Integració estocàstica

Pub . Ma . UAB ns 11, ma c 1979 INTEGRACIó ESTOCASTICA 1 . Mo imen b owniá . El p oblema de la in eg a l es ocás icA . El p oblema de la in eg al es ocás ica consis eixbásicapen en dona . sen- i a un p oces es ocás ic de ini pe una in eg al de la o ma . . (s) . dW s , on W=(W ) E R és un p océs demo imen b owniá, es a, di , un p océs amb les- condiciona : a) ele inc emen a del p océs en in e als disjun s eón independen s, b) 1'inc emen W w s é llei N(o,a2 .( -s)),0 >o,pe o ss . In ul i amen es po conside a el mo imen b owniáW com a 1'ap oximació asimp b ica del passeig alea o i duna pa ícula sob e la . ec a eal,de o ma que en cada in e al de emps la pa ícula ep un g an nomb e de pe i s im- pulsos independen s . Conc e amen , conside em pe cada n«N el p océs S n ( )  i  k  ,n +(  2^)An, pe e [2 . ., k 2T ), on (6 i )ieN_  és una successió de a iables alea b ies independen s amb llei ( A i )- 20 .2 3  + 2 d -0 .2 J- > 0 > . . Da id Nuala (Uni e si a Poli bcnica de Ba celona) El p océs S n desc iu el mo imen d'una pa ícula que a 1'ins an 2  e una col.lisió, i en e dos d'aques s ins an s es mou amb eloci a cons an . Ales- ho es es po demos a que pe cada eR + , les a iables alea b ies S n ( ) con- e geixen en llei cap a una a iable W i que el p océs es ocás ic W=(W ) eR és unmo imen b owniá . En eali a , hi ha con e géncia eble de les lleis de p obabili a induides pe aques s p ocessos en 1'espai mé ic C([0,11), ( eu e  111, [ 121  ) . L'any 1908, P .Lange in ([21 ) a es udia elmo imen duna pa ícula lliu e enun luid . Cada composan X de la eloci a de la pa ícula sa is á 1'anomenada equació de Lange in, m dX + a X =0d W , a > 0, 0 cons an e . El e me a X co espon a la icciódinámica de la pa ícula amb, el luid i depén de la iscosi a . El segón e me 0dW ep esen a la o macausada pels xocs de la pa ícula amb les molécules del luid que a oban . Comque aques es col .lisions són mol nomb oses i independen s, a- l e me es po desc iu e pe un di e encial del b owniá, enel sen i de que la suma dels impulsos en un in e al de emps [s, ] se áa(W -WS) . L'equació de Lange in és un cas pa icula de les equacíons di e en- cials es ocás iques, que en gene al són de la o ma d X a ( ,X ) d +o ( ,X d W , i s'in odueixen co o a models pe 1'e olució d'un sis ema di iamic X , a ec a pe una pe u bació alea ó ia en o ma de "so oll blanc", és a di , quepo p end e alo s a bi a is i independen s en o ins an , i que co espon al e neQ( ,X ) d W . Unp océs es ocás ic X= (X ) E l z, diu que és soluciód'aques a equació di e encial es ocás ica segons k .I ó ([4],[5]), amb condició inicial X = U on 1 és una a iable alea ó ia) si pe o e R+, °   X (W)  = I(w)  + ( o  a(s,  X s (W)  d s + Jo Q(s,  X s (w))  d W s (w)  ,  q .s . La p ime a in eg al es po de ini pe cada ajec ó ia W, pe o aques me ode noes po u ili za en la segona in eg al que es un cas pa icula d'in- eg al es ocas ica . En e ec e, es demos a que exis eixen e sions del p océs demo imen b owniá W amb ajec ó ies con ínues, pe o' queamb p obabili a 1 no són de i ables en cap pun de R + . En consequéncia enen a iacib o al in- ini a en o in e al a i a [O, ] : A sup {1 =0  IW i  -W .  I,T {0= o < . . .