La normalidad de un espacio topológico no es una propiedad local
Abstract
M . Valdivia and M. López have obtained in (4) and (3) completely regular topological spaces whose associated k-spaces are not regular. Here we prove that these k-spaces are such that every point admits a neighbourhood which, endowed with the induced topology, is normal.
Full text
Pub
.
Ma
.
UAB
N°21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
LA
NORMALIDAD
DE
UN
ESPACIO
TOPOLOGICO
NO
ES
UNA
PROPIEDAD
LOCAL
ManuelLópez
Pellice
Cá ed a
de
Ma emá icas
ETSI
Ag ónomos
de
Valencia
ABSTRACT
M
.
Valdi ia
and
M
.
López
ha e
ob ained
in
(4)
and
(3) -
comple ely
egula
opological
spaces
whose
associa edk-spaces
a e
po
egula
.
He e
we
p o e
ha
hese
k-spaces
a e
such
-
ha
e e ypoin admi s
a
neighbou hood
which,
endowedwi h
he
induced
opology,
is
no mal
.
J.L
.
Blasco
demos ó
en
(1)
que
un
espacio
opológico
-
egula
en
que
cada
pun o engaun
en o no
comple amen e
egu-
la , espec o
a
la
opología
inducida,
es
comple amen e
egula
.
No
se
puedep escindi
de la
egula idad
en
es a
p oposición,-
pues,
u ilizando
los
ejemplos
dados
en
(3)
y
(4)
amos
a
p o-
ba
la
exis encia
de
espacios
opológicos
no
egula es
en
que
cada
pun oposeeun en o no
no mal
.
Rep oduci emos,
en
pa e,
el
ejemplodado
en
(4)
pa a
acili a
la
lec u a
de
es a
comu-
nicación
.
EJEMPLO
.
SeaG~elp ime o dinalin ini o,w,
él
p ime
-
o dinal
de
ca dinal
no
nume able
y
(E,U)
el
espacio
opológico
p oduc o
de
(
111,w,),T
;
)
po
(
(1,w
^
),T
,
,
),
donde
T,
y
T,~
sonlas o-
pologías
del
o denusual
en
los
o dinales
.
Po
de inición
de
w,
se
puede
encon a
pa a
cadao di-
nal
lími ec(E(l,w
l
una
sucesión
es ic amen e
c ecien e
de
o -
dinales
.nume ábles l,
,
que
es
T,-con e gen e
a a
.
Las
mismas
p opiedades
iene
la
sucesiónde o dinales
aislados
{a
=
d
-^
Sea
J la
opología
en
E
que
iene
po
subbase
los
abie_
os
de
U
y
los
conjun os
U
,
con
q
un
o dinal
lími e
cualquie-
a de
~l,w,(
y
n=1,2,
.
. . .
Los
J-abie os
U
son
J-compac os
po
la
coincidencia
de
las
opologías
U y
J
en
{1
14),)x(1
,
n)
,
con
n
e
EN
.
Se
iene,pues,
que
el
subespacio
de
(E,J)
de
conjun o
sopo e
E-
{(w
w,)}
es
localmen e
compac o
.
Si
.J
k
es la
k- opolo-
gía
asociada
a
J,se
iene,po
(2)-p
.274-K,
que
E-{(w
w,»
es
un
subespacio
localmen e
compac o
de (E,J
k
) .
Dado
un
J
k
-en o no
V
de
(w
w,)
se
puedende e mina
dos
o dinales
wE(1,w,(
y
nE(7,w,(
ales
que
(
(a
,
wi3 x
(n
,
wo(
)
U
~(w,
w
o
»CV
( 1
~
pues
las
opologías
U, J,
y Jk coinciden
en(w,}x(1,w,)
y
(1,wJx{n}
y,
además,
el
sup emo
de
una
amilia
nume able
de
o dinales
n_u
me ables
es
un o dinal
nume able
.
La
opología
J
induce
en
(1,w,(-(w
.)
la
opologíadisc e-
a, po
lo
que
Eo
=E-{
(1,w,(x(w,}}
es un
J
k-en o no
de
(w
w,)
.
Jk
in
duce
en
E
o
una
opología
no mal,
pues
si F
1
y
F
2
son
dos
Jk
/
Eo
ce ados
disjun os,
lo
que
nos
pe mi e
supone
que
(w
w,)
,
IF
1
y,
po
(
1)
,
que
'exis en
dos
o dinales
aE(l,w,(
y'
nE(4,w,( ales
que
E
=
=((a
+l,w,(x(n
,w
.()UJ(w
w,)Í
no
co a
a F
1
.
La
no malidad
de
1
--
(Eo,Jk/E
)
se
deduce
de
que
E,
y
E_-E
1
es án
sepa ados,
_
y
de
-
0
que
Eó=E
1
es
no mal
(
es la
unión
de
un
me izable
y
un
compa_c
o
sepa ados)
.
'
Hemosob enido
que
cada
pun o
de
(E,J
k
)
ieneun
en o -
no
que
con
la
opología
inducida
po
J
es
no mal
.
Se
p ueba
-
en
(d)
nue
(E
.J
.-)
nn
Pc
eó,lá ,
niiPC
nü_
(1_l s
P
i_PnP
niie
R
no
con ieneningún
en o noce adoV
de
(w
w,),
pues
(o
,4i,)
e
E
V-E
o
.
NOTA
.-
Análogamen e
se
p ueba
que
el
k-espacio
no
com-
ple amen e
egula
k-R
de e minado
en
(3) es
localmen eno -
mal
.
El
lema
de
(1)
implica
que
k-R
no es
egula
.
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