Una nota sobre cuadrados universales de grupos

Pub . Ma .UAB N 120 Se . 1980 Ac es VII JMHL UNA NOTA SOBRE CUADRADOS UNIVERSALES DE GRUPOS P . Ja a Ma inez Dp o . de Algeb a y Fundamen os Uni e sidad de G anada ABSTRACT .  I n hi s pape we de ine wo ki nds o uni e sal  squa e :  he  al mos  coca es¡ an  squa e  and  he mi xed ca esiian squa e (mi xed pul I back) , and we p o e i s exis ence . We use hem o buil sho exac sequen- ces omo he s gi enunde de e minedcondi ions . ( AMS S ubiec Classi ica ion .  18A30,  18A35,  20,115 . Dado un g upo G se conside a la ca ego ía de G-g upos, G-G , es- a es una ca ego ía algeb aica, po an o es comple a y cocomple a . De inición . Sea Q un g upo y A, B dos Q-módulos . Si y : A -~ B  es un mo ismo de Q-módulos yd : Q  B es una de i ación, se llama cua- d ado ca esiano mix o de y y d a un cuad ado conmu a i o e i icando : i) G es un g upo . ii) y es un mo ismo de g upos y d es una de i ación, conside ando en A la es uc u a de G-módulo inducida po  . iii) Pa a cualquie o o g upo G', un mo ismo de g upos V : G'  Q y  una de i ación  d' : G'  s A  e i icando (¡),(¡¡)y  d  4, d , exis e un único mo ismo de g upos m al que  d' = d m  y  9 , ' = ,U w . Teo ema . 1 . Sea Q un g upo y a y B dos Q-módulos . Si P : A ---- B es un mo ismo de Q-módulos y d : Q --P B es una de i ación, en onces exis e el cuad ado ca esiano mix o de ~p y d . Esquema de la demos ación . Se conside a el p oduc o semidi ec o de A po Q, que no a emos A ]Q, se de ine el subg upo G  = { (a, q) e A ] Q  (a)  =  d (q) 1 y las aplicaciones  G  9 . Q, d : G - a A, de inidas o «a, q»  =  q ;  d ((a,q))  =  a . Se demues a que - y d son mo ismo de g upos y de i ación espec i amen e y que e i ican la p opiedad uni e sal enunciada en la de inición * de cuad ado ca esiano mix o . El cuad ado ca esiano mix o se no a á en lo sucesi o con un cuad a- do en el e ice supe io izquie do, y el g upo G se no a a  Aa B Q . Como consecuencia de la de inición se iene que si d es una aplica- ción injec i a, en onces d ambién lo es, y si y es un epimo ismo, en onces ~, ambién lo es . P oposición 2 .Sea Q un g upo, A y B dos Q-módulos . Si A -~ B es un mo ismo de Q-módulos y d : Q  B es una de i ación, en onces exis e un isomo ismo w en e Ke xp y Ke ,y , al que  w = d y . Como consecuencia se iene que dada una sucesión exac a co a de Q-módulos  C  -~+ T >  A  -i ~ B  y una de i ación d : Q -> B, en onces exis e una sucesión exac a co a  C  o -> AL7 B Q  ~  Q . De inición . Sean  A, B, G Q-g upos,  0 : G --~ Q un modismo de Q-g u- pos al que  o (g) .g'  =  g g, g -1 . Si  y : A -> B  y  R : A  - G  son mo ismos de Q-g upos, se llama cuad ado casi coca esiano de  ~  yQ  a un cuad ado conmu a i o e i icando : i) H es un Q-g upo y la acción de G sob e H inducida po 0 e i- ica  g .h =~ (g) h y, (g -1 ). ü) y y R son modismos de Q-g upos . iii) Pa a cualquie o o Q-g upo H' y cualquie pa de mo ismos de Q-g upos ,~' : G  -- H' y  R' : B  -i H' e i icando (i), (ii) y la igualdad  exis e un único mo ismo de Q-g upos w : H'  - H al que  V~ .' = w  '~ =w Teo ema .3 .Sean A, B, G Q-g upos y j : G  - Q mo ismo de Q-g upos al que  1 (g) . g'  =  g g' g 1 .  