< ñ }, pa ició de [0, ]}= -, q .s . +1 i Pe conse nien cal dona sen i a exp essions de la o ma / oX S (w) d W S (w pe a pode onamen a eo icamen 1'es udi de les equacions di e encials es- ocas iques, i hem de eni en comp e que no es po p end e una in eg al o di- na ia encada ajec ó ia . pie a de " a iació quad á ica" del mo imen b owniá : Si (T ) n n Alesho es la cons ucció de la in eg al es ocás ica es basaen la p o- n E i=o N O sigui, podem esc iu e alea ó ies independen s pun de is a o mal es dW _ - d id és una successió dec eixen de pa icions de [O, ] al que iT ~I= máx  ( (n)-  (n)  ),  si  ~i =  { (n)  <  . . .< (n) n i  n o k Lla o s n 2 (W ( -1 - W  c ) ) 2  L  . Fo malmen podem di que (dW ) Z és equi alen en mi ja quad á ica a d . dW E Jd on (1 ) E R és una amilia de a iables de llei N(0,1) . Lla o s + el "so oll blanc" quedes d"un de ineix com la de i ada del mo imen b owniá, se ia que compleixi les p opie a s, i ind ia pe an a ian a in ini a en cada ins an ,quan d endeix a ze o . Aixó co espon a l!idea in úi i a de que en o ins an po p end e alo s a bi a is amb la ma eixa p obabili a ,i jus i ica el e de que dW  no és unp océs sino que s'ha de conside a dins el ma c d de la eo ia dels uncionals linealsalea o is o dis ibucions alea ó ies . 2 . In eg ació es ocás ica dun a unció de e minis a . La in eg al es ocás ica J  (s) dW s en el cas duna unció de- 0 e minis a  a ésse u ili zada pe p ime a egada pe N,Wiene (]6]) . Si ñ ep esen a la mesu a de Lebesque en la ec a, i Cb(I) és la ibu dels BoYdians de l'in e al I=[O,T], Lla o s aques a in eg al consis- " eix en cons ui una isome ia en e espais de Hilbe : W : L Z (I .É3(I) ,~) - -L2  (sé ~&l p)  T (s) dW ; So s a) W és lineal ) m b) . W conse a el p oduc e escala :E( .J T  (s)dW s .~ - g(s) dw s )= 0  0 = S T  ( .) g( .) ds, 0 c)  W( )  é llei no mal :  P,( . T  (,s)dw )= N(O,J T  (s) 2 ds), os  o d) w  (1 [ o, ] ) = w . En gene al, dona qualse ol espai de Hilbe H, exis eix una aplicació ,P :H-L , (dZ,3IP) lineal, que conse a el p oduc e escala i que és Gaussiana, és a di ,  pe o conjun ini h1 _ .,h ^ d'elemen s de H, les a iables p(%)_ _,P(h nk ) =enes= llei conjun a no mal . En pa icula podem p end e H=L 2  (S, S  m) on (S, 5  m) és un espai de mesu a qualse ol, i pe an l'aplicació W és un exemple d'age :es es aplicacions . Obse em que la es icció de W ala indicado a dels bo elians W(8)=W (; B ), on B E $(I), de iaeix una mesu a ec o ial a alo a en L 2 (A < I, p) de inida en 1'espai mesu able (I,db(i)), que és G-addi i a, Gaussiana, inde- penden (41(B,) i W(B 2 ) son a iables alea ó ies independen s si B 1 (1 B 2 = (ó) i compleix E(W(A)W(B)) = X(A1)B), pe o A,BEd3(I) . La in eg al inde inida ¡  ( S o  (s) dWs) E R,  és un p océs amb inc emen a independen s i ajec o ies con ínues . Recip ocamen , o p océs es ocás ic amb aques es p opie a s es po esc iu e com in eg al inde inida espec e a un p océs de mo imen b owniá . A pa i d'aques esul a es po plan eja el p oblema de ca ac e i - za o s els p ocessos amb inc emen a independen s . En p ime lloc, sepa an les discon inui a s ixes, podem suposa que el p océs ñ és con inu én p oba bili a . Lla o s es demos a que les discon in i a s que po  enca a p esen- a el p océs (que ja no són ixes, és a di , el conjun de ajec o ies discon ínues en un ins an dona é p obabili a me o) només poden se de sal s . O