Espais de funcions analítiques en el disc

Pub . Ma . UAB n2 11, ma g 1979 en ESPAIS DE FUNCION S ANALITIQUES EN EL DISC ( ) Julia üu i L'es udí d'espais i álgeb es de Banach de uncions analí iques condicions de c eixe nen ha des e lla mol d'in e bs in anys pa allelamen al desen olupamen de la eo- el dise a-nb en els da e s ía de les álgeb es uni o mes o álgeb es de Banach amb ep esen ació de Gel and isomé ica i el seu es udi ha es a mo i a , en pa , pe la eo ia espec al de Gel and . Pe a o i aixb, no es po di que el ema de les álgeb es analí iques en el dise sigui ben bé un ema nou, sinó més a ia el esul a de nous plan ejamen s i de la conside acid de p oblemes nous en un ema o ja clissic . En e ec e, el ema lem ac a gi a al ol nn de la eo ia dels espais de Ha dy, ,ue é els seus o í;ens en les descobe es e es a uns cinquan a anys pe na e°iá ics als con Ha dy, Li lewood, P i alo , F . i M . Riesz, Smi no i G . Szeg5 i que s'ha de conside a com un capí ol de la eo- uncions anali iques d'una a iable complexe onanen al amb nol es conne ions in imes amb l'análisi de que o- eo ia i, ins i o , ia de les un capí ol Fou ie . Els eballs dels ma emá ics sua a esmen a s ac a en de p o- pie a s de uncion^, indi iduals deis espaís HP (espais de Ha dy) i e an d'e .pe i c13i~sic . En emps més ecen s el desen olupamen de 1'a álisi uncional es i-~ulb ni e egada 1'in e bs pels espais Hp com (!)  Con e hncia donada a l 'S .T .S .M . de Ba celona el 15 de desem- i~~n_ 'le 1977 . a espais ec o ia .ls i aques pun de is a ha e nlixe unn o an quan i a de p oblemes nous i ha dona nous mé odes pe a esold e els ells p oblemes po an un g an a en , de la, eo ia . Volem di a a, b eumen , quins han es a els no-len s més i- po - an s en aques ánsi de la eo ia clássica al monen ac ual i de mane a especial pel que a a alguns dels p oblemes que ens p oposem explica . . En els seus inicis la eo iadels H p depenía o a-len de algu- nes eines de la eo ia de uncions analí iques (p oduc es de Blaschke, ep esen aci6 con o me, . . .) enca a que e a coneguda la elaci6 de les uncions de Hp amb uncions de inides sob e la ci cu-n e éncia uni a , g ácies al eball de Fa ou - a 1'any 1906 en una de les p ine es i més impo an e aplicacions de la eo ia de Lebesgue a la eo ia de uncions anali iques . Aques a elaci6 és la que lliga els Hp a p oblemes de sé- ies de Fou ie ( eo emes de Ha dy i Li lewood),lligam que es coneix amb el nom de mé odes complexos a la eo ia de sé ies de Fou ie . Cal ci a pe la se a especial impo áncia els eballsdels ge nans Riesz del 1916 al 1927 que con enen els eo emesde ac o i zaci6 i els e- sul a s de M . Riesz,sob eAes uncionsconjugades . Amb el naixemen de 1'anhlisi uncional sembla que els analis es oblidin o s aqúlls eballs, plens de in eg als i d'aco acions, i a p ime a is a mol dis an sdels nous mé odes, n6s algeb aics . Pe ó  . a 1'any 1949, A ne Beu ling publica un a icle que 4s po conside a his ó ic : 'Ion wo p oblemsconce ning linea ans o na ions in Hil- be spacé" (Ac a Ma h . 