Un problema en relació amb la suma d'espais tancats

Pub . Ma . UAB ná 10, Desemb e 1978 UN PROBLEMA EN RELACIO A11B LA SUMA D'ESPAIS TANCATS l .- In oducci6 i no acions . Juliá Cu Conside en la ci cun e éncia uni a T i un subconjun a bi- n . i E G T .  LÉ se á  l'áIgeb a de Banach de les  uncions de L °° _ L 0 (T,dn) (dm = mesu a de Lebesnue sob e T) ques6n essencial-ien con inues a cadapun de E . H w és la subálgeb a de L °° de les un- cions que enen nuls o s els coe icien s de Fou ie ne ;a ius . Di en C a 1'álgeb a IZ de les uncions con inues a T . Sa ason [3]  a p o a nue la suma H °° l C és ancada a L °° i Da ie-G¿ .^ielin-Ga ne l . ]  ,-,n es end e -  ! c  esul , - n an  :,ue ° ' } l , , ambé  ., `n^,c,^ . , . L °° , pe  E .GT . S egen :^ [51 ^ . -ene ali zn '  `eo en, , i de Sa as-  ,  sus i uin H W n un sub- espai 1 , 1 d , ~ L °° , dílhil-nen anca iin ,, inn en on de 11 -~ul i- plicaci6 ne la uncl .6 idAn ic :a a T . . is snbu 153 que a^ues s esa : , is s6n de dues o nes nossi .bles : a) 11 = L °° (K), espai de les uncions de L °° nul .les nuasi pe o o . ; de K, on 1, 6s un subconjun able de T . b) 1,1 = 4 .H %0 on I és una unci6 un¡-nodula de L °° . cs nn u ,al, donó, ; ;ene ali ~nn .^aca a esul n s, in en a de oba so a quines condiciona se á nnc .ida Di su-in 1! 4 L ° , .,' , on 1 , 1 6s un espai dels inus an e io s .  é .^ . el :ue en ., ,~ , :u ' ;u .nn 11 6s del ipo : : ^) . .' . :l ipu= b) am :iú la es icci6 ~.,,lmnh°°= o . . c :uedá penden , pe o, el cns " ,6 . in e essan de - , ue  qL 0 . . T abé . . . i, .es e no . u°cií ^l :-es , .-n',ul a . c~~e~, .i ; 2 - La suna L ° '(1 .) ó Teo ema .- Si uin E, K subconjun s de T, anb K mesu able . Alesho es la suma I (K) b i és ancada a L . Pe demos a que la suma de dos espais anca s 6s anca ia- en se i el següen esul a ben conegu [5] Lema .- Siguin X,Y subespais anca s de léspai de Banach Z . Alesho es . . d Y és anca si i nonés si exis eix un k < co al que : d(y,X1Y) b k.a(y,')  _ pe . . . . . . ., y de Y . (d és la dis ancia associada a la noma de l'cspai Z) . Denos em el Teo ema suposan , de ^io :~en , que el conjun E és iin in e al obe , E = (a,'a) C T . Anexa a eu e que si g E LE ,  en¡-n (1)  d(g,Le,(K)^LÉ) G d(g .L'W(K)) . Obse em cue d(~,I"°(K)) = I1 'XKcg11a,i sigui 11 un subconjun co-in .3c- e de Y o ¡~ E, . on K o és 1'in e io essencial de 1 ; (és a di , la eunió de o s els conjun s obe s de T que allen a K c = T - K en un - conjun de nenii n ; ;o o) . Si7ui a a 1 un .n unci6 con inua a T, que algui 1 sob e H i amb sup(T) C K O ( E i de inin : n(x) . l ( : :)  si  x 1E £ y (x) si x~E de mane a <!ue °l6 L ® (I :) LÉ . A nés a més : d(°'L~(h) aLÉ ) G II g - g111«,  max ( llgll E-H' 11g11T-( .E K)) na :c ( 11911 E_(Ko E) %  113II T-(E K )) . Conside e n a a les dues possibili a s 1)  si d(g,  L1) = 111 ;11 T_(E j , ,) és  cla que (1)  . 