Análisis de los niveles de comprensión de los objetos f'(a) y f'(x) en profesores de matemáticas

191 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2), 191–206 ANÁLISIS DE LOS NIVELES DE COMPRENSIÓN DE LOS OBJETOS f’(a) Y f’(x) EN PROFESORES DE MATEMÁTICAS Badillo, Edelmira1; Azcárate, Carmen1 y Font, Vicenç2 1 Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals. Universitat Autònoma de Barcelona 2 Departament de les Ciències Experimentals i de la Matemàtica. Universitat de Barcelona [email protected] [email protected] [email protected] INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA Resumen. En este artículo describimos los niveles de comprensión de la relación entre f’(a) y f’(x) de cinco profesores de matemáticas que desarrollaban la asignatura de Matemáticas con alumnos de 16-18 años en diferentes centros educativos de Colombia. La teoría APOE, ampliada con aportaciones semióticas, se utiliza como marco teórico fundamental. Los cinco profesores contestaron a un cuestionario indirecto sobre la comprensión de f’(a) y f’(x) y, posteriormente, fueron entrevistados con viñetas. Los resultados muestran que la comprensión de estos dos macroobjetos, f’(a) y f’(x) puede estar relacionada con la estructura de los esquemas gráfico y algebraico de los mismos, y con los conflictos semióticos asociados. Palabras clave. Conocimiento del profesor, derivadas, teoría APOE, representaciones semióticas. Analysis of Mathematics teachers’ level of understanding of the objects f’(a) and f’(x) Summary. This paper describes the level of understanding of the relation between f’(a) and f’(x) among five Mathematics teachers who were teaching classes to 16-18 year olds in different schools in Colombia. The analysis is based on the APOS framework, in this case with the addition of certain semiotic aspects. The five teachers responded to an indirect questionnaire about their understanding of f’(a) and f’(x), and were subsequently interviewed in relation to a series of vignettes. Results illustrate how the comprehension of these two macro-objects, f’(a) and f’(x), can be related to the structure of both graphic and algebraic schemes and the associated semiotic conflicts. Keywords. Teacher’s knowledge, Derivatives, APOS Framework, Semiotic Representations. En este trabajo nos situamos, básicamente, en un enfoque cognitivo, la teoría APOE (Dubinsky, 1991, 1996; Asiala et al., 1996; Asiala et al., 1997), para estudiar la comprensión de los profesores participantes en este estudio sobre los macroobjetos f’(a) y f’(x). Partiendo de dicha posición cognitivista, esta investigación pretende mediar entre las orientaciones cognitiva y semiótica de la comprensión. Dicho de otra manera, consideramos que el marco teórico cognitivo APOE es insuficiente para explicar la comprensión de los profesores si no se amplía con la mirada que nos ofrecen las perspectivas semióticas sobre la comprensión. Dentro de estas últimas, hemos tenido en cuenta la teoría de los registros semióticos de Duval (1995, 2006) y el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (Godino, Batanero y Font, 2007; Font y Contreras, 2008). La cuestión específica que abordamos en este trabajo es la siguiente: ¿Qué niveles de comprensión de los macroobjetos f’(a) y f’(x) tienen los profesores de matemáticas que participaron en el estudio? 1. INTRODUCCIÓN INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 192 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) Comenzamos el trabajo revisando, en la sección 2, la literatura sobre la descomposición genética de la derivada y, más en general, los trabajos realizados en el marco de la teoría APOE sobre la comprensión de la derivada. En la sección 3, explicaremos la metodología utilizada. En la sección 4, se presentan los resultados del estudio sobre los niveles de comprensión del esquema de la derivada exhibidos por los profesores. Y terminamos en la sección 5, con unas consideraciones finales. 2. MARCO TEÓRICO 2.1. Una aproximación teórica para reflexionar sobre el conocimiento profesional del profesor de matemáticas: la teoría APOE Una de las problemáticas que más ha interesado en el área de educación matemática es la de determinar cuál es el conocimiento didáctico-matemático del profesorado, requerido para enseñar matemáticas. Se han dado diversas respuestas; entre otras: «conocimiento pedagógico» (Moore, 1974), «conocimiento pedagógico del contenido» (Shulman, 1986) y «conocimiento matemático para la enseñanza» (Ball, Lubienski y Mewborn, 2001; Hill et al., 2008). La línea de investigación sobre el conocimiento del profesor ha evolucionado desde perspectivas más cognitivas (estudio del pensamiento del profesor), cuyas bases se cimentan en la psicología cognitiva (Shulman, 1986; Leinhardt y Greeno, 1986; Simon y Tzur, 1999; Moreno y Azcárate, 2003), hasta perspectivas más socioculturales (estudio del conocimiento y práctica profesional del profesor), cuyas bases se cimentan en principios antropológicos y epistemológicos del conocimiento (Espinoza y Azcárate, 2000; Lerman, 2001; Llinares, 2000; Sensevy et al., 2005; Gavilán, García y Llinares, 2007; Ramos y Font, 2008). A partir de la última década del siglo pasado, se pasó a investigar el conocimiento del profesor en temas de contenido matemático específico, lo cual permitió comprender mejor el pensamiento matemático de los profesores y su influencia sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (García y Llinares, 1998; Norman, 1993; Even, 1993). En esta misma línea, nos ha interesado indagar la comprensión que tienen los profesores de los macroobjetos f’(a) y f’(x) cuando se enfrentan a la resolución de situaciones problema enunciadas en diferentes contextos y que requieren traducciones y relaciones entre diferentes representaciones semióticas. Dado que en el caso de la derivada intervienen dos funciones (f(x) y f’(x)), utilizaremos la expresión «traducciones y relaciones» para indicar tanto los tratamientos y conversiones entre diferentes representaciones de la misma función ((f(x) o f’(x)) –siguiendo la terminología de Duval (1995, 2006)–, como el paso de un tipo de representación de la función a una representación de la función derivada. Dado que la teoría APOE ha mostrado ser útil para describir la construcción por parte de estudiantes de varios conceptos matemáticos (Dubinsky, 1991, 1996; Asiala et al., 1996; Baker, Cooley y Trigueros, 2000; Trigueros y