Ejercicio propuestos de Econometría 3

ECONOMETRÍA III RELACIÓN DE EJERCICIOS DEL TEMA 2 1. Dado el proceso 𝑦𝑡= 2.5 + 0.7𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡 donde t  es ruido blanco, se pide: a. Comprobar si es estacionario. b. Calcular la media del proceso. c. Calcular la varianza del proceso. d. Calcular la función de autocovarianzas e. Calcular la función de autocorrelación simple. f. Calcular la función de autocorrelación parcial. 2. Dado el proceso 1 2 1 2.5 1.7 0.7 0.2 t t t t t y y y          donde t  es ruido blanco, se pide: a. Comprobar si es estacionario e invertible. b. Calcular la media del proceso. c. Calcular la varianza del proceso sabiendo que 22    . d. Hallar las representaciones   AR  y   MA  del proceso. 3. Dado el proceso 𝑦𝑡= 2.5 + 0.7𝑦𝑡−1 − 0.3𝑦𝑡−2 + 𝜀𝑡 donde t  es ruido blanco, se pide: a. Comprobar que es estacionario. b. Hallar su media y varianza. c. Hallar la función de autocovarianzas. d. Hallar la función de autocorrelación simple. e. Hallar la función de autocorrelación parcial. f. hallar su representación   MA  . 4. Dado el proceso 1 2.5 0.7 t t t yy      donde t  es ruido blanco, hallar su representación   MA  . 5. Dado el proceso 12 0.8 0.25 t t t t y        donde t  es ruido blanco, hallar su representación   AR  . 6. Dado el proceso 𝑦𝑡= 2.5 + 0.7𝑦𝑡−1 − 0.3𝑦𝑡−2 + 𝜀𝑡− 0.4𝜀𝑡−1 donde t  es ruido blanco, obtener la representación   AR  y   MA  . 7. Dado el proceso 1 1 2 5 0.4 0.8 0.25 t t t t t yy            donde t  es ruido blanco, se pide: a. Calcular la media y varianza del proceso. b. Comprobar si se cumplen las condiciones de estacionariedad e invertibilidad. c. Obtener la función de autocorrelación simple. d. Calcular los tres primeros términos para la función de autocorrelación parcial. e. Hallar las representaciones   AR  y   MA  del proceso. Téngase en cuenta que 22    . 8. Considere el modelo 𝑦𝑡= 5 + 0.4𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡− 0.8𝜀𝑡−1 donde t  es ruido blanco. Se pide: a. Comprobar las condiciones de estacionariedad e invertibilidad. b. Calcular la media y varianza del proceso. c. Obtener la función de autocorrelación y los tres primeros términos de la función de autocorrelación parcial. ECONOMETRÍA III RELACIÓN DE EJERCICIOS DEL TEMA 3 1. Dado el proceso (1 − 0.4𝐵 − 0.2𝐵2)𝑦𝑡=(1 + 0.5𝐵 + 0.3𝐵2)𝜀𝑡 donde 𝜀𝑡 es ruido blanco, 𝜎𝜀 2= 3 y sabiendo que T=100, 𝑦100 = 2, 𝑦99 = 1, 𝜀100 = 0.2, 𝜀99 = 0.15. Se pide: a. Calcular la media del proceso. b. Calcular la varianza del proceso. c. Calcular los coeficientes 1, 2 y 3 de la función de autocorrelación parcial. d. Obtener las predicciones puntuales para los horizontes k=1,2,3. e. Obtener los intervalos de predicción al 95% de confianza para los horizontes k=1,2,3. f. Conocida la observación 𝑦101 = 1.3, actualizar las predicciones para los horizontes k=2,3. 2. Dado un proceso ARMA(2,2), se pide: a. Suponiendo estacionariedad, calcular su media y varianza. b. Obtener sus tres primeras predicciones puntuales así como los errores de predicción asociados. 3. Dado el proceso (1 − 1.2𝐵 + 0.6𝐵2)(𝑦𝑡−65)= 𝜀𝑡 donde 𝜀𝑡 es ruido blanco, 𝜎𝜀 2= 1 , 𝑦76 =60.4, 𝑦77 =58.9, 𝑦78 =64.7, 𝑦79 =70.4 e 𝑦80 =62.6. Se pide: a. Calcular las predicciones puntuales e intervalos de predicción para t=81, 82, 83. b. Si se conoce la nueva observación 𝑦81 =62.2 , actualizar las predicciones para t=82, 83. 4. Dado el proceso 𝑦𝑡= 4.5 + 0.3𝑦𝑡−1 + 0.4𝑦𝑡−2 + 𝜀𝑡− 0.8𝜀𝑡−1 donde 𝜀𝑡 es ruido blanco y 𝜎𝜀 2= 3. Se pide: a. Comprobar las condiciones de estacionariedad e invertibilidad. b. Calcular la media y varianza del proceso. c. Obtener la función de autocorrelación y los tres primeros términos de la función de autocorrelación parcial. d. Escribir la fórmula de predicción para el proceso 𝑦𝑡. e. Si se conocen 𝑦300 =14, 𝑦299 =14.5, 𝑦298 =16 𝑦 𝜖299 = −0.5, calcular las predicciones por intervalo y puntuales para los instantes 301, 302 y 303. f. Actualizar las predicciones anteriores para t=302, 303 tras conocer que 𝑦301 =15.5. ECONOMETRÍA III. RELACIÓN DE EJERCICIOS DEL TEMA 4 1. Dadas las siguientes funciones de respuesta al impulso, indicar el comportamiento de sus coeficientes: a. 