¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de las Matemáticas? (primera parte)

OTROS TRABATOS ;QUÉ PUEDEN APORTAR A LOS ENSENANTES LOS DIFERENTES ENFOQUES DE LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS? (P ime a pa e) BROUSSEAU, G. IREM, Uni e si é de Bo deaux 1, F ancia. Ve sión cas ellana de Luis hig. SUMMARY This pape o e s a gene al iew o he ela ionships be ween Educa ion, Ma hema ics Educa ion and Ma hema ics. 1. ACFPCIONES DE LA PALABRA 'DIDACTICA' En su empleo más co ien e, 'didác ica' es un adje i o, iene po inalidad la enseñanza y, más en gene al, lo que cali ica «lo que es ap opiado pa a la enseñanza, lo que es á elacionado con la enseñanza». ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (3), 259-267 259 OTROS TRABAJOS Jan Amos Komensky, llamado Comenius, la in odujo como subs an i o en 1640 pa a designa «el a e de enseña », es deci , el conjun o de medios y p ocedi- mien os que ienden a hace conoce , a hace sabe algo, gene almen e una ciencia, una lengua, un a e.. . Es e sen ido o iginal es el más ex endido. Algunas.ins i uciones que, po azones di e sas, quie en coloca la p ác ica de la enseñanza a una cie a dis ancia, u ilizan es e é mino un poco a ec ado según sus necesi- dades. Inmedia amen e apa ecen es di ecciones: 1. 'Didác ica' se ía una palab a cul a pa a designa la enseñanza. 2. La didác ica se ía la p epa ación de lo que si e pa a enseña . 3. La didác ica se ía el conocimien o del a e del ense- ña . 1.1. La p ime a acepción pa ece jus i icada ya que en an o p ác ica social la enseñanza es po excelencia el medio ins i ucional del que se do a la sociedad pa a hace conoce el sabe , la cul u a, a odos sus miemb os. El ac o de enseña puede se in e p e ado, po an o, como el eje cicio mismo de la didác ica. A inando la de inición de Comenius, la didác ica se con ie e en el p oyec o social de hace ap opia -po un alumno o a ios- un sabe cons i uido o en ías de cons i ución. Es a de inición pone el acen o sob e el papel del sabe -no compe e a la didác ica más que lo que, en el p oyec o educa i o, es especí ico del sabe que se iene en el pun o de mi a-; sob e el ca ác e social del p oyec o y, po an o, sob e las posibilidades cul u ales de iden i ica- ción y de ges ión de los sabe es; y sob e los p o agonis as y sob e el ca ác e ins i ucional de la acción (incluso el au odidac a ealiza un p oyec o social). 1.2. La segunda acepción se apoya más bien sob e el sen ido del adje i o: la didác ica es pues el conjun o de las écnicas que si en pa a enseña , en oposición al p opio ac o de enseña . Designa, en onces, una ac i idad o iginal: «la in ención, la desc ipción, el es udio, la p oducción, la di usión y el con ol de nue os medios pa a la enseñanza: cu ículos, obje i os, medios de e a- luación, ma e iales, manuales, so wa e educa i o, ob as de o mación.. . ». Es e signi icado es á muy ex endido en Canadá y un poco menos en Es ados Unidos, pe o exis en é minos en di e sos países que ienen un signi- icado p óximo: lapedagogía especial, que iende a de i a es as écnicas de p incipios educa i os más gene ales, o la me odología, que pa ece más independien e. 1.3. En oposición a las dos p ime as acepciones, que hacen de la didác ica un conjun o de da os más bien no ma i os, p esc ip i os y o ganizados pa a la decisión y la acción, la e ce a ha á de ella po el con a io la desc ipción y el es udio de la ac i idad de enseñanza en el ma co de una disciplina cien í ica de e e encia. Se a a, en es e caso, de una posición mucho más e lexi a: la didác ica, conocimien o del a e de enseña , se con- ie e en un campo de in es igación. En el p ime sen ido, el didac a es un enseñan e que hace es ue zos pa icula es pa a de e mina el obje o y los mé odos de su enseñanza. En el segundo, es un écnico o un ingenie o, que p oduce y p opaga inno aciones. En el e ce o, es un in es igado , que se dis ingue en su disciplina po que su obje o de es udio iene que e con la enseñanza. Señalemos aquí que la cul u a a ibuye a la palab a 'didác ica' o o signi icado muy peyo a i o: en ancés, 'didác ica' se usa habi ualmen e como sinónimo de 'pe- dan e' y de 'p e encioso'. Po supues o, un obje o es «didác ico» cuando deja que se asluzca la in ención de enseña , es, po an o, un obje o que ha sido des iado de su unción na u al hacia ines de enseñanza: una poesía didác ica, un ono didác ico, un ma e ial didác ico (po ejemplo, un mo o co ado pa a mos a su in e io ) ya no son adecuados pa a su unción p ime a, po lo que, ue a del campo escola adquie en un ca ác e ine icaz y idículo. Pe o es a explicación no bas a: el obje o no se oma más que como un medio de idiculiza la p opia in ención de enseña y lo que se p e ende es idiculiza el in en o de conside a se iamen e el conocimien o de los medios de enseña . Hab á que in en a comp ende po qué. En es e pun o se pod ía c ee que el abajo eó ico es á e minado: es á cla o que es os di e sos usos de la palab a 'didác ica' son pe ec amen e compa ibles e, incluso, en cie a o ma complemen a ios. Bas a ía pues con ilus a cada uno de esos en oques median e sus mejo es ealizaciones: las inno aciones, las écnicas pa a la enseñanza, los conocimien os sob e la enseñanza. 