Fundamentos de la teoría de la decisión y de la teoría de la estimación estadística

/ JOSE M. DOFIENECH MASSONS No es la uni o midad sino la a iabilidad el a ibu o undamen al que ca a e iza a la na u aleza. No es la igidez sino el aza quien es á en la base de los hechos psicol6gicos o biológicos. En la na u aleza,el aza hace que la a iabilidad en- e los indi iduos sea la egla. La es adls ica es el Gnico ins- umen o ma emd ico adeeuado pa a analiza da os de enómenos c~ ya ca ac e ís ica undamen al es la a iabilidad. No es posible es udia la a iabilidad con un solo in- di iduo. De ahl que la o mulaci6n es adís ica de un p oblema no pueda se una o mulación a ni el indi idual sino que debe se una o mulaci6n a ni el de g upo. Lo61 d_ise ios e~$~ iJAe~ eaon p ~blemoa o n iladsa w ni el de g upo. En canescuo ic a, una es a adois es nd s icc íno~ e los da os ob enidos, las conclusiones de es os diseños no pug den se conclusiones a ni el indi idual sino que son conclusio- nes a ni el de g upo. Es o quie e deci , po ejemplo, que si con un diseño expe imen al se demues a la eupe io idad de un a a- mien o X espec o a o o a amien o A, el esul ado que ob en- d emos al aplica el a amien o X a oda la población, en media, se d supe io al esul ado que hubie amos ob enS4o al aplica el a amien ~ k a oda la poblaci6n; sin emba go pa a cie os indi iduos el a amien o A se d supe io al X. En es e a Eculo se desa ollan dos p oblemas unda- men ales que es udia la es ad s ica: los P oblemas de Es ima- = y los P oblemas de Decisi6n. Con ines didsc idos es e es udio se pa icula iza a ca ac e es cuali a i os. La Teo a de la Es imaci6n se desa- olla a pa i del caso pa icula de una p opo cibn. La e a de la Decisidn se desa olla a pa i del caso pa icula de la p ueba de compa aci8n de una p opo ci6n obse ada a una p opo cidn eb ica. Sin emba go la gene alización a o os casos es inmedia a. 11.'- CONCEPTO DE PROPORCION Sea un cie o aspec o 5 que se obse a Veces en una mues a de indi iduos. Se de ine como p ogo ci6n obse a- d~ de indi iduos con el aspec o &, al cocien e : A la p opo ci6n obse ada de indi iduos de la mues a que no p esen an el aspec o 5, se la designa po q, y ale - (2) qO= 1-P, A la e dade a p opo ci6n de indi iduos, de la pobla- ci6n o igen de la mues a, qye p esen a el aspec o A, se la de- signa po E y a su complemen o a l se lo designa po 9 111.- CONCEPTO DE INTERVALO DE PROBABILIDAD 1-Q! Tan o pa a la Teo a de la Es imación como pa a la Teo a de la decisión es necesa io esol e el siguien e e im- po an e p oblema de p edicción median e la Teo la de 1a.P oba- bilidad: conoce el in e alo donde luc uan las p opo ciones E, obse adas en mues as de amaño n_ p oceden es de una pobla- cX6n ca ac e izada po una p opo ción E. El siguien e expe imen o .pe mi e . esol e dicho p o- . . blema . Se iene una poblacib i que con iene una p opo ción e conocida de bolas blancas y el es o q=l-~ son bolas neg as. Se ex ae un conjun o muy g ande de mues as con gl bolas cada una (mues as de amaño III) y se abulan y ep esen- an g a icamen e el conjun o de las p opo ciones Eo Obse adas de bolas blancas obse adas en cada una de es as mues as. Nue amen e se ex ae un conjun o muy g ande de mues- as, aho a con ~~ bolas cada una (n2 mayo que n ) y se abu- -1 lan y ep esen an g a icamen