𝜗(𝐵)=𝜔0 1−𝛿1𝐵−𝛿2𝐵2 b. 𝜗(𝐵)=𝜔0−𝜔1𝐵−𝜔2𝐵2 1−𝛿1𝐵𝐵 c. 𝜗(𝐵)=𝜔0−𝜔1𝐵 1−𝛿1𝐵−𝛿2𝐵2𝐵2 2. Obtener los coeficientes de la función de transferencia del ejercicio anterior. 3. Analizar la respuesta a la intervención en los siguientes modelos: a. 𝑦𝑡=𝑐0𝐼𝑡(𝑡0)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 b. (1−0.5𝐵)𝑦𝑡=𝑐0𝐼𝑡(𝑡0)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 c. (1−0.5𝐵)∇𝑦𝑡= 𝑐0𝐼𝑡(𝑡0)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 donde 𝐼𝑡(𝑡0)={0, 𝑠𝑖 𝑡≠𝑡0 1,𝑠𝑖 𝑡=𝑡0 y 𝜀𝑡 es ruido blanco. 4. ¿Cuál es la respuesta al impulso de los siguientes procesos? a. 𝑦𝑡=𝐼𝑡(1)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 b. (1−0.6𝐵)𝑦𝑡=𝐼𝑡(1)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 c. (1−0.6𝐵)∇𝑦𝑡= 𝐼𝑡(1)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 d. 𝑦𝑡=(1+0.5𝐵)𝐼𝑡(1)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 e. (1−0.6𝐵)𝑦𝑡=(1+0.5𝐵)𝐼𝑡(1)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 f. (1−0.6𝐵)∇𝑦𝑡= (1+0.5𝐵)𝐼𝑡(1)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 donde 𝐼𝑡(1)={0, 𝑠𝑖 𝑡 ≠1 1,𝑠𝑖 𝑡=1 y 𝜀𝑡 es ruido blanco. 5. ¿Cuál es la respuesta a la intervención en los siguientes procesos? a. 𝑦𝑡=𝑆𝑡(3)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 b. (1−0.6𝐵)𝑦𝑡=𝑆𝑡(3)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 c. (1−0.6𝐵)∇𝑦𝑡=𝑆𝑡(3)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 6. ¿Cuál es la respuesta a la intervención en los siguientes procesos? a. 𝑦𝑡=𝑆𝑡(3)+𝐼𝑡(1)+𝜃(𝐵)𝜀𝑡 b. (1+0.6𝐵)𝑦𝑡=(1−0.3𝐵)𝐼𝑡(3)−(1+0.5𝐵)𝑆𝑡(2)+(1+0.3𝐵)𝜀𝑡 ECONOMETRÍA III. RELACIÓN DE EJERCICIOS DEL TEMA 5 1. Dados los procesos:   =    +     +       =    +     +  ℎ  +  ℎ  Se pide calcular: a. Media y varianza no condicionada (marginal) b. Media y varianza condicionada (a los valores pasados) 2. Dados los procesos:   =  0.4+0.1   +0.2   +0.05     =  0.3+0.01   +0.3   +0.02ℎ  Se pide calcular la varianza marginal y la varianza condicionada. 3. Realizado el contraste para detectar la presencia de estructura ARCH en los errores del modelo ajustado que tiene por hipótesis nula   =  =⋯=  =0 se obtiene un coeficiente de determinación para la regresión auxiliar igual a 0.048. Teniendo en cuenta que q=1 y se dispone de 167 observaciones, ¿los errores responden a una estructura ARCH? 4. Repetir el ejercicio anterior pero teniendo en cuenta que el coeficiente de determinación para la regresión auxiliar es 0.232, q=4 y se disponen de 66 observaciones. ECONOMETRÍA III. RELACIÓN DE EJERCICIOS DEL TEMA 6 1. Dada la siguiente información, determinar el orden adecuado del VAR teniendo en cuenta que T=78. a. Modelo con dos variables con constante y Retardo Logaritmo del determinante de la matriz de varianzas-covarianzas estimada de los residuos 1 49.2299 2 49.0638 3 49.0165 4 48.9478 b. Modelo con dos variables sin constante y Retardo Logaritmo del determinante de la matriz de varianzas-covarianzas estimada de los residuos 1 46.0783 2 45.9790 3 45.5486 4 45.1839 c. Modelo con 3 variables con constante y Retardo Logaritmo del determinante de la matriz de varianzas-covarianzas estimada de los residuos 1 74.3883 2 73.9744 3 73.8925 4 73.3868 2. Determinar el orden adecuado del modelo VAR en los siguientes casos. Hay que tener en cuenta que Σ p hace referencia a la matriz de varianzas-covarianzas estimada de los residuos del modelo VAR(p) y se tienen 54 observaciones. a. Modelo con dos variables con termino independiente Σ 1=(63.947 0.25584 0.25284 0.0013246) logaritmo=−3.87393 