Teoría de pesos y funciones de oscilación media acotada

Pub . Mat . UAB Vol . 26 N° 1 Marg 1982 TEORIA DE PESOS Y FUNCIONES DE OSCILACIONMEDIA ACOTADA José García-Cuerva Abengoza Universidad de Salamanca Rebut el 18 de Setembre de 1981 ABSTRACT : This is a survey about certainaspects of the theory of weights, namely : the relation between Ap weights and functions of bounded mean oscillation, and also the central role played by the class A1 . 1 .- La condición de Nelson-Sze o y las condiciones de Muckenhoupt La transformadade Hilbert Hf de una función f en la recta satisface la desigualdad de M . Riesz ([151) (1)  IIR jHf(x)jpdx <  MP JI R If(X)¡pdx  si 1<p<- Análogamente la función conjugada Hf de una función f en el círculo T cumple : (1)  JT jHf(x)¡Pdx < M p  f T jf(x)1pdx  si  1< p<~ . Es natural preguntar para que medidas, además de la de Lebesgue, son ciertas las desigualdades (1) 6 (1') . Hardy y Littlewood demostraron en 1936 (ver [81) que (1') subsiste si se reemplaza la medida de Lebesgue dx por la medida du =Ix1'dx con -1< e t< p-1 .  Stein, en 1957, extendió el resultado a 1R n n> 1 yun operador integral singular de Calderon-Zygmund en lugar de H .(ver [161) . En 1960, Helso y Szegn obtuvieron en [91 el siguiente resultado notable :  (1) y (1') se cumplen para p =2 con du en lugar de dx si y sólo si du = w(x)dx (2)  w(x) = eu(x)+(Hv)(x) , IIUIL<-^ 1I~IL `2 A pesar de su hermosura, el teorema de Nelson-Szegb tiene algunos aspectos inquietantes . En primer lugar, aparece demasiadovinculado a l,as condiciones n=1 y p = 2 . En efecto, Helson y Szeg5 presentan el  teorema como un resultado en teoría de la predicción y en la demostración original utilizan la aplicación conforme, el espacio de Hilbert, funcionesexteriores, teorema de Beurling etc . Por otro lado la condición (2) es muy difícil de comprobar en la práctica . ¿Cómo puede saberse si Ix1' cumple la condición (2)? Durante los años 60 se trató de extender el teorema de Nelson-Szego a p # 2, sin conseguir nada interesante . El avance fundamental llegó en 1972, en el trabajo [14] de Muckenhoupt . En él se caracterizan los pesos w(x) para los que el operador maximal de Hardy-Littlewood M es acotado en LP(w), 1< p<- . Estos son los pesos de la clase A p definidade la siguiente forma : w está en Ap sí y sólo si existe una constante C tal que para todo intervalo acotado I CR (o en T) . _ 1 (3)  ( 1 JI w(x)dx)( TU JI w(x) p1 dx)P -1 < C Poco después Hunt, Muckenhoupt y Wheeden demostraron en [101 que para que H sea acotado en LP(w) es necesario y suficiente que w E Ap . La clase A p puede definirse en IR n  sin más que sustituirintervalo por cubo en (3) . Coifman y Feffermandemostraron en [3] que el teorema de Muckenhoupt se extiende a IR n y también que si w E A P y K es un operador integral singular de Calderon-Zygmund, entonces K es acotado en LP(w) . Las demostraciones de estos teoremas son exclusivamente de variable real y conducen a condiciones más fáciles de verificar en la práctica que (2) . Para p = 2 se obtiene la condición A 2 : (4)  (-  w(x)dx)( ' f w(x) -1 dx) <'C I  I Combinando los teoremasde Hunt-Muckenhoupt-Wheeden y Nelson-Szegó se obtiene que las condiciones (2) y (4) son equivalentes . Este es un hecho bien curioso y 'reclama una-análisis más profundo . Es fácil ver que la condición de Nelson-Szegá implica la condición A 2 . Todo lo que hay que hacer es demostrarque si IlvII .