Sobre condiciones de integrabilidad de una estructura j satisfaciendo (j2-p2) (j2 +q2 ) = 0

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL SOBRE CONDICIONES DE INTEGRABILIDAD DE UNA ESTRUCTURA J SATIS- FACIENDO (J2-p2) (J2 +q 2 ) = 0 J . Ma ínez, E . Reyes, M .E . Piñei o Dp o . de Física Teó ica Uni e sidad de Valladolid Abs ac .- We conside he s uc u es de ined by a enso ield J o ype (1,1) which sa is y he condi ion (J2-p2)(J2+q2» cha- ac e izing i s in eg abili y in e m o i s Nijenhuis enso . 1 .- P elimina es .- Sea Di n una a iedaddi e enciable n-dimensio nal de clase C p y un campo enso ial J de ipo (1,1) de inido sob e M n  e i icando : (J2-p2)(J2+q2)=0 y las demás condiciones dadas en [21 sal o que aquí conside a emos p,q E ER . Pa a es e campo enso ial pueden de ini se,[2,7,ope ado es 1 y m de p oyec ci6n . complemen a iasa is aciendo : (1,1) J21 = p2li J 2 m= -q 2 m . Sean L yM las dis ibucionescomplemen a ias co espondien es a 1 y m espec i amen e, de dimensiones 1 + 2 y 2s . En [2] se ha p obado que una condicí6nnecesa iay su icien e pa a queuna a iedad n-dimensional admi a un al campo enso- ial J de ipo (1,1) es que el g upo de lib ado angen e de la a iedad se eduzca al g upoO( 1) x O( 2) x U(s) donde U(s) de- no a la ep esen ación eal del g upo uni a io de o den s . 2.- Tenso de Nijenhuis . El enso de Nijenhuis de J es : N(X,Y) = LJX,JY) - J[JX,Y] - J[X,JY] + J2[X,Y] n cualesquie a que sean X eY, campos ec o iales de M " En nues o caso puede exp esa se, del modousual [11 : . (2 .1) N(X,Y) = 1N(1X,1Y) + mN(1X,IY) + N(1X,mY) + + N(mX,1Y) + 1N(mX,mY) + mN(mX,mY) . Si la dis ibución L es in eg able N(1X,1Y) es exac amen e el enso de Nijenhuis de JIC Si la dis ibución M es in eg able, N(mX,mY) es el enso de Nijenhuis de JI M o La de i ada de LieZ Y J del campo _ enso ialJ espec o a un campo ec o ial Y, es po de inición,un campo enso ial delmis mo ipo que J y dado po : (£ Y J)X = J[X,Y] - [JX,Y] Se ob iene en onces : (2 .2)  N(1X,mY) = J(1 MYJ)1X - (£JmYJ)1X (2 .3)  N(mX,1Y) =J ( L ly j ) mX - (li1YJ)m`, 3 .- Condiciones de in eg abilidad .- Como es bienconocido la dis ibución L es in eg able si y sólo si m[1X,1Y] = 0 . P oposición 3 .1 .- Una condiciónnecesa ia y su icien e pa a que la dis ibución L(M) sea in eg able es que mN(1X,1Y)=O (1N(mX,mY)=0) pa a dos campos ec o ialescualesquie a X e Y . La p ueba se ealiza eniendo en cuen a la de inición del enso de Nijenhuis y las elaciones (1,1), esc ibiendo mN(1X,lY)=m[JlX,JlYI-mJ[JlX,IYJ-mJ[1X,JlYJ+J 2 m[lx,ly] _ =m[1JX, 1JY]-mj l1JX, 1J] -mj [1X, 1JY3+J 2 m[1X, lY] Pues o que L es in eg able, odos los co che es pe enecen a L, luego se anula cada é mino de la exp esión an e io ,llegándose al esul ado m N(1X,1Y) = 0 La p oposición ecip oca se demues adesa ollando N(J1X,J1Y),N(J1X,1Y),N(1X,J1Y), conside ando que mN(J1X,J1Y) = mN(JIX,1Y) = mN(1X,J1Y) = 0, ya quepo hipó esis mN(1X,1Y) = 0 y ope ando con es as exp esiones eniendo en cuen a las elaciones (1,1) se llega a m C1X,1Y1 = 0 que es condición ne cesa ía y su icien epa a que L sea in eg able . P oposición 3 .2 .- Una condiciónnecesa ia y su icien e pa a que 62 ambas dis ibucionesL y M sean in eg ables es que : N(X,Y) = 1N(1X,1Y) + N(1X,mY) + N(mX,1Y) + mN(mX,mY) . Es consecuencia de (2 .1) y de la P oposición 3.1 . Supongamosaho a que la dis ibuciónL es in eg able, en onces el ope ado dado po la exp esión J' = (J/p)I L inducesob ecada a- iedad in eg al de L una es uc u a casip oduc o . Como dicha es- uc u a es in eg able si y solamen e'si su enso de Nijenhuis se anula iden icamen e, . enemos : P oposición 3 "3 .