Martínez, 2010; Cooley, Trigueros y Baker; 2007; Sánchez-Matamoro, García y Llinares, 2006), consideramos que también podía resultar útil en la comprensión de cómo se estructura el concepto de derivada por parte de profesores de matemática en ejercicio y por esta razón la hemos utilizado como principal referente teórico. APOE es un acrónimo de las iniciales de los siguientes términos: acciones, procesos, objetos y esquemas, que son las construcciones mentales que, en el marco de esta teoría, un sujeto realiza para construir significados a partir de las situaciones problemas. Una acción es una transformación de objetos que el sujeto percibe como algo externo. Dicha transformación se lleva a cabo como reacción a una indicación que da información precisa sobre los pasos que se van a realizar. Cuando una acción se repite y el individuo reflexiona sobre ella, ésta puede interiorizarse en un proceso. El proceso es una transformación basada en una construcción interna, ya no dirigida por estímulos externos al individuo, de forma que éste puede describir los pasos involucrados en la transformación e incluso invertirlos. Los objetos se pueden construir cuando un sujeto reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un proceso en particular, toma conciencia del proceso como un todo, realiza aquellas transformaciones (ya sean acciones o procesos) que pueden actuar sobre él, y puede construir de hecho esas transformaciones. Entonces está pensando en este proceso como un objeto. En este caso, el proceso se ha encapsulado en un objeto. Finalmente, una vez construidos, objetos y procesos pueden ser interconectados de varias formas: por ejemplo, dos o más procesos pueden ser coordinados ligándolos mediante una composición u otras formas; procesos y objetos se relacionan en virtud de que los primeros actúan sobre los segundos. Una colección de procesos y objetos puede ser organizada en una manera estructurada para formar esquemas (Asiala et al., 1996; Dubinsky, 1996). Los mecanismos mentales que permiten hacer estas construcciones son las abstracciones reflexivas (interiorización, coordinación, encapsulación, generalización y reversión). La propuesta teórica APOE permite delimitar y describir el camino hacia la construcción, de un concepto matemático, en la mente de un sujeto. La descripción teórica de los pasos que ha de seguir esta construcción se llama descomposición genética. La teoría APOE se ha aplicado para describir e interpretar el desarrollo de un concepto en la mente de los estudiantes en el nivel preuniversitario –por ejemplo, el estudio de Clark y otros (1997) sobre la comprensión de los estudiantes de las reglas de derivación; y el estudio Baker y otros (2000) sobre la comprensión de estudiantes de un problema complejo del cálculo (gráfico)–. Estas investigaciones han desvelado que la teoría APOE era insuficiente para analizar sus datos sobre la comprensión de los estudiantes cuando los INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 193 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) conceptos eran considerados como esquemas, pero que la tríada de Piaget y García (1982) en el desarrollo de un esquema (intra, inter y trans) era útil en la interpretación de los niveles de comprensión. El uso de la tríada aporta ventajas, en especial cuando un esquema puede depender mucho del desarrollo de uno o más esquemas. En tales casos, se ha de estar preparado para identificar esos esquemas componentes y su multidimensionalidad. Por consiguiente, en la comprensión del desarrollo de un esquema global, se deben identificar no sólo los esquemas componentes del desarrollo en términos de acciones, procesos y objetos, sino también su coordinación. Dentro del esquema global, su coordinación nos conduce a nuevas estructuras que se construyen sobre las propiedades de los esquemas componentes (niveles inter, intra y trans). En la etapa intra, se construyen relaciones internas del objeto o fenómeno. Las explicaciones en este nivel son locales y particulares. Un objeto en el nivel intra no puede ser reconocido por el estudiante como debería ser y su forma es similar a la de una generalización simple (Baker et al., 2000). En este nivel el estudiante se concentra en una acción repetitiva o una operación, pero no tiene la capacidad para relacionar la acción con el sistema de condiciones a través del cual puede extender sus aplicaciones e incluirlas en un sistema de transformaciones interdependientes. Posteriormente, en la etapa inter, el individuo construye relaciones entre los objetos y fenómenos de conocimiento. En el nivel inter, los estudiantes usan, comparan y reflexionan sobre ideas que ellos tienen aisladas y esto les lleva a construir relaciones y transformaciones (Baker et al., 2000). En este nivel los estudiantes pueden establecer relaciones y pueden deducir de una operación inicial, una vez la tienen comprendida, otras operaciones que están implicadas o que pueden coordinarse con operaciones similares. Este proceso lleva a los estudiantes a un grupo de sistemas utilizando un método que incluye nuevas transformaciones. Y, finalmente, en la etapa trans, las relaciones construidas adquieren mayor coherencia y se estructuran las relaciones de la etapa anterior. En el nivel trans, el estudiante reflexiona sobre estas coordinaciones y relaciones desarrollando nuevas estructuras. A través de las síntesis de las transformaciones en el nivel inter, el estudiante construye y tiene conciencia de que el esquema está completo, y puede percibir nuevas propiedades globales que eran inaccesibles en otros niveles anteriores (Baker et al., 2000). En cada etapa de la tríada el estudiante reorganiza el conocimiento adquirido durante la etapa anterior. La progresión es gradual y no necesariamente lineal. En el proceso de aprendizaje los individuos desarrollamos diferentes esquemas, y el crecimiento y cambio de cada esquema puede ser descrito utilizando la tríada. Mientras se desarrolla el conocimiento, las personas construyen muchos esquemas coexistentes y todos ellos están constantemente cambiando y varían en los niveles de evolución. Por tanto, en algunas situaciones problemáticas una persona puede necesitar coordinar varios esquemas. Cada esquema está constituido por acciones, procesos, objetos y otros esquemas y sus relaciones. En particular un esquema puede influir fuertemente en el desarrollo de uno u otros esquemas. En cada caso, se pueden identificar algunos componentes del esquema y su multidimensionalidad. Por tanto, en la comprensión del desarrollo del esquema en general, uno puede identificar no sólo el crecimiento de una de las componentes del esquema, sino también la coordinación. Entonces, en el esquema general esta coordinación lleva a nuevas estructuras que fueron construidas sobre las propiedades de las componentes de los esquemas. 