Equivalence de deux fibrations pour les feuilletages logarithmiques

Publicacions Matem`atiques, Vol 40 (1996), 95–114. EQUIVALENCE DE DEUX FIBRATIONS POUR LES FEUILLETAGES LOGARITHMIQUES Abdelhak Kabila Abstract The object of this work is to generalize to the germs of Pfaffian logarithmic forms, the two equivalent descriptions of the J. Milnor’s fibre that is wellknown for the germs of holomorphic functions. Introduction Soit fune fonction analytique d´efinie au voisinage de l’origine 0 de Cn. On suppose que f(0) = 0 et que fest `a singularit´e isol´ee en 0. εet η´etant des r´eels strictement positifs on note: -εB2n(respectivement D2 η) la boule ouverte de centre 0 et de rayon εdans Cn(respectivement le disque ferm´edecentre0etderayon ηdans C). -εS2n−1la sph`ere de centre 0 et de rayon εdans Cn. -εK =εS2n−1∩f−1(0). Pour εet ηassez petits J. Milnor a d´emontr´e dans [2] que chacune des deux applications suivantes, Φet Φ d´efinies par: Φ:z∈εS2n−1εK →f(z) |f(z)|∈S1 et Φ :z∈f−1(∂D2 η)∩εB2n→f(z)∈∂D2 η est une fibration C∞localement triviale, et qu’en plus ces deux fibrations sont ´equivalentes ce qui donne deux descriptions ´equivalentes de la fibre de J. Milnor. Le but de ce travail est de g´en´eraliser ces r´esultats aux germes de formes de Pfaff logarithmiques. 96 A. Kabila G´en´eralisation aux feuilletages logarithmiques Soient f1,f 2,... ,f m,mgermes de fonctions holomorphes `a l’origine 0deCn,etλ1,λ 2,... ,λ m,mnombres complexes non tous nuls. Nous supposons que tous les fksont premiers entre eux et que fk(0) = 0 pour tout kcompris entre 1 et m. D´esignons par: -ωle germe en 0 ∈Cnde forme de Pfaff holomorphe d´efini par ω=f1f2...f m m  k=1 λk df k fk . - Ω la forme de Pfaff ferm´ee suivante: Ω= m  k=1 [Im λkd(Log |fk|)+Reλkd(Arg fk)] o`uIm∗(respectivement Re ∗)d´esigne la partie imaginaire (respectivement r´eelle) de ∗, et Arg fk(z)d´esigne l’argument de fk(z) pour z∈Cn. -εB2n(respectivement εS2n−1)d´esigne la boule (respectivement la sph`ere) de centre 0 et de rayon εdans Cn. -εK =εS2n−1∩X0,o`uX0d´esigne le germe d’hypersurface d’´equation r´eduite: f1f2...f m=0. -Fle germe, en 0 ∈Cn, de fonction multiforme: fλ1 1fλ2 2...fλm m. -ν1,ν 2,... ,ν m, respectivement l’ordre en 0 ∈Cnde f1,f 2,... ,f m. Remarque 1. L’extension aux germes de formes de Pfaff logarithmiques de certains r´esultats li´ees `a la structure de la fibration de Milnor d’un germe de fonction holomorphe impose d’introduire l’hypoth`ese naturelle de non r´esonnance m  k=1 λkνk=0. Remarque 2. On peut toujours, quitte `a changer les λk,1≤k≤m,aud´epart, ce qui ne modifie pas le feuilletage, supposer que m  k=1 λkνkest un r´eel Deux fibrations pour les formes logarithmiques 97 strictement positif. Plus pr´ecisement si m  k=1 λkνkn’est pas un r´eel, on pose: ρ= m  k=1 λkνk et on consid`ere la forme de Pfaff holomorphe suivante: f1·f2...f m m  k=1 µk df k fk o`u µk=ρλkpour tout kcompris entre 1 et m. Il est clair que le feuilletage d´efini par la forme de Pfaff f1·f2...f m m  k=1 µk dfk fk est le mˆeme que celui d´efini par la forme de Pfaff f1·f2...f m m  k=1 λk df k fk . De plus: m  k=1 µkνk= m  k=1 ρλkνk=ρ m  k=1 λkνk =m  k=1 