Àlgebres quasi hilbertianes
Abstract
Pla Carreras, Josep; Verdú Solans, Ventura
Full text
Pub
.
Ma
.
UAB
N°
20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
ÁLGEBRES
QUASI
HILBERTIANES
Josep
Pla
Ca e as,
Ven u a
Ve d i
Solans
Facul a
de
Ma ema iques
Uni e si a
de
Ba celona
Abs ac
:
In
his
pape we s udy
he
algeb as
ob ained
by ha ing
he
deduc ion
heo em
on
he
se s
o
wo
elemen s,
calling
hem
Q
.H
.-algeb as
.Adding
o
hem
he
FREGE'S
law,
we
ob ain
a Hilbe algeb a
;
adding
o
hem
helaw
(x .y) .y =
(y
.x) .x,
we
ob ain
hái
hay
o m
a
a ie y
;
suposing
he
exis ence
o
a
leas elemen o
he
la e£
,
we
ob ainan
o ola ice
wichgi es
a boolean
algeb aon an
o omodula
la ice,
acco -
ding
o
he
na u eo
implica ion
classicalo s ong
Una
álgeb a
QUASI-HILBERTIANA(QH
álgeb ajés
una
e na
Immedia amen
dedulm
que
x
.u
=
u
pe
o
x
ES
.
S"es ableix
ambé
ácilmen
que
i)
x
.y =
u i y
.x
=
u implica
x .y =
u
;
ii)
x
.y =
u
implica
(y
.z)
.(x
.z)
=
u
i
(z
.x)
.(z
.y)=u-
iii)
x
.(x
.y)
.
=
x
.y
;
i )
x
.(y
.z)
=
u
implica
y
.(x
.z)
=
u
;
)
x
.
[ (x
.
y)
y
3
=
u
(S,
.,u)
.
,
on
S
al
que,pe
o
1
0 i
és
una
ope ació
en
S
i u
E
S
x,y,z,
E
S
enim
QH
.l
.
x
.x
=
u
QH
.2
.
x
.y
=
u i y
.x
=
u
implicax
=
y
;
QH
.3
.
u
.x
=
x
;
QH
.4
.
x(yM
=
u
;
QH
.5
.
x
.(y
.z)=
u
implica
x
.
.(y
. )
=
u
.
x
.(y
.(z ))
=
u
Donada
una
QH-algeb aconside em
el
sis ema
.
cla~usu a
associa
=
a
T
S
:
ue,T
i
(x.y
gT
i
x
F-T)
implica
y&-T
1
i
designem
pe
C
!'ope ado
conseqüeücia
associa
.
Alesho es enim
:
TEOREMA
1
.
Una
e na
(S,
.,u)
és
una
QH
álgeb a
si,
i
nomás
si,
exsi eixun
ope ado
conseqüencia
a bi a ¡
en
S
al
que,
pe
o
X
GS
i
o
0<
Q
S
,
ca da)
_41
i
o
x,y
Q
S,
sa is á
:
A
1
.
M
.P
:
x
.yeC(X)
implica
y C(X,x)
A
2
.
T
.de
la
deducció
:
y
E
C(*<
,x)
implica
x,
y1C(O<
A
3
.
C(x)
=
C(y)
implica
x=y
.
Aques
esul a
gene ali za
la
ca ac e i zació
de
les
álgeb es
de
Hilbe
-
ia
T
.
de
la
deducció
de
ipus
2
i
les
álgeb es
de
ipus1- ia
T
.
de
la
deducció
de
i-
pus
0
.[
V
.Ve dú
119801
TEOREMA
2
.
En o a
QH
álgeb a
les
condicions
següen s
son
equi alen s
:
H
1
.
(x
.(y
.z)I
.
(x
.y)
.(x
.z)1
=
u
;
H
2
.
x
.(y
.z)1
.
[y
.(x
.z)
1
=
u
;
H
3
.
(x .y)
.
[(y
.z) .(x
.z)]
=
u
;
H
4
.
(S,
.,u) és
una
álgeb a
de
Hilbe
.
o
equi alen men ,
-
C
sa is áAl,A3
i
A2
amb
ca d
(e )
2
Anomenem
a a
QH
álgeb a
de
Sales
una
QH
álgeb a
alque
(x .y) .y
=
(y
.x)
.x
,
pe o
x
.y
ES
98
Hom
cons a a ácilmen
que
x
y
=
(x .y) .y =
sup
(x .y)
i
pe
an , o aQH
álgeb a
de
Sales
is
sup a- e icle
.
Les
QH
álgeb es
de
Sales
cons i ueixen
una
VARIETAT
;
i .e
:
sónequacionalmen
de inibles
.
Si
les
QH-álgeb es
de Sales
enenmínim
0
ind em
una
ne-
gació
en
(S,u
;0)
x' =
X
.0
Hom
cons a a
que
(S,
^,
;,)
és
un
o o- e icle
.
En aques
cas,
si
x
.y
=
x'V
y
,
alesho es
.
és la
implicació
eblede
1"o o e icle
[c
.Cignoli
[1977
-
)
1
i
pe
an ,(S,
í ,
,')
és
una
álgeb a
de
Boole
.
Si
x
.
y
=
x
,¿+y
alesho es
(
c
.
o
ci
.1
(S,
n
,
,
`)
és
un eicle
o omodula
.
Bibliog a ia
:
CIGNOLI,R
.
"Deduc i eSys ems
and
Congmence
Rela-
ionsin
O ola ices"
.
in
Ma h
.Logic,
P oc
.
o
hé
i s
b azilian
con e ence
.
1977
.
VERDU,V
"Lógiques
abs ac es
i
es uc u es
al-
geb aiquesassociades"
.
Cu s
de
Doc o-
a
.
1980
.