El análisis de componentes principales : aplicación al análisis de datos secundarios

EL ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES: APLICACI~N AL ANÁLISIS DE DATOS SECUNDARIOS Ca los Loza es Colina Ped o López Roldán Depa amen de Sociologia Uni e si a Au Gnoma de Ba celona El in e és del a iculo se cen a en p esen a el Análisis de Com onen es P P incipales como ejemplo p ác ico de aplicación, dejando de lado as consi- de aciones al eb aicas es adis icas que no sean imp escindibles. Se insis e en los ocesos e elección del campo de las a iables, de 10s c i e ios de elección P i de núme o de componen es y de la in e p e ación de 10s ejes. El Análisis de Componen es P inci ales se aplica como un p ime paso de la cons ucción de una mues a es a dada, en pa icuh con /a u ilimcidn de L da os censah En es e sen ido se a a de un análisis de da os que a más allá de 10 que las es adís icas ojciales p ocu an. Resum L i'n e 2s de l'a c'cle es d o ien a a p esen a llAn ilisi de Componen s P inci als com a exemple p ic ic d'aplic'zció, deixan de banda les no indis- pensa / les conside acions al eb ai'ques i esi adís iques. En e ec e, pe un cos a , s hsis eix en elsp ocesso ielecció del camp de les ua iables, dels c i e is dé- leccid del nomb e de componen s i de la in e p e ació dels eixos; pe lál e, IXn ilisi de Componen s P incipals s 'aplica com a p ime pas de la cons ucció dúna mos a es a z>cada, en pa icula amb la u ili zació de les dades cen- sals. A bs ac The pu pose o his a icle is o p esen he P incipal Componen s Analisys, as a ac ical example o i s aplica ion, leauing aside he always necessaly alge I aic and s a is ical conside a ions. Indeed, on one hand, we emphasize on he choice p ocesses o he numbe o componen and axis in e e a ions. On he o he hand, he P incipal Componen s Analisys is app P zed as he j s s ep owa ds he cons uc ion o an s a z>ed sample, pa icula y using census da a. Pape s 37 (1991) (31-63) ((Pape s)): Re is a de Sociologia El obje i o de es e a iculo no se cen a an o en desa olla el mé odo ac o ial de Análisis de Componen es P incipales (ACP) desde una pe spec- i a exclusi amen e eó ica, algeb aica ylo es adís ica, sino sob e odo en aplica 10 a un análisis conc e o a in de e más ce canamen e la e icacia, las exigencias y 10s limi es de al mé odo. Po o o lado, 10 que aho a p esen amos es una pa e de o a in es igación más amplia ealizada en el ma co de la Enques a Me opoli ana1, es o es, la cons ucción de una mues a es a i icada po mé odos mul i a iables pa a dicha encues a. En el diseiio de la mues a, el ACP se ha concebido como ins umen o pa cial pe o indispensable y con en idad p opia: siendo una e a- pa in e media en la cons ucción de la mues a posee un in e és en sí mismo que a más allá de 10s obje i os p opios de oda mues a pa a con e i se en un subp oduc o que po 10s c i e ios, las decisiones y las in e p e aciones que se manejan, cali icamos de especí icamen e sociológico. Asi mismo, el caso p esen ado es un ejemplo de u ilización de da os secunda ios pa a su análisis desc ip i o y de di nensionalización de la ealidad social in es igada, como en nues o caso son 10s del Pad ó d'Habi an s del a io 1986. La me odologia p opues a en la cons ucción de la mues a es a i icada es 6 basada en la complemen a iedad en e las écnicas de dimensionalización y de clasi icación. En es e con ex o 10s momen os básicos del p oceso de cons ucción de la mues a se conc e an, elegido el uni e s0 poblacional y el campo de las a iableslc i e io, p ime o, en la ac o ialización po medio del ACP, segundo, la es a i icación en sen ido es ic o a pa i de la ealidad dimensionalizada y median e la ag upación de la población en es a os ho- mogéneos esul an es de la aplicación del análisis de Chs e , po úl imo, se aplican 10s necesa ios pasos de de e minación del ama io mues al y de a i- jación de la mues a. En es as páginas pues desa olla emos con mayo p o undidad la e apa des inada exclusi amen e a la u ilización del ACP pa a la di nensionalización del campo de a iables empleado, seiialando que es e es udio es con inua- 1. La Enques a Me opoli ana es una in es igación que ue p oyec ada en el a io 1984 pa a analiza las ac i idades y o mas de ida de la población del A ea Me opoli ana de Ba celona (un o al de 27 municipios) an e la ausencia de da os sis emá icos de es e con enido y pa a con e i la en un ins umen o pe iódico de ecogida de in o