Una caracterización de las bornologias polares

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL UNA CARACTERIZACION DE LAS BORNOLOGIAS POLARES Miguel A . Canela Dp o . de Teo ía de Funciones Uni e sidad de Ba celona ABSTRACT : Le E be a egula b .c .s . ( a Hausdo l .c .s . ), and le F be  a no med space . We conside he spaces El all bounded ( con inuous ) linea mappings o E in o F, p o ided wi h i s na u al opology ( i s equi con inuous bo nology ) . By de íning E n= (En-1 ) 1 o e e y n  1, we ob aín a sequence (E n ) n composed by, al e na i ely, b .c .s . and l .c .s . . We s udy 2 he inclusion o E in o E , gi ing a necessa y and su icien condi ion o a egula b .c .s . o be pola . Ado a emos la e minología y no aciones de (4) en lo que a los espa- cios bo nológicos con exos ( e .b .c . ) se e ie e . Si E es un e .b .c . no a- emos po E x su dual bo nológico, y po E~ el mismo espacio cuando lo con side emosdo ado de su opología na u al, es deci , de la opología de la con e gencia sob e los aco ados de E . Sí E es un espacio localmen e con- exo ( e .l .c . ), indica emos po Ee el e .b .c . ob enidoal do a a su dual opoloógico de la co espondien e bo nologia equicon inua . Del mismo modo, si F es o o e .l .c . sob e el mismo cue po, indica emos po Le (E,F) el es- pa io de aplicaciones lineales con inuas de E en F, do ado de su bo nolo- gía equicon inua . Le (E,F) es un e .b .c . egula men e sepa ado ( suponemos odos los e .l .c . que apa ecen sepa ados ) y pola , que es comple o si y solamen e si F es comple o en el sen ido de Mackey ( éase (1) ) . Sea F un espacio no mado, que man end emos ijo a lo la go de nues a discusión, y sea V la bola unidad ce ada en ese espacio . Si E es un e .l .c . sob e el mismo cue po, indicamos ,  po E 1 el e .b .c . L e (E,F) .  Si E es, al e na i amen e, un e .b .c ., indicamos po E l el espacio L X (E,F) de las apli- caciones lineales aco adas de E en F, do ado de su opología na u al de la cual una base de en o nos iene dada po los conjun os : B= .l aL X (E,F) : (B)CV~, eco iendo B una base de bo nología de E . Más de alles sob e es a opolo- gía pueden halla se en (2), (3) o (5) ( el un o Lub de la página 58 ) . Reco demos que L X (E,F) 1 0 si y solamen e si E X ¡ 0 ( suponemos, ob ia- men e, F no i ial ) . Si E es un e .l .c ., o un e .b .c . egula , podemos de ini como an es E 1 , y po ecu encia : con lo cual, con las opo unas iden i icaciones, ob enemos dos sucesiones' c ecien es : E n = (E n-1 )1, pa a odo n'>1, E cE 2 c . E 4 c . . . c E 2n 0--- ". E 1 C E 3 C E C . . . .E2n-lc . . ", una o mada po e .l .c . y o a po e .b .c . . Ve emos en lo que sigue la na- u aleza de es as inclusiones . P oposicíón : Si E es un e .l .c ., E es un subespacio opológico de E 2 . En el caso de un e .b .c ., E no es siemp e un subespacio bo nológíco de E 2 , y es a p opiedad nos si e pa a gene aliza la ca ac e ización de los e .b .c . pola es como aquellos espacios E pa a los cuales su bo nología coin- cide con la inducida po (Ex ) e . P oposición : Si E es un e .b:c . egula men e sepá ado, la inclusión de E en E 2 es aco ada . E es un subespacio bo nológico de E2 si y solamen e si es pola . Pueden es odia seo asp opiedades del e.b .c . ( oe .l .c .-) E en elación con su inclusión en la sucesión (E2n ) n , ales como posee una bo nología com- ple a, opológica, e c . . O os esul ados en es a línes apa ece án en (2) . BIBLIOGRAFIA .- "' (1) M . A . CANELA : Bo nología equicon inua en un espacio de aplicaciones lineales con inua¿ . Comunicación p esen ada en las VI Jo nadas Ma emá icas Hispano-Lusas, San ande _(1979) . (2) M . A . CANELA : Espacios de aplicaciones lineales aco adasa alo es en un espacio localmen e con exo . En p epa ación . (3) H . HOGBE-NLEND : Complé ion, enseu se nucléa i é en bo nologie . Jou nal Ma h . pu es e appl ., 49 (1970), 193-288 . (4) H . HOGBE-NLEND : Théo ie des bo nologies e applica ions . Sp inge Lec u e No es 213 (1971) . (5) Séminaí eBanach . Sp inge Lec u e No es 277 (1972) .