Difusión de Arnol'd

PUBL .Ma .UAB Nó lR Ab il 1980 Ac as II Conc eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones . Valldo eix, Mayo 1979 DIFUSION DE ARNOL'D Ca les Simó Abs ac .- A desc ip ion is made o he beha iou o hamil onian sys ems nea in eg able ones . Besides in a ian o i o he pe u bed sys ems he e is he posibili y o slow escape i he sys em has mo e han wo deg ees o eedom . The classical example o A nol'd [2] is p esen ed . We ema k he mul iple special ea u es ha i p esen s . A .n analysis o he passa- ge h ough essonance's [3]  leads in a na u al way o he es ima es  o Nekho ose o he a e o escape [15] . The ole o ansi ion chains  and he e oclinic poin s is s essed . The channelso supe conduc i i y o Nek- ho ose a e ela ed o p e ious wo k o he au ho [lB] . Some open p oblems and he di icul ies encoun e ed in sol ing hem end he pape . §l . In oducción .- Los sis emas hamil onianos juegan un papel undamen al en la desc ipción de la mecánica clásica . Conside emos una unción eal H(x,y) (hamil oniano) de inidaen el ib ado co angen e T*C (espacio de las ases de posiciones y momen os) .de una a iedad di e enciable C (es pacio de con igu aciones) . De mane a más gene al podemos conside a H(z) de inida en una a iedad simpléc ica M (es o es, una . di e enciable 2n-dimensional p o is a de una 2- o ma ce ada, a , al que sea no dege- ne ada, es o es, a n .`L n a  sea un elemen ode olumen) . Dado , ec- o angen e a M en z, le asociamos una o ma  b median e  a( ,w) = b(w) weTzM .  Es a aplicación es un isomo ismo si  a  es no degene ada .  Sea . ne TZM  n# e T Z M  el isomo ismo in e so . En onces las ecuacio- nes de Hamil on se esc iben  i = (DH)# , siendo  DH  la di e encial de  H . ' Si  M = R2n , z = p/ ,  q,p e R n y  a = dq ndp, se ob iene q = DpH , p = -D qH  (i) * Facul a de Ma emá iques i Labo a o i de Cálcul, Uni e si a de Ba celo na . 31 ya que, iden i icando ec o es con o mas median e la mé ica euclídea, iene dado po  J = C', I ) donde I es la ma iz iden idad en R n . Ob ia men e H es in eg al p ime a de (1) ( eo ema de Liou ille [4]) . Un hamil oniano H se dice ín egnable si exis en n in eg ales p i- me as  F 1 ,. . . ,F , uncionalmen e independien es, en in olución (es o  es, -«DF i ) # ,  (DF j )  )  = 0) .  En onces, si  N(C 1 - -C n ) = ;xeM IF i (x)=C i ,c e,i=l :n) es una a iedad compac a (puede deja de se a iedad pa a cie os alo es de C i dandoluga a sepaAa Aíce¿), es un o o n-dimensional Tn ( eo ema de Liou ille-A nol'd [5]) . Si no es compac a es Td x Rn-d , d< n . En a iables (I, (P) adecuadas ( a iables de acción-ángulo, equi alen- es a momen os y posiciones) un hamil oniano in eg able depende sólo de las a iables de acción H = H 0 (I) . Las ecuaciones de Hamil on son Í = 0 ,  _ (D 1 H o ) T = >(I) ( ec o de ecuencias) y po an o  I = I (o) ,  ~P= w(o) + w .  Las unciones  I1, . . . ,I n son las in eg ales p ime as independien es en in olución . A cada alo de I (o) co es ponde un T n in a ian e . La pa e del espacio de ases pa a laque N(C 1 , . . . ., Cn ) es compac a es á oliada po o os n-dimensionales in a ian es . Un o o asociado a  I . (o)  se llama acional o n .u onan e si  3 k e Z n  al  que (k, w(I (o) )) = 0  e i acional o no ku onan e en caso con a io .  Po supues o un o o puede ene di e sas esonancias independien es . El lujo en un o o esonan e es pe iódico y en uno no esonan e es quasipe iódico y e gó- dico . Conside emos una pe u bación hamil on iana de un sis ema in eg able H  =  H o (1)  +  E  H 1 (I,  W, E )  (2) siendo  H 1 una unción  2n-pe iódica espec o a  w . Supond emos en _ oda la exposición que las unciones manejadas son analí icas aunque las écnicas de il o pasa baja pe mi en abaja con unciones su icien emen e di e en ciables ( éase [13], [22], [17]) . Un esul ado undamen al ela i o a sis emasp óximos a in eg ables es el ob enido po Kolmogo o , A nol'd y Mose ([111, [11 , [13]), TEOREMA KAM .