Ejercicios resueltos de Matemáticas I, Grado en Óptica y Optometría (17-11-2021)

´ Optica y Optometr´ ıa: curso 10-A, Asignatura: Matem´ aticas I Fecha: 17 de noviembre de 2021 Actualizaci´ on: 24/11/2021, hora: 16:56:02 Seguimos hallando rango de matrices con par´ ametros usando menores. Hacemos variaciones para una misma matriz. Ejercicio resuelto 1. Seg´ un el par´ ametro a, hallar el rango, usando la matriz escalonada (o por filas, o por columnas), de A=  a−1 3 a1 1 2 1 −1  . Soluci´ on. Lo mejor es evitar los par´ ametros al principio. Empezamos por el menor de derechaabajo: |−1|=−16=0, luego r(A)≥1. A˜ nadimos la segunda fila y segunda columna:  1 1 1−1 =−26=0, luego r(A)≥2. A˜ nadimos la primera fila (la queda) y la primera columna (la que queda), luego  a−1 3 a1 1 2 1 −1  =86=0. Por tanto, r(A)≥3, luego es 3. ♣A la vista del resultado, es claro que si hubi´ eramos hallado en primer lugar el determinante de Anos hubiera dado distinto de 0, luego habr´ ıamos acabado el ejercicio inmediatamente. El problema hubiera sido que fuera 0. Ejercicio resuelto 2. Seg´ un el par´ ametro a, hallar el rango, usando la matriz escalonada (o por filas, o por columnas), de A=  a−1 a1 2 1  . Soluci´ on. Empezamos por el menor de derecha-abajo: |1|=16=0, luego r(A)≥1. Obs´ ervese que el rango es como mucho 2. A˜ nadimos la segunda fila y segunda columna:  a1 2 1  =a−2. Hacemos a−2=0, es decir, a=2 y distinguimos casos1 1Ya que se est´ a haciendo de manera “ordenada”, no cogemos otro menor porque ha sido ahora donde ha aparecido una disyuntiva. 1 1. Caso a6=2. Entonces el menor es distinto de 0, luego el rango es 2. 2. Caso a=2. Sustituimos para ver las cosas claras. La matriz es   2−1 2 1 2 1   Efectivamente, vemos el menor de antes de orden 2 que es cero. A˜ nadimos ahora la primera fila (la que faltaba) y la primera columna:  2−1 2 1  =46=0, luego el rango es 2 de nuevo. Por tanto, para cualquier valor de ael rango es 2. Otra manera de hacerlo. Una vez cogido el menor de orden 1, hallamos todos los menores de orden 2 que resultan de a˜ nadir filas y columnas:  a1 2 1  =a−2, a−1 2 1  =a+2. Si alguno es distinto de 0, el rango es 2; si todos son 0, el rango es 1. Por tanto estudiamos cuando todos los menores de orden 2se anulan, es decir, cuando a+2=0y a −2=0. O lo que es lo mismo, adeber´ ıa satisfacer a=−2 y a=2, cosa que no es posible. Concluyendo que el rango es 2. Ejercicio resuelto 3. Seg´ un el par´ ametro a, hallar el rango, usando la matriz escalonada (o por filas, o por columnas), de A=a−1 3 a a 1. Soluci´ on. Para variar, empezamos por el menor |3|=36=0, luego r(A)≥1. A˜ nadimos filas (s´ olo la segunda) y columnas (la primera y la segunda). Los dos menores de orden 2 son:  a3 a1 =−2a, −1 3 a1 =−1−3a. El primero se anula para a=0, el segundo para a=−1/3. Por tanto no hay un valor de aque anule a los dos menores, luego al menos uno no es cero. Esto concluye que el rango es 2. 2