Problema de Snell en tiempo continuo con horizonte finito

Pub . Ma . UAB N° 22  No . 1980 Ac es VII JMHL PROBLEMA DE SNELL EN TIEMPOCONTINUO CON HORIZONTEFINITO Miguel San Miguel Ma co, Ge a do Sanz Sáiz Dp o . de Es adis ica e In es igaciónOpe a i a Uni e sidad de Za agoza A B S T R A C T In his pape , we ind he Snell en elope o he p ocess { Z } E E 0, ',] and i s limi as * .+ - , and we compa e i wi h he Snell en elope o he p ocess { Z } >,o ' wo ked ou by Me ens . Sea  ( 9, F, P )  un espacio de p obabilidad comple o y { Z } 10 un p oceso bien medible, adap ado a una amilia c ecien e y con inua a de echa  { F } >_0  de sub-a-álgeb as ( comple as ) de  F,  de modo que ZT E L 1 pa a odo iempo de pa ada ini o . 1 .- Pa a cada in e alo  [ o, *]  sea Z * el conjun o de iempos de pa- ada T, ales que 0S T S * . Conside emos un conjun o ini o { T1, TZ ,  ...  ,  T n }  y monó ono no c ecien e  (  T j >,  T j+1  ,  j  =  1,  . . .  ,  n  ) de iempos de pa ada de  _ C* , y de inamos la siguien e supe -ma ingala : al que : X * = Z * XT 1 XT 2 max  {  zT ,  E E X *  I  FT } 1  1 max  {  ZT ,  E [X T  I  FT } 2  1 2 XT = max { ZT , E [X T  I F T }  a n  n n-1 n XO = max  {  z0 ,  E [X T  I  FO } n Como X * = Z * , la ó mula : O =  min  {  T  E  {0,  T n ,  T n-1 ,  .  .  ,  T 1 ,  *}  :  XT =  zT } de ine en 2 un iempo de pa ada al que : XO = E  EX VO n *  I FO ] = E  [ XVO  I  FO  - E  C Z VO  I F O debido a que  { XVO ^  } E  { 0, Tn ,  . . .  ,  T1,  *}  es una ma ingala . Po o a pa e, aplicando a la supe ma ingala EA] el eo ema de pa- ada de Doob, se ob iene que : XO Z E  [ XV  I FO E  Z  1 FO pa a odo iempo de pa ada  E {O, Tn ,  . . .  , T 1 , *}, y, po consiguien e, VO es óp imo, en el sen ido de que  sup E I ZV = E [ZVO1 , cuando  V  eco e la V amilia {O, T n , . . . , T 1 , *} , y se e i ica que : X O =  sup  es  E Z V  I  F O sup  es  E  [ Z V  I  F O (1 . 1 ) V E  {O,  Tn - ,T 1 , * }  V E Z * Po o a pa e, eniendo en cuen aque la amilia  { E E Z V I FO ]  , V E  '6*} es il an e supe io men e, exis euna sucesión  { T n } nC IN lim  E [ ZT  I F O n  n ( éase E4 - ] , p . 121) . sup  es  El Z V I FO (1 .2) V E ¿ A pa i de es asucesión  { Tn } n CIN de iempos de pa &da se cons- uyen las dos sucesiones de a iables alea o ias siguien es : ( S2 ) {  Z  }  e  C O,  * ] Se ob iene acilmen e que ' sup es E CZV I F O ] >.  X0 >- E 1Z T  I F O ]  (1 .3) e Z*  n Tomando lími es, cuando n - , y de acue do con (1 .2), se iene que exis e  lim  X~ = X *  y  X0 * =  sup  es  E  [ Z V  I FO ] .  (1 .4) V C Z * No a .- Obse ando (1 .3) es e iden e que con cualquie sucesión de iempos de pa ada que e i ique (1 .2) se ob end á el esul ado (1 .4) . Conside ando, aho a, las a iables alea o ias a pa i de un índice , es e iden e que se ob end á que : X  =  n m  X  =  sup  es  E  [Z V  I F (1 .5) ~X *  -< V 6 * es deci ,  que { } e [, , i es la en ol en e de Snell del p oceso 2 .- Conside emosaho a una sucesión, no dec ecien e, de ins an es de pa ada { n }  endiendo a  + - ,  n ? - , y sea  { X } ' C  la en ol en e de Snell del p oceso  { Z } ' C  , encon ada po Me ens . E  E ZT n  I  F  x , <  lim R  x " 6  x (2 .1) n pa a  T  ( iempo de pa ada) y   su icien emen e a anzados ( T > ,  > ), n  n siendo  x ° =  sup  es  EC ZV 1 F i < V < BIBLIOGRAFIA Se puede ob ene sin di icul ad que : n Suponiendo que  { Z } 1 0  sa is ace la  hipó esis 1  de Bismu y Skalli  El 1 , se iene, omandoespe anzas y lími es en (2 .1), que : x = lim T x ° = x (2 .2) No a .- Cuando el p oceso  { Z } >'0  sea posi i o o aco ado in e io men e po una a iable alea o iain eg able, ambién se ob iene (2 .2) . BISMUT, J . M . y SKALLI, B . (1977) . : Temps d'a é op imal, héo ie géné ale des p ocessus e p ocessus de Ma ko . Z . Wah . Geb . 39, 301-313 . F2  MERTENS, J . F . (1972) . : Théo ie des p ocessus s ochas iques géné aux applica ionsaux su ma ingales . Z . Wah . Geb . 22, 45-68 . [ :3j  MEYER, P . A . (1966) . : P obabili és e po en iel . Ed . He man . Pa is . [ :4j  NEVEU, J . (1972) . : Ma ingales á emps disc e . Ed . Masson e Cie . Pa is .