1 . 106 1,  F I1  h I " p / F / 'VI I  Ip n , 1 'N 1 2) Si d(g,C°(K)( L2) = »g 1E-(K0 E) = ikg1kE-K o -  alesho es- hi ha enca a dues possibili a s amb  okE E i, pe an ,  d~ K o i a un en o n IJ(al) anJ~ ,i(U ~K c ) > 0 El que dóna  II< K cg11 >, 1 2') Hi hn o( K° ,znb ( n) con e } ;en g(o(n)1-----~ , de nena que pe a o E > 0 és ' g( al n),) ) - (pe algún n) i, pe an , 1 g(x)I>  -  si xE U( o( n )  i U(o( n ) ¢ Ko jbl que dóna n(K c U) > 0 i II x K. .- Ai ó p o a (1) en o s els cascos, nuan H = (n,b) . Sigui a a E a bi a ¡ i gE LÉ ; enim que pe a o 6> 0 hi ha una unci6 g E 6 LÉ (EE obe que con é a E) amb  g,~ b Pe an d(i>E'C,(K)nL~) . < d(g ,L"(K)nLg F )  d(,L5L~(K)) i n a en ----~ 0 esul a (1) .// 3 .- La suma kQHpi L : en el cas 14Ha°nL  0 . ConsidP en a n el ccns en ,' .lué l'espai in a i^n ás del i-us kq H° ° amb ~E L °° , un¡-nodula , i ea, en o aques apa a ,la hipb esi de que IRH' LÉ = 0 . En aques es condiciona jH °° 1 LÉ és anca si i nomás si exis eix k upo amb 11 g1 1 k .d(g, Iq H m )  pe a o a gELÉ . lle inicíó : Si i  s6n unciona de , L °0 di em d,,( ,g) = z - i m esa I (z) - g(z)I ;  d( ,g) = in esa j (z) - g(z)j z=P z=1 Equi alen men , si es ene :n i a hamónicanen al disc uni a d d ( ,g) = z1 ; l ( z) - S(Z)1  PA( '-) = z  ~ (z) - g(Z)1 z = 1  ~=1 T : :`3F pose+ :i dd ( ,H') = in d .,( ,g) ^éH m P oposició 1 .- Si ~T,md  és anca ,  on T és uni " iodul .n , Ec-T nualse ol i  H °° 1L? o = 0, alesho es exis eix un  0 al cue dd( ` ,H') ), F . pe a o dE T i  Jd ( 1 ,H ) > L  pe a o  W ~ E . En e ec e : co o que  ~ " o ' b LÉ és anca c> compleix 1,  en pa icula ,  ~H b ° d C  és  anca  i,  se ons [ 5~ ,  i a (  ,TI C ) po a o a6 T, pe .1 ún  E > 0 . Sigui a a E = , . - 1 i egem que  eA (~ I{  Si os- ld (~ ,11 0 ) < E  pe un ol  1  ,  ?i nue lii h , un u :ició hE l{ °° al " ic pe n o en o nU(d) cxis ei : " i :CU(<) :(?I) > o  i  1 ~ ( z)  -  h( z) ` < E  si  z E'! . .' .ga en una undó ,E H °° L : al que 15g .= 1 i 1 ; < o ^ de T' ; pc ; ; . , iple a~n e,~ . : 0 si BEl u(e) _ l og  .° . i  2  ~  1 .1 de mane a que 1g1 = 1 q .p . . . . . i A a eni7l con a«icció .// - 108 pA ( ,li , ) = in ~ ~d( ,C) ¬E "{ i  g( z)  = e ., :P  (  2ñl 2: -u(e) . d9) ~ ( 1 < 1) ; .p . . n i c . 1  Til o)  <_  E  a(, ,  ^ i1)  =  E . % d(q ^, h)  ¿~  1, In en e - : i .