mación. Enca gado po la an- igua Co po ació Me opoli ana de Ba celona, la p ime a edición de la misma (1986) aba có el pe iodo 1985-89 con di e sos in o mes publicados. En la ac ualidad, con la inanciación de la Mancomuni a de Municipis de I'A ea Me opoli ana a a és del Ins i u $Es udis Me- opoli ans de Ba celona y en colabo ación con la Dipu ació, el INEM y la UAB, se inicia la segunda edición ex endiéndose a la o alidad de la Regió I en la di isión e i o ial de Ca- alunya que aba ca un o al de 250 municipios. El a lálisis de componen es p incipales ción, como allí se anunció, de o o abajo apa ecido en es a misma e is a con el i ulo de La +ologia en Sociologia, nas allá de la simple axonomia: concep ualización y cálcul2, con is as a la es a i icación y ipi icación del uni e s0 de 10s indi iduos. Po el10 el p esen e a iculo es a ia incomple o si no se siguie a de un e ce o, que apa ece á en p óximos núme os, sob e dicha es a i icación. Después de una in oducción sob e la de inición, obje i os y modelo de análisis inhe en e al mé odo (I), se a a án sucesi amen e: la Elección del campo de las a iables (2) y el P oceso de allado del ACP (3). 1. DEFINICI~N, OBJETIVOS Y MODELO DE ANALISIS EN ACP El ACP es un mé odo algeb aicoles adis ~ico que a a de sin e iza y da una es uc u a a la in o mación con enida en una ma iz de da os. El p o- cedimien o consis e en homologa dicha ma iz a un espacio ec o ial a- ando de encon a en él unos ejes o dimensiones que, siendo combinación lineal de las a iables in oducidas, - no pie dan la in o mación inicial al conse a la a ianza o al, - no engan co elación en e ellos, es o es, sean linealmen e indepen- dien es, 10 que asegu a la es uc u ación de las a iables iniciales, - engan una impo ancia di e encial y conocida en la explicación de la a ianza o al. Realizadas es as exigencias, el obje i o biisico consis e en educi el nú- me o de a iables in oducidas. Pa a el10 se oman como nue as a iables 10s ejes o componen es hallados, eligiendo u:n núme o y peso de 10s mismos su icien e pa a que la pé dida de a ianza o al sea s610 la con enien e, lle- nando así las inalidades del m odo, es o es, 1a.s de simpli ica , educi y es- uc u a la in o mación inicial. Pa a el sociólogo el análisis ni empieza po el a amien o desc i 0 ni se acaba en 61. P e iamen e hab á de de ini las a iables que en an en juego en el análisis, alida las y segu amen e hab á p opues o un modelo, aunque sea elemen al, de hipó esis., desc ip i as o expl.ica i as, que dé cuen a de la p oblemá ica conside ada. Simul ánea y pos :e io men e al p oceso hab á de 2. Loza es, C. ({La ipologia en Sociologia, mas a116 de la simple axonomia: concep ua- lización y cálculon en Pape s. Re is a de Sociologid, 34, Edicions 62, UAB, Ba celona, 1990, pp. 139-164. ((Pape sa: Re is a de Sociologia ene c i e ios es adis icos pe o sob e odo sociológicos, pa a elegi el núme o de ejes y undamen almen e pa a da iden idad a 10s mismos, así como pa a in e p e a y p opone una es uc u a del conjun 0 de las a iables y de las elaciones o ag upaciones en e ellas. A es e mé odo se acos umb a a clasi ica lo en e 10s desc ip i os. Nues o pun o de is a no es exac amen e es e. El mé odo, y su écnica co espon- dien e, pe mi e i mis allá y llena o as inalidades que las que se de i an de la na u aleza empi is a y de ango meno y subsidia i0 que, como ni el de análisis, es habi ualmen e a ibuido a es e mé odo. Con odo somos de la opinión de que es a écnica es un alioso complemen o a o as mul i a- iables. Veamos pues alguno de 10s e ec os de dicho análisis, no odos ellos pues- os en e idencia en es e a iculo aunque han sido llenados en o as in es i- gaciones pa alelas. La u ilización del mé odo llena, sob e odo si es p e io a la es a i icación que conlle a la cons ucción de una mues a como es el caso, di e sas ina- lidades de in e és: a) Reduci el espacio al y como se ha anunciado. De las a iables in oducidas en el mé odo se e end án unas combina- ciones lineales de las mismas sal ando en ellas las pun uaciones de 10s indi- iduos (secciones censales en nues o caso). 