2.2. Limitaciones de la teoría APOE Somos conscientes de ciertas limitaciones que presenta la teoría APOE. En concreto hay dos que, en nuestra opinión, son muy relevantes: 1) En la teoría APOE, el constructo «objeto» se considera como el producto del proceso de reificación (encapsulación en la terminología de dicha teoría). Esta caracterización, que proviene básicamente de la tradición psicológica, es insuficiente para afrontar la problemática ontológica que presentan los objetos matemáticos. Para afrontar esta limitación resulta útil tener en cuenta la propuesta de caracterización de la emergencia de los objetos matemáticos a partir de las prácticas que ofrecen las perspectivas semióticas, en especial el enfoque ontosemiótico (Godino, Batanero y Font, 2007). 2) Los constructos de representación o «medio semiótico» no son considerados explícitamente en la teoría APOE. En el marco APOE se echa de menos un tratamiento específico del papel de las representaciones semióticas asociadas a los conceptos matemáticos. 2.3. Ampliaciones semióticas de la teoría APOE Investigaciones recientes que han ampliado la teoría APOE con perspectivas semióticas recurren a la teoría de los registros semióticos (TRS) de Duval (Trigueros y Martínez, 2010) o bien al enfoque ontosemiótico (EOS) (Font et al., 2010). Con relación a la TRS, Trigueros y otros (2010) en un estudio sobre el análisis de cómo los alumnos trabajan con funciones de dos variables, sostiene que, «En particular, el análisis de gráficas de funciones, junto con otras representaciones, es fundamental en la construcción de relaciones fuertes entre las componentes de un posible esquema para el concepto de función de dos variables. La descripción de los tratamientos y las conversiones como acciones o procesos para llevar a cabo con representaciones como gráficos o símbolos añade especificidad y un nuevo punto de vista de la descripción y el análisis utilizando la teoría APOE. Estos dos marcos conceptuales se pueden utilizar de una manera coherente y complementaria, tanto en INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 194 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) el análisis de respuestas de los estudiantes y las estrategias cuando trabajan en las tareas y para diseñar la enseñanza en el futuro.» (Trigueros y Martínez, 2010, p. 5). En este trabajo, tal como propone Trigueros y Martínez (2010), hemos tenido en cuenta la importancia de los registros semióticos. En especial, la siguiente manera de entender el cálculo de la función derivada (Font, 2005, p. 118). «(…) se considera que el cálculo de f’(x) a partir de (x) se puede interpretar como una práctica, en la que a su vez se han de considerar tres subprocesos: 1) Traducciones y conversiones entre las distintas formas de representar f(x) 2) El paso de una representación de f(x) a una forma de representación de f’(x) 3) Traducciones y conversiones entre las distintas formas de representar f’(x)» Los diferentes tipos de representaciones que intervienen en estos tres subprocesos son cuatro representaciones de la función y cuatro de su función derivada (descripción verbal, gráfica, fórmula y tabla). Más en general, en este trabajo hemos considerado tres aportaciones del EOS: 1) la reflexión sobre los registros semióticos realizada en Font (2005); 2) las ideas de complejidad semiótica, trama de funciones semióticas y conflicto semiótico (Font y Contreras, 2008); y, 3) la reflexión realizada por este marco teórico sobre la naturaleza de los objetos matemáticos y su emergencia a partir de las prácticas. Con relación al segundo aspecto, el EOS ha puesto de manifiesto la complejidad semiótica –concretada en tramas de funciones semióticas que deben ser activadas (Font y Contreras, 2008)– relacionada con el cálculo de la derivada en un punto y de la función derivada. Según como se gestione dicha complejidad semiótica en el proceso de instrucción, se puede facilitar (o no) la aparición de conflictos semióticos, entendidos como disparidad o desajuste entre los contenidos atribuidos a una misma expresión por el alumno y la institución. Por ejemplo, en algunos libros de texto se puede observar un conflicto semiótico potencial causado por la introducción implícita de la función derivada en la definición de la derivada en un punto, al usar la notación incremental como primera notación (Badillo, Font y Azcárate, 2005; Font y Contreras, 2008). La regularidad con la que se manifiestan en los alumnos los conflictos semióticos relacionados con la función derivada se considera en el EOS un indicador de un fenómeno relevante: la dificultad de comprensión de la noción de «derivada» y la principal variable explicativa que da este enfoque es la complejidad semiótica, concretada en una trama de funciones semióticas, asociada a esta noción. Las nociones de complejidad semiótica, trama de funciones semióticas y conflicto semiótico nos han sido muy útiles para refinar la descomposición genética de los macroobjetos f(x) y f’(x) utilizada en esta investigación. Con relación al tercer aspecto, el enfoque ontosemiótico (Godino, Batanero y Font, 2007) considera que el proceso por el cual los objetos matemáticos emergen a partir de las prácticas es muy complejo y que deben ser distinguidos, al menos, dos niveles de emergencia. En un primer nivel, emergen representaciones, definiciones, proposiciones, procedimientos, problemas y argumentos, mientras que, en un segundo nivel, emerge un objeto matemático, por ejemplo el objeto función, que es considerado como un objeto que puede ser representado por diferentes representaciones, que puede tener varias definiciones equivalentes, que tiene propiedades, etc. En nuestra opinión, esta manera de entender la emergencia de los objetos matemáticos mejora lo que se dice en la teoría APOE sobre los objetos. Nuestra opción ha sido mantenernos en el marco de la teoría APOE pero ampliando nuestra manera de entender los objetos matemáticos que forman los esquemas en la dirección que sugiere el EOS. En concreto