sigui, que amb p obabili a 1, exis eixen els limi a la e als en o E R + . U ili zan aques a p opie a , podem descomposa el p océs  en una pa amb ajec o ies con ínues que se á de la o ma J  (s) dW S més o una pa pu amen discon ínua que co espond á a una "suma de sal s" i que s'exp essa mi jangan una in eg al es ocás ica espec e una mesu a de Poisson N : X Sa (s)  dW s + a( )  +  (x .N(dx,ds)- X}  -  (dx,ds)) . RX[0, ] N és una mesu a pun ual es ocas icá de Poisson de inida en la banda R X(O, ], és a di , és una mesu a ec o ial a alo s en L Z (-i'~P), a-addi- i a, independen , al quepe o Bo eliá G de RX[0, ], N (G) és una a ia-  . ale alea ó ia e Poisson de pa ame e V,bG) ., on V és una mesu a posi i a . Si G és un ec angle B x [ ,s], lla o s N(Bx[ ,s])  ep esen a'sl . nomb e . . de sal s del p océs d'ampli udpe anyen a B, que es p odueimen e els ins an s i s, i V (Ex ( ,s]) és el alo migdel nomb e d'aques s sal s . En consegüéncia,  I  x N(dx, ds) se á la suma de les ampli uds R )C (0, ) dels sal s del p océs x . Aques a in eg al, pe a, po no exis i pe que la,~  ', mesu a V (B) = V(Bx[ 0, ]) sob e R, po dona mesu a in ini a a un en o n de 1'o igen . V s'anomena mesu a de Lé y del p océs X i compleiic semp e (,  x 2 )  V  (dx) < °° . A pa i d'aques acondició es po dona sen i a la in eg al es o cás icaan e io , a egin un e ne de cen amen i u ili zan la con e gén- cia en L 2 , d'una o ma análoga a la in eg al espec e el b owniá . Aques a descomposició dels p ocessos ama inc emen s independen s és deguda a P .Lé y, i se'n po dedui la o ma gene al de les lleis in ini e- men di isibles . Una possible gene ali zacióconsis i ia en ca ác e i za con a suma d'in eg als es ocás iques les mesu es ec o ials p independen s, a, alo s en LZ (S2 ,? ' CP), de inides enun espai mesu able qualse ol (S,5 ) . Suposan que és di usa es ac a ia de oba una mesu a independen i gaussiana W en S i una mesu a independen de Poisson N en el p oduc e Rx S als que pe o conjun Ad , u (A) = W (A) +Jx N (dx,ds) R x A La di icul a d'aques es gene ali zacions p o é de no pode disposa de eo emes ela ius a la egula i a de les uncions 0 (A,w), de inides en ~ pe cada w F, 51, semblan s a les p opie a s de les ajec ó ies delsp o- cessos ama inc emen s independen s . 3 . Cons uccióde la in eg al es ocás ica d'unp océs . La cons ucció de la in eg al es ocás ica d'un p océs X = (XI) ER espec e unp océs de mo imen b ownia W, és deguda a X . .Z o (194,4), ([3]~_ . Eo ac a de de ini 1'exp essió 5  X S (w) d Z s (W)  , on Z, de momen , és 0 un p océs qualse ol . L'elemen básic pek a de ini a qu es es in eg als consis eix en una base es ocás ica (S2, ( ) Ra ,P), és a di , una amilia c eixen F- ( S ) ER  de sub ibus de 1 en un espai de p obabili a (SZ,7~P) , de mane a qué 7° ep esen a la ibu dels esde enimen s que es poden p odui abans de 1'ins an . En el cas d'in eg a espec e al mo imen b owniá W, p en- d em pe exemple, com 7i  la ibu gene ada pe les a iables W s , 0 1 s 1 . Els p ocessos} que olem in eg a es poden conside a com unciona eals mesu ables de inides en el p oduc e (R + X 5~, G(R + ) ® 'J°-), p e ó amb la es icció d'ésse no-an icipa ius o adap a s, és a di ,x és V -mesu able pe o E R + Els p ocessos més simples són els de la o ma X(- ,w1= 1 ( es]XF ( ,W) " <s, F