Algunos resultados sobre la p-esperanza (medidas de centralizacion intrinsecas en espacios Lp)

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL ALGUNOS RESULTADOS SOBRELA p-ESPERANZA (MEDIDAS DE CENTRALIZA- CION INTRINSECAS EN ESPACIOS Lp) Ca los Ma án Bea Dp o . de Es adís ica Colegio Uni e si a io de Bu gos ABSTRACT : We s udy he p-mean as a me ic p ojec ion o a andom a iable o Lp+1 o e he subspace o he cons an s, so as o gene alize his con- cep o Lp in i ue o he cha ac e iza ion o he p-mean, as he cons- an Ep ha e i ies he equa ion JIX-E p lp sign(X-E p ) du = 0 . We ob ain bounda ies o he ype Ep (I X I ) < KIIX Il p and IIX Il p < K . Ep ( I X I) and om he- se we p o e ha E p (I 1) is a quasino m in he space Lp ha gene a es he usual opology o hese spaces and also he con inui y o he p-mean, and as a consequence se e al esul s o con e gence . INTRODUCCION : Como un caso pa icula de la gene alización de la Espe anza Condicionada que in en ábamos en [7j, p e endemos hace o o an o con la Espe anza Ma emá ica, es udiando medidas de cen alización de a iables alea o ias eales que conside amos in ínsecas a los espacios Lp en el sen- ido siguien e : En un espacio p obabilís ico  la espe anza de una .a . . X de cuad ado in eg able es la cons an e , de inida po la exp esión IIX-, 12 = win n 11X-kll z , 6 eniendo en cuen a la es uc u a de espacio de Hil- be de L Z (9,Q,u), la p oyección o ogonal de X sob e el subespacio de las a iables cons an es L2 (9,a,u) (siendo ao la o-álgeb a i ial), y quedando 0 así pa en e la in e elación en e media y a ianza . En los espacios Lp (P>~ no podemos habla , en gene al, de p oyección o ogonal, pe o si de p oyec- ción mé ica (Singe [9]), y así pa a una a iable XcL p pod emos de- ini una medida de cen alización n como la p oyección mé ica de X sob e P p L (2,abu), e i icando en onces la condición de mínimo IIX-n II  min11 X-kll 1  p p  keR  p que a su ez queda ca ac e izada po jX- p 1 P_ sign(X-i p ) du = 0  (Singe [9],pag 56) y analogamen e asocia le como medida de dispe sión mas na u al (po su analogía con la a ianza)  el alo ]IX-1T 1l P p p . No obs an e, al igual que la Espe anza Ma emá ica no es de inible an solo pa a a iables de cuad ado i .n eg able, sino que, es una ca ac e í- - ,- ica de las a iables in eg ables : la ca ac e ización que dábamos mas a i- ba y la posibilidad de u iliza la pa a a iables (p-1)-in eg ables nos ha á amplia la de inición a es as, coincidiendo en onces con el concep o de -espe anza (6 -media) con =p-1, que apa ece de inido en [1), po lo que u iliza emoses a e minología desde un p incipio . En [3), y en conexión con un p oblema de es imación obus a, Hu- be es udia los "M-es imado es", demos ando una ley ue e de los g andes núme os pa a es os, álida pa a la p-espe anza ; es udia igualmen e el p o blema de no malidadasin ó ica . En [1], se abaja con el concep o aún mas amplio de 4-medias, con esul ados simila es sob e las p opiedades asin ó- icas de las D-medias mues ales, y es udiándose el p oblema de las amili- a:: de dis ibuciones asociadas a es as "espe anzas gene alizadas" . Daniel, en [2] es udia el caso lími ecuando p.m . En es e abajo se es udia en p incipio