáctica, se pretendió detectar dónde se habían producido las dificultades y errores más comunes, para tratar de adaptar y reconducir la enseñanza, enfatizando más sobre los conceptos y procedimientos clave implicados. Por otra parte, que el contenido y la serie de tareas propuestas del libro de texto tuvieran familiaridad con el contexto, enriqueció 311 bastante la propuesta didáctica, no solo en el aspecto atencional y motivacional, ya que los alumnos valoraban la utilidad de esta parte de las matemáticas en sus vidas, sino porque, facilitó su entendimiento a la hora de recibir instrucciones con las que debían enfrentarse a los problemas. La dinámica desarrollada a lo largo de las sesiones pretendió sistematizar e incentivar una constancia del trabajo en el alumno: atender a las explicaciones del profesor, empezar a trabajar las tareas de la materia impartida en clase y terminar de hacer las tareas en casa. También, la realización de las tareas por parejas y la socialización de sus correcciones a lo largo de las sesiones de clase, con preguntas frecuentes y salidas esporádicas a la pizarra, contribuyeron a potenciar la autoestima de los alumnos a la hora de enfrentarse a problemas de proporcionalidad y todos los alumnos mostraron siempre una actitud muy positiva para este tipo de estrategia de trabajo, promoviéndose la participación de los alumnos en las tareas. En consecuencia, se puede calificar la idoneidad cognitiva-afectiva del proceso implementado como de media-baja por las razones antes mencionadas. 3. Facetas interaccional y mediacional Los modos de interacción en el aula en la experiencia docente respondieron básicamente a un modelo tradicional: el profesor primero explicaba los conceptos y procedimientos, ejemplificándolos en contextos de la vida cotidiana para hacerlos más claros y enfatizando los contenidos clave, para que posteriormente, los alumnos realizaran diversas tareas relacionadas con lo impartido. Hubiera sido deseable introducir algunos cambios en el proceso de enseñanza, orientados a que los alumnos planteasen cuestiones y presentasen soluciones; explorando ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usando una mayor variedad de herramientas para razonar, argumentar, hacer conexiones, resolver dificultades y comunicarlas. Fueron escasos los momentos en los que se concedía un grado de autonomía a los estudiantes, exceptuando los momentos de trabajo 312 individual para la realización de las tareas propuestas para casa. Por el contrario, en el trabajo de las tareas en clase, a los alumnos se les permitían que realizasen consultas por parejas con su compañero de pupitre, lo que favoreció el diálogo, la argumentación y la comunicación entre ellos. Igualmente sucedía con las salidas esporádicas de algunos alumnos a la pizarra durante la fase de resolución de las tareas, o con las preguntas dirigidas a los alumnos durante la fase de explicación del profesor. Estas prácticas didácticas no solo contribuyeron a implicar y captar la atención y la motivación de los alumnos, sino que también facilitó la inclusión de los alumnos en la dinámica de clase. En esta experiencia de enseñanza se utilizaron únicamente los recursos propios del aula del instituto al alcance de los alumnos: pizarra, proyector, libro de texto y calculadora. No se emplearon recursos manipulativos ni otros recursos tecnológicos, ya que en realidad no se consideraron necesarios para apoyar la enseñanza y aprendizaje de los contenidos planificados. Con respecto a la componente temporal de la idoneidad instruccional, fue escaso el empleo de las sesiones dedicadas al desarrollo del contenido más importante, de tipo conceptual y procedimental de la proporcionalidad y porcentajes, en sus cuatro enfoques o aproximaciones (intuitivo, geométrico, aritmético y algebraico). El número de alumnos (30) y su distribución fueron idóneos, pero el horario de las clases de matemáticas no fue el adecuado. De las cinco horas semanales de clase, tres estaban colocadas por la mañana antes del recreo, pero las dos horas restantes se situaban a última hora, el último día de la semana. Este hecho no favorecía un nivel adecuado de atención y motivación en clase del alumno, por lo que su comportamiento era complicado de gestionar en estas horas de trabajo. La mejora de la idoneidad interaccional y mediacional del proceso nos llevaría a incluir actividades y tareas con material manipulativo y con recursos informáticos (Godino y Batanero, 2003) que pueden constituir herramientas novedosas y útiles para alcanzar los aprendizajes pretendidos. Podemos concluir que la aplicación de los 313 criterios de idoneidad didáctica ayuda a sistematizar los conocimientos didácticos y su aplicación a la reflexión y mejora progresiva de la práctica de la enseñanza. 