< 2 , entonces exp (Hv) í - ~~ A 2 . Nos situamosen el círculo T . Sea I un intervalo de centro eie o y longitud III . Sea z = (1-jIj/2,r)e ¡e0 . Entonces (con Pz núcleo dePoisson) 1  (  (Hv)(x)  L-  ín  Hv  1  L- (n  Hv-¡v III  JI  e  dx ~  ,r  J n  e  pz  < -cos  e  m  Re (  ,r  J n-  e  P z dx)  _ = cos e W  e (Hv)(z) cos v(z) _ cos 1  e(Hvj(z) Análogamente les-  e-(Hv)(x)dx < cos v m e-(Hv)(z) ~ " ~  f I de modo que se cumple (4) con C =(cosllvllj Tenemos así una demostracióndirecta de que (2) - (4) . Sin embargo, que yo sepa, todavía no se ha logrado demostrardirectamente que (4) - (2) . Sería muy interesante poder hacerlo (ver [11) . Como vemos el problema está en estudiar de manera fina el logaritmo de un peso A2 . Veamos , qué podemos decir acerca de é1 . En general tenemos la siguiente forma de reescribir la condición A 2 . PROPOSICION 1 Sea ~ : R n a  medible . Entoncese~ E A2 sí y sólo si 5) Qup  1  fQel~(x) - mQ(~)Id x < donde  m Q (VP) = U  fQ ~(x)dx . Demostración .- Supongamos que se cumple (5) . Se sobreentiende que ~es localmente integrable, de modo que mQ W tiene sentido . ( 1 70 r e O(x )dx) (  1  e - ~ (x) dx) = (multiplicando por e-MQM .emQM)= Q )  Q ( Qe EX) - mQ(O) dx ) ( 1  fQemQ z = C  si Ces el supremo que figura en (5) . Así e~ EA2 . lf 1 ( el~(x)-mQ(~lx= ~ )Q bién Recíprocamente sea e~ E A 2 con constante C . Como ~+ < e~, y e - ~, se sigue que ~+ y ~ son localmente integrables y así ~lo es tamI e l~(x)-m Q (~)I dx =L  e~(x)-mQ(~)  dx + 1Q  ~ LEQ :~(x) >M Q W} +  1  emQ(~)-~(x)  d x < e-mQ('P)( 1 {xc-QMx) <mQM) +e mQW (  1  1 e -~(x) dx ) < 2C pues Q JQ e~P (x) dx, y, e -m Q (~) - exp ( ~ JQ{-~(x)}dx) < -~ ~Q e-~(x)dx por la desigualdad de Jensen . 1 ' e~( x )dx) + Q eM Q W - exp (1  I (x)dx) < 2 .- El espacio B .M .O . vla versión n-dimensional de Helson-Szeg ó Esta caracterización de A 2 nos lleva al espacio B .M .O . Sea ~ una función localmente integrable en 1R n . Se dice que ~ tieneoscilaciónmedia acotada si y sólo si ~~* = sup  Q  JQ10(X) - m4 (~)Idx < m Si en el espacio de las funciones de oscilaciónmedia acotada se identifican dos funciones cuando difieren en una constante y se utiliza 11 li, como norma, se obtiene el espacio de Banach B .M .O . . En el círculo se define B .M.O . como el espacio de las funciones de oscilaciónmedia acotada con la norma 1 fT O(x)dxj  + 11~li* Se sigue de la proposición 1 que (8)  a, E A 2 - 109 w E B .M.O . De hecho se tiene la PROPOSICION 2  Si w EA p para algún 1 < p < m entonces logwC B .M .O . Demostración .-  En primer lugar q> p :í>A p CA q pues 1  ' 1  )q-1 -  1  f wq 1 1 )  (p-1) < (  f w  p11 )p-1 por la desigualdad de Jensen . Así, si wEA p y p<2, será wEA 2 y, en consecuencia, log wEB .M .O . _ 1  p Por otro lado observamos que wEA p < :> w p1 E A p.,p , = P = 1 . En efecto, basta darse cuenta de que pll .  