hemos postulado la siguiente hipótesis: el esquema del concepto de derivada está conformado por la coordinación de varios objetos matemáticos. Concretamente, en este estudio nos centraremos en describir el esquema de la derivada como la conexión interna de dos objetos complejos o macroobjetos, como son: el macroobjeto derivada en un punto f’(a) y el macroobjeto función derivada f’(x). Estos dos macroobjetos, a su vez, son el resultado de la coordinación, consciente o inconsciente, de tres objetos: pendiente de la recta (O1), límite de las tasas medias de variación (O2) y razón de cambio (O3). La elección de considerar el esquema de la derivada conformado por los dos macroobjetos f’(a) y f’(x), los cuales a su vez son el resultado de la conexión interna de tres objetos previos (O1, O2 y O3), la hicimos basándonos en la información que nos proporcionan tres fuentes. En primer lugar, el análisis teórico inicial del concepto de derivada que nos lleva a la construcción de la descomposición genética del concepto de derivada, la cual toma en cuenta, entre otras cosas, la historia, la epistemología del mismo concepto y la ampliación ontosemiótica comentada en el párrafo anterior. En segundo lugar, la información que aportan las diferentes investigaciones en didáctica de la matemática que se han centrado en el estudio tanto del aprendizaje como de la enseñanza del concepto de derivada (Azcárate, 1990), las cuales han revelado la complejidad y riqueza que tiene el concepto y las dificultades que tiene la comprensión del mismo cuando un sujeto se enfrenta a la resolución de problemas rutinarios y no rutinarios. Y, finalmente, el análisis preliminar de las respuestas que han dado los profesores que participan en este estudio a los dos instrumentos que diseñamos para analizar su comprensión sobre el concepto de derivada (Anexos 1 y 2), que han evidenciado diferentes grados de comprensión de los objetos definidos, dependiendo del contexto en el que se enuncia el problema y las representaciones semióticas asociadas a dichos problemas. f'(a) = lim Δx ➝ 0 Δy Δx(en x = a) INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 195 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) 2.4. El esquema y los niveles de comprensión de los macroobjetos f’(a) y f’(x) en esta investigación La coordinación de los macroobjetos f’(a) y f’(x) en la resolución de problemas rutinarios y no rutinarios enunciados en diferentes contextos nos permite describir el nivel de comprensión del esquema de la derivada que tienen los sujetos. Para llegar a tener un esquema coherente del concepto de derivada se requiere coordinar dos esquemas previos, uno algebraico y otro gráfico, los cuales son el resultado de la coordinación de los macroobjetos f’(a) y f’(x), que requieren a su vez de la coordinación interna de tres objetos: O1, O2 y O3 (Figura 1). En las tablas 1, y 2, presentamos las categorías de cada uno de estos dos esquemas. Para ello, se ha utilizado la descomposición genética que hemos construido para la relación de los macroobjetos f’(a) y f’(x). Dicha descomposición genética no se detalla en este trabajo por cuestiones de espacio. 3. METODOLOGÍA En este artículo analizamos la comprensión que muestran cinco profesores de matemáticas de secundaria de diferentes institutos, públicos y concertados, del Departamento del Atlántico de Colombia, que aceptaron de manera voluntaria formar parte de la investigación sobre el conocimiento profesional del profesor de matemática. Estos profesores enseñaban la derivada en primero y segundo curso de bachillerato (16-18 años). Se trata de un estudio de casos. Se diseñó un instrumento, que hemos denominado cuestionario indirecto (ver anexo 1), en el cual se les pedía a los profesores que trataran de explicitar por escrito, lo más detalladamente posible, lo que consideraban que debería responder uno de sus estudiantes que hubiera comprendido el concepto de derivada, como resultado del proceso de estudio que ellos hubieran impartido. Para lo cual, previamente, tenían que resolver los problemas propuestos. Este formato nos permitió acceder indirectamente, de manera integrada y por separado, a las formas de conocer el concepto de derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje. Todos los profesores resolvieron por escrito los problemas propuestos. Para determinar si los datos obtenidos realmente reflejaban el nivel de comprensión del concepto de derivada que tenían los profesores, realizamos una triangulación de datos y les propusimos una entrevista semiestructurada sobre las respuestas del cuestionario. En ese ambiente de intercambio, aprovechamos para presentar un segundo cuestionario, de cinco problemas, en viñetas (ver anexo 2), con el que pudimos indagar directamente, aspectos conceptuales de los macroobjetos f(x), f’(a) y f’(x) que nos permitieran validar y contrastar los resultados obtenidos en el primer cuestionario (Badillo, 2003). La selección de las tareas del cuestionario 1 y de las viñetas de la entrevista se realizó en dos etapas. En la primera, se confeccionó una lista de tareas cuya resolución implicaba la coordinación de los macroobjetos f’(a) y f’(x) en contextos algebraicos y gráficos. En la segunda, se reelaboró la muestra de manera que las tareas fuesen similares a las que el grupo de profesores proponían a sus alumnos. Una de las consecuencias de este proceso fue que algunas tareas que se han considerado relevantes en otras investigaciones no se contemplaron en los instrumentos utilizados –por ejemplo, tareas de construcción de gráficas a partir de ciertas condiciones que cumple la función, algunas de las cuales son sobre discontinuidades (García, Llinares y Sánchez-Matamoros, 2010). La metodología implementada para el análisis de esta componente del conocimiento profesional fue la siguiente: Primera fase: Elaboración del constructo «niveles de comprensión de los esquemas gráfico y algebraico de la derivada» (Tablas 1 y 2), a partir de la descomposición genética elaborada por los autores, la cual tuvo en cuenta descomposiciones genéticas previas, aportes de la historia y epistemología de este concepto y los resultados de una investigación previa (Badillo, 1999). Figura 1 Coordinación de los macroobjetos f’(a) y f’(x). INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 196 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) NIVEL INTRA NIVEL INTER NIVEL TRANS – No existe una clara coordinación