Invariantes de anillos locales y deformaciones de curvas planas (en característica P

Pub . Ma . UAB N°20 Se . 1980 Ac es VII JMHL INVARIANTES DE ANILLOS LOCALES YDEFORMACIONES DE CURVASPLANAS (EN CARACTERISTICAP > 0) . An onioCampillo Dp o . d e Algeb ay Fundamen os Uni e sidad de Valladolid Le & be hé ing o an algeb oid a ie y o e an algeb aically closed ield k o cha ac e is ic p>0 . I Specs is equimul iple a1,ong a closed sub- a ie y Spec A o codimension 2 hen  K o (q) 5 eq KA (q), whe e e is he mul iplici . y and K s ands o he unc ion - Ka (q=p n ) = dim k / m^o pn ) The equali y holds o q»0 when SpecT is equisingula along SpecA, and he special ibe is i educible . Sea k un cue po algeb aicamen e ce ado de ca ac e is ica p>0 y  Ji' un anillo .local noe he iano con ideal maximal m  y cue po de coe icien es k . En ( 5 )  Kunz in odujo la unción (in a ian e del?) K u ,(q) =  di mk( 01 / m [q])  ,  m q)=  mA ly q , de inida pa a los *en e os del ipo q=p . En es e abajo es udiamos pa a una de o mación de cu as planas la elación exis en e en e los i n a ian es  K  de la de o mación -y del espacio de pa áme os . Sea (X,Y) E k (X,Y »  una se ie de iniendo una cu a algeb oide plana sob e 0 k y A una k-álgeb a local noe he iana comple a eniendo ak como cue po de coe icien es . Una de o mación de 0  sob e  A  es po de inición una se ie  (X,Y) E A((X,Y»  al que = es( ), donde es( ) es la se ie ob enida educiendo los coe icien es de módulo el 0 ideal maximal mA de A . En lenguaje geomé ico , la de o mación es el mo ismo de k-esque mas X=Spec( A (X,YIJ/( )  Spec(A) inducido po la aplicación na u al A----> AIx,Y1I/( ) = l~  y la cu a X o = Spec(k ,lV ( )) se iden i ica con la ib a de 0 dicho mo ismo en el pun o ce ado, es deci con la ib a especial de la de o mación . Da una sección de la de o mación consis e en da un mo ismo s :1 -D A que induzca la iden idad sob e A . En lo : :sucesi o abaja emos sólamen e con la sección i ial  : 15 --> A  es deci la sección dada po  (X+( ) ) = (Y+( )) = 0 . La de o mación sedice que es equimúl iple (a lo la go de ) cuando el o den de .-las :se i .es y  coinciden . 0 Si X=0 es ans e sal a 0 (es o se puede supone sin pé dida de gene alidad) , la condi- ción de equimul iplicidad y el eo ema de p epa ación de Weie s ass nos pe mi en . esc ibi de la o ma (X,Y) =  Y e + B 1 (X) Y e-1 + . . .+ B e (X) o ,  B i (X) EA N) , donde  o d x (B M) T  i .  i TEOREMA 1 .  Pa a una de o mación equimúl iple   de 0 sob e A se iene K O (q) Z egK A (q)  , b q donde e es la mul iplicidad de ( y po an o la mul iplicidad de odas las ib as) . La 0 igualdad se e i ica si y sólo si  yq E (mA(q~ , xg ), siendo  x = X+( ),  y=Y +( ) . Demos ación :  Si ¡m l - .,m h 1 es un conjun o de elemen os de A cuyas clase'§ módulo i k mA g ~  son una basede  A/ m [q]  , los elemen os de  B+ j X Y  , 1 á já h, 01 i j6 q-1 , A 0 * k_< e-1 , son un sis ema de gene ado es del k-espacio ec o ial  0/ (q! , así la ó mula m (1) se sigue ácilmen e . Pa a p oba la segunda a i mación, no emos que Y q iene una única exp esión de la o ma  Y q =A 1 (X)Y e-1 + . . .+A 0(X) + Z + Z', donde A i (X)  es un polino- mio con coe :cc .ien es combinaciones lineales de los m i y de g ado S q=1 , Z pe enece a [q] q  e-1 (m A  X )  y  Z' E ( (X,Y)) . Así  A 1 (x) y  + . . .