5.6. Concordancias y complementariedades con otras teorías25 En Godino (2021) iniciamos la comparación de los principios didácticos de la Teoría de Situaciones Didácticas en Matemáticas (TSDM, Brousseau), la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD, Chevallard), la Educación Matemática Realista (EMR, Freudenthal) y los criterios de idoneidad basados en EOS. Seguidamente incluimos una síntesis de los resultados de dicha comparación. Consideramos pertinente interpretar como criterios de idoneidad algunos principios didácticos de la TSDM, la TAD y la EMR, aplicando las facetas y componentes de la idoneidad didáctica que propone el EOS. Esto permite identificar algunas concordancias y complementariedades entre estos marcos teóricos. Reconocemos, no obstante, que el análisis aquí realizado es limitado, dada su complejidad; su ampliación y profundización deberá ser objeto de otros trabajos. 5.6.1. Faceta epistémica Las cuatro teorías concuerdan en atribuir un papel central a las situaciones-problemas (cuestiones-tareas) para el logro de una alta idoneidad epistémica en los procesos instruccionales. La caracterización de situaciones fundamentales para los distintos saberes incluidos en el currículo matemático escolar es uno de sus objetivos prioritarios en la TSDM. La noción de recorrido de estudio e investigación de la TAD fija la atención en la búsqueda de cuestiones generativas 25 El contenido de esta sección está basado en el artículo, Godino, J. D. (2021). De la ingeniería a la idoneidad didáctica en educación matemática. Revemop, e202129, 1-26, 2021. 320 Tabla 5.11. Síntesis de la TID-EOS Elementos Descripción Breve resumen. ¿De qué trata la teoría y cuáles son sus principales proposiciones? Desarrolla un sistema de criterios para la optimización local del diseño, implementación y evaluación de los procesos educativos-instruccionales en matemáticas, basados en los supuestos y constructos del EOS. Los criterios de idoneidad son juicios de valor sobre las acciones didácticas preferentes que se deberían realizar en las distintas facetas y componentes que estructuran los procesos educativos (epistémica, ecológica, mediacional, interaccional, cognitiva y afectiva) para optimizar el aprendizaje matemático, teniendo en cuenta las circunstancias personales y el contexto educativo. Ámbito/objetivo. ¿Qué fenómenos pretende explicar la teoría? El objetivo es optimizar los procesos educativos-instruccionales en matemáticas ayudando a diseñar e implementar unas buenas matemáticas, seleccionar recursos y estrategias didácticas para optimizar el aprendizaje. No es una teoría explicativa, sino que desarrolla un sistema de criterios (normas o principios) sobre actuaciones preferentes para optimizar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Los criterios están basados en los supuestos sobre las matemáticas del EOS. También se identifican concordancias con criterios similares basados en otras teorías de educación matemática. Justificación. ¿Por qué es necesaria la teoría y cómo mejora las teorías anteriores? Cuando se asume que la educación matemática, además de un componente científico (descriptivo, explicativo, predictivo), tiene un componente tecnológico (prescriptivo) se necesita elaborar pautas para indicar los tipos de actuaciones que se deberían implementar para mejorar los procesos educativos. Dichos criterios deben estar fundamentados en los resultados de las investigaciones y ser consecuencias racionales de los supuestos teóricos asumidos. La TID-EOS aporta una visión ampliada de los modelos teóricos sobre calidad de la instrucción matemática, que tiene en cuenta las circunstancias contextuales en la formulación de los criterios de idoneidad y los considera además como principios ponderables y no como reglas generales de actuación. Hipótesis. ¿Qué hipótesis específicas plantea la teoría y en qué se diferencian de otras teorías? La optimización de la idoneidad requiere la ponderación de los criterios en las diferentes facetas y componentes según las circunstancias del contexto (sujetos, recursos, fines educativos), teniendo en cuenta las interacciones entre facetas. La optimización es local siendo el profesor quien puede ponderar la importancia relativa de los criterios de idoneidad según los sujetos y circunstancias del contexto. Otras teorías sobre la calidad de la instrucción atribuyen un carácter más esencialista a las normas y atienden o dan prioridad a algunos aspectos parciales del proceso educativo-instruccional. 321 Constructos. ¿Cuáles son los elementos de la teoría? El constructo idoneidad didáctica se formula como un rasgo graduable de los procesos educativos-instruccionales, o de una parte. Usa las nociones de significado personal e institucional entendidos en el marco del EOS, así como el modelo de estructura de facetas y componentes de un proceso educativo-instruccional. Los criterios de idoneidad pueden ser generales, referidos a cada una de las facetas, o parciales, relativos a las componentes y subcomponentes, y son entendidos como principios ponderables según las circunstancias del contexto y no como reglas generales de actuación. Relaciones. ¿Cómo se relacionan entre sí los elementos de la teoría? Los criterios de idoneidad se formulan teniendo en cuenta los constructos y postulados del EOS sobre la actividad matemática y el significado. En su conjunto se estructuran usando las facetas, componentes y subcomponentes de un proceso educativo-instruccional. Procedencia. ¿En qué teorías se basa y cómo? Se basa en la asunción del carácter científico y tecnológico de la educación matemática, lo que lleva a la