λkνkm  k=1 λkνk= m  k=1 λkνk 2 qui est bien un r´eel strictement positif. Sachant que les feuilles du feuilletage d´efini par le germe de forme de Pfaff ω(respectivement Ω) co¨ıncident avec les composantes connexes des “hypersurfaces de niveaux” du germe de fonction multiforme F(respectivement Arg F), rappelons que nous avons d´emontr´e dans [1] que pour εr´eel strictement positif assez petit, il existe sur εS2n−1εK un flot qui permute les feuilles du feuilletage d´efini par la forme Ω, ce qui est une g´en´eralisation aux germes de formes de Pfaff logarithmiques du th´eor`eme de fibration de J. Milnor bien connu pour les germes de fonctions. 98 A. Kabila Nous nous proposons ici de d´emontrer le r´esultat suivant: Th´eor`eme. Il existe ε0et η0r´eels strictement positifs tel que pour tout εet pour tout η,v´erifiant 0<ε≤ε0,0<η≤η0, il existe un C∞diff´eomorphisme du “tube” [|F|=η]∩εB2nsur εS2n−1εK qui transforme le feuilletage d´efini par ωsur [|F|=η]∩εB2nen le feuilletage d´efini par Ωsur εS2n−1εK. D´emonstration: On utilise les mˆemes techniques que dans [2]. Rappelons d’abord quelques notations. Dans tout ce qui suit l’espace vectoriel Cnest suppos´e muni du produit hermitien: ,:Cn×Cn−→ C ((ak)1≤k≤n,(bk)1≤k≤n)−→ (ak)1≤k≤n,(bk)1≤k≤n= n  k=1 akbk et de la norme induite: :Cn−→ R+ (ak)1≤k≤n−→ (ak)1≤k≤n=(ak)1≤k≤n,(ak)1≤k≤n. D´efinition. Soit Ψ : (Cn,0) →(Cn,0) un germe d’application holomorphe `a l’origine 0 de Cn. On appelle gradient de Ψ et on note grad Ψ l’expression suivante: grad(Ψ) = ∂Ψ ∂z1 ,∂Ψ ∂z2 ,... , ∂Ψ ∂zn o`u(z1,z 2,... ,z n)d´esignent les coordonn´ees de Cn. Remarque 3. Si P:(C,0) →(Cn,0) t→P(t) est un germe, en 0 ∈Cn, de chemin analytique alors on a: d(Ψ(P(t))) dt =dP(t) dt ,grad(Ψ(P(t)). Deux fibrations pour les formes logarithmiques 99 Remarque 4. Soit ϕ:(Cn,0) →(C,0) un germe de fonction holomorphe `a l’origine 0deCnalors on a: grad(ϕ(z)) = ϕ(z) grad (Log(ϕ(z))) o`u Log(ϕ(z)) d´esigne le logarithme de ϕ(z) pour z∈Cn. La d´emonstration du th´eor`eme se fait en plusieurs ´etapes. Nous allons commencer par d´emontrer un certain nombre de propositions: Proposition 1. Quelque soit z∈CnX0, suffisamment proche de 0∈Cn, les vecteurs zet i m  k=1 λkgrad Log fk(z)sont lin´eairement ind´ependants sur R. D´emonstration de la Proposition 1: Elle d´ecoule sans peine du r´esultat suivant: Proposition 2. Il existe ε0r´eel strictement positif tel que pour tout z∈εB2nX0,0< ε≤ε0les vecteurs zet m  k=1 λkgrad Log fk(z)sont ou bien lin´eairement ind´ependants sur C, ou bien on a m  k=1 λkgrad Log fk(z)=αz avec α∈ C{0}et |Arg α|<π 4. D´emonstration de la Proposition 2: Nous avons besoin du lemme suivant: Lemme 1. Supposons que p  k=1 λkνk>0et soit P: [0,r)→Cnun chemin analytique r´eel tel que: (1) P(0) = 0 et pour tout tstrictement positif P(t)/∈X0. (2) m  k=1 λkgrad Log fk(P(t)) = α(t)P(t)avec α(t)∈C. 100 A. Kabila Alors il existe r≤rtel que pour tout t,v´erifiant 0<t<r on a: α(t)=0. D´emonstration du Lemme 1: Soit tstrictement positif. Pour tout kcompris entre 1 et mon a: fk(P(t)) = 0 car P(t)/∈X0. Ecrivons: P(t)=atl+··· a∈Cn{0}et l=(l1,l 2,... ,l n) avec l1,l 2,... ,l n∈N{0} fk(P(t)) = bktβk+··· bk∈C{0}. Posons: Ψ=f1·f2...fm m  k=1 λkgrad Log fk. Puisque Pest analytique on a: Ψ(P(t)) = ctγ+··· c∈Cn{0}et γ=(γ1,γ 2,... ,γ n) avec γ1,γ 2,... ,γ n∈N{0}. D’autre part, on a: Ψ(P(t)) = f1(P(t)) f2(P(t)) ...fm(P(t)) α(t)P(t) =α(t)(ab1b2...bmtl+β1+β2+···+βm+···) en identifiant βkavec (βk,β k,... ,β k)∈Nnpour tout kcompris entre 1 et m. Ce qui implique que: ctγ+···=α(t)ab1b2...bmtl+β1+β2+···+βm+··· Ecrivons: c=(c1,c 2,... ,c n) on a c∈Cn{0}, donc il existe scompris entre 1 et ntel que cs=0. Ce qui entraine n´ecessairement d’apr`es l’´egalit´e ci-dessus que d’une part as= 0 et que d’autre part α(t)=0. Ainsi: α(t)∈C{0}. Deux fibrations pour les formes logarithmiques 101 De plus: α(t)=α0tγs−ls−β1−β2...−βm(1 + ···) avec: α0=cs asb1b2...bm . On cherche `a montrer que α0est un nombre r´eel. D’apr`es la Remarque 3, on a pour tout kcompris entre 1 et m: df k(P(t)) dt =dP(t) dt ,grad fk(P(t)) donc: f1(P(t))f2(P(t)) ...f m(P(t)) m  k=1 λk fk(P(t)) df k(P(t)) dt =dP(t) dt ,f 1(P(t))f2(P(t)) ...f m(P(t)) m  k=1 λk fk(P(t)) grad fk(P(t)) . D’apr`es la Remarque 4, on a pour tout kcompris entre 1 et m: grad fk(P(t)) = fk(P(t)) grad Log fk(P(t)). Donc: f1(P(t))f2(P(t)) ...f m(P(t)) m  k=1 λk fk(P(t)) df k(P(t)) dt =dP(t) dt ,Ψ(P(t)). Ainsi: m  k=1 λkb1b2...b mβktβ1+β2+···+βm−1+··· =AtL+··· ,α 0ab1b2...bmtγ+···. Avec: A=(l1a1,l 2a2,... ,l mam)etL=(l1−1,l 2−1,... ,l m−1). Donc: m  k=1 λkβk=α0A, a 102 A. Kabila or: A, a= m  k=1 lk|ak|2∈R. Donc: m  k=1 λkβk=α0 m  k=1 lk|ak|2. D’autre part si on d´esigne par ν1,ν 2,... ,ν mrespectivement les ordres en o∈Cnde f1,f 2,... ,f m, on peut d’apr`es le th´eor`eme de pr´eparation de Weierstrass (cf [4]) ´ecrire f1,f 2,... ,f msous la forme suivante: f1(z1,z 2,... ,z n)=U1(z1,z 2,... ,z n)(zν1 s+···) f2(z1,z 2,... ,z n)=U2(z1,z 2,... ,z n)(zν2 s+···) . . .. . .. . . fm(z1,z 2,... ,z n)=Um(z1,z 2,... ,z n)(zνm s+···) o`uU1,U 2,... ,U msont des unit´es de l’anneau ΘCn,0des germes de fonctions holomorphes `a l’origine 0 de Cni.e. Uk(0) = 0 pour tout kcompris entre 1 et m. Ainsi: βk=lsνkpour tout kcompris entre 1 et m. Donc l’´egalit´e: m  k=1 λkβk=α0 m  k=1 lk|ak|2 devient: lsm  k=1 λkνk=α0m  k=1 lk|ak|2. Or: m  k=1 λkνk∈]0,+∞[ ce qui entraine que α0∈]0,+∞[ et par cons´equent α0aussi. Visiblement: α(t) |α(t)|=α0tγS−lS−β1−β2−···−βm(1 + t[...]) α0tγS−lS−β1−β2−···−βm(1 + t[...]) tend vers 1 quand ttend vers z´ero. Et le Lemme 1 est d´emontr´e. Rappelons aussi le lemme suivant bien connu sous le nom de “lemme des petits chemins” ou encore de “lemme de s´election des courbes”. Deux fibrations pour les formes logarithmiques 103 Lemme 2 (cf. [2]). Soit A⊂RPun ensemble semi-analytique, et soit aun point adh´erent `a A. Alors il existe un chemin analytique r´eel P: [0,r)→RPtel que: (1) P(0) = a (2) P(t)∈Apour tout tstrictement positif. D´eduisons maintenant la Proposition 2 `a partir des lemmes pr´ec´edents. Consid´erons l’ensemble Asuivant: A=     z∈CnX0tel que: ∃α∈C: m  k=1 λkgrad Log fk(z)=αz et |Arg α|≥π 4.      . On v´erifie sans peine que Aest un ensemble semi-analytique. Supposons que la Proposition 2 ne soit pas v´erifi´ee c’est-`a-dire que 0 soit adh´erent `a A. D’apr`es le Lemme 2, il existe un chemin analytique r´eel P: [0,r)→ Cntel que: (1) P(0) = 0 (2) P(t)∈Apour tout tstrictement positif, i.e.            