p 1 1 = 1 .  Entonces si wEA p con p > 2, será w  p-1 EA P , , y, p' < 2 . Así 1og(w  p1 ) _ - p11  1ogt .wEB .M .0 . d e donde log wEB .M .O . El espacio B .M .O . ocupa un lugar importante en el Análisis gracias, sobre todo, a los resultados siguientes TEOREMA 1  (John-Nirenberg [111) Existen C 1 >O, C 2 >O, que dependensólo de la dimensión n,  tales que para toda ~E B .M .O ., VQ y VC> 0 (9)  ~I{x  Q :I~(x) - m,(~)I > j}I < C 1 exp {-  . 0 TEOREMA 2 (Fefferman-Stein [6]) B .M .O . es el dual del espacio de Hardy H 1 . Esto equivale a decir que la norma n  n ( 10 ) II~II ~ = inf { EI1~ j ll m  _ ~ o +  E  RjV~j,4) EL W } j=0  j=1 (donde las R j son las transformadas de Riesz), es equivalente ab ll* . Combinando la proposición 2 con el teorema de Fefferman-Stein vemos n que si wEA 2 , entonces log w = wo + E R .~ . con ~ . E L . Para llegar a tener una extensión de la mitad del teorema de Nelson-Szegó habría que determinar una constante B 1 dependiente de la dimensión --~de manera que pudiera tomarse n E 110 . II W <B 1 .  Esto ha sido hecho por Garnett y Jones en [7] .  Mas adelante j=1 volveremossobre este resultado . La otra mitad del teorema de Helson-Szegó se extiende a 1R n  utilizando el teorema de John-Nirenberg . En efecto, si ~cB .M .O ., vamos a ver que exp (cO) C A 2 para c pequeño . Utilizamos la caracterización (5) de la clase A2 m I  J eEIVP(x) - m Q ( ~ ) 1 dx <  cel ~ c e  'd  = Q  fo 1 JW, PROPOSICION 3 (11)  {alog w :a > 0, wEA 2 } = B .M .O . -En general se tiene : PROPOSICION 4  Si 1< p < {al og w :  a > 0,  w E Ap }  = B .M .O . C2 Si En particular se sigue que si  li~li *< C 2 , entoncese~ E A2 .  Utilizando el teorema de Fefferman-Stein, esto puede expresarsediciendo que existe n  n B  tal  que  si  +  E  R .w .  con ~ . EL - para  todo  j = 0,1, . . .,n y  E lk . ll °° <B L 2  o j=1 J J  J  j=1 J entonces e T E =- A 2 (observamos que el  tamañode ~ ono importa, acotada lejos de 0 y de -) . Tenemos así la extensión de una parte ma de Helson-Szegd . Podemos escribir : ya que ego está Demostración .- Se sigue de la proposición 2 que alog w E B .M .O . lla>0-IIWEA 2 . Recíprocamente, si ~ E B .M .O . yE> 0 es suficientemente queño, sabemos que e" E A . Así poniendo w = e" resulta  1 2  logw del teorepe- Demostración .- Si p >2, la demostración es la misma que la anterior . Si p <2, utilizamos la siguiente observación : sea w E A q , 1 <q <_y sea O< t< 1 ; entonces w t E A tq+1-t ya que Ct > {(  1 , .(x)dx)( -u  1 Q W(x)  qq 11 dx)q-1}t  > >- (  JQ .(x)tdx)( Como tq +1t = p equivale a t =P-1  la observación que acabamos de demosq-1  1 trar puede reformularse diciendo que si w E Aq y 1<p<q, entonces w q-1 E A p . En particular si wEA 2 , w p-l EA p . Así  poniendo w = e ( p -1)o E A  ,  es  =  l  log a . p  p-1 e Como decíamosantes,Garnett y Jones demostraron en [7] que existe una constante C(n) que depende sólo de la dimensión, tal  que si e~ E A2 , entonces ,y = u+v con u(=-L°° y Ilv IL < C (n) . Combinando este resultado con el que resulta de aplicarJohn-Nirenberg y Fefferman-Stein obtenemos : TEOREMA 3  Existen constantes B 1 (n), B2 (n) n con %EL W (R n ) . . E li~j11 W <Bl(n) entonces e~EA 2 y recíprocamente si j =l n  n e~EA, 2 entonces  ~o +  ER j ~ j con ~ 0 EL (R n ) -  E11~ j B2 (n) .  