necesidad de buscar criterios para optimizar la actividad didáctica. Aunque cualquier teoría educativa, incluso cada profesor tiene sus propios criterios de idoneidad, la TID-EOS se basa en los postulados y constructos de la teoría de la actividad matemática y objetos emergentes (Capítulo 2), la teoría del significado y la cognición matemática (Capítulo 3) y la teoría del diseño educativo basado en el EOS (Capítulo 4). Semejanza. ¿A qué teorías se parece más esta teoría? Esta teoría guarda relación con los diferentes modelos teóricos sobre la calidad de la instrucción matemática. Complementariedad. ¿Con qué teorías puede complementarse? La TID-EOS está abierta al refinamiento de los criterios formulados y a la incorporación de nuevos criterios procedentes de las teorías de la calidad de la instrucción y otros modelos teóricos de educación matemática coherentes con los supuestos del EOS. Los criterios de idoneidad sobre el estudio de contenidos específicos se deben apoyar en los resultados de las investigaciones didácticas sobre dichos contenidos. Operacionalización. ¿Cómo se miden o identifican los constructos? La idoneidad didáctica es un rasgo graduable de los procesos educativo-instruccionales, puede ser mayor o menor. Los criterios se formulan como juicios de valor, «se debería hacer esto». El sistema de criterios de idoneidad para las diferentes facetas y componentes es una guía para la reflexión sistemática sobre la práctica docente. Queda pendiente de elaborar un sistema de rúbricas con indicadores observables que permitan la medición objetiva del grado de cumplimiento de los criterios. 322 Usos. ¿Para qué puede utilizarse la teoría? La TID-EOS aporta una guía para diseñar procesos instruccionales en matemáticas localmente idóneos (óptimos) para lograr los fines educativos planificados. Ayuda a tomar conciencia de la complejidad de conseguir un equilibrio ponderado entre las diferentes facetas implicadas (epistémica, ecológica, mediacional, interaccional, cognitiva y afectiva). También se usa la guía para la evaluación del diseño e implementación de los procesos instruccionales ayudando a identificar aspectos que pueden ser mejorables. Es, por tanto, un recurso para la reflexión de los profesores de matemáticas sobre su propia práctica. Referencias Andrew, L. (2007). Comparison of teacher educators’ instructional methods with the constructivist ideal. The Teacher Educator, 42(3), 157-184. Aroza, C. J., Godino, J. 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Puesto que el profesor es el principal agente del diseño, implementación y evaluación de dichos procesos debemos plantear las cuestiones: a) ¿Qué conocimientos y competencias deberían tener los profesores para desempeñar su labor docente de forma óptima?; b) ¿Qué características deberían reunir los programas idóneos para la formación de profesores de matemáticas?; c) ¿Qué conocimientos y competencias deberían tener los formadores de profesores de matemáticas para desempeñar su labor formativa de manera óptima? En este capítulo abordamos estas cuestiones, elaborando una teoría del desarrollo profesional docente en matemáticas basada en los supuestos del EOS (Teoría DPD-EOS). Esta teoría incluye: 1. Un sistema de los conocimientos y competencias que debería tener el profesor para el diseño, implementación y evaluación 328 de procesos educativo-instruccionales idóneos de matemáticas (modelo CCDM-Profesor; Godino et al., 2017). 2. Un sistema de criterios o estándares de las características que debe reunir un programa idóneo de formación de profesores de matemáticas que les capacite para el diseño, implementación y evaluación de procesos educativo-instruccionales de matemáticas con alta idoneidad didáctica (Godino et al., en revisión). 3. Un sistema de los conocimientos y competencias que debería tener el formador de profesores de matemáticas para el diseño, implementación y evaluación de procesos formativos idóneos (modelo CCDM-Formador). El modelo CCDM-Profesor está basado en la TID-EOS, esto es, los conocimientos y competencias que deberían tener los profesores dependen de las características que deberían tener los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. En cambio, el modelo CCDM-Formador depende de las características del proceso formativo sobre didáctica de las matemáticas. En consecuencia, es necesario partir del sistema de criterios de idoneidad de los procesos educativo-instruccionales de matemáticas (Capítulo 5) e interpretar qué conocimientos se requieren. Esto es, clarificar cómo es un buen programa de instrucción matemática e identificar lo que se requiere para lograrlo. En la teoría DPD-EOS abordamos la caracterización del trabajo del formador de profesores de matemáticas, extendiendo de este modo, tanto la TID-EOS como el modelo CCDM. Para ello debemos identificar los criterios de idoneidad de los procesos de formación sobre didáctica de las matemáticas e inferir los conocimientos y competencias del formador de profesores, que incluirán los relativos a la instrucción matemática y a la formación didáctico-matemática de los profesores. El ámbito u objetivo de la teoría DPD-EOS concuerda, para el caso de la educación matemática, con la