6) Eliminación de la in o mación edundan e. De las a iables in oducidas en es e análisis se disminuye la epe cusión que en el cálculo de mues a iene la edundancia in o ma i a pues no se iene en cuen a la acumulación de co a ianza de las a iables p imi i as en- e si. C) Cap a en 10s nue os ejes pa e de la a ianza o al. El e ec o mis decisi o consis e en que siendo dichos ejes linealmen e in- dependien es y 10s que más acumulan la a ianza del campo de a iables in- oducido y en el g ado decidido po el sociólogo, se asegu a doblemen e: - la inco elación en e es as dimensiones, 10 que e a una condición de- cisi a de las es ablecidas en el apa ado p ime o, - el máximo pode disc iminan e es ablecido además je á quicamen e según dichos ejes: la es a i icación sald á asi bene iciada. El a ~álisis de componen es p incipales d) Los ejes ac o iales p o een ambién de una iple en aja: - po un lado es uc u an la ealidad in oducida, que es la única exis- en e en 10s da os disponibles. - po o o, que aunque las a iables in oducidas en el análisis ac o ial es én elegidas como iden i ica i as o explica i as de las que se u ilicen en la encues a, el mC odo puede a es a nos sob e la alidez de la elec- ción. - además, y a pos e io i, es os ejes gua da án un pode ex ao dina i0 a la ho a de alida p ecisamen e a iables impo an es de la misma encues a pues o que, en el caso examinado, se a a de a iables cen- sales. El ACP apa ece como un complemen o ~aecesa io a o as écnicas de ca- ego ización de indi iduos ya que su lógica p ecisamen e es la de ag upa a- iables. El modelo ma emá ico que es á en la base del mé odo descansa sob e es pi o es. I) El p ime 0 consis e en el a amien o de la ma iz de da os (E,. x X ) ' j como si ue a un espacio ec o ial euclideo de p a iables, an as como a- iables X.j (j=1,2, ...p) exis an. En dicho espacio 10s indi iduos, en idades o unidades son posiciones pun uales Ei. (i=1,2, ... n). Dichos pun os o man una nube Nnp. Es e conjun 0 de a iables engend a pues un espacio ec o ial del que, a pa i de una mé ica euclidea, se a ae su base o ac o es. Asi pues las ope aciones y sus p opiedades de inidas en el espacio ec o ial son de apli- cación en el p esupues o adop ado. 2) El mé odo de maximización de la a ianza, como condición pa a de- e mina cada uno de 10s ejes, se ealiza haciendo que cada uno, g adual y p og esi amen e, aya conceniendo o p oyec ando sob e él el máximo de la ine cia de odos 10s pun os/posición una e:c de inida la mé ica. 3) El modelo básico de dependencia en la de inición de 10s ejes, en las condiciones dadas, es un modelo lineal, unda nen al a la ho a misma de ha- lla la base del sis ema ec o ial como dimensiones linealmen e independien- es. A su ez en la exp esión de las a iables p imi i as en unción de 10s ejes a a és de la ma iz de sa u ación se ep oduce la dependencia lineal al, ((Pape s)): Re is a de Sociologia donde X, ma iz (nxp) de da os inicial de UnidadesIVa iables. Y, ma iz (nxp 6 m si hay educción con m<p) de UnidadeslEjes. A, ma iz (pxp 6 m si hay educción con m<p) de Va iablesIEjes que e idencia el modelo lineal comen ado. 1.4. EL ACP DENTRO DE LOS ANALISIS FACTORIALES La exp esión X=YA' es cla e a la ho a de di e encia el mé odo aquí p o- pues o de o os ac o iales. Conc e amen e: - El Análisis de Componen es P incipales (ACP). En la de inición de las componen es Y in e iene el conjun 0 de las a iables X con ibu- yendo cada una en su o alidad, sin di e encia en cada a iable una pa e común y o a especí ica que no in e enga en la c eación de 10s ejes. Idén icamen e pa a da cuen a de cada a iable no se supone la exis encia de una pa e de la misma explicada po la comunalidad conjun a de las a iables y o a pa e inexplicada po ella, o sea es- peci ica de la a iable. Todas las a iables con ibuyen a da cuen a de odas. - El Análisis Fac o ial Conj ma o io (AFC) en el que se ealiza una hi- pó esis y dis inción en e la pa e con que cada a iable, y cuáles en e ellas po consiguien e, con ibuye a la c eación de la explicación co- mún y en consecuencia a gene a 10s ejes y la pa e especi ica no ex- plicada po la o alidad, según modelo o dise io p e io. - El Análisis de Co espondencim Múl iples (ACM) que pa iendo de una mé ica de inida en la ma iz de pa ida -sea de con ingencia, sea 16- gica o bien cuan i a i a- abaja equi alen emen e en 10s dos espacios, el de las a iables como dimensiones con nubes de unidades como pun os o en el de 10s indi iduos como dimensiones con nubes de a- iables como pun os, consiguiendo una sola p oyección de las a ia- bles/indi iduos en un espacio de componen es únicas. La ecundidad de al écnica pa a el análisis en sociologia pa ece e iden e. 1.5. LA CLASIFICACION DEL ACP Aunque no se a e de algo undamen al, pues sob e odo a ec