81) en el qual de e mina els subespais ' anca s de 1'espai de Hilbe in a ian s pel "shi ope a o " i aixó ho acon- segueix p ecisamen aga an com a model d'espai de Hilbe 1'esnai H 2 . En aques eball es o a, pe p ime a egada, el non de pa ex e na i pa in e na pe als ac o s de la desco-iposici6 de ;iesz . , quPs a descobe a des e lla 1'in e bs dels analis es pe aques a pa de l,C í álisi desp és de qulsi in anys d'obli . uncions an _lí iques aco a les en el disc . A 1'any 1957 un g up bas- D'alesho es en 3 ele espais HP eón es udia s con a espais de Bá-' n ;c? : i ;e  .lne a especial c eí° el in e és pe 1'álgeb a H' de les an nomb ós de -1 .^ enb . ics es euneixen a la "Con e ence o Analy ie Func ions" al Ins i u e o Ad anc^d S udies de ' P ince on i publiquen, a-ab el pseudbnin de I .J . Scha k, o el que en aquellmomen se sa0ía- a an de H °° .  9 Juan a p oblenes no esol s cal ci a el am6s de la co ona que ja ha ía es a plan eja pe Kaku ani a 1'any 1941 de la o ma segden : si l ,.... n s6n uncions de H" o i  k 1 (4 + . . .  i1 n (z)`>' bi 0 pe o  es poden oba gl ,.. .,g n de H ° ' als que 2 : 9, = 1 ? A a el p oblema s'enuncia dien si el disc uni a és dens a 1'es- pec e de H ° 'i la espos a i na i a no a else o ada ine a 1'any 1962 ne L . Ca leson . A 1'any 1960 E . S ein i G . Weiss iniciá en, enca a que amb mol- es a els en eballs an e io s, la eo ia dels espais H p en á ies a iables eals i, en alguna mesu a, an allibe a la eo iade la se a dependéncia de les bcniques de a iable complexebasan -la, nés a ia , en les nocions de unció ha A ica conjugada, majo an ha mónica, . . . Aques a eo ia, que a pe la ans o maci6 de Fou ie el ma eixpa- pe que ele Hp en el disc an pe les se ies de Fou ie ,es á ambé elacionada amb les in eg nis singula s de Calde áai Zygmund, gene a- li zació de la ans o mació de Hilbe . Dei- " an de banda al escamine que ha segui la eo íadels H p con a a 1'es udi de H * 'a al es dominis plans 1 1'ex ensi6dels Hp a . N ies a iables conplexes olemci a una da e a g ies i6 que . ha in lui mol en ele p oblemes que conside a en : 1'es udi dels ope ado s de Toepli -,,  ene ali zaci6 in odüida a 1'any 1964 pe B own i Halmos 1e les na ius ini es que s6n cons an e a les diagonals, es udiades pe Tocpli z cap el 1911 . Si he L", 1'ope ado de Toepli z Th a H2 , es 'e inni -" co .i T }1 ( ) = P(h ) si Es de 1 1 2 -  , siguen P la p ojecci6 de L2 sob e H2 . h és el s nbol de 1'ope ndo i nol es  ües ions (in c i- bili a , espec e de T h ,- ésse Th de F edhoi-i, . . .) depenen de que h pe anyi a una ce a subálgeb a de L oo i de 1'es uc u a de les uncions d'aques a subálgeb a . En aques con ex s6n inpo an s e s ebnlls de Hidom, Douglas i Sa ason . Donem a a les nocio .s indispensables pe a en end e el que se- gueix . Sigui T la ci cum e bncia uní a del pla conplex i d n la nesu- a de Lebesgue no mali zada sob e T . HP és el subespai de LP (T,dn) de les uncions a1s que £(n) = 0 si n , -0, on és la ans o mada de Foü ie de- . La in eg al de Poisson de és, alesho es, una £unció holomo a al disc uni a al que la no ma de la con e gbncia en mi ja d'o d e p de la es icci6 a cada ci cum e bncia de adi < 1 es man- é . aco ada quan ---D 1 . Si p = co és una unci6 holono n i co ada al dise . To a mnció amb una condici6 de c eixemen d'aques ipus p oyé d'una unci6 de Hp déV=lími adial . Una unci6 in e na és una unci6 de H o' que sigui ' de _ médul 1 q .p . a T ; un p oduc e de Blaschke és una unci6 in e na de la o ma We me el 1953 i que diu a T que és la que d donada quasi pe o pel B(z) _  un z-an .