- Dado el ham .í,l onc :ano (2) con E sulící .en emen e pequeña cum- pUendo una de las dos eondc :ec :ones :  a)  ID I ó l  = ID 2 I Ho l  0, D I <,lo  w0 b) ~ 0 wT  0 I  0 con ó = (D I Ho ) T , pana . odos Dos w sa alacc :endo la condíaí .6n dío dn í .c a  ¡(k,-)¡ > c( ' E .  n 6  (donde o n+1, Ikl = Y Ik .l ), ¡k i  í=1 ex,í s e  T,, ono .ín an,ían e de  (2), ceAcano al ono .ín axía e e  T ú ,  del s .í,s ema no pe i u bado, sob e el que el Mujo es conjugado del que se enía en T,  . Dado un compac o golíado pon - onos de H o el conjun o de pun os de U no peA enecc :en ea a algún Tw . iene medida nela í . a que c :ende a ce no sí E lo hace . Es cla o que la condición a) signi ica que el Hessiano de H oes no degene ado . Toda a iación del pun o I p o oca una a iación de la ecuencia w . La condición b) sign ica que el sis ema H o es,isoene gé icamen e no degene ado, es o es, sob e la a iedad Ho = h una a ia- ción del pun o I p o oca una a iación de la elación de ecuencias .En D2H o 'AI ~ A 0 10 9 e ec o, pa a odo aI al que dA e R . Es o equi ale a que el sis ema que la nula, es deci I DIwo  o  # 0 . ó 0 DH -oI = 0 debe cumpli se o  /D2H-  w '  no enga o a solución La demos ación del eo ema u iliza dos ideas undamen ales : En lu- ga de cambia la ecuencia en las sucesi as ap oximaciones a la solu- ción como en la eo ía clásica de pe u baciones, se busca un . ono .ín a n .ían e man eniendo ijas las ecuencias que e i iquen las desigualda- des dio án icas . Pa a ello se u iliza una sucesión de cambios de a ia- ble de con e gencia ápida (análogos al mé odo de New onen Análisis Nu- mé ico) a iando de o o a cada paso . Ello es posible po la condición de no degene ación impues a . Los dominios en los que la sucesión de cam- bios es con e gen e se an es echando y en el limi e se educen al p o- pio o o in a ian e . Es deci , el cambio de a iables global pasa del _o o in a ian e de Ho al de H con la misma cu y z6lo es á,Eida en d¿-- cho . ono . La eo ía de KAM iene consecuencias básicas sob e la es abilidad de sis emas hamil onianos . Tomemos un p oblema con n=2 g ados de libe ad . La a iedad H = c e . e s 3-dimensional y en ella hay o os in a ian es 2- dimensionales encajados que, si bien no llenan odo el espacio de -on igu- ación, si que sepaAan la a iedadde ene gía cons an e en pa e in e io y ex e io al o o . Los pun os inicialmen e si uados en e dos o os in a- ian es no pueden escapa del ecin o que los iene po on e a . La si uación es dis in a si  n > 3 . En onces en una a iedad (2n-1)-dimensional los o os  Tn no 6epa an  H = c e . y pa a pun os que no es én en o os in a ian es puede p oduci se un alejamien o de la a iable 1 espec o al I (o) inicial . Es e posible alejamien o es el que se conoce como d .íbu .íon de A no 'd . Resul ados pa alelos se ienen en el caso de sus i ui  un sis ema hamil oniano po un di eomo ismocanónico y no en amos en de alles [41 . §2 . Cadenas de ansición .- Pa a explica la mane a de escapa de en e _o os in a ian es dados po la eo ía KAM A nol'd [21 p opuso el mecanismo de las cadenas de ansición . Sea T un o o in a ian e po un lujo ~ . Di emos que T es un Lo o bigo udo si exis en dos a iedades in a ian es W S T, WuT ( .