A tranformação de Fourier no espaço das ultradistribuições de suporte compacto

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL A TRANFORMA(;ÁO DE FOURIER NO ESPAC,O DAS ULTRADISTRIBUIC,OES DE SUPORTE COMPACTO J . Sil aOli ei a Escola Na al . Lisboa Abb . h .ac . I is de ined an homeomo ism, designed by Fou ie T ans o m, o he compac suppo ul adis ibu ions space on he whole plane exponen ial g ow h analy ic unc ions space . I is e e ed i se e alp ope ies o his applíca ion, o mally equals o classical p ope ies . I is e e ed also an in e sion o mula and mencioned a disc e ized o m o he same applíca ion . 1 . - Os espagos U c e He . Seja Kn = {z :Iz1>n}, n = 1,2, . . ., e -1 o espago das ungóes' con inuasem Kn , holomo as em Kn e nulas no m . Conside e-se em .Jñ a opologiade inida pela no ma I~ ¢ ~~ n= Sup l~(z) I. zcK 0 espago Uc das ul adis ibu ións de supo e n compac o iden i ica-se en ao, ec o ial e opológicamen e, com o limi e indu i o  dos  espagos  Os  elemen os  de Uc podem pois  se n ep esen ados po ungoes holomo asnuma izinhanga de W e nu- las no - . U é po an oum espago de Sil a, logo comple o, se- c pa ado e e lexi o . Se é uma dis ibuigáo de supo ecompac o a aplicagáo e / -> U , onde le 1 ep esen a o espago das dis ibuig-oes de c supo ecompac o, de inida po _  1  1b  ( ) S( ) mi a , d onde ja,b[ é um qualque in e alo que con enha o supo e de , é uma aplicagáo linea , injec i a e con inua ela i amen e á i opologia na u al de ~ . Es a aplicagáo, designada po ans- 249 o magáo de S ieldges, pe mi e en áoiden i ica 19 , com um subespago de Uc' Em pa icula a dis ibuigáo ó de Di ac iden i ica-se com a ul adis ibuigáo ep esen ada pela ungáo Seja Sk, k = 1,2, . . ., o espago das ungóesin ei as ~ ais que Sup ~~(z  < + - e nele conside e-sein oduzida a opo- zel ek z logia de inida pelano ma ela i amen e á qual é um espago de Banach . 0 limi e indú i o dos espagos Sk, que designamos po He e que se iden i ica com o espago das ungóes in ei as de c esci- men o exponencial, é en áo um espago de Sil a al-como U . c 2 . - A ans o magáo de Fou ie . P op iedades . Se ~cU c chama-se ans o mada de Fou ie de ~ á ungáo in ei a de c escimen o exponencial,  (¢), de inida peloin e- g al onde P ep esen a una ci cum e éncia , que con én no seu in e- io as singula idades de ~, o ien ada de modo a deixa á es- que da os pon os in e io es . g .-co . No espago Uc de inen-se um ope ado de de i agáo e um ope- ado de anslacgáo (complexa) que se e lec en nas ungóes holomo as que ep esen am as ul adis ibuigoes pela de i a- gáo e  anslacSao - usuais .  Rep esen ando po  De po T h ,  he( , espec i amen e os ope ado es de de i agáo e de anslacgáo en-se 25 0 '¡k = Sup z e4 : l ek ( Z ) Tem-seen áo Teo ema 1 : j :U . c } H e Q üm ibomoh6 ibmo ec ohíal opo1o- Teo ema 2 : Paha odo o ~cu i),T(DO) _ - iz,Jcm ii) 3~(T h~) = eihz iii) Í (8) _ S,(- _1 1) = 1 2i i z Pode ainda e -se que a ans o magáo de Fou ie a ás de inida é um p olongamen o da ans o magáo de Fou ie usual no espago das dis ibuigóés de supo e compac o . Como esul a do Teo ema 1 Y ' é uma aplicagáo in e i el ; 0 eo emaseguin e es abelece uma ó mula de in e sáo Teo ema 3 :  Se  ~e U c ,  o = S(~)  e A e uma  (qualquen)  semí .- ee a eom anígem na oxí .gem do sí4 emade coondenadas,  éo pno- longamen o a uma íz .ínhanga de - da bun ao de z de6íní .da pon 2  J  e- iza ~(a) da, n 0 in eg al an e io e con e gen e apenas pa a os alo es de z pe encen es a um semiplano que depende de A . A ul a- dis ibuigáo en áo ob ida po p olongamen o ana- lí ico a uma izinhanga de . Tendo em a engáo a nogáo de p odu o de ul adis ibuigóes po ungóesin ei as in oduzida . po Sebas iáo e Sil aem L1l é ambém possi el es abelece o esul ado seguin e aindaem conco dáncia o mal com . esul ados habi uais ela i o á ans- o magáo de Fou ie Teo ema 4 : Palia odo o ¢cü C em-ee i)  ;~'(z .O(z))  =  -i  Dz ó -, ~(~) ii) 7(eihz, ~(z)) = T -h ~(~) . hez 3 . - Disc e izagáo da ans o magáo de Fou ie Dado que odo o elemen o de U se pode ep esen a po uma c sé ie de po éncias de z é na u al que aos esul ados an e io- es se possa da - uma o ma disc e izada .  A p ip ia de inigáo de imagem de Fou ie podia se dada em no os e mos como esul- ado do eo ema seguin e : Teo ema 5 : Se ~cu c e en ao exíb em conb an ed complexab a n ,  n  aíb  que  ~(z)  =  1  an .lñ  , em-be z Repa e-se que a con e géncia numa izinhanga de - da p i- mei a se ie nio só ga an e a con e géncia em odo o plano da segunda como ambém que es a úl ima ep esen a uma ungao in- ei a de c escimen o exponencial . BIBLIOGRAFIA 1 - Sebab iáo e S il a, J . - Les onc ions analy iques comme ul adis ibu ions dans le calcul ope a ionnel . Ma h . Ann . Bd136, S . 58-96, 1958 . 2 - Sebaax iáo e .S il a, J . - Su ce e classi di spazi local- men e con essiimpo an i pe le applicazioni . Rendicon i di Ma ema ica,Se ie V, ol XIV, Fase . 1-2, Roma, 1955 .