EV , o sigui, son els indicado a dels conjun a del semianell dZ= {e ,s]  x F, < S, F¿Y}  - La in eg al es ocás ica d'un p océs x dlaques a o ma, espec e Z é la seguen de inici& na u al ( .S oX d Z ) (_w)  =  í F (w)  (Z s (w) -Z (W) .) . -  Es plan eja lla o s el p oblema de 1!ex ensib dgaques a in eg al pe lineali a i con i nü a a una classe més ámplia de p ocessos . Es conside en en p incipi els p ocessos p e isibles, és a di , els p ocessos mesu ables espec e la ibu p e isible l? gene ada pe ,£ . Es sabu que T coincideix amb la ibu gene ada pels p ocessos adap a s i amb ajec ó ies con í- nues pa 1'esgüe a . El me ode pe a es end e 1'in eg al consis eix en busca una mesu a m sob e la ibu ? al que pe o p océs Y elemen al (és a di , combinació lincel d'indicado s de con ;un s de y  , sa .s á Xd Z ~P  í +x, p d m  , pe algun pE N . . 1  - u  R + ; x S2 La classe de p ocessos in eg ables se a lla o s Lp (R + x  m) . s Sx En el casdel b owniá, si p enem p=2 i m-- , x ^ , ind em E (  Xd W)' =  ( x ( ,W) )' d d P, o  R} x 2 i lla o s la in eg al ~- Xd W seca una isome íaen e els espais .G L2  (R y X 2, q, 1,X P)  i L 2  M, V _ , ) Desc iu em seguidamen les p opice a s básiques d'aques ain eg al . 1 . To p océs adap a de L 2 (R, x S2, &I(R + ) 8' < y , x x P) és mesu able espec e lacomple ació q de la ibu p e isible pe la mesu a x P, i pe an és in eg able ca pe any a L 2 (R + x 2, 7, X x P) . 2 . La in eg al inde inida, Y = lo  Xs d W S és un p océs es ocás ic de L 2 que adme una e sió amb ajec o ies con ínues, i é la p opie- a de ma ingala espec e la amilia de ibus ( ) ER, pe o E R+ - E [ Y . 19 , 1 ]  =Y  , pe o s1 . L S S Recip ocamen , en la hipó esi de que la amilia de ibus es á gene- ada pel b owniá, o a ma ingala M=(M ) ¿ R- es de la o ma M = E (M O )  + S o  Xs dW S on X( ,w) és un p océs al q ue X .1 [O, ] x 526L 2 (R, x 931 ñx P), pe 0 . o E R,_ .  En pa icula o a ma ingala es con inua . 3 . La in eg al es ocás ica es po es end e a p ocessosX, mesu ables, adap a s i als que J  ~ (W) ds <W, q .s ., pe o E R + , u ili zan 0 la con e gencia en p obabili a . . 4 . Les egles del cálcul di e encial o dina i no són alides pe la in eg al es ocás ica, com es dedueix, pe exemple, de la " ó mula de di e enciació d'I ó" : Si (x, ) : R x R+ -R és al que les de i ades pa cials ,s 2 ,s són con ínues, és compleix, dx 2 6 2 (w , ) = (W ,o)+  s  (W,s) d w +  (  +s ) (w ,S) ds, q .s .,  c  1 o  ó  s  s  0  2 Sx  d  s 2 Obse em que el e me 2 ¿XT p o e de 1'ap oximació de Taylo isome ia de la unció ins a 1'o d e 2, i de la p opie a de a iació quad á- ica del mo imen b owniá, que ens diuque (d Ws ) 2 equi al a ds . si la unció és solució de 1"equació del calo , o sigui, z 2 z 5 . =0, lla o s el p océs (W , ) és ma ingala . En conc e són in e essan s les ma ingales ob ingudes quan és una exponencial, wW -Ja2 quesón de la o ma Z e  z  , a ER . El p océs Z s'anomena ma ingala exponencial i compleix Z = 1+ -S Z s d W s , és a di , és solució de 1'equació di e encial es ocás ica dZ aZ d W amib la condicióinicial Z . Pod iem di que les ma ingales exponencials juguen el pape de les exponencials o diná ies en el cálcul di e encial es ocas ic . 