ó WS, WU si no hay pelig o de con usión) ales que y e W S se iene ~ y - T cuan do - +Oo (b,igo e de en ada), y E W u se iene ~ y  T cuando  -co (bigo e de salida) y T es una componen e de W u 11 W s . Es cla- o que WuT, W S T son las a iedades in a ian esines able y es able de T ( éase [211) . Conside emos el ejemplollamado . ono 6 andaxd . En Rd s +d u +d c x Sd un pun o desc i o po las componen es (x,y,z,,p), x e R d s, e c ., se mue e some ido a las ecuaciones ic = - Ax, . = py, z = 0, O=-, siendo I  ueR + y we R d acionalmen eindependien e (es o es (k,w) =0, k e Zd - k=0) . En onces los pun os de la o ma (x =O ; y =0 ; z =01  cons i uyen un o o bi go udo con  W s = I y =O ;  z =0)  y  W u =  Ix =O ; z =01 .  Es e o o se Tlama el o o s anda d . Sea M una sub a iedad di e enciable de una a iedad X . Di emos que oba . huye a M en x e M si oda a iedad ans e sal a M en x . :co a a S2 . LEMA .- En el - ono s anda d sea  U  en o no de  1 e WS  y  S2 =  Uo ~ U . En- onces  i2 obs . uiye a Wu en odo pun o de Wu . Si la a i mación del lema es cie a  I e W s , pa a odo en o no del y  y e Wu di emos que  T  es un . ono de . naneíci,6n . Es e es el caso pa- a el o o s anda d . La demos ación del lema usa de mane a esencial ¡la hipó esis de no esonancia . Si w es esonan e en onces i2 sólo obs uyedelgadas bandas al ededo de sub a iedades linealesde Wu cuya codimensión es la mul i- plicidad de la esonancia de w . Si exis en o os de ansición T 1 , . . .,T k ales que W u T k E WSTk+1 (in e sección ans e sal) di emos que esos o os o man una cadena k de Aan síc 6n . TEOREMA .- Sean  16 WST1  y  11 e W u T k  anb .í Aanlos . En oncespana odo  U en onno de 1 y pana odo V en o no de q el {lujo ~ conec a ambos en o nos, es o ee,  uo o U n # o . La demos ación es inmedia a usando la de iniciónde o o de ansi- ción y la con inuidad espec o a las condiciones iniciales . La exis encia de cadenas de ansición pe mi e cie a ines abilidad al conec a en o nos de o os alejados . Si d = 0 los o os in a ian es se educen a pun os . Si d = 1 se ienen ó bi as pe iódicas . Tomando una sección de Poinca é con enien e una ó bi a pe iódica se aduce en un pun- o ijo o una ó bi a pe iódica . En es e caso pa a ene una cadenade an sición es su icien e ene una cadena de pun os he eAoclíníeos JCans Ma- les ( ambién llamadosdoblemen e asin ó icos [16] ) . En el caso de di eomo ismos del plano la exis encia de pun os he e- oclínicos ans e sales pone in a la exis encia de cu as in a ian es . Un ejemplo numé ico de al cadena puede e se en [20] . El inicio de la exis e cia de pun os he e oclínicos ans e sales es una cues ióndelicada y no esuel a . Una desc ipción heu ís ica se halla en [71 bajo el nomb e de .so- .Cape de hez o nanc,c :az . Des aquemos que la no exis encia (global ) de in eg alesp ime as an_a lí icas (además de las clásicas) que ue p obada po Poinca ése debe esen- cialmen e a la exis encia de pun os he e oclínicos (y homoclínicos) ans e sales . En o o lenguaje es a no exis encia es lo que Win ne [231 llama- ba p esencia de ¿i egnalee no a,íz1an ez . En un lenguaje mode no di iamos que la ci ada ans e salidad implica que las a iedades in a ian es WuT , W S T no son sub a iedades de la a iedad o al . Se iene un plegado de las mismas que p o oca que co es ans e sales adecuados de las a iedades en gan canae e c can ohí .ano . §3 . El ejemploclásico .- El único ejemplo igu osamen e es udiado de di u- sión en e o os in a ian es ue dado po A nol'd  [21 . Sean H o =2 (1 2 +12), EH, =  Ecos (p l - 1)(1+pB), donde- B =sin <p 2 + cos . Des aquemos que  el sis ema iene dos pequeños pa áme os E y M y que cuen a con 2 g .d .l . y el iempo . Equi alen emen e puedecon e i se en sis ema au ónomo de 3 g .d . 1 .  median e  H  1  (1~+I2)+13,  B=sin  w 2 + cos  (p 3 . Las ecuacionesde Hamil on son "2 =12 , 1 1 =Esin p 1 (1+'uB) , 12 =E(1 - cosw l )pcos (P 2 . Si  E=0  odo o o con  I=w eR 2 es in a ian e y no esonan e si  (n,w)1N . Conside amos el caso  0 < Ep, « E « 1 . A pa i de la eo ía KAM se iene que pa a la mayo ía de las condiciones iniciales I a ía poco al añadi la pe u bación . Sin emba go se iene el siguien e esul ado . TEOREMA .