entre los objetos f’(a) y f’(x),lo cual se detecta en las aplicaciones concretas (cuando utilizan el objeto razón de cambio o bien el objeto pendiente de la recta tangente). – Se necesita tener o construir la expresión simbólica de la función para obtener el valor de la derivada en un punto: ES f (x) a ES f’(x) C – Se tiene una perspectiva proceso de la diferenciación de funciones, lo cual implica que para obtener la expresión simbólica de f’(x) a partir de f (x) se aplican correctamente las técnicas de derivación directa (definición formal del concepto en términos del límite) y de derivación indirecta (reglas de derivación), pero sin justificación alguna de las mismas, y luego para calcular f’(a) se calcula f’(x) en x = a. – No existe una coordinación de los objetos: razón de cambio, pendiente de la recta tangente y límite de las tasas medias de variación (O1, O2 y O3). – Dado que los objetos O1, O2 y O3 no están coordinados no han llegado a construir el objeto f’(x) como síntesis de estos tres objetos, lo cual lleva a cometer errores, como por ejemplo: confundir la f’(x) con la expresión simbólica de la recta tangente a la curva en un punto. – El objeto razón de cambio sólo se sabe aplicar en situaciones de la cinemática para resolver la velocidad instantánea [ ]. – En determinados problemas en los que es necesario calcular el límite de las razones de cambio se aplica correctamente tanto las reglas de derivación como la definición de la función derivada en términos de límite. Esto lleva a considerar la posibilidad de que hay una coordinación entre estos dos objetos, pero cuando se les pregunta sobre esta relación dan respuestas que muestran que no son conscientes de ella o que no la tienen elaborada. – Dependiendo del contexto de la situación relacionan los objetos f’(a) y f’(x), como elemento y clase. – La función derivada se entiende como la función que asocia, a cada valor x del dominio de la función, el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. La pendiente de la recta tangente que es entendida básicamente como el coeficiente de la x en la ecuación de la recta tangente (coeficiente angular). – Dependiendo del contexto de la situación puede darse una coordinación entre los objetos: pendiente de la recta tangente, razón de cambio y límite de las tasas medias de variación. Pero en otros contextos esta relación no se da. – El objeto razón de cambio ahora se puede aplicar a situaciones donde la magnitud que depende del tiempo no es sólo el espacio [ ; ]. – Se aplican correctamente las técnicas de derivación directa (definición formal del concepto en términos del límite) y de derivación indirecta (reglas de derivación), justificando el uso de las mismas, y aparecen algunas técnicas de aproximación (función pendiente), mostrando una perspectiva objeto de la diferenciación de funciones. – En algunos contextos para calcular el límite de las razones de cambio aplican correctamente tanto reglas de derivación como la definición de función derivada en términos de límite, mostrando una coordinación entre estos dos objetos, pero en determinados casos puede no darse esa coordinación. – El objeto f’(x), según la situación, se puede entender como una clase de objetos los cuales son la derivada de la función en cada punto del dominio, o bien como un objeto en el que se pueden realizar nuevas acciones, p. e.: la segunda derivada. – La expresión simbólica de objetos f’(x) es el modelo matemático que les permite asociar, a cada punto del dominio, el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto; y obtener el límite de las razones de cambio y el límite de las tasas medias de variación. – Independientemente del contexto de la situación se coordinan los tres objetos: pendiente de la recta tangente, límite de las razones de cambio y límite de las tasas medias de variación. – El objeto razón de cambio se puede aplicar ahora a situaciones donde se puede considerar las variaciones de dos magnitudes cualesquiera, sin necesidad de limitarse a variaciones donde la variable independiente sea el tiempo [ ; ; ]. – Se hacen traducciones entre diferentes representaciones de funciones. – Se coordinan algunas representaciones de la función y la función derivada y se hacen algunas traducciones entre diferentes representaciones de la función derivada . – Se manejan y coordinan justificadamente todas las técnicas directas e indirectas de derivación: utilizando límites, reglas de derivación, ecuaciones diferenciales, y aproximación gráfica y numérica. Tabla 1 Niveles de comprensión del esquema algebraico de la derivada. Lim t➝0 e t Lim t➝0 e tLim t➝0 mag t Lim t➝0 e tLim t➝0 mag tLim mag➝0 mag mag' INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 197 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) NIVEL INTRA NIVEL INTER NIVEL TRANS – Se tiene una única interpretación de la representación gráfica de la recta tangente a la gráfica de una curva, como el límite de las rectas secantes. – Se interpreta gráficamente f’(x) como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto, y la gráfica de f’(x) se tiende a confundir con la gráfica de esta recta tangente a la gráfica de la función en un punto. – Los objetos O1, O2 y O3 son analizados aisladamente en términos de las condiciones analíticas. Más concretamente, se puede utilizar la inclinación de la recta tangente para determinar el signo de la derivada de la función en algunos puntos concretos (intuitivamente se aplica el criterio de la primera derivada), pero no se generaliza esta técnica para hacer la representación gráfica de f’(x). – Para obtener la gráfica de f’(x) a partir de la gráfica de la función se requiere hacer las siguientes traducciones y relaciones: G f (x) ➝ ES f (x) a ES f’(x) ➝ G f’(x) – Dado que no hay una coordinación entre los objetos O1, O2 y O3, se tiene dificultad para resolver problemas que involucran el objeto razón de cambio a partir de la información que le proporciona la gráfica de la función. – La interpretación de la derivada como velocidad instantánea le permite saber en una gráfica los puntos en los que la velocidad es máxima, mínima o nula. Sin embargo, sólo lo puede hacer en un punto o varios puntos y no en infinitos puntos (sean intervalos o bien todo el dominio). – En situaciones que involucran razones de cambio se tiende a confundir la variación media con la variación instantánea. – Se tienen dos, o más, interpretaciones de la