Nota sobre espacios homeomorfos a abiertos de poliedros compactos
Abstract
Gómez Ruiz, Francisco
Full text
Pub
.
Ma
.
UAB
Ns
23,
Feb e
1981
NOTA
SOBRE ESPACIOS
HOMEOMORFOS
A
ABIERTOS
DE
POLIEDROS
COMPACTOS
F ancisco
Gómez
.
Uni e si a Au ónoma
de
Ra celona
.
Secció
de
Ma emá iques
.
En
la
publicación
de
es a
no a
apa ecida
en
el
n°17
se
habíandeslizado
algunos
e o es
ipog á icos
.
Vol emos
a
publica la
aquí
debidamen e
co egida
.
Es a no a
ha
sido
suge ida
po
el
p oblema
4,
página
228
del
lib o
de
W
.
G eub,
S
.Halpe in
y
R
.Vans one
:
"Connec ions,
cu a u e
and cohomology",
ol
.
I,
Academic
P ess
.
Pues o
que
odo
abie o
de
un
polied ocompac o
es a
su
ez
un
polie-
d o,
siemp e
es
in e esan e
conoce
condiciones
que
ga an icen
que
un
espa-
cio
opológico
es
(o
no es)
homeomo o
a
un
abie o
de
.algún
polied o
com-
pac o
.
En
es e
sen ido
demues o
el
siguien e
eo ema
:
Teo ema
:
Una
condiciónnecesa ia
pa a
que
un
espacio opológico
X
sea
abie o
de
algún polied o
compac o
es
que
la
imagen de la
aplicación
na u-
al
HP
(X)
-
HP(X)
sea
ini o
gene ada
pa a odo
en e o
p
.
Siendo
HP(X)
la
cohomología
singula
de
X y
omando
cualquie
anillo de
ideales
p inci-
pales
como
añillo
de
coe icien es
.
Es e
eo ema
puede
u iliza se
en
pa icula
pa a
da
ejemplos
de
polie-
d os
no
compac os
que
no
sean
abie os
de
ningún
polied o
compac o
.
También
puede
u iliza se
pa a
da
ejemplosde a iedadesdi e enciables
no
compac as
que
no
sean
abie os
de
a iedadesdi e enciables
compac as
.
Pues oque
la
cohomología
de
un
polied o
compac oes
ini o
gene ada,
el
eo ema
an e io
se á
consecuencia
de
la
siguien e
p oposición
.
P oposición
:
Una
condiciónnecesa ia
pa a
que
un
espacio opológico
X
sea
abie o
de
algún
espacio egula
cuyo
p-ésimo
módulo
de
cohomología
sea
ini o
gene ado
es
que
la
imagen de la
aplicación
na u al
HP(X)
-
HP(X)
sea
ini o
gene ada( omando
como
anillo
de
coe icien es
cualquie a
de
ideales
99
p incipales)
.
An es
de
demos a
es a
p oposición
e emos
un
lema
.
Sea
0
un
subconjun o
abie o
de
un
espacio
egula
M
.
Designemos
me-
dian e
i
*
:HP(M)
}
HP(O)
el
mo ismo
inducido
po
la
inclusión
¡
:O
'
->
M,
y
sea
:Hp(0)
->
HP(O)
el
mo ismocanónico
.
*
Lema
:
Im
C
Im
i
.
Demos ación
del
lema
:
Sea
a e
HP
(0)
.
Pues oque
Hp(0)
=
1K
Hp(0,0-K)
(K
eco iendo
los
subconjun os
compac os
de
0),
exis e
aK
e
H
p
(0,0-K)
que
se
aplica
en a
po
el
mo ismo
na u al
Hp(0,0-K)+
Hp(0)
.
Elijamos
un
subconjun o
abie o
U de 0 al
que
K
C
U
C
U
C
0, lo
cual
puede
hace se
po se
M
egula ,
y
conside emos
el
ecub imien oabie o
de
M,U
=
{O,M-U}
.
El
siguien e iángulo
es
e iden emen e
commu a i o,siendo
l
y
2
las
aplicaciones
ob ias
.
Sea
zK un
p-cociclo
en
0
que
se
anule
en
los
p-simplicessingula es
de
O-K
y
ep esen e
aK
.
Sea
zK
el
p-cocicl
-
o
de
M
ela i o
al
ecub imien o
U
que
ale
o en
los
p-simplicessingula es
de
M-U
.
coincide
con
zK
en
los
simplices
singula es
de
0
.
100
*
Hp(0)
<
Hp(M)
=
2
Hp(M,Ú)
Si á
designa
a la
clase
de
cohomologiade e minada
po
zK
en
H P
(M,U),
enemos
l(a
-
)
= (a)
.
Pe o
l
(á)
=
i*( 21(á)),
luego
Im
C
Im
i
*
.
Demos ación
de la
p oposición
:
Supongamos
que
X es
un
abie o
de
un
espacio egula
M
con
Hp(M)
. ini-
*
o
gene ado,en onces
Im
i
se á
ini o
gene ado
y
po
él
lema
an e io
la
imagen de
ambién
lo se á
.