a a la ma- nipulación de 10s da os iniciales, con iene da cuen a de alguna de las cla- si icaciones que apa ecen en la li e a u a, si bien se e ie en solamen e a la na u aleza de las a iables pues as en juego al inicio del análisis: El an álisis de componen es p incipales - El ACP Canónico en el que a odas las a iables se da el mismo peso en la de inición de la mé ica, exp esándose al mismo iempo en la misma unidad; el c i e i0 adop ado pa a la misma es, - El ACP No mado en el que las a iables no in e ienen con igual peso en la mé ica adop a.da pues o que, aunque se exp esen en la misma unidad, al di idi cada a iable po su módulo, su a iabilidad es di- e en e. En la exp esión de la mé ica an e io siendo las a. di e en es con a.= 115 J. J po consiguien e la mé ica queda, - El ACP sob e Va iables Reducidas en el que las a iables son p e ia- men e cen adas y es anda izadas 10 que pe mi i á abaja sob e la ma iz de co elaciones en luga de la ma iz de a ianza/co a ianza; po 10 demás es la ans o mación con la que habi ualmen e se abaja. En es as páginas se ep oduci án básica nen e 10s esul ados que o ece el paque e es adís ic0 SPSSC', con algunos co nen a ios adicionales que a- cili en su lec u a e in e p e ación. El p og ama que hemos u ilizado pa a lle a a cabo el análisis ecoge las siguien es ins ucciones: FACTOR VARIABLES=Pl TO P23 /ANALYSIS=Pl,P2,P4,PG TO P9,Pl l,P12,P14,P15 TO P20,P23 /FORMAT=SORT /PFUNT=ALL ICFUTERIA=FACTORS(4) /EXTRACTION=PC c<Pape s)): Re is a de Sociologia IROTATION=NOROTATE IPLOT=EIGEN ROTATION (1 2) (1,3) (23) (1,4) (3,4) /ROTATION=VARIMAX /PLOT=EIGEN ROTATION (1,2) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4) (3,4) /SAVE=REG (ALL FSC) 2. ELECCI~N DEL CAMPO DE LAS VARlABLES Las a iables de inen el campo de la p oblemá ica de la in es igación. Po consiguien e se supone que exis e una elección p e ia de las mismas según la pe inencia con elación al obje o in es igado. Apa e de es a p ime a exigencia sob e las a iables p e iamen e consi- de adas se ha de ealiza , si es el caso, una segunda pesquisa pa a decidi la con eniencia de lle a a cabo el ACP, - po un lado, si las a iables ue an mani ies amen e independien es, 10 que ha ia inú il el análisis: es di ícil ap io i sabe si se cumple es a condición pues es p ecisamen e 10 que se busca; de odas mane as exis en índices que, en cie o g ado, nos asegu an de al con enien- cia o no. - po o o, y es 10 mis habi ual, dicha pesquisa es impo an e a in de lle a a cabo una segunda depu ación de a iables pa a elimina las in o maciones edundan es al se en e ellas combinación lineal. La población obje o del ACP es la de 10s indi iduos mayo es de 18 aiíos de la Regió Ien la di isión e i o ial de Ca alunya. Se a a de una mues a de indi iduos y no de unidades amilia es. El núme o es de 3.177.765 pe - sonas. La ex ensión geog á ica de dicha población co esponde a las coma cas del Ba celon s, Ma esme, Vall s O ien al, Valles Occiden al y Baix Llob ega , zona que concen a 10s 213 de la población de Ca alunya. Los municipios co espondien es son en núme o de 250. La base de sondeo inicial o base de sondeolma iz es el Pad d d'Habi an s del aiío 1986, a chi o del que se han ob enido 10s da os de las a iableslc i- e io ag egadas en secciones censales. Asi pues la unidad elemen al a es a- i ica no son 10s indi iduos del pad ón sino la ag egación de és os en sec- El an ilisis de componen es p incipales TABLA 1 Media, des iación y desc ipci6n de las a iables u ilizadas en la mues a e:s wa i icada Va iable Media Des iacidn Desc ipci6n Jó enes de menos de 15 aiíos Viejas mayo es de 65 aiíos ndic:e en ejecimien o 651 15 In nig ación ue a Ca alunya Ex anje os Nue os esiden es municipi0 8 1-86 Anal abe os mayo es de 10 años Ti ulados medio-supe io es >20 aiíos Escol a ización 14-24 aiíos Escol a ización 2-5 aiíos Pa aclos an es ocupados Pa o busca p ime abajo Pa o o al Muje: es ac i as mayo es de 15 aiíos P o esiones al as P o esiones bajas Te ci a i0 medio/come cio/hos ele ía Te cia io al ol inanzas Ag opecua io Vehiculo p i ado abajo Vehiculo p i ado es udio Vehiculo p i ado abajo-es udio Pob1:dón Sección Censall Pob1;~ciÓn SecciÓnlMunicipio * Va iables u iiiidas en la ac o ializaci6n ciones censales que alcanzm el núme o de 3.509 ex endidas en el á ea geo- g á ka mencionada. En cuan o a las a iables u ilizadas en p ime a ins ancia como c i e i0 pa a la cons ucción de la nues a es a i icada se han enido en cuen a di- e en es componen es. En la Tabla 1 las a iables se exp esan en po cen ajes de población de la sección censal que posee las ca ac e ís icas mencionadas sob e la población o al de la sección censal.. Como se obse a las a iables ex aídas son de di e en es ipos, al y como apa ece en la Tabla 1: poblacionales, cul u al.