Sobre comportamineto asintótico de ceros de polinomios ortogonales

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL Ma Pila Al a o Ga cía Dp o . d e Teo ía de Funciones Uni e sidad de Za agoza Caso C : lim e > 0 . n n Caso D : lím en = 0 n SOBRE COMPORTAMINETO ASINTOTICO DE CEROS DE POLINOMIOS ORTOGO- NALES Abs ac : In his pape , we ob ain a esul abou he asym o- ic beha io o he o hogonal polynomials on he uni ci cle in hé so-called case C . En la eo ía de polinomios o ogonales sob e la ci cun e- enciaunidad, se p esen an dos si uaciones dis in as,habi ua_1 men e llamadascasos C y D [1] . Pa a ambas se ob u ie on en [3] ca ac e izaciones de muy di e sa índole, de lasque sólo u iliza emos aquí la ela i a a la con e gencia de la sucesión de excesos {e }  ([2]) : n n =b En el p ime caso se sabeademás que la sucesión de n-n i cleos {Kn(z,0)}n=o , [2] , con e ge uni o memen e en cualquie disco ce ado D = {z :Iz14 } con enido en el ci culo unidad abie oU (El]) . Es udiamos aho a, en el caso C, algen aspec o del compo - amien o asin b ico de las aícesde la sucesión o ono mal {Pn(z)}n=o ([2]) . n En  [4]  se demos ó quelas aíces a in de Pn (z)  (n e N) e i ican la condición : (X in p n-1 (a in ) i n-1 (a in ,0) e n-1 donde w n= _en-1 ~e7 pn (0)  (n , 1) y 0 4 Iwnl/en-1 < 1 ( .  [2] ) . Siendo lainl < 1 y pn-1(z)0)  < 1 si Iz1 < 1, ello supone 1 > lai n l > I w .J /e n-1 , es deci , odas las aíces de cada 1 n (z) es án si uadas en la co onade cen o en el o i- gen y adios'Iw n ¡/e n-1 y l .  En el caso C,  limjwnl/en-1=0, lo que hace posible la exis encia de aíces "muy p óximas" al o _i gen . En el caso D, _lim I w nl /e n-1 = X , (0 ¿~ X 4 1), po lo que, excluido quizás el n caso a = 0 que co esponde a lim e n /e n-1 = 1 , la si uación es en cie omodo opues a a la n an e io : Pa a cada e, (0 < e < a), exis i á una co onaci cu- la de adios A-e y 1 , en la que es a án las aícesde Pn (z) desde un cie o n en adelan e . En pa icula , en el caso ex- emo a= 1 , hab á aíces a bi a iamen ep óximas a la on- e a . P obamos a con inuación cómo es, en bucibn de las aícesen o no al o igen . TEOREMA 1 . Sea p e N . En el caso C, cualquie en o no del o igen con iene, al menos, p aíces - de cada polinomio P,(z), desde un cie o n en adelan e . Demos ación .- En [3] se ob enía la elación ecu en e o den p, álidapa a 0< p 4 n , de Ve  p-1 np z pP n-p (z)- ~ P n (z) _  Tn-jz~Kn-j-1(z~0) j=o donde T n = w n /e n-1 , n * ~ l! 1 ( .[2]) . Po an o, (~,Fen  zpPn-p(z)- Oen Pn(z)I n el caso C, la dis i- 1 Z IT n -jI . iz J K n- J -1(z ,0 )I J=o JA Sea p ijo . Cuandon  T n-j --- >0 ( . [2])  y {z K n-j-1 (z,0)} n con e ge uni o memen e a z K(z,0) (j=0,1, . . . . p-1),  ( . ' [3])  ,  en cualquie disco D con enido en U . Po consiguien e, cada uno de los p sumandos del segundo, miemb o de (2) con e geuni o memen e a ce o en D , con lo cual ambién { ~en-p z pP n-p (z) - F Pn(z) }n -~ " 0  [uni .] en cada D Aplicando un conocido eo ema de weie s ass se puede asegu a que,  ijado  E >0  pa a cada h = 0,l, . . . . p-1 exis e n h e N al que si n * ~ l! nh y z e D ID (h E ~ p zp %-p(z) - en Pn(z) I < E lo que pa a z = 0 se educe a : P ih (0)I <E Sea N = max°  (no,ni, . . . . nh ) .  Si n :i! N el polinomio m6nico Pn (z) e i ica : ID(h~ Pn(z)3z_ol < E h = 0,l, . . .,p-1 lo que, según un eo ema del Algeb aclásica ( . [6]), asegu a la exis encia de p aíces {ain}P=1 de Pn (z) e i icando l a in 1  <  E  ( .i=1,2, .... p) Pues o que las aíces de los polinomios Pn (z) y Kn (z,0) son in e sas espec o de la ci cun e encia unidad, podemos enun cia : TEOREMA _2 . En el caso C, pa a cada p e N y A e R+ exis e N = N(p,A) alque si n ~l N el polinomio K n (z,0) iene al menos p aíces  {Sin)P=1 que e i ican  lsinl  > A  (i=1,2, . . . .,p) .  # Queda abie o el p oblema de decidi si la p opiedad que es ablece el eo ema 1 es o no ca ac e ís icadel caso C, lo que, en casoa i ma i o, supond ía dispone de una nue aca ac e izaci6n de los casos C y D o almen e dis in a de las aho a conocidas . Pa a ello, y de acue do con las conside aciones hechas an e io men e, bas a áes udia el compo amien o asin- 6 icode las aíces de los Pn (z) cuandoe n /e n-1 -'- 1 y en -> 0 . Pese a su simplicidad de plan eamien o,el p oblema no pa ece elemen al debido a las especiales di icul ades que en aña el es udio del caso D . BIBLIOGRAFIA AKHIEZER, N .I ., "The classical Momen P oblem", Uni . Ma h, Mon ; Oli e & Boyd . Lond es, 1965 . [2] ALFARO, M ., "Teo ía pa amé ica de polinomios o ogonales sob e la ci cun e encia unidad" . Re . Acad . Ci . Za agoza (2) . 29 (1974), pp . 5-79 . [3 C4] ALFARO, M .P . VIGIL, L .  "Sob e ce osde polinomios o ogonales ela- i os a la ci cun e enciaunidad" . VI Jo na- . das Ma emá icas Hispan-Lusas . San ande , 1979 . [5] FREUD, G ., "O hogonal polynomials", Pe gamon P ess . Lon- d es, 1971 . [6] KNESER, H ., "Zu S e igkei de Wu zeln eine algeb ais- chen'Gleichung", Ma h . Z . 48 (1942), 101-104 . [7] MARDEN, M, "Geome y o Polynomials", A .M.S . P o idence, 1966 . [8] RUDIN, W ., "Real and Complex Analysis", Mc G aw-Hill . Lond es, 1970 . ALFARO, 14 .P ., "Polinomios o ogonales sob e la ci cun e- encia unidad . Es udio del caso C" . Tesis Doc- o al . Depa amen o de Teo ía de Funciones . Fa cul adde Ciencias . Za agoza, 19'8 .