~ lana l-ánz on 00 la n L 1  i '5_ (1-lnn lcoó Un eo ema, degu a F os man, assegu a que o a unci6 in e na és lí- mi uni o me sob e el disc de p oduc es de Blaschke . L'álgeb a del disc, A, és 1'blgeb a H` ° 1C, on C s6n les uncions con ínues a T . En un ce sen i o es les gües ions que anea a conside a es poden eu e com una gene ali zaci6 d'un am6s eo ema demos a pe - L'álgeb a del disc A és una subálgeb a ancada naximal de C . Tan d'in e bs com el ma eix eo ema (un eo ema d'ap oxinació, de e ), en é la demos aci6 ol senzilla que en nn dona . I!o -" icn i SinZe (1960) i : :ue aplicada ._ ll °° d6na el segUen esul a : - To a álgeb a ancac' .a B . H4Bi . L ° ', con é 1'31peb a C . En e les ál eb es ancades B, in e nediá ies co - n les del esul- a an e io , n'hi lia una de nés pe i a, la que engend en H °° i C . Aques zálgeb a a se de e minada pe Sa ason (1967) i és p ecisamen ll" I C . Cal obse a ue H" 1 C és a-ibé 1'áigeb a engend ada pe H °° i els p oduc os dé Blaschke ini s que s6n, jus amen , els p . de B . (!) 'n e ibles a H °° 1 C . Dos anys més a d (1969), Douglas i Rudin an demos a  ambé L °° e a 1'álgeb a ancada engend ada pe H` ° i els p . de B . in e ibles a L°-(que s6n o s els p . de B .) ; de e el seu eo ema diu - La nés pe i a álgeb a ancada i au oadjun a que con é o es les un- cions in e nes, és L °° . Cal no a , pe 5, que an deixa sense espos a la q{les i6, ja plan ejada abbns, de si H O e a l'áigeb a ancada engend ada pe les uncionsin e nes . Sinul ániamen , Douglas obse a_ que el es udi dels ope ado s de Tocoli z a H2 po a a a l'in es igaci6 de ce es subálgeb es de L °° que con enen H °° i de in a les se es álgeb esen e mes d'un sis ema de gene ado s,plan ejan el següen p oblema - Si B és una álgeb a ancada  : H c B c L ° ' i B I és la subalgeb a de B engend ada pe H °° i les in e sos de les uncions in e nes in e ibles a B, és BI =B ? La espos a, a i ma i a, a la gües i6 de Douglas no ha es a obadn i^ .^ . el 1975 enca a que du an aques emps es a p o a que 1- conjec u a e a ce es pe algunes ZN? .^ob es pa icula s . Així, Da ie- Gamelin-Ga ne (1973) an demos a que B = 11 1 gUan B = H °° 1 LÉ, 1 geb a en end ada pe H ° 'i les uncions de L' con inues a un conjun E < T, i Sa ason (1972) ho ha ia e pe 1'álgeb a engend ada pe H'- (1)D'n aenda an ab euja en p oduc ode Blaschke pe p . de B . 45 i les uncions con ínues a T - {l~ i que en el pun 1 enen líni s la e als . El cas B = L w és el de Douglas-Rudin . Anen a ema ca els aspec es :nés in e essan s del caní que a po a a la soluci6 del p oblema de Douglas : passan de les ál ;eb es al seus espec es s'a i a a una condici6 necessá ia pe a que el p o blema de Douglas ingui espos aa i ma i a . Sigui X 1'espec e de L °o i Y 1'espec e de H °° ; és sabu que Y és la euni6 del dise uni a i una ib a sob e cada pun de T ; que X és un subespaide Y (la on e a de Shilo de H") i que o pun de Y es po ep esen a pe una única mesu a posi i a sob e X . D'ai_ó esul a que si B és una álgeb a (sen- p e incada), IÍ# B£ L °° , 1'espec e de B, 11(B), es po mi a con un subespaide Y que con é a X . Una unci6 in e na h és in e ible a B si i nomás si 151= 1 a o pun de M (B) . Recíp ocamen , si B es á en- gend ada pe H` ° i les conjugades