problemática de investigación que se interesa por «construir las bases de una pedagogía de la for- 329 mación de profesores en la forma de principios fundamentales para los programas y prácticas de la educación de profesores» (Korthagen et al., 2006, p. 1022). Así articulamos dos líneas de investigación en el campo de la formación de profesores de matemática, la interesada por desarrollar categorías de conocimientos y competencias y la de identificar principios de eficiencia de los programas formativos de profesores. En la Sección 6.1 incluimos la conceptualización del desarrollo profesional docente y una síntesis de antecedentes sobre sistemas de categorías de conocimientos del profesor de matemáticas y programas eficientes de desarrollo profesional. La estructura de facetas y componentes de un proceso educativo-instruccional propuesta en el Capítulo 4 (Figura 4.1) es la base para estructurar el sistema de criterios de idoneidad didáctica y el de conocimientos y competencias de los profesores y formadores de profesores. En la Sección 6.2 ampliamos esta estructuración distinguiendo las fases de fundamentación, planificación, implementación y evaluación, identificando diversas actividades en los procesos formativos de profesores. En la Sección 6.3 interpretamos el sistema de criterios de idoneidad didáctica de procesos educativos-instruccionales elaborado en el Capítulo 5 en términos de criterios de idoneidad de los procesos de formación de profesores, entendiendo que los profesores deben adquirir una formación que les capacite para diseñar, implementar y evaluar procesos de instrucción matemática optimizando la idoneidad didáctica. Esa labor profesional implica que los profesores de matemáticas deben adquirir el sistema de conocimientos y competencias que describimos en la Sección 6.4. La relación que establecemos entre criterios de idoneidad didáctica y conocimientos didáctico-matemáticos, con base en las facetas, componentes, subcomponentes y elementos de un proceso educativo-instruccional (Capítulo 4), nos permite refinar y ampliar el modelo de conocimientos del profesor previamente elaborado (Godino, 2009; Pino-Fan y Godino, 2015). En la Sección 6.5 ampliamos el uso de los criterios de idoneidad, aplicados en el Capítulo 5 a procesos de instrucción matemática, a los procesos formativos de profesores, lo 336 formación de profesores. En este caso los conocimientos, habilidades y disposiciones implicados en los procesos de instrucción matemática deben formar parte de la faceta epistémica (conocimientos institucionales) del proceso formativo. El formador de profesores deberá tener en cuenta, además, los conocimientos, habilidades y disposiciones de las restantes facetas del proceso formativo que tienen como objeto la enseñanza y aprendizaje de contenidos didáctico-matemáticos. Los componentes y subcomponentes de las facetas epistémica y cognitiva que se incluyen en la Figura 4.1 (Capítulo 4) se derivan de la configuración ontosemiótica, en su versión epistémica (significados institucionales) y cognitiva (significados personales) y de los tipos de objetos y procesos matemáticos implicados. El nivel IV de análisis (Elementos) describe los distintos bloques de contenido matemático (aritmética, geometría, álgebra, estadística, etc.) sobre los que la investigación en educación matemática viene produciendo conocimientos y recursos, que deben ser tenidos en cuenta por los profesores y formadores de profesores. Si el proceso instruccional es sobre matemáticas, la estructura representada en la Figura 4.1 (Capítulo 4) se aplica a los conocimientos que el profesor pone en juego sobre las matemáticas a enseñar y demás facetas implicadas. Se propone, por tanto, un modelo que desarrolla otros relacionados, como el MKT (Ball, Thames et al., 2008), o el CDM (Pino-Fan y Godino, 2015; Godino et al., 2017). El foco de interés en este capítulo es el proceso formativo de profesores de matemáticas, que involucra las actividades de formación y la de aprendizaje docente (Figura 6.2) y cuyo desarrollo óptimo está estrechamente relacionado con el proceso de instrucción matemática. En la Figura 6.2, la actividad 1 (formación de profesores) tiene como sujeto al formador y como objeto el diseño de programas y acciones formativas para el DPD. La actividad 2 (aprendizaje docente) tiene como sujeto al docente y como objeto aprender a enseñar matemáticas. La actividad 3 (enseñanza de matemáticas) tiene como sujeto al profesor y como objeto los procesos de instrucción de contenidos matemáticos, implicando, por tanto, la actividad 4 de aprendizaje ma- 337 temático, cuyo objeto es el logro de la comprensión y competencia matemática por parte de los estudiantes. Figura 6.2. Actividades implicadas en los procesos formativos Como se indica en la Figura 6.2 el Proceso I sobre instrucción matemática (actividades de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas) está anidado dentro del Proceso II sobre didáctica de las matemáticas. Ambos constituyen el centro de interés del aprendizaje profesional de los profesores. Los criterios de idoneidad didáctica (Capítulo 5) sobre el Proceso I (Figura 6.2) de enseñanza y aprendizaje de matemáticas los vamos a