representación gráfica de la recta tangente a la gráfica de una curva: como el límite de las rectas secantes y como la recta más próxima a la gráfica de la función (curva) en el entorno del punto. – Se coordinan el objeto de pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto con el objeto límite de las razones de cambio en un punto, estas últimas aplicadas ahora a la variación de magnitudes diferentes del espacio que dependen del tiempo. – Se maneja con propiedad el criterio de la primera derivada para describir la variación local y global de la función expresada gráficamente, y por tanto, pueden hacer la gráfica de f’(x) a partir de la gráfica de f (x). – Se comienza a distinguir los objetos f’(a) de f’(x), pero dependiendo del contexto de la situación aún se tiene dificultad para diferenciarlos. – De manera incipiente y especialmente en los puntos de inflexión se utiliza gráficamente el criterio de la segunda derivada coordinadamente con el criterio de la primera derivada, pero no pueden justificar gráficamente que si f’’(x) >0 en un intervalo del dominio de la función, entonces la función es cóncava hacia arriba en dicho intervalo. – Pueden obtener la gráfica de f ’(x) a partir de la gráfica de la función (G f (x) ➝ G f’(x)), sin tener que hacer las siguientes traducciones y relaciones: G f (x) ➝ ES f (x) a ES f’(x) ➝ G f’(x) – Se diferencia la variación media de la variación instantánea, en problemas representados en diferentes contextos. – Se coordinan los objetos O1, O2 y O3. Por tanto, se puede entender la pendiente de la recta tangente como: 1. La inclinación de la recta tangente. 2. Límite de las pendientes de las rectas secantes. 3. Cuando la situación se relaciona con la variación de dos magnitudes cualesquiera, representadas gráficamente, pueden entender que la pendiente de la recta tangente es el límite de las razones de cambio. – El objeto razón de cambio es aplicado ahora a la variación de dos magnitudes cualesquiera. – Se agrupa en una nueva función todas las derivadas en cada punto, como el valor de las pendientes de la recta tangente a la gráfica de la función en cada punto del dominio, como el límite de las tasas medias de variación y como el límite de las razones de cambio en cada punto del dominio. – Se maneja con propiedad los criterios de la primera y la segunda derivada para describir la variación local y global de la función representada gráficamente, lo cual le permite hacer las siguientes relaciones entre representaciones de la función y de la función derivada: G f (x) ➝ G f’(x); G f’(x) ➝ G f (x); DV f’(x) ➝ G f (x); DV f (x) ➝ G f’ (x) – Se discrimina entre aquellas relaciones y propiedades que están incluidas y aquellas que no están incluidas en la coordinación de los tres objetos, demostrando una coherencia en el esquema. Tabla 2 Niveles de comprensión del esquema gráfico de la derivada. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 198 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) Segunda fase: 1. Transcripción literal de la entrevista sobre la justificación del proceso de resolución de los problemas del cuestionario, incorporando la respuesta de cada una de las preguntas del mismo. 2. Transcripción literal de la entrevista con viñetas. 3. Primera síntesis de la información: elaboración de unas tablas resumen donde se destacaban los aspectos más significativos en las respuestas de los profesores del concepto de derivada como objeto matemático. 4. Construcción de las redes sistémicas (Bliss, Monk y Ogborn, 1983), de las respuestas de los profesores a cada uno de los problemas del cuestionario y de las viñetas, a partir de las categorías de los niveles de comprensión del esquema algebraico y gráfico definidos en las tablas 1 y 2. 5. Triangulación de la información para construir las líneas de coherencia del proceso de resolución (Garbin, 2005; Garbin y Azcárate, 2002). En total construimos tres líneas de coherencias, clasificando los problemas de la siguiente manera: – Línea de coherencia 1: relación entre los objetos pendiente de la recta tangente y razón de cambio en la construcción del macroobjeto f’(a). Se tuvieron en cuenta las respuestas de cada profesor a los problemas 3 y 4 del cuestionario, y la parte de la entrevista en la que el profesor comentaba estos dos problemas y el problema V de las viñetas. – Línea de coherencia 2: la relación gráfica entre los macroobjetos f’(a) y f’(x). Se tuvieron en cuenta las respuestas de cada profesor a los problemas 1 y 2 del cuestionario, y la parte de la entrevista en la que el profesor comentaba estos dos problemas y el problema IV de las viñetas. – Línea de coherencia 3: la relación algebraica entre los macroobjetos f’(a) y f’(x). Se tuvieron en cuenta las respuestas de cada profesor al problema 5 del cuestionario, y la parte de la entrevista en la que el profesor comentaba este problema y los problemas I, II y III de las viñetas. 6. Determinación del nivel de comprensión de cada uno de los profesores participantes (Tabla 3). 4. RESULTADOS DEL ESTUDIO: NIVELES DE COMPRENSIÓN DEL ESQUEMA DE LA DERIVADA EXHIBIDOS POR LOS PROFESORES El análisis particular de los cinco casos nos permite ver una pluralidad en los niveles de comprensión que tienen los profesores que participaron en este estudio sobre el concepto de derivada, tal y como se ilustra en la tabla 3. Por cuestiones de espacio nos limitaremos a presentar de manera global la clasificación de los profesores de la tabla 3 y justificaremos la caracterización de los profesores A y B, citando textualmente algunos fragmentos de las entrevistas, donde justifican las respuestas dadas a los problemas planteados, que fueron significativos para definir el nivel de comprensión del esquema de la derivada. Así, encontramos dos profesores que tienen un nivel intra algebraico-intra gráfico (intra-intra) caracterizado por tener una perspectiva proceso de los macroobjetos f(x), f’(a) y f’(x), que no son coordinados en la resolución de problemas rutinarios y no rutinarios enunciados en diferentes contextos. Esta perspectiva proceso de los macroobjetos f’(a) y f’(x) está determinada a su vez por la no coordinación interna de los objetos O1, O2 y O3 que engloba el macroobjeto f’(a); y por no llegar al proceso de síntesis de estos tres objetos O1, O2 y O3 en los objetos O’1, O’2 y O’3 que engloba el macroobjeto f’(x). Igualmente, en los procesos de resolución de problemas que involucran los objetos