1.4. Pe o desde hace una quincena de años ha apa ecido, ambién bajo el nomb e de 'didác ica', un in en o de cons i ui una ciencia de la comunicación de los conoci- mien os y de sus ans o maciones; una epis emología expe imen al que in en a eo iza la p oducción y la ci culación de los sabe es un poco como la economía es udia la p oducción y la dis ibución de los bienes ma e iales. Es a ciencia se in e esa, en lo que es os e- nómenos ienen de especí ico del conocimien o que se iene en el pun o de mi a, po la mane a como conoci- mien os escasos se usan pa a la sa is acción de las necesidades de los homb es que i en en una sociedad y, en pa icula , po las ope aciones esenciales de la di- usión de los conocimien os, las condiciones de es a di usión y las ans o maciones que es a di usión p odu- ce, an o sob e esos conocimien os como sob e sus usua ios; po las ins i uciones y las ac i idades que ienen como obje o acili a esas ope aciones. Es e en oque cien í ico y uni a io puede apa ece como el esul ado de exigencias excesi as, p e enciosas y supe luas. ¿Es necesa ia una eo ización al? ¿O ece a los enseñan es apoyos o iginales, más sólidos, más e i- caces y más ú iles? ¿No sena p e e ible un sólido p ag- ma ismo? Cie amen e, el p og ama de abajo p opues o po las posiciones clásicas pa ece i emediablemen e eno me y undamen almen e deso denado. Casi ninguna de las decla aciones sob e la enseñanza pa ece e ec i amen e ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (3) OTROS TRABAJOS alsable''). Como consecuencia de ello, deja a los en- cepciones educa i as y pedagógicas gene ales. señan es al cuidado de la in eg ación de odas las apo - aciones y, po ello, a los enseñan es les incumbe lo -Técnicas locales esencial de las esponsabilidades. Una eo ización espe- cí ica la coo dinación y el análisis de las -Comunes: p epa ación de lecciones, ma e iales de en- apo aciones de los o os sec o es cien í icos y un mejo señanza, mé odos lis os pa a usa , ins umen os de ges- eDa o de a eas. La eo ización de la enseñanza es Dues ión, Y uRa en ación pe manen e y seduc o a. Pe o, ¿cuál es la legi imidad de una eo ía apa en emen e «home made»?, -Especiales, pa a cie os alumnos que p esen an di icul- ipe mi i á al menos eng ana la dialéc ica cien í ica? ades pa icula es. Vamos a in en a con es a a es as p egun as. Pa a ello, una pano ámica p e ia del campo y de los concep os de la didác ica es indispensable. Es udia emos a con inua- ción las apo aciones y los lími es de los en oques clásicos, aplicándoles los mé odos de análisis que es a eo ización p opone. Vol e emos luego sob e una pa e esencial de nues o p opósi o: las elaciones de la didác- ica de las ma emá icas con las p opias ma emá icas; ipe mi i á la didác ica mejo a de o ma undamen al la di usión en la cul u a común del pensamien o ma emá ico?, ¿lo ha á sali de su gue o? La idea undamen al consis e en pos ula que cada cono- cimien o o cada sabe debe pode se de e minado po una si uación. Una si uación es un conjun o de elacio- nes que ligan a un agen e o a a ios. Es as elaciones deben se ales que ese conocimien o es necesa io pa a su ealización o pa a su man enimien o, po ejemplo, esas elaciones pueden se un juego en el que la pues a en uncionamien o del conocimien o en cues ión es el único medio de asegu a al jugado una es a egia gana- do a óp ima. Es á cla o que no se ha in en ado y no se u iliza el eo ema de Pi ágo as y el eo ema de Va igon con el mismo ipo de elación con el medio. Los conocimien os pueden apa ece en si uaciones o i- ginales, pe o los sabe es cul u ales es án asociados necesa iamen e a p ác icas sociales que les si en de e e encia. Un co ola io del pos ulado undamen al es que a si ua- ciones di e en es les co esponden conocimien os di e- en es. Po consiguien e, el sabe nunca es exac amen e el mismo pa a sus c eado es, pa a sus usua ios, pa a los alumnos, e c., cambia. El es udio y el con ol de es as modi icaciones, que noso os llamamos ansposición didác ica es el obje o p incipal de la eo ía. Po an o, lo único que se puede hace es, en el mejo de los casos, modeliza las si uaciones ca ac e ís icas de un sabe , pe o ya se dibuja una p ime a apo ación de la didác ica. 2.1. P ime a apo ación: écnicas pa a el enseñan e 2.1.1.Los p o eso es espe anque,po lo menos, la didác ica . les p opo cione lo esencial de las écnicas espe icicas de las nociones que hay que enseña , compa ibles con sus con- -Técnicas globales, cu ículos pa a odo un sec o de las ma emá icas, p og amas pa a a ios años. Es a expec a i a es legí ima: los didac as han comenza- do a es udia nume osas si uaciones de enseñanza, o igi- nales o no, sob e odo en el ni el elemen al o en el ni el supe io . Pe o es os es udios son la gos y di íciles. Po ejemplo, en la in oducción del álgeb a, odo, o casi odo, es á po hace , incluso si algunas de las ías posibles empiezan a se explo adas: ¿puede in oduci se hoy en día el álgeb a como eanudación eó ica del es udio de las a i mé ica y los núme os?, ¿o como un sis ema de designación de magni udes?, jo como ins u- men o del es udio de las unciones?, jo como sis ema o mal au ónomo?, ¿o como aquig a ía de algo i mos que se e ie en a alo es desconocidos o no de e mina- dos?, jo como medio de gene alización o de modeliza- ción?. . . Se pueden imp o isa mon ajes di e sos, pe o, an es de pode p opone uno cualquie a, hay que exami- na sus p opiedades con espec o a un núme o conside- able de exigencias. Como señalaba Dieudonné «mien- as que no hizo al a mucho más de un siglo pa a que la geome ía elemen al alcanza a una o ma casi de ini i- a, sólo ece siglos después de Dio an o el álgeb a llegó a se lo que conocemos», de modo que el paso no debe de se an e iden e. Además, el núme o de conocimien os que hay que co- munica a los alumnos y, po an o, el de si uaciones especí icas que hay que p opone les es muy ele ado. Pa a se azonablemen e comunicable a los enseñan es, la didác ica debe, po an o, p oduci ambién concep os uni icado es, eag upa los sabe es, los p oblemas, las si uaciones, los compo amien os de los alumnos o las ac i idades, de mane a que se puedan enuncia o mas de in e ención gené icas, según los ipos ob enidos. La exis encia de una écnica se apoya al menos sob e la iden i icación y el econocimien o de las p ác icas y de sus esul ados canónicos. Una ingenie ía apoya sob e un campo cien í ico las écnicas que p opone. La comuni- cación, la u ilización y la ep oducción de las si uaciones p oducidas equie e el ecu so a conocimien 'os y sabe- es especí icos. Así, la didác ica es el único medio de localiza exac a- men e lo que es un p oblema no esuel o de ingenie ía didác ica, de iden i ica y de clasi ica un abajo o igi- nal en es e dominio, de p ecisa sus condiciones de uso y de ep oducción, y, po an o, de econoce las c ea- ciones, las in enciones y los p ocesos de búsqueda y de p oducción cien í ica que ealizan los enseñan es, así como de hace que odo ello se econozca. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (3) 26 1 OTROS TRABAJOS Al de ini y al hace espe a la pa e écnica del o icio del p o eso , la didác ica hace posible la negociación social de su abajo. Es así el undamen o de la p o esio- nalización de su ac i idad. Pe o el hecho de hace un ca álogo de las si uaciones de enseñanza no les da ninguna i ud pa a la enseñanza. ¿Qué en ajas pod ían ene pa a los niños? Los ejemplos a los que puede uno e e i se mues an que las si uaciones «buenas», las que pe mi en que se eali- cen condiciones pedagógicas más exigen es, es deci , lecciones más segu as pa a el p o eso a la ez que más abie as pa a el alumno, sólo pueden comunica se si han sido bien es udiadas. La didác ica ha in oducido si ua- ciones muy a iadas y mejo adap adas a in enciones especí icas, como, po ejemplo, hace que se adquie a un conocimien o median e la acción, hace que se adquie a un lenguaje, o una eo ía, a a un obs áculo epis emo- lógico.. . 2.1.2. Se me pe dona á que ecue de aquí un ejemplo pe sonal, pe o bien conocido no sólo po los lec o es anceses1, sino ambién po los españoles g acias al lib o de Julia Cen eno (1988). Indiquemos b e emen e su con ex o. Se a a, después de habe es udiado los núme os acionales y los decima- les en an o que medidas (1.78 m, po ejemplo), de hace ex ende su uso po los alumnos a la designación y al cálculo de las aplicaciones lineales (mul iplica po 1.78, po ejemplo). Los es udios mos aban que los mé odos clásicos de in oducción, basados, en su mayo pa e, sob e la cons ucción explíci a po composición de las aplicaciones na u ales ya conocidas po los alum- nos (mul iplica po 178 y di idi po 100), p esen aban insu iciencias. La idea consis ía en coloca a los alum- nos an e la obligación de usa implíci amen e ales apli- caciones (una amilia bas an e nume osa) y de p e e sus e ec os y sus p opiedades (o dena las, p e e su suma, su p oduc o...), de mane a que se ean conducidos a busca una mane a cómoda de designa las. E a p eciso, pues, que apa ecie an (en un p ime momen o una sola, luego o a y o as más) an es que nada como solución implíci a de un p oblema de acción, con el in de plan ea a con inuación los p oblemas de comunicación que jus- i ica ían explíci amen e la búsqueda de un sis ema de designación. Tal p oblema de acción, eco démoslo, consis e pa a los alumnos en encon a el modo de ag anda las piezas del puzzle, de al mane a que una pieza de lado 4 enga como imagen una pieza de lado 7 y que el puzzle-imagen uncione como un au én ico puzzle y uncione bien. La as ucia consis e en pedi a g upos pequeños (de dos alumnos, pa a a o ece la exp esión de los con lic os cogni i os que an a su gi ) que cada uno ep oduzca uno de los ozos del puzzle (pa a a o ece los con lic os que nacen de los in en os de ajus e de las piezas). A los alumnos les pa ece cla o que hace al a que la imagen de cada longi ud se calcule con ope aciones a i mé icas elemen ales, ¿pe o cuáles?, ¿<<la longi ud medida + 3 cm»?, ¿«dos eces la longi ud menos 1»? 262 El in en o de acopla las piezas cons i uye una e o- alimen ación eal que sólo deja luga pa a aplicaciones bas an e ce canas a 417: «dos eces la longi ud menos 1» unciona casi bien, excep o pa a 0.5 cm po supues o. La búsqueda po los alumnos de una solución in elec- ualmen e sa is ac o ia a a se la uen e de la comp en- sión, y, luego, de que se haga explíci a la p opiedad undamen al de la linealidad: es p eciso que la imagen de la suma de dos longi udes sea la suma de las imágenes de esas longi udes. Pe o si la solución no apa ece demasia- do p on o, la aplicación X=4/7 a a coloca se en un en o no implíci o de unciones ecinas, en el sen ido opológico, que p e igu a la es uc u a es udiada un poco más a de2. El éxi o de es e p oceso, expe imen ado en el CM2 ('I) en condiciones a o ables, ha dado mucha espe anza y en usiasmo, mos ando al mismo iempo has a qué pun o su gene alización a odas las clases de 62 ne(I1') se ía di ícil3. 2.1.3. Es as espe anzas de los p o eso es en la ingenie ía son legí imas, pe o se acompañan de p esupues os que lo son algo menos: ha ía al a que, pa a su pues a en p ác ica, es as écnicas no exigie án o os conocimien- os ni o as condiciones que aquéllas de las que disponen ac ualmen e los p o eso es, los alumnos y sus pad es. iY ha ía al a que su u ilidad y su e icacia se e ela an, sin emba go, inmedia amen e a los ojos de odos, bajo la o ma de en ajas deslumb an es y egula es al compa- a las con las p ác icas ac uales! Aho a bien, es as p ác icas se conside an como ha o conocidas, pe o no es án desc i as en absolu o: el núme- o de pa áme os de los que pa ecen depende las hace apa ece como muy poco homogéneas y, en consecuen- cia, pueden, según el momen o, an o se ca gadas de odas las i udes como de odos los de ec os. Es muy di ícil pa a un in es igado o pa a un p o eso publica pa a sus colegas la desc ipción de allada de las condiciones necesa ias pa a una si uación de enseñanza (en el es ado ac ual