-educa i as, ocupacionales, ca- cd'ape s)): Re is a de Sociologia Rep esen ación g i ica de 10s alo es p opios de 10s ac o es esul an es del ACP FACTORES El análisis de componen es p incipales como se e á pos e io men e, 10s ejes hallados inicialmen e su i án o acio- nes con 10 que cambia án las pa es co esponiaien es de explicación de cada uno si bien el po cen aje o al de a ianza explicado, 71.2 %, queda inal e- able pa a el conjun 0 de 10s cua o ejes, que se án 10s inalmen e e enidos. Los pun os de la nube, secciones censales en el caso analizado, end án 'o a p oyección o componen es sob e 10s nue os ejes. De aquí p ecisamen e la exp esión de componen es a 10s ejes ac o iales. La exp esión ma emá ica de dichas com:ponen es iene dada po pa a una unidad i, en la componen e K, Yik = Xi.U., pa a una unidad i, en componen1:e gen ica, Yi. = Xi.U pa a componen e k, en unidad genhica, Y., = X.U., Una ez educidas las a iables a un núme o conside ablemen e in e io de ac o es es posible calcula las pun uaciones ac o iales pa a cada caso, indi iduo o unidad conside ada. El in e ds de dichas componen es no es necesa iamen e inmedia o den o del p oceso del ACP, en pa icula si las unidades ep esen adas son in e cambiables y po consiguien e no cuali i- cadas o ~i~ni ica i as en an o que en idades o ca ego ias sociológicas. Los ac o es, como nue as a iables que son, end án un alo conc e o pa a cada indi iduo que pod án se eu ilizados pos e io men e en o os ipos de análisis. Es as componen es quedan gua dadas y pueden ecupe a se en an o que ma iz esi uando asi 10s indi iduos en el nue o espacio. Con- c e amen e en el caso analizado dichas componen es, pa a 10s cua o ejes mencionados, ue on las a iables u ilizadas pa a ealiza el análisis de clus e con is as a cons i ui 10s es a os de población homogéneos de donde ex- ae una mues a alea o ia. La ma iz que nos pe mi e ob ene es as pun- uaciones a pa i de la ma iz de da os o iginal apa ece a con inuación. Se ep oduce en la Tabla 4. In e esa encon a la elación que las a ialbles p imi i as ienen con las componen es. Dicha elación pe mi e cubi:i a ios obje i os simul ánea- men e: c Pape s)): Re is a de Sociologia TABLA 4 Ma iz de coe icien es de las pun uaciones ac o iales Fac o 1 F~c o 2 Fac o 3 Fac o 4 a) ecompone las a iables o iginales en 10s nue os ejes 10 que nos mos- a á la es uc u a del p ime espacio de a ibu os, y b) da iden idad a las componen es. Pe o an es p ocede emos po pasos pa a mejo llena es os obje i os i- nales. 3.4. I. La co elación de las a iables con Las componen es, coe icien es y ma iz de sa u aciones. La exp esión de las componen es en unción de las a iables iniciales es á dada po la exp esión, El andli,sis de componen es p incipales donde la Yo es la Y p eceden e que es á sin es anda iza . Realizando la ans o nación Y=YoD-1'2 pa a es anda iza la Y se ob iene, con A=uD"~ y D ma iz diagonal de 10s alo es p opios. La A es una ma iz (pxm), o (pxp si no hay educción), y se denomina ma iz de sa u ación o ma iz ac o ial (Fac o Ma ix). A pa i de la elación X=YA' se ienen pa a si uaciones pa icula es: X.. I] = C Yik ajb. xi. = Y,, A' X.=YA'. .I I. En el caso p opues o se han elegido p e iamen e 4 ac o es. A pa i de es os cua o ac o es, 10s coe icien es que elacionan las a iables con és os apa ecen en la ma iz ac o ial. Cada ila con iene 10s coe icien es que ex- p esan la a iable es anda izada en é minos de 10s ac o es. Asi, po ejemplo, la a iable P 15 se puede exp esa como: P15 = .90640F, - .01627F2 - .1 2385F3 - .1 1479F4 Es os coe icien es son 10s llamados ac 0 e. de ca ga (Fac o Loading) y nos indican el peso que iene cada ac o en cada. una de las a iables. El conjun 0 de odos ellos o man la ma iz del modelo ac o ial (Fac o Pa e n Ma ix). Como 10s ac o es son o ogonales, no co el;acionados, 10s ac o es de ca ga, de hecho, son las co elaciones en e las a iables y 10s ac o es, y coincide con la denominada ma iz de la es uc u a ac o ial (Fac o S uc u e Ma ix), po eso apa ece i ulada a con inuación como ma iz ac o ial, englobando es a coincidencia. Los alo es