Sobre ciertas expresiones de la funcion rango, independientes de la teoria de ordinales

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL SOBRE CIERTAS EXPRESIONES DE LA FUNCION RANGO, INDEPENDIENTES DE LA TEORIA DE ORDINALES Ma io de J . Pé ez-Jiménez Facul ad de Ma emá icas Uni e sidad de Ba celona In he o esen wo k we ob ain se e al ep esen a ions o he ank unc- ion associa ed Lo a well ounded ela ion in e ms o ansi i a and supe ansi i e closu es,by meanso ans ini e ecu sion heo ems con- ce ning hese ela ions and wi h no use o o dinals heo y . Mo eo e , speci ical ep esen a ions a e ob ained o he o dina y ank unc ion in ce ain ansi i e classes . No ación : Rep esen a emospo J, laclase uni e sal, po C la clase de los núme os o dinales y po ~`la g á ica acía .Si R es una elación bien c undamen ada sob e una clase A en onces no a emos po K la ex ensión ansi i a de R,,po S(x)el R-segmen o inicial de ex emo XEA y po M R (A) la clase de los elemen os R-minimales de A .Si A es una clase no a emos po A y A, espec i amen e,las clausu as ansi i a y supe ansi i a de A ; po A el in e io ansi i o de A ; po E . p la es icción a A de la  4- - elación ;  po (&)=S~(a .) (aeA) ;y po A + la clase siguien e de A A bA Teo ema 1 Si A es una clase y R es una elación bien undamen ada sob e A en onces exis eunaúnicag á ica uncional PA de A en lp . al que i) dom  pÁ -_ q ; ü) ldx) (xe M R (A) ~  ppa (XJ . O)  ; Y üi) (dx) (xE%~-MR(A : ~ Y .,9(x) - y ~( x)CpAl )J ~ . Además,en al si uación (~ x)(xEA :* p R lx)e 'F~) Y ( ec~ esuna clase o dinal) . A  A demos ación :La exis encia y unicidad de pa esul a de la aplicación del A eo ema de ecu encia ans ini a a la R-g á ica de ecu encia H de A 8 7 en l£ de inida así : H(O`) = 0 y si XEA y H(F) - U EF( )J } . /E5(K) Finalmen e , po R-inducción ans ini a se es ablece que (1yx)(xéA T(AR(x) )) Y que T( ec ~ ) De inición :Bajo lanomencla u a del eo ema 1,lag á ica PR se denomina A unción angosob e A asociada a R .Si A =1Q y R = Em, en onces no a emos E  -- ank =  (es la unción angoo dina ia sob e la clase uni e sal) . u Co ola io :Si A es una clase en onces exis e unaúnicag á ica uncional iA  de A en 1 .( . al  que  :  i)  dom PA = A  ;  ii)  ( V x)(x 6MsA(A)  yA(x) = U)  y iii) ( x)(xc-A- M CA A)  ==>  YA cx>  -_  yLU A p A l )J +) . Además , en al si uación se e i ica l,-  p AIÁ  =  G" K I :n  Y  (Vx)(xEA  ank(x) = ec pA~x) 2.-  S~e  = Tan K  y  (yx)(xe1  ank(x) = ec 3 .- Si A es una clasep opia ansi i a en onces ec A 4 .- Si A es un conjun o ansi i o en onces  ec p = ank(A) . a demos ación : Aplíquese el eo ema 1 a R = 6A . 1.- gas a aplica R-inducción ans ini a sob e Á y ene p esen e que si  aeA  en onces  a /1 A=a . 3 .- Bas aobse a que si A es una clasep opia en onces (yx)(xe 8  (~y)(YEA ^ ank(Y) > x) . 4 .- gas a ene p esen e que ank(A) = x U [ ank(x)]  y T( ec~ A ) . Teo ema 2 Si A es una clase y R esuna elación bien undamen ada sob e A en onces exis e una únicag á ica uncional ÁR de A en l,L al que i) dom F AR = A  ; ii) (dx) (-E M R (A)  F'(x)= O)  ;  y (dx) (xeA-M Q (Q)  F A (x) _ ' U {F R C ) E ~(%) Además , en al si uación se e i ica FAR = p a . demos ación :La exis encia y unicidad de F R esul a de la aplicación del A eo ema de ecu encia ans ini a a laR-g á ica de ecu encia H de A y si x£A  y  FE  (Q(x)) ~)- ¿0'} en onces en de inida así : H( 0 ° ) = 0 88 F6~J(5~(x))(á .)' ~~'J enc3s H(F) yES Q (x) Finalmen e , po R-inducción ans ini a se es ablece que z -PA FA =JA . Co ola io :Si A es una clase en onces exis euna única g á ica uncional F A de A en  ÍJ  al  que  :  i)  dom  Á  = A ;  ii) (dx) (x e M EA (A) = ;P , F A (x) = 0)  y iii) (dx)(xcA-M EA (A) =3 1 , FA (x) Además , en al si uación se e i ica  F A  = pA Del co ola io an e io esul a que F ¢ . = ank ; en consecuencia (dx)(x E1 . =s ank(x) =  U { anKCy1}  ) ~- E x Teo ema 3 Si A es una clase y R es una elación bien undamen adasob e A en onces exis e unaúnicag á ica uncional G R A de A en  U al que i) dom G, p, = A  ;  ii)  (dx)(xe M R (A)  Ga (x)  .  