de la didác ica, es a desc ipción exige al menos una ein ena de páginas), y le es igual- men e di ícil lee al desc ipción esc i a po sus colegas. La cos umb e le conduce a no desc ibi de ella más que su desa ollo y sus e ec os, y es o de mane a sucin a, lo que es o almen e insu icien e pa a una buena ep oduc- ción (sin emba go, bas a lee las e is as y las ob as en que se ela an lecciones pa a e has a qué pun o es os ela os pueden se agos, y compa a los con los co- ien es hace una quincena de años pa a cons a a los p og esos ealizados). ¿Puede alguien pensa que bas a con enume a las jugadas de una pa ida de maes os de ajed ez pa a que apa ezcan sus es a egias y pa a que se pueda « ep oduci » una pa ida ganado a? Mien as que la desc ipción exige es ue zos conside ables, odas es as p ecisiones apa ecen como supe luas e incluso o ensi- as pa a el lec o , se eciben como un discu so pedan e. Los é minos usados en esas desc ipciones debe ían se los que los p o eso es emplean en su abajo. Pe o si es indispensable u iliza concep os que di ie en de los que ENSENANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (3) OTROS TRABAJOS los p o eso es u ilizan pa a designa obje os ecinos, aunque sólo sea po que se quie e con ola su de inición eó ica, en onces apa ece el dilema siguien e: po una pa e, el uso del é mino nue o y alejado pa ece muy cos oso; po o a pa e, el uso del é mino co ien e in oduce con asen idos y hace que las hipó esis o los esul ados más segu os suenen como e idencias im- bomban es -se c ee sabe , y a que se conoce-; inalmen- e, la in oducción del é mino e ocado , pe o o iginal, despie a con azón la descon ianza y la i onía cuando se puede opone una palab a amilia a la je ga. En esumen, los p o eso es espe an la didác ica en un e eno en el que einan como <<amos»('") y en el que nada les p epa a ni les mo i a pa a ecibi la al como es. 2.2. Segunda apo ación: conocimien os sob e la en- , señanza 2.2.1. Los p o eso es pueden espe a ambién que la didác ica se mani ies e median e conocimien os ela i- os a aspec os di e en es de su abajo: -Sob e los alumnos, sus compo amien os, sus esul a- dos en las condiciones especí icas de la enseñanza. -Sob e las condiciones que hay que c ea en las si uacio- nes de enseñanza y de ap endizaje. -Sob e las condiciones que hay que man ene en la ges ión o la conducción de la enseñanza. -Sob e los enómenos de didác ica a los que se en en- an, an o ellos como odos los que in e ienen en la comunicación de sabe es. Sob e el p ime pun o es, sin ninguna duda, sob e el que hay esul ados más nume osos y más segu os. Po o a pa e, los p o eso es siemp e es án in e esados po los in o mes en los que se exponen los e o es y los compo amien os de los alumnos, pe o queda mucho po hace pa a comp ende las causas de esos e o es y no limi a se a cons a a los. Mi emos, sin emba go, desde más ce ca cómo esos ipos de conocimien os pueden in e eni en el a amien o de un p oblema co ien e de enseñanza. Pongamos, no obs an e, en gua dia al lec o : no se a a aquí, como se hace demasiado a menudo, de in en a expo a a p io i la p egun a a una disciplina de e e en- cia como la psicología, la neu o isiología o las ma emá- icas, pa a, de inmedia o, ol e a impo a aplicaciones de ella, que ambién se impond ían con ma chamo de calidad, sin que nunca se examine ealmen e la pe i- nencia del esul ado. La mayo pa e de las eces es e p oceso es simplemen e una huida an e la necesidad de hace se ca go del obje o didác ico que hay que es udia . No es á nada cla o, po ejemplo, que el a ance ac ual de las eo ías de la memo ia o del ap endizaje nos pe mi a conoce sus lími es de uso en la in e p e ación de las cues iones de enseñanza. Algunos de los esul ados de la in es igación en didác ica, ales como la pues a en e i- dencia de la obsolescencia de las si uaciones didác icas y de los sabe es, la del papel de los obs áculos epis emo- lógicos o del ol ido, debe ían bas a pa a pone nos en gua dia con a es os abusos. Vamos a es udia en un ejemplo el uncionamien o del análisis en didác ica pa a ! mos a de qué mane a la didác ica plan ea su p oblemá- ica, cómo a eces esponde a ella y en qué se opone al uso demasiado «ingenuo» (no a o os) de los conoci- mien os cien í icos. 2.2.2. Ejemplo de p egun as 1 En la escuela elemen al, los alumnos se en enan, al segui las eglas del cálculo, en pasa de un é mino (sin a iable) a o o -que le es igual- has a la ob ención del esul ado en su o ma canónica. «3+4=7» se lee de la siguien e mane a: «e ec uando co ec amen e el cálculo 3+4 se ob iene 7». 3+4 puede se igual a 7, pe o no puede eemplaza lo como espues a, no le es equi alen e. Cuando es os alumnos ap enden álgeb a, se a a de en ena se en pasa de una ó mula a o a que le es lógicamen e equi alen e, has a la ob ención de una ela- ción u ilizable pa a lo que se quie e hace . «3+4=7 y 7=4+x» implica «x=3». Supe icialmen e, se pod ía c ee que p o eso y alumno con inúan haciendo uso de los mismos conocimien os an iguos, a los que ienen a añadi se o os nue os; que se limi an a esc ibi lo que an e io men e sólo se pensa- ba; que bas a ía con e «3+4» como un núme o, «x» como un núme o desconocido, «=» como la iden idad.. . De hecho, es ha o conocido que odo ha cambiado ace ca de esas esc i u as amilia es: el uso que se hace de ellas, el sen ido que se les da, el obje i o de las ans o - maciones con las que se ope a ... El lec o al que es a in oducción ingenua y lapida ia decepcione puede e- mi i se con p o echo a los abajos de Y es Che alla d sob e es as cues iones (1989). El alumno debe, po an o, no sólo ap ende conocimien- os nue os, sino ambién ol e a ap ende y ol e a o ganiza los an iguos y ol ida -o, mejo , desap ende - una pa