interpretar en términos de conocimientos y competencias didáctico-matemáticas del profesor de matemáticas (modelo CCDM-Profesor). Estos conocimientos y competencias profesionales deben ser tenidos en cuenta por el formador de profesores en el diseño e implementación de los programas formativos (Proceso II). Pero, además, el cómo aprenden los profesores, la afectividad implicada, los recursos y patrones de interacción entre formador y docentes también deben ser 338 considerados en el diseño y evaluación de dichos programas. En consecuencia, elaboraremos un modelo de conocimientos y competencias del formador de profesores (modelo CCDM-Formador) que incluye el modelo CCDM-Profesor, pero que incorpora, además, los conocimientos y competencias específicas que promuevan el aprendizaje docente, esto es, el profesor como estudiante de didáctica de las matemáticas. 6.3. Conocimientos y competencias didáctico-matemáticas sobre la actividad de instrucción matemática Como se ha indicado, el sistema de criterios de idoneidad formulado en el Capítulo 5 se puede usar para categorizar los conocimientos didáctico-matemáticos del profesor, orientando su identificación y formulación según facetas, componentes, subcomponentes y elementos de contenidos específicos, de acuerdo con la teoría de diseño educativo-instruccional presentada en el Capítulo 4. En este apartado, formulamos el sistema de conocimientos derivados de la TID-EOS para el proceso de instrucción matemática. Elaboramos, de este modo, una ampliación y revisión del modelo previo de conocimientos didáctico-matemáticos CDM (Godino, 2009; Pino-Fan y Godino, 2015). El proceso formativo debe procurar que el profesor de matemáticas adquiera los conocimientos y competencias que le permitan fundamentar, diseñar, implementar y evaluar procesos de instrucción matemática con alta idoneidad didáctica. Esto implica competencia para ponderar los criterios parciales de idoneidad epistémica (contenido), ecológica (contexto), mediacional (recursos), interaccional (interacciones), cognitiva (aprendizaje) y afectiva (emociones, creencias, valores de los estudiantes), teniendo en cuenta las circunstancias que condicionan los procesos de instrucción matemática. Esta dimensión didáctica debe ser complementada con los conocimientos relativos a las dimensiones normativa y metanormativa (Capítulo 4). En los siguientes apartados identificamos los conocimientos relativos a las diferentes facetas y componentes. Las justificaciones, basadas en la coherencia con los supuestos del EOS y las concordancias (con- 339 senso) con otras teorías, dadas en el Capítulo 5 para los criterios de idoneidad, sirven de base de los conocimientos formulados. 6.3.1. Conocimientos sobre características del contenido matemático (facetas epistémica y ecológica) Sobre la base del modelo de actividad matemática que propone el EOS, el programa de DPD debería capacitar a los docentes para que las matemáticas que enseñan (facetas epistémica y ecológica) reúnan las características indicadas en la Tabla 6.1. Tabla 6.1. Conocimientos sobre características del contenido matemático (facetas epistémica y ecológica) Faceta Componentes específicos Epistémica: El proceso formativo debe promover en los profesores la adopción de una visión antropológica de las matemáticas, como actividad humana focalizada en la resolución de problemas, de la cual emergen los objetos matemáticos y les dan significado. Debe promover el reconocimiento de los diversos significados parciales de los contenidos, los objetos y procesos implicados y articular la enseñanza, teniendo en cuenta sus distintos grados de generalidad y formalización. Significados y objetos matemáticos –Tener en cuenta los diversos significados parciales del contenido, los objetos primarios implicados en cada significado parcial (situaciones, lenguajes, conceptos y propiedades, procedimientos y argumentos), seleccionando aquellos cuyo estudio se adapta a las circunstancias contextuales y personales de los sujetos implicados. Situaciones-problemas: –Seleccionar y adaptar problemas/tareas matemáticas que permitan dar significado a los conocimientos matemáticos, distinguiendo situaciones de contextualización, ejercitación aplicación y generación de problemas. Lenguajes: –Reconocer el papel central de los lenguajes matemáticos (representaciones), sus tipos, transformaciones y conversiones en la construcción y comunicación del conocimiento matemático. –Gestionar (conocer y usar) diferentes modos de expresión matemática y cómo se relacionan, reconociendo su pertinencia según el nivel educativo. Reglas (conceptos, proposiciones, procedimientos): –Comprender la matemática como sistema interconectado de reglas (conceptos, procedimientos y propiedades) –Seleccionar y presentar correctamente las definiciones, proposiciones y procedimientos adaptados al nivel educativo. Argumentos: –Reconocer el papel central de la argumentación en la construcción del conocimiento matemático, y la diversidad de medios de prueba. –Elaborar explicaciones, comprobaciones y demostraciones correctas y adecuadas al nivel educativo. 