- Si la dis ibución L es in eg able, una condi- ci6n necesa iay su icien e pa a que la es uc u a casi p oduc o de inida po J'=(J/P)IL sob e cada a iedad in eg alde L, sea in eg able es que N(1X,1Y) =06 equi alen emen e 1N(1X,1Y)=0 pa a odo pa de campos ec o iales X e Y . Supongamosaho a que la dis ibución M es in eg able,en onces J" = (J/q)IM induce sob ecada a iedad in eg al de M una es uc u a casi compleja . Como al es uc u a es in eg able si y sola- men e si su enso de Nijenhuis se anulaiden icamen e, ob enemos : P oposición 3 .4 .- Si la dis ibución M es in eg able, una condición necesa iay su icien e pa a que la es uc u a casi compleja de i- nida po J" = (J/q)i M sea in eg able, es que N(mX,mY)=0, o equi a- len emen emN(mX,mY)=0,pa a odo pa de campos ec o iales X e Y . De inición 3 .1 .- Di emos que la es uc u a J es pa cialmen e in e g able si se e i ican simul aneamen e las condiciones de lasp o posiciones 3.3 Y 3 .4 . P oposición 3 .5 .- Una condición necesa iay su icien e pa a que la es uc u a J sea pa cialmen e in eg able es que N(X,Y) _ =N(1X,mY)+N(mX,1Y) pa a odo pa de campos ec o iales Xe Y . 4 .- Condiciones N(1X,mY)=0 y N(mX,1Y)=0 .- Se azona de mane a semejan e a la empleada en (11, según el esquemasiguien e : De (2 .2) se deduce que N(1X,mY)=O si y solamen e si J(Z m yJ)1X= -(jJmyJ)lX, de donde J 2 1(£ m yj)lX=-q 2 1(£ m yJ)1X, luego (p2+g 2 )1(£ m yJ)1X = 0, y se llega 1(£ m yJ)1=0 pa a odocampo ec o- ial Y 63 De o maanáloga pa iendo de N(mX,1Y)=0 se ob iene 64 m(£ ly J)m = 0, pa a odocampo ec o ial Y . Si L y M son in eg ables y el campo enso ial 1( . ( my j)1 M( .C ly J)m se anulá iden icamen e pa a odo campo ec o ial Y, ob enemos que las componen es de J l+ 2(J2 s ) de la es uc u a J son independienn es de las coo denadas queson cons an es a lo la go de las a ie dadesin eg ales de la dis ibución L(M) en un sis ema de coo de- nadasadap adas . Se comp ueba acilmen e que lo ecíp oco ambien se e i ica . P oposición 4e1u - Se supone que L y M son in eg ables y que ha si do escogidoun sis emade coo denadas adap adas . Una condición necesa ia y su icien e pa a quelas co pnen es loca- les J l+ 2(J2s) de la es uc u a J sean unciones independien es de las coo denadas queson cons an es a lo la gode las a iedades in eg alesde L(M) es que N(1X,mY)=O (N(mX,1Y)=O)pa a odo pa de campos ec o iales X e Y o De inición 4 .1 .- Sje dice que la es uc u a J es in eg able si : I) .-J es pa cialmen e in eg able, es deci :N(X,Y)=N(1X,mY)+N(m_X,1Y) y . II) .-Las componen es J l+ 2(J2 s ) de la es uc u a J son independien es de las coo denadas que son cons an es a lo la go de las a iedá des in eg ales de L(de M) en un sis emade coo denadas adap adas . Teo ema 4 .20- Una condición necesa ia y su icien e pa a que la es ue u a J sea in eg able es que N(X,Y)=0pa a odo pa de campos ec o iales X e Y . REFERENCIAS (1] L . Co de oy P .M . Gadea : On in eg abili y condi ions ol a s uc u e Y sa is ying ?4 i `92 =0 . Tenso N .S . 2, 1,(1974), 78-82 . [2] J . Ma inez,P .M . Ladea ; Sob e cie as es uc u as polin6mi cas . VII Jo nadas Ma emá icas Hispano-Lusas .1980 .