e de ellos. ¿En qué medida es compa ible es a obse ación con las bases de la e aluación, al y como se p ac ica hoy po hoy? ¿Pe manecen álidas esas bases? ¿Podemos mejo- a las di ec amen e sin implica los mé odos didác icos y las concepciones de los enseñan es? No sabemos dis ingui bien las di e en es elaciones que el enseñan e y sus alumnos pueden ene con un mismo conocimien o, ni desc ibi las signi icaciones di e en es que un conoci- mien o puede oma según las ci cuns ancias en las que si e y según la pe sona que se si e de él. No sabemos enca a bien el ap endizaje en é minos de cambios de elaciones con el sabe o en é minos de ans o maciones de los conocimien os del alumno. No sabemos desc ibi bien el papel de los conocimien os an iguos en la cons ucción de los conocimien os nue os. ¿Qué luga hay que deja en la enseñanza a es as eo ga- nizaciones de conocimien os an iguos en elación con las yux aposiciones de ap endizajes nue os? ¿Depende es e luga de las nociones? ¿Exis en conocimien os que ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (3) 263 1 OTROS TRABAJOS obs aculizan ap endizajes ul e io es? ¿Exis en écnicas didác icas más a o ables que o as, espec o a es e asun o? Ac ualmen e, la in eg ación de los conocimien os nue- os con los an iguos se deja o almen e a ca go del alumno, con en ándose el p o eso con comunica po e apas ozos del sabe « e dade o» de nues a época. ¿Puede el enseñan e esco omiza el pasado del niño dándole a en ende que, excep o los algo i mos, odo lo que ha ap endido con an e io idad es inu ilizable? ~Pue- de comp ende el alumno lo que se le enseña en esas condiciones? Los cu ículos cons uidos has a hoy no p e én nada que no sea la yux aposición de los ap endizajes: ¿qué conse- cuencias obse ables se pueden deduci de es a «insu i- ciencia» sob e la enseñanza y sob e los pasos de un ni el escola a o o? ¿Y sob e las concepciones didác icas y epis emológicas de los p o eso es? ¿Se p oducen ealmen e ales consecuencias? ¿Sólo pueden se impu adas a es a causa? Po supues o que se ía absu do conclui de ello que no hay que enseña el cálculo en la escuela p ima ia y po supues o que no esul a que sea ácil enseña di ec a- men e el álgeb a enlaescuela p ima ia: la enseñanza di ec a del sabe de ini i o es imposible o, si se hace así, hay que enuncia a hace lo unciona . El uso y la des ucción de los conocimien os p eceden es o man pa e, po an o, del ac o de ap ende . En consecuencia, hay que admi i una cie a (( eo gani- zación didác ica» del sabe , que cambia su sen ido, y hay que admi i , al menos a í ulo ansi o io, una cie a dosis de e o es y con asen idos, no sólo del lado de los alumnos, sino ambién del de la enseñanza. Pe o, ¿cómo ans o ma el sabe pa a con e i lo p o i- sionalmen e en in eligible, sin hace lo demasiado also ya que queda án huellas que no pod án se bo adas.. .? ¿Y cómo ec i ica a con inuació~i esos e o es? ¿Y de qué de echo pod ía a oga se un p o eso pa a hace su i ansposiciones didác icas al sabe cul u al común? ¿Cómo egula las dis o siones ine i ables? ¿Puede es a es a a ea o almen e a ca go de un p o eso o incluso de los p o eso es? ¿Se les puede impone que enseñen conocimien os alsos, incluso p o isionalmen- e, sin un acue do cul u al a ese espec o? ¿Se puede consegui al acue do si cada uno de los p o agonis as se e conducido a ene que igno a cualquie análisis se io? ¿Quién se enca ga de es a ansacción, qué o ganización social puede pe mi i la en condiciones hones as pa a odos? És as son algunas de las p egun as «sencillas», casi ingenuas, que se plan ean en didác ica de las ma emá i- cas a p opósi o de un enómeno co ien e que compe e a su campo. A p opósi o de es e enómeno, sal a a la is a una p ime a ca ac e ís ica: se a a de la complejidad; com- plejidad que, en dominios muy a iados, equie e an o in es igaciones expe imen ales y e lexiones sob e un- damen os como in enciones o in es igaciones de ingenie ía. Es a complejidad se no a cuando se a a de plan ea las p egun as necesa ias pa a las in es igaciones, pe o llega a se ab umado a cuando, con is as a una decisión cualquie a, se a a de in eg a las espues as ob enidas e en ualmen e. Es a complejidad bas a pa a jus i ica la descon ianza: se pod ía in e i e e namen e en in es i- gaciones de de alle sob e la enseñanza, sin que se ob u- ie a a cambio nada más que suge encias dispe sas y g a ui as. Segunda ca ac e ís ica impo an e: las p egun as plan- eadas equie en in es igaciones en dominios de conoci- mien os muy di e en es, pe o lo hacen de una mane a que no pa ece deja a ninguna de ellas la posibilidad de esponde independien emen e de las o as. Es a ob- se ación sub aya la necesidad de un en oque uni a io y sis émico de las p egun as de didác ica. 2.2.3. Ejemplos de p ocesos Con inuemos el es udio de los cambios de ni eles esco- la es. El hecho de que los conocimien os que se abo dan de nue o deban cambia de signi icación no es, en ealidad, un descub imien o pa a los p o eso es. Los p o eso es saben de sob a que exis en sabe es «o icia- les» -noso os di íamos «ins i ucionalizados»- que se les pueden exigi a los alumnos, y que esos sabe es sólo son u ilizables po el alumno si es ablece con ellos una elación p i ada y si pone en uncionamien o conoci- mien os de o a na u aleza (pe sonales, con ex ualiza- dos, empo alizados.. .). Es as obse aciones p o esio- nales sólo adquie en alo en didác ica si de e minan un enómeno de enseñanza explicable po un p oceso didác ico o si en an en un enómeno de ese es ilo. In en emos ilus a es a decla ación sibilina. (<¿En qué medida el uncionamien o de los sabe es "ins- i ucionalizados" depende de conocimien os no descon ex ualizados, enseñados más o menos implíci a- men e con an