e el conjun o de p opo ciones de bolas balncas obse adas en cada una de es as mues as. E0 Y así sucesi amen e se ex aen conjun os muy g andes de mues as pe o cada ez compues as de un nG ne o de bolas mayo que los an e io es y se ep escn on g a lcamen o el con- jun o de p opo ciones de bolas blancas obse asas en coda conjun o de mues as. 5 La igu a 1 ilus a es as ep esen aciones g s icas pa $ conjun os de mues as de amaño pl= 10, n2=20 y ~1'40, cuondo en la población o igen de es as mues as hay la mi ad de bolas blancas y la o a mi ad de bolas neg as (g=q=0.5). La obse yac'i6n de es as ep esen aciones g d icas pe mi e saca las siguien es conclusiones: a,- En odas las g á icas la p opo ciones obse a¿ae E0 se ag upan al ededo del alo g ip o~o cibn de bolas blancas que con iene la poblacibn o igen de las mues as). b.- Cuando aumen ? el núme o de bolas que hay en las mues as, las p opo ciones obse adas es án E0 más ag upadas al ededo del alo e. El conjun o de p opo ciones obse adas po es cada ez menos dispe - so ii medida que el amaño-2 de las nuea as aumen a. Es e concep o de dispe sidn se cuan i ica median e el ~diceg- P ' llamado des iaci6n ipo. ' Po ejemplo, si las mues as p oceden de una poblacion que con iene una p opo cidn p0.5 de bolas blancas y el es o c~=1-p=8.5 de bolas neg as, cuando n-10 la des iaci6n ipo de las p opo ciones obse adas ale: c.- Si las mues as son g andes, se e como es as g á- icas sinb icas al ededo de un eje e ical que pa- sa po el alo y ienen la misma o ma de "campana". La di e encia en e ellas es á en que las "campanas" son mas es echas a medida que co espondan a mues as mas g andes. Es e único modelo que siguen odas las g a icas ec>be el nomb e de modelo o ley no mal. Es a ley ha sido es- udiada po Laplace y Gauss, hace a ios siglos. Teo ema PunUamen al Se demes ~.a que el des ibe , a cada lodo del pun o cen- al e, que deja den o el 95% de las p opo cie nes & obse adas - Fli iinc1611 de las p opo ciones po dc bola hinncas obsc adaq conii ne una p opo i in de bo as bianws p = O5 en las mues as, se ob iene mul ipllcando el z~o cons an e zq -1.96 po la des iacidn ipo y- co espondien e. Es de- ci : P El des io 6? que deja den o el998 de las 52 Se Ob- iene mul iplicando =2.58 po dicha des iaci6n ipo. En gene al es os alo es cons an es se simbalizan po g,, y el dee io g Yieno dado po : En la abla 1 se dan los alo es mas impo an es de ' -* en unci6n de* y en la igup 2 se ilus a el des io e. 1 - e - e 4 P- P igu a2 TABLA 1 El alo d ep esen a laxan idad, en an os po uno, de p o7 po ciones obse adas que es dn ue a del in e alo al ededo de p, de inido po dicho des ío 2. Condicionss de aplicación La 6 mula (4) y los alo es qq dados en la abla 1, son dlidos exclusi amen e pa a dis ibuciones que siguen el nx delo no mal. Se Comp ueba expe imen almen e que la dia ihucidn de las p opo ciones obse adao sigue un modelo no mal cuando se cumple que los p oduc os y 3 son iguales o supe io es a 5. Es as mues as eciben el nomb e de mues as g andes. Es e Teo ema Fundamen al se demues a a pa i de la Teo a de la P obabilidad (*) y es un caso pa icula de un im- po an e eo ema llamado Teo ema Llmi e Cen al. De inici6n de In e alo de P obabilidad Se de ine in e alo de p obabilidad odo in e alo, eim6 ico al ededo de E, que con enga g an pa e