a. de la ma. iz de sa u ación, o ambién de pesos, se in e - ~k p e an como 10s coe icien es de co elación e:n e cada una de las componen- es y las a iables o, 10 que es equi alen e, 10s cosenos del ángulo, o cosenos di ec o es, en e ambas a iables en el espacio en que 10s ejes son 10s indi- iduos y siemp e que las componen es es én es anda izadas. Dicha in e p e- ación nos da las pis as su icien es, como el emos más adelan e, pa a iden- i ica las componen es. En la Tabla 5 apa ece dicha ma iz eniendo en ho izon al las a iables y en e ical las componen es. c<Pape sn: Re is a de Sociologia TABLA 5 Ma iz ac o ial o de sa u aciones del ACP Fac o 1 Fac o 2 Fac o 3 Fac o 4 O a in e p e ación que se puede hace de es a ma iz es conside a a 10s ac o es de ca ga como 10s coe icien es esul an es de una ecuación de eg e- sión múl iple, donde la a iable o iginal se ia la a iable dependien e y 10s ac o es las independien es. Como és os es án inco elacionados, 10s coe i- cien es no depende án el uno del o o y ep esen a án la con ibución única de cada ac o o la co elación en e ambos, ac o y a iable. De es a o ma podemos calcula la p opo ción de a ianza de cada a iable explicada po el modelo de 4 ac o es, que se á la suma de la p opo ción de a ianza ex- plicada po cada ac o . Po ejemplo, si conside amos la an e io a iable P15 la a ianza explicada po 10s 4 ac o es se á: h2 = (.90640)~ + (-.01627)~ + (-.12385)~ + (-.I 1479)~ = = .8215609 + .O0026 + .O153388 + .O131767 = = .Ei5034 El a ~ál!isis de componen es p incipales que se denomina á comunalidad, ai y con0 la de ini emos en el apa ado siguien e. Se puede comp oba que la exp esión, h, = F, a".l pa a el ac o I y en !gene al 1 nos da 10s alo es p opios o a ianza explicadia po cada componen e en un- ción de 10s coe icien es de sa u ación. Dichos alo es coinciden con 10s p i- mi i os mien as no se ealice o ación de 10s ejes. El in e és mayo de la ma iz de sa u acisones es iba, a pa i del signi- icado de sus coe icien es, en que puede in e p e a se como un nue o es- pacio ec o ial en el que las a iables p imi i as son pun os en las cua o dimensiones elegidas. La p oximidad a uno de 10s ejes de una de las a ia- bles signi ica á la g an co elación posi i a (o nega i a) de la a iable con dicho eje. La p oximidad en e a iables indica á la co elación posi i a en- e ellas en el espacio de las cua o dimensiones, o de o as dimensiones o- madas si es el caso. Es as e lexiones dan c i e ios sencillos pa a la in e p e- ación de 10s ejes. La exp esión y de inición de la comunalidad pa a la a iable j es la si- guien e: Como se obse a el suma o io se ex iende a odas las componen es, an as como a iables iniciaies. Se demues a que al suma o io coincide con el in- dice de co elación de cada a iable consigo misma, es o es, con 1. Geomé- icamen e se in e p e a como la longi ud de dicho ec o o a iable en el espacio de las componen es. Tomadas odas las componen es, sin educcio- nes, la comunalidad de cada a iable es la misma e igual a 1, y pone de ma- ni ies o el hecho de que odas in e ienen cccomunmen e,) en la es uc u a- ción de la o alidad o con ibuyen igualmen e a la ine cia o al: apa ecen en la Tabla 2 como comunalidades iniciales. En el10 se di e encia el ACP de o os ac o iales, po ejemplo el con i ma o io. En es e úl imo la comuna- lidad inicial no es idén ica pa a odas las a iables pues o que se pa e de hi- pó esis p e ias en las que la pa e común de cada a iable que in e iene en la explicación de la o alidad, y po an o su pa e especi ica, es di e en e. ((Pape s)): Re is a de Sociologia Es adis icos inales de comunalidad y alo es p opios de las a iables u ilizadas en el ACP Valo % de % Va iable Comunalidad * Fac o p opio Va ianza Acumulado En el caso de educción de componen es, que es el in pe seguido, el su- ma o i~ se ex iende solamen e a 10s ejes omados 10 que da como exp esión, siendo en nues o caso m=4. La Tabla 6 mues a dichas comunalidades, siendo la in ep e ación iddn- ica a la an e io pe o aho a sob e un espacio de cua o ejes: cada alo es la exp esión de la longi ud ai cuad ado de la a iable en el espacio de las com- ponen es, aho a 4,lo que es equi alen e a a i ma que la comunalidad es la pa e con que el conjun 0 de 10s cua o ejes con ibuye a la a ianza de dicha a iable o, y es 10 mis in e esan e desde el pun o de is a de la in e p e ación, es la pa e de la con ibución de dicha a iable a es uc u a el sis ema de El