e io idad?» (Los conocimien os ins i u- cionalizados son los que el maes o enseña explíci a y o malmen e al alumno, son los que cons i uyen la ma- e ia pa a examen, y el alumno sabe que deben se aplicados.) «Comp ende », pa a un niño, es es ablece y enlaza , bajo su p opia esponsabilidad, enómenos y hechos que an o el enseñan e, como la si uación, su lenguaje y los conocimien os ap endidos han dejado «independien es». Po ejemplo, un niño puede comp ende las p ime as mediciones con la ayuda del ecuen o, ap ehende las p opiedades del o den de los núme os con la ayuda de la medición, con ola ope aciones con la ayuda del o den («eso aumen a, así que no hay que di idi ») o de o a ope ación (mul iplica es añadi un cie o núme o de eces), comp ende el ecuen o g acias a ope aciones ( ece es diez más es) o a la búsqueda de suceso es.. . , y odas las elaciones posibles, e dade as en los en e- os, son buenas pa a do a de sen ido. No odos es os conocimien os, que el alumno ha en ela- zado, pe sonalmen e o g acias a la his o ia de la clase, ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (3) OTROS TRABAJOS son ins i ucionalizados po la ac i idad del enseñan e, pe o, sin duda, algunos de ellos son ins i ucionalizados en el con ex o, y es o con oda la azón del mundo. En odo caso, es os conocimien os pa ecen indispensables pa a el uncionamien o adecuado de los conocimien os ins i ucionalizados, enseñados po el p o eso . Pa a el alumno, esas p opiedades de los núme os na u a- les son las p opiedades de los núme os en gene al, de odos los núme os. Aho a bien, la inme sión del con- jun o de los na u ales en un supe conjun o como los acionales o los decimales, a la ez que hace apa ece p opiedades nue as, hace desapa ece algunas o as; hay p opiedades que ya no son e dade as pa a odos los núme os, o incluso que ya no lo son pa a ninguno: mul iplica puede hace más pequeño, un decimal no iene suceso .. . El enseñan e no puede ad e i de mane a con enien e al alumno de es a up u a, ya que, ni la cul u a -y en pa icula la adición-, ni la ingenie ía didác ica han p oducido oda ía los ins umen os necesa ios (eje ci- cios, ad e encias, concep os, obse aciones, pa adojas.. .). Es a si uación conduce al enseñan e a p o oca quidp o quos y malen endidos y al alumno a come e e o es. Es as concepciones alsas pe sis en ya que es án ligadas a una cie a mane a de comp ende las p opiedades de los núme os na u ales, y se puede obse a los e ec os de la up u a du an e nume osos años. Aún es más impo an e el mecanismo de es e obs áculo: lo que alla no son los conocimien os enseñados -en gene al los enseñan es sub ienen a ese incon enien e in en an o man ene se en un discu so incomp endido, pe o co ec o-, lo que alla son los ins umen os pe so- nales de comp ensión del alumno. El alumno deja de comp ende po que lo que debe ía cambia se son, p eci- samen e, los medios de lo que él llamaba «comp ende » has a ese momen o. La didác ica no puede apo a solución a un p oblema como ése median e simples disposiciones de ingenie ía. La ingenie ía puede p opone e en ualmen e p ocesos de descon ex ualización, como los «cambios de ma co» de Douady, o si uaciones que pe mi en comba i un conocimien o-obs áculo, como los con lic os socio- cogni i os.. . , pe o no puede hace nada cuando la di i- cul ad iene de que el enseñan e desconoce las e e en- cias con ex uales del alumno, necesa ias pa a que és e no pie da el u o de su expe iencia con ocasión de nue as adquisiciones. Es ácil mos a que las causas de es a imposibilidad de ges iona la memo ia de los alum- nos g acias a una memo ia co ec a del sis ema son a menudo cul u ales. El p oblema debe se a acado en ese ámbi o. La didác ica debe in e ac ua con la cul u a. Pe o los hechos que acabamos de e oca son los elemen- os de un enómeno más amplio que en enena las ela- ciones en e los pad es, los p o eso es y los alumnos con ocasión de los cambios de clase y de ni el. Un p o eso quie e eco da a un alumno que se encuen a en una di icul ad los conocimien os que és e necesi a; se a a de conocimien os bien ins i ucionalizados: debe ían, po an o, es a disponibles. Pe o su uso y su comp en- ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (3) sión dependen de un con ex o; si el p o eso igno a cuál es ese con ex o, la si uación es á bloqueada. A menudo, el alumno descub e, después de la solución, que conocía pe ec amen e lo que se le pedía, pe o que no había comp endido la p egun a. El único medio pa a el p o eso de conoce las ci cuns- ancias de la c eación de los conocimien os es o bien habe enseñado en pe sona la noción a ese alumno, o bien dispone de un conjun o de e e encias cul u ales, ya sean és as e ec o de la adición o de un conocimien o p o esional (pe o es a especie de «clasicismo» de la didác ica, si consis e en una ins i ucionalización de los p oblemas, puede esul a una solución pelig osa, que ma a la e lexión ma emá ica). Sólo en ese caso puede e oca las si uaciones de ap endizaje que él no ha i ido, ya que es án ijadas con encionalmen e. An e las di icul ades y las incomp ensiones de nume o- sos alumnos en el uso de conocimien os sencillos, es o zoso cons a a el acaso (del alumno, de la ense- ñanza, del mé odo, del p og ama.. .) y pedi que odo (el alumno, la enseñanza.. .) se cen e sob e lo que mejo sabe de ini , e alua y enseña : los algo i mos; es deci , sob e lo que quizá alla menos, el alumno sabe hace una di isión, pe o no sabe cuándo hay que hace la. Resul ado: los esponsables se p eocupan, los p o eso- es se ponen de acue do y, pa a mejo a el paso de un ni el a o o, la enseñanza igno a y desa iende aún más los conocimien os con ex ualizados y pe sonales del alumno. El p oceso se man iene a sí