Un aspecj-1  j=1 to frustrante es que no se obtiene B 1 = B 2 y que para n = 1 no resulta B 71 2 2 t IQ W(X)  t(q-1  dx) t( q-1) , yt(q - 1) = tq+1 - t - 1 . Si  ~ E B .M .O .  será e-~ E A2 para e pequeño ye ( p -l ) o EA p 1 < p< 2 . n tales que si  + ER j q$ j j-1 Parece que el teorema 3 en lá mejor extensión del teorema de HelsonSzegb a varias dimensiones . He aqúí una forma interesante del teorema de Garnett-Jones : está en B .M.O . y 1If11* < C 1 (11b 1 11 .+ 11b 2 11J .  Recíprocamente,  si  f está en B .M .O ., entonces f puede escribirse en la forma  (22) con IIb 1 Il .+ IIb 2 11 m < <  C 2 11fIL . Coh la ayuda de este teorema obtenemos el  siguienteresultado bido a Coifman y Rochberg ([41) . TEOREMA 6  Si  f E B .M.O ., existen g,  hE B .L .0 .  tales que f = g-h . Demostración .- Utilizando (22) y escribiendo b2 como diferenciaentre partes positivas y negativa, todo se reduce a ver que, con ey ~ como y 0 < b(x) < k, la función (23)  g(x) = J  1  ~(  - )b(Y)dy IR E(y) ne g = g1 + g2 mQ(g1)  JQ (J~n E(Y)n ~( ffl X YT )b 1 (Y)dY)dx Sean x,x' E Q .  Entonces Ig2(x) - 92(x')1 = I J IRn\ Q  E(Y)n w ~) - v~(é-))b2(Y)dY Para y EIR n \ Q,  Ix-y1 ~ Ix' - y1 , de forma que las Y, Ix'-y I<E(y) son comparables . Se sigue que el sea e(y) > aix-y1 para alguna constante geométrica a . de Lipschitz para ~ y d es el diametro de Q se tendrá 126 desus arriba está en B .L .0 . Sea Q un cubo . Escribimos b = b 1 +b 2 con b 1 = b . XQ . Llamando gi i= 1,2 ala función obtenidaen (23) poniendo b i en lugar de b, tendremos <  T70  J~n E(Y)n  fln 0(_  )dx b1(Y)dY =  JIRn b l (Y)dY <k -  - -- 3nk condiciones Ix-y1 < E(Y), integrado es 0 a menos que Si L es la constante 92(x) - 9 2 (x')1 `_ L 1  1 n l e -x1l b2(Y)dy _ E(Y) -m  < (R n \ Q) n {e(Y) > aIx-Y1} < La - n-1kd  I  YIn+1  <  (const)k . xx-y 1 > cd donde (const) depende sólo de ~ y de la dimensión . Combinando las dos estimaciones obtenemos mQ(9) -innf g < mQ(g1) + M Q (g2) - in nf g2 < (const) k + + 1 IQ (g2 - in n f g2 )dx < (const)k . COROLARIO 1 Existe una constante C que depende sólo de la dimensión tal que si a y B son constantes > 0, g y h son funciones localmente integrables > O y b es una función acotada,entonces (24) f(x) = alog Mg(x) - 0log Mh(x) + b(x) está en B .M .O . con jifIj* < C(a +B+ ¡Ib1jj Reciprocamente cualquier f E B .M.O .  puede escribirse en la forma (24) con a +B+ Ilbil m < C Ilfl~ Es esta una curiosa caracterización de B .M.O ., consecuencia de todo lo que antecede . En cuanto a la estructura de los pesos tenemos este otro COROLARIO 2  Si w E A p con 1<p< m , existennúmeros a, B >_ 0 y pesos w 1 > w 2 E A 1 tales que (25)  w(x) = (w1(x))a(w2(x))-R Demostración .- w E Ap => log w E B.M .O . - log w = g-h con g,h E B .L .0 .  Pero entonces g = a log w l y h =slogw 2 con  a,s > 0 y w l , w 2 E A 1 . Así w -_ e gh = w aw-S . 1 . 