O  )  y iii) (d x)(x6 A-M R (A)  ---->  GÁ (x) -_ Además , en al si uación se e i ica demos ación :La exis encia yunicidad de ÁR esul a de la aplicación del eo ema de ecu encia ans ini a a la R -g á ica de ecu enciaH de A en l£ de inida así : H(~~) = 0  y si  xéA  y F6¡5(Q~(x) ; 1)-{O * } en onces H(F) = U . F( y)} ; y obse ando que ica uncional G A de A en 1 " Q, al que iii .) ( l x)(x E A -{o}  G A (x) - y ( .) {GA (y~~ ) . G e = FAR  R A  = PA MR (A ) - MRE (A) . y6skdx)  R = J PR Finalmen e , po R-inducción ans ini a se es ablece que GA  A Co ola io l :Si A es una clase en onces exis e una única g á ica uncional G A de A en .u al que : i) dom G A = A ; ü)  x)(x6M(A) = :> 6A(x) =0) y A iii) (b'x)(xe A-ME A (A)  G A (x) = lJ GA( )~) E(x) A Además , en al si uación se e i ica  G A = FA - PA Co ola io 2 :Si A es una clase ansi i a en onces exis e unaúnicag á- i) dom G A = A ; ii) G A (0) = 0 y {GA(y)Í ) . Además , en al si uación se e i ica  G A = aok¡A Co ola io 3 :Si A es un conjun oen onces ank(A) = ank(Á) . Teo ema 4 Si A es una clase y R esuna elación bien undamen ada sob e A en onces exis e unaúnicag á ica uncional ÁR de A en I . al que i) dom J A = A ; ü) (bx)(xE M R (A) iii) (d x) (x1 A-M R (A) ==>  J A R (x) _  <x { -T , (y¡  nR = J Además ,' en al si uación se e i ica  AR = GA == ~A A J s1 R (x)=0 ) y demos áci6n :La exis encia y unicidad de S AR esul a,dela aplicación del eo emade ecu encia ans ini a a la R-g á ica de ecu encia H de A en Z .Q de inidaasí : H( 95 4 ) = 0 y si xIA H(F) . =  JF(y)J . y -5 Q(K Finalmen e , po R-inducción ans ini a se es ablece que y FE .í5(5, Q (x)i 2Q) -{y? en onces - FR - A Co ola io :Si A es una clase en onces exis e unaúnica g á ica uncional 7 A de A en j,Q al que : i) dom 74=A ; ü) (dx)(xEh/ EA (A)  7  (x) = O) y  iii) (Vx)(x6A-M EA (A) ==,- J (x) = U i  ) . yex^A Del co ola io an e io esul a que  = a k ; en consecuencia (d x)(x E 12 . Teo ema S  yC-X Si A es una clase ansi i a al que odos sus elemen os son ce ados po clausu as ansi i as y R esuna elación bien undamen ada sob e A e i- icando (bx)(xcA=> S R (x) C x ~. h R(z)- ~yEA : ~(y)c ^} E jQ) en onces exis e unaúnicag á ica uncional LÁ de A en l2 al que i) dom LA =A ;  ii) ( Vx)(x e M R (A)  LÁ (x) =p  )  y (dx)(xEA-MQ(A) ~ LÁ (X) _  111 . .)I J üi  . ~~) ando que S,( .X)=U ~(~O y que 2ESJX) ^s ansi i as en onces GL = V P(X  , XE0 . . M T (A) - M R (A)  . ank(x) =  U {~unkly)} ) . demos ación :Se conside a la elación T sob e A de inida asi :si (x,y)EA X A en onces  (x,y) cT ~ (qz) (zE S R (y)  n  SR(x) C i  ) . Se demues a que T es bien undamen ada sob e A y se aplica el eo ema de ecu encia ans ini a a laT-g á ica de ecu enciaH de A en I¿de inida asi :H($¿5~) = = 0 ysi XEA y FEá(5 T (x)A)-(O"j en onces H(F) =  U { F(jJ , obse - yEyx) Co ola io :Si A esuna clase supe ansi i a al que odos sus elemen os son ce ados po clausu as ansi i as , en onces exis e unaúnica g á- ica uncional L A de A en U al que : i) domL A = A ; ii) L A (0) = 0  y üi) (bx)(xe AL A (x) _  (y)}) . Ye Además , en al si uación se e i ica  LA = ank) A demos ación : Obsé ese que si a es un conjun oce ado po clausu as Bibliog a ía l .-ENDERTON H .B ."Elemen s oP se heo y" .Academic P ess .New Yo k(1977) . 2 .-JECH T . "Se heo y" . Academic P ess . New Yo k (197a) . 3 .- LEVY A . "Basicse heo y" . Sp inge -Ve lag . Lond es (1979) . 4 .- TARSKI A ."The na ion o ank in axioma ic se heo y and soma o i s applica ions" .Bull.Ame .Ma h .Soc .61(1955) .p .443