P(t)/∈X0 m  k=1 λkgrad Log fk(P(t)) = α(t)P(t) |Arg α(t)|≥π 4. ce qui entraine d’apr`es le Lemme 1 que lim t→0Arg α(t)=0 ce qui est contradictoire avec |Arg α(t)|≥π 4. Et la Proposition 2 est d´emontr´ee. Proposition 3. Pour εr´eel strictement positif assez petit, il existe sur εB2nX0un champ de vecteurs χ,C∞, tel que pour tout z∈εB2nX0on ait: (1) la partie r´eelle de χ(z),zest un r´eel strictement positif. (2) χ(z), m  k=1 λkgrad Log fk(z)est un r´eel strictement positif. 110 A. Kabila ⇐⇒ Il existe r,s∈Rtel que: m  k=1 λkgrad Log fk(z)=rz +si m  k=1 λkgrad Log fk(z) ⇐⇒ Il existe r,s∈Rtel que: m  k=1 λkgrad Log fk(z)= r 1−is ·z ⇐⇒ Il existe θ∈Ctel que: m  k=1 λkgrad Log fk(z)=θz. Un raisonnement analogue permet de d´emontrer la deuxi`eme partie de la Proposition 7. D´eduisons maintenant le Lemme 3 `a partir des Lemmes 4 et 5. Raisonnons par l’absurde. Supposons donc qu’il existe une suite (Zn)n≥1,Z n∈ αtel que |F(Zn)|<1 n. La suite (Zn)n≥1tend vers une limite adans le compact εS2n−1donc le point aest adh´erent `aΣ αet par cons´equent d’apr`es le Lemme 2, il existe un chemin analytique P: [0,r)→Σαtel que: (1) P(0) = a (2) P(t)∈Σαpour tout tstrictement positif. Soit t∈]0,r[, on a: d dtgα(P(t)) = P(0),grad gα(P(t))=0 donc pour tout t∈]0,r[, P(t) est un point critique pour la fonction z→|F(z)|ce qui entraˆıne que: |F(P(t))|=cste pour tout t∈]0,r[. Par continuit´e en faisant tendre tvers z´ero on obtient: |F(P(t))|= 0 pour tout t∈]0,r[ ce qui entraine que pour tout tstrictement positif P(t)∈X0, or: P(t)∈ α⊂Gα⊂εS2n−1X0. D’o`u la contradiction. Un raisonnement analogue permet de prouver la deuxi`eme partie du Lemme 3. Deux fibrations pour les formes logarithmiques 111 Lemme 6 (cf. [3]). Soit h:M→Rune fonction C∞d’une vari´et´e lisse M`a valeurs r´eelles. Pour r∈Rnotons Mrl’ensemble suivant: Mr=h−1(−∞,r]={P∈Mtel que: h(P)≤r}. Soient r1,r2deux nombres r´eels avec r1<r 2tels que: h−1[r1,r 2]={P∈Mtel que: r1≤h(P)≤r2} est un compact et ne contient aucun point critique de h, alors: il existe un C∞diff´eomorphime Φ:M→Mtel que Φ(Mr1)=Mr2. D´emonstration du Lemme 6: Nous ne donnons ici qu’une esquisse de d´emonstration car nous aurons besoin dans la suite de savoir comment est construit le diff´eormorphisme Φ. Quand aux d´etails de la d´emonstration, ils se trouvent dans [3]. L’id´ee de la d´emonstration est de pousser Mr1sur Mr2avec un champ de vecteurs transverse aux hypersurfaces h=cste. Choissisons une m´etrique Riemanni`ene sur Met notons ,le produit hermitien d´etermin´e par cette m´etrique. Soit v:M→Rune fonction C∞qui est ´egale `a 1 grad h,grad hsur le compact h−1[r1,r 2] et qui s’annule en dehors d’un voisinage compact de h−1[r1,r 2]. Consid´erons le champ de vecteurs ∆ d´efini par: ∆p=v(p)(grad h)p,pour p∈M. ∆ engendre un groupe un param`etre de diff´eomorphismes ϕt:M→M. Pour p∈Msi ϕt(p)∈h−1[r1,r 2] alors dh dt (ϕt(p)) = 1. Le diff´eomorphisme ϕr2−r1:M→Menvoie diff´eomorphiquement Mr1sur Mr2. D´eduisons maintenant la d´emonstration de la Proposition 5 `a partir des r´esultats pr´ec´edents. D’apr`es le Lemme 3, il existe δ(respectivement δα) strictement positif tel que tous les points critiques de la fonction g(respectivement gα) sont contenus dans le compact C(respectivement Cα). 