- Sean  O<A< B . Pa a odo E > 0  " e %>0  al que  p e(0,p o ) " e una cayee w,ía del z .í,s ema (3) que conec a 1 2 <A con 1 2 > B . Demoz cací .6n .- Conside amos ya de pa ida E no nulo ijo . Si ~ = 0  se ie ne H = 2 11 + E (cos w 1 - 1) + 2_ 1 2 2 con lo que los dos g ados de libe - ad es án desacoplados . El sis ema equi ale a i 2 = 0, ~2 = 12  (oscila-- do a mónico) y a un péndulo en las a iables I I , ~p l . Des aquemos que esas a iables no son acc,í .6n-ángulo . Es inmedia o que T'112 = 1I I ='0 I =0, I2=w 2 1 que los bigo es son idimensionales dados po I I = ± las a iedades in a ian es las ayec o ias son Sob e es un o o bigo udo sin 2  ,  1 2 =° '2' II ( ) =±2 / 7 /Ch T, Pl ( ) =±2a cc g (-Sh T), 9 2 ( ) = w2 + w2( _ o) donde T=,,/7( - o) e En ealidad la eo ía espacio de ases es á aho a conside amos no o 2-dimensional ( a iables (p 2 , ) po el pun o c í ico hipe bólico  del péndulo y sus a iedades in a ian es son el p oduc o del o o 2-dimensio- nal po las sepa a ices del péndulo . Es cla o que WuT 2 --_ WsT 2 eniendo así ó bi as homoclínicas  no hanb euales . La idea cla e es que al hace p ¢ 0 Wu, WS deja án de coincidi y se án ucanb eualeb, y po an o si w' es á su icien emen e ce ca de  w (p ecisai emos cuán o luego) ambién se á  WuTw2 ;F W S T a ,~ dando así las ó bi as he "ocl .í .nc :cas ans eláaleb que o igina án la cadena de ansición, si los o os Tw 2 son o os de ansición . Tomemos, pues,  p 0 . Los o os  T w2 con inuan siendo in a ian es po el sis ema pe u bado, es o es, la pen unbac,í6n se anula en las . onos .ín aA,ían ee . Esa es o a idea cla e en la elección de la pe u bación po A nol'd . Equi alen emen e podemos deci que 9 1  se encuen a bloqueada en ce o . Un azonamien o s anda d median e i e ación uncional usando la hi- pe bolicidad de T,,, 2 pe mi e p oba que WuTw2 y WSTw2 con inuan exis- iendo al hace p~ 0  su icien emen e pequeño y que dichas a iedades de- penden analí icamen e de u . Si en T, 2 enemos un lujo i acional, pa a lo que bas a á que w 2 1 Q, el o o se á de ansición, lo que se p ueba po analogía con el o o s anda d . y inicialmen e II( o)=±2»'íE' w l ( o ) =± n, <° 2 ( o ) = 'P 2' KAM se aplica a la egión en la que, con m= 0, el oliado po o os in a ian es . El o o bigo udo que pen eneee a Ba a neg .í6n pues es el p oduc o de un o La cues ióndelicada se encuen a en la ans e salidad . Veamos las ecuaciones de las a iedades pe u badas . Sean H (1) = 2 11 + e(cos~p1 H(2 ) =2 I2 = 2 u,2  los bigo es no pe u bados . Esc ibimos pa a las a iedades ines able y es able, espec i amen e, con  a = 0(N), á unciones 2n-pe iódicas en y pudiendolimi a nos (pa a ene pe u ba ciones pequeñas) a  19,1  < 3n/2  (o, si se p e ie e,  kp 1 1< 3n/2  pa a W u y 12n -  <P 1 1 < 3n/2  pa a  W s ) . Como una ó bi a he e oclínica conec a á (P 1 =0 con '0 2 = 2n, pode- mos busca la en 9, = n . Debemos calcula (P 2 , solución del sis ema : = u P ,s + 0(u 2 ), queda á  (has a p ime o den en p) :  8 1 = 0, x ` 8 2 = _ _ 2  ( 2  _ w~2) ,  donde  S i =  ,u  -  &i . y 38 que  (H (2 ) )  = 2 w 2 EM cos  92 / Ch 2 - , de donde H( 1 ) -_ O1  (W 1 ;W 2 , ;co l ) H(2) = 2w2 + o2' s (w 1 ; , P2 , ;co2) á1 (n ; W 2 , ; col) _ A1 (n ; 'P 2 , ; w2) 2 w2 + A2  (n ;  92'  ; w 2 ) = 2 w22 + A2  (n ;  'P 2 ,  , w2) Usando ccuacíone~s a íací .onaleó de pn,ímeA o den espec o a ,u : Es  inmedia o que  (H (1) . )=  , e 1 1  B, de donde 8  = _ 2 F  ó B/ a  d , 1  ,1R Ch2 (N ( _ o )) aB / aw 2 = 2 cw  d . 