4 . In eg ació espec e ma ingales . Pe demos a la p opie a d'isome iade la in eg al espec e al mo i- men b ownia n'hi ha p ou amb les p opie a s E [ W W s I y ] =0  , pe o s l E [ W -Ws I 11  ] = 0  , pe o s L , és a di nQmés calque els p ocessos  (W E R  1 (W - ) E R  siquin ma ingales espec e la amilia (7 ) _  E R+ . Alesho es pe o ama ingala 14=(M ) E l*  L2  (és a di , alque E (M2 )<~ pe o ) i pe o p océs X elemen al, es compleix ambé una m x d M) 2=  (X( ,W)) 2 d m, E jo  R+ xS) on m és una mesu a que pels conjun s del semicnell  w al L'exis éncia dIuna ex ensió Q-addi i a de la mesu a i . a la ibu? és deguda a C .Doleans ([8] ) i u ili za el e de que podem p end e semp e una e sió de la ma ingala M amb ajec ó ies con ínues pe la d e a . Es po in odui ambé la mesu a m a pa i de la descomposició de Doob-Meye de la subma ingala M 2 en suma duna  _ma ingala N i d'unp océs A amb ajec ó ies c eixen s i con 'nues pe la d e a . En aques cas lamesu a m és p ecisamen la es icció a la ibu l?de la mesu a sob e la L .ibup oduc e (5(R + ) 0 ~ gene ada pel p océs c eixen A, n sigui, m  ((s, )  x G)  = E(  1 G (A -As )),  s ` ,  G C ye . LLa o s en aques cas es po de ini la in eg al es ocás ica dels p ocessos de 1'espai L2 (R + x 2,(?, m) . La in eg alinde inida Y o xs dM S  I ~ . és una ma ingalade L 2 , con inua pe la d e a,'i alque  Y  L2 Y E L2(Si,T,P) . I -~ El conjun mW  de les m a ingales amb aques esp opie a s és un espai de Hilbe amb el p oduc e escala < M,N>= E(M- N .), i la in eg al es oéas i- ca dóna lloc a una isome ia : L 2 (R + x 2, J?, m) -> mW X  ( S o  xS d M S ) E R+ Una exposicióde allada d'aques a eo ia es oba en els eballs o i- ginals de P .A . Meye i C . Dade ([9]) de M .Kuni a -S . wa anabe ([11])i am- bé en a icles més ecen s ([13]),([14]) . Ci a em o .sggui alguns dels seus aspec es básica, que es udien 1'ex ensió a la in eg al espec e ma - ingales dels esul a s que es coneixen en el cas del b owniá . 1 . De e mina condiciona pe alque un p océs de L 2 (R +x 0, sigui in eg able, és a di , siguimesu able espec ela ibu comple ada En conc e , es sap que si la mesu a m és absolu amen con inua espec e XÑP, lla o s o s els p ocessos adap a s són in eg ables . Una ex ensió d'aques esul a quanel p océs c eixen associa a m és con inu es oba en ([16]) . 2 . Es de ineix un emps d'a u o ins an alea o i comuna aplicació T : 52 - R+ que compleix {w I . T (w) -<  } é Y , pe o ER + . Alesho es es dju que un p océs M= (M ) _R  és una ma ingala local de L 2 si exis eix una, E+ (21) WONG,E .-ZAKAI,M ." Ma ingales and S ochas icin eg als o p ocessos wi h (22) CAIROLI,R .-WALSH,J .B ." S ochas icin eg als in he plane" . Ac a Ma he- a mul idimensionalpa ame e " . Z . ü Wah scheinlichkei s- heo ie und Ve w .Gebie e,29,pp .109-122,(1974) . ma ica,134,pp .111-183,(1976) . (23) ITÓ,K ." Mul iple Wiene in eg al" . J .Ma h .Soc .Japan,3,pp.157-169,(1951) . (24) SANZ^ " Cálcul di e encial es ocás ic pe a p ocessos amb pa áme e n- dimensional" . Tesi,Uni es i a Poli écnica de Ba celona, (1977) . (25) NUALART,D .-SALAZ^ " In ég ales s ochas iques pa appo  au p ocessos de Wiene á deux pa amé es" . Ann .Scien . de 1'Uni e si é de Cle mon ,Ma h . 14° asc . n°61,(1976) . (26) Mc KEAN,H .P ." S ochas ic in eg als" . Academic P ess,(1969) . (27) ITO,K ." Lec u es on S ochas icP ocesses" . Ta a Ins i u e o undamen al esea ch,Bombay, (1961) .