de las p o- po ciones obse adas en mues as de amaiio ex aidas al aza de una población ca ac e izada po la p opo ción p. El in e alo al ededo de E, de inido po el des o e, que con iene el 95% de las p opo ciones obse adas, ecibe - el nomb e de in e alo de p obabilidad del 95%. En gene al, ecibe el nomb e de in e alo de p obabilidad 1-b( , aquel in- e alo que con iene el l-o( (en an os po uno) iie las p opo - ciones obse adas p,,, es deci , aquel in e alo que sólo deja ue a una pequeña p opo ci 3n de las p opo ciones obse adas En el in e alo p obabilidad 1-4 , el alo O( indica la p obabilidad de obse a , en una mues a p eceden e de la poblaci6n e, una p opo cign obse ada po ue a de dicho in e - - ("1 Un es udio de allado puede e se en la ob a (1) de la Bdblbog a a Seleccionada a lo. Una idea impo an e es que un in e aio de p obabi- lidad nunca pod d con ene odas las p opo ciones que pueden obse a se.en las mues as. Pa a de ini el in e alo de p o- babilidad siemp e debe exclui se una p opo ción4 , an peque ña como que amos, de casos ex emos. La es adís ica analiza enómenos cuya egla unda- men al es la a iabilidad. Si que emos da un in e alo en el que se encuen an los alo es da un cie o ca dc o , medido en una población de indi iduos, la a iabilidad puede hace que en algGn indi iduo es e ca ác e ome un alo excepcio- nalmen e g ande o excepcionalmen e pequeño. La es adís ica busca un in e alo que sea lo mds pg queño posible pe o que a la ez con enga la máxima in o ma- ción posible (el máximo núme o de casos posible). Pa a log a - lo se debe p escindi de unos pocos casos ex emos que ag an- dan mucho el in e alo sin casi apo a in o mación. Po con enio se ha acep ado uni e salmen e da in- e alos que con engan el 95% de los indi iduos. De es a de inición y de la obse aci6n de la igu a 2 se deduce dcilmen e la ó mula del in e alo de p obabili- dad : de A.. Las mues as deben se ~l in e alo de p obabilidad 1-4 pe mi e p edeci , acep ando el iesgo &de equi oca nos, el in e alo en el cual es a 5 con enida la p opo ci6n po obse ada en una cie a. nuas a de amaño p p oceden e una poblacibn ca eo e izada ~o la p opo ción p. Gene alizacidn El concep o de in e alo de p obabilidad se gene a- liza lsil nen e a o as ca ac e Pe cae es adge icas. Po eje^ / plo si se es udia un ca ac e cuan i a i o, el in e alo de p obabilidad que pe mi e p edeci con iesgo o( , el in e a- lo en el cual es a d con enida la media obse ada en una mues a de ama io E, p oceden e de una poblacidn ca ac e iza- da po una media 5 y una des iación ipo 0- , ie.ne dado po (6). I C. de A.: Las mues as deben se I 1 g ondee i n) 30). J Ejemplo 1 Dada una población que con iene un 50% de bolas blancas y un 50% de bolas neg as, p edeci el in e alo en el que se encon a 5 el 952 de las p opo ciones obse adas en mues as de 40 bolas ex' aldas, no exhaus i amen e y al aza , de dicha población. Aplicando la ó mula (5) se ob iene el in e alo pedido : IV. - TEORIA DE LA ESTIMACION ESTADISTICA a Un p oblema de es imación consis e en halla , con de- e minada p ecisión, el e dade o alo de un pa iinia o (p o- po ción, media, a iancia, e c. calculada con odos los indi i- duos de una población), a pa i solamen e de la in o mación con anida en una muee a ep esen a i a (*) de la poblncibn. * La ob ención de una