la p-cspe aíiza como p o- yección mé ica en L p+1 Se obse a que al igual que ocu e con la espe anza ma emá ica, que de e mina la opología en L 1 , la p-espe anza, si bien no de- e mina en gene al una no ma, si que de e mina una cuasino ma que de ine en L p su opología usual . P obamos igualmen e que la p-espe anza es con inua en Lp (su con inuidad en L p+1 es, en cambio, consecuencia de eni de e mi- nada po la p oyección mé ica),que jun o con su ca ác e monó ono asegu a la alidez pa a es a de los clásicos eo emas de con e gencia (mayo ada, e ) DEFINICIONES Y PRIMERAS PROPIEDADES De inición .l .l . : Dado un espacio p obabilís ico (9,a, ), llama emosp-espe- anza (p>O), a la aplicación EP:L P+l ->R que pa a cada a iable (p+1)-in e- a able ienede e minada po su p oyección mé ica sob e el subespacio de las cons an es L p+1 (p,a 0 ,u)  (siendo a0  la a-álgeb a i ial  [0,9]) . 162 p+1 Pa a cada XcL  E (X) se á en onces la cons an e de mí- P nima dis ancia (po la mé ica usual de L p+l ) a X, así como la espe anza condicionada de X de o den p+1 a a_ (de inida en [7]) . La exis encia y uni- cidad, y p opiedades mas ca ac e ís icas quedan igualmen e jus i icadas e- :(7) . P oposició n .1 .2 . : Sea XcL p+1 (R,a,u) (0<p<-) ; la p-espe anza de X es la única cons an e Ep (X) que e i ica IX-E p (X)I p sign(X-E p (X))du = 0 . Además la n--es- pe anza e i ica :  a) II X-E p ( X)11 p+1 <IX IIp+1  b)  Ep (X+k)  = Ep (X)+k  bkeR c) E (kX) = kE (X) dkeR  d) E (k) = k bkcR e) La p-espe anza es con inua +1 P  P p+1 en L  )  Si  X<Y casi segu o y X,YeL  EP  _ (X) <E P(Y) Cabe des aca , en cambio, que la p-espe anza no es, en gene al, adi i a . De e) y ) se . pod iandeduci ya c i e ios de con e gencia en LP+1 . La de inición siguien e, jus i icada en la in oducción como me- dida de dispe sión asociada a la p-espe anza, concede a es a la p opiedad de mínimo de que goza la espe anza espec o de la a ianza . Pe mi e así mis mo ob ene desigualdades análogas a la de Tchebyche pa a las p-espe anzas . p+1 De inición .1 .3 . : Sea XeL  (0<p< m) ; llama emos a ianza de o den p de X al alo EP (X) = XIX - Ep(X)0p+1 La ca ac e ización que dábamos en la p op .1 .2 . de la p-espe anza, así como la obse ación que haciamos al comienzo, hacen que ampliemos la de- inición 1 .1, pa a e que la p-espe anza puede conside a se como una ca ac- e ís ica de las a iablesp-in eg ables : 1X (a)= IX-al p sign(X-a)dupa a una a iable XeL p ija, es una unción con inua, es ic amen e dec ecien e y, li a V a)=-, lim V a) m, po an o oma, y sólo una ez, odo alo eal, en a  al-m pa icula iene en onces un solo ce o . Si X no es, en cambio, p-in eg able, la ecuación V a)=0 no iene sen ido ; po an o en adelan e u iliza emos la siguien e de inición, ca ac e ís ica pues de las a iables p-in eg ables . De inición .1 .4 . : Di emos que una a iable X iene p-espe anza (p>0) si exis- e una cons an e E p (X) que e i ique IX-E p (X)I p sign(X-E p (X))du=0 . Llama e- mos en onces a al cons an e p-espe anza de X . P oposición .1 .5 . : Pa a cualesquie a X,YcL p (2,a,u) (p>0), y pa a odo kcR : a) E (X+k)=E (X)+k b) E (kX)=kE (X) c) E (k)=k d) Si X<Y C .S . E (X)< E (Y) P P  P P  P  P P e) JE MI < E (IXI) . P -` P ASPECTOS TOPOLOGICOS DE LA P-ESPERANZA Teo ema .2 .1 . : Sea X una a iable p-in eg able (0<p<-), en onces : a) Si  o<p<1  E (Ixl)< 3 1/P 11x11  y  Ilxll  <3 1/P E () xl) b)  Si  1<p<-  Ep (IXI ) ¡ < lixll  (1 p+ 21/P)  yP a  II X11  <E  (1X1)  (1 + 21/P) P  P  P P Demos ación : Po de inición de p-espe anza,si I(A) es .el indicado de A : (IXI-E p (IXI)) P I(IXI>E p (IXI))dp = (Ep (IXI)-IXI) P I(IXI< Ep (IXI))dp --~ I11XI-E  (IXI)JI P=2 (IXI-E  (IXI )) P I(1X1>E (IXI))dp=2 (E  (IXI)-IXI )PI((XI<E (1X1) )di, p p  P h h  P  p  P y de la desigualdad (a-b) <a si a>b>0 y h>0 ob enemos 1) 111X1-E (Ixl)II P  2 IXI P I(1l>E (IXI))dp < 2 IXI p dp = 211XIIP P  p -'  P  p  ~ p 2) IIIXI-E (IXI)IIP < 2 (E (IXI)) P I(IXI< E (IXI))dp <2 (E (¡XI» P du=2(E (IXI) P  P "  p  p  p  P Si se da a) en onces IIX+YIIP <IIX(I P + IIII p y po an o : (E  (IXI)) P <JI1XI -E  (1X1)II P  +11 XII P  < 311XIF po  la desigualdad  1) P  . .,  P  P  P °  P 1~XIp <plXl-E P (1X()IIP + ( Ep (I1)) P < 3(E p (II)) p po la desigualdad 2) En el  caso b) II X +Y11  < II X II  + II Y II  y la aplicación de  las des¡ - p °"  P  P gualdades 1) y 2) demues an igualmen e el esul ado . De es e eo ema deducimos inmedia amen e, ción de una cuasino ma p (Kd he[4]) ; así como la opologíaque mina, dando luga a un espacio ec o ial opológico, a pa i de un sis ema i (0)  =  [x  /  p (x) < 1] : P una cuasino ma en L(Sl,a,p) pa a odo p>O, que ge- undamen al de en o nos Teo ema .2 .2 . : E (I I) es P e a la misma Teo ema .2 .3 . : de 0 del ipo opología que  11  II p y po de inición de p-espe anza, en onces p `~  P  P La p-espe anza es con inua en L P (p>O) . X, pa a la cual  Ep(X Im ) > a 0 j(X nm -Ep (X nm )) P I(X nm > E p (X nm » dp (E p (X nm )-X nm ) p I(X nm < Ep ( x nm )) dp ---,- (X-a 0 ) P I(X>a 0 ) dp --- > (a o-X) P I(X<a o ) dp E (X)=a  c .q .d . p 0 eco dando la de ini- es a de e - Demos ación : Sea (Xn ) una sucesión de .a . . p-in eg ables, con e gen e en media de o den p a o a X . De es acon e gencia se deduce la de la sucesión (IIX n 11 p ), y de las desigualdades ob enidas en 2 .1 ob enemos la aco ación de (E (X )) . Si a es, en onces, un alo de adhe encia de es a sucesión, exis- p n  o i á una subsucesión (Xn ) que con e ge casi segu o y en media de o den p a m En onces se deducen las con e gencias : BIBLIOGF AFIA [1] H . K . BRONS, H . D . BRUNK, W . E . FRANCK, D . L . HANSON (1969) . Gene alizo? means and associa ed amilies o dis ibu ions . Ann Ma h S a is 40 . ;39-355 [2] J . W . DANIEL (1971) . Asymp o ic beha io o high o de means . Ami Ma h S a is 42 . 1761-1762 [3] P . J . HUBER (1964) . Robus es ima ion o a loca ion pa ame e . Ann Ma h S a is 35 . 73-101 [4] G . KOTHE (1969) . Topological ec o spaces I . Sp inge Ve lag [5] M . LOEVE (1963) . P obabili y heo y . D . Van Nos and [6] C .-M . MARLE (1974) . Mesu es e p obabili és . He mann [7] C . MATRAN (1980) . Una gene alización de la espe anza condicionada (P o- yecciones de a iables alea o ias en espacios i .p) [3] J . NEVEU (1970) . Bases ma hema iques du calcul des p obabili es . Masson [9] I . SINGER (1970) . Bes app oxima ion in no med linea spaces by elemen s o linea subspaces . Sp inge Ve lag