Estudio de algunos procesos markovianos no estacionarios

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL ESTUDIO DE ALGUNOSPROCESOS MARKOVIANOS NO ESTACIONARIOS Ma ía Pila Ola e Rubio Dp o . d e Cálculo de P obabilidades y Es adís icaMa emá ica Dp o . de Es adís ica eIn es igación Ope a i a Uni e sidad de Za agoza S U M M A R Y A ini e disc e e non-s a iona y Ma ko p ocess in comple ely cha ac e ized by i s ime sequence o ansi ion p obabili y ma ices, P n . The n- h ma ix p n is de ined in his case, asA +nB . This pape de elops a me hod o inding En) =P 1 . P2 .P3 ., ., .Pn using he z- ans o m me hod . ces . Analogously ¢(n) is ound in he case o cons an causa i e ma i Conside emos un p oceso de Ma ko de inido po un espacio de es a dos S = {1,2   N } , un espacio de iempos disc e o T = { 0,1,2, . . .}y un conjun o de p obabilidades de ansiciónp ij =a ij +nb ij jde paso del e_s N l, ado i al es ado j, y que e i ican Z pij=1 ,i=1, . .,N ; 0 < p i , < 1 ; j_  3 - 1 < i,j < N Sea la ma iz $(n) cuyo elemen o (i,j) es áde inido po n = 0,1,2, . . . ca, de al o ma que si (n) es una unción eal de a iable en e a no 17 8 1  1 <i,j < N (Dij (n)  = P 1 s (n)  = j I s (0)  = iJ Pa a ob ene la aplica emos el mé odo de la ans o mación geomé i aplicando la z- ans o mada a cada miemb o  N C N c -1 I 0g j (z) - ~ij (0)J = k11 0 k (z) a kj + z d ky1 ogk(z) bkj ma icialmen e .dz M Z)  B=  .-z-1  (z)  A + z-2 ~(z)  -  z-2 bkj Po se B no egula y en es e caso no exis i ma iz in e sa,usa emos pa a la esolución de la ecuación di e encial la g-in e sa B . dz  ~(z)  _  (z)  -  z -1  A + z2IB  _ z-2 B  +  (B - B-I)  H siendo H una ma iz cualquie a La solución de la ecuacióndi e encial es J(z-1 A+z -2 )B dz  -  -  ((+z-1A+z-2 )B  dz ~(z) e .~  = (-z -2 B +(B B-I)H) e)  dz+C ope ando y no ado I(M,a,P) =i z M e -Pz z X dz  , donde M yP son ma ices cualquie a y a c IR , ob enemos k n 1 n=0 I k=0  k!n! n +1 k M n (-1) k=-a p  k : n :  y(lnz ;n+1 ;-k-a-1) nega i ade ini emos su z- ans o mada como 9 (z) = Y (n) n=0 Zn . Po lo an o si N ¢ij (n+1) _Y= k=1 ~ ik (n) p kj (n) N 1 k=1 ~ ik (n) a kj + n NC k=1 ~ik (n) Con lo cual la ecuacióndi e encial queda -AB - -Z-1 B = -B I(-AB ,O,B ) +(B B-I)H . I(-AB ,-2,B ) ~(z) z  e m ~(z) (-AB - ) n 1 n=0 (B )k (_AB-)n k=2 en es e caso (lnz) n : n _ _ n+1 B- y  y (B )k (-AB ) n (-1) Y(lnz,n+1,-k-1) n=0 k=0  k!n! + (B B-I)H í(-AB - ) n ñ1 . y(lnz ;n+1 ;1)+ (B - ) . (-AB ) nn1 Y(lnz ;n+1 ;0) 1 + (B B-I) H (-1) n+1 k! n! Y(lnz ;n+1 ;-k+1) No emos que c5(z) se puede ob ene numé icamen e pues en es e ca so an o las se ies como las in eg ales son calculables . Po se ~(z) una unción con inua e in ini amen e de i able en un en o no del o igen, su desa ollo en se ie de Lau en es único,po an o : dZ n Con lo que hemos deducido la ma iz de ansición del p oceso - desde la e apa inicial has a n-ésima . n! z=0 En el caso de un p oceso ma ko iano no es aciona io de inido a a és de una ma izcausa i a C cons an e de al o ma que p2 s P 1 C,P 3 =P 2 C, . . . . P '+1  =P 1  .  Cn N  N  N ~ij(n+1) C = k y 1 ik(n) P kj (n) = kY1 ik(n)  1111 p kl dlj (n) siendo dlj el elemen o (l,j) de la ma iz Cn-1 = D . siendo Dg(z)=[  I - Cz1  ya que a la ma iz C se le puede aplica igualmen e el mé odo de la z- ans o mación . ceso . B I B L I 0G R A F I A - BELLMAN R . : "In oducción al análisis ma icial" , (1965), Ed . Re- e é, S .A . - HOWARD R .A . : "Dynamic p obabilis ic sys ems" John Wiley, (1971) . - HARARY F ., LIPSTEIN B . and STYAN G .P .H . : "A ma iz app oach o non s a iona y chains" Tecnical Repo No . 120, Depa men o S a- is ics, Uni e si y o Minneso a, May 20, 1969 . Aplicando la z- ans o mada 1  N N z _ ~ g 1 .(z) - ~ i (0) = F  ~gik(z) pkl d l (z) - ~ J  j  k-1 1=1  j z -1 [Ib g (z)- EO,l = 0(z) P D g (z)  $g (z)  PD 9 (z)Z Luego en es e caso ambién es calculable la ma iz I(n) del p o