mismo has a el momen o en que apa ece, pa a los enseñan es y los alumnos, la necesidad de ompe con el psi acismo (la epe ición desp o is a de sen ido). Es o es lo que suce- dió hace algunos años: la noos e a (el conjun o de pe sonas y g upos in e esados en la c eación y en la comunicación de los sabe es de un cie o dominio) in i ó a odo el mundo a un es ue zo de in ención. de o iginalidad y de inno ación pedagógica. ~n consecien- cia, se da po supues o que cada uno ha de igno a el mé odo pe sonal del o o. El aumen o de la a iabilidad didác ica espon ánea hace en onces que disminuyan las opo unidades, pa a cada p o eso , de a icula y de ol e a oma los conocimien os pe sonales de sus alumnos. La exis encia de ex os del sabe que podían p e ende se uni e sales y de ini i os ha acili ado es e p oceso, pe o es e p oceso ha p o ocado, de ebo e, un aplas a- mien o de la enseñanza sob e un conocimien o o mal.. . 2.3. Algunos enómenos y concep os de Didác ica La didác ica comienza a pone en e idencia los ac o es de la e olución ela i amen e caó ica de la ansposición didác ica, de la que no habla emos aquí. El juego del con a o didác ico se acompaña de oda una amilia de enómenos en los que se pe cibe, a a és de los desequilib ios y las co ecciones, el e ec o de las OTROS TRABAJOS a iables del sis ema, cuando no las eglas de su e olu- ción. El es udio del con a o didác ico ha conducido al des- cub imien o de enómenos como los e ec os «Topaze» y «Jou dain», el e ec o de deslizamien o me adidác ico, el e ec o de analogía.. ., de los que habla emos más abajo. Es os e ec os pueden in e i se del modelo eó ico y pueden obse a se an o en el ámbi o de una lección en una clase como en el del conjun o de una comunidad. El «e ec o Topaze» consis e en lo siguien e: la espues a del alumno es á gene almen e de e minada, poco más o menos, de an emano y el p o eso negocia las condicio- nes en las que se p oduci á y que la do a án de sen ido. El p o eso in en a hace las cosas de al mane a que ese sen ido sea lo más ico y lo más exac o posible y, pa a ello, p opone las p egun as más abie as. En caso de acaso, da in o mación pa a hace más ácil la espues- a. Sucede en onces que acaba po acep a unas condi- ciones que p o ocan la espues a del alumno sin que és e enga que in e i el meno sen ido, como en la p ime a escena del Topaze de Pagnol: «des mou onsses é ai-hun éunisse.. .»("). El «e ec o Jou dainn es una o ma del e ec o Topaze: pa a e i a un deba e de conocimien o con el alumno, y e en ualmen e la cons a ación de un acaso, el p o eso acep a econoce como índice de un sabe genuino, o de un modo de ac ua au én ico, una p oducción o un compo amien o del alumno que no es de hecho más que una espues a que iene causas i iales -y, po an o, desp o is as de alo e, incluso a eces, de sen ido. Ejemplos: la escena del «Bou geois gen ilhomme» de Molik e en la que el p o eso de iloso ía e ela al seño Jou dain que hace p osa, o la escena en la que habla en cul ala inipa la mien as que Jou dain c ee ap ende la o og a ía p onunciando oes y aes. El deslizamien o me adidác ico alcanzó una g an en e - gadu a y u o consecuencias impo an es en un pasado ecien e; el enómeno cali icado con es e nomb e con- sis e en que, cuando un in en o de enseñanza acasa, el p o eso se e conducido a ol e a oma su ex o de enseñanza pa a explica lo y comple a lo. En onces, el p ime in en o, que e a un medio de enseñanza, de iene obje o de es udio, incluso en ocasiones obje o de ense- ñanza: la o ma subs i uye al ondo. Así, pa a explica el lenguaje conjun is a, undamen al, pe o en up u a con el pensamien o na u al, los p o eso es de los años se en- a quisie on u iliza , bajo la o ma de los amosos diag a- mas de Venn y o os «globi os», los esquemas que Eule había in en ado pa a Ca alina de Rusia en sus «ca as a una p incesa de Alemania». Pe o, al no se es a me á o a un buen modelo, y al ayuda la olun ad de ulga iza- ción, hacía al a ab ica sin cesa nue as con enciones y enseña el medio de enseñanza como si ue a el obje o de enseñanza: el lenguaje conjun is a en ez de la lógica, el diag ama en ez del lenguaje o mal, el ocabula io de los diag amas en ez de los dibujos, las con enciones en ez del ocabula io, e c. El deslizamien o me adidác ico escapó al con ol de la comunidad, p o ocando magní- icos malen endidos a escala plane a ia du an e más de diez años, sin habla de las secuelas que expe imen amos oda ía en la epis emología del público y de los p o eso- es. Pe o exis en o os enómenos de es e ipo que dependen del sabe al que se apun a y de las ci cuns ancias. No es á cla o que las p oducciones cogni i as hechas pa a la in es igación o men un conjun o de concep os pe ec amen e adap ado a su comunicación y a la o ma- ción de los alumnos. Exis en «pun os ciegos» de la cul u a. Sabe es ú iles pa a el desa ollo de un indi iduo no igu an como nociones cien í icas en la cul u a, y la enseñanza no puede, e iden emen e, ellena esa al a: po ejemplo, la enume ación de colecciones -aspec o muy u i o de la combina o ia-, o la ep esen ación del espacio pa a la o ganización de las acciones, de los desplazamien os, de las medidas -sec o agado po la geome ía-deba e del ma emá ico- o ambién el pensa- mien o na u al -de o ado po la lógica-, e c. De mane a más gene al, el modo de p oducción «na u- al» de la ac i idad ma emá ica, solici ado sin cesa po los buenos p o eso es, no puede se ecibido y econoci- do e dade amen e en an o que al, po an o, hay que subs i ui lo po el modo de cons ucción y el lenguaje que se usa. Si es o no es posible de inmedia o, odo el sis ema se encuen a an e el p oblema de p ime o «memo iza » conocimien os ansi o ios, de es a u o incie o, no econocidos po la ciencia, y