340 Relaciones (conexiones) –Relacionar entre sí los significados parciales estudiados y los objetos que intervienen en las prácticas correspondientes, así como con el contenido de otros temas que el estudiante ya conoce. Procesos –Tener en cuenta la diversidad de procesos de que emergen los objetos que intervienen en las prácticas matemáticas (problematización, representación, definición, generalización, modelización, …). Conflictos epistémicos – Evitar las discordancias entre los significados de los objetos y procesos implementados y los correspondientes a la institución de referencia (ausencia, además, de errores y ambigüedades). Ecológica: El proceso formativo debe promover en los profesores conocimientos, habilidades y disposiciones para que los procesos de instrucción matemática que diseñen e implementen estén en concordancia con el proyecto educativo del centro y la sociedad, teniendo en cuenta los condicionamientos del entorno en que se desarrolla y las innovaciones basadas en la investigación educativa. Conexiones intra e interdisciplinares –Relacionar los contenidos con otros contenidos intra e interdisciplinares. Currículo –Conocimiento de las orientaciones curriculares sobre las matemáticas y su fundamentación. Apertura hacia innovación didáctica –Introducir innovaciones que estén basadas en la investigación y buenas prácticas reconocidas. –Integrar el uso de las nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.) en el proyecto educativo. Adaptación socioprofesional y cultural –Procurar que el proceso educativo-instruccional en su conjunto contribuye a la formación socioprofesional de los estudiantes. Educación en valores cívicos –Incluir en el diseño e implementación del proceso educativo-instruccional la formación de los estudiantes en valores democráticos y el pensamiento crítico. Entorno familiar –Estimular y apoyar, en la medida de lo posible, el aprendizaje del estudiante fuera de la escuela y su desarrollo como persona. El contenido matemático que el profesor implemente en las clases debe reunir ciertas características para optimizar el desarrollo del proceso instruccional, esto es, que las matemáticas sean ricas, óptimas o adecuadas, según las circunstancias contextuales (faceta ecológica) y personales de los estudiantes (faceta cognitiva). Un proceso de instrucción específico tiene lugar en un entorno particular y se realiza 341 en un intervalo de tiempo usualmente acotado. Por ello es inevitable que el profesor sepa seleccionar algunos significados parciales del objeto en cuestión y, por tanto, las configuraciones de objetos y procesos asociadas a los mismos, pero, globalmente (a lo largo de la educación), el conjunto de significados debe ser representativo del previamente fijado como referencia. El profesor debe saber movilizar diversas representaciones de los objetos matemáticos, resolver las tareas mediante distintos procedimientos, vincular entre sí los objetos matemáticos del nivel educativo en el que enseña y de niveles anteriores y posteriores, comprender y movilizar la diversidad de significados parciales para un mismo objeto matemático, proporcionar diversas justificaciones y argumentaciones, e identificar los conocimientos puestos en juego en la resolución de los problemas. La faceta ecológica del conocimiento didáctico-matemático, refiere a los conocimientos sobre el currículo de matemáticas del nivel educativo en el que se contempla el estudio del objeto matemático, sus relaciones con otros currículos, y las relaciones que dicho currículo tiene con los aspectos sociales, políticos y económicos, que soportan y condicionan el proceso de enseñanza y aprendizaje. Los aspectos que se contemplan dentro de esta faceta del conocimiento toman en cuenta las propuestas de Shulman (1987, p. 8) sobre el conocimiento curricular, de los contextos educativos y de los fines, propósitos y valores de la educación, y de Grossman (1990, p. 9) —conocimiento sobre el currículo horizontal y vertical para un tema, y conocimiento del contexto. 6.3.2. Conocimientos sobre las características de las facetas mediacional e interaccional El programa de DPD debería proporcionar oportunidades de aprendizaje de los conocimientos y competencias indicadas en la Tabla 6.2 sobre las facetas mediacional e interaccional de los procesos de instrucción que los profesores diseñen, implementen y evalúen. En la faceta mediacional se incluyen recursos de diversos tipos que condicionan y soportan la enseñanza y el aprendizaje de las matemáti- 342 cas. Además de los medios materiales concretos y tecnológicos, como calculadoras y ordenadores, se tiene en cuenta los apoyos al estudio (libros de texto, cuadernos de actividades, videos educativos…), el número de estudiantes que el docente tiene asignados, el horario en que tienen lugar las clases, las condiciones materiales del aula, así como el tiempo total asignado al estudio y su distribución. Como puede observarse, la vinculación de las facetas interaccional y mediacional desarrollan y enriquecen la noción de «conocimiento del contenido y la enseñanza» planteado por Ball, Thames et al. (2008, p. 401). Tabla 6.2. Conocimientos sobre las características de las facetas interaccional y mediacional de los procesos de instrucción matemática Faceta Componente Interaccional: El proceso formativo