mues a ep esen a i a es un p oble- ma de na i jileza es adls lca cuya ~uluuiGii ~ul-xcc a es que la alaccidn de los indi iduos de la mues a excluya cualquie sis emb ica. Es o se log a median e una elección al aza . Hipb esis nula e Hipó esis al e na i a La igu a 5 esquema iza el plan eo gene al de es e p oblema de decií idn . Flip~ csL n111n (llel: La iiiucs a p cde de In población A. llipolesis a1 nalA.a (H,): La nues a p oqdc de una población ,Y dc diíc cn c coiiiposici6n quo la pobla- can A. igu a 5 Hay dos hipó esis posibles. La hipd esis p incipal es la hipo esis pula H , según la cual la mues a p ocede de la poblacidn 5. En es e caso la di e encia exis en e en e las p opo ciones p y p ha sido p oducida po la in luencia del O aza . Cuando hiE6 esis nula es alsa signi ica que la mues- a p ocede de una poblacidn 5 ca ac e izada po una p opo cidn px desconocida, di e en e de la p op ocibn p. Es a hipb esis, complemen a ia a la an e io , ecibe el nomb e de .hipB esis al- e na i a. P ueba de d~cisidn La p ueba es muy sencilla y es 5 ilus ada en la i- gu a 6. Las p iiebas de decisi6n es ad s ica es án basadas en la hipd esis nula. Si la mues a p ocede de la poblacidn E, la p $ po cidn go obse ada en ella es a a den o del in e alo de p o - habilidad, es deci den-o del in e alo en el que se encuen an la mayo pa e de las p opo ciones obse adas en mues as de 'a- maiio p oceden es de la poblacidn p. Cuando la p opo cidn obse ada po es á ue a del in c alo de p obabilidad, lo mgs e osímil esque la mues a p oceda de una poblaci6n px di e en e de la población E. En es e caso la decisidn a oma es la de queda se con la hipó esis al e na i a. Ve si po es d den o o ue a del in e alo de p obab' lidad equi ale a e si la di e encia, en alo absolu o, en e g y po es meno o mayo que el des o e: - Di idiendo ambos miemb os po la aiz cuad ada: Si llamamos 5 al p ime miemb o, se ob iene una p ue- ba de decisidn es adís ica llamada p ueba de compa acidn de una ~ opo ción obse ada a una p op oción e6 ica. ]Es a p ueba, po es a basada en el in e alo de p obabilidad, se d alida pa a mues as g andes. PRUEBA DE COMPARaCTON DE UNA PROPORC ON OBSERVADA po EN UNA MUESTRA DE TAMAWO n, A UNA PROPORCION TEORICA p z < z4 : Nada se opone en acep a la hipd esis nula. I z) zd : Rechazo de la hipd esis nula con un iesgo d . Condicioncs de aplicación: La p ueba es s61o dli da pa a mues as g andes (np y nq mayo es o igua: les a 5). Cuando la conclusi6n es adís ica es echaza Ho con iesgo O(, y sólo en es e caso, le co esponde la siguien e con- cluaiAn expe imen al: Si po) p podemos a i ma con iesgo d que la mues a p ocede de nna población px mepo que E. - S~.E>,(? poGemos a i ma con iesgo 4 que Pa mues a p , oc.de de una población px meno que E. - Es a a i mación es e iden e, ya que po ejemplo, si po es meno que e, in o que se ha demos ado que no puede p o- cede de 2, es lógico qie oce da de una población ca ac e iza- da po una p opo ci6n px me?o que la p opo ción E. - Nó ese que una p ueba cuando concluye acep a Ul a i ma sdlo que px es di e en e de p. - Pa a sabe en que can idad p es mayo o meno que p, X es necesa io conoce el alo px. ~s oes un p oblema de na u a- leza di e en e pe o que ya ha =do es udiado: bas a es ima p, a pa i de p. Se a a de un p oblema de es imacidn que se - esuel e median e el in e alo de con ianza. Los iesgos asociados a una decisibn es ad s ica Hay s610 dos posibilidades de equi oca se al oma la decisión: Cuando se oma la decisi6n de acep a Hl, puede se que io sea e dade a. Es e e o ecibe el nomb e de E o ipo 1. La p obabilidad de come e un e o ipo 1 se llama iesgo* - o iesgo de p ime a especie. Cuando se oma la decisión de acep a H , puede se que H1 sea e dade a. Es e e o ecibe el nomb e de E o ipo 11. La p obabilidad de come e un e o ipo 11 se llama iesgo - p o iego de segunda especie. El iesgo* es conocido y se ija a p io i. En la p ue ba an e io la p obabilidad de que una p opo ci6n obse ada se e' cuen e ue a del in e alo de p obabilidad (zona de acep acibn de H1l p ocediendo de la población e (Ho e dade a) iene dada po el alo Masociado al in e alo de p obabilidad. Es a p oba- bilidad es la que se de ine como iesgo o( o iesgo de p ime a especie. De ahP la a~e se echaza la híab esis nula con j~sqo d. Las ases se echaza Ho al ni el de signi icacibnd o se echaza Ho al ni el de con ianza 1-4, son equi alen es y ex- p esan el mismo concep o de iesgo o( . El iesgo ? es siemp e desconocido. El hecho de obse - a una p opo ci6n p den o del in e alo de p obabilidad, indi- o ca un esul ado queño es a en con adiccidn con la hipb esis nu la, pe o en ningun caso p ueba que Ho sea e dade a. - En e ec o, es posible que, debido a la in luencia del aza , una p?!opo cibn po obse ada en una mues a p oceden e de la población px, caig den o del in e alo de p obabilidad E Czona de no ocha20 de Ho). Es o ocu e mds a menudo cuando px iene un alo p dximo a p. la p obabilidad de que es o pase,lla mada iesgo p o iesgo de segunda especie' siemp e se desconoce Ya que la p opo ciBn px es ambien desconocida. - Una ase equi alen e a la de nada se opone en acep a la hipd esis nula es la di e encia encon ada no es signi ica i a. Un es udio de allado del iesgo P se hace en uno de los siguien es apa ados. Se de ine como Po encia de una p ueba de decisión -es a- dís ica el alo 1-/3 . Si el iesgo @ indica la p obabilidad de equi oca se al. acep a Ho, la po encia es la p obabilidad comple- men a ia al eiggo p. deci la po encia ca ac e iza la capa- cidad que iene una p ueba de decisidn es adls ica.,de no equi o- ca se al acep a Ho. P uebas bila e ales y p uebas unila e ales Se aplica una p ueba bila e al o p ueba de dos colas cuando se iene la hip6 esis al e na i a: la población 5 es di e- en e de la población 5. La p ueba de decisión desc i a es una p ueba bila e al ya que la hipb esis al e na i a (doble) e a que la p opo cidn px podía se supe io o in e io a la p opo cibn e (p, di e en eae E). La igu a 7a ilus a es a p ueba pa a un zsgo o( ~0.05. Cuando la hipd esis al e na c a (simpie) es que la ca- ac e s ica es udiada en la poblacion es guje io a la de la poblacibn , se ~a a de una p ueba unils e al o p ueba de una cola po la de echa, al como ilus a la igu a 7b. PRUEBA BILATERAL CON RIESGO c = 0.05 Ho: PO = P Hi: PO# P Se acep a HI cuando cl alo de PO es á ue a del in e alo pi - ps. PRUEBA UNILATERAL CON RIESGO U .