luego hace los e oluciona , sin pode exp esa los ni econoce los. El es ue zo consen ido pa a ob ene sabe es, indepen- dien es de las si uaciones en los que uncionan (descon ex ualización), se paga en pé dida de sen ido y de ope a i idad en el momen o de la enseñanza. El es ablecimien o de si uaciones ( econ ex ualización) in eligibles se paga en deslizamien os de sen ido ( ans- posición didác ica). La e ans o mación en sabe es del alumno o en sabe es cul u ales uel e a inicia el p o- ceso y ag a a los iesgos de de i a. La didác ica es el medio de ges iona es as ans o maciones y, en p ime luga , de comp ende sus leyes. Vol amos a la ges ión de las exp esiones algeb aicas po los alumnos. Y es Che alla d ha mos ado el enómeno de conse ación os ensi a de la in o mación: un con a- o didác ico implíci o enca ga al alumno que «conse e» la in o mación que se le con ía; desde ese pun o de is a, en la exp esión «3.x = O» el 3 mues a algo: es di e en e de 4; debe, po an o, pe manece p esen e a a és de las ans o maciones ma emá icas. Deduci de la exp esión an e io «x = O» con adi ía es e con a o, de mane a que el alumno un poco dis aído ans o ma el esul ado en «X = 1/3» o en «x = -3». El in en a io de los enómenos ligados al con a o didác- ico aún es á en plena expansión. Sin emba go, mos a y es udia enómenos es una cosa, ac ua sob e ellos, es o a. T abajos de la cohe encia de los de M. A igue son aún a ísimos: después de habe es udiado la ep oduc ibilidad de las si uaciones didác- icas, ella obse ó la obsolescencia de las si uaciones u ilizadas pa a la enseñanza de las ecuaciones di e en- ciales y ha comenzado a p opone soluciones. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990,8 (3) 1 OTROS TRABAJOS 1 3. CONCLUSIONES La didác ica puede, en un cie o plazo, ayuda al p o e- so amodi ica su es a u o, su o mación y sus elaciones con la sociedad: -Ac uando di ec amen e sob e la conside ación social de los conocimien os que u iliza. -Ac uando sob e los conocimien os de sus colegas p o- esionales, y sob e los de los pad es y el público en gene al. -Desa ollando posibilidades mejo es, pa a el público y pa a los ciudadanos, de ii iliza la enseñanza de mane a más sa is ac o ia pa a ellos. -Dando mejo es posibilidades a los pode es públicos o p i ados de ges iona la enseñanza median e medios más ap opiados. No as (1) P esen é y es udié es a lección en B ousseau (1981). Ha sido e ocada en Clappani (1985) y Piu inage (1986). Mo in (1988) da de o ma de allada los compo amien os de los alumnos obse ados en el cu sb de las epe iciones que ella ha o ganizado de esa lección. (2) El conjun o del p oceso se desc ibe de mane a de allada en B ousseau, N. y B ousseau, G. (1987). (3) Es a lección es solamen e la in oducción a un p oceso que debe llega has a su é mino, pa a que los alumnos puedan encon a se con odos los aspec os del empleo de las aplicacio- nes acionales y decimales, y domina los. Aislada, colocada en un con ex o deso denado, o ges ionada sin igo , es a lección co e el iesgo de unciona me amen e como un eje cicio de aplicación o como un sopo e me a ó ico del discu so enseña- do. Pe o es a dcnica es bas an e obus a: incluso mal analizada y mal empleada, oda ía gua da un a ac i o cie o. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BROUSSEAU, G., 1981. P obli?mes de didac ique des déci- maux, Reche ches en Didac ique des Ma héma iques, Vol. 2, pp. 37-127. BROUSSEAU, N. y BROUSSEAU, G., 1987. Ra ionnels e décimaux dans la scola i é obliga oi e. IREM de Bo deaux. CENTENO, J., 1988. Núme os decimales. (S n esiS: Mad id). CHEVALLARD, Y., 1989. Le passage de l'a i hmé ique A l'algeb e dans l'enseignemen des ma héma iques au colle- ge, Pe i X, 19, pp. 43-72. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1990.8 (3) Es a pa e de las apo aciones de la didác ica no es á, cie amen e, lis a pa a se ealizada, ya que exige una e olución conside able de las es uc u as escola es y de las men alidades, pe o odo me pe mi e pensa que ése es su papel social y que p og esamos en esa di ección. La ocación de la didác ica se opone a las in e enciones a onado as. A menudo, la explicación de un acaso o de una di icul ad pe mi e desculpabiliza al enseñan e y al alumno y o ien a les hacia ac i udes aás posi i as. En medicina, la a ibución de la ube culosis a un mic obio no pe mi ió de inmedia o ence la en e medad, pe o pe mi ió po in desculpabiliza a los en e mos, sospe- chosos du an e mucho iempo de habe o endido a la na u aleza de alguna mane a y de se cas igados po ello; acceso iamen e, la medicina sugi ió que un cie o ipo de higiene pod ía p e eni muchos casos. No as del aduc o (1) 'Falsable', o ' alsa ', es un neologismo in oducido po los aduc o es de Laka os al cas ellano. (11) Siglas co espondien es a lo que en la enseñanza ancesa se denomina «Cou Moyen deuxieme annéen, que equi ale a 5" de EGB. (111) Equi alen e 6g de EGB. (IV) Juego de palab as: 'mai e' signi ica 'amo' y 'maes o'; en el o iginal ancés se dice en e pa én esis ac'es bien le mo », «es la palab a adecuada». (V) En la ob a de Ma cel Pagnol, Topaze es un p o eso al que el di ec o del colegio p i ado pa a niños icos en que abaja le exige que ob enga mejo es esul ados. Agobiado po es a exigencia que pone en pelig o su pues o de abajo, pa a consegui que sus alumnos no engan al as en los dic ados, p onuncia con én asis odas las le as que, como las eses inales de 'mou ons' o ' éunis', no se p onuncian en ancés. CLAPPONI, Ph., 1985. Ac i i é.. . découpes, Pe i X, 9, pp. 63- 65. PLUVINAGE, F. y RAUSCHER, J. C., 1986. La géome ie cons ui e mise A l'essai, Pe i X, 11, pp. 5-36. MORIN, C., 1988. Le puzzle (d'ap es une idée de G. B ous- seau), Pe i X, 17, pp. 49-56.