anteriores, los procesos cognitivos que activan estos profesores son la coordinación de acciones externas y de procesos, y la interiorización de estas acciones en procesos. Tal como se ha dicho, la ubicación de un profesor en un determinado nivel de comprensión es el resultado de la triangulación del análisis de las tres líneas de coherencia. Si consideramos el caso del profesor A, y tomamos, por ejemplo, la información que nos proporciona el análisis de la línea de coherencia 2 –situaciones de aplicación de la comprensión gráfica de los macroobjetos f(x), f’(a) y f’(x)–, vemos que este profesor necesita recurrir a la expresión simbólica de la función para poder hacer traducciones y relaciones entre diferentes representaciones de estos tres macroobjetos. Este hecho nos permite inferir que tiene una perspectiva proceso del concepto de función en la que a partir del objeto expresión simbólica de f(x) Nivel del esquema algebraico Nivel del esquema gráfico INTRA INTER TRANS INTRA A, E C ? INTER D TRANS ? B Tabla 3 Análisis general de los niveles de comprensión del concepto de derivada que exhiben los profesores. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 199 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) hace transformaciones mentales dinámicas a este objeto produciendo nuevos objetos, pero evidencia dificultades en desarrollar acciones (mentales) sobre el objeto matemático función que la transformen globalmente (Dubinsky et al., 1996). Esta perspectiva proceso del concepto de función tiene más peso que la propia interpretación gráfica del concepto como y = f (x) a la hora de resolver problemas. Un indicador de que este profesor necesita recurrir a la expresión simbólica de la función lo tenemos en el siguiente segmento de la entrevista realizada sobre la respuesta al ítem a) del problema 1 del cuestionario: «Calculo la pendiente de la recta L, luego la ecuación. Obtenida la ecuación calcula f (5) en la ecuación que debe darle 3 (...) Bueno, yo creo que el alumno lo realizaría así, porque con el proceso comprobaría que f (5) le debe dar 3, tal y como se ve en el gráfico.» La ubicación del profesor A en el nivel de comprensión intra-intra se justifica también por otras respuestas. Por ejemplo, analizando su respuesta a los ítems b) y c) del mismo problema, consideramos que el profesor A exhibe una perspectiva proceso de f’(a) y de f’(x), donde para calcular el valor de f’(a) a partir de la información que le proporciona la gráfica necesita: (1) encontrar la expresión simbólica que representa la función, o en su defecto la expresión simbólica de la recta tangente; (2) aplicar técnicas indirectas de derivación para encontrar la expresión simbólica de f’(x); y (3), sustituir el valor de x = a en la expresión simbólica de f’(x) para obtener el valor de f’(a). Esto nos permite inferir, por un lado, que el profesor A tiene dificultad para coordinar, tanto gráfica como algebraicamente, los objetos derivada de la función en un punto y el objeto pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función en ese punto; y por otro lado, que deja como responsabilidad del alumno la comprensión de los macroobjetos f’(a) y f’(x) como elemento y clase, lo cual puede ser un indicador de la dificultad que tiene el profesor para relacionar y coordinar estos macroobjetos. «En la ecuación de la recta tangente hallada calcula dy/dx en x = 5, que representa la derivada de la función en el punto de tangencia, seguramente el alumno deducirá que f’(x) = mL, f’(5) será la pendiente de la recta L que en este caso da 2/5. (...) Sí, porque el f’(5) como interpretación es la pendiente de la recta tangente en ese punto.» Creemos conveniente decir que, si bien es cierto que a los profesores A y E los hemos ubicado en este mismo nivel de comprensión, en el análisis particular de cada uno de los casos se describen sutiles diferencias en los procesos de resolución de los problemas; pero encontramos en sus esquemas dificultades y errores comunes, tales como reducir el macroobjeto f’(x) al macroobjeto f’(a), e incluso confundir la expresión simbólica de f’(x) con la expresión simbólica de la recta tangente a la curva en un punto, o bien, la gráfica de f’(x) con la gráfica de la recta tangente a la curva en un punto. Encontramos un solo profesor en el nivel de comprensión inter algebraico-intra gráfico (inter-intra). El nivel inter-intra que tiene el profesor C está caracterizado por una perspectiva proceso de los macroobjetos f’(a) y f’(x) que, dependiendo del contexto de la situación, son coordinados en la resolución de problemas rutinarios y no rutinarios. Esta perspectiva proceso de los macroobjetos f’(a) y f’(x) está determinada a su vez dependiendo del contexto de la situación, por la coordinación interna de los objetos O1, O2 y O3 que engloba el macroobjeto f’(a); y, dependiendo del contexto del problema, se da el proceso de síntesis de estos tres objetos O1, O2 y O3 en los objetos O’1, O’2 y O’3 que engloba el macroobjeto f’(x). Igualmente, los procesos cognitivos que activa el profesor C en la resolución de problemas relacionados con el concepto de derivada son la coordinación de acciones y procesos, la interiorización de estas acciones en procesos; y sólo podríamos hablar de los procesos cognitivos de encapsulación de procesos en objetos y desencapsulación de objetos en procesos con relación a la diferenciación de funciones (esquema algebraico), puesto que encontramos que el profesor C hace un uso justificado de las técnicas de derivación. En el nivel de comprensión trans algebraico-inter gráfico tenemos al profesor D (trans-inter). Este nivel está caracterizado por tener una perspectiva objeto de los macroobjetos f’(a) y f’(x), que son coordinados en la resolución de problemas rutinarios y no rutinarios, pero dependiendo del contexto en que son enunciados. Esta perspectiva objeto de los macroobjetos f’(a) y f’(x) está determinada a su vez por la coordinación interna de los objetos O1, O2 y O3 que engloba el macroobjeto f’(a); y por el proceso de síntesis de estos tres objetos O1, O2 y O3 en los objetos O’1, O’2 y O’3 que engloba el macroobjeto f’(x). Igualmente, encontramos que el profesor D en los procesos de resolución de los problemas planteados activa, dependiendo del contexto de la situación, una serie de procesos cognitivos complejos como son interiorización de acciones en procesos, encapsulación de procesos en objetos y desencapsulación