+AO(x)=0  es una combinación lineal nula de elemen os de  B , y la condición  yq C (mA q~,xq)  signi ica que los coe icien es de dicha combinación son odos nulos, y po an o si  y g 41 (m ( Á x q )  se iene  K0 (q) < eq K A (q) . Recíp ocamen e,si y g E(mÁ g1 , xq ) en onces óda combinación lineal nula se ob iene en la o ma an e io sus i uyendo el polinomio Y q po uno del ipo Y g p(X,Y), po an o, pues o p(x,y) yq E (m A , x q )  dicha combinación debe ene coe icien es nulos . Así la igual- dad se da en  (1) . que NOTAS : 1) La demos ación an e io nos indica que la condición K $ (q) = egK A (q) se puede comp oba algo í micamen e a pa i de la ecuación =0 . 2) La equimul iplicidad no es su icien e pa a ga an iza la igualdad en (1) . Así, po ejemplo, y 2 -(x+z) 2 z es equimúl iple a lo la go del eje de las x, sin emba go K (q) = 2 q 2 - .1 . sob e A . 0 DEFINICION : Decimos que es HN-equisingula cuando admi e un desa ollos de Hambu ge -Noe he ( éase (3) pa a de alles) . Conside emos aho a un cie e pe ec oA  de A ; es deci , en el caso en que A es egula A * se cons uye como unión de A 11I  con i > 0,  y en el casono egula se oma A  egula y una :moi isimo, sup ayec i o A - -~9 A de anillos locales y se pone ~c  0  1/ `  p 1 A  A ® A se iene A =  A  y A S A . . =o ,, i  k  i  i A = A  ÁA . En es e caso, si 00 DEFINICION : Di emos que es equisingula cuando es HN-equisingula conside ada como de o mación sob ealgún  A i  i>0 . (Nó ese . que cada A,  es una k-algeb a local i noe he iana comple a con k como cue po de coe icien es) . . clásica de Za iski, es deci equi ale X X .k( )  donde k(V ) es el cue po En adelan e supond emos que 0 es i educible . Sea una de o mación de Cuando  Spec A  es ín eg o es a segunda de inición coincide con la de inición TEOREMA 2 .-  Si   es una de o mación equisingula de 0 , en oncespa a iene  K (Y (q) = e q KA (q) . Demos ación : Si es HN-equisingula en onces 0 y A Y » . Además  ( c ) k(( » S 15 , donde c se iene  yq E (x g ) pa a q «~> c/ ( ~-e )  donde 1 ico de 0 , y po la segunda pa e del eo ema 1 a la equisingula idad de las esidusJ-del pun o gené ico n cu as X  x . k( ~ )  y ok de  Spec A, ( éase q » 0  se iene una pa ame ización, y po an o es el conduc o del semig upo de o , . Así es el p ime exponen e ca ac e ís- se iene K0 (q) = eqK A (q) . En caso gene al la demos ación es análoga pasando a A i , conside ando el co espondien e anillo  19  y eniendo en cuen a que ( q P i 515 . NOTA : Pues o que K  depende solo de &el an e io eo ema nos da una condición necesa ia pa a la exis encia de una sub a iedad de . Spec (`! isomo a a Spec A a lo la go de la cual (% es equisingula . (11 ( 2~ (3) ( 4) REFERENCIAS : Blanco, M .F ., "Compo amien o de la unción de Kunz de cu as algeb oides" . Jo nadas Hispano-Lusas . San ande  1979 . Campillo A ., "Algeb oid cu es in posi i e cha ac e is ic" . Lec u e No es in Ma hema ics . Sp inge -Ve lag . To appea . (1980) . Campillo A ., "De o maciones de los desa ollos de Hambu ge -Noe he !' . Re . Ma . Uni . Valladolid . (1979), 20-45 . Nobile, A ., "Equisingula de o ma ions o Puiseux expansions" . T ans . Am . Ma h Soc . ol . 214, 113-135, (1975) . "Equisingula de o ma ions o plane cu es" . III . J . Ma h . (1978) . Kunz, E . "Cha ac e iza ions o egula local ings o cha ac e is ic p" . Am . J . Ma h . 90(1968),772-783 . Na,hi,J . "Equisingula de o ma ions o plane cu es" .T ans . Am . Ma h . Soc . Gol . 214 . (1974) .