82 2 Ch 2 j JR Un cálculo po el mé odo de esiduos suminis a los alo es S 1 = 2n sin o / Sh(n/2-,4)  , 82 = 27 2 cos ~2 / Sh(w2n/2,y/E) . No emos que las in eg alesse han hecho con el mí .emo alo a de w2 y no o- mando w2 pa a Su y w2 pa a Si, ya que si Iw2-w21 es pequeño el e o ela i o lo es . Las condiciones de he e oclínico exigen  0=0  y po an o halla e-- mos un alo adecuado de  W2  si 1(»2 _'2 2 1 <4n,a_ 2 /Sh(w2n/2N) = 0(ye Escogiendo, en e los alo es de 1 2 inicial y inal deseados, alo es de w 2 i acionales cumpliendo la condición an e io ob end emos la cadenade an sición buscada . No emos aquí algunas .ídea .e e~sencíalu pa a la ob ención de di usión de A nol'd : a) Se han empleado dos pa áme os pequeños, uno de los cualesya es- á inco po ado al sis ema no pe u bado (E) y el o o se u iliza pa a los cómpu os a iacionales (p) . El mo i o de hace lo así es que la ans e sa- ]¡dad (o, cuan i a i amen e, el ángulo que la mide) es de o den exponencíal nega c : o espec o a E . Po an o n .ínguna eox& de peh unbacíonu, po ele ado que sea su o den, de ec aA .ía 2 .a . Aanh eualídad . Es e hecho ha sido de ec ado de mane a explíci a en el p oblema es ingido ci cula de es cue pos [121, donde los pa áme os E y m se en eemplazados po el in- e so de la cons an e de Jacobi y el pa áme o de masas . Un enómenopa e- cido se iene en el p oblema de Hénon-Heiles [101, donde la de ección del ca ác e de cadena he e oclínica ans e sal ela i a a las es ó bi as pe iódicashipe bólicases numé icamen e in iable pa a ene gías pequeñas . b) El p oblema es más a duo en el caso de bcaW onmacc :onu can6nícae ya que en es e caso las ecuaciones a iacionales son del ipo suma o io que sólo pueden se apxoxímadas mecíían e ín egx~e .a . En los ejemplos numé icos de que se dispone, no ya de di usión de A nol'd (de la que p opiamen e no enemos ejemplos explíci os), sino de ans e sálidad de homoclíni-- cos, el ángulo de las a iedades in a ian es dec ece ápidamen e con los pa áme os del di eomo ismo ( éase [61 ) . En el caso más sencillo posible de las aplicaciones cuad á icas conse ando a ea [91 el au o ealizó al- gunos expe imen os [191 . Con enien emen e comple ados mues an que la apli e) Gene aliza el ejemplo an e io al casoen que la pe u bación no se anula sob e los o osbigo udos del sis ema no pe u bado . ) Si pa imos de un hamil oniano in eg able ue a de la egión de se- pa a ices los o os in a ian es no son bigo udos . Pa a los o os esonan es (que se des uyen al pe u ba ) las ó bi as pe iódicas dan, en una aplicación de Poinca é con enien e, pun os pa abólicos con pa e lineal no diagonal . De- e mina la exis encia de a iedades in a ian es al pe u ba dichos pun os pa abólicos ( éase [201 pa a s=2) . g) To os esonan es quedan des uidos, pe o subsis en o os de dimen- sión in e io . Da c i e ios que pe mi an localiza los (angula men e, po su- pues o) y compu a lasWu, Ws asociadas . h) ¿Qué obs ucciones de dimensión o ans e salidad pueden impedi la exis encia de cadenas de ansición si exis en o os como los indicados en g)? i) Pa a aplicaciones canónicas con s=1 o hamil onianos con s=2, la exis enciade pun os he e oclínicos es p ueba de la desapa ición de la egión KAM . ¿Cómo de ec a anal í i nmon e y en, iin iñn de F el  ini in de he e ocl inicos? j) ¿Qué puede a i ma se de la gene icidad de la di usión de A nol'd? k) Admi iendo que exis e di usión de A nol'd pa a la "mayo ía" de las pe u baciones de un sis ema in eg able, ¿qué puede deci se de la dimensión del espacio de las pe u baciones pa a lasque dicha di usión no apa ece? (Po supues o, den o de una clase dadade hamil onianos) . 1) La exis encia de la di usión de A nol'd p ueba la no in eg abilidad del sis ema pe u bado . ¿Cual es, gené icamen e, el núme ode in eg ales p i- me as que subsis en ademásde H? 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