^^ de de-,os a 1 .n su icibncin de le condicions que he-! oba ; ~i : ;o es oo e si posen oil_-una c iecib a _. . P oposició 2 .- Si-_ui 1 : un in e al o ;,ie <le T, ¡E L w un¡ - ,odull i suposen que hi ha un n6me o E> 0 al que pc a o dcT i  pc a o e(~ ~ : Si, a més,  11 ** ^LF=p alesho es  ~ H °° i L° ° és anca . Pe p o a la P oposici6 nom6s ens cal eu e que pe a o a d( ,~ H QP ) . Si  6s un pun : .e  en¡- .,i : i ni : :ú d6na, si (~) íb 0 :  1¿ " U)jE!j ¡lg -'I iJ10P A . n cal n o ,- . 1'aco aci6 - ;UM h l'om ne c~ o a h e l1 co . E Ig(1)I  `  d(g, jH 5* )  q .p . .  'de T - E . Pc ai : :6, n o e-i el . :egilen Lona .- Si 3 6 L°'(T-s :),.p7 no ia una ep esen a ci6 ,^(~)  d'aques a clase de uncions amb la p opie a de que q .p . . I . de T-E inguem : pe  a  o  E )  0  m 1 z E T -E  :  g( z)  -  n(1)' ¿ E J  >  O . En e ec o : posen T-E con a euni6 T-E = l,j K nU N de compac es I " n (a n .b m(l " n )  0) i -i(PI) = 0, slsen . cmn { ua 1^ es icc n I . a I : , .1 . Si pe u^ gil- " i . E K n , o en o n de  ' . all?  1(n en  , n  con jun de mesu a posi i a, 6s cla que la n opie a es cu - npleix a Anea a eclui cada 1_ a un co-iá ac e n6s pe n  i en el que -. i .- .- :b nass .,, cien nonés un cónjun de -iesu a ze o . Fixen-nos en K n : conside en els in e als acionals de la ec a  i  . .  gui A n el  conjun  (le  pun s 1  de ' ; n pe els " s  11i, eun  in- - e al acional I nue con é a : : i al que -i(I  nK ) = 0 .  U .,  -  " . n  ° n la eunió d'anue s s  in e als I Y pe :c de ~~ n '¿s`sen  "" ^ .i : : , U n un obe , éuni6 d'in e als que allen  K n en un conjun de : iesu a nul .l~ .  .` : " ' . : : : cien de 1,  la  se n  in e secci6 a°nb U n ,  hez e un conjun de nesu a ze o i pe cada pun ~, z G n -U p p en o n seu alla  Pn en un conjun de Tiesu a posi i a . nu si o  ~IÉ E (si <q(M Y- 0) : Iú(011 ~ (z) - n(z)N l! ' g(M - E(z)1  g - ~ U)  h1~~  ; pe a o  a > 0 és  1 g(ñ) - g(z)1 L~  a un conjun de :Mesu a posi- i a i pe z d'aques conjun en¡- .i I~(z) - 1,(z)I>,£ q .p . . ; pe an , concluini En el cas en que ECT sigui a bi a i, és cl .s que pode m de- a d ü ciue  II~ ° ó L° ° és anca de la hipb esi de c_ue (1 01 (  ,11 )  E, m pe a o  ole E i  pe a o c(¢ E . Pe a no és cla que es"pugui dedui dei e que d, k (í,H ) . >, F pe a o ole- T i m JA  ( ~  H m )  >,  pe a o  o(  E . Ta-ipoc  és cla si  ~ H °p ó L o anca implica  Pd(lP H o ) >, E  pe n o 0  E .  esu - iin : Teo e-ia .- Si E c .T,  unimodula de L 00 , í  H"n Lo= 0, ,~ .lesho e^ p m H °° ó , LÉ anca d6na d .,(~ H ,') >, E,  a T i  )á (~  H ) ¿_ o a de E .  Si d d (  H m ) Z F  a  E  ¡  Pd (  H d )  >,  £,  o a  de E,  eni-i que  ~ 11 0 ó LGO és anca . Exemple .