de objetos en procesos, síntesis de procesos en esquemas y coordinación de acciones y procesos. Un aspecto clave para haber ubicado el esquema del profesor D en el nivel inter gráfico está en las dificultades que hemos detectado en la comprensión gráfica de las funciones acumulativas y algunas contradicciones entre los razonamientos algebraicos y gráficos aplicados al objeto tasa media de variación (simultáneamente usaba argumentos del cálculo diferencial y del cálculo integral). Finalmente, el profesor B tiene un nivel de comprensión del esquema de la derivada trans algebraico-trans gráfico (trans-trans) caracterizado por tener una perspectiva objeto de los macroobjetos f’(a) y f’(x), que son coordinados en la resolución de problemas rutinarios y no rutinarios enunciados en diferentes contextos. Esta perspectiva objeto de los macroobjetos f’(a) y f’(x) está determinada a su vez por la coordinación interna de los objetos O1, O2 y O3 que engloba el macroobjeto f’(a) y por el proceso de síntesis de estos tres objetos O1, O2 y O3 en los objetos O’1, O’2 y O’3 que engloba el macroobjeto f’(x). Igualmente, encontramos que el profesor B en los procesos de resolución de los problemas plantea- INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 206 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2011, 29(2) Summary This paper describes the levels of understanding of the relation between f’(a) and f’(x) among five Mathematics teachers who were teaching classes to 16-18 year olds in different schools in Colombia. The analysis is based on the APOS framework, in this case with the addition of certain semiotic aspects. The five teachers responded to an indirect questionnaire about their understanding of f’(a) and f’(x), and were subsequently interviewed in relation to a series of vignettes. The specific question addressed by this study is: What levels of understanding of the macro-objects f’(a) and f’(x) do these five teachers have? One of the main contributions of the study is theoretical in nature and consists in characterizing a priori the levels of understanding of the derivative schema. This characterization was achieved by extending APOS theory through contributions from the semiotic perspective. This enabled us to describe the derivative schema as resulting from the coordination of two previous schemas, one algebraic and the other graphical, which themselves result from the coordination of the macroobjects f’(a) and f’(x), each of which requires in turn the internal coordination of three objects: the slope of the straight line (O1), the limit of the mean rates of variation (O2) and the ratio of change (O3). The levels of understanding of the graphical and algebraic schemas of the derivative are presented as the result, above all, of the genetic decomposition of the derivative concept, which is complemented here by the semiotic analysis and by the analysis of the responses given by the five participating teachers. On the basis of the empirical data analysed we conclude the following: (1) only some of the defined levels of understanding were found among these five teachers; (2) the richness of the results enables us to validate some of the theoretical categories referring to levels of the dual triad, for example, intra/intra (teachers A and E), inter/ intra (teacher C), trans/inter (teacher D) and trans/trans (teacher B); and (3) the viability of other categories remains doubtful, for example, the intra algebraic/trans graphical (intra/trans) level and the levels trans algebraic/intra graphical (trans/intra) and inter algebraic/trans graphical (inter/trans). Indeed, we consider that the intra algebraic/trans graphical level of understanding is not possible in reality. In other words, it is not cognitively viable, since the graphical interpretation of the macroobjects f’(a) and f’(x) requires a degree of complexity in handling the formal apparatus of these objects that is not present in the intra algebraic level. By contrast, we believe that one is more likely to find the trans algebraic/ intra graphical level of understanding because it is influenced by the traditional teaching of mathematical concepts, in which priority is given to the algebraization of mathematical concepts, to the detriment of their graphical interpretation. The inter algebraic/inter graphical (inter/inter) and inter algebraic/trans graphical (inter/ trans) levels of understanding could, in theory, be found, although they did not appear in the present analysis. The responses of some of the teachers at the intra/intra levels revealed confusion about or a lack of differentiation between the macro-objects f’(a) and f’(x). This confusion can also be observed in many of the Mathematics textbooks used by the participating teachers (Badillo, Font & Azcárate, 2005). Some of the indicators of this confusion are: (1) the difficulty experienced by some teachers (A, E and C) as regards the graphical understanding of the macro-objects f(x), f’(a) and f’(x); and (2) some teachers reproduced inconsistencies in relation to these macro-objects that have been previously highlighted by research into how such objects are learnt, specifically: (a) they confused (teachers A and E) the macro objects f’(a) and f’(x); (b) they reduced (teachers A, E and C) the symbolic expression of the macro-object f’(x) to the equation of the tangential line, and the graph of the macro-object f’(x) to the graph of the tangential line; and (c) they failed to justify (teachers A, E, C and D) the use of direct and indirect derivation techniques (definition in terms of the limit and the rules of derivation). The theoretical and analytical categories adapted from APOS theory, together with the levels of development of the schema, enable us to explain why some teachers are able to manage the semiotic complexity associated with the macro-objects f’(a) and f’(x), while others have difficulty in doing so. This phenomenon is due to the level of conceptual development and the coordination of the algebraic and graphical schemas. Analysis of Mathematics teachers’ level of understanding of the objects f’(a) and f’(x) Badillo, Edelmira1; Azcárate, Carmen1 y Font, Vicenç2 1 Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals. Universitat Autònoma de Barcelona 2 Departament de les Ciències Experimentals i de la Matemàtica. Universitat de Barcelona [email protected] [email protected] [email protected]