Álgebras de Hopf adjuntas como módulos de Hopf

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL ALGEBRAS DE HOPF ADJUNTAS COMO MODULOS DE HOPF M .A . López López Dp o . de Algeb a y Fundamen os uni e sidad de San iago de Compos ela Abs ac Le IH and]K be adjoin Hop algeb as on a 2-Ca ego y obje , IH -l IK, ]K wi h an ipode . ]H°is a ]K-Hop module . Comunicación : Los concep os de álgeb a de Hop espec o a un co iple en un obje o A de una 2-ca ego ía, y de álgeb as de Hop adjun- as, apa ecen en Algeb as de Hop espec o a un co iple de M .A .L6pez López 141 . In oducidas las nociones de]H-módulo de Hop y]H-com6dulo de Hop sob e un A-álgeb a de Hop -IH,se de mues a que si IH y ]K son adjun as) CE --l ]K) , las ca ego ías de E-módulos de Hop yIK-com6dulos de Hop son equi alen es (141) . Si IEi -i ]K, la es uc u a de ]H-módulo de Hop de ]H no , induce, en gene al, . un á es uc u a de ]K-módulo de Hop en]H . El obje o de es a no a es demos a que en dicha si uación adjun a, siIK iene an ipodo en onces]H ° (141) es un]K-módulo de Hop . Sean ]H=(X,4,T C ), con T=(C,EC,6C), T=(C,n c ,u C )  y ]K= = CD,$,T D ) con  ID=(D,E D ,B D ), $=(D,nD,uD), álgeb as de Hop ad jun as OH  ]K), en el obje o A de una 2-ca ego ía, siendo (C,D,a,B) el pa adjun o co espondien e . En onces]H O es unIK- com6dulo po la de echa . En e ec o, (C,p C . Tc ) es un ]H<-módulo po la izquie da, de lo que se deduce (141) que (C,p') es un IC°-com6dulo .po la izquie da, siendo p'=D(pC . T c )-aC ; po an- o (C,p) es unIK-com6dulo po la de echa, siendo p=T D .p' . Bajo las mismas hipó esis, siIK es un álgeb a de Hop con an ipodo a , se de ine :~ :=(BC) " (CU D C) " (CTDC) " (CXDC) - (CDa) y se demues a que (C,O) es un]K-módulo po la de echa . A con inuación se comp ueba la condición de compa ibili- dad pa a que (C,~,p) sea un ]K-módulo de Hop : P'~=($P)'(CTDD) " (p6D) con lo que queda demos ado que, si ]i y ]K sonA-á geb as de Hop adjun as en el obje oA de una 2-ca ego ía,M=(T,7,T C ), * (ID, 5,T D ), ]H -I ]K . Si ]K iene an ípodo a, en onces ]H° es un 1{-módulo de EIop po la de echa . Si R es un anillo conmu a i o, y P un R-módulo p oyec- i o de ipo ini o, en onces - 0 R P -H -0 R P* -1 -0Rp , en don- dé P* := Hom R (P,R) . Si ]K= (m,$, T -0 R p ) es un Mod R - álgeb a de Hop espec o al co iple m = (-ORP,E,d) ., exis e una única es- uc u a de  Mod R -álgeb a de Hop ]i =  (T, M?, T -0 R P* )  sob e -0RP*  ,  alque  IH --I ]K  .  Po an o 14 1,  ]H°  --¡]K' .  La es uc- u ade R-álgeb a de Hop inducida en P* po ]H ° coincide con la es uc u a de R-álgeb a dual del álgeb a de Hop de inida sob e P po ]c 131 . Las R-álgeb asde Hop queson R-módulos p oyec i os de ipo ini o con an ípodo eciben el nomb e de álgeb as de Hop ini asl3l . El esul ado aquí ob enido, se enuncia pa a  ModR álge- b as de Hop en la o ma : " Sea]H un R-álgeb a de Hop ini a . En onces ]i* (dual de]H) es un]H-módulo de Hop po la de echa" '  En un con ex o mas gene al, si C es una ca ego ía ce- - ada simé ica 121, con igualado es y coigualado es, y T es un ipleen el obje o C de la 2-ca ego ía C-ca (la 2-ca e- go ia de C-ca ego ías, C- un o es y C- ans o maciones na u a- les)¡ll, en onces la ca ego ía u C' I de a-álgeb as cen ali- zadas es una ca ego ía ce adasimé ica 111 . Si P es un U-ál- geb a alque el mo ismocanónico P,T,P :HOM T (P,T)0 TP  > HOM T (P,P) es un isomo ismo de 9T-álgeb as po la izquie day po la de- echa, en onces se dice que  P es un obje o p o ini o en IT C' 7 Pa a alesobje os se puedenob ene C-adjunciones : C( P 0T -  --i HOMT(P,T) 0 T - ) C( HOMT(P,T)0T -  --~ PO T - )  ; que gene alizan las ya mencionadas pa a R-m6dulos [M .P . Lo- pez L6pez : Obje os de Galois sob e un álgeb ade Hop ini a . (en p epa aci6n)] . El esul ado aquí desc i o, puede se plan eado en es- e ma co, lo que des acasu na u aleza esencialmen e no adi i a . El o iginal comple o de es e abajo apa ece á publica- do en Alxeb a 26 . Dep . Algeb ay Fund . San iago . _Bi bliog a ia 1  Ba ja Pé ez,'J .M . Teo emas de Mo i apa a iples en ca- ego ias ce adas . Alxeb a 20 .Dp . Al- geb a y Fund . San iago (1978) . 2  Bunge, M . Rela i e unc o ca ego ies and ca ego ies o algeb as . J . o Algeb a 2(1969),64-101 3  Chase, S .U . ;Sweedle , M .E . Hop algeb as and Galois heo y . Lec . No in Ma h .97 (1969) 4  L6pez L6pez, M .A .  Algeb as de Hop espec oa un co- iple Alxeb a 17 .Dep . Algeb a y Fund . San iago (1976) . 5  Pa eigis, B  When Hop algeb as a e F obenius algeb as . J .o Algeb a 18(1971), 588-596 . 6  Sweedle , M .E . Hop algeb as (1969) Benjamin N .Y .