análisis de componen es p incipales 10s cua o ejes. Po consiguien e comunalidades al as se án in e esan es en el sen ido de que iene impo ancia en la ccc eaciónw de 10s cua o ejes in- dependien emen e de que puedan ene lo en alguno en pa icula . Dichas a iables es a án alejadas en la ep esen acibn del cen o de la misma. Va- iables con comunalidad baja con ibuyen poco a la o mación del sis ema o a es uc u a el espacio, 10 que signi ica que son a iables que con ibuyen poc0 a dispe sa la nube de pun os: se si ua án en pun os p óximos al cen o de masas del sis ema, con a iamen e a las p ime as que in e ienen ue e- men e en la dispe sión de la población. La o ación de 10s ejes no a ec a á a la co nunalidad de cada a iable con elación a las cua o componen es que se o nan. Po el10 las e lexiones que se hacen aquí con inua án siendo álidas una ez o ados 10s ejes iniciales po el p ocedimien o a imax. La mayo pa e de las a iables con ibuyen ue emen e a la c eación de 10s ac o es elegidos. Solamen e una de ellas, la P16, iene una co nunalidad in e io a 0.50, conc e amen e 0.43, encon dndose 11 con una comunalidad supe io a 0.70,lo que ya se suponia al analxza las di e en es co elaciones. Po ejemplo, las a iables que más comunalidad ienen, P15, P2, P1, P8, P9 ( odas ellas con comunalidad supe io a 0.80) son en e las que mis co e- lación ienen en e si. El obje i o úl imo del ACP es, como an e io men e se indicaba, doble: p ime o, ecompone las a iables o iginales en 10s nue os ejes 10 que mos- a á la es uc u a del p ime espacio de a ibu os y, segundo, in e p e a las componen es, es o es, da ca a de iden idad a la es uc u a eme gida. 3.5.1. La o ación de los ejes La in e p e ación puede hace se a pa i del análisis de la Tabla 5 p ece- den e, pe o habi ualmen e la ex acción inicial de 10s ac o es no nos pe mi e iden i ica con oda cla idad la elación o el modelo subyacen e que se es- ablece en e 10s ac o es y las a iables. Con el obje o de e idencia es a e- lación se p ocede a la llamada o ación de 10s ac o es que consis e en una ans o mación de la ma iz ac o ial o iginal en o a más simple que adecúa mejo 10s ejes al ap oxima los a las a iables co elacionadas. Facili ando la in e p e ación de la es uc u a de 10s da os no se al e a la bondad de ajus e de la solución ac o ial, las comunalidades y 10s po cen ajes de a ianza ex- plicada se m2n ienen inal e ados, simplemen e se edis ibuye la a ianza ex- plicada en e 10s ac o es. ((Pape s)): Re is a de Sociologia Los p ocedimien os empleados son de dos ipos: a) La o ación ec angula La o ación se e ec úa haciendo que 10s ejes pe manezcan pe pendicu- la es. Dicha ans o mación, al conse a las dis ancias, deja inal e able la comunalidad de cada a iable 10 que hace que las in e p e aciones encon- ada~ a pa i de ellas sean las mismas. No asi el alo p opio de cada com- ponen e, siendo di e en e su impo ancia ela i a en la explicación de la a- ianza o al. Hay que eco da que las o aciones son mis u ilizadas pa a análisis ac- o iales con i ma o ios, pues pa a es os análisis ue on ideadas, pe o es ya p ác ica habi ual u iliza las ambién pa a el ACP, en pa icula la écnica de- nominada Va imax. T es son, a su ez, 10s p ocedimien os u ilizados en o ación ec angula : unos con mis in e és que o os desde el pun o de is a del ACP. a. 1) Va imax: Es la écnica comunmen e usada y 10 es en es e es udio. Minimiza el nú- me o de a iables que ienen un ac o o componen e de sa u ación sob e una a iable, acen uando 10s que 10 ienen más ele ado. Las componen es quedan más limpias al ene sob e ellas las a iables que nás peso ienen, eli- minando sob e dicha componen e las in e medias. La exp esión a maximiza es, pa a un eje: P pa a el conjun o, V = C V(Y.k) . . donde aZo es la media de las aZjk del conjun o de alo es j= 1,. . . ,p. a.2) Qua imax Es una écnica que minimiza el núme o de ac o es que co esponden a una a iable. Se a a de que cada a iable se p oyec e al máximo sob e ac- o es o componen es di e en es, den o e iden emen e de 10s limi es del mé- odo. La lógica de la educción buscada en un anáIisis básicamen e explo- a o io no a en es a di ección. El supues o más adecuado pa a su aplicación consis i ia en que las a iables in oducidas poseye an de e minados g ados de independencia supues a. El an.