112 A. Kabila Consid´erons la vari´et´e Msuivante: M={z∈εS2n−1εK tel que: |F(z)|<δ} Mne contient aucun point critique de la fonction g:z→−Log |F(z)|, et par cons´equent Mne contient aucun point critique de la fonction z→1 |F(z)|. Posons η0=δet soient ρet ηdeux nombres r´eels strictement positifs tel que: 0 <ρ<η⩽η0. L’ensemble !z∈εS2n−1εK tel que 1 η≤1 |F(z)|≤1 ρ" est un compact de Met ne contient aucun point critique de la fonction 1 |F|:M→R. Donc d’apr`es le Lemme 6, il existe un C∞diff´eomorphisme Ψde !z∈εS2n−1εK tel que: 1 |F(z)|<1 η" sur !z∈εS2n−1εK tel que: 1 |F(z)|<1 ρ" c’est-`a -dire un C∞diff´eomorphisme de #z∈εS2n−1εK tel que: |F(z)|>η $ sur #z∈εS2n−1εK tel que |F(z)|>ρ $. Comme ρest arbitraire, nous en d´eduisons qu’il existe un C∞diff´eomorphisme, que nous noterons encore ψ,de #z∈εS2n−1εK tel que: |F(z)|>η $sur εS2n−1εK. En consid´erant la vari´et´e Mαsuivante: Mα=#z∈Gα∩(εS2n−1εK) tel que: |F(z)|<δ α$ et la fonction gα,ond´emontre de fa¸con tout `a fait analogue qu’il existe un C∞diff´eomorphisme Ψαde #z∈Gα∩(εS2n−1εK) tel que: |F(z)|>η α$ sur Gα∩(εS2n−1εK). Deux fibrations pour les formes logarithmiques 113 De plus par construction de Ψ, en fonction de g, ainsi que de Ψαen fonction de gα, il est clair que Ψαest la restriction de Ψ `a Mα. En r´esum´e, il existe un C∞diff´eomorphisme Ψ de #z∈(εS2n−1εK) tel que: |F(z)|>η α$ sur εS2n−1εK tel que: ΨGα∩(εS2n−1εK)∩[|F|>η]=Ψ αGα∩(εS2n−1εK)∩[|F|>ηα] =Gα∩(εS2n−1εK). Et la Proposition 5 est d´emontr´ee. Nous sommes maintenant en mesure de prouver le th´eor`eme `a partir des r´esultats pr´ec´edents. Soient εet ηdeux nombres r´eels strictements positifs tels que: 0 < ε≤ε0et 0 <η≤η0avec ε0et η0suffisamment petits. Soit β∈C{0}et Hβ“l’hypersurface de niveau β” de la fonction multiforme F. Il existe sur εB2nX0un champ de vecteurs χ,C∞, tangent aux feuilles du feuilletage d´efini par la forme de pfaff Ω et dont le flot Φ en voie de fa¸con C∞diff´eomorphe: Hβ∩[|F|=η]∩εB2n sur Gα∩(εS2n−1εK)∩[|F|>η] o`uαest tel que: β=ηeiα. D’autre part, il existe un C∞diff´eomorphisme Ψ de (εS2n−1εK)∩ [|F|>η] sur εS2n−1εK qui envoie Gα∩(εS2n−1εK)∩[|F|>η] sur Gα∩(εS2n−1εK) de fa¸con C∞diff´eomorphe, d’o`uler´esultat. 114 A. Kabila References 1. A. Kabila,Unth´eor`eme de fibration `a la Milnor pour les germes de formes de Pfaff logarithmiques, C. R. Acad. Sci. Paris S´er. I. 302 (1986), 511–514. 2. J. Milnor,“Singular points of complex hypersurfaces,” Ann. Math. Studies 61, Princeton University Press, 1968. 3. J. Milnor,“Morse theory,” Ann. Math. Studies 51, Princeton University Press, 1963. 4. R. Narasimhan,“Introduction to the theory of analytic spaces,” Lectures Notes in Math. 25, Springer-Verlag, 1966. I.S.T.V.-D´epartement de Math´ematiques URA au CNRS D-751 Universit´e de Valenciennes et du Hainaut Cambr´esis 59304 Valenciennes cedex FRANCE Primera versi´o rebuda el 25 d’Abril de 1995, darrera versi´o rebuda el 6 de Novembre de 1995