Si  A  --~ B  y  k : A -~ G  son mo - ismos de Q-g upos, en onces exis e el cuad ado casi coca esiano de g, y Q . Esquema de la demos ación . Se conside a el p oduc o semidi ec o de B po  G,  B 3G, y se de ine  T = {T B ~ (a) T G Q (-a)  /  a e A}, siendo  T B y  TG las inyecciones de B y G en el p oduc osemidi ec o . Se conside a la clausu a no mal de T en  B ]G,  N(T), y se de ine  H igual al g upo cocien e  (B ]G)/ N(T) . Los mo ismos R  y y son las composiciones de T B y T G con la p oyección de  B ] G  en  H . Teo ema . 4 . En las condiciones del eo ema 3 si la es uc u a de G-g upo de A inducida po ~  e i ica  (a l ) .a 2 = a l + a2 - a l , B es un G-módulo y un A-módulo i ial, en onces se e i ica : i) T es un subg upo no mal de B ]G . ii) Si R es un monomo ismo, en onces  A, es un monomo ismo no mal . c  -c - iii)  Exis e un isomo ismo de Q-g upos w  al que  w R  =R  X . Como consecuencia se iene que dada una sucesión exac a co a de Q-g upos R n A  i  9, G -T~ C, siendo A un  Q-módulo,  ~ :C -~ Q mo ismo de Q-_] upos e i icando  1n(g 1 ) .g 2 = gl 92 g l ' y ~ : A --- B mo ismo de Q-módulos, se iene una sucesión exac a co a de Q-g upos B ~l-R : i , H  ~ C . El cuad ado casi coca esiano se no a á en lo sucesi o con una ci cun- e encia en el e ice in e io de echo, y el Q-g upo H se no a á  Bo AG . A con inuación es udiamos algunos eo emas que es ablecen la conmu a- i idad de las cons ucciones de cuad ados uni e sales . Teo ema . S .  Pa a  i = 1, 2, sean  A i  y  B .  Q-módulos,  A .  -~ G i . --w C ._ i  i  i sucesiones exac as co as de Q-g upos, ~i : C i -~ Q mo ismos de Q-g u- -1 pos e i icando :  (g i ) ' g i  g i  g i  gi  '  Si  ip i . Ai  -~ Bi  son mo - ismos de Q-módulos, en onces éxis e un isomo ismo w que hace conmu a i o el diag ama B 1 x B 2 (B 1 xB 2 )o (A,xA,» (G 1 XG 2) w B 1 x B 2  'ma -~  (B 1 0 A G 1 ) x (B 2 0 A G 2 ) 1  2 HI . C 1 xC 2 j-b . C 1 xC 2 Teo ema . 6 . Sean A y B dos Q-módulos,  ,1 : A -> B un mo ismo de Q-módulos,  A  l  s G -!-4-> C una sucesión exac a co a de Q-g upos, ~ : C -, Q un mo ismo de Q-g upos e i icando Si D es un Q-g upo y  E : D -> C es un mo ismo de exis e un isomo ismo w que hace conmu a i ó el diag ama B ~ --- :> Bo A (Gx C D) ---F~ D B N  y (Bo A G)x CD ---- -~ D 0, (gl) . g2 = g l g2 g -1 l . Q-g upos, en onces Teo ema . 7 . Sean A y B dos Q-módulos, A -$-~ G  1-a si6n exac a co a de Q-g upos,  0 : C -~ Q mo ismo de Q-g upos e i- icando  i ( ) .  -1 g l  g2 - gl 92 g l ' Si  xP : A -~ B es un epimo ismo de Q-módulos, en onces exis e un isomo ismo whaciendo conmu a i o el diag ama B  N  B ÁG - C Bo G A Teo ema . 8 . Sean A, B, D Q-módulos,  ~ : A -~ B y C : B -~ D mo ismos de Q-módulos, A  N  G +~ C una sucesión exac a co a de Q-g upos,  0 : C -D Q mo ismo de Q-g upos e i icando : n (gl) , g2 =g 1 g 2 g 1 -1 En es as condiciones, exis e un isomo ismo w que hace conmu a i o el diag ama 158 C una suce- - 1 1 --- . a Do A G ----}~ C 11 * 1 - 11 D 1 1 Do B (Bo A G) ---F~ C BIBLIOGRAFIA . 1 .  HERRLICH, H ., STRECKER, G . E . . Ca ego y Theo y : an in oduc ion . Allyn and Bacon, (1973) . 2 .  HILTON, P . J ., STAMMBACH, U . . A Cou se in Homological Algeb a . Sp inge -Ve lag, (1971) . 3 .  R .-GRANDJEAN, A . . Homologla en Ca ego ías Exac as . Alxeb a, 4 . Uni e sidad de San iago . (1970) . 4 .  WU, Y .-C . . H 3(G, A) and obs ucc ions o g oup ex ensions . J . Pu e Appl . Algeb a, 13, 73 - 82, (1978) .