álisis de componen es p incipales La exp esión a maximiza es, pa a un eje: pa a el conjun o Q = E V(Y..) k= 1 J donde es la media de las a2jk del conjun o de alo es k=l, ..., m. a.3) Equimax, biqua imax, e c. Se a a de una combinación de las dos écnicas p eceden es. La exp esión a maximiza es: donde 10s alo es de a,G son di e en es segd.n la écnica. 6) La o ación oblicua. Los ejes o ados a pa i de 10s p ime os ac o es no conse an la o o- gonalidad, 10 que iene como consecuencia que ampoc0 conse en la co- munalidad de cada a iable, y desde luego ompe con uno de 10s obje i os que consis e en busca la inco elación de 10s ejes. La écnica es mis ú il y u ilizada con modelos p e ios, es o es con anhlisis ac o iales con i ma o ios, po el10 no insis imos. E iden emen e an o pa a ene una idea de la en e gadu a de la o ación ealizada, como pa a sabe en qué se han ans o mado 10s alo es p opios o la pa e explicada de cada eje, in e esa conoce la p oyección de 10s ac o es o componen es p imi i os sob e 10s ac o es o ados es deci , la ma iz de ans o mación en e ellos al y como apa ece en la Tabla 7. 3.5.2. La ma iz de sa zl aciones y 10s pesos de cada componen e en /os ejes o ados La Tabla 8 mues a la ma iz de sa u aciones pa a las componen es o- adas según el p ocedimien o a imax. Apa ecen además 10s coe icien es dis- ibuidos en g upo según el o den de impo ancia en cada uno de 10s ejes, pa a acili a la in e p e ación. Como se ha anunciado an e io men e la o ación a imax edis ibuye di- e en emen e la a ianza en e 10s ejes aunque la can idad global de 10s cua o quede in a ian e e igual a 12.1 siendo el po cen aje acumulado de 71.2%. c<Pape sn: Re is a de Sociologia Asi sob e el p ime o apa ecen cla amen e a iables como: - nue os esiden es enidos a la sección en e 10s aiios 81-86, - muje es ac i as de más de 15 a ios, - jó enes (aunque ambién con p oyección sob e el segundo eje) y, sob e el o o, aunque mis di usas, - pa ados an es ocupados (aunque con p oyección impo an e sob e el p ime o y el segundo de 10s ejes), - mayo es en edad (aunque con epe cusión impo an e en el segundo eje). Se a a de una dimensión que indica: La sedimen ación-dinamismo po blacional/ esidencial, ligada a la ac i idad de la muje y al Índice ocupacional. A pa i del cue po de a iables elegidas la es uc u a que se nos apa ece como esul ado de la dimensionalización de la ealidad de la Regió Me o- poli ana de Ba celona es la de una población a a esada básicamen e po la: CATEGORIA SOCIAL ENTENDIDA EN SENTIDO AMPLIO (CATEGOR~AS PROFESIONALES + NI- VELES EDUCATIVOS+ ORIGEN+ OCUPACI6N) EDAD CON LAS CONSECUENCIAS SOBRE ASPECTOS DE DINAMISMO PROFESIONAL LA METROPOLIZACION MOVILIDAD GEOGRÁFICA Y OCUPACIONAL. COMENTARIOS FINALES El obje i o de es e a iculo se cen aba en da cuen a de uno de 10s mé- odos mul i a iables que en nues a opinión ienen g an impo ancia y u i- lidad en el análisis sociológico, a pa i de un ejemplo y sin ca ga las in as en 10s aspec os exclusi amen e ma emá icos y écnicos. Pensamos que con el ni el de explicación dado se á su icien e pa a que puedan se comp en- didas po el p o ano las lineas básicas de es a écnica. En la selección biblio- g á ica que apa ece al inal de la e is a se incluyen lib os gene ales y de ca- ác e especi ico que desa ollan es e mé odo ac o ial. O o de 10s obje i os que nos plan eábamos consis ia en la u ilización de da os secunda ios p o enien es de o as uen es que la de la encues a a in de mejo alida la y dise ia la. Aunque es a écnica ha sido u ilizada o man- do pa e de un p oceso pa a cons ui la mues a es a i icada, 10s esul ados El análisis de componen es p incipales nos han sido y se án p eciosos, po un lado, como es udio en si mismo que pe mi e el conocimien o del e i o io desde su ca ac e ización social, mos- ándose asimismo como ejemplo de análisis de da os secunda ios que a más allá de 10 que las es adis icas o iciales p ocul-an, y, po o o, pa a con as a y alida 10s esul ados que: se ob engan de la Enques a Me opoZi ana'90 asi como o as posibles cons ucciones de a iables sob e las que la es uc u a aqui p esen ada ac ua i de impo an e e e en e. Es e a iculo es a ia incomple o si, a pa i de 10s esul ados aqui ob e- nidos, no a á amos de es a i ica la población iden i icando una ipologia poblacional, en el sen ido de que además de ca ego iza la la si úe en la es- uc u a del campo de las a iables que la de inen, pe mi iéndonos ob ene unas zonas sociológicas en el e i o io que ayan mis allá de las di isiones geog á icas y adminis a i as. Dicha ipi icación apa ece á en un p óximo a iculo.