= 0.05 Hn: PO =P Hi: PO > P Se acep a Hi cuando el alo de po es mayo que p,. PRUEBA UNILATERAL CON RIFSGO c = 0.05 Ho: PO = P HI: PO <p Se acep a HI cuando el alo de po es meno que pi. Pi P l igc1 -a 7 Cuando la hipd esis al e na i a (simple) es que la ca- ac e s ica es udiada en la poblacion 5 es in e io a la ca ac- e s ica de la poblacidn E, se a a de una e ue .i unila e al po la izquie da, al como ilus a la igu a 7c pa a el mismo iesgo 4=0.05. Las p uebas unila e ales se di e encian de las bila e- ales, en e o as azones po el hecho de que el iesgo a( es á si uado en uno de los dos lados, en el co espondien e a la zona de acep ac on de H1, ya que el iesgod indica la p obabilidad de que una obse ada p oceden e de E caiga en dicha zona. De ah se dedduce (*) que pa a ealiza una p ueba uni- la e al bas a compa a el alo & calculado en la p ueba con el alo z2@ co espondien e a dos eces el iesgo ijado. La a- bla 2 da los alo es con que se deben compa a 2 según la p ueba sea bila e al o unila e al. TABLA 2 RIESGO DE PRIMERA ESPECIE PRUEaA BILATERAL =M PRUEBA UNILATERAL z2d Ac i ud explica i a y ac i ud p agmd ica ¿En que caSos se aplica una p ueba bila e al y en cud- les se aplica una p ueba unila e al? 108 1.65 1.28 (1 Un es udio más de allado puede e se en la ob a (3) pp. 75 y sig., cuya e e encia se encuen a en la bibliog a La selec* cionada. 5% 1.96 1.65 1% 2.58 2.33 l%o 3.29 3.09 Es e aspec o, poco discu ido en las ob as de es adís- ica, es muy impo an e. Pa a comp ende lo se necesi an de ini dos ac i udes undamen ales que pueden adop a se an e un p oble- ma expe imen al. Se es a en ac i ud explica i a cuando se a an es adi? icamen e da os de p oblemas de in es igación undamen al. Po ejenip10,si se elabo a un nue o mé odo audio isual de enseñanza 5 en in es igación undamen al an in e esan e e; demos a que X es mis e icaz que un me odo de e e encia A. Pa a analiza los da os de es e expe imen o con ac i ud explica iya, se aplica á una p ueba bila e al, ya que la hipd esis al e na i a plan eada es doble. Aunque el equipo de in es igación a p io i piense que 5 cs mds e icaz que 5, la p ueba a aplica debe se bila e al ya que si inalizado el expe imen o se obse a a una di e encia sig- ni ica i a en sen ido con a io, el in es igado no duda d en con- clui que & es mas e icaz que %. Se es á en ac i ud p agmá ica cuando se a an es adls ' camen e p oblemas de in es iaación aplicada. Con inuando con el ejemplo an e io , la Di ección de un Cen o de Enseñanza que em- plea el cu so A, pa a decidi la comp a del cu so es a d sólo in e esada en sabe si el cu so 5 es más e icaz que el A. P oba que X es menos e icaz que no le in e esa en absolu o. Se a a de un p oblema de in es igación aplicada. Pa a analiza los da os de es e expe imen o, en ac i ud p L gmá ica, se aplica á una p ueba unila e al, ya que la hipó e- sis al e na i a plan eada es simple. En Psicología Expe imen al, las p uebas bila e ales son las más u ilizadas ya que el in es igado adop a una ac i ud expli- ca i a an e la mayo pa e de los p oblemas. De e minación del núme o de indi iduos necesa ios pa a limi a el iesgo Y1 concep o dei iesgo4 y su in e p e ación g d ica han quedado cla os con las an e io es explicacioaes. Aho a se abo da el es udio y la in e p e acion g a ica del iesgo P en el caso paz icula de la p ueba uniha e al de compa acion de una p opo cibn obse ada a una p opo ción eb ica. En caso de u iliza o as. p uebas las b mulas son di e en es -(*) pe o los concep os aquí de inidos pe manecen