-  Es cla que, so a la hipb esi T H mn LÉ = 0, si  H °° ó  L' és anca , nmbé ha de se -ho ~H ° ' ó C . Donem a a un e :cemple en el -que T l,°° ó C és anca pe a, en ca :n ¡,  11 °0 ó LE no ho és, o i que T11ÑLZ= 0 : Sigui  un p oduc e de Blaschlce,els ze os del qual s'acu- Con inuan amb la denos, aci6 de la P oposici6, en¡- .1 pe a I8(a)~ ~, !j_ j ó  11Z - g(%) ~ h11,,  i, pe an , 1g(~,)j  £ j(1,-, - s(a)  1 , 1100  .11 mulen a . o s els pun s de la . . ci cu-a e éncia . Com que d d (~ ,H . ) = 1 . . o pun d^_ T, ja 6 , ,  1? ° ~ 4 C anca (c . [5]) ;  co :n a un in e al anca p opi de T, n  ib lo qual ~ Il °° ^ L° ° =0 . A a bé, a . :u  _cc ol  pun  o(  ._ T  é ;  Qd  (  ,Il  )  = 0ja . que ,+o~ :c+  . ~n a una succesai6  (~ n)  ----- >  d  , , . " ,b  ( a n )  ------- , 7, ,  1  0  i >  > 0 ; a a (~ n ) con é una successió pa cial ue és d'in- n ~ enca a (,1 n )  i nga e--i una lane a que £-(k, )  n )= 1 . e polació pe 1109(L21 p C . 20lF) ; sigui (unció de i : o n ib (>' n ) = 1/T( ~ n) de ll _sl-io es Qa(`4 ) = lin ess  I ~(z) - (z)I = lim es .  1 - ~(z) (z)`=0 . De e ,  en nclues cns, ~H °° i L? * no és anca ne " ;ualse ol . E n" ib . . = T . - P : :nCl n^,^, L ni^ pc'Lll :? ~ dC (z n ) de pun s del dise Es sabu ,(5), que amb Si k~ és una unció uniinodula de L °° , de inim Z(~) com el conjun de ze os comuns a o es Les uncions de  ~ H ñC de mane a que, o bé Z(T) és un conjun anca i de mesu a ze o de T, .o bé Z(T) = T . Si ~E H °0 } C (uninodula ), de ini7 sup(~) co- el con- jun de pun s d E T pels que és po :sible de oba . una successi6 obe al c!ue zn ------ oC i ~ (z n ) ---- la hipó esi cíe que ~ H` ° nC 140, ~ H° ° 4 C é5 +nca s? i no7és si dd(,~ ¡l o ) >, ¿ pe ? : . - ) dE .?( ) ; nixl na eix, pe una unció  k~E H °° i C el e ~ : n  ;ue sun(~) sigui de nesu a ze o és su icien ne assegu a que 9 és el p oduc e d'una unció in e na i una unció in e ible n ll o 4 C . Sigui, a a, E un subconjun de T el cual suposa em, pe sin- pli ica , que és un in e al anca . s i 4E L ° ' és un¡-nodula , de i- nim Z com el conjun de pun s de E que s6n ze os conuns a o- es les uncin s de ¢H i L E~ 0 . Ss ácil de cu e que_ si .  II °0 4 hP és n c- í  H'^ L'  0, alesho es sl d (T  H  )  pe a o  oCE  Z( 1) E,  'J a : " c : pe a o a ge . Lóo  és 211 Z ( T ) E  C  d(8 . TH eNLE) i, a a, es po e el -sa eix aonai7en que en el c s E = T (c . 5» . Con a en no a nés ende an , 6s possible que n~ues , condici6 SiMui a-abé su icien . En o cas, deixan de banda el p oble nn de ca . ac e i z .