debe promover en los profesores conocimientos, habilidades y disposiciones para que los patrones de interacción que implementen permitan identificar los conflictos semióticos potenciales, poner los medios adecuados para su resolución, favorecer la autonomía progresiva en el aprendizaje y el desarrollo de competencias comunicativas en los estudiantes. Interacciones docente-discente –Adaptar los modos de interacción teniendo en cuenta los momentos del proceso de estudio, aplicando un formato dialógico-colaborativo en los momentos de primer encuentro con el contenido y atribuyendo autonomía al estudiante en los momentos de ejercitación y aplicación. –Hacer una presentación adecuada del tema (presentación clara y bien organizada, no hablar demasiado rápido, enfatizar los conceptos clave del tema, etc.). –Reconocer y resolver los conflictos de los alumnos (formular preguntas y ofrecer respuestas adecuadas, etc.). –Buscar llegar a consensos con base al mejor argumento. –Usar diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y captar la atención de los estudiantes. –Facilitar la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. –Potenciar la participación y el compromiso activo de todos los estudiantes. Interacciones entre estudiantes –Favorecer el diálogo y comunicación entre los estudiantes. –Favorecer la inclusión en el grupo y evitar la exclusión. Autonomía –Contemplar momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos). 343 Evaluación formativa –Observar de manera sistemática el progreso cognitivo de los estudiantes y usar la información obtenida para tomar decisiones sobre el desarrollo de la instrucción. Mediacional: El proceso formativo debe promover en los profesores conocimientos, habilidades y disposiciones para usar los recursos materiales y temporales adecuados para el desarrollo óptimo del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Recursos materiales (Concretos, virtuales y simbólicos) –Distinguir los objetos matemáticos (regulativos, no ostensivos) de sus respectivas representaciones concretas, visuales o simbólicas en las prácticas matemáticas y didácticas. –Articular el uso de configuraciones de objetos y procesos basadas en representaciones alfanuméricas con las basadas en representaciones concretas para potenciar progresivamente los procesos de generalización, cálculo y demostración matemática. Apoyos al estudio (libros de texto, cuadernos de ejercicios, videos educativos…) –Hacer un uso crítico y reflexivo de materiales curriculares u otros recursos educativos (libros de texto o cuadernos de actividades en formato físico o virtual, vídeos educativos, etc.), decidiendo cuándo y cómo usarlos como apoyo al proceso de estudio. Número de estudiantes, horario y condiciones del aula –En la medida de lo posible, optimizar el número de estudiantes para dar una atención personalizada. –En la medida de lo posible, adecuar el aula y la distribución de los estudiantes para facilitar las interacciones. –Procurar un horario de sesiones de clase que favorezca la atención y compromiso de los estudiantes. Tiempo (De enseñanza colectiva/ tutorización; tiempo de aprendizaje) –Asignar un tiempo (presencial y no presencial) adecuado para la enseñanza pretendida. –Asignar un tiempo adecuado a los contenidos más importantes del tema y a los que presentan más dificultad de comprensión. La faceta interaccional involucra los conocimientos necesarios para prever, implementar y evaluar secuencias de interacciones, entre los agentes que participan en el proceso de enseñanza y aprendizaje, orientadas a la fijación y negociación de significados (aprendizajes) de los estudiantes. Estas interacciones no solo se establecen entre el profesor y los alumnos (profesor-alumno), sino entre los alumnos, alumnos y recursos, y profesor, recursos y alumnos. La faceta mediacional incluye los conocimientos que debería tener un profesor 344 para usar y evaluar la pertinencia del uso de materiales y recursos tecnológicos para potenciar el aprendizaje de un objeto matemático específico, así como la asignación del tiempo a las distintas acciones y procesos de aprendizaje. 6.3.3. Conocimientos sobre características de los aprendizajes de los estudiantes (facetas cognitiva y afectiva) El programa de DPD debería proporcionar oportunidades de aprendizaje de los conocimientos y competencias indicadas en la Tabla 6.3 sobre las facetas cognitiva y afectiva de los procesos de instrucción que diseñen, implementen y evalúen. Tabla 6.3. Conocimientos sobre características de los aprendizajes matemáticos de los estudiantes (facetas cognitiva y afectiva) Faceta Componentes Faceta cognitiva: El proceso formativo debe promover en los profesores conocimientos, habilidades y disposiciones para que: los objetivos de aprendizaje sean un reto cognitivo alcanzable para los estudiantes, teniendo en cuenta sus circunstancias personales y contextuales; los significados personales logrados por los estudiantes sean concordantes con los significados institucionales planificados y la evaluación de los aprendizajes sirva para mejorar el proceso instruccional. Significados personales (aprendizajes) –Promover la comprensión de las situaciones-problemas, representaciones, conceptos