Σ 2=(43.108 0.16197 0.16197 0.00092064) logaritmo=−4.30872 Σ 3=(38.821 0.14145 0.14145 0.00082129) logaritmo=−4.43325 b. Modelo con dos variables sin termino independiente Σ 1=(69.725 0.28738 0.28738 0.0015811) logaritmo=−3.72273 Σ 2=(43.177 0.16338 0.16338 0.00094918) logaritmo=−4.24831 Σ 3=(38.986 0.14046 0.14046 0.00082718) logaritmo=−4.38044 c. Modelo con tres variables sin constante Σ 1=(57.241 0.21227 0.16384 0.21227 0.0010792 0.0004378 0.16384 0.0004378 0.014303) logaritmo=−8.37925 Σ 2=(42.279 0.15872 0.10099 0.15872 0.0008845 0.0002521 0.10099 0.0002521 0.012307) logaritmo=−8.827772 Σ 3=(38.449 0.14001 0.11962 0.14001 0.00076987 0.00042834 0.11962 0.00042834 0.010181 ) logaritmo=−9.22969 3. Determinar el orden del modelo VAR teniendo en cuenta: a. Retardo AIC BIC HQC 1 2.0749 2.3043 2.1622 2 1.7702 2.1526 1.9158 3 1.80803 2.3434 2.0119 4 1.933123 2.6214 2.19524 b. Retardo AIC BIC HQC 1 2.0031 2.1621 2.0627 2 1.5355 1.8536 1.6547 3 1.5251 2.0021 1.7038 4 1.6646 2.3006 1.9028 Donde AIC es el criterio de Akaike, BIC es el bayesiano de Schwarz y HQC el de Hannan-Quinn. 4. Realizar el análisis de causalidad de Granger en los siguientes casos: a. Modelo con dos ecuaciones con término independiente Retardos de X Retardos de Y Ecuación 1 (X) 𝐹1,50=81.147 (𝑝 −𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.000) 𝐹1,50=3.3737 (𝑝− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.0722) Ecuación 2 (Y) 𝐹1,50=8.8578 (𝑝 −𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.045) 𝐹1,50=57.7 (𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.000) b. Modelo con dos ecuaciones sin término independiente Retardos de X Retardos de Y Ecuación 1 (X) 𝐹2,76=478.8 (𝑝 −𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.000) 𝐹2,76=0.23035 (𝑝− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.7948) Ecuación 2 (Y) 𝐹2,76=5.9963 (𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.0038) 𝐹2,76=125.69 (𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.000) c. Modelo con tres ecuaciones con término independiente Retardos X Retardos Y Retardos Z Ecuación 1 (X) 𝐹3,69=122.31 (𝑝− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.000) 𝐹3,69=1.9182 (𝑝− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 =0.1347) 𝐹3,69=2.303 (𝑝− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.0846) Ecuación 2 (Y) 𝐹3,69=6.1375 (𝑝− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.009) 𝐹3,69=18.751 (𝑝− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.000) 𝐹3,69=1.6147 (𝑝− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.1939) Ecuación 3 (Z) 𝐹3,69=1.2634 (𝑝− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.294) 𝐹3,69=2.0552 (𝑝− 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.114) 𝐹3,69=233.6 (𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟=0.000) 5. Analizar el efecto que tiene sobre los 4 siguientes retardos una distorsión de una desviación estándar en cada uno de los elementos del vector de perturbaciones en cada uno de los casos: a. Modelo VAR(1) con dos ecuaciones sin término independiente con 𝐴1=(1.168 −38.031 0.0017 0.7158) 𝑦 Σ =(63.947 0.25284 0.001324) b. Modelo VAR(2) con tres ecuaciones sin término independiente con 𝐴1=(1.5505 −1.059 −5.5969 0.003 0.9719 0.003 0.0051 −1.703 0.6852),𝐴2=(−0.7191 13.884 6.5615 −0.0029 0.0131 0.0109 −0.0094 2.1661 0.1931) 𝑦 Σ =(42.366 0.16056 0.00092 0.096022 0.000147 0.01258) c. Modelo VAR(2) con dos ecuaciones con término independiente con 𝐴0=(3.3392 0.0675); 𝐴1=(1.5156 9.056 0.003 0.971); 𝐴2=(−0.657 −0.778 −0.0026 −0.065) Σ =(43.108 0.16197 0.00092) 6. Obtener la predicción para tres periodos futuros en los modelos del ejercicio anterior teniendo en cuenta: a. 𝑧𝑇=(15.65 1.301) b. 𝑧𝑇=(111.12 1.307 1); 𝑧𝑇−1=(110.93 1.276 1) c. 𝑧𝑇=(78.4 1.0917); 𝑧𝑇−1=(77.86 1.0917)