2 Sería interesante encontrar una demostración elemental del teorema 6, que no se base en el resultado profundo de Carleson . Respecto al corolario 2, Coifman y Rochberg apuntan en su trabajo [4] el interés que tiene precisar a y B . Muckenhoupt conjeturó que pueden tomarse a = 1 y s = p-1 . Que para w 1 , w 2 E A 1 - _1  _1 m Q ( .)(m Q (w p-1 )) p-1 = (  wl(x)(w2(x))1-pdx)( -~ (w 1 (x))p -lw2 (x)dx)P_ 1 ICIT f Q  Q . w2-P E Ap , es elemental : (w2)) 1-p MQ(w 1 )(C 1 mQ (w l )) -1mQ (w 2 ) p-1 = C2 -p C 1 1 El recíproco es un resultado profundo y difícil obtenido finalmente por P . Jones en [121 (ver-también [131) . TEOREMA 7  w E AP (1 < p <-) sí y sólo si (26)  w = w 1 .  w2- .p  con  w 1 ,  w2 E A1 La demostración se basa en la descomposición de Claredon-Zygmund y tiene el mismo aspecto que la del teorema de Garnett-Jones . No puede sorprendernos que a partir del teorema 7 resulte fácil ver el teorema de Garnett-Jones . Veámoslo : Sea 0 E B .M .O .  y  0<A< A(~) . Entonces eA~ E A2 =* e A O= w r w2 1  con w l , w 2 E A 1 .  Puedo escribir w l = hl(Mf1)Y, w 2 = h2 (Mf 2 )Y con h 1 , h 2 acotadas lejos de 0 e m, f l , f 2 localmente integrables no negativas y 0 < - y< 1 próximos a 1 . Así A~ = Ylog(Mf 1 ) - Y log(Mf 2 ) +log h l - log h 2 de donde inf L llo-91~ <  const . g REFERENCIAS .1 .- BAERNSTEIN,A . "Univalence and bounded mean oscilation",Mich . Math .Jnal . 23, (1976) 217-223 . 2 .- CARLESON,L . "Two remarkes on H 1 and B .M .O .", Advances in Math . 22,(1976) 269-277 . 3 .- C0IFMAN,R . 4 .- COIFMAN,R . 5 .- CORDOBA,A . y y y FEFFERMAN,C . "Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integral?, Studia Math .51, (1974), 241-250 . ROCHBERG,R . "Another characterization of B .M .O ." Proceeding of the Amer . Math . Soc ., 79, (1980) 249-254 . FEFFERMAN,C . "Weighted norm inequalities for singular integrals", Studia Math . 57, (1976) 97-1016 .- FEFFERMAN,C . y STEIN,E .M . "HP spaces of several variables", Acta Math ., 129, (1972) 137-193 . 7 .- GARNETT,J . y JONES,P .W . "The distance in B .M .O . to L ", Annals of Math . 108, (1978) 373-393 . 8 .- HARDY,G . y LITTLEWOOD,J . "Some more theorems concerning Fourier series and Fourier power series", Duke Math . J . Vol .2 (1936), 354-382 . 9 .- HELSON,H . y SZEGO,G . "A problem in prediction theory", Ann . Math . Pura . App . 51, (1960) 107-138 . 10 .- HUNT,R . MUCKENHOUPT,B . y WHEEDEN,R . "Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform", Trans . Amer . Math . Soc . 176, (1973) 22711 .- JOHN,F . y NIRENBERG,L . "On functions of bounded mean oscilation",Comm . Pure . Appl . Math . 14, (1961) 415-426 . 12 .- JONES,P .W . "Structure of A p weights", Asociación Mat . Española, 1,(1982) 177-191 . 13 .- JONES,P .W . "Factorization of Ap weights", Annals of Math ., 11, (1980) 511-530 . 14 .- MUCKENHOUPT,B . "Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function" Trans . Amer . Math . Soc ., 165, (1972) 207-226 15 .- RIESZ,M . "Sur les fonctionsconjugats", Math . Zeit ., 27, (1927) 218244 . 16 .- STEIN,E .M . "Note on singular integrals" . Proceedings of the Amer . Math . Soc ., Vol .8 (1957), 250-254 .