y propiedades. –Desarrollar la competencia comunicativa, procedimental y argumentativa. Relaciones (conexiones) –Promover que el aprendizaje sea de tipo relacional, de modo que los estudiantes sean capaces de comprender y relacionar los distintos significados incluidos en el proceso de enseñanza y los objetos implicados. Procesos –Promover el desarrollo de la competencia del estudiante para implementar procesos matemáticos específicos del contenido (modelización, generalización, planteamiento y resolución de problemas, prueba, representación…) y procesos metacognitivos (reflexión sobre los propios procesos de pensamiento matemático). Conocimientos previos –Tener en cuenta los conocimientos previos que tienen los estudiantes para abordar el estudio del contenido pretendido. Diferencias individuales –Apoyar el aprendizaje de los estudiantes teniendo en cuenta sus diferencias individuales en los conocimientos previos, estilos de aprendizaje y niveles de comprensión y competencia. 345 Evaluación de los aprendizajes –Comprobar regularmente el progreso de los aprendizajes para tomar decisiones instruccionales de mejora (evaluación formativa). Afectiva: El proceso formativo debe promover en los profesores conocimientos, habilidades y disposiciones para la instrucción matemática implementada logre el mayor grado posible de implicación del alumnado (interés, motivación, autoestima), teniendo en cuenta sus creencias sobre las matemáticas y su aprendizaje. Emociones –Planificar situaciones para la identificación y discusión de las emociones a fin de evitar el rechazo, la fobia o miedo a las matemáticas. –Resaltar las cualidades de estética y precisión de las matemáticas. Actitudes –Promover que el estudiante asuma su responsabilidad en el aprendizaje, esforzándose en la realización de las tareas con perseverancia, tanto las que requieren indagación personal como de recepción y retención de conocimientos. –Favorecer la argumentación en situaciones de igualdad; el argumento se valora en sí mismo y no por quién lo dice. Creencias –Identificar las creencias de los estudiantes sobre las matemáticas y su enseñanza que puedan condicionar los aprendizajes y tenerlas en cuenta en el proceso instruccional. Valores-identidad –Promover la autoestima para que los estudiantes se sientan capaces de aportar conjeturas y soluciones a los problemas planteados, apoyándose en argumentos matemáticos para convencer a los demás de la validez de sus afirmaciones, construyendo de este modo una identidad matemática positiva. –Intereses y necesidades –Proponer tareas que se sean de interés para los alumnos y que estén a su alcance. –Proponer situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional. El acoplamiento progresivo entre los significados personales iniciales de los estudiantes y los significados institucionales previstos o efectivamente implementados se logra mediante su participación en la comunidad de prácticas generada en la clase. Las facetas cognitiva y afectiva, tal como se definen en el EOS, juntas proporcionan una mejor aproximación y entendimiento de los conocimientos que deberían tener los profesores de matemáticas sobre las características y as- 352 pico de los procesos de estudio matemático. Fijado un tema específico en un contexto educativo determinado, por ejemplo, el estudio de las ecuaciones de segundo grado en educación secundaria, la noción de idoneidad didáctica lleva a plantear las cuestiones, • ¿Cuál es el grado de idoneidad didáctica del proceso de enseñanza-aprendizaje implementado sobre las ecuaciones de segundo grado? • ¿Qué cambios se deberían introducir en el diseño e implementación del proceso de estudio para incrementar su idoneidad didáctica en un próximo ciclo de experimentación? Para poder emitir un juicio fundamentado sobre la idoneidad didáctica de un proceso de estudio matemático es imprescindible reconstruir los significados de referencia didáctica del tema correspondiente. Ello requiere proceder a una revisión sistemática de los resultados de las investigaciones e innovaciones realizadas en educación matemática sobre los aspectos epistémicos, ecológicos, cognitivos, afectivos, interaccionales y mediacionales. Esto lleva a plantear una cuestión previa: • ¿Cuáles son los conocimientos didáctico-matemáticos resultados de las investigaciones e innovaciones previas realizadas sobre la enseñanza-aprendizaje de las ecuaciones de segundo grado? La idoneidad didáctica se ha introducido como una herramienta de apoyo para la reflexión global sobre la práctica didáctica, su valoración y mejora progresiva. El profesor de matemáticas debe conocer, comprender y valorar esta herramienta y adquirir competencia para su uso pertinente. Se trata de la competencia de análisis de la idoneidad didáctica de los procesos de estudio matemáticos. Competencia general de análisis e intervención didáctica Las competencias descritas anteriormente son subcompetencias de una más amplia, propia del profesor de matemáticas, que es la de análisis e intervención didáctica, como se representa en la Figura 6.5. La articulación de las competencias y conocimientos didácticos se puede [Document text truncated for crawler view.]