Condição de convergência do método iterativo da superrelaxação acelerado no caso da matriz do sistema ser irredutivelmente diagonal dominante

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL CONDIQÁO DE CONVERGÉNCIA DO MÉTODO ITERATIVODA SUPERRELAXA( ;ÁO ACELERADO NO CASO DA MATRIZ DO SISTEMA SER IRREDUTIVELMENTE DIA- GONALDOMINANTE . M . Madalena Ma ins Ins i u o de Ma emá ica Uni e sidade de Coimb a Abs ac - In his pape we ob ain bounds o he spec al adius o he ma ix -L - he associa ed ma ix o he accele a ed o é . .l .n : :a ion i .e a i e (AUY we will gi e su icien condi ions o he con e ;c :nce o he (AOR) me hod and we will imp o e he known esul s o he (SOR) and (AOR) me hods when he ma ix is s ic ly diagonally dominan . 1 - In odugao Conside emos o sis ema de equagoeslinea es Ax=b cm que A é uma ma iz n x n, b um ec o de dimensao n conhecido e x um ec o desconheeido . Fal amos a seguin epa igao de A A = I-E-F com I a ma iz iden idade de o dem n, E e F espec i amen e ma izes es i amen e iangula es in e io es e supe io es . Hadjimos cm El] in oduziu um no o mé odo i e a i o pa a a esol_u qao de (1 .1), o mé odo da supe elaxagao acele ado (AOR), dado po : x (i+l) =(I- E) -1 L(1-w)I+(w- )E+wF] x(i)+w(I- E)-1 b  i=0,1,2, . . . cm que a ma iz  L ,w  associada ao mé odo i e a i o é dado po : L ,w = (I- E) -1 L(1-w)I+(w- )E+wF Designamos po  p(1 .  ) o aio espec al da ma iz 1 . ,~  ,w . No que se legue i emos de e mina limi es supe io e in e io pa a p(L : )  no caso da ma iz  A  se i edu i el . e díagonalmen e dominan e (Teo ema 1), oh endo os in e alos de con e gencia pa a o mé odo AOR, já de e minados po Hadjimos cm L1] po um p ocesso di e en e (Teo .2, Co .l) . Depois amos conside a o caso da ma iz A do sis ema se es i a- men e diogonal dominan e e olí emos condipes de con e gencia que melho am os esul adosconhecidos pa a o mé odo SOR (Teo .3) e pa a o mé odo AOR (Teo .4 e 5) .  _ 2 - Domináncia diagonal aca 2 .1 - Limi es pa a p(1 " .w) Lema 1 : Se a ma iz A é i edu i el en áo a ma iz ambém o é se laja, 0<w<2 min  l-wllw- ei- w ' < P(l  ) < máx l+ e l  ,w e w> >0 dulos dos elemen os das linhas i das ma izos E e F . 2 .2 - Condigoes de con e gencia do mé odoAOR e se  w > > 0, en io o mé odoAOR  con e ge se : 0<w < 2 l+max e .+ ) 1 i P-1- (0L)0a E+  w  F a-1+w a-1+w Teo ema 1 - Se a ma iz A dada cm (1 .1) é i edu i el . o diagonalmen e do- minan e, en áo  p(L w ) sa is az a : , Iw- jei+jwj i +jl - w1 desde que i ¡ <-!-  cm que e . e  . sao espec i amen e a soma dos m : e .  1  1 DemOns agio : - Ob em-se o esul ado desejado, eco endo no Lema 1 e ao uso du a p ocesso de demons agio semelhan e ao usado cm E3] . Teo ema 2 - Se a ma iz A de (1 .1) é i edu i el e diagonalmen e dominan e Co olá io 1 - Se A de (1 .1) é i edu i el e diagonalmen edominan e en - áo o mé odoAOR con e ge se O<wPl  e O<< <l . Es e 1 o esul adoob ido cm El] po Hadjimos . 3 - Dominaneia diagonal es i a Teo ema 3 - Se a ma iz A do sis ema (1 .1) ¿ es i . am .n e diagonal domi - nan e, en ao o me odo SOR c con e gen e pa a Teo ema 4 - Se A de (1 .1 .) é es i amen e diagonal dominan e, en ao P(L ,w ) < 1 >  se  0< < l+max 2 (e i + :)  e  O<w< 1+p(l .  ) i ~ .  ,x Teo ema 5 -0 mé odo  AOR  é con e gen e,  is o c, p(L .w ) < 1, pa a : 2 < 2 l+P(L  )  1  + max(e 1 .+ i) ,  i B i b 1i o g a i a L1] - lladjimos,A . : - Accele a ed O e elaxa i .on Me hod . Ma h . Comp .32, 149 - -157 (1978) . E2] - Hadjimos, A . and Yeyios, A . : - The P inciple o Fx apola ion in Connec ion wí h he Accele a ed O e elaxa ion (AOR) me hoc1 .T .R .n°16, Depa men o Ma hema ics, Ilni e si y o lonnina, 'Loannina, C eece, 1978 . E3] - Ma ins, P adalena . - On Accele a ed O e elaxa ion Me hod o linea Sys ems wi h S ic ly Diagonally Dominan Ma ix . A se publicado em P a h . Comp . 27 7 (i) se 2 0< 2 < e O<w < - 1 l+max(e i + i ) l+p(L , ) 2 2> 1+ p(L , ) l+máx(e i + i ) i (ii) 0< <w 2 e < w < 2 - 1+C ( L ) - 1+m,9x(ci+ i) , 1 ou 2 O< 2 < e O<w < - l+max (e . + .) l+P (1, ) i1 se Ve ga,  R . S .  - Ma ix  I e a i oAnalysis,  P en ice - Ball,  Enplewood, Cli Cs, Núw je sey, 1962 . Young, D,M . - I e a i o Solulion o La ge Linea Sys ems, New Yo k . and Lundon : AcadomieP ess 1971 .