^ . els pa ells  E,  pe al : ;  nue  lQ 11 °° 4 L eo és  ^n a  (~ H * é%L oo ' 96 0),  sP°,bla que la condici6 i6s p ó : :ina a  = 1 és Z(I) _ 0 i, pe aixó, és na u al de alan . eja la següen T' clües i6 : Si ~E L °* és uninodula i ,Z(T) _  (nix6 ja implica I-I nLÉ # 0 pe a o ECT), és e i n que  il m d Lm E é .^ . anc pe a o EC T? D'al a banda, és e iden , d'aco d amb les de i icions an- e io s, que pc lQ  unimodula 1 E c-T é .^ .  CZ (T) n E ; ., " -Ibé és na u al de p egun a . .^ .i al la igual a . Es .~cil de eu e que ,ix6 no és e i a en gene al ; pe , a : :eiplc, s= -- és un in e el n opi i és . un p oduc e de Blaschl :c,els ze os del nual s'acu-,ulen a u^ . pun de Ein un conjun <?e nenu a -posi i ^ ., . o a de E, nl .es :?io e^ . 00 Z(~i)E és un pun i Z(J) nE = E . A a bé, en nc ;ues cas és 1H^L o a = 0 . Plan eje :a, ln^gis, la 22 í les i6 :' Si E , T i  e E L' uni :aodula al lue  ~ H % 1, 0 , 0 $ 0,  6s e- i a  que Z( ~) E _ 'T .(~) 1 ñ? A la es a d'aques eball e as ocupa en d'aques a 2 " "- uües í6 i d'algunn al - elacion nda- :n ;nb ella . P onosici6 1 .- Si  6 : ; un^ , nci6 unin+in " Jul-< . de Ha 0 4 C l lu^, o' 1 ; A C 9~ 0,  nlesho e- . sup(1) = Z(I) . En e e e : No en, en p <-ie 11oc, que la inclusi6 sup(%q)C .Z(T) al se- .i c,  g, , ; E  (~) ha de se $(al) = 0, pe qué si z ----  lQ n  o(  i  (z n) ____s~ 0 és g(cl) - lim Z(z n ) i el nucli de Poisson és assin 5 icanen -iul iplica iu a ll' e 4 C ([4~) . Pe p o a la igual a , obse en que ~ 11^( ; 91 0 i " mlica que sup(sk)  sigui de -,esu a nul .l a i, pe an , d'aco d a-ib [ 5)  -5212, 11 = ' u a on y és una unci6 in e na 1 u és una unci6 unimodu- la (le H e ' 3 C in e ibble a }l 0' 4 C (és a di , gwsi coa inua) . Saben ambé pe [4~ que u =h . - a  on bF C -1  i '-',É (!1 ) -1 ;  pe an : cada gE C, e = .F, FE H d s'esc iu : ai : :6 d6na :  - .h-1 = T .ca .F g ='y u .F ='{' .h .w .F ; i . pe an,  D ~(`Y) . A a bé, ^uan F a ia a 1 ,1 00 e .F ambé a ía a H °°, pe ,nn , F a--ibé és g =  " w .^1 i  .h =  .h .w .F l -  Fl é .^ . a di , Z(~) D Zq) . Tenia, j1, gi e, Z(T) = Z(T) i ambé sup(~) =su - ,)( ) , doncs u essen in e ible a 11 00 4 C, é supo bui . Com que y és in e - na, és cia que sup( , V) = '(T), ja que ,i(-,up(y)) = 0 . Pe an , és Z(T) = sup(?) .// Amb el . : .a e_ . . a gu  en e .,  7 .(T) E_ d'aquí esul a que Z( J ) E = Z(~) _ ( E, 1á, que aques a igual a és e i a . pe una unci6 in e na . Tenim a¡_- : P oposici6 2 .- Si ~E i co i C és uni :ao3ula i  k~ H C -~ 0, alesho es és z(T) 2 = Z(I) n E . A la demos aci6 de la P oposici6 1 s" :a plan eja la elació en e la mesu a del supo de 1 i el e 'c que 9 11AC - 0 . Obse - en que, de e , quan ~QEH o, 4 C :