de ce es uncionsin e nen lla o s M(B) es á o ma pels pun s de Y en els que la ans o mada de Gel- and de cada unci6 gene a iu é n6du1 1 . Resul a, pe an , que si el p oblema de Douglas é espos aa i ma i a ' semp e que inguen ál- geb es ancades B,B'amb H ~ B,B'cL' i M(B) = 11(B') ha de se B = B', és a di , 1'espec e de e mina les álgeb es in e nedIá ies . El p ime pis pe esb in^ aques ada e a :aües i6 _1 a dona Sa ason (1974) el qual a p o a el segUen . esul a - Si B és álgeb a incada amb H'J B£ L °° i M(B) = 1I(H °° 8 C), lla o s B=H ° 'b C . Tan com el esul a é in e és la écnica que u ili z .h Sa ason en es abli -lo i que donó el caml pe la soluci6 conple ^ del p oblema de Douglas . Ell a obse a lo que segueix Una unci6 uninodula le Il ° '3 C és in e ible n 11 9° 4 C si i no- más si la se a conjugada ambé pe any a lí - 8 C . ;non=n ; ;C (quasi- con inues)  les uncions de l1~ b C amb conju,,, da a 11` ° d C e s eu o segui que QC és Cb C (a on ol di la .nns o nacla de llil .be de ) i el pun essenciil b . ~~ue .les uncions de  'C es' poden ca ac e i za ne condicions de egula i a . ¿ .i : :5 ho aconsegueix en se i els e- Sul e s i les écni ;!ues in odüides pe Fe e nan i S ein el 1972 on, basic  nen iden i ican el dual de 11 1 a b 1'espai BIHO de les uncions d oo .^ .cil .l,ci6 ii jnna aco adz , és a di uncions E L 1 als que ü l ( ) _ . sup  1 j 1 - lldm oo  a on I =1I1~I dm IIh2n III I En e d'al es, Fe e man i S ein donen la següen ca ac e i zaci6 de  B'10  :  BI-10 = L ° '  1 L` ° Sa ason in oduci . alesho es 1'espai VMO (osciblaci6 mi jana nul-la) posan " eVi10 si  11 ( ) =  li a  sup  1 /  ¡ - Il dm = 0 o  a  50 II16a III I i es able x amb ela i a acili a la igual a VMO = C 8 C de on L¿C = 1 nVMO . La condici6 de egula i a pe que E QC és que I l si- gui con inua al disc anca i d'aquí ob é el seu esul a . Pos e io men , l na eix esul a (M(B) = M(H ° 'IC) implica B = H w IC) a se es able pe al es álgeb es especials pe Weigh , Axle i Chang . Els es o cos an culmina en el eo ema de S .Y . Chang (1975) - Si B i B 1 s6n higeb es ancades a mb H c B,B l c L ° , siguen B una ál- geb a de Douglas (és a di B = BI ) i 11(B) = M(B 1 ), lla o s B = B1 . Amb la demos aci6 d'aques eo ema la soluci6 del p oblema de Douglas sembla a ol p ope a i, e ec i amen , poc emps desp és D . Ma -hall a dona el pa ; inal : - Si B és una álgeb a ancada, H c B c Lo , lla o s M(B) = M(B1) La demos aci6 del eo ema de Chang és una aplicaci6 in e essan de les écniques de Fe e man i S ein en es abli la se a ca ac e i - zaci6 del espai BMO . Hom po conside a només el cas de que B l es igui engend ada pe 11 w i la conju ada de una sola unci6 b in e ible a B 1 . Cal eu e nue si ws B lla o s dis (c ,b n 11~) = dis (c b n ,H`~) --~ 0 . Aques a dis áncia, pe un p incipi de duali a , és igual al ín i-1 de les in eg als a cob n g dm ( g a ian a H1 0 ) i aques es in eg als s'es imen enin n conp e que si 6 B1 0 la mesu a (l- )jV ( e le AI > ' d9 és una mesu a . ~de Ca leson . quan al eo ema de Ma shall ambé es po conside a el cas especial B = H 00 (w7, on w £ L O . , w és unimodula i in e ible a B . Si B1 és una álgeb a ancada H -B 1 c B al que M(B . 1) con é es ic amen a 1^ .