in a iables. La p ueba unila e al de compa ación de una p opo ción obse ada a una p opo ci6n eo ica, esuel e el p oblema esque- ma izado en-la igu a 8. Los alo es E, po, y n_ son da os cono- cidos. El alo px, co espondien e a iahipó esis al e na i a, es siemp e descozcido. La p ueba consis e en e si el alo po es á den o o ue a del in e alo de p obabilidad de p. En la Sueba unila e al se a a de e si po es d a la de echa o a la izquie da de S - C igu a 9a). Se llegan a las siguien es conclusiones: p,g : Nada se opone en acep a Ho po >e : Se echaza io con iesgo Cuando la conclusidn de la p ueba es nada se opone en (*) El p oblema de la de e minación del núme o de indi iduos ne- cesa io, pa a las p uebas de decisión es ad s ica m&s usudles, puede es udia se en DOMENECH MASSONS, J. M. : 1.lé odos Es a- dís icos pa a la In es igaciÓn en Ciencias Humanas.-He de Ba celona, 1975. . . Se ob iene: b.- En una mues a de n=233 neu d icos el cues iona io X ha diagnos icado co ec amen e a01 de ellos. 2- iene e icacia di e en e de A? Si se acep a 4 =O. 05, aplicando (14) pa a compa a po=aOk/233=~. 86 con p=O. DO, se ob iene: z= (0.86-0.801/ 40.8x0.2/233 = 2.32) 1.96 Conclunib_n_~c7<&9&1~a~ Se acep a H1 con iasclo 0.05 . Conclusi6n expe imens: Pues o que p = 0.86 es supe- O io a p=0.80, y la di e encia encon ada es signi ica i a, el endimien o de E es supe io al endimien o de 5. c.- ¿En qu6 can idad el endimien o del cues iona lo 5 es supe io al del cues iona io A? Bas a es ima la p opo cián px de diacjnos icos co ec- os del cues iona io E, a pa i de lap opo ci6n p =0.86 obse - O ada en la mues a de n.233 neu ó icos. Acep ando un iesgo O( =p= ~0.05 y aplicando (5) se ob iene: El endimien o de 5 es a si uado en e 0.82 y 0.90, es deci el endimien o del cues iona io 5 se a supe io en e un 2 % y un 10 % espec o al endimien o del cues iona io A. d.- Una ez demos ada es ad s icam~n e la supe io i- dad del cues iona io 5, el G upo de In cs igacLón dcsea e dc lo a un Gabine - Psicológico que emplea el'cucs iond io 5. An es de comp a lo el Di ec o de dicho Gabine e desea ealiza un expe- imen o pa a p oba qlie la e icacia del cues iona io 5 es supe- io a la del cues iona io A. ¿Cuán os indi iduos debe habe en la mues a? Se a a de asegu a una cie a po encia a la p ueba unila e al (ac i ud p agmá ica) de compa ación de una p opo ción cbse ada a una p opo ción e6 ica. El Di ec o del Gabine e psi- colbqico e alúa&= +0.07, ya que conside a impo an e adop a 5 si como m nimo de ec a un 7% mas de neu b icos que A, y acep a unos iesgos o( =o =O. 05. Sus i uyendo alo es en (16) se ob iene: e.- En 1.3 mues a de n=302 neu 6 icos el cues iona io 5 ha diagnos icado co ec amen e 254. ~5 es más e icaz que Si se acepLa o( =0.05, aplicando (14) pe o eniendo en cuen a que se a a de una p ueba unila e al de compa ación de po=254/302=0.84 con p=0.80, se ob iene: ~l alo z= 1.74 es supe io a z2* =1.65 y además po= =0.84 es supe io a p=0.80. Conclusión: El cues iona io g es más e icaz que el cues iona io A. VI.- BIBLIOGRAFIA SELECCIONADA (1) BONET, E: Fonamen s d'Es ad s ica. Teide. Ba celona, 1974 (2) DIXON-MASY: In oducci6ii al andlisis os ad s ico. Cas illo. Mad id, 1966 (3) DOMENECH MASSO~S, J.M. : Mé odos Es adís icos pa a la In es igacibn en Ciencias Humanas. ~e de . Ba celona, 1975.