(B) lla o s Ma shall cons ueix un p . de B . in e polan (és a di que la successi6 de ze os del p . de B . és una successi6 d'in e polaci6 pe a H ° ') que és in e ible a B pe ó no ho és a B 1 . Així de e , Ma shall po demos a un esul a más o que la gües i6 inicial de Douglas : - To a álgeb a ancada B : H ° c B c L °* es á engend ada  pe 11 ° ` i els con- juga s de p oduc es de Blaschke in e polan s . Poc emes a ans, Ziskind ha ía demos a un cas pa icula : L °' es á engend ada pe H " i els conjuga s dels p oduc es de Blaschke in e polan s . La demos acid de Ma shall és úna modi icaci6 de la de Ziskind i ambdues es basen en una cons ucci6 complinada que a in o- dGl Ca leson a la se a demos aci6 del eo ena de la co ona . Anem a exposa a a al es p oblemas, elaciona s anb el de Dou- glas, alguns dels quals enca a no han es a esol s : Si B és una álgeb a ancada, H jB , L o* , sigui CB la C=hl ;,eb a ancada engend ada pels p . de B . in e ibles aB . Se,-ons el eo enna' de Chang-Ma shall B = 111 G . ,C B] i en algún c,is pa icula se sabía que de . ° . ¬e B = H 9* b CB (n . ex . B = H+co B =H °' d LÉ *) . Es e i a , en ne- ne al, que B = H 0 4 CB ? La espos a a i na i a la .^ dona Chan7, el 1976 (T .A .M .S . 1977) i una mica més a d Chan, í Ma shall en an clon^ una demos aci6 més sencilla biselo en un eo e-ia cl~s ic de ',T .e nnlinnn . Pe eu e que B =H ° ' ó LÉ és una hl-eb a de Doug1 .- .^, Dz ie, G - melin i Ga ne ha ien es zble 1^ . .^^_,,^(len ~Ienc nli z , ~ci6 ]ni eo c- - :a de  o c unci6 un¡-modula de L' es po ap oxima uni o , :c ,- :en pc ouocien s de 9 . de B . in e ibles aB = H O, i LÉ . J8  I . . que sc ons Chann (B = 1 : ° 'i CB ) C B a pe una B qualse ol el pape de "" Lw , 6s e i a ^ :ue o a unci6 unimodula de CB es po ap oxima pe quocien s de o . de B . in e ibles a B? Ma shall a p o a ecen men que si uE C B , uZ es po ap oxima pe quocien s d'aques ipus, pe ó una espos a comple a al p oblema no es coneix . Finalmen , ci en una al e gües i6 in e essan amb elaci6 al eo e :a de Chang-Ha shall D'aques eo ema es dedueix hcilmen que si 6 L i es in- gida al supo de les mesu es que ep esen en els ca ác e s de B, pe - any a i'3lgeb a es icci6 de B a aques supo ,  lla o s 6 B . Aques esul a es po compa a amb la conclusi6 que d6na el eo ema de Bi- shop sob e els conjun s d'an isime ia . Com que els supo s de les me- su es ep esen a i es s6n conjun s d'an issime ía la conclusid de  , Chang-L a shall és més o a que la del eo ema de Bishop . Es na u al pensa si hi ha alguna elaci6 en e les dues conclusions en el sen i de nue cada conjun d'an i sime ía es igui cons ui a base de supo s . Enca a que sembla que un esul a d'aques ipus no ha de se e i a pe una álgeb a uni o me gene al, pod ía se -ho en el cas p esen . Rep enem a ^ una gües í6 que ha iem plan eja al pa la del eo- ema de Douglnn-Pudin : 6s el e de si els p . de B . (o les uncions in e nes) en-end en 1'ál ~eb a H' : El 1976 T a shall, u ili zan una idea de Be na d sob e 1'en ol- u ^ con exa de les uncions unimodula s en una álgeb a uni o me i el eo ema de e zinlinna a que ens hem e e i abans (el qual es me eix . se -,6n ben cone~3u ), a dona la espos a a i ma i a a aques p oble- mc . . - i °° é-, la -n6s pe i a á1 ;eb a ancada que con é les uncions in e nes . Pe un cl e cos a , de me ha ía posa la g es i6 de quines e an